Kako rešiti eksponentno enačbo z različnimi bazami. Reševanje eksponentnih enačb. Osnove

Začetna raven

Eksponentne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

pozdravljena Danes se bomo z vami pogovarjali o tem, kako rešiti enačbe, ki so lahko bodisi osnovne (in upam, da bodo po branju tega članka skoraj vse tako za vas), in tiste, ki so običajno dane "za polnjenje". Očitno zato, da končno zaspi. Vendar bom poskušal narediti vse, kar je v moji moči, da zdaj ne boste zašli v težave, ko se soočite s to vrsto enačb. Ne bom več premleval, bom pa takoj odprl mala skrivnost: danes se bomo učili eksponentne enačbe.

Preden preidem na analizo načinov za njihovo rešitev, vam bom takoj orisal vrsto vprašanj (precej majhnih), ki bi jih morali ponoviti, preden hitite napadati to temo. Torej, dobiti najboljši rezultat, prosim, ponovi:

1. Lastnosti in
2. Rešitev in enačbe

Ponavljajo? neverjetno! Potem vam ne bo težko opaziti, da je koren enačbe število. Ali natančno razumete, kako sem to naredil? Je res? Potem nadaljujemo. Zdaj odgovorite na moje vprašanje, kaj je enako tretji potenci? Imaš popolnoma prav: . Kakšna potenca dvojke je osem? Tako je – tretji! Ker. No, zdaj pa poskusimo rešiti naslednji problem: Naj enkrat pomnožim število samo s seboj in dobim rezultat. Vprašanje je, kolikokrat sem sam pomnožil? Seveda lahko to neposredno preverite:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Potem lahko sklepate, da sem pomnožil s samim seboj. Kako drugače lahko to preverite? Takole: neposredno z definicijo stopnje: . Ampak, priznajte, če bi vprašal, kolikokrat je treba dva pomnožiti s samim seboj, da dobimo, recimo, bi mi rekli: ne bom se zavajal in množil s samim seboj, dokler ne bom moder v obraz. In imel bi popolnoma prav. Ker kako lahko na kratko zapišite vse korake(in kratkost je sestra talenta)

kje - to so isti "krat", ko pomnožiš sama s seboj.

Mislim, da veste (in če ne veste, nujno, zelo nujno ponovite stopnje!), da bo potem moja težava zapisana v obliki:

Kako lahko razumno sklepate, da:

Tako sem neopazno zapisal najpreprostejše eksponentna enačba:

In celo našel sem ga korenina. Se vam ne zdi, da je vse popolnoma nepomembno? Mislim popolnoma enako. Tukaj je še en primer za vas:

Toda kaj narediti? Navsezadnje ga ni mogoče zapisati kot potenco (razumnega) števila. Ne obupajmo in upoštevajmo, da sta obe števili popolnoma izraženi s potenco istega števila. kateri? Desno: . Nato se prvotna enačba pretvori v obliko:

Kje, kot ste že razumeli,. Ne odlašajmo več in zapišimo definicija:

V našem primeru:.

Te enačbe rešimo tako, da jih reduciramo na obliko:

sledi reševanje enačbe

Pravzaprav smo to storili v prejšnjem primeru: dobili smo naslednje: In rešili smo najenostavnejšo enačbo.

Zdi se, da ni nič zapletenega, kajne? Vadimo najprej na najpreprostejših primeri:

Ponovno vidimo, da je treba desno in levo stran enačbe predstaviti kot potenco enega števila. Res je, na levi je to že narejeno, na desni pa je številka. Ampak nič hudega, ker se bo moja enačba čudežno spremenila v tole:

Kaj sem moral uporabiti tukaj? Kakšno pravilo? Pravilo "stopinj v stopinjah" ki se glasi:

Kaj če:

Preden odgovorimo na to vprašanje, izpolnimo naslednjo tabelo:

Zlahka opazimo, da čim manj, tem manjša vrednost, vendar so kljub temu vse te vrednosti večje od nič. IN VEDNO BO TAKO!!! Ista lastnost velja ZA VSAKO BAZO Z KAKRŠNIM KOLI INDIKATORJEM!! (za katero koli in). Kaj lahko potem sklepamo o enačbi? Evo, kaj je: to nima korenin! Tako kot vsaka enačba nima korenin. Zdaj pa vadimo in Rešimo preproste primere:

Preverimo:

1. Tukaj se od vas ne bo zahtevalo nič, razen znanja o lastnostih stopinj (kar sem vas mimogrede prosil, da ponovite!) Praviloma vse vodi do najmanjše baze: , . Potem bo prvotna enačba enakovredna naslednjemu: Vse kar potrebujem je, da uporabim lastnosti potenc: Pri množenju števil z enakimi osnovami se potence seštevajo, pri deljenju pa odštevajo. Potem bom dobil: No, zdaj pa bom mirne vesti prešel iz eksponentne enačbe v linearno: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\konec(poravnaj)

2. Pri drugem primeru moramo biti previdnejši: težava je v tem, da na levi strani nikakor ne moremo prikazati istega števila kot potenco. V tem primeru je včasih koristno predstavljajo števila kot produkt potenc z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti:

Leva stran enačbe bo videti takole: Kaj nam je to dalo? Evo kaj: Števila z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti, je mogoče pomnožiti.V tem primeru se baze pomnožijo, vendar se indikator ne spremeni:

V moji situaciji bo to dalo:

\začetek(poravnaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\konec(poravnaj)

Ni slabo, kajne?

3. Ni mi všeč, ko imam po nepotrebnem na eni strani enačbe dva izraza, na drugi pa nobenega (včasih je to seveda upravičeno, zdaj pa ni tako). Izraz minus bom premaknil na desno:

Zdaj bom, kot prej, vse zapisal v smislu moči treh:

Dodam stopinje na levi in ​​dobim enakovredno enačbo

Njegov koren lahko zlahka najdete:

4. Tako kot v primeru tri je minus člen na desni strani!

Na moji levi je skoraj vse v redu, razen česa? Ja, moti me "napačna diploma" obeh. Ampak to lahko enostavno popravim tako, da napišem: . Eureka - na levi so vse baze različne, vendar so vse stopnje enake! Takoj pomnožimo!

Tukaj je spet vse jasno: (če ne razumete, kako sem čarobno dobil zadnjo enakost, si vzemite minuto odmora, vdihnite in še enkrat natančno preberite lastnosti stopnje. Kdo je rekel, da lahko preskočite stopnja z negativnim eksponentom? No, tukaj sem približno enak kot nihče). Zdaj bom dobil:

\začetek(poravnaj)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\konec(poravnaj)

Tukaj je nekaj nalog za vajo, na katere bom podal le odgovore (vendar v »mešani« obliki). Rešite jih, preverite in midva bova nadaljevala z raziskovanjem!

pripravljena odgovori takole:

1. poljubno število

V redu, v redu, hecal sem se! Tukaj je nekaj skic rešitev (nekatere zelo kratke!)

Se vam ne zdi naključje, da je en ulomek na levi drugi "obrnjen"? Greh bi bil ne izkoristiti tega:

To pravilo se zelo pogosto uporablja pri reševanju eksponentnih enačb, dobro si ga zapomnite!

Potem bo izvirna enačba postala taka:

Z rešitvijo te kvadratne enačbe boste dobili naslednje korene:

2. Druga rešitev: obe strani enačbe delimo z izrazom na levi (ali desni). Če delim s tem, kar je na desni, potem dobim:

Kje (zakaj?!)

