VhodRešite integralno enačbo spletno preverjanje logaritemske enačbe. Reševanje logaritemskih enačb. Kako rešiti, s primeri
glavne lastnosti.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
enake podlage
Log6 4 + log6 9.
Zdaj pa malo zapletimo nalogo.
Primeri reševanja logaritmov
Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:
Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Prehod na novo podlago
Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Glej tudi:
Osnovne lastnosti logaritma
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja.
Osnovne lastnosti logaritmov
Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.
Primeri za logaritme
Logaritemski izrazi
Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo 
2.
3. 
4. 
kje 
.
Primer 2. Poiščite x, če
Primer 3. Naj bo podana vrednost logaritmov
Izračunajte log(x), če
Osnovne lastnosti logaritmov
Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.
Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.
Seštevanje in odštevanje logaritmov
Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Upoštevajte: ključna točka tukaj - enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!
Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:
Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.
Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi so zgrajeni na tem dejstvu testi. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).
Ekstrakcija eksponenta iz logaritma
To je enostavno opaziti zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.
Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.
Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Vse do samega zadnji trenutek delamo samo z imenovalcem.
Logaritemske formule. Logaritmi primeri rešitve.
Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.
Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.
Prehod na novo podlago
Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?
Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:
Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:
Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:
Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.
Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.
Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.
Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:
Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:
Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:
Osnovna logaritemska identiteta
Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:
V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je samo logaritemska vrednost.
Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .
Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.
Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:
Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)
Logaritemska enota in logaritemska ničla
Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.
- logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
- loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.
To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.
Glej tudi:
Logaritem b na osnovi a označuje izraz. Izračunati logaritem pomeni najti potenco x (), pri kateri je enakost izpolnjena
Osnovne lastnosti logaritma
Zgornje lastnosti je treba poznati, saj so skoraj vsi problemi in primeri, povezani z logaritmi, rešeni na njihovi podlagi. Ostale eksotične lastnosti je mogoče izpeljati z matematičnimi manipulacijami s temi formulami
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Pri izračunu formule za vsoto in razliko logaritmov (3.4) naletite precej pogosto. Ostali so nekoliko zapleteni, vendar so v številnih nalogah nepogrešljivi za poenostavitev kompleksnih izrazov in izračun njihovih vrednosti.
Pogosti primeri logaritmov
Nekateri pogosti logaritmi so tisti, pri katerih je osnova celo deset, eksponentna ali dve.
Logaritemu na osnovi deset se običajno reče decimalni logaritem in ga preprosto označimo z lg(x).
Iz posnetka je razvidno, da v posnetku niso zapisane osnove. Na primer
Naravni logaritem je logaritem, katerega osnova je eksponent (označen z ln(x)).
Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja. Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.
In še en pomemben logaritem z osnovo dve je označen z
Odvod logaritma funkcije je enak ena deljeno s spremenljivko
Integralni ali antiderivacijski logaritem je določen z razmerjem
Dano gradivo je dovolj, da rešite širok razred nalog, povezanih z logaritmi in logaritmi. Da boste lažje razumeli snov, bom navedel le nekaj običajnih primerov iz šolski kurikulum in univerze.
Primeri za logaritme
Logaritemski izrazi
Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo
2.
Z lastnostjo razlike logaritmov imamo
3.
Z uporabo lastnosti 3.5 najdemo
4. kje .
Navidezno zapleten izraz je poenostavljen v obliki z uporabo številnih pravil
Iskanje vrednosti logaritmov
Primer 2. Poiščite x, če
rešitev. Za izračun uporabimo zadnji člen 5 in 13 lastnosti
Zabeležimo in žalujemo
Ker sta bazi enaki, izraza enačimo
Logaritmi. Začetna raven.
Naj bo podana vrednost logaritmov
Izračunajte log(x), če
Rešitev: Vzemimo logaritem spremenljivke, da zapišemo logaritem skozi vsoto njenih členov
To je šele začetek našega spoznavanja logaritmov in njihovih lastnosti. Vadite računanje, obogatite svoje praktične spretnosti - pridobljeno znanje boste kmalu potrebovali za reševanje logaritemskih enačb. Ko smo preučili osnovne metode reševanja takšnih enačb, bomo vaše znanje razširili na drugo, enako pomembno temo - logaritemske neenakosti ...
Osnovne lastnosti logaritmov
Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.
Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.
Seštevanje in odštevanje logaritmov
Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!
Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log6 4 + log6 9.
Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.
Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).
Ekstrakcija eksponenta iz logaritma
Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:
Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.
Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem.
Kako rešiti logaritme
To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.
Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.
Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.
Prehod na novo podlago
Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?
Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:
Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:
Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:
Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.
Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.
Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.
Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:
Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.
Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:
Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:
Osnovna logaritemska identiteta
Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:
V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je samo logaritemska vrednost.
Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .
Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.
Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:
Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)
Logaritemska enota in logaritemska ničla
Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.
- logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
- loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.
To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.
Reševanje logaritemskih enačb. 1. del
Logaritemska enačba je enačba, v kateri je neznanka pod znakom logaritma (predvsem v osnovi logaritma).
Najenostavnejši logaritemska enačba ima obliko:
Reševanje poljubne logaritemske enačbe vključuje prehod od logaritmov k izrazom pod znakom logaritmov. Vendar pa to dejanje razširi obseg dovoljenih vrednosti enačbe in lahko privede do pojava tujih korenin. Da bi se izognili pojavu tujih korenin, lahko storite enega od treh načinov:
1. Naredite enakovreden prehod od prvotne enačbe do sistema, vključno z
odvisno od tega katera neenakost ali enostavnejši.
Če enačba vsebuje neznanko v osnovi logaritma:
potem gremo v sistem:
2. Ločeno poiščite obseg sprejemljivih vrednosti enačbe, nato reši enačbo in preveri, ali najdene rešitve ustrezajo enačbi.
3. Reši enačbo in nato preveri: najdene rešitve nadomestimo v prvotno enačbo in preverimo, ali dobimo pravilno enakost.
Logaritemska enačba katere koli stopnje kompleksnosti se na koncu vedno reducira na najpreprostejšo logaritemsko enačbo.
Vse logaritemske enačbe lahko razdelimo na štiri vrste:
1 . Enačbe, ki vsebujejo logaritme samo na prvo potenco. S pomočjo transformacij in uporabe jih pripeljemo do oblike
Primer. Rešimo enačbo:
Izenačimo izraze pod logaritmom:
Preverimo, ali naš koren enačbe izpolnjuje:
Da, zadovoljuje.
Odgovor: x=5
2 . Enačbe, ki vsebujejo logaritme na potenco, ki ni 1 (zlasti v imenovalcu ulomka). Takšne enačbe je mogoče rešiti z uporabo uvajanje spremembe spremenljivke.
Primer. Rešimo enačbo:
Poiščimo enačbo ODZ:
Enačba vsebuje logaritme na kvadrat, zato jo je mogoče rešiti s spremembo spremenljivke.
Pomembno! Preden uvedete zamenjavo, morate logaritme, ki so del enačbe, "razstaviti" v "opeke" z uporabo lastnosti logaritmov.
Pri "razstavljanju" logaritmov je pomembno, da zelo previdno uporabljate lastnosti logaritmov:
Poleg tega je tukaj še ena subtilna točka in da bi se izognili pogosti napaki, bomo uporabili vmesno enakost: stopnjo logaritma bomo zapisali v tej obliki:
prav tako
Zamenjajmo nastale izraze v prvotno enačbo. Dobimo:
Zdaj vidimo, da je neznanka v enačbi kot del . Predstavimo zamenjavo: . Ker lahko sprejme katero koli realno vrednost, spremenljivki ne nalagamo nobenih omejitev.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-pošta itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Zbrano pri nas osebni podatki omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Opozoriti je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.
Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:
Osnovna logaritemska identiteta:
Lastnosti logaritmov, ki si jih moramo vedno zapomniti:
*Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.
* * *
*Logaritem količnika (ulomka) je enak razliki med logaritmi faktorjev.
* * *
*Logaritem eksponenta je enak produktu eksponenta in logaritma njegove osnove.
* * *
*Prehod na novo podlago
* * *
Več nepremičnin:
* * *
Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.
Naštejmo jih nekaj:
Bistvo te lastnosti je, da ko se števec prenese na imenovalec in obratno, se znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:
Posledica te lastnosti:
* * *
Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.
* * *
Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da potrebujete dobro prakso, ki vam daje določeno spretnost. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pri pretvorbi elementarnih logaritmov ni bila razvita, potem pri reševanju preproste naloge Lahko se zmotiš.
Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "grdi" logaritmi; ti ne bodo prikazani na enotnem državnem izpitu, vendar so zanimivi, ne zamudite jih!
To je vse! Vso srečo!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Kot veste, se pri množenju izrazov s potencami njihovi eksponenti vedno seštevajo (a b *a c = a b+c). Ta matematični zakon je izpeljal Arhimed, pozneje, v 8. stoletju, pa je matematik Virasen ustvaril tabelo celih eksponentov. Prav ti so služili za nadaljnje odkrivanje logaritmov. Primere uporabe te funkcije je mogoče najti skoraj povsod, kjer morate poenostaviti okorno množenje s preprostim seštevanjem. Če porabite 10 minut za branje tega članka, vam bomo razložili, kaj so logaritmi in kako delati z njimi. Enostavno in dostopen jezik.
