மடக்கையுடன் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. முழுமையான வழிகாட்டி (2019)

முக்கிய பண்புகள்.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள்

பதிவு6 4 + பதிவு6 9.

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம்.

மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x >

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

மேலும் பார்க்க:

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

2.

3.

4. எங்கே .

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

எடுத்துக்காட்டு 3. மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: லோகாக்ஸ் மற்றும் லோகே. பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு3 135 - பதிவு3 5 = பதிவு3 (135: 5) = பதிவு3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பலர் இந்த உண்மையின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளனர் சோதனைகள். ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

அதை கவனிப்பது எளிது கடைசி விதிமுதல் இரண்டைப் பின்பற்றுகிறது. ஆனால் அதை எப்படியும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள். , அதாவது மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு7 496 = 6 பதிவு7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 24; 49 = 72. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? வரை கடைசி தருணம்நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம்.

மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்.

நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: log2 7. log2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் n என்பது வாதத்தில் அடுக்கு ஆகும். எண் n என்பது முற்றிலும் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுவே அழைக்கப்படுகிறது: .

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

log25 64 = log5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

1. லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த ஒரு தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
2. லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.

மேலும் பார்க்க:

a அடிப்படையிலான b இன் மடக்கை வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கிறது. மடக்கையைக் கணக்கிடுவது என்பது சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட்ட ஒரு சக்தி x () ஐக் கண்டறிவதாகும்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள் தொடர்பான அனைத்து சிக்கல்களும் எடுத்துக்காட்டுகளும் அவற்றின் அடிப்படையில் தீர்க்கப்படுவதால், மேலே உள்ள பண்புகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம். மீதமுள்ள கவர்ச்சியான பண்புகளை இந்த சூத்திரங்களுடன் கணித கையாளுதல்கள் மூலம் பெறலாம்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைக் கணக்கிடும் போது (3.4) நீங்கள் அடிக்கடி சந்திப்பீர்கள். மீதமுள்ளவை சற்றே சிக்கலானவை, ஆனால் பல பணிகளில் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கும் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவை இன்றியமையாதவை.

மடக்கைகளின் பொதுவான வழக்குகள்

சில பொதுவான மடக்கைகள் அடிப்படை பத்து, அதிவேக அல்லது இரண்டாக இருக்கும்.
பத்தின் அடிப்படையிலான மடக்கை பொதுவாக தசம மடக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது வெறுமனே lg(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

பதிவில் அடிப்படைகள் எழுதப்படவில்லை என்பது பதிவின் மூலம் தெளிவாகிறது. உதாரணமாக

இயற்கை மடக்கை என்பது ஒரு மடக்கை ஆகும், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு அடுக்கு (ln(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது).

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை. இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மற்றும் அடிப்படை இரண்டின் மற்றொரு முக்கியமான மடக்கை குறிக்கப்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் மடக்கையின் வழித்தோன்றல் மாறியால் வகுக்கப்படும் ஒன்றிற்கு சமம்

ஒருங்கிணைந்த அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் மடக்கை உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

மடக்கைகள் மற்றும் மடக்கைகள் தொடர்பான பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க கொடுக்கப்பட்ட பொருள் போதுமானது. பொருளைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவ, நான் சில பொதுவான உதாரணங்களைத் தருகிறேன் பள்ளி பாடத்திட்டம்மற்றும் பல்கலைக்கழகங்கள்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

2.
மடக்கைகளின் வேறுபாட்டின் பண்பு மூலம் நம்மிடம் உள்ளது

3.
பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்

4. எங்கே .

வெளித்தோற்றத்தில் சிக்கலான வெளிப்பாடு பல விதிகளைப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது

மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

தீர்வு. கணக்கீட்டிற்கு, நாங்கள் கடைசி கால 5 மற்றும் 13 பண்புகளுக்குப் பயன்படுத்துகிறோம்

பதிவில் போட்டு புலம்புகிறோம்

அடிப்படைகள் சமமாக இருப்பதால், வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்கிறோம்

மடக்கைகள். நுழைவு நிலை.

மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

தீர்வு: அதன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் மடக்கை எழுத மாறியின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் பற்றிய நமது அறிமுகத்தின் ஆரம்பம் இது. கணக்கீடுகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள், உங்கள் நடைமுறை திறன்களை வளப்படுத்துங்கள் - மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நீங்கள் பெறும் அறிவு விரைவில் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகளைப் படித்த பிறகு, உங்கள் அறிவை மற்றொரு சமமான முக்கியமான தலைப்புக்கு விரிவுபடுத்துவோம் - மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள் ...

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: லோகாக்ஸ் மற்றும் லோகே. பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log6 4 + log6 9.

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு3 135 - பதிவு3 5 = பதிவு3 (135: 5) = பதிவு3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பல சோதனைகள் இந்த உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் அதை எப்படியும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள். , அதாவது மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம்.

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு7 496 = 6 பதிவு7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 24; 49 = 72. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: log2 7. log2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் n என்பது வாதத்தில் அடுக்கு ஆகும். எண் n என்பது முற்றிலும் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுவே அழைக்கப்படுகிறது: .

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

log25 64 = log5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

1. லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த ஒரு தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
2. லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.

வழிமுறைகள்

கொடுக்கப்பட்ட மடக்கை வெளிப்பாட்டை எழுதவும். வெளிப்பாடு 10 இன் மடக்கையைப் பயன்படுத்தினால், அதன் குறியீடு சுருக்கப்பட்டு இது போல் தெரிகிறது: lg b என்பது தசம மடக்கை. மடக்கை அதன் அடிப்படையாக e எண்ணைக் கொண்டிருந்தால், வெளிப்பாட்டை எழுதவும்: ln b – இயற்கை மடக்கை. எதன் விளைவு என்பது b எண்ணைப் பெறுவதற்கு அடிப்படை எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி என்று புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியும் போது, ​​அவற்றை ஒவ்வொன்றாக வேறுபடுத்தி முடிவுகளைச் சேர்க்க வேண்டும்: (u+v)" = u"+v";

இரண்டு சார்புகளின் பெருக்கத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது, ​​முதல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை இரண்டால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் இரண்டாவது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை முதல் செயல்பாட்டால் பெருக்க வேண்டும்: (u*v)" = u"*v +v"*u;

இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, ஈவுத்தொகையின் வழித்தோன்றலின் விளைபொருளில் இருந்து வகுக்கும் செயல்பாட்டால் பெருக்கப்படும் ஈவுத்தொகையின் வழித்தோன்றலின் பெருக்கத்தை டிவிடெண்டின் செயல்பாட்டால் பெருக்கி, வகுத்தல் அவசியம். இவை அனைத்தும் வகுப்பி செயல்பாட்டின் மூலம். (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

சிக்கலான செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், அகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வெளிப்புறத்தின் வழித்தோன்றலைப் பெருக்குவது அவசியம். y=u(v(x)), பிறகு y"(x)=y"(u)*v"(x) என்று விடுங்கள்.

மேலே பெறப்பட்ட முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எந்த செயல்பாட்டையும் வேறுபடுத்தலாம். எனவே சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்களும் உள்ளன. y=e^(x^2+6x+5) சார்பு கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், நீங்கள் செயல்பாட்டின் மதிப்பை x=1 புள்ளியில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
1) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி y"(1)=8*e^0=8 இல் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்

தலைப்பில் வீடியோ

பயனுள்ள ஆலோசனை

அடிப்படை வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள். இது கணிசமாக நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.

ஆதாரங்கள்:

• மாறிலியின் வழித்தோன்றல்

எனவே, பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டிற்கும் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கும் என்ன வித்தியாசம்? தெரியாத மாறி குறியின் கீழ் இருந்தால் சதுர வேர், பின்னர் சமன்பாடு பகுத்தறிவற்றதாகக் கருதப்படுகிறது.

வழிமுறைகள்

இத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறை இரு பக்கங்களையும் கட்டமைக்கும் முறையாகும் சமன்பாடுகள்ஒரு சதுரத்திற்குள். எனினும். இது இயற்கையானது, நீங்கள் முதலில் செய்ய வேண்டியது அடையாளத்தை அகற்றுவதுதான். இந்த முறை தொழில்நுட்ப ரீதியாக கடினம் அல்ல, ஆனால் சில நேரங்களில் அது சிக்கலுக்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு v(2x-5)=v(4x-7) ஆகும். இருபுறமும் ஸ்கொயர் செய்தால் 2x-5=4x-7 கிடைக்கும். அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல; x=1. ஆனால் எண் 1 கொடுக்கப்படாது சமன்பாடுகள். ஏன்? x இன் மதிப்புக்கு பதிலாக ஒன்றை சமன்பாட்டில் மாற்றவும், மேலும் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் அர்த்தமில்லாத வெளிப்பாடுகள் இருக்கும், அதாவது. இந்த மதிப்பு ஒரு வர்க்க மூலத்திற்கு செல்லுபடியாகாது. எனவே, 1 என்பது ஒரு புறம்பான வேர், எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

எனவே, ஒரு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு அதன் இருபுறமும் ஸ்கொயர் செய்யும் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, வெளிப்புற வேர்களை துண்டிக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்.