3. Sploh se ne želim ponavljati, vse je bilo že toliko "prežvečeno".

4. enakovredna kvadratni enačbi, korenine

5. Morate uporabiti formulo, podano v prvi težavi, potem boste dobili to:

Enačba se je spremenila v trivialno identiteto, ki velja za vse. Potem je odgovor poljubno realno število.

No, zdaj ste vadili reševanje enostavne eksponentne enačbe. Zdaj vam želim dati nekaj primerov iz resničnega življenja, ki vam bodo pomagali razumeti, zakaj so načeloma potrebni. Tukaj bom navedel dva primera. Eden od njih je povsem vsakdanji, drugi pa je bolj znanstvenega kot praktičnega pomena.

Primer 1 (merkantilno) Naj imate rublje, vendar jih želite spremeniti v rublje. Banka vam ponuja, da vam ta denar vzame po letni obrestni meri z mesečno kapitalizacijo obresti (mesečno obračunavanje). Vprašanje je, koliko mesecev morate odpreti depozit, da dosežete zahtevani končni znesek? Precej vsakdanje opravilo, kajne? Kljub temu je njegova rešitev povezana s konstrukcijo ustrezne eksponentne enačbe: Naj - začetni znesek, - končni znesek, - obrestna mera na obdobje, - število obdobij. Nato:

V našem primeru (če je stopnja letna, potem se izračuna na mesec). Zakaj je razdeljen na? Če ne poznate odgovora na to vprašanje, se spomnite teme ""! Potem dobimo to enačbo:

To eksponentno enačbo je mogoče rešiti samo s kalkulatorjem (njegov videz namiguje na to, to pa zahteva znanje logaritmov, s katerimi se bomo seznanili malo kasneje), kar bom naredil: ... Torej, da bi prejeli milijon, bomo morali položiti depozit za en mesec ( ne zelo hitro, kajne?).

Primer 2 (precej znanstven). Kljub njegovi določeni "izolaciji" priporočam, da ste pozorni nanj: redno "zdrsne na enotni državni izpit!! (problem je vzet iz “prave” različice) Pri razpadu radioaktivnega izotopa se njegova masa zmanjšuje po zakonu, kjer je (mg) začetna masa izotopa, (min.) čas, ki preteče od začetni trenutek (min.) je razpolovna doba. V začetnem trenutku je masa izotopa mg. Njegova razpolovna doba je min. Po koliko minutah bo masa izotopa enaka mg? V redu je: samo vzamemo in nadomestimo vse podatke v formulo, ki nam je predlagana:

Oba dela razdelimo na, "v upanju", da na levi dobimo nekaj prebavljivega:

Pa imamo veliko srečo! To je na levi strani, potem pa pojdimo na enakovredno enačbo:

Kje je min.

Kot lahko vidite, imajo eksponentne enačbe zelo realne aplikacije v praksi. Zdaj vam želim pokazati še en (preprost) način za reševanje eksponentnih enačb, ki temelji na vzetju skupnega faktorja iz oklepajev in nato združevanju členov. Naj vas ne prestrašijo moje besede, s to metodo ste se srečali že v 7. razredu, ko ste se učili polinome. Na primer, če bi morali izraz faktorizirati:

Združimo: prvi in ​​tretji člen ter drugi in četrti. Jasno je, da sta prvi in ​​tretji razlika kvadratov:

drugi in četrti pa imata skupni faktor tri:

Potem je prvotni izraz enakovreden temu:

Kje izpeljati skupni faktor ni več težko:

torej

Približno tako bomo naredili pri reševanju eksponentnih enačb: poiskali »skupnost« med izrazi in jo vzeli iz oklepajev, potem pa - naj bo karkoli, verjamem, da bomo imeli srečo =)) Na primer:

Na desni še zdaleč ni potenca sedmih (sem preveril!) In na levi - je malo bolje, faktor a lahko seveda "odsekate" od drugega od prvega člena in nato obravnavate s tem, kar imaš, ampak bodimo bolj preudarni s teboj. Nočem se ukvarjati z ulomki, ki neizogibno nastanejo pri "izbiranju", ali ne bi tega raje odstranil? Potem ne bom imel nobenih frakcij: kot pravijo, volkovi so siti in ovce varne:

Izračunaj izraz v oklepaju. Čarobno, čarobno se izkaže, da (presenetljivo, čeprav kaj drugega naj pričakujemo?).

Nato obe strani enačbe zmanjšamo za ta faktor. Dobimo: , od.

Tukaj je bolj zapleten primer (precej malo, res):

Kakšen problem! Tukaj nimamo ene skupne točke! Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj. Naredimo, kar je v naši moči: najprej premaknite "štirice" na eno stran in "petice" na drugo:

Zdaj pa izločimo "generala" na levi in ​​desni:

Kaj pa zdaj? Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:

No, zdaj se bomo prepričali, da imamo na levi samo izraz c, na desni pa vse ostalo. Kako naj to naredimo? Takole: obe strani enačbe najprej delite s (tako se znebite eksponenta na desni), nato pa obe strani delite s (tako se znebite številskega faktorja na levi). Končno dobimo:

Neverjetno! Na levi strani imamo izraz, na desni pa preprost izraz. Potem takoj sklepamo, da

Tu je še en primer za potrditev:

Podal bom njegovo kratko rešitev (ne da bi se mučil z razlagami), poskusite sami razumeti vse "tankosti" rešitve.

Sedaj pa še končna utrditev prejetega gradiva. Poskusite sami rešiti naslednje težave. Samo dal bom kratka priporočila in nasveti za njihovo reševanje:

1. Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: Kje:
2. Predstavimo prvi izraz v obliki: , delimo obe strani z in dobimo to
3. , potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poiščite, kje sva že rešila to enačbo!
4. Predstavljajte si, kako, kako, ah, no, nato delite obe strani s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
5. Izvlecite iz oklepaja.
6. Izvlecite iz oklepaja.

EKSPONENTNE ENAČBE. SREDNJA NIVO

Predvidevam, da po branju prvega članka, ki je govoril o kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, ste obvladali potrebno minimalno znanje, potrebno za reševanje najpreprostejših primerov.

Zdaj si bom ogledal drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to je

»metoda uvajanja nove spremenljivke« (ali zamenjave). Rešuje večino »težjih« problemov na temo eksponentnih enačb (pa ne samo enačb). Ta metoda je ena najpogosteje uporabljenih v praksi. Najprej priporočam, da se seznanite s temo.

Kot ste razumeli že iz imena, je bistvo te metode vpeljati takšno spremembo spremenljivke, da se bo vaša eksponentna enačba čudežno spremenila v tisto, ki jo boste zlahka rešili. Vse, kar vam po rešitvi te zelo »poenostavljene enačbe« preostane, je, da naredite »obratno zamenjavo«: torej vrnitev od zamenjanega k zamenjanemu. Ponazorimo, kar smo pravkar povedali, z zelo preprostim primerom:

Primer 1:

Ta enačba je rešena s pomočjo »preproste zamenjave«, kot jo matematiki omalovažujoče imenujejo. Pravzaprav je zamenjava tukaj najbolj očitna. To je treba samo videti

Nato se bo prvotna enačba spremenila v tole:

Če si dodatno predstavljamo, kako, potem je popolnoma jasno, kaj je treba zamenjati: seveda, . Kaj potem postane prvotna enačba? Evo kaj:

Njegove korenine zlahka najdete sami: . Kaj naj storimo zdaj? Čas je, da se vrnemo k prvotni spremenljivki. Kaj sem pozabil omeniti? Namreč: pri zamenjavi določene stopnje z novo spremenljivko (torej pri zamenjavi vrste) me bo zanimalo samo pozitivne korenine! Zakaj, si zlahka odgovorite sami. Tako vas in mene ne zanima, vendar je drugi koren povsem primeren za nas:

Od kod potem.

odgovor:

Kot lahko vidite, je v prejšnjem primeru zamenjava samo prosila za naše roke. Na žalost ni vedno tako. Vendar ne preidimo naravnost na žalostno, ampak vadimo še en primer z dokaj preprosto zamenjavo

Primer 2.

