¿Por qué número son divisibles todos los números naturales? Comprensión general de los números naturales. Minimo común multiplo

Enteros

Los números naturales son aquellos números que se utilizan para contar varios objetos o para indicar el número de serie de un objeto entre otros similares u homogéneos.

Puedes escribir números naturales usando los primeros diez dígitos:

escribir sencillo números naturales Es habitual utilizar un sistema numérico decimal posicional, donde el valor de cualquier dígito está determinado por su lugar en el registro.

Los números naturales son los números más simples que usamos a menudo en La vida cotidiana. Con la ayuda de estos números realizamos cálculos, contamos objetos, determinamos su cantidad, orden y número.

Comenzamos a familiarizarnos con los números naturales desde la primera infancia, por lo que nos resultan familiares y naturales a cada uno de nosotros.

Comprensión general de los números naturales.

Los números naturales están destinados a contener información sobre el número de objetos, su número de serie y el conjunto de objetos.

Una persona utiliza números naturales, ya que están disponibles para él tanto en el nivel de percepción como en el nivel de reproducción. Cuando expresamos cualquier número natural, lo captamos fácilmente de oído, y cuando representamos un número natural, lo vemos.

Todos los números naturales están ordenados en orden ascendente y forman una serie numérica comenzando por el número natural más pequeño, que es uno.

Si nos hemos decidido por el número natural más pequeño, entonces el mayor será más difícil, ya que tal número no existe porque la serie de números naturales es infinita.

Cuando sumamos uno a un número natural, terminamos con el número que viene después del número dado.

Un número como el 0 no es un número natural, sino que sólo sirve para designar el número "cero" y significa "ni uno solo". 0 significa que no hay unidades de esta serie en notación decimal.

Todos los números naturales se indican con la letra latina mayúscula N.

Antecedentes históricos de la notación de números naturales.

En la antigüedad, la gente aún no sabía qué era un número ni cómo contar la cantidad de objetos. Pero ya entonces surgió la necesidad de contar, y al hombre se le ocurrió una manera de contar los peces capturados, las bayas recogidas, etc.

Un poco más tarde, el anciano llegó a la conclusión de que era más fácil anotar la cantidad que necesitaba. Para estos fines gente primitiva Comenzaron a utilizar guijarros y luego palos, que se conservaron en números romanos.

El siguiente momento en el desarrollo del sistema de cálculo fue el uso de letras del alfabeto al designar ciertos números.

Los primeros sistemas numéricos incluyen el sistema decimal indio y el sistema sexagesimal babilónico.

El sistema numérico moderno, aunque se llama árabe, es en realidad una de las variantes indias. Es cierto que en su sistema numérico no existe el número cero, pero los árabes lo agregaron y el sistema adquirió su forma actual.

sistema de numeración decimal

Ya nos familiarizamos con los números naturales y aprendimos a escribirlos con diez dígitos. También sabes que escribir números usando signos se llama sistema numérico.

El significado de un dígito en un número depende de su posición y se llama posicional. Es decir, al escribir números naturales, utilizamos el sistema numérico posicional.

Este sistema se basa en dígitos y decimales. En el sistema numérico decimal, la base para su construcción serán los números del 0 al 9.

Un lugar especial en dicho sistema se le da al número 10, ya que básicamente el conteo se realiza en decenas.

Tabla de clases y rangos:

Entonces, por ejemplo, 10 unidades se combinan en decenas, luego en centenas, miles y similares. Por lo tanto, el número 10 es la base del sistema numérico y se llama sistema numérico decimal.

Los números naturales son uno de los conceptos matemáticos más antiguos.

En el pasado lejano, la gente no conocía los números y cuando necesitaban contar objetos (animales, peces, etc.), lo hacían de manera diferente a como lo hacemos ahora.

Se comparó la cantidad de objetos con partes del cuerpo, por ejemplo, con los dedos de una mano, y dijeron: "Tengo tantas nueces como dedos en mi mano".

Con el tiempo, la gente se dio cuenta de que cinco nueces, cinco cabras y cinco liebres tienen una propiedad común: su número es cinco.

¡Recordar!

Enteros- Son números, empezando por 1, que se obtienen contando objetos.

1, 2, 3, 4, 5…

Número natural más pequeño — 1 .

Número natural más grande no existe.

Al contar, no se utiliza el número cero. Por tanto, el cero no se considera un número natural.

