ВходРешение тригонометрических уравнений. Записи с меткой "корни тригонометрического уравнения на промежутке"
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.
Цель урока:
- образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
- развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
- воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка готовности к уроку, приветствие.
II. Постановка цели.
Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)
a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = - 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = - 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0
2. Заполните пропуски: (Слайд 6)
sin2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =
3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].
4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)
t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0
IV. Выполнение упражнений.
(Слайд 9)
Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.
1. Решите уравнения : (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся. )
1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].
Решение.
[-7π/2; -2π]
Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.
Ответ: а) π /2+ πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.
2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].
Решение.
a ) Разделим обе части уравнения на cos 2 x =0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]
Получим числа: - π+ arctg 3 ; -π/4; arctg 3.
Ответ: а) - π /4+ πn , arctg 3+ πn , n Є Z ; б) - π+ arctg 3 , -π/4, arctg 3.
3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]
Получим числа: π; 4π/3; 8π/3; 3π.
Ответ: а) π +2 πn , ±2 π /3+2 πn , n Є Z ; б) π, 4π/3, 8π/3, 3π.
4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π ;7π/2] .
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]
Получим числа: 9π/4; 3π- arctg 5;1 3π/4.
Ответ: а) π /4+ πn , - arctg 5+ πn , n Є Z ; б) 9π/4, 3π- arctg 5, 1 3π/4.
5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]
Получим числа: -5π/3;- π .
Ответ: а) π +2 πn , ± π /3+2 πn , n Є Z ; б) -5π/3;- π .
2. Работа в парах : (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)
Решите уравнения:
Решение .
Учитывая, что tgx ≠1 и tgx >0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:
x = arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
Ответ: arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
6соs2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; - π/2].
Решение.
a ) 6(cos 2 x - sin 2 x )-14 cos 2 x -14 cosxsinx =0; 6 cos 2 x -6 sin 2 x -14 cos 2 x -14 cosxsinx =0;
3 sin 2 x +7 cosxsinx +4 cos 2 x =0 Разделим обе части уравнения на cos 2 x=0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]
Получим числа: -5 π /4;- π - arctg 4/3.
Ответ: а) - π /4+ πn , - arctg 4/3+ πn , n Є Z ; б) -5π/4, - π - arctg 4/3.
3. Самостоятельная работа . (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки (если таковы есть) ручкой с красной пастой.)
Решите уравнения:
1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Решение.
a ) 2(1- sin 2 x )+2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; 2-2 sin 2 x +2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; -2 sinx (sinx -1)-√2(sinx -1)=0;
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Получим числа: -11 π /4;-9 π /4.
Ответ: а) π /2+2 πn , - π /4+2 πn , -3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) -11π/4, -9 π /4 .
2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: 13 π /4;3 π ;4 π .
Ответ: а) πn , ±3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) 13 π /4,3 π , 4 π .
3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Получим числа: -19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.
Ответ: а) π /2+2 πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) -19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.
V. Подведение итогов урока.
Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.
VI. Стадия рефлексии.
(Слайд 10)
На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме
выразить своё отношение к изучаемому материалу.
Например:
Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.
VII. Домашнее задани e .
1. Решите уравнения:
2. Практическое задание.
Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.
VIII. Литература.
ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.
Цель урока:
- Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении
тригонометрических уравнений:
отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий .
- Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
- Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести
отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.
Ход урока
Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).
| Значения | Уравнение | Формулы решения уравнений |
| sinx=a | ||
| sinx=a | уравнение решений не имеет | |
| а=0 | sinx=0 | |
| а=1 | sinx= 1 |
 |
| а= -1 | sinx= -1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | уравнение решений не имеет | |
| а=0 | cosx=0 |
 |
| а=1 | cosx= 1 | |
| а= -1 | cosx= -1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.
Решение уравнений.
Задача
. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе
Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1 )
Рис. 1
Получаем, что
не может быть
решением исходного уравнения.
Ответ:
В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.
В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.
Задача 2. Решить уравнение.
Решение . Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.
Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)
Рис. 2
Из рисунка хорошо видно, что
– решение исходного уравнения.
Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение
3sin2x = 10 cos 2 x – 2 /
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.
В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
Т.к. в противном случае sinx = 0 , что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0 /
Пусть tgx = t , тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2,t 2 = –8.
tgx = 2 или tg = –8;
Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.
Если к=0 , то x=arctg2 . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=1 , то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=2
, то
. Ясно,
что данный корень не принадлежит нашему промежутку.
Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.
Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .
Значения к = –2, –3,… не рассматриваются.
Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .
Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.
Откуда cos2x
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3 .
При к=2 получим , при к=3 получим .
Ответ:
Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.
Задача 5. Решить уравнение
Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.
, 0
Так как к – целое число, то к=1 . Тогда х = – решение исходного уравнения.
Рассмотрим вторую систему совокупности
Если n=0
, то
. При
п = -1; -2;…
решений не будет.
Если п=1,
– решение
системы и, следовательно, исходного уравнения.
Если п=2 , то
При решений не будет.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
1. Вычислите: б) arccos в) arcsin 2 д) arccos е) ar с ctg а) arcsin (-1) г) arctg (не существует); (не существует);
2. Решить уравнения: б) sin х = в) cos х = 0; г) tg x = а) cos x = - 1;
1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности. Пример 1 . cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Решение. cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x) = 0,
Изобразим серии корней на тригонометрическом круге. 0 x y Видим, что первая серия () включает в себя корни второй серии (), а третья серия () включает в себя числа вида из корней первой серии (). 0
Пример 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Решение.
tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; Изобразим ОДЗ и серии корней на числовой окружности. 0 x y 0 Из второй серии корней () числа вида не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида. входят в третью серию () Первая серия () так же входит в третью серию корней (), поэтому ответ можно записать одной формулой.
Пример 3. Решение. Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет. Нанесем на числовую окружность все числа серии и исключим корни, удовлетворяющие Оставшиеся решения из серии корней можно объединить в формулу 0 x y 0 условию
2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом Пример 1. Решение. Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, то уравнение равносильно системе Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение Получаем Итак,
Пример 2. Решение. Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение где целое число. тогда Пусть Итак,
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями Пример 1. Найти корни уравнения sin 2 x = cos x | cos x |, удовлетворяющие условию x . cos x (2sin x - | cos x |)=0; Решение. sin 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;
0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x
Пример 2 . Найти все решения уравнения принадлежащие отрезку Решение. ОДЗ: cos 3x ≥ 0; Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге: 0 y x Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; sin 2x = cos 6x; sin 2 x - cos 6 x =0;
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =2, то есть Из второй серии: Следовательно n =5, то есть
Пример 3. Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin 2 x = – cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть Из второй серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть