VhodKako rešiti enačbo z različnimi stopnjami. Predavanje: “Metode reševanja eksponentnih enačb
Eksponentne enačbe so tiste, v katerih je eksponent vsebovan neznano. Najenostavnejša eksponentna enačba ima obliko: a x = a b, kjer je a> 0, a 1, x ni znan.
Glavne lastnosti potence, s katerimi se transformirajo eksponentne enačbe: a>0, b>0.
Pri odločanju eksponentne enačbe Uporabljajo tudi naslednje lastnosti eksponentne funkcije: y = a x, a > 0, a1:
Za predstavitev števila kot potence uporabite osnovno logaritemsko istovetnost: b = , a > 0, a1, b > 0.
Težave in testi na temo "Eksponentne enačbe"
- Eksponentne enačbe
Lekcije: 4 Naloge: 21 Testi: 1
- Eksponentne enačbe - Pomembne teme za pregled enotnega državnega izpita iz matematike
Naloge: 14
- Sistemi eksponentnih in logaritemskih enačb - Demonstrativno in logaritemska funkcija 11. razred
Lekcije: 1 Naloge: 15 Testi: 1
- §2.1. Reševanje eksponentnih enačb
Lekcije: 1 Naloge: 27
- §7 Eksponentne in logaritemske enačbe in neenačbe - Razdelek 5. Eksponentne in logaritemske funkcije, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 17
Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati osnovne lastnosti potenc, lastnosti eksponentne funkcije in osnovno logaritemsko identiteto.
Pri reševanju eksponentnih enačb se uporabljata dve glavni metodi:
- prehod iz enačbe a f(x) = a g(x) v enačbo f(x) = g(x);
- uvajanje novih linij.
Primeri.
1. Enačbe reducirane na najenostavnejše. Rešimo jih tako, da obe strani enačbe reduciramo na potenco z isto osnovo.
3 x = 9 x – 2 .
rešitev:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.
odgovor: 4.
2. Enačbe, rešene tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja.
rešitev:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
odgovor: 3.
3. Enačbe, rešene s spremembo spremenljivke.
rešitev:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Označimo 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Enačba nima rešitev, ker 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
odgovor: dnevnik 2 3.
4. Enačbe, ki vsebujejo potence z dvema različnima (druga na drugo nezvodljivima) bazama.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.
3 × 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.
odgovor: 2.
5. Enačbe, ki so homogene glede na a x in b x.
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.
rešitev:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½. 
odgovor: hlod 3/2 2; - dnevnik 3/2 2.
V tem članku se boste seznanili z vsemi vrstami eksponentne enačbe in algoritme za njihovo reševanje, naučite se prepoznati, kateri vrsti pripada eksponentna enačba, ki ga morate rešiti, in uporabite ustrezno metodo za njegovo rešitev. Podrobna rešitev primerov eksponentne enačbe Vsako vrsto si lahko ogledate v ustreznih VIDEO LEKCIJAH.
Eksponentna enačba je enačba, v kateri je neznanka v eksponentu.
Preden začnete reševati eksponentno enačbo, je koristno narediti nekaj stvari predhodna dejanja , kar lahko bistveno olajša postopek reševanja. To so koraki:
1. Vse baze potenc razdelite na prafaktorje.
2. Korene predstavi kot stopinjo.
3. Decimale predstavljajte si kot navadne.
4. Mešana števila zapiši kot neprave ulomke.
Spoznali boste prednosti teh dejanj v procesu reševanja enačb.
Oglejmo si glavne vrste eksponentne enačbe in algoritme za njihovo reševanje.
1. Enačba oblike
Ta enačba je enakovredna enačbi
Oglejte si rešitev enačbe v tej VIDEO VODNICI 
ta tip.
2. Enačba oblike
V enačbah te vrste:
b) koeficienta pri neznanki v eksponentu sta enaka.
Če želite rešiti to enačbo, morate odšteti najmanjši faktor.
Primer reševanja enačbe te vrste:
oglejte si VIDEO vadnico.
3. Enačba oblike
Enačbe te vrste se razlikujejo v tem
a) vse stopnje imajo enake baze
b) koeficienti pri neznanki v eksponentu so različni.
Enačbe te vrste se rešujejo s spremembami spremenljivk. Pred uvedbo zamenjave je priporočljivo, da se znebite prostih členov v eksponentu. (, itd.)
Oglejte si VIDEO VODNICO za reševanje te vrste enačbe:
4.