La gente aprendió a escribir números mucho más tarde que a contar. En primer lugar, comenzaron a representar uno con un palo, luego con dos palos, el número 2, con tres, el número 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Entonces aparecieron signos especiales para denotar números: los predecesores de los números modernos. Los números que utilizamos para escribir números se originaron en la India hace aproximadamente 1.500 años. Los árabes los trajeron a Europa, por eso se llaman números arábigos.

Hay diez números en total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Usando estos números puedes escribir cualquier número natural.

¡Recordar!

Serie natural es la secuencia de todos los números naturales:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

En la serie natural cada número es mayor que el anterior en 1.

La serie natural es infinita; no existe en ella el mayor número natural.

El sistema de conteo que utilizamos se llama posicional decimal.

Decimal porque 10 unidades de cada dígito forman 1 unidad del dígito más significativo. Posicional porque el significado de un dígito depende de su lugar en el registro numérico, es decir, del dígito en el que está escrito.

¡Importante!

Las clases que siguen al billón se nombran según los nombres latinos de los números. Cada unidad posterior contiene mil anteriores.

• 1.000 mil millones = 1.000.000.000.000 = 1 billón (“tres” en latín significa “tres”)
• 1.000 billones = 1.000.000.000.000.000 = 1 cuatrillón (“quadra” en latín significa “cuatro”)
• 1.000 cuatrillones = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 quintillón (“quinta” en latín significa “cinco”)

Sin embargo, los físicos han encontrado un número que excede el número de todos los átomos ( pequeñas particulas materia) en todo el Universo.

Este número recibió un nombre especial: googol. Googol es un número con 100 ceros.

En matemáticas existen varios conjuntos diferentes de números: reales, complejos, enteros, racionales, irracionales,... En nuestro La vida cotidiana La mayoría de las veces utilizamos números naturales, ya que los encontramos al contar y al buscar, designando el número de objetos.

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¿Qué números se llaman números naturales?

A partir de diez dígitos se puede escribir absolutamente cualquier suma de clases y rangos existentes. Se consideran valores naturales aquellos que se utilizan:

• Al contar cualquier objeto (primero, segundo, tercero, ... quinto, ... décimo).
• Al indicar el número de artículos (uno, dos, tres...)

Los valores de N son siempre enteros y positivos. No existe un N mayor porque el conjunto de valores enteros es ilimitado.

¡Atención! Los números naturales se obtienen al contar objetos o al indicar su cantidad.

Absolutamente cualquier número se puede descomponer y presentar en forma de términos numéricos, por ejemplo: 8.346.809=8 millones+346 mil+809 unidades.

Establecer N

El conjunto N está en el conjunto. real, entero y positivo. En el diagrama de conjuntos se ubicarían unos dentro de otros, ya que el conjunto de los naturales forma parte de ellos.

El conjunto de los números naturales se denota con la letra N. Este conjunto tiene principio, pero no final.

También hay un conjunto extendido N, donde se incluye el cero.

Número natural más pequeño

La mayoría de las escuelas de matemáticas valor más bajo norte se considera una unidad, ya que la ausencia de objetos se considera vacío.

Pero en las escuelas de matemáticas extranjeras, por ejemplo en la francesa, se considera natural. La presencia de cero en la serie facilita la prueba. algunos teoremas.

Una serie de valores N que incluye cero se llama extendida y se denota con el símbolo N0 (índice cero).

Serie de números naturales

N serie es una secuencia de todos los N conjuntos de dígitos. Esta secuencia no tiene fin.

La peculiaridad de la serie natural es que el siguiente número diferirá en uno del anterior, es decir, aumentará. Pero los significados no puede ser negativo.

¡Atención! Para facilitar el conteo, existen clases y categorías:

• Unidades (1, 2, 3),
• Decenas (10, 20, 30),
• Cientos (100, 200, 300),
• Miles (1000, 2000, 3000),
• Decenas de miles (30.000),
• Cientos de miles (800.000),
• Millones (4000000), etc.

Todo N

Todos los N están en el conjunto de valores reales, enteros y no negativos. Ellos son suyos parte integral.

Estos valores llegan al infinito, pueden pertenecer a las clases de millones, miles de millones, quintillones, etc.

Por ejemplo:

• Cinco manzanas, tres gatitos
• Diez rublos, treinta lápices,
• Cien kilogramos, trescientos libros,
• Un millón de estrellas, tres millones de personas, etc.