இன்னொன்றைக் கவனியுங்கள்.
2х+vx-3=0
நிச்சயமாக, இந்த சமன்பாட்டை முந்தைய சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். கலவைகளை நகர்த்தவும் சமன்பாடுகள், சதுர வேர் இல்லாத, வலது பக்கம், பின்னர் ஸ்கொயர் முறையைப் பயன்படுத்தவும். இதன் விளைவாக வரும் பகுத்தறிவு சமன்பாடு மற்றும் வேர்களை தீர்க்கவும். ஆனால் மற்றொரு, மிகவும் நேர்த்தியான ஒன்று. புதிய மாறியை உள்ளிடவும்; vх=y. அதன்படி, நீங்கள் 2y2+y-3=0 என்ற படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். அதாவது வழக்கம் இருபடி சமன்பாடு. அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடி; y1=1 மற்றும் y2=-3/2. அடுத்து, இரண்டைத் தீர்க்கவும் சமன்பாடுகள் vх=1; vх=-3/2. இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை; வேர்களை சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள்.

அடையாளங்களைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிது. இதைச் செய்ய, நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்கை அடையும் வரை ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம். இவ்வாறு, எளிய எண்கணித செயல்பாடுகளின் உதவியுடன், முன்வைக்கப்பட்ட பிரச்சனை தீர்க்கப்படும்.

உங்களுக்கு தேவைப்படும்

• - காகிதம்;
• - பேனா.

வழிமுறைகள்

இத்தகைய மாற்றங்களில் எளிமையானது இயற்கணித சுருக்கப் பெருக்கல்கள் (தொகையின் வர்க்கம் (வேறுபாடு), சதுரங்களின் வேறுபாடு, கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு), தொகையின் கன சதுரம் (வேறுபாடு) போன்றவை). கூடுதலாக, பல மற்றும் உள்ளன முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், இவை அடிப்படையில் ஒரே அடையாளங்கள்.

உண்மையில், இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமானது முதல் வகுப்பின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். முதல் கூட்டல் இரண்டின் பெருக்கத்தின் இருமடங்கு மற்றும் இரண்டின் வர்க்கம், அதாவது (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

இரண்டையும் எளிமையாக்குங்கள்

தீர்வுக்கான பொதுவான கொள்கைகள்

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ன என்பதை கணித பகுப்பாய்வு அல்லது உயர் கணிதம் பற்றிய பாடப்புத்தகத்திலிருந்து மீண்டும் செய்யவும். அறியப்பட்டபடி, ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான தீர்வு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு ஒருங்கிணைப்பைக் கொடுக்கும். இந்த செயல்பாடுஆன்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த கொள்கையின் அடிப்படையில், முக்கிய ஒருங்கிணைப்புகள் கட்டப்பட்டுள்ளன.
இந்த வழக்கில் எந்த அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு பொருத்தமானது என்பதை ஒருங்கிணைப்பின் வகை மூலம் தீர்மானிக்கவும். இதை உடனடியாக தீர்மானிக்க எப்போதும் சாத்தியமில்லை. பெரும்பாலும், அட்டவணை வடிவம் ஒருங்கிணைப்பை எளிமைப்படுத்த பல மாற்றங்களுக்குப் பிறகு மட்டுமே கவனிக்கப்படுகிறது.

மாறி மாற்று முறை

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு என்றால் முக்கோணவியல் செயல்பாடு, யாருடைய வாதத்தில் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன, பின்னர் மாறி மாற்று முறையைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும். இதைச் செய்ய, ஒருங்கிணைப்பின் வாதத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையை சில புதிய மாறிகளுடன் மாற்றவும். புதிய மற்றும் பழைய மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவின் அடிப்படையில், ஒருங்கிணைப்பின் புதிய வரம்புகளைத் தீர்மானிக்கவும். இந்த வெளிப்பாட்டை வேறுபடுத்துவதன் மூலம், இல் புதிய வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும். எனவே நீங்கள் பெறுவீர்கள் புதிய தோற்றம்முந்தைய ஒருங்கிணைப்பு, எந்த அட்டவணைக்கு அருகில் அல்லது தொடர்புடையது.

இரண்டாவது வகையான ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

ஒருங்கிணைப்பானது இரண்டாவது வகையின் ஒருங்கிணைப்பாக இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பின் திசையன் வடிவமாக இருந்தால், இந்த ஒருங்கிணைப்புகளிலிருந்து அளவிடக்கூடியவற்றிற்கு மாறுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். அத்தகைய விதிகளில் ஒன்று ஆஸ்ட்ரோகிராட்ஸ்கி-காஸ் உறவு. இந்த சட்டம்கொடுக்கப்பட்ட திசையன் புலத்தின் வேறுபாட்டின் மீது சில திசையன் செயல்பாட்டின் ரோட்டார் ஃப்ளக்ஸில் இருந்து மூன்று ஒருங்கிணைப்புக்கு செல்ல உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளின் மாற்றீடு

ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடித்த பிறகு, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மாற்றுவது அவசியம். முதலில், மேல் வரம்பின் மதிப்பை ஆன்டிடெரிவேடிவ்க்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றவும். உங்களுக்கு சில எண் கிடைக்கும். அடுத்து, கீழ் வரம்பிலிருந்து பெறப்பட்ட மற்றொரு எண்ணை விளைந்த எண்ணிலிருந்து ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆகக் கழிக்கவும். ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளில் ஒன்று முடிவிலியாக இருந்தால், அதை ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டில் மாற்றும் போது, ​​வரம்புக்குச் சென்று வெளிப்பாடு எதை நோக்கி செல்கிறது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒருங்கிணைப்பானது இரு பரிமாணமாகவோ அல்லது முப்பரிமாணமாகவோ இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு மதிப்பிடுவது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வடிவியல் ரீதியாக நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும். உண்மையில், ஒரு முப்பரிமாண ஒருங்கிணைப்பின் விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட அளவைக் கட்டுப்படுத்தும் முழு விமானங்களாக இருக்கலாம்.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள் பற்றி உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகள் மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் அரசு நிறுவனங்கள்ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளியிடவும். பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறான பயன்பாடு, அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் ஆகியவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உட்பட - முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை எடுக்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

அல்ஜீப்ரா 11ம் வகுப்பு

தலைப்பு: "மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்"

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி: பற்றிய அறிவை உருவாக்குதல் வெவ்வேறு வழிகளில்மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையிலும் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன் மற்றும் தீர்க்க எந்த முறையையும் தேர்வு செய்தல்;

வளர்ச்சி: அறிவைக் கவனிக்க, ஒப்பிட்டு, பயன்படுத்துவதற்கான திறன்களை வளர்த்தல் புதிய சூழ்நிலை, வடிவங்களை அடையாளம் காணவும், பொதுமைப்படுத்தவும்; பரஸ்பர கட்டுப்பாடு மற்றும் சுய கட்டுப்பாடு திறன்களை வளர்ப்பது;

கல்வி: கல்விப் பணிகளில் பொறுப்பான அணுகுமுறையை வளர்ப்பது, பாடத்தில் உள்ள விஷயங்களைக் கவனத்துடன் உணர்ந்து, கவனமாகக் குறிப்பு எடுப்பது.

பாடம் வகை: புதிய பொருளை அறிமுகப்படுத்துவது பற்றிய பாடம்.

"மடக்கைகளின் கண்டுபிடிப்பு, வானியலாளரின் பணியைக் குறைத்து, அவரது ஆயுளை நீட்டித்தது."
பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான பி.எஸ். லாப்லேஸ்

பாடம் முன்னேற்றம்

I. பாடத்தின் இலக்கை அமைத்தல்

மடக்கையின் ஆய்வு செய்யப்பட்ட வரையறை, மடக்கைகளின் பண்புகள் மற்றும் மடக்கைச் செயல்பாடு ஆகியவை மடக்கைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நம்மை அனுமதிக்கும். அனைத்து மடக்கை சமன்பாடுகளும், அவை எவ்வளவு சிக்கலானதாக இருந்தாலும், சீரான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. இன்றைய பாடத்தில் இந்த அல்காரிதம்களைப் பார்ப்போம். அவர்களில் பலர் இல்லை. நீங்கள் அவற்றில் தேர்ச்சி பெற்றால், மடக்கைகளுடன் கூடிய எந்த சமன்பாடும் உங்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் சாத்தியமானதாக இருக்கும்.