Homogene enačbe prijazen
Značilnosti homogenih enačb:
a) vsi monomi imajo enako stopnjo,
b) prosti člen je nič,
c) enačba vsebuje potence z dvema različnima bazama.
Homogene enačbe se rešujejo s podobnim algoritmom.
Za rešitev te vrste enačbe delimo obe strani enačbe z (lahko z ali z)
Pozor! Ko delite desno in levo stran enačbe z izrazom, ki vsebuje neznanko, lahko izgubite korenine. Zato je treba preveriti, ali so koreni izraza, s katerim delimo obe strani enačbe, koreni izvirne enačbe.
Ker v našem primeru izraz ni nič za nobeno vrednost neznanke, lahko brez strahu delimo z njo. Razdelimo levo stran enačbe s tem izrazom člen za členom. Dobimo:
Zmanjšajmo števec in imenovalec drugega in tretjega ulomka:
Predstavimo zamenjavo:
Poleg tega title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}
Dobimo kvadratna enačba:
Rešimo kvadratno enačbo, poiščimo vrednosti, ki izpolnjujejo pogoj title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}
Oglejte si VIDEO vadnico podrobna rešitev homogena enačba:
5. Enačba oblike
Pri reševanju te enačbe bomo izhajali iz dejstva, da je title="f(x)>0">!}
Začetna enakost je izpolnjena v dveh primerih:
1. Če je 1 na katero koli potenco enako 1,
2. Če sta izpolnjena dva pogoja:
Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}
Oglejte si VIDEO VODIČ za podrobno rešitev enačbe
Na stopnji priprave na zaključni test morajo srednješolci izboljšati svoje znanje na temo "Eksponentne enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da takšne naloge šolarjem povzročajo določene težave. Zato morajo srednješolci, ne glede na stopnjo pripravljenosti, temeljito obvladati teorijo, si zapomniti formule in razumeti princip reševanja takšnih enačb. Ko so se naučili obvladovati tovrstne težave, lahko diplomanti računajo na visoke ocene pri opravljanju enotnega državnega izpita iz matematike.
Pripravite se na izpitno testiranje s Shkolkovo!
Mnogi učenci se ob pregledu gradiva, ki so ga obravnavali, soočajo s problemom iskanja formul, potrebnih za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, izbiranje potrebnih informacij o temi na internetu pa traja dolgo.
Izobraževalni portal Shkolkovo vabi študente k uporabi naše baze znanja. Izvajamo v celoti nova metoda priprava na zaključni test. S študijem na naši spletni strani boste lahko prepoznali vrzeli v znanju in se posvetili tistim nalogam, ki povzročajo največ težav.
Učitelji Shkolkovo so zbrali, sistematizirali in predstavili vse potrebno za uspešen zaključek Gradivo za enotni državni izpit v najpreprostejši in najbolj dostopni obliki.
Osnovne definicije in formule so predstavljene v poglavju “Teoretično ozadje”.
Za boljše razumevanje snovi priporočamo, da vadite izpolnjevanje nalog. Previdno preglejte primere eksponentnih enačb z rešitvami, predstavljene na tej strani, da boste razumeli algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z izvajanjem nalog v razdelku »Imeniki«. Začnete lahko z najlažjimi problemi ali pa takoj rešite kompleksne eksponentne enačbe z več neznankami ali . Baza vaj na naši spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.
Tiste primere z indikatorji, ki so vam povzročali težave, lahko dodate med »Priljubljene«. Tako jih lahko hitro najdete in se o rešitvi pogovorite z učiteljem.
Za uspešno opravljen enotni državni izpit se vsak dan učite na portalu Shkolkovo!
Predavanje: “Metode reševanja eksponentnih enačb.”
1 . Eksponentne enačbe.
Enačbe, ki vsebujejo neznanke v eksponentih, se imenujejo eksponentne enačbe. Najenostavnejša med njimi je enačba ax = b, kjer je a > 0, a ≠ 1.
1) Pri b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Za b > 0 ima enačba z uporabo monotonosti funkcije in korenskega izreka edinstven koren. Da bi ga našli, je treba b predstaviti v obliki b = aс, аx = bс ó x = c ali x = logab.
Eksponentne enačbe z algebrskimi transformacijami vodijo do standardnih enačb, ki jih rešujemo z naslednjimi metodami:
1) način znižanja na eno osnovo;
2) način ocenjevanja;
3) grafična metoda;
4) način uvajanja novih spremenljivk;
5) metoda faktorizacije;
6) eksponentno – potenčne enačbe;
7) demonstrativno s parametrom.
