முக்கோணவியல் சூத்திர அட்டவணை. அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

இந்த கட்டுரையின் ஆரம்பத்தில், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கருத்தை நாங்கள் ஆராய்ந்தோம். அவர்களின் முக்கிய நோக்கம் முக்கோணவியலின் அடிப்படைகளைப் படிப்பதும், காலச் செயல்முறைகளைப் படிப்பதும் ஆகும். நாங்கள் முக்கோணவியல் வட்டத்தை வரைந்தது வீண் அல்ல, ஏனென்றால் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதம் அல்லது ஒரு அலகு வட்டத்தில் அதன் சில பகுதிகள் என வரையறுக்கப்படுகின்றன. முக்கோணவியலின் மறுக்கமுடியாத மகத்தான முக்கியத்துவத்தையும் நான் குறிப்பிட்டேன் நவீன வாழ்க்கை. ஆனால் விஞ்ஞானம் இன்னும் நிற்கவில்லை, இதன் விளைவாக நாம் முக்கோணவியலின் நோக்கத்தை கணிசமாக விரிவுபடுத்தலாம் மற்றும் அதன் விதிகளை உண்மையான மற்றும் சில நேரங்களில் சிக்கலான எண்களுக்கு மாற்றலாம்.

முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்பல வகைகள் உள்ளன. அவற்றை வரிசையாகப் பார்ப்போம்.

1. ஒரே கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் விகிதங்கள்

இங்கே நாம் அத்தகைய கருத்தை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்.

ஒரு முக்கோணவியல் அடையாளம் என்பது முக்கோணவியல் உறவுகளைக் கொண்ட ஒரு சமத்துவம் மற்றும் அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள கோணங்களின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் திருப்தி அளிக்கிறது.

மிக முக்கியமான முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் மற்றும் அவற்றின் சான்றுகளைப் பார்ப்போம்:

முதல் அடையாளம் தொடுகோட்டின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

செங்குத்து முக்கோணத்தை எடுங்கள், அது செங்குத்து A இல் தீவிர கோணம் x உள்ளது.



அடையாளங்களை நிரூபிக்க, நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

இப்போது நாம் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (AB) 2 ஆல் வகுத்து, பாவம் மற்றும் காஸ் கோணத்தின் வரையறைகளை நினைவுபடுத்தி, இரண்டாவது அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

பாவம் x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

பாவம் 2 x + cos 2 x = 1

மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது அடையாளங்களை நிரூபிக்க, முந்தைய ஆதாரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இதைச் செய்ய, இரண்டாவது அடையாளத்தின் இரு பக்கங்களையும் cos 2 x ஆல் வகுக்கவும்:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

முதல் அடையாளத்தின் அடிப்படையில் tg x = sin x /cos x மூன்றாவதாக நாம் பெறுகிறோம்:

1 + டான் 2 x = 1/காஸ் 2 எக்ஸ்

இப்போது இரண்டாவது அடையாளத்தை sin 2 x ஆல் வகுப்போம்:

பாவம் 2 x/ பாவம் 2 x + cos 2 x/ பாவம் 2 x = 1/ பாவம் 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x என்பது 1/tg 2 x ஐ விட அதிகமாக இல்லை, எனவே நாம் நான்காவது அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

ஒரு முக்கோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பற்றிய தேற்றத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது, இது ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை = 180 0 என்று கூறுகிறது. முக்கோணத்தின் B உச்சியில் 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x என்ற கோணம் உள்ளது.



பாவம் மற்றும் காஸ் ஆகியவற்றின் வரையறைகளை மீண்டும் நினைவுபடுத்தி ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது அடையாளங்களைப் பெறுவோம்:

பாவம் x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

இப்போது பின்வருவனவற்றைச் செய்வோம்:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இங்கே எல்லாம் அடிப்படை.

கணித அடையாளங்களைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் பிற அடையாளங்கள் உள்ளன, அவற்றை நான் வடிவத்தில் தருகிறேன் குறிப்பு தகவல், ஏனெனில் அவை அனைத்தும் மேலே இருந்து வந்தவை.



2. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் வெளிப்படுத்துதல்

   (ரூட்டின் முன் உள்ள அடையாளத்தின் தேர்வு, எந்த வட்டத்தின் காலாண்டுகளில் மூலையில் அமைந்துள்ளது என்பதை தீர்மானிக்கிறது?)







3. கோணங்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் பின்வரும் சூத்திரங்கள் உள்ளன:



4. இரட்டை, மூன்று மற்றும் அரை கோணங்களுக்கான சூத்திரங்கள்.

   அவை அனைத்தும் முந்தைய சூத்திரங்களிலிருந்து வந்தவை என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்கள்:

டேன்ஜென்ட் (tg x) மற்றும் cotangent (ctg x) க்கான குறிப்பு தரவு. வடிவியல் வரையறை, பண்புகள், வரைபடங்கள், சூத்திரங்கள். தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள், டெரிவேடிவ்கள், ஒருங்கிணைப்புகள், தொடர் விரிவாக்கங்களின் அட்டவணை. சிக்கலான மாறிகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள். ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளுடன் இணைப்பு.

வடிவியல் வரையறை

|BD|
- புள்ளி A இல் மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தின் வளைவின் நீளம்.

α என்பது ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் கோணம். தொடு) டான் α ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α பொறுத்து ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடு ஆகும்வலது முக்கோணம்

, எதிர் பக்கத்தின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |BC| அருகில் உள்ள காலின் நீளம் |AB| .) கோடன்ஜென்ட் (

ctg α

ஒரு முக்கோணவியல் சார்பானது, ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் செங்கோண முக்கோணத்தின் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α, அருகில் உள்ள காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |AB| எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

எங்கே n- முழுவதும்.
.
;
;
.

IN

மேற்கத்திய இலக்கியம்

ஒரு முக்கோணவியல் சார்பானது, ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் செங்கோண முக்கோணத்தின் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α, அருகில் உள்ள காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |AB| எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

தொடுகோடு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
தொடுகோடு செயல்பாட்டின் வரைபடம், y = டான் x
;
;
.

கோட்டான்ஜென்ட்

மேற்கத்திய இலக்கியத்தில், கோட்டான்ஜென்ட் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

பின்வரும் குறிப்புகளும் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன:

கோட்டான்ஜென்ட் செயல்பாட்டின் வரைபடம், y = ctg x டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டின் பண்புகள்கால இடைவெளி ctg xகாலம் π உடன் கால இடைவெளியில் உள்ளன.

சமத்துவம்

தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் செயல்பாடுகள் ஒற்றைப்படை.

வரையறை மற்றும் மதிப்புகளின் பகுதிகள், அதிகரித்து, குறைகின்றன

தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் செயல்பாடுகள் அவற்றின் வரையறையின் களத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் (தொடர்ச்சியின் ஆதாரத்தைப் பார்க்கவும்). டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டின் முக்கிய பண்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன ( எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .- முழுவதும்).

	y = டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டின் பண்புகள்	y = ctg x
நோக்கம் மற்றும் தொடர்ச்சி
மதிப்புகளின் வரம்பு	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
அதிகரித்து வருகிறது		-
இறங்குதல்	-
உச்சநிலைகள்	-	-
பூஜ்ஜியங்கள், y = 0
ஆர்டினேட் அச்சுடன் புள்ளிகளை இடைமறித்து, x = 0	y = 0	-

சூத்திரங்கள்

சைன் மற்றும் கோசைனைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்

; ;
; ;
;

தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிலிருந்து டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான சூத்திரங்கள்

எடுத்துக்காட்டாக, மீதமுள்ள சூத்திரங்களைப் பெறுவது எளிது

தொடுகோடுகளின் தயாரிப்பு

தொடுகோடுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரம்

இந்த அட்டவணை வாதத்தின் சில மதிப்புகளுக்கான தொடுகோடுகள் மற்றும் கோடன்ஜென்ட்களின் மதிப்புகளை வழங்குகிறது.

சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்

ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள்

;
;

வழித்தோன்றல்கள்

; .

