Naravni logaritem, funkcija ln x. Pretvarjanje logaritemskih izrazov

Eden od elementov algebre primitivne ravni je logaritem. Ime izvira iz grški jezik iz besede “število” ali “potenca” in pomeni potenco, na katero je treba povzdigniti število v osnovi, da dobimo končno število.

Vrste logaritmov

• log a b – logaritem števila b na osnovo a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – decimalni logaritem (logaritem na osnovi 10, a = 10);
• ln b – naravni logaritem (logaritem na osnovi e, a = e).

Kako rešiti logaritme?

Logaritem b na osnovo a je eksponent, ki zahteva dvig b na osnovo a. Dobljeni rezultat se izgovori takole: "logaritem od b na osnovo a." Rešitev logaritemskih problemov je, da morate iz podanih števil določiti dano moč v številih. Obstaja nekaj osnovnih pravil za določanje ali reševanje logaritma, pa tudi za pretvorbo samega zapisa. Z njihovo uporabo je rešitev narejena logaritemske enačbe, najdemo odvode, rešimo integrale in izvedemo številne druge operacije. V bistvu je rešitev samega logaritma njegov poenostavljen zapis. Spodaj so osnovne formule in lastnosti:

Za kateri koli a ; a > 0; a ≠ 1 in za vsak x ; y > 0.

• a log a b = b – osnovna logaritemska istovetnost
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x za k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula za premik na novo bazo
• log a x = 1/log x a

Kako rešiti logaritme - navodila po korakih za reševanje

• Najprej zapišite zahtevano enačbo.

Upoštevajte: če je osnovni logaritem 10, se vnos skrajša, rezultat pa je decimalni logaritem. Če je vredno naravno število e, nato ga zapišemo in reduciramo na naravni logaritem. To pomeni, da je rezultat vseh logaritmov potenca, na katero dvignemo osnovno število, da dobimo število b.

Neposredno je rešitev v izračunu te stopnje. Preden rešimo izraz z logaritmom, ga moramo poenostaviti po pravilu, to je z uporabo formul. Glavne identitete najdete tako, da se v članku vrnete malo nazaj.

Pri seštevanju in odštevanju logaritmov z dvema različnima številoma, vendar z enakimi osnovami, zamenjajte z enim logaritmom z zmnožkom ali deljenjem števil b oziroma c. V tem primeru lahko uporabite formulo za premik na drugo bazo (glej zgoraj).

Če uporabljate izraze za poenostavitev logaritma, je treba upoštevati nekatere omejitve. In to je: osnova logaritma a je le pozitivno število, ni pa enaka ena. Število b mora biti tako kot a večje od nič.

Obstajajo primeri, ko s poenostavitvijo izraza ne boste mogli numerično izračunati logaritma. Zgodi se, da tak izraz nima smisla, ker so številne potence iracionalna števila. Pod tem pogojem pustite potenco števila kot logaritem.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-pošta itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebni podatki omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih javno pomembnih namenov.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Opozoriti je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.

Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:

Osnovna logaritemska identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki si jih moramo vedno zapomniti:

*Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.

* * *

*Logaritem količnika (ulomka) je enak razliki med logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem eksponenta je enak produktu eksponenta in logaritma njegove osnove.

* * *

*Prehod na novo podlago

* * *

Več nepremičnin:

* * *

Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.

Naštejmo jih nekaj:

Bistvo te lastnosti je, da ko se števec prenese na imenovalec in obratno, se znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

* * *

Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da potrebujete dobro prakso, ki vam daje določeno spretnost. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pri pretvorbi elementarnih logaritmov ni bila razvita, potem pri reševanju preproste naloge Lahko se zmotiš.

Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "grdi" logaritmi; teh ne bo na enotnem državnem izpitu, vendar so zanimivi, ne zamudite!

To je vse! Vso srečo!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Zdaj si bomo ogledali pretvorbo izrazov, ki vsebujejo logaritme, s splošnega vidika. Tukaj ne bomo analizirali le transformacije izrazov z uporabo lastnosti logaritmov, temveč bomo upoštevali tudi transformacijo izrazov z logaritmi splošni pogled, ki ne vsebujejo le logaritmov, ampak tudi potence, ulomke, korene itd. Kot običajno bomo vse gradivo opremili s tipičnimi primeri s podrobnimi opisi rešitev.

Navigacija po straneh.