Secuencia en N

En diferentes escuelas de matemáticas puedes encontrar dos intervalos a los que pertenece la secuencia N:

de cero a más infinito, incluidos los extremos, y de uno a más infinito, incluidos los extremos, es decir, todo respuestas enteras positivas.

N conjuntos de dígitos pueden ser pares o impares. Consideremos el concepto de rareza.

Impar (cualquier número impar termina en los números 1, 3, 5, 7, 9) y dos tienen resto. Por ejemplo, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

¿Qué significa incluso N?

Cualquier suma par de clases termina en números: 0, 2, 4, 6, 8. Cuando incluso N se divide por 2, no quedará resto, es decir, el resultado es la respuesta completa. Por ejemplo, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

¡Importante! Una serie numérica de N no puede constar únicamente de valores pares o impares, ya que deben alternarse: al par siempre le sigue el impar, le sigue el par nuevamente, etc.

Propiedades norte

Como todos los demás conjuntos, N tiene sus propias propiedades especiales. Consideremos las propiedades de la serie N (no extendida).

• El valor que es menor y que no sigue a ningún otro es uno.
• N representa una secuencia, es decir, una valor natural sigue a otro(excepto uno, es el primero).
• Cuando realizamos operaciones computacionales en N sumas de dígitos y clases (suma, multiplicación), entonces la respuesta siempre resulta natural significado.
• La permutación y combinación se pueden utilizar en los cálculos.
• Cada valor posterior no puede ser menor que el anterior. También en la serie N se aplicará la siguiente ley: si el número A es menor que B, entonces en la serie numérica siempre habrá un C para el cual se cumple la igualdad: A+C=B.
• Si tomamos dos expresiones naturales, por ejemplo A y B, entonces una de las expresiones será verdadera para ellas: A = B, A es mayor que B, A es menor que B.
• Si A es menor que B y B es menor que C, entonces se sigue que que A es menor que C.
• Si A es menor que B, entonces se sigue que: si les sumamos la misma expresión (C), entonces A + C es menor que B + C. También es cierto que si estos valores se multiplican por C, entonces AC es menor que AB.
• Si B es mayor que A, pero menor que C, entonces: BA menos S-A.

¡Atención! Todas las desigualdades anteriores también son válidas en la dirección opuesta.

¿Cómo se llaman los componentes de la multiplicación?

En muchos problemas simples e incluso complejos, encontrar la respuesta depende de las habilidades de los estudiantes.

Los números son un concepto abstracto. Ellos son características cuantitativas objetos y son reales, racionales, negativos, enteros y fraccionarios, además de naturales.

Al contar se suele utilizar la serie natural, en la que surgen naturalmente las notaciones cuantitativas. El conocimiento del conteo comienza en el mismo NIñez temprana. ¿Qué niño evitaba las rimas divertidas que utilizaban elementos del conteo natural? "Uno, dos, tres, cuatro, cinco... ¡El conejito salió a caminar!" o "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, el rey decidió ahorcarme..."

Para cualquier número natural, puedes encontrar otro mayor que él. Este conjunto suele denotarse con la letra N y debe considerarse infinito en la dirección del aumento. Pero este conjunto tiene un comienzo: es uno. Aunque existen números naturales franceses, cuyo conjunto también incluye el cero. Pero el principal características distintivas La diferencia entre ambos conjuntos es el hecho de que no incluyen números fraccionarios ni negativos.

La necesidad de contar una variedad de artículos surgió en Tiempos prehistóricos. Entonces supuestamente se formó el concepto de "números naturales". Su formación se produjo a lo largo de todo el proceso de cambio de la cosmovisión del hombre y del desarrollo de la ciencia y la tecnología.

Sin embargo, todavía no podían pensar de manera abstracta. Les resultó difícil entender cuál era el punto común de los conceptos de "tres cazadores" o "tres árboles". Por lo tanto, al indicar el número de personas se utilizó una definición, y al indicar el mismo número de objetos de diferente tipo se utilizó una definición completamente diferente.

Y fue extremadamente corto. Contenía sólo los números 1 y 2, y el conteo terminaba con los conceptos de "muchos", "rebaño", "multitud", "montón".

Posteriormente se formó una cuenta más progresista y más amplia. Un hecho interesante es que solo había dos números: 1 y 2, y los siguientes números se obtuvieron sumando.

Un ejemplo de esto fue la información que nos ha llegado sobre la serie numérica de la tribu australiana. Tenían 1 para la palabra “Enza” y 2 para la palabra “petcheval”. Por tanto, el número 3 sonaba como “petcheval-Enza”, y el 4 sonaba como “petcheval-petcheval”.