உங்கள் குறிப்பேட்டில் பாடத்தின் தலைப்பை எழுதுங்கள்: "மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்." அனைவரும் ஒத்துழைக்க அழைக்கிறேன்.

II. குறிப்பு அறிவைப் புதுப்பித்தல்

பாடத்தின் தலைப்பைப் படிக்கத் தயாராவோம். நீங்கள் ஒவ்வொரு பணியையும் தீர்த்துவிட்டு பதிலை எழுதுங்கள், நீங்கள் நிபந்தனையை எழுத வேண்டியதில்லை. ஜோடிகளாக வேலை செய்யுங்கள்.

1) x இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு செயல்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது:

(ஒவ்வொரு ஸ்லைடிற்கும் பதில்கள் சரிபார்க்கப்பட்டு பிழைகள் வரிசைப்படுத்தப்படும்)

2) செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் ஒத்துப்போகின்றனவா?

3) சமன்பாடுகளை மடக்கை சமத்துவங்களாக மீண்டும் எழுதவும்:

4) அடிப்படை 2 உடன் எண்களை மடக்கைகளாக எழுதவும்:

5) கணக்கிடவும்:

6) இந்த சமத்துவங்களில் விடுபட்ட கூறுகளை மீட்டெடுக்க அல்லது கூடுதலாக்க முயற்சிக்கவும்.

III. புதிய பொருள் அறிமுகம்

பின்வரும் அறிக்கை திரையில் காட்டப்படும்:

"சமன்பாடு என்பது அனைத்து கணித எள்களையும் திறக்கும் தங்க விசையாகும்."
நவீன போலந்து கணிதவியலாளர் எஸ். கோவல்

மடக்கை சமன்பாட்டின் வரையறையை உருவாக்க முயற்சிக்கவும். (மடக்கை குறியின் கீழ் தெரியாத ஒரு சமன்பாடு).

கருத்தில் கொள்வோம் எளிமையான மடக்கை சமன்பாடு:பதிவுஏx = b(அங்கு a>0, a ≠ 1). ஏனெனில் மடக்கை செயல்பாடுநேர்மறை எண்களின் தொகுப்பில் அதிகரிக்கிறது (அல்லது குறைகிறது) மற்றும் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளையும் எடுக்கும், பின்னர் ரூட் தேற்றத்தின் மூலம் இந்த சமன்பாடு எந்த b க்கும் உள்ளது, மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வு மற்றும் நேர்மறை ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது.

மடக்கையின் வரையறையை நினைவில் கொள்க. (ஒரு எண்ணின் x இன் மடக்கையானது அடிப்படை a க்கு ஒரு குறிகாட்டியாகும், இது x எண்ணைப் பெறுவதற்கு அடிப்படை a ஐ உயர்த்த வேண்டும் என்பதற்கான ஒரு குறிகாட்டியாகும்). மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து அது உடனடியாக அதைப் பின்பற்றுகிறது ஏவிஅத்தகைய தீர்வு.

தலைப்பை எழுதுங்கள்: மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

1. மடக்கையின் வரையறை மூலம்.

படிவத்தின் எளிய சமன்பாடுகள் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன.

கருத்தில் கொள்வோம் எண். 514(a)): சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

அதை எவ்வாறு தீர்க்க முன்மொழிகிறீர்கள்? (மடக்கையின் வரையறையின்படி)

தீர்வு. , எனவே 2x - 4 = 4; x = 4.

இந்தப் பணியில், 2x - 4 > 0, > 0 என்பதால், புறம்பான வேர்கள் எதுவும் தோன்றாது, மேலும் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இந்த பணியில் 2x - 4 > 0 என்ற நிபந்தனையை எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை.

2. சக்தியூட்டல்(கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் மடக்கையிலிருந்து இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு மாறுதல்).

கருத்தில் கொள்வோம் எண். 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

என்ன அம்சத்தை நீங்கள் கவனித்தீர்கள்? (அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் மடக்கைகள் சமமானவை.) என்ன செய்ய முடியும்? (வலிமைப்படுத்து).

மடக்கை வெளிப்பாடுகள் நேர்மறையாக இருக்கும் x எல்லாவற்றிலும் எந்த தீர்வும் உள்ளது என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

தீர்வு: ODZ:

X2+8>0 என்பது தேவையற்ற சமத்துவமின்மை

log5(x2+8) =log5 23+ பதிவு5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

அசல் சமன்பாட்டை வலுப்படுத்துவோம்

x2+8= 8x+8 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

அதைத் தீர்ப்போம்: x2-8x=0

பதில்: 0; 8

IN பொதுவான பார்வை சமமான அமைப்புக்கு மாறுதல்:

சமன்பாடு

(அமைப்பு ஒரு தேவையற்ற நிலையைக் கொண்டுள்ளது - ஏற்றத்தாழ்வுகளில் ஒன்று கருதப்பட வேண்டியதில்லை).

வகுப்பிற்கான கேள்வி: இந்த மூன்று தீர்வுகளில் எது உங்களுக்கு மிகவும் பிடித்திருந்தது? (முறைகள் பற்றிய விவாதம்).

எந்த வகையிலும் முடிவெடுக்க உங்களுக்கு உரிமை உண்டு.

3. ஒரு புதிய மாறியின் அறிமுகம்.

கருத்தில் கொள்வோம் எண். 520(கிராம்). .

நீங்கள் என்ன கவனித்தீர்கள்? (இது log3x ஐப் பொறுத்தமட்டில் ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு) ஏதேனும் பரிந்துரைகள் உள்ளதா? (புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தவும்)

தீர்வு. ODZ: x > 0.

நாம் , பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:. பாகுபாடு D > 0. வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி வேர்கள்:.

மாற்றீட்டிற்கு திரும்புவோம்: அல்லது.

எளிமையான மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, நாம் பெறுகிறோம்:

பதில்: 27;

4. சமன்பாட்டின் இருபுறமும் மடக்கை.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:.

தீர்வு: ODZ: x>0, அடிப்படை 10 இல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

ஒரு சக்தியின் மடக்கையின் பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்:

(logx + 3) logx = 4

logx = y, பிறகு (y + 3)y = 4

, (D > 0) வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி வேர்கள்: y1 = -4 மற்றும் y2 = 1.

மாற்றீட்டிற்கு திரும்புவோம், நாம் பெறுகிறோம்: lgx = -4,; logx = 1, .

பதில்: 0.0001; 10.

5. ஒரு தளத்திற்கு குறைப்பு.

எண். 523(c). சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு: ODZ: x>0. அடிப்படை 3 க்கு செல்லலாம்.

6. செயல்பாட்டு-கிராஃபிக் முறை.

№ 509(d)சமன்பாட்டை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும்: = 3 - x.

எப்படி தீர்க்க முன்மொழிகிறீர்கள்? (புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி y = log2x மற்றும் y = 3 - x ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும் மற்றும் வரைபடங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளின் abscissa ஐப் பார்க்கவும்).

ஸ்லைடில் உங்கள் தீர்வைப் பாருங்கள்.

வரைபடங்களை உருவாக்குவதைத் தவிர்க்க ஒரு வழி உள்ளது . இது பின்வருமாறு : செயல்பாடுகளில் ஒன்று என்றால் y = f(x) அதிகரிக்கிறது, மற்றும் பிற y = g(x) X இடைவெளியில் குறைகிறது, பின்னர் சமன்பாடு f(x)= g(x) X இடைவெளியில் அதிகபட்சம் ஒரு ரூட் உள்ளது.

ஒரு வேர் இருந்தால், அதை யூகிக்க முடியும்.

எங்கள் விஷயத்தில், செயல்பாடு x>0 க்கு அதிகரிக்கிறது, மேலும் x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் y = 3 - x செயல்பாடு குறைகிறது, x>0 உட்பட, சமன்பாட்டில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ரூட் இல்லை. x = 2 இல் சமன்பாடு உண்மையான சமத்துவமாக மாறுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.

"முறைகளின் சரியான பயன்பாட்டைக் கற்றுக்கொள்ளலாம்
அவற்றைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மட்டுமே பல்வேறு உதாரணங்கள்».
டேனிஷ் கணித வரலாற்றாசிரியர் ஜி.ஜி.சீடன்

ஐவி. வீட்டுப்பாடம்

பி. 39 உதாரணம் 3ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், எண். 514(பி), எண். 529(பி), எண். 520(பி), எண். 523(பி)

V. பாடத்தைச் சுருக்கிக் கூறுதல்

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எந்த முறைகளை வகுப்பில் பார்த்தோம்?