.
செயல்பாட்டின் x மாறியைப் பொறுத்து n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்:
.
தொடுகோடுக்கான சூத்திரங்களைப் பெறுதல் > > > ; cotangentக்கு >>>

ஒருங்கிணைப்புகள்

தொடர் விரிவாக்கங்கள்

x இன் சக்திகளில் டேன்ஜென்ட்டின் விரிவாக்கத்தைப் பெற, செயல்பாடுகளுக்கு ஒரு சக்தித் தொடரில் விரிவாக்கத்தின் பல விதிமுறைகளை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும். பாவம் xமற்றும் cos xமற்றும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒன்றோடொன்று பிரிக்கவும், .

இது பின்வரும் சூத்திரங்களை உருவாக்குகிறது.

மணிக்கு.
மணிக்கு. எங்கே Bn
;
;
- பெர்னோலி எண்கள். அவை மீண்டும் நிகழும் உறவிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:
எங்கே .

அல்லது லாப்லேஸின் சூத்திரத்தின்படி:

தலைகீழ் செயல்பாடுகள்தலைகீழ் செயல்பாடுகள்

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை முறையே ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் ஆகும்.

ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்ட்ஜி எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

, எங்கே

ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்ட்ஜி எதிர் காலின் நீளத்திற்கு |BC| .தொடுகோடு

ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட், ஆர்சிசிடிஜி
பயன்படுத்திய இலக்கியம்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009.

ஜி. கோர்ன், விஞ்ஞானிகள் மற்றும் பொறியாளர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, 2012.முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

- இவை ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் சமத்துவங்கள், இது வேறு ஏதேனும் தெரிந்திருந்தால், இந்த செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

இந்த அடையாளம் ஒரு கோணத்தின் சைனின் சதுரத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒரு கோணத்தின் கோசைனின் சதுரம் ஒன்றுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது, இது நடைமுறையில் ஒரு கோணத்தின் சைனை அதன் கோசைன் அறியப்படும்போது மற்றும் நேர்மாறாக கணக்கிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. . மாற்றும் போதுமுக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகள் இந்த அடையாளம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு கோணத்தின் கோசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒன்றுடன் மாற்றவும், மாற்று செயல்பாட்டைச் செய்யவும் அனுமதிக்கிறது..

சைன் மற்றும் கோசைனைப் பயன்படுத்தி தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றைக் கண்டறிதல்

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

இந்த அடையாளங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து உருவாகின்றன. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் அதைப் பார்த்தால், வரையறையின்படி ஆர்டினேட் y ஒரு சைன், மற்றும் அப்சிஸ்ஸா x ஒரு கொசைன். பின்னர் தொடுகோடு விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும் \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), மற்றும் விகிதம் \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ஒரு கோடேன்ஜென்டாக இருக்கும்.

அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் \alpha போன்ற கோணங்களுக்கு மட்டுமே அடையாளங்கள் இருக்கும், ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

உதாரணமாக: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)வேறுபட்ட கோணங்களில் \alpha க்கு செல்லுபடியாகும் \frac(\pi)(2)+\pi z, ஏ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z அல்லாத \alpha ஒரு கோணத்திற்கு, z என்பது ஒரு முழு எண்.

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் இடையே உள்ள உறவு

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

இந்த அடையாளம் \alpha இலிருந்து வேறுபட்ட கோணங்களுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும் \frac(\pi)(2) z. இல்லையெனில், கோட்டான்ஜென்ட் அல்லது டேன்ஜென்ட் தீர்மானிக்கப்படாது.

மேலே உள்ள புள்ளிகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம் tg \alpha = \frac(y)(x), ஏ ctg \alpha=\frac(x)(y). அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. எனவே, அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அதே கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் எண்கள்.

