На скільки діляться всі натуральні числа. Загальне уявлення про натуральні числа. Найменше загальне кратне

Натуральні числа

Натуральні числа – це ті числа, які застосовуються для підрахунку різних предметів або для того, щоб вказати порядковий номер якогось предмета серед подібних або однорідних.

Записувати натуральні числа можна за допомогою перших десяти цифр:

Для запису простих натуральних чиселприйнято використовувати десяткову позиційну систему обчислення, де значення будь-якої цифри визначають її місцем в запису.

Натуральні числа – це найпростіші числа, які часто використовуються нами в повсякденному житті. За допомогою цих чисел ми ведемо підрахунки, рахуємо предмети, визначаємо їх кількість, порядок та номер.

З натуральними числами ми починаємо знайомитися з раннього дитинства, тому вони для кожного з нас є звичними та природними.

Загальне уявлення про натуральні числа

Натуральні числа призначені для несення інформації про кількість предметів, їх порядковий номер і безліч предметів.

Людина використовує натуральні числа, оскільки вони доступні як на рівні сприйняття, так і на рівні відтворення. При озвучуванні будь-якого натурального числа, ми з вами легко вловлюємо його на слух, а зобразивши натуральне число – ми його бачимо.

Усі натуральні числа розташовуються в порядку зростання і утворюють числовий ряд, що починається з найменшого натурального числа, яким є одиниця.

Якщо ми визначилися з найменшим натуральним числом, то з найбільшим буде складніше, тому що такого числа немає тому, що ряд натуральних чисел є нескінченним.

При додаванні до натурального числа одиниці, в результаті ми отримаємо число, яке йде за цим числом.

Така цифра, як 0, не є натуральним числом, а тільки служить для позначення числа «нуль» і означає «жодного». 0 означає відсутність у десятковому запису чисел одиниць даного ряду.

Усі натуральні числа позначаються великою латинською літерою N.

Історична довідка позначення натуральних чисел

У давнину людина ще не знала, що таке число і як можна порахувати кількість предметів. Але вже тоді виникла потреба у рахунку, і людина придумала, як можна порахувати спійману рибу, зібрані ягоди тощо.

Трохи пізніше стародавня людина прийшла до того, що потрібну йому кількість простіше записати. Для цих цілей первісні людистали використовувати камінці, та був палички, які збереглися у римських цифрах.

Наступним моментом розвитку системи обчислення стало використання позначеннях деяких чисел букв алфавіту.

До перших систем обчислення відноситься десяткова індійська система та шістдесяткова вавілонська.

Сучасна система обчислення, хоч і називається арабською, але, по суті, є одним з варіантів індійської. Правда в її системі обчислення відсутня цифра нуль, але араби її додали, і система набула нинішнього вигляду.

Десяткова система обчислення

З натуральними числами ми вже познайомилися та навчилися записувати їх за допомогою десяти цифр. Також вам уже відомо, що запис чисел з використанням знаків називається системою обчислення.

Значення цифри у записі числа залежить від її позиції та називається позиційним. Тобто при методах запису натуральних чисел ми використовуємо позиційну систему обчислення.

Ця система ґрунтується на розрядності та десятковості. У десятковій системі обчислення основою її побудови будуть цифри від 0 до 9.

p align="justify"> Особливе місце в такій системі відводиться числу 10, так як, в основному рахунок ведеться десятками.

Таблиця класів та розрядів:

Так, наприклад, 10 одиниць об'єднано в десятки, далі в сотні, тисячі тощо. Тому число 10 є основою системи обчислення і зветься десяткової системи обчислення.

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа- Це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числане існує.

При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2 , трьома — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися і особливі знакидля позначення чисел – попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. До Європи їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

Натуральний ряд- Це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1 .

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому немає.

Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, в якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
• 1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
• 1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів ( найдрібніших частинокречовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву. гугол. Гугол — число, яке має 100 нулів.

У математиці існує кілька різних множин чисел: дійсні, комплексні, цілі, раціональні, ірраціональні, … повсякденному життіми найчастіше використовуємо натуральні числа, тому що ми стикаємося з ними за рахунку та пошуку, позначення кількості предметів.

Вконтакте

Які числа називаються натуральними

З десяти цифр можна записати абсолютно будь-яку суму класів і розрядів. Натуральними значеннями вважаються ті, які використовуються:

• За рахунку будь-яких предметів (перший, другий, третій, … п'ятий, … десятий).
• При позначенні кількості предметів (один, два, три…)

N значення завжди цілі та позитивні. Найбільшого N немає, оскільки безліч цілих значень не обмежена.

Увага!Натуральні числа виходять за рахунку предметів або за позначення їх кількості.

Абсолютно будь-яке число може бути розкладене та представлене у вигляді розрядних доданків, наприклад: 8.346.809=8 мільйонів+346 тисяч+809 одиниць.

Безліч N

Безліч N знаходиться у множині дійсних, цілих та позитивних. На схемі множин вони перебували одне в одному, оскільки безліч натуральних є частиною.