அடுத்த பாடங்களில் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம். அவற்றைத் தீர்க்க, படித்த முறைகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

கடைசி ஸ்லைடு காட்டப்பட்டது:

"உலகில் உள்ள அனைத்தையும் விட எது அதிகம்?
விண்வெளி.
புத்திசாலித்தனமான விஷயம் என்ன?
நேரம்.
சிறந்த பகுதி எது?
நினைத்ததை அடையுங்கள்."
தேல்ஸ்

ஒவ்வொருவரும் தாங்கள் நினைத்ததை அடைய வேண்டும் என்று வாழ்த்துகிறேன். உங்கள் ஒத்துழைப்புக்கும் புரிதலுக்கும் நன்றி.

மடக்கைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றிய பாடங்களின் நீண்ட தொடரின் இறுதி வீடியோக்கள். இந்த நேரத்தில் நாம் முதன்மையாக மடக்கையின் ODZ உடன் வேலை செய்வோம் - இது துல்லியமாக வரையறையின் டொமைனின் தவறான கருத்தில் (அல்லது புறக்கணிப்பதால்) இதுபோன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பெரும்பாலான பிழைகள் எழுகின்றன.

இந்த சிறிய வீடியோ பாடத்தில், மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதைப் பார்ப்போம், மேலும் பல மாணவர்களுக்கும் சிக்கல்களைக் கொண்ட பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் கையாள்வோம்.

எதைப் பற்றி பேசுவோம்? நான் புரிந்து கொள்ள விரும்பும் முக்கிய சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

log a (f g) = log a f + log a g

இது தயாரிப்பிலிருந்து மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பின்னுக்கு ஒரு நிலையான மாற்றம் ஆகும். மடக்கைகளைப் படிக்கும் ஆரம்பத்திலிருந்தே இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் அறிந்திருக்கலாம். இருப்பினும், ஒரு தடங்கல் உள்ளது.

மாறிகள் a, f மற்றும் g ஆகியவை சாதாரண எண்களாக இருக்கும் வரை, எந்த பிரச்சனையும் எழாது. இந்த சூத்திரம் நன்றாக வேலை செய்கிறது.

எவ்வாறாயினும், f மற்றும் g க்கு பதிலாக செயல்பாடுகள் தோன்றியவுடன், எந்த திசையை மாற்றுவது என்பதைப் பொறுத்து வரையறையின் டொமைனை விரிவுபடுத்துவது அல்லது சுருக்குவது போன்ற சிக்கல் எழுகிறது. நீங்களே தீர்மானிக்கவும்: இடதுபுறத்தில் எழுதப்பட்ட மடக்கையில், வரையறையின் களம் பின்வருமாறு:

fg > 0

ஆனால் வலதுபுறத்தில் எழுதப்பட்ட தொகையில், வரையறையின் களம் ஏற்கனவே சற்று வித்தியாசமாக உள்ளது:

f > 0

g > 0

இந்த தேவைகளின் தொகுப்பு அசல் ஒன்றை விட மிகவும் கடுமையானது. முதல் வழக்கில், f விருப்பத்தில் திருப்தி அடைவோம்< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 செயல்படுத்தப்படுகிறது).

எனவே, இடது கட்டுமானத்திலிருந்து வலதுபுறமாக நகரும் போது, ​​வரையறையின் களத்தின் குறுக்கம் ஏற்படுகிறது. முதலில் எங்களிடம் ஒரு தொகை இருந்தால், அதை ஒரு தயாரிப்பின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதினால், வரையறையின் களம் விரிவடைகிறது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முதல் வழக்கில் நாம் வேர்களை இழக்கலாம், இரண்டாவதாக கூடுதல்வற்றைப் பெறலாம். உண்மையான மடக்கை சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்.

எனவே, முதல் பணி:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

இடதுபுறத்தில் அதே தளத்தைப் பயன்படுத்தி மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்கிறோம். எனவே, இந்த மடக்கைகளைச் சேர்க்கலாம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வலதுபுறத்தில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ஜியத்தை மாற்றினோம்:

a = பதிவு b b a

எங்கள் சமன்பாட்டை இன்னும் கொஞ்சம் மறுசீரமைப்போம்:

பதிவு 4 (x - 5) 2 = பதிவு 4 1

மடக்கைச் சமன்பாட்டின் நியதி வடிவம் நமக்கு முன் உள்ளது;

(x - 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: தொகுதி எங்கிருந்து வந்தது? ஒரு சரியான சதுரத்தின் வேர் மாடுலஸுக்கு சமம் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

பின்னர் கிளாசிக்கல் சமன்பாட்டை மாடுலஸுடன் தீர்க்கிறோம்:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x - 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

இங்கே இரண்டு வேட்பாளர் பதில்கள் உள்ளன. அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கு அவை தீர்வா? இல்லை, எந்த சூழ்நிலையிலும்!

எல்லாவற்றையும் அப்படியே விட்டுவிட்டு பதில் எழுத நமக்கு உரிமை இல்லை. மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையை வாதங்களின் பெருக்கத்தின் ஒரு மடக்கையால் மாற்றும் படியைப் பாருங்கள். பிரச்சனை என்னவென்றால், அசல் வெளிப்பாடுகளில் நமக்கு செயல்பாடுகள் உள்ளன. எனவே, உங்களுக்குத் தேவை:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

நாங்கள் தயாரிப்பை மாற்றியமைத்தபோது, ​​​​சரியான சதுரத்தைப் பெற்று, தேவைகள் மாறியது:

(x - 5) 2 > 0

இந்த தேவை எப்போது பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது? ஆம், கிட்டத்தட்ட எப்போதும்! x − 5 = 0 ஆகும் சந்தர்ப்பத்தைத் தவிர. அதாவது சமத்துவமின்மை ஒரு துளையிடப்பட்ட புள்ளியாக குறைக்கப்படும்:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வரையறையின் நோக்கம் விரிவடைந்துள்ளது, இது பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் பேசினோம். இதன் விளைவாக, கூடுதல் வேர்கள் தோன்றக்கூடும்.

இந்த கூடுதல் வேர்கள் தோன்றுவதை எவ்வாறு தடுப்பது? இது மிகவும் எளிமையானது: நாங்கள் பெறப்பட்ட வேர்களைப் பார்த்து, அசல் சமன்பாட்டின் வரையறையின் களத்துடன் ஒப்பிடுகிறோம். எண்ணுவோம்:

x (x - 5) > 0

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

இதன் விளைவாக வரும் எண்களை வரியில் குறிக்கிறோம். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அனைத்து புள்ளிகளும் காணவில்லை. 5 ஐ விட அதிகமான எண்ணை எடுத்து மாற்றவும்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

நாங்கள் இடைவெளிகளில் ஆர்வமாக உள்ளோம் (−∞; 0) ∪ (5; ∞). பிரிவின் மீது நமது வேர்களைக் குறித்தால், x = 4 நமக்குப் பொருந்தாது என்பதைக் காண்போம், ஏனெனில் இந்த வேர் அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனுக்கு வெளியே உள்ளது.

நாம் மொத்தத்திற்குத் திரும்பி, x = 4 என்ற மூலத்தைக் கடந்து, பதிலை எழுதுகிறோம்: x = 6. இது அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கான இறுதிப் பதில். அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.

இரண்டாவது மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்வோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

அதை தீர்க்கலாம். முதல் சொல் ஒரு பின்னம், இரண்டாவது அதே பின்னம், ஆனால் தலைகீழ் என்பதை நினைவில் கொள்க. lgx என்ற வெளிப்பாட்டைக் கண்டு பயப்பட வேண்டாம் - இது ஒரு தசம மடக்கை, நாம் அதை எழுதலாம்:

lgx = பதிவு 10 x

எங்களிடம் இரண்டு தலைகீழ் பின்னங்கள் இருப்பதால், ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்த நான் முன்மொழிகிறேன்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

எனவே, எங்கள் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பின்னத்தின் எண் ஒரு சரியான சதுரம். ஒரு பின்னம் அதன் எண் பூஜ்ஜியமாகவும், அதன் வகுப்பானது பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருக்கும் போது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

t - 1 = 0;

t = 1.