Jasno je, da bomo najverjetneje morali opraviti zamenjavo (to je najmanjša izmed potenc, ki jih vsebuje naša enačba), vendar je treba pred uvedbo zamenjave našo enačbo nanjo »pripraviti«, in sicer: , . Potem lahko zamenjate, kot rezultat dobim naslednji izraz:

Oh groza: kubična enačba z naravnost groznimi formulami za njeno reševanje (no, če govorimo splošni pogled). A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj bi morali narediti. Predlagal bom goljufanje: vemo, da moramo dobiti »lep« odgovor, da ga dobimo v obliki neke moči tri (zakaj bi bilo to, kajne?). Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (ugibati bom začel s potencami tri).

Prva ugibanja. Ni koren. Žal in ah ...

.
Leva stran je enaka.
Desna stran:!
Jejte! Uganil prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!

Ali poznate shemo delitve "kota"? Seveda ga imaš, uporabiš ga, ko eno število deliš z drugim. Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi. Obstaja en čudovit izrek:

Če uporabim mojo situacijo, mi to pove, da je deljivo brez ostanka z. Kako poteka delitev? Takole:

Pogledam, s katerim monomom bi moral pomnožiti, da dobim Clearly, nato pa:

Od dobljenega izraza odštejem, dobim:

Zdaj, s čim moram pomnožiti, da dobim? Jasno je, da bom dobil:

in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:

No, zadnji korak je množenje in odštevanje od preostalega izraza:

Hura, delitve je konec! Kaj smo si nabrali zasebno? Seveda:.

Nato smo dobili naslednjo razširitev prvotnega polinoma:

Rešimo drugo enačbo:

Ima korenine:

Nato izvirna enačba:

ima tri korenine:

Zadnji koren bomo seveda zavrgli, saj je manjši od nič. In prva dva po obratni zamenjavi nam bosta dala dva korena:

Odgovor: ..

S tem primerom vas sploh nisem želel prestrašiti, ampak je bil moj cilj pokazati, da je kljub temu, da smo imeli dokaj preprosto zamenjavo, vendarle pripeljala do precej zapletene enačbe, katere rešitev je od nas zahtevala nekaj posebnega znanja. No, nihče ni imun pred tem. Toda zamenjava je bila v tem primeru povsem očitna.

Tukaj je primer z nekoliko manj očitno zamenjavo:

Sploh ni jasno, kaj naj storimo: težava je v tem, da sta v naši enačbi dve različni bazi in ene baze ni mogoče dobiti iz druge tako, da jo dvignemo na katero koli (razumno, naravno) potenco. Vendar, kaj vidimo? Obe bazi se razlikujeta le v predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov enaka ena:

definicija:

Tako so števila, ki so osnove v našem primeru, konjugirana.

V tem primeru bi bil pameten korak Pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.

Na primer, on, potem bo leva stran enačbe enaka in desna. Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:

njegove korenine torej in če se tega spomnimo, to razumemo.

Odgovor: , .

Nadomestna metoda praviloma zadostuje za rešitev večine »šolskih« eksponentnih enačb. Naslednje naloge so vzete iz Enotnega državnega izpita C1 ( povečana raven kompleksnost). Ti si že dovolj pismen, da te primere rešiš sam. Dam samo zahtevano zamenjavo.

1. Reši enačbo:
2. Poiščite korenine enačbe:
3. Reši enačbo: . Poiščite vse korenine te enačbe, ki pripadajo segmentu:

Zdaj pa še nekaj kratkih pojasnil in odgovorov:

1. Tukaj je dovolj, da ugotovimo, da ... Potem bo prvotna enačba enakovredna tej: To enačbo je mogoče rešiti z zamenjavo Nadaljnje izračune naredite sami. Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje preprostih trigonometričnih problemov (odvisno od sinusa ali kosinusa). Rešitve podobnih primerov si bomo ogledali v drugih razdelkih.
2. Tukaj lahko celo storite brez zamenjave: samo premaknite subtrahend v desno in predstavite obe bazi s potencami dvojke: , nato pa pojdite naravnost na kvadratno enačbo.
3. Tudi tretja enačba je rešena precej standardno: predstavljajmo si, kako. Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo: potem,

   Saj že veste, kaj je logaritem, kajne? ne? Potem pa nujno preberi temo!

   Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nejasen! A izvedeli bomo zelo kmalu! Ker torej (to je lastnost logaritma!) Primerjajmo:

   Odštejemo z obeh strani, potem dobimo:

   Levo stran lahko predstavimo kot:

   pomnoži obe strani z:

   potem lahko pomnožimo s

   Nato primerjajte:

   od takrat:

   Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu

   odgovor:

Kot vidite, izbira korenin eksponentnih enačb zahteva dokaj globoko poznavanje lastnosti logaritmov, zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni. Kot razumete, je v matematiki vse med seboj povezano! Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematike, tako kot zgodovine, ni mogoče brati čez noč."

Praviloma vse Težava pri reševanju nalog C1 je ravno izbira korenin enačbe. Vadimo še z enim primerom:

Jasno je, da se sama enačba reši povsem preprosto. Z zamenjavo reduciramo prvotno enačbo na naslednje:

Najprej si oglejmo prvi koren. Primerjajmo in: od takrat. (lastnina logaritemska funkcija, pri). Potem je jasno, da prvi koren ne pripada našemu intervalu. Zdaj drugi koren: . Jasno je, da (ker funkcija pri narašča). Ostaja še primerjava in...

saj torej hkrati. Tako lahko »zabijem klin« med in. Ta klin je številka. Prvi izraz je manjši, drugi pa večji. Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.

Odgovor: .

Nazadnje si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nestandardna:

Začnimo takoj s tem, kaj je mogoče storiti in kaj - načeloma je mogoče storiti, vendar je bolje, da tega ne storite. Vse si lahko predstavljate skozi moči tri, dve in šest. Kaj bo to vodilo? To ne bo vodilo do ničesar: zmešnjava stopinj, od katerih se bo nekaterih precej težko znebiti. Kaj je potem potrebno? Upoštevajmo, da a In kaj nam bo to dalo? In dejstvo, da lahko rešitev tega primera reduciramo na rešitev dokaj preproste eksponentne enačbe! Najprej zapišimo našo enačbo kot:

Zdaj delimo obe strani dobljene enačbe z:

Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:

No, zdaj ste vi na vrsti za reševanje demonstracijskih nalog, jaz pa jih bom le na kratko komentiral, da ne boste zmedeni prava pot! vso srečo!

1. Najtežji! Tukaj je tako težko videti zamenjavo! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo poudarjanje celotnega kvadrata. Za rešitev je dovolj upoštevati, da:

Potem je tukaj vaša zamenjava:

(Upoštevajte, da tukaj med našo zamenjavo ne moremo zavreči negativnega korena!!! Zakaj mislite?)

