La mecánica cuántica sugiere una posible prueba de la hipótesis de Riemann

Matemático ruso encontró una prueba de la hipótesis de Riemann 3 de enero de 2017

Bernhard Riemann

Recuerda, te lo hablé. Entonces, entre ellas estaba la hipótesis de Riemann.

En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann tomó la antigua idea de Euler y la desarrolló de una manera completamente nueva, definiendo la llamada función zeta. Uno de los resultados de este trabajo fue la fórmula exacta para la cantidad numeros primos hasta un límite determinado. La fórmula representaba una suma infinita, pero los especialistas en análisis no eran ajenos a esto. Y esto no fue un juego mental inútil: gracias a esta fórmula fue posible obtener conocimientos nuevos y genuinos sobre el mundo de los números primos. Sólo hubo un pequeño problema que se interpuso en el camino. Aunque Riemann pudo demostrar que su fórmula era exacta, sus consecuencias potenciales más importantes dependían enteramente de una simple afirmación sobre la función zeta, y fue esta simple afirmación la que Riemann no pudo probar. Un siglo y medio después, todavía no lo hemos conseguido.

Hoy esta afirmación se llama Hipótesis de Riemann y es, de hecho, el santo grial de la matemática pura, que parece haber sido “encontrado” matemático ruso .

Esto puede significar que la ciencia matemática mundial está al borde de un acontecimiento a escala internacional.

Demostrar o refutar la hipótesis de Riemann tendrá consecuencias de gran alcance para la teoría de números, especialmente en el ámbito de la distribución de números primos. Y esto puede afectar la mejora. tecnologías de la información.

La Hipótesis de Riemann es uno de los siete "Problemas del Milenio" por los cuales el Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) ofrecerá cada uno una recompensa de un millón de dólares.

Por tanto, demostrar la hipótesis puede enriquecer a un matemático ruso.

Según las leyes no escritas del derecho internacional. mundo científico, el éxito de Igor Turkanov no será plenamente reconocido antes de unos años. Sin embargo, su trabajo ya ha sido presentado en la Conferencia Internacional de Física y Matemáticas bajo los auspicios del Instituto de Matemática Aplicada. Keldysh RAS en septiembre de 2016.

También observamos que si la prueba de la hipótesis de Riemann encontrada por Igor Turkanov se reconoce como correcta, entonces la solución a dos de los siete "problemas del milenio" se atribuirá a los matemáticos rusos. Uno de estos problemas es la "conjetura de Poincaré" de 2002. Al mismo tiempo, rechazó su premio de 1 millón de dólares del Instituto Clay.

En 2015, el profesor de matemáticas Opeyemi Enoch de Nigeria anunció que había podido resolver la hipótesis de Riemann, pero el Instituto de Matemáticas Clay hasta ahora consideraba que la hipótesis de Riemann no estaba probada. Según los representantes del instituto, para que el logro quede registrado, es necesario publicarlo en una revista internacional acreditada y luego confirmar la evidencia por parte de la comunidad científica.