இந்த மதிப்பு இரண்டாவது தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, நாம் நமது சமன்பாட்டை முழுமையாக தீர்த்துவிட்டோம் என்று கூறலாம், ஆனால் t மாறியைப் பொறுத்து மட்டுமே. இப்போது t என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

எங்களுக்கு விகிதம் கிடைத்தது:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

இந்த சமன்பாட்டை அதன் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

logx = பதிவு 10 -1

x = 10 -1 = 0.1

இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு ஒற்றை மூலத்தைப் பெற்றோம், இது கோட்பாட்டில், அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். இருப்பினும், அதை இன்னும் பாதுகாப்பாக விளையாடுவோம் மற்றும் அசல் சமன்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனை எழுதுவோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

எனவே, எங்கள் ரூட் அனைத்து தேவைகளையும் பூர்த்தி செய்கிறது. அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம். பதில்: x = 0.1. பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

இன்றைய பாடத்தில் ஒரே ஒரு முக்கிய அம்சம் உள்ளது: ஒரு தயாரிப்பில் இருந்து ஒரு தொகைக்கு மற்றும் பின்னுக்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​எந்த திசையில் மாற்றம் செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து வரையறையின் நோக்கம் குறுகலாம் அல்லது விரிவடையும் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

என்ன நடக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது எப்படி: சுருக்கம் அல்லது விரிவாக்கம்? மிகவும் எளிமையானது. முந்தைய செயல்பாடுகள் ஒன்றாக இருந்தால், இப்போது அவை தனித்தனியாக இருந்தால், வரையறையின் நோக்கம் குறுகிவிட்டது (ஏனெனில் அதிக தேவைகள் உள்ளன). முதலில் செயல்பாடுகள் தனித்தனியாக நின்று, இப்போது அவை ஒன்றாக இருந்தால், வரையறையின் களம் விரிவடைகிறது (தனிப்பட்ட காரணிகளை விட தயாரிப்புக்கு குறைவான தேவைகள் விதிக்கப்படுகின்றன).

இந்த கருத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், இரண்டாவது மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு இந்த மாற்றங்கள் தேவையில்லை என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன், அதாவது, நாங்கள் வாதங்களை எங்கும் சேர்க்கவோ அல்லது பெருக்கவோ மாட்டோம். இருப்பினும், தீர்வை கணிசமாக எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கும் மற்றொரு அற்புதமான நுட்பத்திற்கு இங்கே உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன். இது ஒரு மாறியை மாற்றுவது பற்றியது.

இருப்பினும், எந்த மாற்றீடுகளும் வரையறையின் வரம்பிலிருந்து நம்மை விடுவிக்காது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். அதனால்தான் அனைத்து வேர்களும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, நாங்கள் சோம்பேறியாக இல்லை, அதன் ODZ ஐக் கண்டுபிடிக்க அசல் சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பினோம்.

பெரும்பாலும், ஒரு மாறியை மாற்றும் போது, ​​மாணவர்கள் t இன் மதிப்பைக் கண்டறிந்து தீர்வு முடிந்தது என்று நினைக்கும் போது எரிச்சலூட்டும் பிழை ஏற்படுகிறது. இல்லை, எந்த சூழ்நிலையிலும்!

t இன் மதிப்பைக் கண்டறிந்ததும், நீங்கள் அசல் சமன்பாட்டிற்குச் சென்று, இந்தக் கடிதத்தில் நாம் சரியாக என்ன சொல்கிறோம் என்பதைப் பார்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, நாம் இன்னும் ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், இருப்பினும், அசல் ஒன்றை விட இது மிகவும் எளிமையானதாக இருக்கும்.

இது துல்லியமாக ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான புள்ளியாகும். அசல் சமன்பாட்டை இரண்டு இடைநிலைகளாகப் பிரிக்கிறோம், ஒவ்வொன்றும் மிகவும் எளிமையான தீர்வைக் கொண்டுள்ளன.

"உள்ளமை" மடக்கை சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

இன்று நாம் மடக்கைச் சமன்பாடுகளைத் தொடர்ந்து படித்து வருகிறோம், மேலும் ஒரு மடக்கை மற்றொரு மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும்போது கட்டுமானங்களைப் பகுப்பாய்வு செய்வோம். நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்போம்.

இன்று நாம் மடக்கைச் சமன்பாடுகளைத் தொடர்ந்து படித்து வருகிறோம், மேலும் ஒரு மடக்கை மற்றொன்றின் அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும்போது கட்டுமானங்களைப் பகுப்பாய்வு செய்வோம். நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்போம். log a f (x) = b படிவத்தின் எளிய மடக்கை சமன்பாடு இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பின்வரும் படிகளைச் செய்கிறோம் என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். முதலில், நாம் எண்ணை b ஐ மாற்ற வேண்டும்:

b = log a a b

b என்பது ஒரு வாதம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இதேபோல், அசல் சமன்பாட்டில், வாதம் f(x) சார்பு ஆகும். பின்னர் நாம் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதி இந்த கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:

log a f (x) = log a a b

பின்னர் நாம் மூன்றாவது படியைச் செய்யலாம் - மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து விடுபட்டு வெறுமனே எழுதுங்கள்:

f (x) = a b

இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு புதிய சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த வழக்கில், செயல்பாடு f (x) மீது எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கைச் செயல்பாடும் அதன் இடத்தைப் பெறலாம். பின்னர் நாம் மீண்டும் ஒரு மடக்கை சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், அதை மீண்டும் அதன் எளிய வடிவத்திற்குக் குறைத்து, நியமன வடிவத்தின் மூலம் தீர்ப்போம்.

இருப்பினும், பாடல் வரிகள் போதும். உண்மையான பிரச்சனையை தீர்ப்போம். எனவே, பணி எண் 1:

பதிவு 2 (1 + 3 பதிவு 2 x ) = 2

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்களுக்கு முன் எளிமையான மடக்கை சமன்பாடு உள்ளது. f (x) இன் பங்கு கட்டுமானம் 1 + 3 பதிவு 2 x ஆகும், மேலும் b எண்ணின் பங்கு எண் 2 ஆகும் (a இன் பங்கு இரண்டும் வகிக்கப்படுகிறது). இந்த இரண்டையும் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

முதல் இரண்டும் மடக்கையின் அடிப்பகுதியில் இருந்து நமக்கு வந்தன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம், அதாவது அசல் சமன்பாட்டில் 5 இருந்தால், 2 = பதிவு 5 5 2 என்று நாம் பெறுவோம். பொதுவாக, அடிப்படையானது சிக்கலில் முதலில் கொடுக்கப்பட்ட மடக்கையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. எங்கள் விஷயத்தில் இது எண் 2 ஆகும்.

எனவே, வலதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டும் உண்மையில் ஒரு மடக்கை என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு நமது மடக்கை சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு 2 (1 + 3 பதிவு 2 x) = பதிவு 2 4

எங்கள் திட்டத்தின் கடைசி கட்டத்திற்கு செல்லலாம் - நியமன வடிவத்தை அகற்றுவது. நீங்கள் கூறலாம், பதிவின் அறிகுறிகளை நாங்கள் வெறுமனே கடந்து செல்கிறோம். இருப்பினும், கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "பதிவைக் கடப்பது" சாத்தியமில்லை - வாதங்களை நாம் வெறுமனே சமன் செய்கிறோம் என்று சொல்வது மிகவும் சரியாக இருக்கும்:

1 + 3 பதிவு 2 x = 4

இங்கிருந்து நாம் எளிதாக 3 பதிவு 2 x கண்டுபிடிக்க முடியும்:

3 பதிவு 2 x = 3

பதிவு 2 x = 1

நாங்கள் மீண்டும் எளிமையான மடக்கை சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அதை மீண்டும் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம். இதைச் செய்ய, பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும்:

1 = பதிவு 2 2 1 = பதிவு 2 2

அடிவாரத்தில் ஏன் இரண்டு உள்ளது? ஏனெனில் எங்களில் நியமன சமன்பாடுஇடதுபுறத்தில் தளம் 2க்கு சரியாக மடக்கை உள்ளது. இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு சிக்கலை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு 2 x = பதிவு 2 2

மீண்டும் நாம் மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து விடுபடுகிறோம், அதாவது வாதங்களை வெறுமனே சமன் செய்கிறோம். அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால் இதைச் செய்ய எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது, மேலும் வலது அல்லது இடதுபுறத்தில் கூடுதல் செயல்கள் எதுவும் செய்யப்படவில்லை:

அவ்வளவுதான்! பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது. மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

கவனம் செலுத்துங்கள்! வாதத்தில் மாறி x தோன்றினாலும் (அதாவது, வரையறையின் களத்திற்கான தேவைகள் எழுகின்றன), நாங்கள் எந்த கூடுதல் தேவைகளையும் செய்ய மாட்டோம்.

நான் மேலே கூறியது போல், ஒரே ஒரு மடக்கையின் ஒரே ஒரு வாதத்தில் மாறி தோன்றினால், இந்த சரிபார்ப்பு தேவையற்றது. எங்கள் விஷயத்தில், x உண்மையில் வாதத்தில் மட்டுமே தோன்றும் மற்றும் ஒரு பதிவு அடையாளத்தின் கீழ் மட்டுமே தோன்றும். எனவே, கூடுதல் சோதனைகள் தேவையில்லை.

