Objave z oznako "korenine trigonometrične enačbe na intervalu". Trigonometrični krog. Ultimate Guide (2019)

Ta članek je lahko v pomoč srednješolcem, pa tudi učiteljem pri reševanju trigonometričnih enačb in izbiranju korenov, ki pripadajo določenemu intervalu. Odvisno od omejitev, ki so podane za pridobljene korenine, morate uporabiti različne metode izbira korenin, to pomeni, da morate uporabiti metodo, ki bo jasneje pokazala pravilen rezultat.

Oglejte si vsebino dokumenta
“NAČINI IZBIRE KORENIN TRIGONMETRIČNIH ENAČB”

METODE IZBIRE KORENIN TRIGONMETRIČNIH ENAČB

Popova Tatyana Sergeevna, učiteljica matematike, računalništva, fizike MCOU BGO Srednja šola Petrovskaya

Enotni državni izpit iz matematike vključuje naloge, povezane z reševanjem enačb. Obstajajo linearne, kvadratne, racionalne, iracionalne, eksponentne, logaritemske in trigonometrične enačbe. Te enačbe so potrebne: prvič, rešiti, to je najti vse njihove rešitve, in drugič, izbrati korenine, ki pripadajo enemu ali drugemu intervalu. V tem članku bomo obravnavali primer reševanja trigonometrične enačbe in izbire njenih korenin na različne načine. Glede na omejitve, ki so podane za pridobljene korenine, morate uporabiti različne metode za izbiro korenin, to pomeni, da morate uporabiti metodo, ki bo jasneje pokazala pravilen rezultat.

Razmislimo o treh načinih izbire korenin:

Uporaba enotskega kroga;

Uporaba neenakosti;

Uporaba grafa.

Vklopljeno konkreten primer Oglejmo si te metode.

Naj bo dana naslednja naloga:

a) Reši enačbo

b) Označite korenine te enačbe, ki pripadajo odseku.

Najprej rešimo to enačbo:

Z uporabo formule dvojnega kota in formule duha dobimo:

Od tod, oz. Če rešimo vsako enačbo, dobimo:

; oz
.

b) Korenine lahko izberete z enotskim krogom (slika 1), vendar se otroci zmedejo, saj je dani interval lahko večji od dolžine kroga in ga je težko upodobiti, če ga nanesemo na krog:

Dobimo številke:

Uporabite lahko metodo neenakosti. Upoštevajte, da če je podan segment, potem neenakost ni stroga, in če je interval, potem je neenakost stroga. Preverimo vsako korenino

Glede na to -3,-2. Če nadomestimo n v korensko formulo, dobimo korenine ; x=

Podobno najdemo korenine za,

k- ni celih,

1, nadomestite v skupni koren

Dobili smo popolnoma enake korenine kot z enotskim krogom.

Morda je ta metoda bolj okorna, vendar smo iz lastnih izkušenj pri reševanju tovrstnih enačb in izbiranju korenov z učenci opazili, da šolarji z metodo neenakosti delajo manj napak.

Z uporabo istega primera razmislimo o izbiri korenov enačbe z uporabo grafa (slika 2)

Dobimo tudi tri korenine:

Otroke moramo naučiti uporabljati vse tri načine izbiranja korenov, potem pa naj se sami odločijo, kateri način jim je lažji in kateri bližji. Ali je vaša odločitev pravilna, se lahko prepričate tudi sami z uporabo različne načine.

Uporabljena literatura:

http://yourtutor.info

http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Vrsta lekcije: Pouk ponavljanja, posploševanja in sistematizacije preučene snovi.

Cilj lekcije:

• izobraževalni: utrditi sposobnost izbire korenin trigonometrične enačbe na številskem krogu; spodbujati študente k obvladovanju racionalnih tehnik in metod za reševanje trigonometričnih enačb;
• razvoj: razvijati logično razmišljanje, sposobnost poudariti glavno stvar, posplošiti, pripraviti pravilne logične zaključke ;
• izobraževalni: negovanje takih karakternih lastnosti, kot so vztrajnost pri doseganju cilja, sposobnost, da se ne zmedete v težavni situaciji.

Oprema: multimedijski projektor, računalnik.

Napredek lekcije

I. Organizacijski trenutek.

Preverjanje pripravljenosti na lekcijo, pozdrav.