fuentes

La Hipótesis de Riemann es uno de los siete “Problemas del Milenio”, por su demostración el Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) pagará un premio de 1 millón de dólares. Se aceptan para su consideración las soluciones que se publicaron en una revista matemática reconocida, y no antes de 2 años después de la publicación (para una consideración exhaustiva por parte de la comunidad matemática) (http://www.claymath.org/millennium/).
Yo tenía mis propias consideraciones y planteamientos, como siempre, muy diferentes a los conocidos. Quería escribir artísticamente sobre la hipótesis de Riemann. En el proceso de mi investigación y recopilación de material, descubrí un libro bellamente escrito por John Derbyshire: John DERBYSHIRE “A Simple Obsession and the Greatest. problema sin resolver en matemáticas" (John Derbyshire. Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas). Editorial "Astrel", 2010
Después de leer este libro, todo lo que tenía que hacer era dar este enlace.
“En agosto de 1859, Bernhard Riemann se convirtió en miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Berlín; Fue un gran honor para el matemático de treinta y dos años. Según la tradición, Riemann presentó en esta ocasión a la Academia un trabajo sobre el tema de investigación en el que estaba ocupado en ese momento. Se llamó "Sobre el número de números primos que no exceden un valor dado". En él, Riemann investigó una cuestión sencilla en el campo de la aritmética ordinaria. Para entender esta pregunta, primero averigüemos cuántos números primos hay que no excedan 20. Hay ocho: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Y cuántos números primos hay que no excedan mil? ¿Millón? ¿Mil millones? ¿Existe una ley general o una fórmula general que nos salve del recálculo directo?
Riemann abordó este problema utilizando el aparato matemático más avanzado de su tiempo, herramientas que incluso hoy en día sólo se estudian en cursos universitarios avanzados; Además, para sus necesidades, inventó un objeto matemático que combina poder y gracia al mismo tiempo. Al final del primer tercio de su artículo, expresa algunas conjeturas sobre este objeto, y luego señala:
"Por supuesto, me gustaría tener una prueba estricta de este hecho, pero después de varios intentos breves e infructuosos pospuse la búsqueda de tal prueba, ya que no es necesaria para los objetivos inmediatos de mi investigación".
Esta idea casual pasó prácticamente desapercibida durante décadas. Pero luego, por razones que me he propuesto describir en este libro, fue capturando gradualmente la imaginación de los matemáticos hasta alcanzar el estatus de obsesión, una obsesión irresistible.
La Hipótesis de Riemann, como se llamó esta conjetura, siguió siendo una obsesión durante todo el siglo XX y lo sigue siendo hasta el día de hoy, habiendo derrotado hasta la fecha todos los intentos de probarla o refutarla. Esta obsesión por la hipótesis de Riemann se hizo más fuerte que nunca últimos años otros grandes problemas se han resuelto con éxito, por mucho tiempo Quedan abiertos: el Teorema de los cuatro colores (formulado en 1852, resuelto en 1976), el último teorema de Fermat (formulado, aparentemente, en 1637, demostrado en 1994), así como muchos otros menos conocidos fuera del mundo de los matemáticos profesionales. La hipótesis de Riemann cautivó la atención de los matemáticos durante todo el siglo XX. Esto es lo que dijo David Hilbert, una de las mentes matemáticas más prominentes de su tiempo, dirigiéndose al Segundo Congreso Internacional de Matemáticos: “En la teoría de la distribución de números primos en últimamente Hadamard, de la Vallée Poussin, von Mangoldt y otros hicieron cambios significativos. Pero para resolver completamente el problema planteado en el estudio de Riemann "Sobre el número de números primos que no exceden un valor dado", es necesario, en primer lugar, demostrar la validez de la importantísima afirmación de Riemann.<...>».
A continuación, Hilbert da la formulación de la Hipótesis de Riemann. Esto es lo que dijo cien años después Philip A. Griffiths, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y anteriormente profesor de matemáticas en la Universidad de Harvard. En su artículo titulado "Desafíos para la investigación del siglo XXI" en la edición de enero de 2000 del Journal of the American Mathematical Society, escribe:
“A pesar de los colosales logros del siglo XX, docenas problemas pendientes todavía están esperando su decisión. La mayoría de nosotros probablemente estaríamos de acuerdo en que los tres problemas siguientes se encuentran entre los más desafiantes e interesantes.
La primera de ellas es la Hipótesis de Riemann, que ha estado molestando a los matemáticos durante 150 años.<...>».
Un fenómeno interesante En Estados Unidos, en los últimos años del siglo XX surgieron institutos privados de investigación matemática financiados por entusiastas adinerados de las matemáticas. Tanto el Clay Mathematical Institute (fundado en 1998 por el financiero de Boston Landon T. Clay) como el American Mathematical Institute (fundado en 1994 por el empresario californiano John Fry) centraron sus investigaciones en la Hipótesis de Riemann. El Instituto Clay ha fijado un premio de un millón de dólares para demostrarlo o refutarlo. El Instituto Americano de Matemáticas abordó la Conjetura en tres conferencias a gran escala (en 1996, 1998 y 2000), que reunieron a investigadores de todo el mundo. Queda por ver si estos nuevos enfoques e iniciativas ayudarán en última instancia a derrotar la hipótesis de Riemann.
A diferencia del teorema de los cuatro colores o del último teorema de Fermat, la hipótesis de Riemann no es fácil de formular de una manera que la haga comprensible para alguien que no sea matemático, porque es la esencia misma de una teoría matemática difícil de entender. Así es como suena:
Hipótesis de Riemann.
Todos los ceros no triviales de la función zeta.
tener una parte real igual a la mitad”.
Cuando uno entra en contacto con los trabajos que rodean la hipótesis de Riemann, surge una idea mística no sólo sobre la evolución de las ideas y el pensamiento, no sólo sobre los patrones de desarrollo de las matemáticas, no sólo sobre la estructura del plan mismo del desarrollo de las matemáticas. del universo, sino también del conocimiento primordial, de la verdad absoluta, del logos como programa del Uno.
Las abstracciones matemáticas gobiernan el mundo, controlan el comportamiento de las partículas elementales, las altas energías, los operadores matemáticos crean y destruyen cualquier cosa. Después de varios siglos de dominio de lo material, el culto a lo material, el poder del espíritu mundial comenzó a manifestarse nuevamente en forma de abstracciones matemáticas, el pitagorismo y el platonismo se convirtieron en las pautas metodológicas de la ciencia moderna.
Desde pequeño he encontrado errores en los trabajos de grandes matemáticos. No por envidia o malicia, sino simplemente preguntándome si podría superar a Pitágoras, Diofanto, Euclides, Fermat, Mersenne, Descartes, Gauss, Euler, Legendre, Riemann, Dirichlet, Dedekind, Klein, Poincaré. Y, aunque parezca mentira, fue superior. Formuló nuevos problemas, demostró nuevos teoremas. Pero resultó que mundo matemático organizado, a pesar de los requisitos de precisión y evidencia, de alguna manera burocráticamente. Resulta que simplemente no se cree en su evidencia. Contrariamente a la lógica y la objetividad. Y creen en los cuentos de hadas de la prensa, la radio y la televisión. Al mismo tiempo, los fondos medios de comunicación Distorsionan tanto la situación real que uno se sorprende al saber cómo se han alterado sus frases. Entonces comencé a evitar las entrevistas.
Me gustaría señalar que hay muchos errores en torno a la hipótesis y la función zeta de Riemann, así como en los intentos de probar o refutar la hipótesis. Riemann no le dio mucha importancia a la búsqueda de ceros de la función zeta. Pero el coro de seguidores "prominentes" ha inflado enormemente la importancia de la hipótesis. Demuestro incluso con cálculos elementales que la hipótesis es incorrecta, que existen otras soluciones. En primer lugar, la función zeta no tiene la simetría que se afirma: una función completamente diferente tiene la simetría de las soluciones. En segundo lugar, si no eres perezoso y sabes calcular las raíces de ecuaciones para funciones con variables complejas, verás que la situación es algo diferente. ¿Quieres asegurarte? Lea atentamente las fórmulas de la figura adjunta. Más detalles ejemplos completos y los cálculos se pueden encontrar en la nota "Las fórmulas de refutación de la hipótesis de Riemann". Puede agregar sus propias generalizaciones (especialmente la función en sí) y los cálculos correspondientes "¡Y el cofre acaba de abrirse!".
¡Buena suerte para ti!