இருப்பினும், இந்த முறையை நீங்கள் நம்பவில்லை என்றால், x = 2 உண்மையில் ஒரு ரூட் என்பதை நீங்கள் எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம். இந்த எண்ணை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றினால் போதும்.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம், இது இன்னும் கொஞ்சம் சுவாரஸ்யமானது:

பதிவு 2 (பதிவு 1/2 (2x - 1) + பதிவு 2 4) = 1

பெரிய மடக்கைக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டை f (x) செயல்பாட்டுடன் குறிப்பதால், இன்றைய வீடியோ பாடத்தைத் தொடங்கிய எளிய மடக்கைச் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். எனவே, நீங்கள் நியதி படிவத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இதற்காக நீங்கள் படிவ பதிவு 2 2 1 = பதிவு 2 2 இல் அலகு குறிப்பிட வேண்டும்.

நமது பெரிய சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு 2 (பதிவு 1/2 (2x - 1) + பதிவு 2 4) = பதிவு 2 2

வாதங்களை சமன் செய்து, மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து விடுபடுவோம். இதைச் செய்ய எங்களுக்கு உரிமை உண்டு, ஏனென்றால் இடது மற்றும் வலது இரண்டும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். கூடுதலாக, பதிவு 2 4 = 2:

பதிவு 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

பதிவு 1/2 (2x - 1) = 0

log a f (x) = b வடிவத்தின் எளிமையான மடக்கைச் சமன்பாடு மீண்டும் நமக்கு முன் உள்ளது. நியமன வடிவத்திற்குச் செல்வோம், அதாவது, படிவப் பதிவு 1/2 (1/2)0 = பதிவு 1/2 1 இல் பூஜ்ஜியத்தைக் குறிக்கிறோம்.

நாங்கள் எங்கள் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுகிறோம் மற்றும் பதிவு அடையாளத்தை அகற்றி, வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்:

பதிவு 1/2 (2x - 1) = பதிவு 1/2 1

2x - 1 = 1

மீண்டும், எங்களுக்கு உடனடியாக பதில் கிடைத்தது. கூடுதல் சரிபார்ப்புகள் தேவையில்லை, ஏனெனில் அசல் சமன்பாட்டில் ஒரு மடக்கை மட்டுமே ஒரு வாதமாக செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, கூடுதல் சோதனைகள் தேவையில்லை. இந்த சமன்பாட்டின் ஒரே வேர் x = 1 என்று நாம் பாதுகாப்பாக சொல்லலாம்.

ஆனால் இரண்டாவது மடக்கையில் நான்கிற்குப் பதிலாக x இன் சில செயல்பாடுகள் இருந்தால் (அல்லது 2x வாதத்தில் இல்லை, ஆனால் அடித்தளத்தில்) - பின்னர் வரையறையின் டொமைனைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம். இல்லையெனில், கூடுதல் வேர்களில் இயங்குவதற்கான அதிக வாய்ப்பு உள்ளது.

இந்த கூடுதல் வேர்கள் எங்கிருந்து வருகின்றன? இந்த புள்ளி மிகவும் தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். அசல் சமன்பாடுகளைப் பாருங்கள்: எல்லா இடங்களிலும் x செயல்பாடு மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ளது. இதன் விளைவாக, லாக் 2 x ஐ எழுதிவிட்டதால், தானாகவே x > 0 என்ற தேவையை அமைக்கிறோம். இல்லையெனில், இந்த பதிவு அர்த்தமற்றது.

இருப்பினும், மடக்கை சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்கும்போது, ​​​​எல்லா பதிவு அறிகுறிகளையும் அகற்றி எளிய கட்டுமானங்களைப் பெறுகிறோம். இனி இங்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் அமைக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் நேரியல் செயல்பாடு x இன் எந்த மதிப்புக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது.

இந்தச் சிக்கல்தான், இறுதிச் செயல்பாடு எல்லா இடங்களிலும் எப்பொழுதும் வரையறுக்கப்படும்போது, ​​ஆனால் அசல் ஒன்று எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்படவில்லை, எப்போதும் இல்லை, மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் கூடுதல் வேர்கள் அடிக்கடி எழுவதற்கு இதுவே காரணம்.

ஆனால் நான் மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறேன்: செயல்பாடு பல மடக்கைகளில் அல்லது அவற்றில் ஒன்றின் அடிப்பகுதியில் இருக்கும் சூழ்நிலையில் மட்டுமே இது நிகழ்கிறது. இன்று நாம் பரிசீலிக்கும் சிக்கல்களில், வரையறையின் நோக்கத்தை விரிவுபடுத்துவதில் கொள்கையளவில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை.

வெவ்வேறு காரணங்களின் வழக்குகள்

இந்த பாடம் மிகவும் சிக்கலான வடிவமைப்புகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. இன்றைய சமன்பாடுகளில் உள்ள மடக்கைகள் உடனடியாக தீர்க்கப்படாது - சில மாற்றங்கள் முதலில் செய்யப்பட வேண்டும்.

முற்றிலும் வேறுபட்ட அடிப்படைகளுடன் மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்குகிறோம், அவை ஒருவருக்கொருவர் சரியான சக்திகள் அல்ல. இதுபோன்ற சிக்கல்கள் உங்களை பயமுறுத்த வேண்டாம் - நாங்கள் மேலே விவாதித்த எளிய வடிவமைப்புகளை விட அவற்றைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல.

ஆனால் சிக்கல்களுக்கு நேரடியாகச் செல்வதற்கு முன், நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையான மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். இது போன்ற ஒரு சிக்கலைக் கவனியுங்கள்:

பதிவு a f (x) = b

f (x) சார்பு ஒரு செயல்பாடாக இருப்பது முக்கியம், மேலும் a மற்றும் b எண்களின் பங்கு எண்களாக இருக்க வேண்டும் (எந்த மாறிகளும் இல்லாமல் x). நிச்சயமாக, ஒரு நிமிடத்தில் மாறிகள் a மற்றும் b க்கு பதிலாக செயல்பாடுகள் இருக்கும்போது இதுபோன்ற நிகழ்வுகளைப் பார்ப்போம், ஆனால் அது இப்போது அதைப் பற்றியது அல்ல.

நாம் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, b என்ற எண்ணை மடக்கையால் இடப்பக்கம் இருக்கும் அதே அடிப்படை a க்கு மாற்ற வேண்டும். இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படுகிறது:

b = log a a b

நிச்சயமாக, "எந்த எண் b" மற்றும் "எந்த எண் a" என்பது வரையறையின் நோக்கத்தை பூர்த்தி செய்யும் மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது. குறிப்பாக, இந்த சமன்பாட்டில் பற்றி பேசுகிறோம்அடிப்படை a > 0 மற்றும் a ≠ 1 மட்டுமே.

இருப்பினும், இந்தத் தேவை தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது, ஏனெனில் அசல் சிக்கலில் ஏற்கனவே a ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட மடக்கை உள்ளது - இது நிச்சயமாக 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் மற்றும் 1 க்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, மடக்கை சமன்பாட்டை நாங்கள் தொடர்கிறோம்:

log a f (x) = log a a b

அத்தகைய குறியீடு நியமன வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வாதங்களை சமன் செய்வதன் மூலம் பதிவு அடையாளத்தை உடனடியாக அகற்ற முடியும் என்பதில் அதன் வசதி உள்ளது:

f (x) = a b

இந்த நுட்பத்தையே நாம் இப்போது மடக்கை சமன்பாடுகளை மாறி தளத்துடன் தீர்க்கப் பயன்படுத்துவோம். எனவே, போகலாம்!

பதிவு 2 (x 2 + 4x + 11) = பதிவு 0.5 0.125

அடுத்து என்ன? நீங்கள் சரியான மடக்கையை கணக்கிட வேண்டும், அல்லது அவற்றை அதே தளத்திற்கு குறைக்க வேண்டும் அல்லது வேறு ஏதாவது ஒன்றை இப்போது ஒருவர் கூறுவார். உண்மையில், இப்போது நாம் இரண்டு தளங்களையும் ஒரே வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும் - 2 அல்லது 0.5. ஆனால் பின்வரும் விதியை ஒருமுறை கற்றுக்கொள்வோம்:

மடக்கை சமன்பாடு இருந்தால் தசமங்கள், இந்த பின்னங்களை தசம குறிப்பிலிருந்து சாதாரணமாக மாற்றுவதை உறுதி செய்யவும். இந்த மாற்றம் தீர்வை பெரிதும் எளிதாக்கும்.

எந்தவொரு செயல்களையும் மாற்றங்களையும் செய்வதற்கு முன்பே, அத்தகைய மாற்றம் உடனடியாக செய்யப்பட வேண்டும். பார்ப்போம்:

பதிவு 2 (x 2 + 4x + 11) = பதிவு 1/2 1/8

அத்தகைய பதிவு நமக்கு என்ன தருகிறது? 1/2 மற்றும் 1/8ஐ எதிர்மறை அடுக்குடன் சக்திகளாகக் குறிப்பிடலாம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

நமக்கு முன் நியதி வடிவம் உள்ளது. நாங்கள் வாதங்களை சமன் செய்து கிளாசிக் இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிதில் தீர்க்கக்கூடிய பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடு நமக்கு முன் உள்ளது. உயர்நிலைப் பள்ளியில், நீங்கள் வாய்மொழியாக இதே போன்ற காட்சிகளைப் பார்க்க வேண்டும்:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

அவ்வளவுதான்! அசல் மடக்கை சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது. எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன.