II. Postavljanje ciljev.

Francoski pisatelj Anatole France je nekoč rekel: »...Če želite prebaviti znanje, ga morate absorbirati z apetitom.« Zato sledimo temu danes pameten nasvet in z veliko željo bomo absorbirali znanje, saj vam bo v bližnji prihodnosti koristilo na enotnem državnem izpitu.

Danes bomo v lekciji nadaljevali z vadbo veščin izbire korenin v trigonometrične enačbe z uporabo številskega kroga. Krog je primeren za uporabo tako pri izbiri korenin na intervalu, katerega dolžina ne presega 2π, in v primeru, ko so vrednosti inverzne trigonometrične funkcije niso tabelarični. Pri izpolnjevanju nalog bomo uporabljali ne le preučene metode in metode, temveč tudi nestandardne pristope.

III. Posodabljanje osnovnega znanja.

1. Rešite enačbo: (Slide 3-5)

a) cosx = 0
b) cosx = 1
c) cosx = - 1
d) sinx = 1
e) sinx = 0
e) sinx = - 1
g) tgx = 1
h) tgx = 0

2. Izpolnite prazna polja: (diapozitiv 6)

greh2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. Pokažite naslednje segmente na številskem krogu (diapozitiv 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].

4. Z uporabo Vietovega izreka in njegovih posledic poiščite korenine enačb: (Slide 8)

t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0

IV. Delanje vaj.

(Slide 9)

Različne metode preoblikovanja trigonometrične izraze nas potiska k izbiri bolj racionalnega.

1. Reši enačbe: (En učenec rešuje na tabli. Ostali sodelujejo pri izboru racionalna metoda rešitve in jih zapiši v zvezek. Učitelj spremlja pravilnost sklepanja učencev.)

1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [-7π/2; - 2π].

rešitev.

[-7π/2; -2π]

Dobimo številke:- 7π/2; -19π/6;-5π/2.

Odgovor: a)π /2+ πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, nЄ Z; b) - 7π/2, -19π/6, -5π/2.

2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Označite korene, ki pripadajo segmentu [-π; π/2].

rešitev.

a) Obe strani enačbe delite zcos 2 x=0. Dobimo:

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-π; π/2]

Dobimo številke:- π+ arctg3 ; -π/4;arctg3.

Odgovor: a) - π /4+ πn, arctg3+ πn, nЄ Z; b) - π+ arctg3 , -π/4,arctg3.

3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [π; 3π].

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[π; 3π]

Dobimo števila: π; 4π/3; 8π/3;3π.

Odgovor: a) π +2 πn, ±2π /3+2 πn, nЄ Z; b)π, 4π/3, 8π/3,3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [ 2π;7π/2] .

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[; 7π/2]

Dobimo števila: 9π/4; 3π-arctg5;1 3π/4.

Odgovor: a)π /4+ πn, - arctg5+ πn, nЄ Z; b)9π/4, 3π-arctg5, 1 3π/4.

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Označite korene, ki pripadajo segmentu [-2π; -π/2].

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-2 π; -π/2]

Dobimo števila: -5π/3;-π .

Odgovor: a)π +2 πn, ± π /3+2 πn, nЄ Z; b)-5π/3;-π .

2. Delo v parih: (Dva učenca delata na stranskih tablah, ostali v zvezkih. Naloge se nato preverijo in analizirajo.)

Reši enačbe:

rešitev.

Glede na totgx≠1 intgx>0, Izberimo korenine s pomočjo številskega kroga.Dobimo:

x = arccos√2/3+2 πn, nЄ Z.

odgovor:arccos√2/3+2 πn, nЄ Z.

6cos2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Označite korene, ki pripadajo segmentu [-3π/2; - π/2].

rešitev.

a) 6(cos 2 x- greh 2 x)-14 cos 2 x-14 cosxsinx=0; 6 cos 2 x-6 greh 2 x-14 cos 2 x-14 cosxsinx=0;

3 greh 2 x+7 cosxsinx+4 cos 2 x=0 Obe strani enačbe delite zcos 2 x=0. Dobimo:

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-3π/2; -π/2]

Dobimo številke: -5π /4;- π - arctg4/3.

Odgovor: a)- π /4+ πn, - arctg4/3+ πn, nЄ Z; b)-5π/4, -π - arctg4/3.

3. Samostojno delo . (Po končanem delu si učenci izmenjajo zvezke in preverijo delo svojega sošolca ter popravijo napake (če obstajajo) s peresom z rdečim črnilom.)

Reši enačbe:

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [-3π; -2π].

rešitev.

a) 2(1- greh 2 x)+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; 2-2 greh 2 x+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; -2 sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-3π; -2π].