5 de diciembre de 2014 a las 18:54

Desafíos del Milenio. solo algo complicado

• Rompecabezas entretenidos,
• Matemáticas

¡Hola gente habra!

Hoy quisiera abordar el tema de los “desafíos del milenio”, que han sido motivo de preocupación durante decenios y, en algunos casos, cientos de años. las mejores mentes de nuestro planeta.

Después de la demostración de la conjetura de Poincaré (ahora teorema) por parte de Grigory Perelman, la principal pregunta que interesó a muchos fue: “ ¿Qué demostró realmente? ¿Por favor explique?“Aprovecharé esta oportunidad para intentar explicar el resto de las tareas del milenio en términos sencillos, o al menos abordarlas desde otro lado más cercano a la realidad.

Igualdad de clases P y NP.

Todos recordamos las ecuaciones cuadráticas del colegio, que se resuelven mediante el discriminante. La solución a este problema tiene que ver con clase PAG (PAG tiempo olinomio)- para ello existe un algoritmo de solución rápido (en adelante "rápido" significa que se ejecuta en tiempo polinomial), que se aprende de memoria.

También hay notario público-tareas ( norte on-determinista PAG tiempo olinomio), cuya solución encontrada se puede comprobar rápidamente utilizando un algoritmo específico. Por ejemplo, un control de fuerza bruta por computadora. Si volvemos a la solución ecuación cuadrática, luego veremos que en este ejemplo el algoritmo de solución existente se verifica tan fácil y rápidamente como se resuelve. De esto se desprende la conclusión lógica de que esta tarea se refiere tanto a una clase como a la segunda.

Hay muchos problemas de este tipo, pero la pregunta principal es: ¿todos o no todos los problemas que pueden comprobarse fácil y rápidamente también pueden resolverse fácil y rápidamente? Actualmente, para algunos problemas no se ha encontrado ningún algoritmo de solución rápida y se desconoce si tal solución existe.

En Internet también encontré esta formulación interesante y transparente:

Digamos que tú, estando en gran empresa, quieres asegurarte de que tu amigo también esté allí. Si te dicen que está sentado en un rincón, una fracción de segundo te bastará para echar un vistazo y convencerte de la veracidad de la información. Sin esta información, te verás obligado a caminar por toda la habitación mirando a los invitados.

En este caso, la pregunta sigue siendo la misma: ¿existe algún algoritmo de acción que permita, incluso sin información sobre dónde se encuentra una persona, encontrarla tan rápido como si supiera dónde se encuentra?

este problema tiene gran valor para la mayoría varias áreas conocimiento, pero no han podido resolverlo durante más de 40 años.

Conjetura de Hodge

En realidad, existen muchos objetos geométricos simples y mucho más complejos. Obviamente, cuanto más complejo es un objeto, más trabajo requiere su estudio. Ahora los científicos han ideado y están aplicando ampliamente un enfoque, cuya idea principal es utilizar simples "ladrillos" con propiedades ya conocidas que se unen y forman su semejanza, sí, un conjunto de construcción familiar para todos desde la infancia. Conociendo las propiedades de los “bloques de construcción”, es posible acercarse a las propiedades del objeto mismo.

La hipótesis de Hodge en este caso está asociada con algunas propiedades tanto de los "ladrillos" como de los objetos.

hipótesis de riemann

Desde la escuela todos conocemos los números primos que son divisibles sólo por sí mismos y por uno. (2,3,5,7,11...) . Desde la antigüedad, la gente ha intentado encontrar un patrón en su ubicación, pero hasta ahora la suerte no le ha sonreído a nadie. Como resultado, los científicos aplicaron sus esfuerzos a la función de distribución de números primos, que muestra el número de números primos menores o iguales a un número determinado. Por ejemplo, para 4 hay 2 números primos, para 10 ya hay 4 números. hipótesis de riemann simplemente establece las propiedades de una función de distribución dada.

Muchas afirmaciones sobre la complejidad computacional de algunos algoritmos de números enteros se han demostrado bajo el supuesto de que esta hipótesis es cierta.

Teoría de Yang-Mills

Ecuaciones física cuántica describir el mundo de las partículas elementales. Los físicos Young y Mills, habiendo descubierto la conexión entre la geometría y la física de partículas, escribieron sus ecuaciones combinando las teorías electromagnética, débil y interacciones fuertes. Hubo un tiempo en que la teoría de Yang-Mills se consideraba sólo como un deleite matemático que no tenía relación con la realidad. Sin embargo, más tarde la teoría comenzó a recibir confirmación experimental, pero en vista general todavía sigue sin resolverse.

Sobre la base de la teoría de Yang-Mills se construyó el modelo estándar de la física de partículas elementales, en cuyo marco se predijo y descubrió recientemente el sensacional bosón de Higgs.

Existencia y suavidad de soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes.

Flujo de fluidos, corrientes de aire, turbulencias. Estos y muchos otros fenómenos se describen mediante ecuaciones conocidas como Ecuaciones de Navier-Stokes. Para algunos casos especiales ya se han encontrado soluciones en las que, por regla general, se descartan partes de las ecuaciones por no afectar el resultado final, pero en general se desconocen las soluciones a estas ecuaciones y ni siquiera se sabe cómo resolverlas. a ellos.

Conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer

Para la ecuación x 2 + y 2 = z 2, Euclides dio una vez descripción completa soluciones, pero para más ecuaciones complejas la búsqueda de soluciones se vuelve extremadamente difícil; basta recordar la historia de la demostración del famoso teorema de Fermat para convencerse de ello.

Esta hipótesis está asociada con la descripción de ecuaciones algebraicas de grado 3, las llamadas curvas elípticas y de hecho es el único relativamente simple de manera general Cálculo de rango, una de las propiedades más importantes de las curvas elípticas.

en prueba teoremas de fermat las curvas elípticas ocuparon uno de los lugares más importantes. Y en criptografía forman una sección completa del nombre de ellos mismos, y algunos estándares rusos firma digital.

Conjetura de Poincaré

Creo que, si no todos, la mayoría definitivamente ha oído hablar de ello. Se encuentran con mayor frecuencia, incluso en los medios centrales, decodificaciones como " una banda elástica estirada sobre una esfera se puede jalar suavemente hasta un punto, pero una banda elástica estirada sobre una dona no" De hecho, esta formulación es válida para la conjetura de Thurston, que generaliza la conjetura de Poincaré y que Perelman realmente demostró.

Caso especial La hipótesis de Poincaré nos dice que cualquier variedad tridimensional sin aristas (el universo, por ejemplo) es como una esfera tridimensional. Y el caso general traslada esta afirmación a objetos de cualquier dimensión. Vale la pena señalar que un bagel, así como el universo es como una esfera, es como una taza de café normal.

Conclusión

Hoy en día, las matemáticas se asocian con científicos que parecen extraños y hablan de cosas igualmente extrañas. Mucha gente habla de su aislamiento de mundo real. Muchas personas, tanto más jóvenes como más conscientes, dicen que las matemáticas son una ciencia innecesaria, que después de la escuela/instituto no sirven para nada en la vida.

Pero en realidad no es así: las matemáticas fueron creadas como un mecanismo con el que podemos describir nuestro mundo y, en particular, muchas cosas observables. Ella está en todas partes, en cada hogar. Como dijo V.O. Klyuchevsky: “No es culpa de las flores que el ciego no las vea”.

Nuestro mundo está lejos de ser tan simple como parece, y las matemáticas, en consecuencia, también se vuelven más complejas y mejoradas, proporcionando una base cada vez más sólida para una comprensión más profunda de la realidad existente.

La respuesta del editor

Profesor de las Universidades de Oxford, Cambridge y Edimburgo, y galardonado con casi una docena premios prestigiosos En matemáticas, Michael Francis Atiyah presentó una prueba de la hipótesis de Riemann, uno de los siete "Problemas del Milenio" que describe cómo se organizan los números primos en la recta numérica.

La prueba de Atiyah es breve; junto con la introducción y la bibliografía, ocupa cinco páginas. El científico afirma que encontró una solución a la hipótesis analizando problemas asociados con la constante de estructura fina y utilizó la función de Todd como herramienta. Si la comunidad científica considera que la prueba es correcta, el británico recibirá por ella un millón de dólares del Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts.

Otros científicos también compiten por el premio. En 2015 anunció la solución a la hipótesis de Riemann. Profesor de Matemáticas Opeyemi Enoch de Nigeria, y en 2016 presentó su prueba de la hipótesis El matemático ruso Igor Turkanov. Según representantes del Instituto de Matemáticas, para que un logro sea registrado, es necesario publicarlo en una revista internacional acreditada y luego confirmar la evidencia por parte de la comunidad científica.

¿Cuál es la esencia de la hipótesis?

La hipótesis fue formulada en 1859 por el alemán. matemático Bernhard Riemann. Definió una fórmula, la llamada función zeta, para calcular el número de números primos hasta un límite determinado. El científico descubrió que no existe ningún patrón que describa la frecuencia con la que aparecen los números primos en una serie numérica y descubrió que el número de números primos que no excede incógnita, se expresa a través de la distribución de los llamados “ceros no triviales” de la función zeta.