Definicija v matematiki
Logaritem je izraz v naslednji obliki: log a b=c, kar pomeni, da je logaritem katerega koli nenegativnega števila (to je katerega koli pozitivnega) "b" na njegovo osnovo "a" potenca "c". ”, na katero je potrebno dvigniti osnovo “a”, da na koncu dobimo vrednost “b”. Analizirajmo logaritem s primeri, recimo, da obstaja izraz log 2 8. Kako najti odgovor? Zelo preprosto je, najti morate takšno potenco, da od 2 do zahtevane potence dobite 8. Po nekaj izračunih v glavi dobimo številko 3! In to je res, ker 2 na potenco 3 daje odgovor 8.
Vrste logaritmov
Za mnoge učence in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako strašljivi, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in se spomniti njihovih lastnosti in nekaterih pravil. Obstajajo tri ločene vrste logaritemskih izrazov:
- Naravni logaritem ln a, kjer je osnova Eulerjevo število (e = 2,7).
- Decimalno a, kjer je osnova 10.
- Logaritem poljubnega števila b na osnovo a>1.
Vsak od njih je rešen na standarden način, vključno s poenostavitvijo, redukcijo in kasnejšo redukcijo na en sam logaritem z uporabo logaritemskih izrekov. Prejeti pravilne vrednosti logaritmov, si morate pri reševanju zapomniti njihove lastnosti in zaporedje dejanj.
Pravila in nekatere omejitve
V matematiki obstaja več pravil-omejitev, ki so sprejete kot aksiom, to pomeni, da niso predmet razprave in so resnica. Števil je na primer nemogoče deliti z nič, prav tako je nemogoče izluščiti sodi koren negativnih števil. Logaritmi imajo tudi svoja pravila, po katerih se zlahka naučite delati tudi z dolgimi in obsežnimi logaritemskimi izrazi:
- Osnova "a" mora biti vedno večja od nič in ne enaka 1, sicer bo izraz izgubil svoj pomen, ker sta "1" in "0" do katere koli stopnje vedno enaka svojim vrednostim;
- če je a > 0, potem a b >0, se izkaže, da mora biti tudi "c" večji od nič.
Kako rešiti logaritme?
Naloga je na primer najti odgovor na enačbo 10 x = 100. To je zelo enostavno, izbrati morate potenco tako, da povišate število deset, na kar dobimo 100. To je seveda 10 2 = 100.
Zdaj predstavimo ta izraz v logaritemski obliki. Dobimo log 10 100 = 2. Pri reševanju logaritmov se vsa dejanja praktično združijo, da bi našli potenco, na katero je treba vnesti osnovo logaritma, da dobimo dano število.
Za natančno določitev vrednosti neznana stopnja se morate naučiti delati s tabelo stopinj. Videti je takole:
Kot lahko vidite, lahko nekatere eksponente ugibate intuitivno, če imate tehnično miselnost in poznavanje tabele množenja. Vendar pa boste za večje vrednosti potrebovali tabelo moči. Uporabljajo ga lahko tudi tisti, ki o kompleksnih matematičnih temah ne vedo prav nič. Levi stolpec vsebuje števila (osnova a), zgornja vrstica števil je vrednost potence c, na katero je povzdignjeno število a. Na presečišču celice vsebujejo številske vrednosti, ki so odgovor (a c =b). Vzemimo na primer prvo celico s številko 10 in jo kvadriramo, dobimo vrednost 100, ki je navedena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo razumel tudi najbolj pravi humanist!
Enačbe in neenačbe
Izkazalo se je, da je pod določenimi pogoji eksponent logaritem. Zato lahko vse matematične numerične izraze zapišemo kot logaritemsko enakost. Na primer, 3 4 =81 lahko zapišemo kot osnovni logaritem 3 od 81, ki je enak štirim (log 3 81 = 4). Za negativne potence so pravila enaka: 2 -5 = 1/32 zapišemo kot logaritem, dobimo log 2 (1/32) = -5. Eden najbolj fascinantnih delov matematike je tema "logaritmov". Spodaj si bomo ogledali primere in rešitve enačb, takoj po študiju njihovih lastnosti. Zdaj pa poglejmo, kako so videti neenakosti in kako jih ločiti od enačb.
Podan je naslednji izraz: log 2 (x-1) > 3 - gre za logaritemsko neenakost, saj je neznana vrednost “x” pod logaritemskim predznakom. In tudi v izrazu se primerjata dve količini: logaritem želenega števila na osnovi dve je večji od števila tri.