Dobimo številke: -11π /4;-9 π /4.

Odgovor: a) π /2+2 πn, - π /4+2 πn, -3 π /4+2 πn, nЄ Z; b)-11π/4, -9π /4 .

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Določite korenine, ki pripadajo segmentu

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku.

Dobimo številke: 13π /4;3 π ;4 π .

Odgovor: a)πn, ±3π /4+2 πn, nЄ Z; b) 13 π /4,3 π , 4 π .

3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [-4π; -5π/2]

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-4π;-5π/2].

Dobimo številke:-19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.

Odgovor: a)π /2+2 πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, nЄ Z; b)-19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.

V. Povzetek lekcije.

Izbiranje korenov v trigonometričnih enačbah zahteva dobro poznavanje formul, sposobnost njihove uporabe v praksi ter zahteva pozornost in inteligenco.

VI. Faza refleksije.

(Slide 10)

Na stopnji refleksije so učenci pozvani, da sestavijo sinkvin v pesniški obliki

izrazite svoj odnos do gradiva, ki ga preučujete.

Na primer:

krog.
Numerično, trigonometrično.
Študijmo, razumejmo, zanimajmo se.
Prisoten na Enotnem državnem izpitu.
Realnost.

VII. domača nalogae.

1. Rešite enačbe:

2. Praktična naloga.

Sestavite dve trigonometrični enačbi, ki vsebujeta formule z dvojnimi argumenti.

VIII. Literatura.

Enotni državni izpit-2013: Matematika: najbolj popolna izdaja standardnih različic nalog / avtorjeva zbirka. I.V. Jaščenko, I.R. Vysotsky; uredil A.L. Semjonova, I.V. Jaščenko - M.:AST: Astrel, 2013.

Št. 10 (757) OBJAVLJENO OD 1992 mat.1september.ru Tema številke Preizkus znanja Naš projekt Tekmovanja Pozor - Ustvarjalna analiza lekcije Ural Cup na močan izpit“Aksiom študenta o vzporednih premicah” c. 16. ura 20. ura 44 7 6 5 4 3 različica revije ja va l 2 o n a n a n e r t e l e l n i d o p o t e r a l s 1 m a i n e t b m a c h i n Li t e r u s 1 2 3 4 5 6 0 r. w w bo w. 1 m september oktober 1september.ru 2014 matematična Naročnina na spletni strani www.1september.ru ali prek kataloga Ruske pošte: 79073 (papirna različica); 12717 (CD različica) razredi 10–11 Izbirno usposabljanje S. MUGALLIMOVA, pos. Bely Yar, regija Tyumen. . Medtem se trigonometrični aparat uporablja v številnih aplikacijah matematike, delovanje s trigonometričnimi funkcijami pa je potrebno za izvajanje znotrajpredmetnih in medpredmetnih povezav pri poučevanju matematike. 5π, ki izpolnjuje pogoje tg x = 3 in −3π< x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ-  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  . ствующие требуемым значениям тригонометри-  2 2  ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со-  3π 5π  ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈  − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить  2 2  π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0.  π  − cos x ряющие условию x ∈  − ; 2π  .  2  Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме  tg x = 1, π 3  вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6  cos x < 0.  π  условия x ∈  − ; 2π  , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности  2  корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  .  2 2  Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2  3π 5π  графика на промежутке  − ;  .  2 2  Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6  cos x = 0,  16 − x >0. 2 Tako ima enačba na danem intervalu štiri korene: Iz enačbe cos x = 0 dobimo: x = + πn, n ∈ Z. 2 π 5π 13π 7π , − .

Rešitve neenačbe 16 – x2 > 0 pripadajo intervalu 6 6 6 6 (–4; 4). Za zaključek poudarimo nekaj točk.

13. Izvedimo izčrpno iskanje: Veščina, povezana z iskanjem rešitev, ki zadovoljujejo dane vrednosti argumenta, če je n = 0, potem je x = + π ⋅0 = ≈ ∈(−4; 4);

2 2 2 je pomemben pri reševanju številnih aplikativnih problemov in to veščino je potrebno razviti - če je n = 1, potem je x = + π = ≈ ∉(−4; 4);

2 2 2 mo v procesu preučevanja vsega trigonometrično - če je n ≥ 1, potem dobimo vrednosti x, večje od 4; ruski material.