Безліч натуральних чисел позначається буквою N. Ця множина має початок, але не має кінця.

Ще існує розширена множина N, де включається нуль.

Найменше натуральне число

У більшості математичних шкіл найменшим значенням N вважається одиниця, Оскільки відсутність предметів вважається порожнечею.

Але в іноземних математичних школах, наприклад, у французькій, вважається натуральним. Наявність у ряді нуля полегшує підтвердження деяких теорем.

Ряд значень N, що включає нуль, називається розширеним і позначається символом N0 (нульовий індекс).

Ряд натуральних чисел

N ряд – це послідовність усіх N сукупностей цифр. Ця послідовність немає кінця.

Особливість натурального ряду полягає в тому, що наступне число відрізнятиметься на одиницю від попереднього, тобто зростатиме. Але значення не можуть бути негативними.

Увага!Для зручності рахунку існують класи та розряди:

• Одиниці (1, 2, 3),
• Десятки (10, 20, 30),
• Сотні (100, 200, 300),
• Тисячі (1000, 2000, 3000),
• Десятки тисяч (30.000),
• Сотні тисяч (800.000),
• Мільйони (4000000) і т.д.

Усі N

Усі N перебувають у багатьох дійсних, цілих, неотрицательных значень. Вони є їх складовою.

Ці значення йдуть у нескінченність, можуть належати класам мільйонів, мільярдів, квінтильйонів тощо.

Наприклад:

• П'ять яблук, три кошеня,
• Десять рублів, тридцять олівців,
• Сто кілограмів, триста книг,
• Мільйон зірок, три мільйони людей і т.д.

Послідовність N

У різних математичних школах можна зустріти два інтервали, яким належить послідовність N:

від нуля до плюс нескінченності, включаючи кінці, і від одиниці до плюс нескінченності, включаючи кінці, тобто все позитивні цілі відповіді.

N сукупності цифр може бути як парними, і парними. Розглянемо поняття непарності.

Непарні (будь-які непарні закінчуються на цифри 1, 3, 5, 7, 9.) при двох мають залишок. Наприклад, 7:2 = 3,5, 11:2 = 5,5, 23:2 = 11,5.

Що означає парні N

Будь-які парні суми класів закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8. При поділі парних N на 2 залишку не буде, тобто в результаті виходить ціла відповідь. Наприклад, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важливо!Числовий ряд з N не може складатися тільки з парних чи непарних значень, оскільки вони повинні чергуватись: за парним завжди йде непарне, за ним знову парне і т.д.

Властивості N

Як і всі інші множини, N мають свої власні, особливі властивості. Розглянемо властивості N низки (не розширеного).

• Значення, яке є найменшим і яке не слідує ні за яким іншим – це одиниця.
• N є послідовністю, тобто одне натуральне значення слід за іншим(крім одиниці – воно перше).
• Коли ми робимо обчислювальні операції над N сумами розрядів і класів (складаємо, множимо), то у відповіді завжди виходить натуральнезначення.
• При обчисленнях можна використовувати перестановку та поєднання.
• Кожне наступне значення не може бути меншим за попереднє. Також у N ряді діятиме такий закон: якщо число А менше, то в числовому ряді завжди знайдеться С, для якого справедлива рівність: А+С=В.
• Якщо взяти два натуральні вирази, наприклад А і В, то для них буде справедливо один з виразів: А = В, А більше, А менше В.
• Якщо менше В, а менше З, то звідси випливає, що А менше.
• Якщо А менше, то слід, що: якщо додати до них один і той же вираз (С), то А + С менше В + С. Також справедливо, якщо ці значення помножити на З, то АС менше АВ.
• Якщо більше А, але менше З, то справедливо: В-А меншеС-А.

Увага!Усі перераховані вище нерівності дійсні й у зворотному напрямку.

Як називаються компоненти множення

Багато простих і навіть складних завданнях знаходження відповіді залежить від уміння школярів

Числа – це абстрактне поняття. Вони є кількісною характеристикоюоб'єктів і бувають дійсні, раціональні, негативні, цілі та дробові, а також натуральні.

Натуральний ряд зазвичай використовують за рахунку, у якому природним чином виникають позначення кількості. Знайомство з рахунком починається в самому ранньому дитинстві. Який малюк уникнув кумедних лічилок, у яких якраз використовувалися елементи натурального рахунку? "Раз, два, три, чотири, п'ять... Вийшов зайчик погуляти!" або "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, цар вирішив мене повісити..."

Для будь-якого натурального числа можна знайти інше, більше його. Це безліч прийнято позначати буквою N і вважатимуться нескінченним у бік зростання. А ось початок у цього безліч є – це одиниця. Хоча існують французькі натуральні числа, до множини яких входить також і нуль. Але основними відмінними рисамиі того, і іншого множини є той факт, що в них не входять ні дробові, ні негативні числа.

Потреба в перерахунку найрізноманітніших предметів виникла ще в доісторичні часи. Тоді, ймовірно, сформувалося поняття «натуральні числа». Його формування відбувалося протягом усього процесу зміни світогляду людини, розвитку науки та техніки.