இந்த விஷயத்தில் வரையறையின் டொமைனைத் தீர்மானிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், ஏனெனில் x மாறியுடன் கூடிய செயல்பாடு ஒரே ஒரு வாதத்தில் மட்டுமே உள்ளது. எனவே, வரையறை நோக்கம் தானாகவே செய்யப்படுகிறது.

எனவே, முதல் சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது. இரண்டாவதாக செல்லலாம்:

பதிவு 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = பதிவு 3 1/9

பதிவு 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = பதிவு 3 9 −1

இப்போது முதல் மடக்கையின் வாதத்தை எதிர்மறை அடுக்குடன் கூடிய சக்தியாகவும் எழுதலாம்: 1/2 = 2 −1. பின்னர் நீங்கள் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள சக்திகளை எடுத்து எல்லாவற்றையும் −1 ஆல் வகுக்கலாம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

இப்போது மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் மிக முக்கியமான படியை முடித்துள்ளோம். ஒருவேளை யாராவது எதையாவது கவனிக்கவில்லை, எனவே நான் விளக்குகிறேன்.

எங்கள் சமன்பாட்டைப் பாருங்கள்: இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒரு பதிவு அடையாளம் உள்ளது, ஆனால் இடதுபுறத்தில் அடிப்படை 2 க்கு ஒரு மடக்கை உள்ளது, மற்றும் வலதுபுறத்தில் அடிப்படை 3 க்கு ஒரு மடக்கை உள்ளது. மூன்று என்பது ஒரு முழு எண் சக்தி அல்ல. இரண்டு மற்றும், மாறாக, ஒரு முழு எண் டிகிரிகளில் 2 என்பது 3 என்று எழுத முடியாது.

இதன் விளைவாக, இவை வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட மடக்கைகளாகும், அவை வெறுமனே சக்திகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஒருவருக்கொருவர் குறைக்க முடியாது. இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரே வழி, இந்த மடக்கைகளில் ஒன்றை அகற்றுவதுதான். இந்த விஷயத்தில், நாங்கள் இன்னும் மிகவும் பரிசீலித்து வருகிறோம் எளிய பணிகள், வலதுபுறத்தில் உள்ள மடக்கை வெறுமனே கணக்கிடப்பட்டது, மேலும் எளிமையான சமன்பாடு கிடைத்தது - இன்றைய பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாம் பேசியது.

பதிவு 2 2 2 = பதிவு 2 4 என வலதுபுறத்தில் உள்ள எண் 2 ஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம். பின்னர் நாம் மடக்கை அடையாளத்தை அகற்றுவோம், அதன் பிறகு நாம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டுடன் வெறுமனே விடப்படுகிறோம்:

பதிவு 2 (5x 2 + 9x + 2) = பதிவு 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

நமக்கு முன் ஒரு சாதாரண இருபடி சமன்பாடு உள்ளது, ஆனால் அது குறைக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் x 2 இன் குணகம் ஒற்றுமையிலிருந்து வேறுபட்டது. எனவே, ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்போம்:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 - 11)/10 = -2

அவ்வளவுதான்! இரண்டு வேர்களையும் கண்டுபிடித்துள்ளோம், அதாவது அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பெற்றுள்ளோம். உண்மையில், அசல் சிக்கலில், மாறி x உடன் செயல்பாடு ஒரே ஒரு வாதத்தில் மட்டுமே உள்ளது. இதன் விளைவாக, வரையறையின் டொமைனில் கூடுதல் சரிபார்ப்புகள் தேவையில்லை - நாங்கள் கண்டறிந்த இரண்டு வேர்களும் நிச்சயமாக சாத்தியமான அனைத்து கட்டுப்பாடுகளையும் சந்திக்கின்றன.

இது இன்றைய வீடியோ பாடத்தின் முடிவாக இருக்கலாம், ஆனால் முடிவில் நான் மீண்டும் சொல்ல விரும்புகிறேன்: மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது அனைத்து தசம பின்னங்களையும் சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், இது அவர்களின் தீர்வை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது.

அரிதாக, மிகவும் அரிதாக, தசம பின்னங்களை அகற்றுவது கணக்கீடுகளை சிக்கலாக்கும் சிக்கல்களை நீங்கள் சந்திக்கிறீர்களா? இருப்பினும், அத்தகைய சமன்பாடுகளில், ஒரு விதியாக, தசம பின்னங்களை அகற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை என்பது ஆரம்பத்தில் தெளிவாகிறது.

மற்ற பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் (குறிப்பாக நீங்கள் மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் பயிற்சியைத் தொடங்கினால்), தசமங்களை அகற்றி அவற்றை சாதாரணமாக மாற்ற தயங்காதீர்கள். ஏனெனில் இந்த வழியில் நீங்கள் அடுத்தடுத்த தீர்வு மற்றும் கணக்கீடுகளை கணிசமாக எளிதாக்குவீர்கள் என்பதை நடைமுறை காட்டுகிறது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள் மற்றும் தந்திரங்கள்

இன்று நாம் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களுக்குச் செல்கிறோம் மற்றும் ஒரு மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம், இது ஒரு எண்ணை அடிப்படையாகக் கொண்டது அல்ல, ஆனால் ஒரு செயல்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்த செயல்பாடு நேரியல் என்றாலும் கூட, தீர்வு திட்டத்தில் சிறிய மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும், இதன் பொருள் மடக்கையின் வரையறையின் டொமைனில் விதிக்கப்பட்ட கூடுதல் தேவைகளுக்கு கீழே கொதிக்கிறது.

சிக்கலான பணிகள்

இந்த பயிற்சி மிகவும் நீளமாக இருக்கும். அதில், பல மாணவர்கள் தவறு செய்யும் இரண்டு தீவிர மடக்கை சமன்பாடுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். ஒரு கணித ஆசிரியராக எனது பயிற்சியின் போது, ​​நான் தொடர்ந்து இரண்டு வகையான பிழைகளை சந்தித்தேன்:

1. மடக்கைகளின் வரையறையின் டொமைனின் விரிவாக்கம் காரணமாக கூடுதல் வேர்களின் தோற்றம். இத்தகைய தாக்குதல் தவறுகளைத் தவிர்க்க, ஒவ்வொரு மாற்றத்தையும் கவனமாகக் கண்காணிக்கவும்;
2. மாணவர் சில "நுட்பமான" நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்ள மறந்துவிட்டதால் வேர்கள் இழப்பு - இவை இன்று நாம் கவனம் செலுத்தும் சூழ்நிலைகள்.

மடக்கை சமன்பாடுகள் பற்றிய கடைசி பாடம் இது. இது நீண்டதாக இருக்கும், சிக்கலான மடக்கை சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். உங்களை சௌகரியமாக்கிக் கொள்ளுங்கள், தேநீர் தயாரித்துக் கொள்ளுங்கள், பிறகு ஆரம்பிக்கலாம்.

முதல் சமன்பாடு மிகவும் நிலையானது:

பதிவு x + 1 (x - 0.5) = பதிவு x - 0.5 (x + 1)

இரண்டு மடக்கைகளும் ஒன்றுக்கொன்று தலைகீழான பிரதிகள் என்பதை உடனடியாகக் கவனிக்கலாம். அற்புதமான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:

log a b = 1/log b a

இருப்பினும், இந்த சூத்திரத்தில் பல வரம்புகள் உள்ளன, அவை a மற்றும் b எண்களுக்குப் பதிலாக x மாறியின் செயல்பாடுகள் இருந்தால் எழும்:

b > 0

1 ≠ a > 0

இந்த தேவைகள் மடக்கையின் அடிப்பகுதிக்கு பொருந்தும். மறுபுறம், ஒரு பின்னத்தில் 1 ≠ a > 0 இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் மடக்கையின் வாதத்தில் a மாறி மட்டுமல்ல (எனவே a > 0), ஆனால் மடக்கையே பின்னத்தின் வகுப்பில் உள்ளது. . ஆனால் பதிவு b 1 = 0, மற்றும் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும், எனவே a ≠ 1.