2 . Metoda redukcije na eno osnovo.
Metoda temelji na naslednjo lastnino stopnje: če sta dve stopnji enaki in sta njuni osnovi enaki, sta njuna eksponenta enaka, tj. enačbo moramo poskusiti reducirati na obliko
Primeri. Reši enačbo:
1 . 3x = 81;
Predstavimo desno stran enačbe v obliki 81 = 34 in zapišimo enačbo, enakovredno prvotni 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">in pojdimo k enačbi za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Upoštevajte, da števila 0,2, 0,04, √5 in 25 predstavljajo potence števila 5. Izkoristimo to in pretvorimo prvotno enačbo na naslednji način:
,
od koder je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz česar najdemo rešitev x = -1. Odgovor: -1.
5. 3x = 5. Po definiciji logaritma je x = log35. Odgovor: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Prepišimo enačbo v obliki 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, tj..png" width="181" height="49 src="> Zato je x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Z uporabo lastnosti potenc enačbo zapišemo v obliki 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, nato pa 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.
Problemska banka št. 1.
Reši enačbo:
Test št. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) brez korenin |
1) 7;1 2) brez korenin 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test št. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) brez korenin 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metoda vrednotenja.
Korenski izrek: če funkcija f(x) narašča (zmanjšuje) na intervalu I, je število a katera koli vrednost, ki jo vzame f na tem intervalu, potem ima enačba f(x) = a en sam koren na intervalu I.
Pri reševanju enačb z estimacijsko metodo se uporabljata ta izrek in lastnosti monotonosti funkcije.
Primeri. Reši enačbe: 1. 4x = 5 – x.
rešitev. Prepišimo enačbo kot 4x +x = 5.
1. če je x = 1, potem velja 41+1 = 5, 5 = 5, kar pomeni, da je 1 koren enačbe.
Funkcija f(x) = 4x – narašča na R, in g(x) = x – narašča na R => h(x)= f(x)+g(x) narašča na R, kot vsota naraščajočih funkcij, potem je x = 1 edini koren enačbe 4x = 5 – x. Odgovor: 1.
2.
rešitev. Prepišimo enačbo v obliki 
.
1. če je x = -1, potem 
, 3 = 3 je res, kar pomeni, da je x = -1 koren enačbe.
2. dokazati, da je edini.
3. Funkcija f(x) = - pada na R, g(x) = - x – pada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – pada na R, kot vsota padajoče funkcije. To pomeni, da je v skladu s korenskim izrekom x = -1 edini koren enačbe. Odgovor: -1.
Problemska banka št. 2. Reši enačbo
a) 4x + 1 =6 – x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Metoda uvajanja novih spremenljivk.
Metoda je opisana v odstavku 2.1. Uvedba nove spremenljivke (substitucija) se običajno izvede po transformacijah (poenostavitvi) členov enačbe. Poglejmo si primere.
Primeri.
R Reši enačbo: 1.
.
Zapišimo enačbo drugače: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj..png" width="210" height = "45">
rešitev. Zapišimo enačbo drugače: 
Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ni primerno.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna enačba. Opažamo, da 
Rešitev enačbe je x = 2,5 ≤ 4, kar pomeni, da je 2,5 koren enačbe. Odgovor: 2,5.
rešitev. Enačbo prepišemo v obliki in obe strani delimo s 56x+6 ≠ 0. Dobimo enačbo
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Korenini kvadratne enačbe sta t1 = 1 in t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
rešitev . Prepišimo enačbo v obliki
in upoštevajte, da je to homogena enačba druge stopnje.
Enačbo delimo z 42x, dobimo 
Zamenjajmo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Odgovor: 0; 0,5.
Problemska banka št. 3. Reši enačbo
b) 
G) 
Test št. 3 z izbiro odgovorov. Najnižja raven.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) brez korenin 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) brez korenin 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test št. 4 z izbiro odgovorov. Splošna raven.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) brez korenin |
5. Metoda faktorizacije.
1. Rešite enačbo: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Rešitev..png" width="169" height="69"> , od koder
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
rešitev. Dajmo 6x izven oklepajev na levo stran enačbe in 2x na desno stran. Dobimo enačbo 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Ker je 2x >0 za vse x, lahko obe strani te enačbe delimo z 2x brez strahu pred izgubo rešitev. Dobimo 3x = 1ó x = 0.
3. 
rešitev. Rešimo enačbo z metodo faktorizacije.
Izberimo kvadrat binoma 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 je koren enačbe.
Enačba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test št. 6 Splošna raven.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponentno – potenčne enačbe.