Izrazi z logaritmi in logaritemski izrazi

Delanje stvari z ulomki

V prejšnjem odstavku smo pregledali osnovne transformacije, ki jih izvajamo s posameznimi ulomki, ki vsebujejo logaritme. Te transformacije je seveda mogoče izvesti z vsakim posameznim ulomkom, ki je del bolj zapletenega izraza, na primer predstavlja vsoto, razliko, produkt in količnik podobnih ulomkov. Toda poleg dela s posameznimi ulomki pretvorba izrazov te vrste pogosto vključuje izvajanje ustreznih operacij z ulomki. Nato si bomo ogledali pravila, po katerih se ta dejanja izvajajo.

Od 5.-6. razreda poznamo pravila, po katerih se izvajajo. V članku splošen pogled na operacije z ulomki ta pravila smo razširili z navadni ulomki na splošnem ulomku A/B, kjer sta A in B neka številska, dobesedna izraza ali izraza s spremenljivkami, B pa ni identično enak nič. Jasno je, da so ulomki z logaritmi posebni primeri splošnih ulomkov. In v zvezi s tem je jasno, da se operacije z ulomki, ki v svojih zapisih vsebujejo logaritme, izvajajo po enakih pravilih. namreč:

• Če želite dodati ali odšteti dva ulomka z enakima imenovalcema, morate števce ustrezno dodati ali odšteti, imenovalec pa pustiti enak.
• Če želite dodati ali odšteti dva ulomka z različnimi imenovalci, ju morate pripeljati do skupnega imenovalca in izvesti ustrezna dejanja v skladu s prejšnjim pravilom.
• Če želite pomnožiti dva ulomka, morate zapisati ulomek, katerega števec je zmnožek števcev prvotnih ulomkov, imenovalec pa zmnožek imenovalcev.
• Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate deljiv ulomek pomnožite z inverznim ulomkom delitelja, to je z ulomkom, pri katerem sta števec in imenovalec zamenjana.

Tukaj je nekaj primerov, kako izvajati operacije z ulomki, ki vsebujejo logaritme.

Primer.

Izvedite operacije z ulomki, ki vsebujejo logaritme: a), b) , V) , G) .

rešitev.

a) Imenovalca ulomkov, ki jih seštevamo, sta očitno enaka. Zato po pravilu seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci seštejemo števce, imenovalec pa pustimo enak: .

b) Tukaj so imenovalci različni. Zato najprej potrebujete pretvori ulomke na enak imenovalec. V našem primeru so imenovalci že predstavljeni v obliki zmnožkov, vse, kar moramo storiti, je, da vzamemo imenovalec prvega ulomka in mu dodamo manjkajoče faktorje iz imenovalca drugega ulomka. Tako dobimo skupni imenovalec oblike . V tem primeru se odšteti ulomki spravijo na skupni imenovalec z dodatnimi faktorji v obliki logaritma oziroma izraza x 2 ·(x+1). Po tem preostane le še odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci, kar ni težko.

Rešitev je torej:

c) Znano je, da je rezultat množenja ulomkov ulomek, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev, torej

Preprosto je videti, da lahko zmanjšanje ulomka z dvema in z decimalnim logaritmom, kot rezultat imamo .

d) Od deljenja ulomkov preidemo k množenju, pri čemer deliteljski ulomek nadomestimo z njegovim inverznim ulomkom. torej

Števec dobljenega ulomka lahko predstavimo kot , iz katerega je jasno viden skupni faktor števca in imenovalca - faktor x, z njim lahko zmanjšate ulomek:

odgovor:

a) , b) , V) , G) .

Ne smemo pozabiti, da se operacije z ulomki izvajajo ob upoštevanju vrstnega reda izvajanja dejanj: najprej množenje in deljenje, nato seštevanje in odštevanje, in če so oklepaji, se najprej izvedejo dejanja v oklepajih.

Primer.

Naredi stvari z ulomki .

rešitev.

Najprej seštejemo ulomke v oklepajih, nato pa pomnožimo:

odgovor:

Na tej točki je treba na glas povedati tri precej očitne, a hkrati pomembne točke:

Pretvarjanje izrazov z uporabo lastnosti logaritmov

Najpogosteje pretvorba izrazov z logaritmi vključuje uporabo identitet, ki izražajo definicijo logaritma in

Nadaljujemo s preučevanjem logaritmov. V tem članku bomo govorili o računanje logaritmov, se ta postopek imenuje logaritem. Najprej bomo razumeli izračun logaritmov po definiciji. Nato si poglejmo, kako se vrednosti logaritmov najdejo z uporabo njihovih lastnosti. Po tem se bomo osredotočili na izračun logaritmov skozi prvotno določene vrednosti drugih logaritmov. Na koncu se naučimo uporabljati logaritemske tabele. Celotna teorija je opremljena s primeri s podrobnimi rešitvami.