14. π π 3, 14 V procesu učenja reševanja nalog, pri katerih - če je n = –1, potem x = −π= − ≈ − ∈(−4; 4);

2 2 2 potrebno je izbrati korenine trigonometrične enačbe, π 3π 3 ⋅ 3, 14 se pogovorimo z učenci, če je n = –2, potem je x = − 2π = − ≈− ∉(−4; 4);

2 2 2 različna načina za izvedbo tega dejanja in če je n ≤ –2, potem bomo dobili x vrednosti, manjše od –4. ugotovite tudi primere, ko je ena ali druga metoda lahko najbolj priročna ali, na- Ta enačba ima dva korena: in - .

15. 2 2 obrat, neuporaben.

16. matematika oktober 2014 32 Na vašo željo! Rešite enačbo 3-4cos 2 x=0. Poiščite vsoto njegovih korenin, ki pripadajo intervalu.

Zmanjšajmo stopnjo kosinusa z uporabo formule: 1+cos2α=2cos 2 α. Dobimo ekvivalentno enačbo:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Obe strani enakosti delimo z (-2) in dobimo najenostavnejšo trigonometrično enačbo: Poiščite b 5 geometrijske progresije, če je b 4 =25 in b 6 =16. Vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini sosednjih členov:(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Imamo (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.

Poiščite odvod funkcije: f(x)=tgx-ctgx.

Poiščite največje in

najmanjša vrednost

funkcije y(x)=x 2 -12x+27

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Zdaj izberemo med tremi dobljenimi vrednostmi: 0; -8 in -9 največji in najmanjši: pri največjem. =0; po imenu =-9.

17. Najdi splošni pogled antiderivati ​​za funkcijo:

Ta interval je domena definicije te funkcije. Odgovori se morajo začeti s F(x) in ne s f(x) - navsezadnje iščemo antiizpeljavo. Po definiciji je funkcija F(x) protiodpeljava funkcije f(x), če velja enakost: F’(x)=f(x). Tako lahko preprosto najdete izpeljanke predlaganih odgovorov, dokler jih ne dobite to funkcijo. Stroga rešitev je izračun integrala dane funkcije. Uporabljamo formule:

19. Napišite enačbo za premico, ki vsebuje mediano BD trikotnika ABC, če so njegova oglišča A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Če želite sestaviti enačbo premice, morate poznati koordinate 2 točk te premice, mi pa poznamo samo koordinate točke B. Ker mediana BD deli nasprotno stran na pol, je točka D središče segmenta AC. Koordinate sredine segmenta so polovične vsote ustreznih koordinat koncev segmenta. Poiščimo koordinate točke D.

20. Izračunajte:

24. Območje pravilnega trikotnika, ki leži na dnu prave prizme, je enako

Ta problem je nasproten problemu št. 24 iz možnosti 0021.

25. Poišči vzorec in vstavi manjkajoče število: 1; 4; 9; 16; ...

Očitno ta številka 25 , saj nam je dano zaporedje kvadratov naravnih števil:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Srečno in uspešno vsem!

Cilj lekcije:

1. Ponovi formule za reševanje najenostavnejših trigonometričnih enačb.
2. Razmislite o treh glavnih metodah izbire korenin pri reševanju trigonometričnih enačb:
   izbor po neenakosti, izbor po imenovalcu in izbor po intervalu.

Oprema: Multimedijska oprema.

Metodični komentar.

1. Učence opozorite na pomembnost teme lekcije.
2. Trigonometrične enačbe, ki zahtevajo izbiro korena, pogosto najdemo v tematiki Preizkusi enotnega državnega izpita;
   reševanje tovrstnih problemov omogoča učencem utrjevanje in poglabljanje predhodno pridobljenega znanja.

Napredek lekcije

Ponavljanje. Koristno je spomniti se formul za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb (zaslon).

Vrednote	Enačba	Formule za reševanje enačb
	sinx=a
	sinx=a	pri enačba nima rešitev
a=0	sinx=0
a=1	sinx= 1
a= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	enačba nima rešitev
a=0	cosx=0
a=1	cosx= 1
a= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

Pri izbiranju korenin v trigonometričnih enačbah, zapisovanju rešitev enačb sinx=a, сosx=a kot celota bolj upravičena. O tem se bomo prepričali pri reševanju problemov.

Reševanje enačb.