La mayoría de los pueblos reconocieron los dedos como el estándar para contar. Un mayor desarrollo del concepto abstracto de "números naturales" siguió el camino del uso de muescas en un palo. Y luego se hizo necesario designar una docena con otro signo. Los antiguos encontraron nuestra salida: comenzaron a usar otro palo, en el que se hacían muescas para indicar decenas.

La capacidad de reproducir números se amplió enormemente con la llegada de la escritura. Al principio, los números se representaban como guiones tabletas de arcilla o papiro, pero poco a poco se empezaron a utilizar otros iconos de escritura. Así aparecieron los números romanos.

Mucho más tarde aparecieron aquellos que abrieron la posibilidad de escribir números con un conjunto relativamente pequeño de caracteres. Hoy en día no es difícil anotar cifras tan grandes como la distancia entre los planetas y el número de estrellas. Sólo tienes que aprender a utilizar los títulos.

Euclides en el siglo III a. C. en el libro "Elementos" establece el infinito del conjunto numérico, y Arquímedes en "Psamita" revela los principios para construir nombres arbitrariamente. números grandes. Casi hasta mediados del siglo XIX, la gente no se enfrentaba a la necesidad de una formulación clara del concepto de "números naturales". La definición fue necesaria con la llegada del método matemático axiomático.

Y en los años 70 del siglo XIX formuló una definición clara de números naturales, basada en el concepto de conjunto. Y hoy ya sabemos que los números naturales son todos números enteros, desde el 1 hasta el infinito. Los niños pequeños, al dar el primer paso para familiarizarse con la reina de todas las ciencias, las matemáticas, comienzan a estudiar precisamente estos números.

¿Qué son los números naturales y no naturales? ¿Cómo explicarle a un niño, o tal vez no a un niño, cuáles son las diferencias entre ellos? Vamos a resolverlo. Hasta donde sabemos, los números naturales y no naturales se estudian en quinto grado, y nuestro objetivo es explicarles a los estudiantes para que realmente entiendan y aprendan qué y cómo.

Historia

Los números naturales son uno de los conceptos más antiguos. Hace mucho tiempo, cuando la gente aún no sabía contar y no tenía idea de los números, cuando necesitaba contar algo, por ejemplo, peces, animales, ganaban diversos temas puntos o rayas, como descubrieron más tarde los arqueólogos. La vida era muy difícil para ellos en ese momento, pero la civilización se desarrolló primero con el sistema numérico romano y luego con el sistema numérico decimal. Hoy en día casi todo el mundo utiliza números arábigos.

Todo sobre los números naturales.

Los números naturales son números primos que utilizamos en nuestra vida diaria para contar objetos con el fin de determinar la cantidad y el orden. Actualmente, utilizamos el sistema numérico decimal para escribir números. Para escribir cualquier número, utilizamos diez dígitos, del cero al nueve.

Los números naturales son aquellos números que utilizamos al contar objetos o indicar número de serie cualquier cosa. Ejemplo: 5, 368, 99, 3684.

Una serie numérica se refiere a números naturales que están ordenados en orden ascendente, es decir. del uno al infinito. Esta serie comienza con número más pequeño- 1, y no existe el número natural más grande, ya que la serie de números es simplemente infinita.

En general, el cero no se considera un número natural, ya que significa la ausencia de algo, y tampoco se cuentan los objetos.

El sistema numérico arábigo es un sistema moderno que utilizamos todos los días. Es una variante del indio (decimal).

Este sistema numérico se volvió moderno gracias al número 0, que fue inventado por los árabes. Antes de esto, no estaba disponible en el sistema indio.

Números antinaturales. ¿Qué es esto?

Los números naturales no incluyen números negativos ni números no enteros. Esto significa que son números no naturales.

A continuación se muestran ejemplos.

Los números no naturales son:

• Números negativos, por ejemplo: -1, -5, -36... y así sucesivamente.
• Numeros racionales, que se expresan como fracciones decimales: 4,5, -67, 44,6.
• En forma de fracción simple: 1/2, 40 2/7, etc.

Números irracionales como e = 2,71828, √2 = 1,41421 y similares.

Esperamos haberte ayudado mucho a comprender los números naturales y no naturales. Ahora te será más fácil explicárselo a tu bebé este tema¡Y lo dominará tan bien como los grandes matemáticos!