தொடுகோடு மற்றும் கொசைன், கோட்டான்ஜென்ட் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவுகள்

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- கோணத்தின் தொடுகோடுகளின் சதுரத்தின் கூட்டுத்தொகை \alpha மற்றும் 1 இந்த கோணத்தின் கோசைனின் தலைகீழ் சதுரத்திற்கு சமம். இந்த அடையாளம் அனைத்து \alpha க்கும் செல்லுபடியாகும் \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 இன் கூட்டுத்தொகை மற்றும் \alpha கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட்டின் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தின் சைனின் தலைகீழ் சதுரத்திற்கு சமம். இந்த அடையாளம் \pi z இலிருந்து வேறுபட்ட எந்த \alpha க்கும் செல்லுபடியாகும்.

முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

\sin \alpha மற்றும் tg \alpha என்றால் கண்டுபிடிக்கவும் \cos \alpha=-\frac12மற்றும் \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

\sin \alpha மற்றும் \cos \alpha செயல்பாடுகள் சூத்திரத்தால் தொடர்புடையவை \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. இந்த சூத்திரத்தில் மாற்றுதல் \cos \alpha = -\frac12, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

இந்த சமன்பாடு 2 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

நிபந்தனையின்படி \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . இரண்டாவது காலாண்டில் சைன் சாதகமாக உள்ளது, அதனால் \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

டான் \alpha ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

எடுத்துக்காட்டு 2

\cos \alpha மற்றும் ctg \alpha என்றால் மற்றும் \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

சூத்திரத்தில் மாற்றுதல் \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1கொடுக்கப்பட்ட எண் \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), நாம் பெறுகிறோம் \இடது (\frac(\sqrt3)(2)\வலது)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. இந்த சமன்பாட்டில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

நிபந்தனையின்படி \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . இரண்டாவது காலாண்டில் கொசைன் எதிர்மறையாக உள்ளது, எனவே \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). தொடர்புடைய மதிப்புகள் எங்களுக்குத் தெரியும்.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

இதுவே கடைசி மற்றும் மிக முக்கிய பாடம், B11 சிக்கல்களைத் தீர்க்க அவசியம். கோணங்களை ரேடியன் அளவிலிருந்து டிகிரி அளவாக மாற்றுவது எப்படி என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம் ("ரேடியன் மற்றும் கோணத்தின் டிகிரி அளவீடு" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்), மேலும் ஆய காலாண்டுகளில் கவனம் செலுத்தி முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதும் எங்களுக்குத் தெரியும் ( "முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகள்") பாடத்தைப் பார்க்கவும்.

செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது - பதிலில் எழுதப்பட்ட எண். இங்குதான் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் மீட்புக்கு வருகிறது.

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம். எந்த கோணத்திற்கும் α பின்வரும் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்:

பாவம் 2 α + காஸ் 2 α = 1.

இந்த சூத்திரம் ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனை தொடர்புபடுத்துகிறது. இப்போது, ​​சைனை அறிந்துகொள்வதன் மூலம், கோசைனை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கலாம் - மற்றும் நேர்மாறாகவும். வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொண்டால் போதும்:

வேர்களுக்கு முன்னால் "±" குறியைக் கவனியுங்கள். உண்மை என்னவென்றால், அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து அசல் சைன் மற்றும் கொசைன் என்னவென்பது தெளிவாக இல்லை: நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சதுரம் - கூட செயல்பாடு, இது அனைத்து குறைபாடுகளையும் "எரிக்கிறது" (ஏதேனும் இருந்தால்).

அதனால்தான் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் காணப்படும் பி 11 இன் அனைத்து சிக்கல்களிலும், அறிகுறிகளுடன் நிச்சயமற்ற தன்மையிலிருந்து விடுபட உதவும் கூடுதல் நிபந்தனைகள் அவசியம். பொதுவாக இது ஒரு ஆய காலாண்டின் அறிகுறியாகும், இதன் மூலம் அடையாளத்தை தீர்மானிக்க முடியும்.

ஒரு கவனமுள்ள வாசகர் ஒருவேளை கேட்பார்: "தொடுநோக்கி மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் பற்றி என்ன?" மேலே உள்ள சூத்திரங்களிலிருந்து இந்த செயல்பாடுகளை நேரடியாகக் கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை. இருப்பினும், அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து முக்கியமான விளைவுகள் உள்ளன, அவை ஏற்கனவே தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களைக் கொண்டுள்ளன. அதாவது:

ஒரு முக்கியமான தொடர்ச்சி: எந்த கோணத்திற்கும் α, அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

இந்த சமன்பாடுகள் முக்கிய அடையாளத்திலிருந்து எளிதில் பெறப்படுகின்றன - இரு பக்கங்களையும் cos 2 α (தொடுகோட்டைப் பெற) அல்லது sin 2 α (கோட்டான்ஜென்டைப் பெற) ஆல் வகுத்தால் போதும்.

இதையெல்லாம் பார்ப்போம் குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள். கீழே கொடுக்கப்பட்ட உண்மையான பி11 பிரச்சனைகள் சோதனை விருப்பங்கள்கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2012.

எங்களுக்கு கோசைன் தெரியும், ஆனால் எங்களுக்கு சைன் தெரியாது. முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளம் (அதன் "தூய" வடிவத்தில்) இந்த செயல்பாடுகளை இணைக்கிறது, எனவே நாங்கள் அதனுடன் வேலை செய்வோம். எங்களிடம் உள்ளது:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.

சிக்கலைத் தீர்க்க, சைனின் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்பது உள்ளது. கோணம் α ∈ (π /2; π ), பின்னர் டிகிரி அளவீட்டில் இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: α ∈ (90°; 180°).

இதன் விளைவாக, கோணம் α II ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டில் உள்ளது - அங்குள்ள அனைத்து சைன்களும் நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே sin α = 0.1.

எனவே, எங்களுக்கு சைன் தெரியும், ஆனால் நாம் கொசைனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தில் உள்ளன. மாற்றுவோம்:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

பின்னத்திற்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தை சமாளிக்க இது உள்ளது. எதை தேர்வு செய்வது: கூட்டல் அல்லது கழித்தல்? நிபந்தனையின்படி, கோணம் α இடைவெளியைச் சேர்ந்தது (π 3π /2). கோணங்களை ரேடியன் அளவிலிருந்து டிகிரிக்கு மாற்றுவோம் - நாம் பெறுவது: α ∈ (180°; 270°).

வெளிப்படையாக, இது III ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டாகும், இதில் அனைத்து கொசைன்களும் எதிர்மறையாக இருக்கும். எனவே cos α = -0.5.

பணி. பின்வருபவை தெரிந்தால் tan α ஐக் கண்டறியவும்:

தொடுபொருள் மற்றும் கொசைன் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலம் தொடர்புடையது:

நாம் பெறுகிறோம்: டான் α = ±3. தொடுகோட்டின் அடையாளம் α கோணத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. α ∈ (3π /2; 2π ) என்று அறியப்படுகிறது. கோணங்களை ரேடியன் அளவிலிருந்து டிகிரிக்கு மாற்றுவோம் - நாம் α ∈ (270°; 360°) பெறுகிறோம்.

வெளிப்படையாக, இது IV ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டாகும், அங்கு அனைத்து தொடுகோடுகளும் எதிர்மறையாக இருக்கும். எனவே டான் α = -3.

பணி. பின்வருபவை தெரிந்தால் cos α ஐக் கண்டறியவும்:

மீண்டும் சைன் தெரியும், கொசைன் தெரியவில்லை. முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை எழுதுவோம்:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.

அடையாளம் கோணத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எங்களிடம் உள்ளது: α ∈ (3π /2; 2π ). கோணங்களை டிகிரியிலிருந்து ரேடியன்களாக மாற்றுவோம்: α ∈ (270°; 360°) என்பது IV ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டாகும், அங்குள்ள கோசைன்கள் நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே, cos α = 0.6.

பணி. பின்வருபவை தெரிந்தால் sin α ஐக் கண்டறியவும்:

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து பின்பற்றும் ஒரு சூத்திரத்தை எழுதுவோம் மற்றும் நேரடியாக சைன் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கிறோம்:

இங்கிருந்து நாம் அந்த பாவம் 2 α = 1/25 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. பாவம் α = ±1/5 = ±0.2. கோணம் α ∈ (0; π /2) என்று அறியப்படுகிறது. டிகிரி அளவீட்டில், இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: α ∈ (0°; 90°) - நான் காலாண்டை ஒருங்கிணைக்கிறேன்.