எனவே, மாறி மீதான கட்டுப்பாடுகள் எஞ்சியுள்ளன. ஆனால் b மாறிக்கு என்ன நடக்கும்? ஒருபுறம், அடிப்படையானது b > 0 ஐ குறிக்கிறது, மறுபுறம், மாறி b ≠ 1, ஏனெனில் மடக்கையின் அடிப்பகுதி 1 இலிருந்து வேறுபட்டிருக்க வேண்டும். மொத்தத்தில், சூத்திரத்தின் வலது பக்கத்திலிருந்து அது 1 ≠ ஐப் பின்பற்றுகிறது. b > 0.

ஆனால் இங்கே சிக்கல் உள்ளது: இடது மடக்கைக் கையாளும் முதல் சமத்துவமின்மையில் இரண்டாவது தேவை (b ≠ 1) இல்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த மாற்றத்தை நாம் செய்ய வேண்டும் தனித்தனியாக சரிபார்க்கவும், b என்ற வாதம் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது!

எனவே சரிபார்ப்போம். எங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

எனவே அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிலிருந்து a மற்றும் b இரண்டும் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே பெற்றுள்ளோம். இதன் பொருள் மடக்கை சமன்பாட்டை எளிதாக மாற்றலாம்:

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன்:

பதிவு x + 1 (x - 0.5) = t

இந்த வழக்கில், எங்கள் கட்டுமானம் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

(t 2 - 1)/t = 0

எண்களில் சதுரங்களின் வித்தியாசம் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சதுரங்களின் வேறுபாட்டை நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம்:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

ஒரு பின்னம் அதன் எண் பூஜ்ஜியமாகவும், அதன் வகுப்பு பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருக்கும்போது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். ஆனால் எண்ணில் ஒரு தயாரிப்பு உள்ளது, எனவே ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

நாம் பார்க்க முடியும் என, மாறி t இரண்டு மதிப்புகள் எங்களுக்கு பொருந்தும். இருப்பினும், தீர்வு அங்கு முடிவடையவில்லை, ஏனென்றால் நாம் t அல்ல, ஆனால் x இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாங்கள் மடக்கைக்குத் திரும்பிப் பெறுகிறோம்:

பதிவு x + 1 (x - 0.5) = 1;

பதிவு x + 1 (x - 0.5) = -1.

இந்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றையும் நியமன வடிவத்தில் வைப்போம்:

பதிவு x + 1 (x - 0.5) = பதிவு x + 1 (x + 1) 1

பதிவு x + 1 (x - 0.5) = பதிவு x + 1 (x + 1) -1

முதல் வழக்கில் மடக்கை அடையாளத்தை அகற்றி, வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்:

x - 0.5 = x + 1;

x - x = 1 + 0.5;

அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே முதல் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கும் வேர்கள் இல்லை. ஆனால் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் எல்லாம் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது:

(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)

விகிதத்தைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(x - 0.5)(x + 1) = 1

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது அனைத்து தசம பின்னங்களையும் சாதாரணமாகப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், எனவே எங்கள் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

கீழே உள்ள இருபடி சமன்பாடு நமக்கு முன் உள்ளது, அதை வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிதாக தீர்க்கலாம்:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1.5;

x 2 = 1.

எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்துள்ளன - அவை அசல் மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வேட்பாளர்கள். பதிலுக்கு உண்மையில் என்ன வேர்கள் செல்லும் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அசல் சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம். இப்போது நமது ஒவ்வொரு வேர்களும் வரையறையின் டொமைனுக்குள் பொருந்துமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.

இந்த தேவைகள் இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்:

1 ≠ x > 0.5

இங்கிருந்து x = −1.5 என்ற ரூட் நமக்குப் பொருந்தாது, ஆனால் x = 1 நமக்கு நன்றாகப் பொருந்துகிறது. எனவே x = 1 என்பது மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கான இறுதித் தீர்வாகும்.

இரண்டாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

பதிவு x 25 + பதிவு 125 x 5 = பதிவு 25 x 625

முதல் பார்வையில் எல்லா மடக்கைகளும் என்று தோன்றலாம் வெவ்வேறு காரணங்கள்மற்றும் வெவ்வேறு வாதங்கள். அத்தகைய கட்டமைப்புகளை என்ன செய்வது? முதலில், 25, 5 மற்றும் 625 எண்கள் 5 இன் சக்திகள் என்பதை நினைவில் கொள்க:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

இப்போது மடக்கையின் அற்புதமான சொத்தை பயன்படுத்திக் கொள்வோம். காரணிகளின் வடிவத்தில் ஒரு வாதத்திலிருந்து நீங்கள் அதிகாரங்களைப் பிரித்தெடுக்கலாம் என்பதுதான்:

log a b n = n ∙ log a b

ஒரு செயல்பாட்டால் b மாற்றப்படும்போது இந்த மாற்றம் கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டது. ஆனால் எங்களைப் பொறுத்தவரை, b என்பது ஒரு எண், கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் எதுவும் இல்லை. நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

2 ∙ பதிவு x 5 + பதிவு 125 x 5 = 4 ∙ பதிவு 25 x 5

பதிவு அடையாளத்தைக் கொண்ட மூன்று சொற்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். மேலும், மூன்று மடக்கைகளின் வாதங்களும் சமமானவை.

மடக்கைகளை ஒரே தளத்திற்குக் கொண்டு வர, அவற்றைத் தலைகீழாக மாற்ற வேண்டிய நேரம் இது - 5. b மாறி மாறி இருப்பதால், வரையறையின் களத்தில் எந்த மாற்றமும் ஏற்படாது. நாங்கள் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

எதிர்பார்த்தபடி, அதே மடக்கைகள் வகுப்பில் தோன்றின. மாறியை மாற்ற பரிந்துரைக்கிறேன்:

பதிவு 5 x = t

இந்த வழக்கில், எங்கள் சமன்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

எண்களை எழுதி அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

நமது பகுதிக்கு திரும்புவோம். எண் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

மற்றும் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

கடைசி தேவைகள் தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை அனைத்தும் முழு எண்களுடன் "கட்டுப்பட்டவை", மேலும் அனைத்து பதில்களும் பகுத்தறிவற்றவை.

எனவே, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது, t மாறியின் மதிப்புகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. மடக்கைச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்குத் திரும்புவோம், t என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

இந்த சமன்பாட்டை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பகுத்தறிவற்ற பட்டம் கொண்ட எண்ணைப் பெறுகிறோம். இது உங்களை குழப்பி விடாதீர்கள் - இதுபோன்ற வாதங்கள் கூட சமன் செய்யப்படலாம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன. இன்னும் துல்லியமாக, இரண்டு வேட்பாளர் பதில்கள் - வரையறையின் டொமைனுடன் இணங்குவதைச் சரிபார்க்கலாம். மடக்கையின் அடிப்பகுதி மாறி x என்பதால், நமக்கு பின்வருபவை தேவைப்படுகின்றன:

1 ≠ x > 0;

அதே வெற்றியுடன் x ≠ 1/125 என்று உறுதியளிக்கிறோம், இல்லையெனில் இரண்டாவது மடக்கையின் அடிப்படை ஒற்றுமையாக மாறும். இறுதியாக, மூன்றாவது மடக்கைக்கு x ≠ 1/25.

மொத்தத்தில், நாங்கள் நான்கு கட்டுப்பாடுகளைப் பெற்றுள்ளோம்:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

இப்போது கேள்வி: நமது வேர்கள் இந்தத் தேவைகளைப் பூர்த்திசெய்கிறதா? நிச்சயமாக அவர்கள் திருப்தி அடைகிறார்கள்! ஏனெனில் 5 க்கு எந்த சக்தியும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும், மேலும் தேவை x > 0 தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படும்.

மறுபுறம், 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, அதாவது நமது வேர்களுக்கான இந்தக் கட்டுப்பாடுகள் (இது, உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், பகுத்தறிவற்ற எண்) திருப்திகரமாக உள்ளது, மேலும் இரண்டு பதில்களும் பிரச்சனைக்கான தீர்வுகள்.

எனவே, எங்களிடம் இறுதி பதில் உள்ளது. முக்கிய புள்ளிகள்இந்த சிக்கலில் இரண்டு உள்ளன:

1. வாதமும் அடிப்படையும் மாற்றப்படும்போது மடக்கை புரட்டும்போது கவனமாக இருங்கள். இத்தகைய மாற்றங்கள் வரையறையின் நோக்கத்தில் தேவையற்ற கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கின்றன.
2. மடக்கைகளை மாற்ற பயப்பட வேண்டாம்: நீங்கள் அவற்றைத் திருப்புவது மட்டுமல்லாமல், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் திறக்கலாம் மற்றும் பொதுவாக நீங்கள் தீர்க்கும் போது படித்த எந்த சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்தி அவற்றை மாற்றலாம். மடக்கை வெளிப்பாடுகள். இருப்பினும், எப்போதும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: சில மாற்றங்கள் வரையறையின் நோக்கத்தை விரிவுபடுத்துகின்றன, மேலும் சில அவற்றைக் குறைக்கின்றன.