Однак не могли ще мислити абстрактно. Їм складно було усвідомити, в чому полягає спільність понять «три мисливці» або «три дерева». Тому при вказівці кількості людей використовувалося одне визначення, а при вказівці тієї самої кількості предметів іншого - зовсім інше визначення.

Причому був надзвичайно коротким. У ньому були лише числа 1 і 2, а закінчувався рахунок поняттям «багато», «стадо», «натовп», «купа».

Пізніше сформувався прогресивніший рахунок, вже ширший. Цікавим є той факт, що існувало всього два числа - 1 і 2, а наступні числа виходили вже додаванням.

Прикладом цього послужили відомості, що дійшли до нас, про числовий ряд австралійського племені. У них 1 означало слово «Енза», а 2 - слово «петчував». Число 3 тому звучало як «Петчевал-Енза», а 4 - вже як «Петчував-Петчував».

Більшість народів еталоном рахунку визнавали пальці. Далі розвиток абстрактного поняття «натуральні числа» пішов шляхом використання зарубок на паличці. І тут постала необхідність позначення десятка іншим знаком. Стародавні люди наші вихід стали використовувати іншу паличку, на якій робилися зарубки, що позначають десятки.

Можливості відтворення чисел надзвичайно розширилися з появою писемності. Спочатку числа зображалися рисками на глиняних табличкахабо папірусі, але поступово почали використовувати інші значки для запису Так з'явилися римські цифри.

Значно пізніше з'явилися відкриті можливість запису чисел порівняно невеликим набором символів. Сьогодні нескладно записати такі величезні числа, як відстань між планетами і кількість зірок. Варто лише навчитися користуватися ступенями.

Евклід в 3 столітті до нашої ери в книзі «Початку» встановлює нескінченність числової множини А Архімед у «Псаміті» розкриває принципи для побудови назв як завгодно великих чисел. Майже до середини 19 століття перед людьми не виникала потреба чіткого формулювання поняття «натуральні числа». Визначення знадобилося з появою аксіоматичного математичного методу.

І в 70-х роках 19 століття сформулював чітке визначення натуральних чисел, засноване на понятті множини. І ось сьогодні ми вже знаємо, що натуральні числа - це всі цілі числа, починаючи від 1 до нескінченності. Маленькі діти, роблячи свій перший крок у знайомстві з царицею всіх наук – математикою – починають вивчати саме ці числа.

Що ж таке натуральні та ненатуральні числа? Як пояснити дитині, а може й не дитині, у чому різниця між ними? Давайте розумітися. Наскільки відомо, ненатуральні та натуральні числа вивчають у 5 класі, і нашою метою є пояснити учням так, щоб вони справді зрозуміли та засвоїли, що та як.

Історія

Натуральні числа – це одне із давніх понять. Давним-давно, коли ще не вміли рахувати і мали поняття про числах, коли їм потрібно було щось перерахувати, наприклад, рибу, тварин, вони вибивали на різних предметахкрапки або рисочки, як це пізніше з'ясувалося археологами. Тоді їм було дуже важко жити, але цивілізація розвинулася спочатку до римської системи числення, та був до десяткової системи числення. Зараз майже всі використовують арабські цифри

Все про натуральні числа

Натуральні числа - це прості числа, якими ми користуємося в повсякденному житті для підрахунку предметів для того, щоб визначити кількість і порядок. В даний час для запису чисел ми використовуємо десяткову систему числення. Щоб записати будь-яке число, ми використовуємо десять цифр - від нуля до дев'яти.

Натуральні числа - це числа, які ми використовуємо при рахунку предметів або вказівці порядкового номерачогось. Приклад: 5, 368, 99, 3684.

Числовим рядом називають натуральні числа, які у порядку зростання, тобто. від одиниці до нескінченності. Такий ряд починається з найменшого числа- 1, а найбільшого натурального числа немає, оскільки ряд чисел просто нескінченний.

Взагалі, нуль - натуральним числом не вважається, тому що він означає відсутність чогось, і рахунок предметів так само відсутній

Арабська система числення – це сучасна система, якою ми користуємося щодня. Вона є одним із варіантів індійської (десяткової).

Така система числення стала сучасною через цифру 0, яку винайшли араби. До цього в індійській системі вона була відсутня.

Ненатуральні числа. Що це?

До натуральних чисел не відносяться негативні числа та нецілі. Значить, вони і є – ненатуральні числа

Нижче наведено приклади.

Ненатуральні числа бувають:

• Негативні числа, наприклад: -1, -5, -36.. і таке інше.
• Раціональні числа, що виражені десятковими дробами: 4,5, -67, 44,6.
• У вигляді простого дробу: 1/2, 40 2/7 і т.д.

Ірраціональні числа, такі, як e = 2,71828, √2 = 1,41421 тощо.

Ми сподіваємося, що дуже допомогли вам розібратися з ненатуральними та натуральними числами. Тепер вам стане легше пояснити своєму малюкові цю тему, і він зрозуміє її так само добре, як великі математики!