Sosednje eksponentnim enačbam so tako imenovane eksponentno-potenčne enačbe, to je enačbe oblike (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Če je znano, da je f(x)>0 in je f(x) ≠ 1, se enačba, tako kot eksponentna, rešuje z enačenjem eksponentov g(x) = f(x).
Če pogoj ne izključuje možnosti f(x)=0 in f(x)=1, potem moramo te primere upoštevati pri reševanju eksponentne enačbe.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
rešitev. x2 +2x-8 – smiselno je za vsak x, ker je polinom, kar pomeni, da je enačba enakovredna celoti
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponentne enačbe s parametri.
1. Za katere vrednosti parametra p ima enačba 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) edina rešitev?
rešitev. Vstavimo zamenjavo 2x = t, t > 0, potem bo enačba (1) dobila obliko t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminanta enačbe (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Enačba (1) ima edinstveno rešitev, če ima enačba (2) en pozitivni koren. To je možno v naslednjih primerih.
1. Če je D = 0, to je p = 1, bo enačba (2) prevzela obliko t2 – 2t + 1 = 0, torej t = 1, zato ima enačba (1) enolično rešitev x = 0.
2. Če je p1, potem je 9(p – 1)2 > 0, potem ima enačba (2) dva različna korena t1 = p, t2 = 4p – 3. Pogoje problema izpolnjuje množica sistemov
Če nadomestimo t1 in t2 v sistema, imamo
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
rešitev. Naj 
potem bo enačba (3) imela obliko t2 – 6t – a = 0. (4)
Poiščimo vrednosti parametra a, za katere vsaj en koren enačbe (4) izpolnjuje pogoj t > 0.
Vstavimo funkcijo f(t) = t2 – 6t – a. Možni so naslednji primeri.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Primer 2. Enačba (4) ima enolično pozitivno rešitev, če
D = 0, če je a = – 9, bo enačba (4) imela obliko (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Primer 3. Enačba (4) ima dva korena, vendar eden od njiju ne zadošča neenakosti t > 0. To je mogoče, če
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Tako ima enačba (4) za a 0 en sam pozitivni koren 
. Potem ima enačba (3) edinstveno rešitev 
Ko a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
če a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
če je a = – 9, potem je x = – 1;
če je 0, potem
Primerjajmo metode za reševanje enačb (1) in (3). Upoštevajte, da smo pri reševanju enačbe (1) zmanjšali na kvadratno enačbo, katere diskriminanta je popoln kvadrat; Tako so bili koreni enačbe (2) takoj izračunani s formulo za korene kvadratne enačbe in nato izvedeni sklepi glede teh korenov. Enačba (3) je bila reducirana na kvadratno enačbo (4), katere diskriminanta ni popoln kvadrat, zato je pri reševanju enačbe (3) priporočljivo uporabiti izreke o lokaciji korenin kvadratnega trinoma in grafični model. Upoštevajte, da je enačbo (4) mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka.
Rešimo bolj zapletene enačbe.
3. naloga: Reši enačbo 
rešitev. ODZ: x1, x2.
Predstavimo zamenjavo. Naj bo 2x = t, t > 0, potem bo zaradi transformacij enačba dobila obliko t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Poiščimo vrednosti a, za katere je vsaj ena korenina enačba (*) izpolnjuje pogoj t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Odgovor: če je a > – 13, a 11, a 5, potem če je a – 13,
a = 11, a = 5, potem ni korenin.
Seznam uporabljene literature.
1. Guzejev temelji izobraževalne tehnologije.
2. Tehnologija Guzeev: od recepcije do filozofije.
M. "Direktor šole" št. 4, 1996
3. Guzeev in organizacijske oblike usposabljanja.
4. Guzeev in praksa integralne izobraževalne tehnologije.
M. "Javno izobraževanje", 2001
5. Guzeev iz oblik lekcije - seminar.
Matematika v šoli št. 2, 1987 str. 9 – 11.
6. Izobraževalne tehnologije Seleuko.
M. "Javno izobraževanje", 1998
7. Episheva šolarji za študij matematike.
M. "Razsvetljenje", 1990
8. Ivanova pripravi lekcije - delavnice.
Matematika v šoli št. 6, 1990 str. 37 – 40.
9. Smirnov model poučevanja matematike.
Matematika v šoli št. 1, 1997 str. 32 – 36.
10. Tarasenko načini organizacije praktičnega dela.
Matematika v šoli št. 1, 1993 str. 27 – 28.