Navigacija po straneh.

Računanje logaritmov po definiciji

V najpreprostejših primerih je to mogoče izvesti precej hitro in enostavno iskanje logaritma po definiciji. Oglejmo si podrobneje, kako poteka ta proces.

Njegovo bistvo je predstaviti število b v obliki a c, iz katere je po definiciji logaritma število c vrednost logaritma. To pomeni, da po definiciji naslednja veriga enakosti ustreza iskanju logaritma: log a b=log a a c =c.

Torej se izračun logaritma po definiciji zmanjša na iskanje števila c, tako da je a c = b, samo število c pa je želena vrednost logaritma.

Ob upoštevanju informacij iz prejšnjih odstavkov, ko je število pod znakom logaritma podano z določeno potenco osnove logaritma, lahko takoj navedete, čemu je logaritem enak - je enak eksponentu. Pokažimo rešitve na primerih.

Primer.

Poiščite log 2 2 −3 in izračunajte tudi naravni logaritem števila e 5,3.

rešitev.

Definicija logaritma nam omogoča, da takoj rečemo, da je log 2 2 −3 =−3. Dejansko je število pod znakom logaritma enako osnovi 2 na potenco −3.

Podobno najdemo drugi logaritem: lne 5,3 =5,3.

odgovor:

log 2 2 −3 =−3 in lne 5,3 =5,3.

Če število b pod znakom za logaritem ni določeno kot potenca osnove logaritma, potem morate skrbno pogledati, ali je možno priti do predstavitve števila b v obliki a c . Pogosto je ta predstavitev povsem očitna, zlasti kadar je število pod znakom logaritma enako osnovi na potenco 1, ali 2, ali 3, ...

Primer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , in .

rešitev.

Preprosto je videti, da je 25=5 2, kar vam omogoča izračun prvega logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pojdimo k izračunu drugega logaritma. Število je mogoče predstaviti kot potenco števila 7: (poglejte, če je potrebno). torej .

Prepišimo tretji logaritem v naslednji obrazec. Zdaj lahko to vidite , iz česar sklepamo, da . Zato po definiciji logaritma .

Rešitev bi lahko na kratko zapisali takole: .

odgovor:

log 5 25=2 , in .

Kadar je pod znakom za logaritem dovolj veliko naravno število, ne škodi, če ga razštejemo na prafaktorje. Pogosto pomaga, če tako število predstavimo kot neko potenco osnove logaritma in zato ta logaritem izračunamo po definiciji.

Primer.

Poiščite vrednost logaritma.

rešitev.

Nekatere lastnosti logaritmov vam omogočajo, da takoj določite vrednost logaritmov. Te lastnosti vključujejo lastnost logaritma ena in lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi: log 1 1=log a a 0 =0 in log a a=log a a 1 =1. To pomeni, da je pod znakom logaritma številka 1 ali številka a, ki je enaka osnovi logaritma, potem sta v teh primerih logaritma enaka 0 oziroma 1.

Primer.

Čemu so enaki logaritmi in log10?

rešitev.

Ker , potem iz definicije logaritma sledi .

V drugem primeru se število 10 pod znakom za logaritem ujema s svojo osnovo, zato je decimalni logaritem desetice enak ena, to je lg10=lg10 1 =1.

odgovor:

IN lg10=1 .

Upoštevajte, da izračun logaritmov po definiciji (o katerem smo govorili v prejšnjem odstavku) implicira uporabo enakosti log a a p =p, kar je ena od lastnosti logaritmov.

V praksi, ko je število pod znakom logaritma in osnova logaritma enostavno predstavljeno kot potenca določenega števila, je zelo priročno uporabiti formulo , kar ustreza eni od lastnosti logaritmov. Oglejmo si primer iskanja logaritma, ki ponazarja uporabo te formule.

Primer.

Izračunajte logaritem.

rešitev.

odgovor:

.

Lastnosti logaritmov, ki niso omenjene zgoraj, se uporabljajo tudi pri izračunih, vendar bomo o tem govorili v naslednjih odstavkih.