Če želite zdaj rešiti primer, morate rešiti samo dve enačbi:

Oboje je mogoče rešiti s "standardno zamenjavo" (toda drugo v enem primeru!)

2. Upoštevajte to in zamenjajte.

3. Število razgradi na soproste faktorje in dobljeni izraz poenostavi.

4. Števec in imenovalec ulomka delite z (ali, če želite) in opravite zamenjavo oz.

5. Upoštevajte, da sta števili in konjugirani.

EKSPONENTNE ENAČBE. NAPREDNA STOPNJA

Poleg tega poglejmo še en način - reševanje eksponentnih enačb z logaritemsko metodo. Ne morem reči, da je reševanje eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljeno, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do prava odločitev naša enačba. Še posebej pogosto se uporablja za reševanje t.i. mešane enačbe": torej tiste, kjer se pojavljajo funkcije različnih vrst.

Na primer, enačba oblike:

v splošnem primeru jo je mogoče rešiti le z logaritmiranjem obeh strani (na primer na osnovo), pri čemer se bo prvotna enačba spremenila v naslednje:

Poglejmo si naslednji primer:

Jasno je, da nas glede na ODZ logaritemske funkcije zanima samo. Vendar to ne izhaja le iz ODZ logaritma, ampak še iz enega razloga. Mislim, da vam ne bo težko uganiti, kateri je.

Vzemimo logaritem obeh strani naše enačbe k osnovi:

Kot vidite, nas je logaritem naše prvotne enačbe hitro pripeljal do pravilnega (in čudovitega!) odgovora. Vadimo še z enim primerom:

Tudi tukaj ni nič narobe: vzemimo logaritem obeh strani enačbe k osnovi, potem dobimo:

Naredimo zamenjavo:

Vendar smo nekaj zamudili! Ste opazili, kje sem naredil napako? Konec koncev, potem:

ki ne izpolnjuje zahteve (pomislite, od kod prihaja!)

odgovor:

Poskusite zapisati rešitev spodnjih eksponentnih enačb:

Zdaj primerjajte svojo odločitev s tem:

1. Logaritmirajmo obe strani na osnovo, pri čemer upoštevamo, da:

(drugi koren za nas ni primeren zaradi zamenjave)

2. Logaritem na osnovo:

Pretvorimo dobljeni izraz v naslednjo obliko:

EKSPONENTNE ENAČBE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE

Eksponentna enačba

Enačba oblike:

klical najenostavnejša eksponentna enačba.

Lastnosti stopinj

Pristopi k rešitvi

• Redukcija na isto osnovo
• Redukcija na isti eksponent
• Spremenljiva zamenjava
• Poenostavitev izraza in uporaba enega od zgornjih.

Kaj je eksponentna enačba? Primeri.

Torej, eksponentna enačba ... Nov edinstven eksponat na naši splošni razstavi najrazličnejših enačb!) Kot se skoraj vedno zgodi, je ključna beseda vsakega novega matematičnega izraza ustrezni pridevnik, ki ga označuje. Tako je tukaj. Ključna beseda v izrazu "eksponentna enačba" je beseda "indikativno". Kaj to pomeni? Ta beseda pomeni, da je neznanka (x) locirana v smislu katere koli stopnje. In samo tam! To je izjemno pomembno.

Na primer te preproste enačbe:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ali celo te pošasti:

2 sin x = 0,5

Takoj bodite pozorni na eno pomembno stvar: razlogov stopinj (spodaj) – samo številke. Ampak v indikatorji stopnje (zgoraj) - široka paleta izrazov z X. Absolutno vse.) Vse je odvisno od specifične enačbe. Če se nenadoma pojavi x nekje drugje v enačbi, poleg indikatorja (recimo 3 x = 18 + x 2), potem bo taka enačba že enačba mešani tip . Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zato v to lekcijo jih ne bomo upoštevali. Na veselje učencev.) Tukaj bomo obravnavali samo eksponentne enačbe v »čisti« obliki.

Na splošno ni mogoče jasno rešiti vseh in ne vedno niti čistih eksponentnih enačb. Toda med vsem bogatim izborom eksponentnih enačb obstajajo določene vrste, ki jih je mogoče in bi jih bilo treba rešiti. Te vrste enačb bomo obravnavali. In zagotovo bomo rešili primere.) Zato se udobno namestimo in gremo! Tako kot v računalniških “streljačinah” bo naše potovanje potekalo skozi nivoje.) Od osnovnega do preprostega, od preprostega do povprečnega in od povprečnega do zapletenega. Na poti vas bo čakal tudi skrivni nivo - tehnike in metode za reševanje nestandardnih primerov. Tiste, o katerih ne boste brali v večini šolskih učbenikov ... No, na koncu pa vas seveda čaka končni šef v obliki domače naloge.)

Stopnja 0. Katera je najenostavnejša eksponentna enačba? Reševanje preprostih eksponentnih enačb.

Najprej si poglejmo nekaj odkritih osnovnih stvari. Nekje je treba začeti, kajne? Na primer, ta enačba:

2 x = 2 2

Tudi brez kakršnih koli teorij je po preprosti logiki in zdravi pameti jasno, da je x = 2. Druge poti ni, kajne? Noben drug pomen X ni primeren ... Zdaj pa posvetimo pozornost zapisnik odločitve ta kul eksponentna enačba:

2 x = 2 2

X = 2

Kaj se nam je zgodilo? In zgodilo se je naslednje. Pravzaprav smo ga vzeli in ... preprosto vrgli ven iste baze (dvojke)! Popolnoma vržen ven. In dobra novica je, da smo zadeli v biko!

Da, res, če sta v eksponentni enačbi leva in desna enakaštevila v poljubnih potencah, potem lahko ta števila zavržemo in eksponente enostavno enačimo. Matematika dopušča.) In potem lahko ločeno delate z indikatorji in rešite veliko preprostejšo enačbo. Super, kajne?

Tukaj je ključna ideja za rešitev katere koli (da, točno katere koli!) eksponentne enačbe: z uporabo identičnih transformacij je treba zagotoviti, da sta leva in desna stran enačbe enaka osnovna števila v različnih potencah. In potem lahko varno odstraniš iste osnove in izenačiš eksponente. In delajte s preprostejšo enačbo.

Zdaj pa se spomnimo železno pravilo: mogoče je odstraniti enake baze, če in samo če imajo števila na levi in ​​desni strani enačbe osnovna števila v čudoviti izolaciji.

Kaj to pomeni, v čudoviti izolaciji? To pomeni brez sosedov in koeficientov. Naj razložim.

Na primer, v enačbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trojk ni mogoče odstraniti! Zakaj? Ker na levici nimamo le osamljene trojke do stopinje, ampak delo 3·3 x-5 . Dodatni trije motijo: koeficient, razumete.)

Enako lahko rečemo za enačbo

5 3 x = 5 2 x +5 x

Tudi tukaj so vse podlage enake – pet. Toda na desni nimamo ene same potence petice: obstaja vsota potenc!

Skratka, enake baze imamo pravico odstraniti le, če je naša eksponentna enačba videti tako in samo tako:

af (x) = a g (x)

Ta vrsta eksponentne enačbe se imenuje najbolj preprosta. Ali, znanstveno gledano, kanoničen . In ne glede na to, kakšno zvito enačbo imamo pred seboj, jo bomo tako ali drugače zreducirali na točno to najenostavnejšo (kanonično) obliko. Ali pa v nekaterih primerih celota enačbe te vrste. Potem lahko našo najpreprostejšo enačbo prepišemo v splošni obliki takole:

F(x) = g(x)

To je vse. To bi bila enakovredna pretvorba. V tem primeru sta f(x) in g(x) lahko absolutno poljubna izraza z x. Karkoli že.