11. O eni od vrst individualnega dela.
Matematika v šoli št. 2, 1994, str. 63 – 64.
12. Khazankin ustvarjalnostšolarji.
Matematika v šoli št. 2, 1989 str. 10.
13. Scanavi. Založba, 1997
14. in drugi. Algebra in začetki analize. Didaktična gradiva Za
15. Naloge Krivonogova pri matematiki.
M. "Prvi september", 2002
16. Čerkasov. Priročnik za srednješolce in
vstop na univerze. “A S T - novinarska šola”, 2002
17. Zhevnyak za tiste, ki vstopajo na univerze.
Minsk in Ruska federacija "Review", 1996
18. Pisni D. Pripravljamo se na izpit iz matematike. M. Rolf, 1999
19. itd. Učenje reševanja enačb in neenačb.
M. "Intelekt - Center", 2003
20. itd. Izobraževalna in učna gradiva za pripravo na EGE.
M. "Obveščevalni center", 2003 in 2004.
21 in druge možnosti. Testni center Ministrstva za obrambo Ruske federacije, 2002, 2003.
22. Goldbergove enačbe. "Quantum" št. 3, 1971
23. Volovich M. Kako uspešno poučevati matematiko.
Matematika, 1997 št. 3.
24 Okunev za lekcijo, otroci! M. Vzgoja, 1988
25. Yakimanskaya - usmerjeno učenje v šoli.
26. Liimets dela v razredu. M. Znanje, 1975
Obiščite youtube kanal našega spletnega mesta, da boste na tekočem z vsemi novimi video lekcijami.
Najprej se spomnimo osnovnih formul potenc in njihovih lastnosti.
Produkt števila a pojavi sam na sebi n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potenčne ali eksponentne enačbe– to so enačbe, v katerih so spremenljivke na potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.
Primeri eksponentnih enačb:
V tem primeru je številka 6 osnova, vedno je na dnu in spremenljivka x stopnja ali indikator.
Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?
Vzemimo preprosto enačbo:
2 x = 2 3
Ta primer je mogoče rešiti celo v glavi. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, da bi bili leva in desna stran enaki, morate namesto x postaviti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako formalizirati to odločitev:
2 x = 2 3
x = 3
Da bi rešili tako enačbo, smo odstranili enake podlage(torej dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.
Zdaj pa povzamemo našo odločitev.
Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enaka ali ima enačba bazi na desni in levi. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.
2. Ko osnove postanejo enake, enačiti stopinj in rešite nastalo novo enačbo.
Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov:
Začnimo z nečim preprostim.
Osnovi na levi in desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da osnovo lahko zavržemo in njuni moči izenačimo.
x+2=4 Dobimo najenostavnejšo enačbo.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
V naslednjem primeru lahko vidite, da sta bazi različni: 3 in 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Najprej premaknite devet na desno stran, dobimo:
Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=32. Uporabimo formulo za moč (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobimo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Zdaj je jasno, da sta osnovici na levi in desni strani enaki in enaki tri, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.
3x=2x+16 dobimo najenostavnejšo enačbo
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Poglejmo si naslednji primer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Najprej pogledamo baze, baze dve in štiri. In potrebujemo, da so enaki. Štiri transformiramo z uporabo formule (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodaj v enačbo:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Iz istih razlogov smo dali primer. Toda druge številke 10 in 24 nas motijo. Kaj storiti z njimi? Če natančno pogledate, lahko vidite, da se na levi strani ponavlja 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko postavimo iz oklepaja:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz v oklepajih:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Celotno enačbo delimo s 6:
Predstavljajmo si 4=2 2:
2 2x = 2 2 osnovi enaki, ju zavržemo in stopnji izenačimo.
2x = 2 je najenostavnejša enačba. Delimo z 2 in dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo enačbo:
9 x – 12*3 x +27= 0
Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše osnove so enake, enake tri. V tem primeru lahko vidite, da imajo prve tri stopnjo dvakrat (2x) kot druge (samo x). V tem primeru lahko rešite nadomestni način. Število nadomestimo z najmanjšo stopnjo:
Potem je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Vse potence x v enačbi zamenjamo s t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobimo kvadratno enačbo. Če rešimo diskriminanto, dobimo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vrnitev k spremenljivki x.
Vzemite t 1:
t 1 = 9 = 3 x
zato
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na spletnem mestu lahko postavite vprašanja, ki vas zanimajo v razdelku POMAGAJTE SE ODLOČITI, zagotovo vam bomo odgovorili.
Pridružite se skupini