Riemann confiaba en la exactitud de la fórmula derivada, pero no pudo establecer de qué simple afirmación dependía completamente esta distribución. Como resultado, planteó la hipótesis de que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen una parte real igual a ½ y se encuentran en la línea vertical Re=0,5 del plano complejo.

Probar o refutar la hipótesis de Riemann es muy importante para la teoría de la distribución de números primos, afirma estudiante de posgrado de la facultad de matemáticas Escuela secundaria economía alejandro kalmynin. “La Hipótesis de Riemann es un enunciado que equivale a alguna fórmula para calcular el número de números primos que no exceden numero dado incógnita. La hipótesis, por ejemplo, permite calcular de forma rápida y precisa el número de números primos que no superan, por ejemplo, 10 mil millones. Este no es el único valor de la hipótesis, porque también tiene. toda una serie generalizaciones de bastante largo alcance que se conocen como hipótesis de Riemann generalizada, hipótesis de Riemann extendida y hipótesis de Riemann grandiosa. Son aún más importantes para diferentes ramas de las matemáticas, pero, en primer lugar, la importancia de la hipótesis está determinada por la teoría de los números primos”, afirma Kalmynin.

Según el experto, utilizando una hipótesis se pueden resolver una serie de problemas clásicos teoría de números: el problema de Gauss sobre campos cuadráticos (el problema del décimo discriminante), el problema de Euler sobre números convenientes, la conjetura de Vinogradov sobre no residuos cuadráticos, etc. En matemáticas modernas, esta hipótesis se utiliza para probar afirmaciones sobre números primos. “Asumimos inmediatamente que alguna hipótesis sólida como la hipótesis de Riemann es cierta y vemos qué sucede. Cuando lo logramos, nos hacemos la pregunta: ¿podemos probar esto sin presuponer una hipótesis? Y, aunque esa afirmación todavía está más allá de lo que podemos lograr, funciona como un faro. Gracias a que existe tal hipótesis, podemos ver hacia dónde debemos ir”, afirma Kalmynin.

Demostrar la hipótesis también puede influir en la mejora de la tecnología de la información, ya que los procesos de cifrado y codificación hoy en día dependen de la eficacia de diferentes algoritmos. "Si tomamos dos simples grandes números cuarenta dígitos cada uno y multiplicamos, obtenemos un número grande de ochenta dígitos. Si se propone la tarea de factorizar este número, entonces será un problema computacional muy complejo, en base al cual se basan muchas preguntas. seguridad de la información. Todos implican la creación de diferentes algoritmos que se ocupan de complejidades de este tipo”, afirma Kalmynin.

El 8 de agosto de 1900, en el II Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, uno de los más grandes matemáticos de nuestro tiempo, David Hilbert, formuló veintitrés problemas que predeterminaron en gran medida el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. En el año 2000, expertos del Instituto Clay de Matemáticas decidieron que sería pecado entrar en el nuevo milenio sin planificación. nuevo programa desarrollo, sobre todo porque de los veintitrés problemas de Hilbert sólo quedaban dos [dos más se consideran demasiado vagos o no matemáticos, otro se ha resuelto parcialmente y sobre otro, la famosa hipótesis del continuo, aún no se ha llegado a un consenso ()] .

El resultado fue lista famosa de siete tareas, para solución completa A cualquiera de ellos se le promete un millón de dólares de un fondo especialmente creado. Para recibir el dinero es necesario publicar la decisión y esperar dos años; Si nadie lo refuta en dos años (tenga la seguridad de que lo intentarán), recibirá un millón de codiciados trozos de papel verde.
Intentaré esbozar la esencia de una de estas tareas y también intentaré (lo mejor que pueda) explicar su complejidad e importancia. Recomiendo encarecidamente visitar el sitio web oficial del concurso www.claymath.org/millennium; Las descripciones de los problemas allí publicadas son completas e interesantes, y se convirtieron en la fuente principal a la hora de redactar el artículo.

hipótesis de riemann

Un día, uno de mis supervisores científicos, el destacado algebrista de San Petersburgo Nikolai Aleksandrovich Vavilov, comenzó su curso especial con la fórmula

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = –1/12.