Morda se bo kakšen posebej vedoželjen učenec vprašal: zakaj zaboga tako enostavno in preprosto zavržemo iste osnove na levi in ​​desni ter enačimo eksponente? Intuicija je intuicija, a kaj, če se v neki enačbi in iz nekega razloga ta pristop izkaže za napačnega? Ali je vedno zakonito zavrniti iste razloge? Na žalost za strog matematični odgovor na to zanimivo vprašanje se morate precej globoko in resno potopiti splošna teorija delovanje naprave in delovanja. In malo bolj konkretno – v fenomenu stroga monotonija.Še posebej stroga monotonija eksponentna funkcijal= a x. Ker je eksponentna funkcija in njene lastnosti osnova rešitve eksponentnih enačb, da.) Podroben odgovor na to vprašanje bo podan v ločeni posebni lekciji, namenjeni reševanju kompleksnih nestandardnih enačb z uporabo monotonosti različnih funkcij.)

Če bi zdaj podrobno razložili to točko, bi povprečnemu šolarju samo razstrelili glave in ga pred časom prestrašili s suhoparno in težko teorijo. Tega ne bom naredil.) Ker je naš glavni v tem trenutku naloga - naučite se reševati eksponentne enačbe! Tisti najbolj preprosti! Zatorej še ne skrbimo in pogumno vrzimo iste razloge. to Lahko, verjemite mi na besedo!) In potem rešimo ekvivalentno enačbo f(x) = g(x). Praviloma enostavnejša od prvotne eksponentne.

Seveda se predpostavlja, da ljudje že znajo rešiti vsaj , in enačbe brez x-jev v eksponentih.) Za tiste, ki še vedno ne vedo, kako, lahko zaprete to stran, sledite ustreznim povezavam in izpolnite stare vrzeli. Sicer ti bo težko, ja...

Ne govorim o iracionalnih, trigonometričnih in drugih brutalnih enačbah, ki lahko nastanejo tudi v procesu odpravljanja temeljev. Toda ne bodite prestrašeni, za zdaj ne bomo upoštevali odkrite krutosti v smislu stopinj: prezgodaj je. Učili se bomo samo na najpreprostejših enačbah.)

Zdaj pa si poglejmo enačbe, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih zmanjšamo na najpreprostejše. Za razlikovanje jih poimenujmo enostavne eksponentne enačbe. Torej pojdimo na naslednjo stopnjo!

1. stopnja. Preproste eksponentne enačbe. Prepoznajmo stopinje! Naravni indikatorji.

Ključna pravila pri reševanju katere koli eksponentne enačbe so pravila za ravnanje z diplomami. Brez tega znanja in spretnosti nič ne bo šlo. žal Torej, če imate težave z diplomami, potem najprej dobrodošli. Poleg tega bomo potrebovali tudi. Te transformacije (dve izmed njih!) so osnova za reševanje vseh matematičnih enačb na splošno. Pa ne samo demonstrativne. Torej, kdor je pozabil, naj si ogleda tudi povezavo: ne dam jih kar tako.

Toda samo operacije s pooblastili in transformacije identitete niso dovolj. Potrebna sta tudi osebno opazovanje in iznajdljivost. Potrebujemo iste razloge, kajne? Zato preučimo primer in jih iščemo v eksplicitni ali prikriti obliki!

Na primer, ta enačba:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prvi pogled na razlogov. So ... drugačni! Tri in sedemindvajset. Vendar je prezgodaj za paniko in obup. Čas je, da se tega spomnimo

27 = 3 3

Števili 3 in 27 sta sorodnici po stopnji! In bližnjih.) Zato imamo vsaka pravica zapiši:

27 x +2 = (3 3) x +2

Zdaj pa povežimo svoje znanje o dejanja s stopnjami(in opozoril sem te!). Obstaja zelo uporabna formula:

(a m) n = a mn

Če ga zdaj spravite v akcijo, se obnese odlično:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Prvotni primer zdaj izgleda takole:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Super, osnove stopinj so se izravnale. To smo želeli. Polovica bitke je narejena.) Zdaj zaženemo osnovno transformacijo identitete - premaknite 3 3(x +2) v desno. Nihče ni preklical osnovnih matematičnih operacij, ja.) Dobimo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Kaj nam daje ta vrsta enačbe? In dejstvo, da je zdaj naša enačba zmanjšana v kanonično obliko: na levi in ​​desni sta enaki števili (trojki) v potencah. Še več, oba trije so v čudoviti izolaciji. Prosto odstranite trojčke in pridobite:

2x = 3(x+2)

Rešimo to in dobimo:

X = -6

To je vse. To je pravilen odgovor.)

Zdaj pa razmislimo o rešitvi. Kaj nas je v tem primeru rešilo? Poznavanje moči treh nas je rešilo. Kako natančno? mi ugotovljenoštevilka 27 vsebuje šifrirano trojko! Ta trik (kodiranje iste baze pod različnimi številkami) je eden najbolj priljubljenih v eksponentnih enačbah! Razen če je najbolj popularen. Da, in mimogrede na enak način. Zato sta opazovanje in sposobnost prepoznavanja potenc drugih števil v številih tako pomembna v eksponentnih enačbah!

Praktični nasvet:

Poznati morate moči priljubljenih številk. V obraz!

Seveda lahko vsak dvigne dve na sedmo ali tri na peto potenco. Ne v mislih, ampak vsaj v osnutku. Toda v eksponentnih enačbah veliko pogosteje ni treba dvigniti na potenco, ampak, nasprotno, ugotoviti, katero število in na kakšno moč se skriva za številom, recimo 128 ali 243. In to je bolj zapleteno kot preprosto vzgojo, se boste strinjali. Občutite razliko, kot pravijo!

Ker bo sposobnost osebnega prepoznavanja diplom koristna ne samo na tej stopnji, ampak tudi na naslednjih, je tukaj majhna naloga za vas:

Ugotovite, katere potence in katera števila so števila:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (seveda naključno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ja, ja! Naj vas ne preseneti, da je odgovorov več kot nalog. Na primer, 2 8, 4 4 in 16 2 so vsi 256.

2. stopnja. Preproste eksponentne enačbe. Prepoznajmo stopinje! Negativni in delni kazalniki.

Na tej stopnji že v največji možni meri uporabljamo svoje znanje o diplomah. V to namreč vključujemo vznemirljiv proces negativni in delni eksponenti! ja, ja! Povečati moramo svojo moč, kajne?

Na primer, ta strašna enačba:

Spet je prvi pogled na temelje. Razlogi so različni! In tokrat si nista niti približno podobna! 5 in 0,04... In za odpravo baz so potrebne iste... Kaj storiti?

V redu je! Pravzaprav je vse enako, le povezava med petico in 0,04 je vizualno slabo vidna. Kako lahko pridemo ven? Preidimo k številu 0,04 kot navadnemu ulomku! In potem, vidite, vse se bo izšlo.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Izkazalo se je, da je 0,04 1/25! No, kdo bi si mislil!)

Kako torej? Je zdaj lažje videti povezavo med številkama 5 in 1/25? to je to...

