Однополостный гиперболоид вращения. Двуполостный гиперболоид вращения– это поверхность вращения гиперболы

И некоторая линия, которая проходит через начало координат. Если гиперболу начать вращать вокруг этой оси, возникнет полое тело вращения, которое гиперболоидом. Существует два вида гиперболоидов: однополостный и двуполостный. Однополостный гиперболоид задается уравнением вида:x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1Если рассматривать данную пространственную фигуру относительно плоскостей Oxz и Oyz, можно заметить, что ее сечениями гиперболы. Однако, сечением однополостного гиперболоида плоскостью Oxy является эллипс. Самый маленький эллипс гиперболоида называется горловым эллипсом. В этом случае, z=0, а эллипс проходит через начало координат. Уравнение горлового при z=0 записывается следующим образом:x^2/a^2 +y^2/b^2=1Остальные эллипсы имеют следующего вида:x^2/a^2 +y^2/b^2=1+h^2/c^2, где h - высота однополостного гиперболоида.

Построение гиперболоида начните с изображения гиперболы в плоскости Xoz. Начартите действительную полуось, которая совпадает с осью y и мнимую полуось, совпадающую с z. Постройте гиперболу, а затем задайте некоторую высоту h гиперболоида. После этого, на уровне заданной высоты проведите прямые, параллельные Ox и пересекающие график гиперболы в нижних и верхних точках.Затем аналогичным образом в плоскости Oyz постройте гиперболу, где b - действительная полуось, проходящая через ось y, а с - мнимая полуось, также совпадающая с c.Постройте в плоскости Oxy параллелограмм, который получается путем соединения точек графиков гипербол. Начертите горловой эллипс таким образом, чтобы он был вписан в этот параллелограмм. Аналогичным образом постройте остальные эллипсы. В результате получится тела вращения - однополостного гиперболоида, изображенного на рис.1

Двуполостный гиперболоид получил свое из-за двух разных поверхностей, которые образованы осью Oz. Уравнение такого гиперболоида имеет следующий вид:x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Две полости получаются при построении гиперболы в плоскости Oxz и Oyz. У двуполостного гиперболоида сечения - эллипсы:x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1Также, как и в случае с однополостным гиперболоидом, постройте в плоскостях Oxz и Oyz гиперболы, которые будут располагаться таким образом, как показано на 2. Постройте внизу и наверху параллелограммы для построения эллипсов. Построив эллипсы, уберите все построения, а затем начертите двуполостный гиперболоид.

Однополосный гиперболоид представляет собой фигуру вращения. Чтобы построить его, нужно следовать определенной методики. Сначала вычерчиваются полуоси, затем, гиперболы и эллипсы. Соединение всех этих элементов поможет составить уже саму пространственную фигуру.

Вам понадобится

• - карандаш,
• - бумага,
• - математический справочник.

Инструкция

Изобразите гиперболу в Xoz. Для этого начертите две полуоси, совпадающие с осью y (действительная полуось) и с осью z (мнимая полуось). Постройте на базе них гиперболу. После этого задайте определенную высоту h а. В завершении на уровне этой заданной проведите прямые, будут параллельны Ox и пересекают при этом график гиперболы в двух : нижней и верхней.

Повторите вышеописанные действия при построении остальных эллипсов. В конечном итоге сформируется чертеж однополостного гиперболоид а.

Однополостный гиперболоид описывается изображенным

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

(краткая информация)

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.

Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.

Поверхности, образуемые вращением прямой линии:

1. - цилиндр вращенияобразуется вращением прямой, параллельной оси;

2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;

3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;

Параллелями поверхности являются окружности.

Меридианом поверхности является гипербола.

Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфераобразуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

где a, b, c – положительные числа.

Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому

Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.

Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.

Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида

Уравнения этих линий:

Первое уравнение преобразуем к виду

Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a 1 и b 1 . Нарисуем полученные сечения (рис. 2).

Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.

Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения

Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.

Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).

Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,

Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.

Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.

Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).

Определитель однополостного гиперболоида S (l , i ^ П 1)

Определитель однополостного гиперболоида (образующая - прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям

S (l, i ^ П 1 , l ° i) (рис. 2-91).

Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.

Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.

Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).

Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l ) от экватора до горла (рис. 2-92):

1. Разбить горловую (А,В,С ...) и нижнюю (1,2,3 ,..) параллели на 12 равных частей;

2. Из точки 4 1 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В 1 и Е 1 ), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р 1 , которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П 2 пройдут через те же точки (4 2 , В 2 , Е 2 ).

3. Для остальных точек построение повторить.

Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:

1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 + y 2 = R 2 ;

2. конус, если образующая пересекает ось вращения k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;

3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются

(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d 2 = 0

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат  центром симметрии однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности, задаваемой уравнением (3.32). Рассмотрим линии пересечения однополостного гиперболоида плоскостями
. Уравнение проекции такой линии на плоскость
получается из уравнения (3.32), если положить в нем
. Имеем:

. (3.33)

Так как всегда
, то можно ввести обозначения

,
, (3.34)

с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид

, (3.35)

т. е. проекция линии пересечения представляет собой эллипс с полуосями и. Наименьший из рассматриваемых эллипсов с полуосями
и
получается при сечении однополостного гиперболоида плоскостью
, т. е. координатной плоскостью
. Этот эллипс называетсягорловым .

С увеличением размеры эллипса неограниченно увеличиваются. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси аппликат.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями
и
, параллельными координатным плоскостям
и
. Проекции этих сечений на соответствующие координатные плоскости являются линиями, задаваемыми уравнениями:

и
. (3.36)

Более подробно остановимся на сечении однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной координатной плоскости
.

Если
, то в проекции на плоскость
получается пара вещественных пересекающихся прямых, определяемых уравнениями
и проходящих через начало координат.

Если
, то в проекции имеем гиперболу с фокусами на оси
(
) или
(
), причем полуоси этих гипербол увеличивается с удалением от начала координат.

Аналогичная картина получается и при сечении плоскостями, параллельными плоскости
. В сечении однополостного гиперболоида координатными плоскостями
и
получаем гиперболы

и
. (3.37)

Величины ,,называются полуосями однополостного гиперболоида.

3.12. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

. (3.38)

Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат  его центром симметрии.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида, определяемого уравнением (3.38), плоскостями
. Уравнение проекции линии пересечения на плоскость
получается из (3.38), если в нем положить
. Уравнение этой проекции имеет вид

. (3.39)

Если
, то (3.39) является уравнением мнимого эллипса и точек пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостью
нет, т. е. в слое между плоскостями
и
не содержится точек рассматриваемой поверхности. Если
, то линия (3.39) вырождается в точки, т. е. плоскости
касаются двуполостного гиперболоида в точках
и
. Если
, то
и можно ввести обозначения

,
. (3.40)

Тогда уравнение (3.39) принимает вид

, (3.41)

т. е. проекция на плоскость
линии пересечения двуполостного гиперболоида и плоскости
представляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.40), поэтому и сама линия пересечения является эллипсом. При удалении от начала координат вдоль оси
происходит увеличение полуосей эллипса.

В силу симметрии относительно плоскости
рассматриваемая поверхность содержит две полости.

При сечении плоскостями
, параллельными
, получаются кривые, которые при проектировании на эту плоскость определяются уравнениями

. (3.42)

Кривые, задаваемые уравнениями (3.42), являются гиперболами, фокусы которых расположены на оси
, причем с увеличением абсолютной величиныувеличивается вещественная полуось гиперболы.

Аналогичные результаты получаются при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости
.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.

Величины ,,называются полуосями двуполостного гиперболоида.

- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка

гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия

Книги

• , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
• Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…