Naloga. Reši enačbo

rešitev. Ta enačba je enakovredna naslednjemu sistemu

Razmislite o krogu. Na njem označimo korenine vsakega sistema in z lokom označimo tisti del kroga, kjer je neenakost ( riž. 1)

riž. 1

To razumemo ne more biti rešitev prvotne enačbe.

odgovor:

V tej nalogi smo izbrali korenine z neenakostjo.

V naslednji nalogi bomo izvedli selekcijo po imenovalcu. Da bi to naredili, bomo izbrali korenine števca, vendar takšne, da ne bodo korenine imenovalca.

Naloga 2. Reši enačbo.

rešitev. Zapišimo rešitev enačbe z uporabo zaporednih enakovrednih prehodov.

Pri reševanju enačbe in neenačbe sistema v rešitev postavimo različne črke, ki predstavljajo cela števila. Kot ponazarjamo na sliki, na krogu označimo korenine enačbe s krogci, korenine imenovalca pa s križci (slika 2.)

riž. 2

Iz slike je jasno razvidno, da – rešitev izvirne enačbe.

Naj učence opozorimo na dejstvo, da je bilo lažje izbrati korenine po sistemu z vrisom ustreznih točk na krožnici.

odgovor:

Naloga 3. Reši enačbo

3sin2x = 10 cos 2 x – 2/

Poiščite vse korenine enačbe, ki pripadajo segmentu.

rešitev. V tem problemu so koreni izbrani v interval, ki je določen s pogojem problema. Izbor korenin v interval lahko izvedemo na dva načina: z iskanjem po vrednostih spremenljivke za cela števila ali z reševanjem neenačbe.

Pri tej enačbi bomo korene izbirali po prvi metodi, pri naslednji nalogi pa z reševanjem neenačbe.

Uporabimo glavno trigonometrična identiteta in formula dvojnega kota za sinus. Dobimo enačbo

6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, tiste. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

Ker drugače sinx = 0, kar ne more biti, saj ni kotov, za katere bi bila oba sinus in kosinus enaka nič, kar pomeni sin 2 x+ cos 2 x = 0.

Razdelimo obe strani enačbe z cos 2 x. Dobimo tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

Naj tgx = t, Potem t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2, t 2 = –8.

tgx = 2 oz tg = –8;

Oglejmo si vsako serijo posebej, poiščimo točke znotraj intervala ter eno točko levo in desno od njega.

če k=0, To x=arctg2. Ta koren pripada obravnavanemu intervalu.

če k=1, To x=arctg2+. Tudi ta koren spada v obravnavani interval.

če k=2, To . Jasno je, da ta koren ne spada v naš interval.

Upoštevali smo eno točko desno od tega intervala, torej k=3,4,… se ne upoštevajo.

če k = –1, dobimo – ne pripada intervalu .

Vrednote k = –2, –3,… se ne upoštevajo.

Tako iz te serije dva korena pripadata intervalu

Podobno kot v prejšnjem primeru poskrbimo, da kdaj n = 0 in n = 2, in torej kdaj p = –1, –2,…p = 3,4,… dobili bomo korenine, ki ne pripadajo intervalu. Šele ko n=1 dobimo , ki pripada temu intervalu.

odgovor:

Naloga 4. Reši enačbo 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 in navedite korenine, ki pripadajo intervalu.

rešitev. Dajmo enačbo 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 Za kvadratna enačba relativno cos2x.

kje cos2x

Tukaj uporabimo metodo selekcije v interval z uporabo dvojne neenakosti

Ker Za zavzema samo celoštevilske vrednosti, je možno le k=2,k=3.

pri k=2 dobimo , z k=3 bomo prejeli.

odgovor:

Metodološki komentar. Priporočljivo je, da učitelj rešuje te štiri naloge ob tabli ob sodelovanju učencev. Za rešitev naslednjega problema je bolje, da k hčerki pokličete močnega učenca in mu omogočite največjo neodvisnost pri razmišljanju.

Naloga 5. Reši enačbo

rešitev. S preoblikovanjem števca enačbo reduciramo na preprostejšo obliko

Nastala enačba je enakovredna kombinaciji dveh sistemov:

Izbor korenin v intervalu (0; 5) Naredimo to na dva načina. Prva metoda je za prvi sistem agregata, druga metoda je za drugi sistem agregata.

, 0.

Ker Za je torej celo število k=1. Potem x =– rešitev izvirne enačbe.

Razmislite o drugem sistemu agregata

če n=0, To . pri n = -1; -2;… rešitve ne bo.

če n=1, – rešitev sistema in s tem izvirne enačbe.

če n=2, To

Odločitev ne bo.