In zdaj po pravilih dejanj z diplomami negativni indikator Lahko pišete z mirno roko:

To je super. Tako smo prišli do iste baze - pet. Sedaj nadomestimo neprijetno številko 0,04 v enačbi s 5 -2 in dobimo:

Spet po pravilih delovanja z diplomami lahko zdaj zapišemo:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Za vsak slučaj vas spomnim (če kdo ne ve), da osnovna pravila za ravnanje z diplomami veljajo za katerikoli indikatorji! Vključno z negativnimi.) Torej, lahko vzamete in pomnožite indikatorje (-2) in (x-1) v skladu z ustreznim pravilom. Naša enačba postaja vse boljša:

Vse! Razen osamljenih petic v pooblastilih na levi in ​​desni ni ničesar drugega. Enačba je reducirana na kanonično obliko. In potem - po narebričeni stezi. Odstranimo petice in izenačimo kazalnike:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primer je skoraj rešen. Ostala je le osnovnošolska matematika - odprite (pravilno!) oklepaje in zberite vse na levi:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Rešimo to in dobimo dva korena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je vse.)

Zdaj pa razmislimo še enkrat. V tem primeru smo spet morali prepoznati isto število v različnih stopnjah! Namreč videti šifrirano petico v številu 0,04. In tokrat - v negativna stopnja! Kako nam je to uspelo? Takoj - nikakor. Toda po prehodu iz decimalno 0,04 na navadni ulomek 1/25 in to je to! In potem je šla celotna odločitev kot po maslu.)

Zato še en zeleni praktični nasvet.

Če eksponentna enačba vsebuje decimalne ulomke, potem preidemo od decimalnih k navadnim ulomkom. IN navadni ulomki Veliko lažje je prepoznati moči mnogih priljubljenih števil! Po prepoznavanju preidemo z ulomkov na potence z negativnimi eksponenti.

Upoštevajte, da se ta trik zelo, zelo pogosto pojavlja v eksponentnih enačbah! Ampak oseba ni v temi. Pogleda na primer števili 32 in 0,125 in se razburi. Ne da bi vedel, je to ena in ista dvojka, le da v različne stopnje... Ampak ste že na temi!)

Reši enačbo:

noter! Videti je kot tiha groza... Vendar videz vara. To je najenostavnejša eksponentna enačba, kljub zastrašujočemu videzu. In zdaj vam ga bom pokazal.)

Najprej si poglejmo vse številke v bazah in koeficientih. Seveda so drugačni, ja. A vseeno bomo tvegali in jih skušali uresničiti enaka! Poskusimo priti do isto število v različnih potencah. Še več, po možnosti so številke čim manjše. Torej, začnimo z dekodiranjem!

No, s štirimi je vse takoj jasno - to je 2 2. V redu, to je že nekaj.)

Z delčkom 0,25 - še vedno ni jasno. Treba preveriti. Uporabimo praktičen nasvet - premaknite se z decimalnega ulomka na navadni ulomek:

0,25 = 25/100 = 1/4

Že veliko bolje. Ker je zdaj jasno razvidno, da je 1/4 2 -2. Odlično, število 0,25 je tudi podobno dve.)

Zaenkrat gre dobro. Toda najhujša številka od vseh ostaja - kvadratni koren iz dva! Kaj storiti s to papriko? Ali ga je mogoče predstaviti tudi kot potenco dvojke? In kdo ve ...

Pa se spet potopimo v našo zakladnico znanja o diplomah! Tokrat še dodatno povezujemo svoje znanje o koreninah. Iz tečaja 9. razreda bi se morali ti in jaz naučiti, da lahko vsak koren, če želimo, vedno spremenimo v stopnjo z delnim indikatorjem.

takole:

V našem primeru:

Vau! Izkaže se, da je kvadratni koren iz dva 2 1/2. To je to!

To je super! Vse naše neprijetne številke so se dejansko izkazale za šifrirano dvojko.) Ne trdim, nekje zelo sofisticirano šifrirano. Izboljšujemo pa tudi svojo strokovnost pri reševanju takih šifer! In potem je že vse očitno. V naši enačbi zamenjamo števila 4, 0,25 in koren iz dve s potencami dvojke:

Vse! Osnove vseh stopinj v primeru so postale enake - dve. In zdaj se uporabljajo standardna dejanja s stopnjami:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Za levo stran dobite:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desno stran bo:

In zdaj je naša zlobna enačba videti takole:

Za tiste, ki še niste natančno ugotovili, kako je nastala ta enačba, potem vprašanje tukaj ne gre za eksponentne enačbe. Vprašanje je o dejanjih z diplomami. Prosila sem vas, da nujno ponovite tistim, ki imate težave!

Tukaj je ciljna črta! Dobljena je kanonična oblika eksponentne enačbe! Kako torej? Sem vas prepričal, da ni vse tako strašno? ;) Odstranimo dvojke in izenačimo indikatorje:

Vse kar ostane je rešiti to linearno enačbo. kako S pomočjo enakih transformacij, seveda.) Odločite se, kaj se dogaja! Pomnožite obe strani z dva (da odstranite ulomek 3/2), premaknite člene z X na levo, brez X na desno, prinesite podobne, preštejte - in srečni boste!

Vse bi moralo izpasti lepo:

X=4

Zdaj pa še enkrat razmislimo o rešitvi. V tem primeru nam je pomagal prehod iz kvadratni koren Za stopnje s eksponentom 1/2. Še več, le tako zvita transformacija nam je pomagala doseči isto bazo (dve) povsod, kar je rešilo situacijo! In če ne bi bilo tako, potem bi imeli vse možnosti, da za vedno zmrznemo in se nikoli ne bi spopadli s tem primerom, ja ...

Zato ne zanemarimo naslednjih praktičnih nasvetov:

Če eksponentna enačba vsebuje korene, potem prehajamo od korenov na potence z delnimi eksponenti. Zelo pogosto šele taka transformacija razjasni nadaljnjo situacijo.

Seveda so negativne in delne potence že veliko bolj zapletene kot naravne. Vsaj z vidika vizualne percepcije in predvsem prepoznave z desne proti levi!

Jasno je, da neposredno povišanje na primer dve na potenco -3 ali štiri na potenco -3/2 ni tako velik problem. Za poznavalce.)

Ampak pojdi, na primer, takoj spoznal, da

0,125 = 2 -3

oz

Tukaj vladata samo praksa in bogate izkušnje, ja. In seveda jasno idejo, Kaj je negativna in delna stopnja? In tudi praktični nasveti! Ja, ja, tisti isti zelena.) Upam, da ti bodo vseeno pomagali pri lažjem krmarjenju v vsej pestri raznolikosti diplom in bistveno povečali tvoje možnosti za uspeh! Zato jih ne zanemarjajmo. Nisem zaman zelena včasih pišem.)

Če pa se spoznate tudi s tako eksotičnimi potenci, kot so negativne in frakcijske, se bodo vaše zmožnosti pri reševanju eksponentnih enačb izjemno razširile in kos boste skoraj vsaki vrsti eksponentnih enačb. No, če ne nobena, pa 80 odstotkov vseh eksponentnih enačb – zagotovo! Ja, ja, ne hecam se!

Tako je naš prvi del uvoda v eksponentne enačbe prišel do logičnega zaključka. In kot vmesno vadbo tradicionalno predlagam malo samorefleksije.)

Naloga 1.

Da moje besede o dešifriranju negativnih in ulomkov ne bodo zaman, predlagam malo igro!

Izrazite števila kot potence dvojke:

Odgovori (v neredu):

Je uspelo? odlično! Nato opravimo bojno nalogo - rešimo najpreprostejše in najpreprostejše eksponentne enačbe!

Naloga 2.