Najpomembnejša razlika med logaritemskimi enačbami in neenačbami je v tem, da enačbe z logaritmi (na primer logaritem 2 x = √9) pomenijo eno ali več določenih številskih vrednosti v odgovoru, medtem ko pri reševanju neenačbe oboje obseg sprejemljivih vrednosti in točke so določene s prelomom te funkcije. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih števil, kot pri odgovoru na enačbo, temveč neprekinjen niz ali niz števil.
Osnovni izreki o logaritmih
Pri reševanju primitivnih nalog iskanja vrednosti logaritma njegove lastnosti morda niso znane. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenačbe, je najprej treba jasno razumeti in v praksi uporabiti vse osnovne lastnosti logaritmov. Pozneje si bomo ogledali primere enačb; najprej si podrobneje oglejmo vsako lastnost.
- Glavna identiteta je videti takole: a logaB =B. Velja le, če je a večje od 0, ni enako ena, in je B večji od nič.
- Logaritem produkta je mogoče predstaviti z naslednjo formulo: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tem primeru predpogoj je: d, s 1 in s 2 > 0; a≠1. Za to logaritemsko formulo lahko navedete dokaz s primeri in rešitvijo. Naj bo log a s 1 = f 1 in log a s 2 = f 2, potem je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobimo, da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (lastnosti stopinj ), nato pa po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kar je bilo treba dokazati.
- Logaritem količnika izgleda takole: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Izrek v obliki formule prevzame naslednji pogled: log a q b n = n/q log a b.
Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma." Podobna je lastnostim običajnih stopinj in ni presenetljivo, saj vsa matematika temelji na naravnih postulatih. Poglejmo dokaz.
Naj bo log a b = t, izkaže se, da je a t =b. Če oba dela dvignemo na potenco m: a tn = b n ;
ker pa je a tn = (a q) nt/q = b n, torej log a q b n = (n*t)/t, potem je log a q b n = n/q log a b. Izrek je dokazan.
Primeri problemov in neenakosti
Najpogostejše vrste problemov o logaritmih so primeri enačb in neenačb. Najdemo jih v skoraj vseh učbenikih in so tudi obvezen del izpitov iz matematike. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti sprejemne izpite iz matematike, morate vedeti, kako pravilno rešiti takšne naloge.
Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar ga je mogoče uporabiti za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo. določena pravila. Najprej bi morali ugotoviti, ali je izraz mogoče poenostaviti ali pripeljati do splošni videz. Poenostavite dolge logaritemskih izrazov mogoče, če pravilno uporabljate njihove lastnosti. Hitro jih spoznajmo.
Pri reševanju logaritemskih enačb moramo ugotoviti, kakšno vrsto logaritma imamo: primer izraza lahko vsebuje naravni ali decimalni logaritem.
Tukaj sta primera ln100, ln1026. Njihova rešitev se skrči na dejstvo, da morajo določiti potenco, pri kateri bo osnova 10 enaka 100 oziroma 1026. Za rešitve naravni logaritmi morate uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si primere reševanja logaritemskih problemov različnih vrst.
Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami
Torej, poglejmo primere uporabe osnovnih izrekov o logaritmih.
- Lastnost logaritma produkta lahko uporabimo pri nalogah, kjer je treba razširiti velika vrednostštevila b na enostavnejše faktorje. Na primer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kot lahko vidite, nam je z uporabo četrte lastnosti potence logaritma uspelo rešiti na videz zapleten in nerešljiv izraz. Preprosto morate faktorizirati osnovo in nato vzeti vrednosti eksponenta iz znaka logaritma.
Naloge iz enotnega državnega izpita
Logaritme pogosto najdemo na sprejemnih izpitih, zlasti veliko logaritemskih problemov na Enotnem državnem izpitu (državni izpit za vse maturante). Običajno te naloge niso prisotne le v delu A (najlažji testni del izpita), ampak tudi v delu C (najbolj zapletene in obsežne naloge). Izpit zahteva natančno in popolno poznavanje teme “Naravni logaritmi”.
Primeri in rešitve problemov so vzeti iz uradnih Možnosti enotnega državnega izpita. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.
Podan log 2 (2x-1) = 4. Rešitev:
prepišimo izraz in ga malo poenostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobimo, da je 2x-1 = 2 4, torej 2x = 17; x = 8,5.
- Najbolje je reducirati vse logaritme na isto osnovo, da rešitev ne bo okorna in zmedena.
- Vsi izrazi pod znakom za logaritem so označeni kot pozitivni, zato mora biti izraz, ki ostane pod znakom za logaritem, pozitiven, ko je eksponent izraza, ki je pod znakom za logaritem in kot njegova osnova, vzet kot množitelj.