Ф6. Туннельный эффект (физика). Квантовый туннельный эффект

• Перевод

Начну с двух простых вопросов с достаточно интуитивными ответами. Возьмём чашу и шарик (рис. 1). Если мне нужно, чтобы:

Шарик оставался неподвижным после того, как я помещу его в чашу, и
он оставался примерно в том же положении при перемещении чаши,

То куда мне его положить?

Рис. 1

Конечно, мне нужно положить его в центр, на самое дно. Почему? Интуитивно ясно, что если я положу его куда-то ещё, он скатится до дна, и будет болтаться туда и сюда. В итоге трение уменьшит высоту болтаний и затормозит его внизу.

В принципе можно попробовать уравновесить шарик на краю чаши. Но если я немного потрясу её, шарик потеряет равновесие у падёт. Так что это место не удовлетворяет второму критерию в моём вопросе.

Назовём положение, в котором шарик остаётся неподвижным, и от которого он не сильно отклоняется при небольших движениях чаши или шарика, «стабильным положением шарика». Дно чаши - такое стабильное положение.

Другой вопрос. Если у меня есть две чаши, как на рис. 2, где будут стабильные положения для шарика? Это тоже просто: таких мест два, а именно, на дне каждой из чаш.

Рис. 2

Наконец, ещё один вопрос с интуитивно понятным ответом. Если я размещу шарик на дне чаши 1, а потом выйду из комнаты, закрою её, гарантирую, что никто туда не зайдёт, проверю, что в этом месте не было землетрясений и других потрясений, то каковы шансы, что через десять лет, когда я вновь открою комнату, я обнаружу шарик на дне чаши 2? Конечно, нулевые. Чтобы шарик переместился со дна чаши 1 на дно чаши 2, кто-то или что-то должны взять шарик и переместить его с места на место, над краем чаши 1, в сторону чаши 2 и затем над краем чаши 2. Очевидно, что шарик останется на дне чаши 1.

Очевидно и по сути верно. И всё же, в квантовом мире, в котором мы живём, ни один объект не остаётся по-настоящему неподвижным, и его положение точно неизвестно. Так что ни один из этих ответов не верен на 100%.

Туннелирование

Рис. 3

Если я размещу элементарную частицу вроде электрона в магнитной ловушке (рис. 3) работающей, как чаша, стремящейся подтолкнуть электрон к центру точно так же, как гравитация и стены чаши толкают шарик к центру чаши на рис. 1, тогда каково будет стабильное положение электрона? Как и следовало интуитивно ожидать, среднее положение электрона будет стационарным, только если разместить его в центре ловушки.

Но квантовая механика добавляет один нюанс. Электрон не может оставаться неподвижным; его положение подвержено «квантовому дрожанию». Из-за этого его положение и движение постоянно меняется, или даже обладает некоей долей неопределённости (это работает знаменитый «принцип неопределённости»). Только среднее положение электрона находится в центре ловушки; если посмотреть на электрон, то он окажется где-нибудь в другом месте ловушки, рядом с центром, но не совсем там. Электрон неподвижен только в таком смысле: он обычно двигается, но его движение случайное, и поскольку он находится в ловушке, в среднем он никуда не сдвигается.

Это немного странно, но всего лишь отражает тот факт, что электрон представляет собой не то, что вы думаете, и не ведёт себя так, как любой из виденных вами объектов.

Это, кстати, также гарантирует, что электрон нельзя уравновесить на краю ловушки, в отличие от шарика на краю чаши (как внизу на рис. 1). Положение электрона не определено точно, поэтому его нельзя точно уравновесить; поэтому, даже без встряхиваний ловушки, электрон потеряет равновесие и почти сразу сорвётся.

Но что более странно, так это тот случай, когда у меня будет две ловушки, отделённые друг от друга, и я размещу электрон в одной из них. Да, центр одной из ловушек - хорошее, стабильное положение для электрона. Это так - в том смысле, что электрон может оставаться там и не убежит, если потрясти ловушку.

Однако, если разместить электрон в ловушке №1, и уйти, закрыть комнату и т.п., существует определённая вероятность того (рис. 4), что, когда я вернусь электрон будет находиться в ловушке №2.

Рис. 4

Как он это сделал? Если представлять себе электроны в виде шариков, вы этого не поймёте. Но электроны не похожи на шарики (или, по крайней мере, на ваше интуитивное представление о шариках), и их квантовое дрожание даёт им крайне небольшой, но ненулевой шанс «прохода сквозь стены» - кажущаяся невероятной возможность переместиться на другую сторону. Это называется туннелированием - но не надо думать, что электрон прокапывает дырку в стене. И вы никогда не сможете поймать его в стене - так сказать, с поличным. Просто стена не полностью непроницаема для таких вещей, как электрон; электроны нельзя так легко поймать в ловушку.

На самом деле, всё ещё безумнее: поскольку это правда для электрона, это правда и для шарика в вазе. Шарик может оказаться в вазе 2, если подождать достаточно долго. Но вероятность этого чрезвычайно мала. Так мала, что даже если подождать миллиард лет, или даже миллиарды миллиардов миллиардов лет, этого будет недостаточно. С практической точки зрения этого «никогда» не произойдёт.

Наш мир - квантовый, и все объекты состоят из элементарных частиц и подчиняются правилам квантовой физики. Квантовое дрожание присутствует постоянно. Но большая часть объектов, масса которых велика по сравнению с массой элементарных частиц - шарик, к примеру, или даже пылинка - это квантовое дрожание слишком мелкое, чтобы его обнаружить, за исключением особо разработанных экспериментов. И следующая из этого возможность туннелировать сквозь стены тоже не наблюдается в обычной жизни.

Иначе говоря: любой объект может туннелировать сквозь стену, но вероятность этого обычно резко уменьшается, если:

У объекта большая масса,
стена толстая (большое расстояние между двумя сторонами),
стену трудно преодолеть (чтобы пробить стену, нужно много энергии).

В принципе шарик может преодолеть край чаши, но на практике это может оказаться невозможным. Электрону может быть легко сбежать из ловушки, если ловушки расположены близко и не очень глубокие, но может быть и очень сложно, если они расположены далеко и очень глубокие.

А точно туннелирование происходит?

Рис. 5

А может, это туннелирование - просто теория? Точно нет. Оно фундаментально для химии, происходит во многих материалах, играет роль в биологии, и это принцип, используемый в наших самых хитрых и мощных микроскопах.

Для краткости давайте я остановлюсь на микроскопе. На рис. 5 представлено изображение атомов, сделанное при помощи сканирующего туннельного микроскопа . У такого микроскопа есть узкая игла, чей кончик двигается в непосредственной близости к изучаемому материалу (см. рис. 6). Материал и иголка, разумеется, состоят из атомов; а на задворках атомов находятся электроны. Грубо говоря, электроны находятся в ловушке внутри изучаемого материала или на кончике микроскопа. Но чем ближе кончик к поверхности, тем более вероятен туннельный переход электронов между ними. Простое устройство (между материалом и иглой поддерживается разница потенциалов) гарантирует, что электроны предпочтут перескакивать с поверхности на иглу, и этот поток - электрический ток, поддающийся измерению. Игла двигается над поверхностью, и поверхность оказывается то ближе, то дальше от кончика, и ток меняется - становится сильнее с уменьшением расстояния и слабее с увеличением. Отслеживая ток (или, наоборот, двигая иглу вверх и вниз для поддержания постоянного тока) при сканировании поверхности, микроскоп делает вывод о форме этой поверхности, и часто детализации хватает для того, чтобы разглядеть отдельные атомы.

Рис. 6

Туннелирование играет и множество других ролей в природе и современных технологиях.

Туннелирование между ловушками разной глубины

На рис. 4 я подразумевал, что у обеих ловушек одинаковая глубина - точно так же, как у обеих чаш на рис. 2 одинаковая форма. Это означает, что электрон, находясь в любой из ловушек, с одинаковой вероятностью перескочит в другую.

Теперь допустим, что одна ловушка для электрона на рис. 4 глубже другой - точно так же, как если бы одна чаша на рис. 2 была глубже другой (см. рис. 7). Хотя электрон может туннелировать в любом направлении, ему будет гораздо проще туннелировать из более мелкой в более глубокую ловушку, чем наоборот. Соответственно, если мы подождём достаточно долго, чтобы у электрона было достаточно времени туннелировать в любом направлении и вернуться, а затем начнём проводить измерения с целью определить его местонахождение, мы чаще всего будем находить его в глубокой ловушке. (На самом деле и тут есть свои нюансы, всё зависит ещё и от формы ловушки). При этом разница глубин не обязательно должна быть крупной для того, чтобы туннелирование из более глубокой в более мелкую ловушку стало чрезвычайно редким.

Короче, туннелирование в целом будет происходить в обоих направлениях, но вероятность перехода из мелкой ловушки в глубокую гораздо больше.

Рис. 7

Именно эта особенность используется в сканирующем туннельном микроскопе, чтобы гарантировать, что электроны будут переходить только в одном направлении. По сути кончик иглы микроскопа оказывается более глубокой ловушкой, чем изучаемая поверхность, поэтому электроны предпочитают туннелировать из поверхности на иглу, а не наоборот. Но микроскоп будет работать и в противоположном случае. Ловушки делаются глубже или мельче при помощи источника питания, создающего разность потенциалов между иглой и поверхностью, что создаёт разницу в энергиях у электронов на игле и электронов на поверхности. Поскольку заставить электроны чаще туннелировать в одном направлении, чем в другом, оказывается довольно просто, это туннелирование становится практически полезным для использования в электронике.

1.9. 1S– состояние электрона в атоме водорода

1.10. Спин электрона. Принцип Паули

1.11. Спектр атома водорода

1.12. Поглощение света, спонтанное и вынужденное излучения

1.13. Лазеры

1.13.1. Инверсия населенностей

1.13.2. Способы создания инверсии населенностей

1.13.3. Положительная обратная связь. Резонатор

1.13.4. Принципиальная схема лазера.

1.14. Уравнение Дирака. Спин.

2. Зонная теория твердых тел.

2.1. Понятие о квантовых статистиках. Фазовое пространство

2.2. Энергетические зоны кристаллов. Металлы. Полупроводники. Диэлектрики

Удельное сопротивление твердых тел

2.3. Метод эффективной массы

3. Металлы

3.1. Модель свободных электронов

При переходе из вакуума в металл

3.2. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям. Уровень и энергия Ферми. Вырождение электронного газа в металлах

Энергия Ферми и температура вырождения

3.3. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

3.4. Явление сверхпроводимости. Свойства сверхпроводников. Применение сверхпроводимости

3.5. Понятие об эффектах Джозефсона

4. Полупроводники

4.1. Основные сведения о полупроводниках. Классификация полупроводников

4.2. Собственные полупроводники

4.3.Примесные полупроводники

4.3.1.Электронный полупроводник (полупроводник n-типа)

4.3.2. Дырочный полупроводник (полупроводник р-типа)

4.3.3.Компенсированный полупроводник. Частично компенсированный полупроводник

4.3.4.Элементарная теория примесных состояний. Водородоподобная модель примесного центра

4.4. Температурная зависимость удельной проводимости примесных полупроводников

4.4.1.Температурная зависимость концентрации носителей заряда

4.4.2.Температурная зависимость подвижности носителей заряда

4.4.3. Температурная зависимость удельной проводимости полупроводникаn-типа

4.4.5. Термисторы и болометры

4.5. Рекомбинация неравновесных носителей заряда в полупроводниках

4.6. Диффузия носителей заряда.

4.6.1. Диффузионная длина

4.6.2. Соотношение Эйнштейна между подвижностью и коэффициентом диффузии носителей заряда

4.7. Эффект Холла в полупроводниках

4.7.1. Возникновение поперечного электрического поля

4.7.2. Применение эффекта Холла для исследования полупроводниковых материалов

4.7.3. Преобразователи Холла

4.8. Магниторезистивный эффект

5. Электронно-дырочный переход

5.1.Образование электронно-дырочного перехода

5.1.1. Электронно-дырочный переход в условиях равновесия (при отсутствии внешнего напряжения)

5.1.2.Прямое включение

5.1.3.Обратное включение

5.2.КласСификация полупроводниковых диодов

5.3. Вольт-амперная характеристика электроннно-дырочного перехода. Выпрямительные, детекторные и преобразовательные диоды

5.3.1.Уравнение вольт-амперной характеристики

Классификация полупроводниковых диодов

5.3.2.Принцип действия и назначение выпрямительных, детекторных и преобразовательных диодов

5.4. Барьерная емкость. Варикапы

5.5.Пробой электронно-дырочного перехода

5.6. Туннельный эффект в вырожденном электронно-дырочном переходе. Туннельные и обращенные диоды

6.Внутренний фотоэффект в полупроводниках.

6.1.Фоторезистивный эффект. Фоторезисторы

6.1.1.Воздействие излучения на полупроводник

5.1.2.Устройство и характеристики фоторезисторов

6.2.Фотоэффект в электронно-дырочном переходе. Полупроводниковые фотодиоды и фотоэлементы.

6.2.1.Воздействие света наp-n-переход

7.Люминесценция твердых тел

7.1.Виды люминесценции

7.2.Электролюминесценция кристаллофосфоров

7.2.1. Механизм свечения кристаллофосфоров

7.2.2. Основные характеристики электролюминесценции кристаллофосфоров

7.3.Инжекционная электролюминесценция. Устройство и характеристики светодиодных структур

7.3.1.Возникновение излучения в диодной структуре

7.3.2.Конструкция светодиода

7.3.3.Основные характеристики светодиодов

7.3.4.Некоторые применения светодиодов

7.4 Понятие об инжекционных лазерах

8. Транзисторы

8.1.Назначение и виды транзисторов

8.2.Биполярные транзисторы

8.2.1 Структура и режимы работы биполярного транзистора

8.2.2.Схемы включения биполярных транзисторов

8.2.3.Физические процессы в транзисторе

8.3.Полевые транзисторы

8.3.1.Разновидности полевых транзисторов

8.3.2.Полевые транзисторы с управляющим переходом

8.3.3. Полевые транзисторы с изолированным затвором. Структуры мдп-транзисторов

8.3.4.Принцип действия мдп-транзисторов с индуцированным каналом

8.3.5. Мдп-транзисторы со встроенным каналом

8.4. Сравнение полевых транзисторов с биполярными

Заключение

1.Элементы квантовой механики 4

2. Зонная теория твердых тел. 42

3. Металлы 50

4. Полупроводники 65

5. Электронно-дырочный переход 97

6.Внутренний фотоэффект в полупроводниках. 108

7.Люминесценция твердых тел 113

8. Транзисторы 123

1.7. Понятие о туннельном эффекте.

Туннельным эффектом называют прохождение частиц сквозь потенциальный барьер за счет волновых свойств частиц.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U 0 и шириной l . По классическим представлениям частица беспрепятственно проходит над барьером, если ее энергия E больше высоты барьера (E > U 0 ). Если же энергия частицы меньше высоты барьера (E < U 0 ), то частица отражается от барьера и начинает двигаться в обратную сторону, сквозь барьер частица проникнуть не может.

Вквантовой механике учитываются волновые свойства частиц. Для волны левая стенка барьера – это граница двух сред, на которой волна делится на две волны – отраженную и преломленную.Поэтому даже при E > U 0 возможно (хотя и с небольшой вероятностью) отражение частицы от барьера, а при E < U 0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица окажется по другую сторону потенциального барьера. В этом случае частица как бы «прошла сквозь туннель».

Решим задачу о прохождении частицы сквозь потенциальный барьер для наиболее простого случая одномерного прямоугольного барьера, изображенного на рис.1.6. Форма барьера задается функцией

. (1.7.1)

Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей: 1(x <0 ), 2(0< x < l ) и 3(x > l ):

; (1.7.2)

; (1.7.3)

. (1.7.4)

Обозначим

(1.7.5)

. (1.7.6)

Общие решения уравнений (1), (2), (3) для каждой из областей имеют вид:

Решение вида
соответствует волне, распространяющейся в направлении оси x , а
 волне, распространяющейся в противоположном направлении. В области 1 слагаемое
описывает волну, падающую на барьер, а слагаемое
 волну, отраженную от барьера. В области 3 (справа от барьера) имеется только волна, распространяющаяся в направлении x, поэтому
.

Волновая функция должна удовлетворять условию непрерывности, поэтому решения (6),(7),(8) на границах потенциального барьера необходимо «сшить». Для этого приравниваем волновые функции и их производные при x =0 и x = l :

;
;

;
. (1.7.10)

Используя (1.7.7) - (1.7.10), получимчетыре уравнения для определенияпяти коэффициентовА 1 , А 2 , А 3 , В 1 и В 2 :

А 1 +В 1 =А 2 +В 2 ;

А 2 е xp ( l ) + В 2 е xp (-  l )= А 3 е xp (ikl ) ;

ik (А 1 – В 1 ) =  (А 2 –В 2 ) ; (1.7.11)

 (А 2 е xp ( l )–В 2 е xp (-  l ) = ik А 3 е xp (ikl ) .

Чтобы получить пятое соотношение, введем понятия коэффициентов отражения и прозрачности барьера.

Коэффициентом отражения назовем отношение

, (1.7.12)

которое определяет вероятность отражения частицы от барьера.

Коэффициент прозрачности

(1.7.13)

дает вероятность того, что частица пройдет через барьер. Так как частица либо отразится, либо пройдет через барьер, то сумма этих вероятностей равна единице. Тогда

R + D =1; (1.7.14)

. (1.7.15)

Это и есть пятое соотношение, замыкающее систему (1.7.11), из которой находятся всепять коэффициентов.

Наибольший интерес представляет коэффициент прозрачности D . После преобразований получим

, (7.1.16)

где D 0 – величина, близкая к единице.

Из (1.7.16) видно, что прозрачность барьера сильно зависит от его ширины l , от того, на сколько высота барьераU 0 превышает энергию частицыE , а также от массы частицыm .

Склассической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер приE < U 0 противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что если классическая частица находилась бы в какой-то точке в области барьера (область 2 на рис. 1.7), то ее полная энергия оказалась бы меньше потенциальной энергии (а кинетическая – отрицательной!?). С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Если частица движется к барьеру, то до столкновения с ним она имеет вполне определенную энергию. Пусть взаимодействие с барьером длится время  t , тогда, согласно соотношению неопределенностей, энергия частицы уже не будет определенной; неопределенность энергии
. Когда эта неопределенность оказывается порядка высоты барьера, он перестает быть для частица непреодолимым препятствием, и частица пройдет сквозь него.

Прозрачность барьера резко убывает с его шириной (см. табл. 1.1.). Поэтому частицы могут проходить за счет туннельного механизма лишь очень узкие потенциальные барьеры.

Таблица 1.1

Значения коэффициента прозрачности для электрона при ( U 0 – E ) = 5 эВ = const

l , нм

Мы рассмотрели барьер прямоугольной формы. В случае потенциального барьера произвольной формы, например такой, как показано на рис.1.7, коэффициент прозрачности имеет вид

. (1.7.17)

Туннельный эффект проявляется в ряде физических явлений и имеет важные практические приложения. Приведем некоторые примеры.

1. Автоэлектронная (холодная) эмиссия электронов .

В1922 г. было открыто явление холодной электронной эмиссии из металлов под действием сильного внешнего электрического поля. График зависимости потенциальной энергииU электрона от координатыx изображен на рис. Приx < 0 – область металла, в котором электроны могут двигаться почти свободно. Здесь потенциальную энергию можно считать постоянной. На границе металла возникает потенциальная стенка, не позволяющая электрону покинуть металл, он может это сделать, лишь приобретя добавочную энергию, равную работе выходаA . За пределами металла (приx > 0) энергия свободных электронов не меняется, поэтому приx> 0 графикU (x ) идет горизонтально. Создадим теперь вблизи металла сильное электрическое поле. Для этого возьмем металлический образец в форме острой иглы и подсоединим его к отрицательному полюсу источни Рис. 1.9 Принцип действия туннельного микроскопа

ка напряжения, (он будет катодом); поблизости расположим другой электрод (анод), к которому присоединим положительный полюс источника. При достаточно большой разности потенциалов между анодом и катодом можно создать вблизи катода электрическое поле с напряженностью порядка 10 8 В/м. Потенциальный барьер на границе металл – вакуум становится узким, электроны просачиваются сквозь него и выходят из металла.

Автоэлектронная эмиссия использовалась для создания электронных ламп с холодными катодами (сейчас они практически вышли из употребления), в настоящее время она нашла применение в туннельных микроскопах, изобретенных в 1985 г. Дж. Биннингом, Г. Рорером и Э. Руска.

В туннельном микроскопе вдоль исследуемой поверхности перемещается зонд - тонкая игла. Игла сканирует исследуемую поверхность, находясь так близко от нее, что электроны из электронных оболочек (электронных облаков) поверхностных атомов за счет волновых свойств могут попасть на иглу. Для этого на иглу подаем “плюс” от источника, а на исследуемый образец - “минус”. Туннельный ток пропорционален коэффициенту прозрачности потенциального барьера между иглой и поверхностью, который согласно формуле (1.7.16) зависит от ширины барьера l . При сканировании иглой поверхности образца туннельный ток изменяется в зависимости от расстоянияl , повторяя профиль поверхности. Прецизионные перемещения иглы на малые расстояния осуществляют с помощью пьезоэффекта, для этого закрепляют иглу на кварцевой пластине, которая расширяется или сжимается, когда к ней прикладывается электрическое напряжение. Современные технологии позволяют изготовить иглу столь тонкую, что на ее конце располагается один единственный атом.

Изображение формируется на экране дисплея ЭВМ. Разрешение туннельного микроскопа так высоко, что позволяет “увидеть” расположение отдельных атомов. На рис.1.10 приведено в качестве примера изображение атомной поверхности кремния.

2. Альфа-радиоактивность ( – распад ). В этом явлении происходит спонтанное превращение радиоактивных ядер, в результате которого одно ядро (его называют материнским) испускает– частицу и превращается в новое (дочернее) ядро с зарядом, меньшим на 2 единицы. Напомним, что– частица (ядро атома гелия) состоит из двух протонов и двух нейтронов.

Если считать, что- частица существует как единое образование внутри ядра, то график зависимости ее потенциальной энергии от координаты в поле радиоактивного ядра имеет вид, показанный на рис.1.11. Он определяется энергией сильного (ядерного) взаимодействия, обусловленного притяжением нуклонов друг к другу, и энергией кулоновского взаимодействия (электростатического отталкивания протонов).

В результате - частица в ядре, имеющая энергиюЕ  , находится за потенциальным барьером. Вследствие ее волновых свойств есть некоторая вероятность того, что- частица окажется за пределами ядра.

3. Туннельный эффект в p - n - переходе используется в двух классах полупроводниковых приборов:туннельных иобращенных диодах . Особенностью туннельных диодов является наличие падающего участка на прямой ветви вольт-амперной характеристики - участка с отрицательным дифференциальным сопротивлением. В обращенных диодах наиболее интересным является то,что при обратном включении сопротивление оказывается меньше, чем при обратном включении. Подробнее о туннельных и обращенных диодах см. раздел 5.6.

> Квантовое туннелирование

Изучите квантовый туннельный эффект . Узнайте, при каких условиях возникает эффект туннельного зрения, формула Шредингера, теория вероятности, орбитали атомов.

Если объекту не хватает энергии, чтобы пробиться сквозь барьер, то он способен туннелироваться через воображаемое пространство с другой стороны.

Задача обучения

• Выявить факторы, влияющие на вероятность туннелирования.

Основные пункты

• Квантовое туннелирование используют для любых объектов перед барьером. Но в макроскопических целях вероятность возникновения небольшая.
• Туннельный эффект возникает из-за мнимой компонентной формулы Шредингера. Так как она присутствует в волновой функции любого объекта, то может существовать в воображаемом пространстве.
• Туннелирование сокращается с ростом массы тела и увеличением разрыва между энергиями объекта и барьера.

Термин

• Туннелирование – квантово-механическое прохождение частички сквозь энергетический барьер.

Как возникает туннельный эффект? Вообразите, что вы бросаете мяч, но он исчезает мгновенно, так и не коснувшись стены, и появляется с другой стороны. Стена здесь останется целой. Удивительно, но существует конечная вероятность того, что это событие осуществится. Явление именуют квантовым туннельным эффектом.

На макроскопическом уровне возможность туннелирования остается незначительной, но она постоянно наблюдается в наномасштабах. Давайте посмотрим на атом с р-орбиталью. Между двумя долями расположена узловая плоскость. Есть вероятность, что в любой ее точке можно найти электрон. Однако электроны переходят от одной доли к другой путем квантового туннелирования. Им просто нельзя находиться в узловой области, и они путешествуют по воображаемому пространству.

Красная и синяя доли показывают объемы, где присутствует 90% вероятность обнаружения электрона в любой временной промежуток, если орбитальная зона занята

Временное пространство не выступает реальным, но оно активно участвует в формуле Шредингера:

Вся материя располагает волновым компонентом и может существовать в мнимом пространстве. Понять разницу вероятности туннелирования поможет комбинация массы, энергии и высоты энергии объекта.

Когда объект подходит к барьеру, волновая функция меняется от синусоидальной до экспоненциально сокращающейся. Формула Шредингера:

Вероятность туннелирования становится меньше при росте массы объекта и возрастания разрыва между энергиями. Волновая функция никогда не приближается к 0, поэтому туннелирование так часто встречается в наномасштабах.

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (туннелирование) - квантовый переход системы через область движения, запрещённую классич. механикой. Типичный пример такого процесса- прохождение частицы через потенциальный барьер , когда её энергия меньше высоты барьера. Импульс частицы р в этом случае, определяемый из соотношения где U(x) - потенц. энергия частицы (т - масса), был бы в области внутри барьера, мнимой величиной. В квантовой механике благодаря неопределённостей соотношению между импульсом и координатой подбарьерное движение оказывается возможным. Волновая ф-ция частицы в этой области экспоненциально затухает, и в квазиклассич. случае (см. Квазиклассическое приближение )её амплитуда в точке выхода из-под барьера мала.

Одна из постановок задач о прохождении потенц. барьера соответствует случаю, когда на барьер падает стационарный поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Для таких задач вводится коэф. прозрачности барьера (коэф. туннельного перехода) D , равный отношению интенсивностей прошедшего и падающего потоков. Из обратимости по времени следует, что коэф. прозрачности для переходов в "прямом" и обратном направлениях одинаковы. В одномерном случае коэф. прозрачности может быть записан в виде

интегрирование проводится по классически недоступной области, х 1,2 - точки поворота, определяемые из условия В точках поворота в пределе классич. механики импульс частицы обращается в нуль. Коэф. D 0 требует для своего определения точного решения кван-тово-механич. задачи.

При выполнении условия квазиклассичности

на всём протяжении барьера, за исключением непосредств. окрестностей точек поворота x 1,2 коэф. D 0 слабо отличается от единицы. Существ. отличие D 0 от единицы может быть, напр., в тех случаях, когда кривая потенц. энергии с одной из сторон барьера идёт настолько круто, что квазиклассич. приближение там неприменимо, или когда энергия близка к высоте барьера (т. е. выражение, стоящее в экспоненте, мало). Для прямоугольного барьера высотой U о и шириной а коэф. прозрачности определяется ф-лой
где

Основание барьера соответствует нулевой энергии. В квазиклассич. случае D мал по сравнению с единицей.

Др. постановка задачи о прохождении частицы через барьер состоит в следующем. Пусть частица в нач. момент времени находится в состоянии, близком к т. н. стационарному состоянию, к-рое получилось бы при непроницаемом барьере (напр., при барьере, приподнятом вдали от потенциальной ямы на высоту, большую энергии вылетающей частицы). Такое состояние наз. квазистационарным. Аналогично стационарным состояниям зависимость волновой ф-ции частицы от времени даётся в этом случае множителем В качестве энергии здесь фигурирует комплексная величина Е , мнимая часть к-рой определяет вероятность распада квазистационарного состояния в единицу времени за счёт Т. э.:

В квазиклассич. приближении вероятность, даваемая ф-лой (3), содержит экспоненц. множитель того же типа, что и в-ф-ле (1). В случае сферически симметричного потенц. барьера вероятность распада квазистационарного состояния с орбит. l определяется ф-лой

Здесь r 1,2 -радиальные точки поворота, подынтегральное выражение в к-рых равно нулю. Множитель w 0 зависит от характера движения в классически разрешённой части потенциала, напр. он пропорц. классич. частоте частицы между стенками барьера.

Т. э. позволяет понять механизм a-распада тяжёлых ядер. Между-частицей и дочерним ядром действует элек-тростатич. отталкивание, определяемое ф-лой На малых расстояниях порядка размера а ядра таковы, что эфф. потенциал можно считать отрицательным: В результате вероятность а -распада даётся соотношением

Здесь -энергия вылетающей a-частицы.

Т. э. обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при темп-ре в десятки и сотни млн. градусов (см. Эволюция звёзд ),а также в земных условиях в виде термоядерных взрывов или УТС.

В симметричном потенциале, состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером, Т. э. приводит к состояний в ямах, что приводит к слабому двойному расщеплению дискретных уровней энергии (т. н. инверсионное расщепление; см. Молекулярные спектры) . Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетич. зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.

Если к полупроводниковому кристаллу приложено элек-трич. поле, то зоны разрешённых энергий электронов становятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень пост. энергии электрона пересекает все зоны. В этих условиях становится возможным переход электрона из одной энергетич. зоны в другую за счёт Т. э. Классически недоступной областью при этом является зона запрещённых энергий. Это явление наз. пробоем Зинера. Квазиклассич. приближение отвечает здесь малой величине напряжённости электрич. поля. В этом пределе вероятность пробоя Зинера определяется в осн. экспонентой, в показателе к-рой стоит большая отрицат. величина, пропорциональная отношению ширины запрещённой энергетич. зоны к энергии, набираемой электроном в приложенном поле на расстоянии, равном размеру элементарной ячейки.

Похожий эффект проявляется в туннельных диодах , в к-рых зоны наклонены благодаря полупроводникам р - и n -типа по обе стороны от границы их соприкосновения. Туннелирование осуществляется благодаря тому, что в зоне, куда переходит носитель , имеется конечная плотность незанятых состояний.

Благодаря Т. э. возможен электрич. ток между двумя металлами, разделёнными тонкой диэлектрич. перегородкой. Эти металлы могут находиться как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии. В последнем случае может иметь место Джозефсона эффект .

Т. э. обязаны такие явления, происходящие в сильных электрич. полях, как автоионизация атомов (см. Ионизация полем )и автоэлектронная эмиссия из металлов. В обоих случаях электрич. поле образует барьер конечной прозрачности. Чем сильнее электрич. поле, тем прозрачнее барьер и тем сильнее электронный ток из металла. На этом принципе основан сканирующий туннельный микроскоп - прибор, измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности и дающий информацию о характере её неоднородности.

Т. э. возможен не только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, напр., низкотемпературное движение в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной части дислокации, состоящей из многих частиц. В такого рода задачах линейную дислокацию можно представить как упругую струну, лежащую первоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у) . Этот потенциал не зависит от у , а его рельеф вдоль оси х представляет собой последовательность локальных минимумов, каждый из к-рых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллу механич. . Движение дислокации под действием этого напряжения сводится к туннелированию в соседний минимум определ. отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части. Такого же рода туннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности в Пайерлса (см. Пайерлса переход ).

Для расчётов эффектов туннелирования таких многоразмерных квантовых систем удобно использовать квазиклассич. представление волновой ф-ции в виде где S -классич. действие системы. Для Т. э. существенна мнимая часть S , определяющая затухание волновой ф-ции в классически недоступной области. Для её вычисления используется метод комплексных траекторий.

Квантовая частица, преодолевающая потенц. барьер, может быть связана с термостатом. В классич. механике это соответствует движению с трением. Тем самым, для описания туннелирования необходимо привлечение теории, получившей назв. диссипативной . Такого рода соображения необходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний контактов Джозефсона. В этом случае происходит туннелирование эфф. квантовой частицы через барьер, а роль термостата играют нормальные электроны.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 4 изд., М., 1989; Займан Дж., Принципы теории твердого тела, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М., Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, 2 изд., М., 1971; Туннельные явления в твердых телах, пер. с англ., М., 1973; Лихарев К. К., Введение в динамику джозефсоновских переходов, М., 1985. Б. И. Ивлев .