Rešite enačbe (vsi odgovori so zmešnjava!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

odgovori:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Je uspelo? Dejansko je veliko bolj preprosto!

Nato rešimo naslednjo igro:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

In ti primeri so še eni? odlično! Rasteš! Potem je tukaj še nekaj primerov, ki jih lahko prigriznete:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

In ali je to odločeno? No, spoštovanje! Snamem klobuk.) Torej, lekcija ni bila zaman in vstopna raven reševanje eksponentnih enačb lahko štejemo za uspešno obvladano. Pred nami so naslednje ravni in še več kompleksne enačbe! In nove tehnike in pristopi. IN nestandardni primeri. In nova presenečenja.) Vse to je v naslednji lekciji!

Je šlo kaj narobe? To pomeni, da so najverjetneje težave v. Ali pa v. Ali oboje naenkrat. Tukaj sem brez moči. Še enkrat lahko predlagam samo eno stvar - ne bodite leni in sledite povezavam.)

Nadaljevanje.)

Reševanje eksponentnih enačb. Primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v Posebni oddelek 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj se je zgodilo eksponentna enačba? To je enačba, v kateri so neznanke (x) in izrazi z njimi indikatorji nekaj stopinj. In samo tam! To je pomembno.

Izvolite primeri eksponentnih enačb:

3 x 2 x = 8 x+3

Pozor! V osnovah stopinj (spodaj) - samo številke. IN indikatorji stopnje (zgoraj) - široka paleta izrazov z X. Če se nenadoma pojavi X v enačbi nekje drugje kot indikator, na primer:

to bo že enačba mešanega tipa. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zaenkrat jih ne bomo upoštevali. Tukaj se bomo ukvarjali s reševanje eksponentnih enačb v najčistejši obliki.

Pravzaprav tudi čiste eksponentne enačbe niso vedno jasno rešene. Obstajajo pa nekatere vrste eksponentnih enačb, ki jih je mogoče in jih je treba rešiti. To so vrste, ki jih bomo upoštevali.

Reševanje preprostih eksponentnih enačb.

Najprej rešimo nekaj zelo osnovnega. Na primer:

Tudi brez kakršnih koli teorij je s preprostim izborom jasno, da je x = 2. Nič drugega, kajne!? Nobena druga vrednost X ne deluje. Zdaj pa poglejmo rešitev te zapletene eksponentne enačbe:

Kaj smo storili? Pravzaprav smo iste baze (trojke) preprosto vrgli ven. Popolnoma vržen ven. In dobra novica je, da smo zadeli žebljico na glavico!

Dejansko, če v eksponentni enačbi obstajata leva in desna enakaštevila v poljubnih potencah, lahko ta števila odstranimo in eksponente lahko izenačimo. Matematika dopušča. Ostaja rešiti veliko preprostejšo enačbo. Odlično, kajne?)

Vendar si trdno zapomnimo: Baze lahko odstranite le, če sta bazni številki na levi in ​​desni v čudoviti izolaciji! Brez sosedov in koeficientov. Recimo v enačbah:

2 x +2 x+1 = 2 3 ali

dvojk ni mogoče odstraniti!

Pa smo obvladali najpomembnejše. Kako preiti od zlih eksponentnih izrazov k preprostejšim enačbam.

"Takšni so časi!" - praviš. "Kdo bi dajal tako primitivno lekcijo na testih in izpitih!?"

Moram se strinjati. Nihče ne bo. Toda zdaj veste, kam ciljati pri reševanju zapletenih primerov. Pripeljati ga je treba do obrazca, kjer je na levi in ​​desni enaka osnovna številka. Potem bo vse lažje. Pravzaprav je to klasika matematike. Vzamemo izvirni primer in ga spremenimo v želenega nas um. Po pravilih matematike, seveda.

Oglejmo si primere, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih zmanjšamo na najpreprostejše. Pokličimo jih preproste eksponentne enačbe.

Reševanje preprostih eksponentnih enačb. Primeri.

Pri reševanju eksponentnih enačb so glavna pravila dejanja s stopnjami. Brez poznavanja teh dejanj nič ne bo delovalo.

Dejanjem z diplomami je treba dodati osebno opazovanje in iznajdljivost. Ali potrebujemo enaka osnovna števila? Zato jih v primeru iščemo v eksplicitni ali šifrirani obliki.

Poglejmo, kako se to izvaja v praksi?

Naj nam navedejo primer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi oster pogled je na razlogov. Oni... So drugačni! Dva in osem. Vendar je še prezgodaj, da bi postali malodušni. Čas je, da se tega spomnimo

Dva in osem sta sorodnika po stopnji.) Povsem mogoče je napisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Če se spomnimo formule iz operacij s stopinjami:

(a n) m = a nm,

tole deluje odlično:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Prvotni primer je začel izgledati takole:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Prenašamo 2 3 (x+1) na desno (nihče ni preklical elementarnih matematičnih operacij!), dobimo:

2 2x = 2 3(x+1)

To je praktično vse. Odstranjevanje podstavkov:

Rešimo to pošast in dobimo

To je pravilen odgovor.

V tem primeru nam je pomagalo poznavanje moči dvojke. mi ugotovljeno v osmici je šifrirana dvojka. Ta tehnika (kodiranje skupnih baz pod različnimi številkami) je zelo priljubljena tehnika v eksponentnih enačbah! Da, in tudi v logaritmih. Moraš biti sposoben prepoznati moči drugih števil v številih. To je izjemno pomembno za reševanje eksponentnih enačb.

Dejstvo je, da dvig poljubnega števila na poljubno potenco ni problem. Pomnožite, tudi na papirju, in to je to. Vsakdo lahko na primer dvigne 3 na peto potenco. 243 se bo izkazalo, če poznate tabelo množenja.) Toda v eksponentnih enačbah veliko pogosteje ni treba dvigniti na potenco, ampak obratno ... Ugotovite kakšno število do katere stopnje se skriva za številko 243, ali pa recimo 343... Tukaj ti ne bo pomagal noben kalkulator.

Morate poznati moči nekaterih števil na pogled, kajne ... Vadimo?

Ugotovite, katere potence in katera števila so števila:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (v zmešnjavi, seveda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Če pogledate natančno, lahko vidite čudno dejstvo. Odgovorov je bistveno več kot nalog! No, se zgodi ... Na primer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je vse 64.

Predpostavimo, da ste upoštevali informacijo o poznavanju števil.) Naj vas spomnim tudi, da za reševanje eksponentnih enačb uporabljamo vse zalogo matematičnega znanja. Vključno s tistimi iz nižjih in srednjih razredov. Nisi šel takoj v srednjo šolo, kajne?)

Na primer, pri reševanju eksponentnih enačb pogosto pomaga dajanje skupnega faktorja iz oklepaja (pozdravljeni v 7. razredu!). Poglejmo primer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

In spet je prvi pogled na temelje! Osnove stopinj so različne ... Tri in devet. In želimo, da so enaki. No, v tem primeru je želja popolnoma izpolnjena!) Ker:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Uporaba istih pravil za ravnanje z diplomami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To je super, lahko zapišete:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Iz istih razlogov smo dali primer. In kaj potem!? Ne moreš vreči trojk ... Slepa ulica?

sploh ne. Zapomnite si najbolj univerzalno in močno pravilo odločanja vsi matematične naloge:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!

Glej, vse se bo izšlo).

Kaj je v tej eksponentni enačbi Lahko narediti? Ja, na levi strani kar kliče iz oklepaja! Skupni množitelj 3 2x jasno namiguje na to. Poskusimo, potem pa bomo videli:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Zgled je vedno boljši!