No, la lección no estuvo dedicada a la hipótesis de Riemann y no me enteré de ella por Nikolai Aleksandrovich. Pero la fórmula, sin embargo, tiene la relación más directa con la hipótesis. Y lo sorprendente es que esta igualdad aparentemente absurda sea en realidad cierta. Más precisamente, no es exactamente eso, pero el diablo de los detalles pronto quedará satisfecho.

En 1859, Bernhard Riemann publicó un artículo (o, como lo llamaron, una memoria), que estaba destinado a ser muy larga vida. En él describió completamente nuevo método estimación asintótica de la distribución de números primos. El método se basó en una función cuya conexión con los números primos fue descubierta por Leonhard Euler, pero que, sin embargo, recibió el nombre del matemático que la extendió a todo el plano complejo: la llamada función zeta de Riemann. Se define de forma muy sencilla:

ς(s) = 1/1 s + 1/2 s + 1/3 s + 1/3 s +….

Cualquier estudiante que haya tomado un curso de análisis matemático dirá inmediatamente que esta serie converge para cualquier real s > 1. Además, también converge para números complejos cuya parte real es mayor que uno. Además, la función ς (s) es analítica en este semiplano.

Considerar la fórmula de s negativas parece un chiste de mal gusto: ¿qué sentido tiene sumar, por ejemplo, todos los números enteros positivos o, especialmente, sus cuadrados o cubos? Sin embargo análisis integral- la ciencia es obstinada, y las propiedades de la función zeta son tales que pueden extenderse a todo el plano. Ésta fue una de las ideas de Riemann esbozadas en sus memorias de 1859. La función resultante tiene un solo punto singular (polo): s = 1 y, por ejemplo, en puntos reales negativos la función está completamente definida. Es el valor de la función zeta analíticamente extendida en el punto –1 el que se expresa mediante la fórmula con la que comencé esta sección.

(Especialmente para los patriotas y las personas que no son indiferentes a la historia de la ciencia, señalaré entre paréntesis que, aunque las memorias de Bernard Riemann contribuyeron mucho a la teoría de números ideas frescas, no fue el primer estudio en el que se estudió la distribución de números primos mediante métodos analíticos. Esto lo hizo por primera vez nuestro compatriota Pafnuty Lvovich Chebyshev, quien el 24 de mayo de 1848 leyó un informe en la Academia de Ciencias de San Petersburgo, en el que esbozaba las ya clásicas estimaciones asintóticas del número de números primos.)

Pero volvamos a Riemann. Pudo demostrar que la distribución de los números primos -y esto problema central teoría de números: depende de dónde desaparece la función zeta. Tiene los llamados ceros triviales, en números pares negativos (–2, –4, –6,…). El desafío es describir todos los demás ceros de la función zeta.

Los matemáticos más talentosos del planeta no han podido romper esta nuez durante cien años y medio.

Es cierto que pocos dudan de que la hipótesis de Riemann sea correcta. En primer lugar, los experimentos numéricos son más que convincentes; el último de ellos está descrito en un artículo de Xavier Gourdon, cuyo título habla por sí solo: “Los primeros 10 13 ceros de la función zeta de Riemann y el cálculo de ceros en muy altura"(la segunda parte del nombre significa que se ha propuesto un método para calcular no sólo los primeros ceros, sino también algunos, aunque no todos, los más distantes, hasta ceros con un número de aproximadamente 10 24). Hasta ahora, este trabajo corona más de un siglo de intentos de probar la hipótesis de Riemann para un cierto número de ceros a la izquierda. Por supuesto, no se han encontrado contraejemplos a la hipótesis de Riemann. Además, se ha establecido estrictamente que más del 40% de los ceros de la función zeta satisfacen la hipótesis.

El segundo argumento recuerda una de las pruebas de la existencia de Dios, refutada por Immanuel Kant. Si Riemann cometió un error, entonces muchas matemáticas hermosas y plausibles basadas en el supuesto de que la hipótesis de Riemann es correcta se volverán incorrectas. Sí, este argumento no tiene peso científico, pero aún así… las matemáticas son una ciencia donde la belleza juega un papel clave. Una prueba hermosa pero incorrecta a menudo resulta más útil que una correcta pero fea. Así, por ejemplo, desde intentos fallidos La demostración del último teorema de Fermat se ha convertido en más de un área del álgebra moderna. Y una nota estética más: en geometría algebraica se ha demostrado un teorema similar a la hipótesis de Riemann. El teorema resultante de Deligne se considera, con razón, uno de los resultados de las matemáticas más complejos, bellos e importantes del siglo XX.
Así pues, la hipótesis de Riemann parece cierta, pero no demostrada. Quién sabe, tal vez ahora esta revista la lea alguien que está destinado a pasar a la historia de las matemáticas al demostrar la hipótesis de Riemann. En cualquier caso, como ocurre con todas las demás grandes tareas, una advertencia: no pruebes estos trucos en casa. En otras palabras, no intentes resolver grandes problemas sin comprender la teoría que los rodea. Ahórrate los nervios a ti mismo y a quienes te rodean.

De postre, un poco más de información interesante sobre la función zeta. resulta que ella tiene aplicaciones practicas, e incluso significado fisico. Además, la hipótesis de Riemann (más precisamente, su generalización, que se considera tan compleja como ella misma) tiene consecuencias prácticas directas. Por ejemplo, una de las tareas computacionales importantes es verificar la primalidad de los números (dado un número, es necesario decir si es primo o no). Teóricamente más rápido en este momento el algoritmo para resolver este problema, la prueba de Miller-Rabin, se ejecuta en el tiempo O(log 4 n), donde n es un número dado (respectivamente, log n es la longitud de la entrada del algoritmo). Sin embargo, la prueba de que esto funciona tan rápido se basa en la hipótesis de Riemann.

Sin embargo, la prueba de primalidad no es un problema muy difícil desde el punto de vista de la teoría de la complejidad (en 2002 se desarrolló un algoritmo independiente de la hipótesis de Riemann, que es más lento que la prueba de Miller-Rabin, pero también polinomial). Expandir números a factores primos es mucho más interesante (y existen aplicaciones criptográficas directas: la solidez del esquema RSA depende de si el número se puede factorizar rápidamente en factores primos), y aquí también se cumple la hipótesis de Riemann. una condición necesaria para probar estimaciones del tiempo de ejecución de algunos algoritmos rápidos.

Pasemos a la física. En 1948, el científico holandés Hendrik Casimir predijo el efecto que ahora lleva su nombre [El efecto Casimir permaneció durante mucho tiempo sólo una elegante idea teórica; sin embargo, en 1997, Steve K. Lamoreaux, Umar Mohideen y Anushri Roy pudieron realizar experimentos que confirman la teoría anterior]. Resulta que si traes dos descargados placas de metal a una distancia de varios diámetros atómicos, se atraerán entre sí debido a las fluctuaciones del vacío entre ellos, naciendo constantemente pares de partículas y antipartículas. Este efecto recuerda un poco a la atracción de los barcos que navegan demasiado cerca unos de otros en el océano (recuerda aún más a la teoría de Stephen Hawking de que los agujeros negros todavía emiten energía; sin embargo, es difícil decir quién se parece a quién). Los cálculos del modelo físico de este proceso muestran que la fuerza con la que se atraen las placas debe ser proporcional a la suma de las frecuencias. ondas estacionarias, que surge entre las placas. Lo has adivinado: esta cantidad se reduce a la suma 1+2+3+4+…. Y además, el valor correcto de esta suma para calcular el efecto Casimir es exactamente –1/12.

Pero eso no es todo. Algunos investigadores creen que la función zeta juega papel importante... en la música! Quizás [escribo “quizás” porque la única fuente que pude encontrar fue la correspondencia en la conferencia de Usenet sci.math. Si ustedes (los lectores) pueden encontrar fuentes más autorizadas, me interesaría mucho saberlo], los máximos de la función zeta corresponden a valores de frecuencia que pueden servir como una buena base para construir una escala musical (como nuestro duela). Bueno, Hermann Hesse en su “Juego de cuentas de cristal” no en vano declaró que el Juego es una combinación de matemáticas y música: realmente hay mucho en común entre ellos...