Может ли мяч пролететь сквозь стенку, да так, чтобы и стенка осталась стоять на месте неразрушенной, и энергия мяча при этом не изменилась? Конечно, нет, напрашивается ответ, в жизни такого не бывает. Для того чтобы пролететь сквозь стенку, мяч должен иметь достаточный запас энергии и проломить ее. Точно так же, если нужно, чтобы мяч, находящийся в ложбинке, перекатился через горку, необходимо сообщить ему запас энергии, достаточный для преодоления потенциального барьера - разности потенциальных энергий мяча на вершине и в ложбинке. Тела, движение которых описывается законами классической механики, преодолевают потенциальный барьер только тогда, когда они обладают полной энергией, большей, чем величина максимальной потенциальной энергии.

А как обстоит дело в микромире? Микрочастицы подчиняются законам квантовой механики. Они не двигаются по определенным траекториям, а «размазаны» в пространстве, подобно волне. Эти волновые свойства микрочастиц приводят к неожиданным явлениям, и среди них едва ли не самое удивительное - туннельный эффект.

Оказывается, что в микромире «стенка» может остаться на месте, а электрон как ни в чем не бывало пролетает сквозь нее.

Микрочастицы преодолевают потенциальный барьер, даже если их энергия меньше, чем его высота.

Потенциальный барьер в микромире часто создают электрические силы, и впервые с этим явлением столкнулись при облучении атомных ядер заряженными частицами. Положительно заряженной частице, например протону, невыгодно приближаться к ядру, так как, по закону, между протоном и ядром действуют силы отталкивания. Поэтому для того, чтобы приблизить протон к ядру, надо совершить работу; график потенциальной энергии имеет вид, показанный на рис. 1. Правда, достаточно протону вплотную подойти к ядру (на расстоянии см), как тут же вступают в действие мощные ядерные силы притяжения (сильное взаимодействие) и он захватывается ядром. Но ведь надо сначала подойти, преодолеть потенциальный барьер.

И вот оказалось, что протон это делать умеет, даже когда его энергия Е меньше высоты барьера . Как всегда в квантовой механике, при этом нельзя сказать с достоверностью, что протон проникнет в ядро. Но имеется определенная вероятность такого туннельного прохождения потенциального барьера. Эта вероятность тем больше, чем меньше разность энергии и чем меньше масса частицы (причем зависимость вероятности от величины и очень резкая - экспоненциальная).

Основываясь на идее туннелирования, Д. Кокрофт и Э. Уолтон в 1932 г. в Кавендишской лаборатории открыли искусственное расщепление ядер. Они построили первый ускоритель, и хотя энергия ускоренных протонов была недостаточна для преодоления потенциального барьера, все же протоны благодаря туннельному эффекту проникали в ядро и вызывали ядерную реакцию. Туннельный эффект также объяснил явление альфа-распада.

Туннельный эффект нашел важное применение в физике твердого тела и в электронике.

Представьте себе, что на стеклянную пластинку (подложку) нанесли пленку металла (обычно ее получают, напыляя металл в вакууме). Затем ее окислили, создав на поверхности слой диэлектрика (окисла) толщиной всего в несколько десятков ангстрем. И снова покрыли пленкой металла. В результате получится так называемый «сэндвич» (в буквальном смысле этим английским словом называют два куска хлеба, например, с сыром между ними), или, иначе говоря, туннельный контакт.

Могут ли электроны переходить из одной металлической пленки в другую? Казалось бы, нет - им мешает слой диэлектрика. На рис. 2 приведен график зависимости потенциальной энергии электрона от координаты. В металле электрон движется свободно, и его потенциальная энергия равна нулю. Для выхода в диэлектрик надо совершить работу выхода , которая больше, чем кинетическая (а следовательно, и полная) энергия электрона .

Поэтому электроны в металлических пленках разделяет потенциальный барьер, высота которого равна .

Если бы электроны подчинялись законам классической механики, то такой барьер для них был бы непреодолим. Но вследствие туннельного эффекта с некоторой вероятностью электроны могут проникать через диэлектрик из одной металлической пленки в другую. Поэтому тонкая пленка диэлектрика оказывается проницаемой для электронов - через нее может течь так называемый туннельный ток. Однако суммарный туннельный ток равен нулю: сколько электронов переходит из нижней металлической пленки в верхнюю, столько же в среднем переходит, наоборот, из верхней пленки в нижнюю.

Как же сделать туннельный ток отличным от нуля? Для этого надо нарушить симметрию, например подсоединить металлические пленки к источнику с напряжением U. Тогда пленки будут играть роль обкладок конденсатора, а в слое диэлектрика возникнет электрическое поле. В этом случае электронам из верхней пленки преодолеть барьер легче, чем электронам из нижней пленки. В результате даже при малых напряжениях источника возникает туннельный ток. Туннельные контакты позволяют исследовать свойства электронов в металлах, а также используются в электронике.