Iskanje logaritmov preko drugih znanih logaritmov

Informacije v tem odstavku nadaljujejo temo uporabe lastnosti logaritmov pri njihovem izračunu. Toda tukaj je glavna razlika ta, da se lastnosti logaritmov uporabljajo za izražanje prvotnega logaritma v smislu drugega logaritma, katerega vrednost je znana. Za pojasnilo navedimo primer. Recimo, da vemo, da je log 2 3≈1,584963, potem lahko najdemo na primer log 2 6 z majhno transformacijo z uporabo lastnosti logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

V zgornjem primeru je bilo dovolj, da smo uporabili lastnost logaritma produkta. Vendar pa je veliko pogosteje potrebno uporabiti širši arzenal lastnosti logaritmov, da izračunamo prvotni logaritem preko danih.

Primer.

Izračunajte logaritem 27 na osnovo 60, če veste, da je log 60 2=a in log 60 5=b.

rešitev.

Najti moramo torej dnevnik 60 27 . Lahko vidimo, da je 27 = 3 3, prvotni logaritem pa lahko zaradi lastnosti logaritma potence prepišemo kot 3·log 60 3.

Zdaj pa poglejmo, kako izraziti log 60 3 z znanimi logaritmi. Lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi, nam omogoča, da zapisujemo log enakosti 60 60=1. Po drugi strani pa je log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . torej 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. torej log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na koncu izračunamo prvotni logaritem: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ločeno je treba omeniti pomen formule za prehod na novo osnovo logaritma oblike . Omogoča premik od logaritmov s katero koli osnovo do logaritmov z določeno osnovo, katerih vrednosti so znane ali jih je mogoče najti. Običajno se iz prvotnega logaritma s prehodno formulo premaknejo na logaritme v eni od osnov 2, e ali 10, saj za te baze obstajajo tabele logaritmov, ki omogočajo izračun njihovih vrednosti z določeno stopnjo natančnost. V naslednjem odstavku bomo pokazali, kako se to naredi.

Logaritemske tabele in njihova uporaba

Za približen izračun lahko uporabite vrednosti logaritmov logaritemske tabele. Najpogosteje uporabljena tabela logaritmov z osnovo 2 je tabela naravni logaritmi in tabelo decimalnih logaritmov. Pri delu v decimalnem številskem sistemu je priročno uporabljati tabelo logaritmov, ki temelji na osnovi deset. Z njegovo pomočjo se bomo naučili poiskati vrednosti logaritmov.

Predstavljena tabela vam omogoča, da poiščete vrednosti decimalnih logaritmov števil od 1.000 do 9.999 (s tremi decimalnimi mesti) z natančnostjo ene desettisočinke. Analizirali bomo princip iskanja vrednosti logaritma s pomočjo tabele decimalnih logaritmov v konkreten primer- tako je bolj jasno. Poiščimo log1.256.

V levem stolpcu tabele decimalnih logaritmov najdemo prvi dve števki števila 1,256, torej najdemo 1,2 (to število je zaradi jasnosti obkroženo z modro barvo). Tretja števka števila 1,256 (številka 5) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici levo od dvojne črte (to število je obkroženo z rdečo barvo). Četrta številka prvotnega števila 1.256 (številka 6) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici desno od dvojne črte (to število je obkroženo z zeleno črto). Zdaj najdemo številke v celicah tabele logaritmov na presečišču označene vrstice in označenih stolpcev (te številke so označene oranžna). Vsota označenih števil daje želeno vrednost decimalnega logaritma natančno na četrto decimalno mesto, to je log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ali je mogoče z uporabo zgornje tabele najti vrednosti decimalnih logaritmov števil, ki imajo več kot tri števke za decimalno vejico, pa tudi tistih, ki presegajo obseg od 1 do 9,999? Da, lahko. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.

Izračunajmo lg102,76332. Najprej morate zapisati številko v standardni obliki: 102,76332=1,0276332·10 2. Po tem je treba mantiso zaokrožiti na tretjo decimalno mesto, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medtem ko je prvotni decimalni logaritem približno enak logaritmu dobljenega števila, to pomeni, da vzamemo log102,76332≈lg1,028·10 2. Zdaj uporabimo lastnosti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nazadnje najdemo vrednost logaritma lg1,028 iz tabele decimalnih logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kot rezultat, celoten postopek izračuna logaritma izgleda takole: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na koncu je treba omeniti, da lahko s tabelo decimalnih logaritmov izračunate približno vrednost katerega koli logaritma. Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite formulo prehoda, da greste na decimalne logaritme, poiščete njihove vrednosti v tabeli in izvedete preostale izračune.

Na primer, izračunajmo log 2 3 . Po formuli za prehod na novo osnovo logaritma imamo . Iz tabele decimalnih logaritmov najdemo log3≈0,4771 in log2≈0,3010. torej .

Reference.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).