எனவே, கோணம் I ஒருங்கிணைப்பு நாற்கரத்தில் உள்ளது - அங்குள்ள அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் நேர்மறையாக உள்ளன, எனவே பாவம் α = 0.2.

இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு விரிவான பார்வையை எடுப்போம். அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் சமத்துவங்களாகும், மேலும் அறியப்பட்ட மற்றொன்றின் மூலம் இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களை உடனடியாக பட்டியலிடுவோம். அவற்றை ஒரு அட்டவணையில் எழுதுவோம், கீழே இந்த சூத்திரங்களின் வெளியீட்டைக் கொடுப்போம் மற்றும் தேவையான விளக்கங்களை வழங்குவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் இடையே உள்ள உறவு

சில நேரங்களில் அவர்கள் மேலே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பற்றி பேசுவதில்லை, ஆனால் ஒரு ஒற்றை பற்றி அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம்வகையான . இந்த உண்மைக்கான விளக்கம் மிகவும் எளிமையானது: முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து அதன் இரண்டு பகுதிகளையும் முறையே மற்றும் சமத்துவங்கள் மூலம் பிரித்த பிறகு சமத்துவங்கள் பெறப்படுகின்றன. மற்றும் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து பின்பற்றவும். பின்வரும் பத்திகளில் இதைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

அதாவது, முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் பெயர் கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட ஆர்வமுள்ள சமத்துவம்.

முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை நிரூபிக்கும் முன், அதன் உருவாக்கத்தை நாங்கள் தருகிறோம்: ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது அதை நிரூபிப்போம்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல். இது ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒன்றால் மாற்ற அனுமதிக்கிறது. குறைவாக அடிக்கடி, அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் தலைகீழ் வரிசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: அலகு எந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படுகிறது.

சைன் மற்றும் கோசைன் மூலம் தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனுடன் டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் இணைக்கும் அடையாளங்கள் மற்றும் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றவும். உண்மையில், வரையறையின்படி, சைன் என்பது y இன் ஆர்டினேட், கொசைன் என்பது x இன் அப்சிஸ்ஸா, டேன்ஜென்ட் என்பது அப்சிசாவுக்கு ஆர்டினேட்டின் விகிதமாகும், அதாவது, , மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது அப்சிஸ்ஸாவின் ஆர்டினேட்டிற்கான விகிதமாகும், அதாவது, .

அடையாளங்கள் மற்றும் போன்ற வெளிப்படையான நன்றி தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் பெரும்பாலும் அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை, மாறாக சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது இந்த கோணத்தின் கோசைனுக்கு சைனின் விகிதமாகும், மேலும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது கோசைனுக்கும் சைனுக்கும் உள்ள விகிதமாகும்.

இந்த பத்தியின் முடிவில், அடையாளங்கள் மற்றும் அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அனைத்து கோணங்களிலும் நடைபெறும். எனவே சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் , தவிர (இல்லையெனில் வகுப்பில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும், மேலும் நாங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தலை வரையறுக்கவில்லை) மற்றும் சூத்திரம் - அனைத்திற்கும், z என்பது எந்த இடத்தில் இருந்து வேறுபட்டது.

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் இடையே உள்ள உறவு

முந்தைய இரண்டைக் காட்டிலும் இன்னும் தெளிவான முக்கோணவியல் அடையாளம் என்பது படிவத்தின் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கும் அடையாளமாகும். . இது தவிர வேறு எந்த கோணங்களுக்கும் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, இல்லையெனில் தொடுகோடு அல்லது கோடேன்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

சூத்திரத்தின் ஆதாரம் மிகவும் எளிமையானது. வரையறை மற்றும் எங்கிருந்து . ஆதாரத்தை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக நடத்தியிருக்கலாம். இருந்து , அது .

எனவே, அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அதே கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.