Ne pozabimo, da za odpravo razlogov potrebujemo čisto stopnjo, brez koeficientov. Številka 70 nas moti. Torej delimo obe strani enačbe s 70, dobimo:

Ups! Vse je šlo na bolje!

To je končni odgovor.

Zgodi pa se, da je taksiranje na isti podlagi možno, vendar njihova odprava ni možna. To se zgodi v drugih vrstah eksponentnih enačb. Obvladajmo to vrsto.

Zamenjava spremenljivke pri reševanju eksponentnih enačb. Primeri.

Rešimo enačbo:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprej - kot običajno. Pojdimo na eno bazo. Na dvojko.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobimo enačbo:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

In tukaj se družimo. Prejšnje tehnike ne bodo delovale, ne glede na to, kako gledate. Iz našega arzenala bomo morali potegniti še eno močno in univerzalno metodo. Imenuje se variabilna zamenjava.

Bistvo metode je presenetljivo preprosto. Namesto ene kompleksne ikone (v našem primeru - 2 x) napišemo drugo, preprostejšo (na primer - t). Takšna na videz nesmiselna zamenjava vodi do neverjetnih rezultatov!) Vse postane jasno in razumljivo!

Torej naj

Potem je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

V naši enačbi zamenjamo vse potence z x-ji s t:

No, se vam že svita?) Kvadratne enačbe Ste že pozabili? Če rešimo diskriminanto, dobimo:

Glavna stvar tukaj je, da se ne ustavite, kot se zgodi ... To še ni odgovor, potrebujemo x, ne t. Vrnimo se k X-om, tj. naredimo obratno zamenjavo. Najprej za t 1:

zato

Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:

Hm... 2 x na levi, 1 na desni... Problem? sploh ne! Dovolj je, da se spomnimo (iz operacij s potencami, ja ...), da enota je katerikolištevilo na ničelno potenco. katera koli. Kar bo potrebno, bomo vgradili. Potrebujemo dva. Pomeni:

To je zdaj to. Imamo 2 korena:

To je odgovor.

pri reševanje eksponentnih enačb na koncu včasih končaš s kakšnim nerodnim izrazom. Tip:

Od sedmih do dveh skozi preprosta stopnja ne deluje. Saj nista sorodnika... Kako naj bova? Nekdo je morda zmeden ... Ampak tukaj je oseba, ki je prebrala temo na tej strani "Kaj je logaritem?", se le skopo nasmehne in s trdno roko zapiše povsem pravilen odgovor:

Takšnega odgovora v nalogah "B" na Enotnem državnem izpitu ne more biti. Tam je potrebna posebna številka. Toda pri nalogah "C" je enostavno.

Ta lekcija ponuja primere reševanja najpogostejših eksponentnih enačb. Poudarimo glavne točke.

Praktični nasveti:

1. Najprej pogledamo razlogov stopnje. Zanima nas, ali jih je možno narediti enaka. Poskusimo to storiti z aktivno uporabo dejanja s stopnjami. Ne pozabite, da je mogoče števila brez x-jev pretvoriti tudi v potence!

2. Eksponentno enačbo poskušamo spraviti v obliko, ko sta na levi in ​​na desni enakaštevila v poljubnih potencah. Uporabljamo dejanja s stopnjami in faktorizacija. Kar se da prešteti v številkah, štejemo.

3. Če drugi nasvet ne deluje, poskusite uporabiti zamenjavo spremenljivke. Rezultat je lahko enačba, ki jo je mogoče preprosto rešiti. Najpogosteje - kvadrat. Ali ulomek, ki se prav tako zmanjša na kvadrat.

4. Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati potence nekaterih števil na pogled.

Kot ponavadi ste na koncu lekcije vabljeni, da se malo odločite.) Sami. Od enostavnega do kompleksnega.

Reši eksponentne enačbe:

Težje:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Poiščite produkt korenin:

2 3 + 2 x = 9

Je uspelo?

No torej najbolj zapleten primer(odločen, vendar v mislih ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kaj je bolj zanimivo? Potem je tukaj slab primer za vas. Precej mamljivo za povečano težavnost. Naj namignem, da je v tem primeru iznajdljivost in največ univerzalno pravilo rešitve vseh matematičnih problemov.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Enostavnejši primer, za sprostitev):

9 2 x - 4 3 x = 0

In za sladico. Poiščite vsoto korenin enačbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ja, ja! To je enačba mešanega tipa! Česar v tej lekciji nismo upoštevali. Zakaj bi jih upoštevali, treba jih je rešiti!) Ta lekcija je povsem dovolj za rešitev enačbe. Pa iznajdljivost rabiš... In naj ti pomaga sedmi razred (to je namig!).

Odgovori (razporejeni, ločeni s podpičji):

1; 2; 3; 4; ni rešitev; 2; -2; -5; 4; 0.

Je vse uspešno? super

Kakšne težave? Brez vprašanja! IN Posebni oddelek 555 vse te eksponentne enačbe je mogoče rešiti z podrobna pojasnila. Kaj, zakaj in zakaj. In seveda obstajajo dodatne dragocene informacije o delu z vsemi vrstami eksponentnih enačb. Ne samo te.)

Še zadnje zabavno vprašanje za razmislek. V tej lekciji smo delali z eksponentnimi enačbami. Zakaj tukaj nisem rekel niti besede o ODZ? Mimogrede, v enačbah je to zelo pomembna stvar ...

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Na stopnji priprave na zaključni test morajo srednješolci izboljšati svoje znanje na temo "Eksponentne enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da takšne naloge šolarjem povzročajo določene težave. Zato morajo srednješolci, ne glede na stopnjo pripravljenosti, temeljito obvladati teorijo, si zapomniti formule in razumeti princip reševanja takšnih enačb. Ko so se naučili obvladovati tovrstne težave, lahko diplomanti računajo na visoke ocene pri opravljanju enotnega državnega izpita iz matematike.

Pripravite se na izpitno testiranje s Shkolkovo!

Mnogi učenci se ob pregledu gradiva, ki so ga obravnavali, soočajo s problemom iskanja formul, potrebnih za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, izbiranje potrebnih informacij o temi na internetu pa traja dolgo.

Izobraževalni portal Shkolkovo vabi študente k uporabi naše baze znanja. Izvajamo v celoti nova metoda priprava na zaključni test. S študijem na naši spletni strani boste lahko prepoznali vrzeli v znanju in se posvetili tistim nalogam, ki povzročajo največ težav.

Učitelji Shkolkovo so zbrali, sistematizirali in predstavili vse potrebno za uspešen zaključek Gradivo za enotni državni izpit v najpreprostejši in najbolj dostopni obliki.

Osnovne definicije in formule so predstavljene v poglavju “Teoretično ozadje”.

Za boljše razumevanje snovi priporočamo, da vadite izpolnjevanje nalog. Previdno preglejte primere eksponentnih enačb z rešitvami, predstavljene na tej strani, da boste razumeli algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z izvajanjem nalog v razdelku »Imeniki«. Začnete lahko z najlažjimi problemi ali pa takoj rešite kompleksne eksponentne enačbe z več neznankami ali . Baza vaj na naši spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.

Tiste primere z indikatorji, ki so vam povzročali težave, lahko dodate med »Priljubljene«. Tako jih lahko hitro najdete in se o rešitvi pogovorite z učiteljem.

Za uspešno opravljen enotni državni izpit se vsak dan učite na portalu Shkolkovo!