இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானித்தல். இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

இருபடி சமன்பாடு - தீர்க்க எளிதானது! *இனி "KU" என்று குறிப்பிடப்படுகிறது.நண்பர்களே, கணிதத்தில் இதுபோன்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதை விட எளிமையானது எதுவும் இருக்க முடியாது என்று தோன்றுகிறது. ஆனால் பலருக்கு அவரால் பிரச்சனைகள் இருப்பதாக ஏனோ என்னிடம் கூறினார். Yandex ஒரு மாதத்திற்கு எத்தனை ஆன்-டிமாண்ட் பதிவுகளை வழங்குகிறது என்பதைப் பார்க்க முடிவு செய்தேன். என்ன நடந்தது, பாருங்கள்:

அது என்ன அர்த்தம்? அதாவது மாதத்திற்கு சுமார் 70,000 பேர் தேடுகிறார்கள் இந்த தகவல், இந்தக் கோடைக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம், மத்தியில் என்ன நடக்கும் கல்வி ஆண்டு- இரண்டு மடங்கு கோரிக்கைகள் இருக்கும். இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு பள்ளியில் பட்டம் பெற்ற மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் தோழர்களும் சிறுமிகளும் இந்த தகவலைத் தேடுகிறார்கள், மேலும் பள்ளி மாணவர்களும் தங்கள் நினைவகத்தைப் புதுப்பிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள்.

இந்த சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று உங்களுக்குச் சொல்லும் தளங்கள் நிறைய உள்ளன என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், நான் பங்களிக்க மற்றும் உள்ளடக்கத்தை வெளியிட முடிவு செய்தேன். முதலில், நான் விரும்புகிறேன் இந்த கோரிக்கைமற்றும் பார்வையாளர்கள் எனது தளத்திற்கு வந்தனர்; இரண்டாவதாக, மற்ற கட்டுரைகளில், "KU" என்ற தலைப்பு வரும்போது, ​​இந்தக் கட்டுரைக்கான இணைப்பை நான் தருகிறேன்; மூன்றாவதாக, மற்ற தளங்களில் பொதுவாகக் கூறப்படுவதை விட அவருடைய தீர்வைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம் அதிகமாகச் சொல்கிறேன். தொடங்குவோம்!கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்:

இருபடிச் சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்:

குணகங்கள் a,பிமற்றும் c என்பது a≠0 உடன் தன்னிச்சையான எண்கள்.

பள்ளி பாடத்தில், பொருள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது பின்வரும் படிவம்- சமன்பாடுகள் மூன்று வகுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

1. அவர்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

2. *ஒரே ஒரு ரூட் வேண்டும்.

3. அவர்களுக்கு வேர்கள் இல்லை. அவர்களுக்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்பது இங்கே குறிப்பாக கவனிக்கத்தக்கது

வேர்கள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகின்றன? வெறும்!

நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம். இந்த "பயங்கரமான" வார்த்தையின் கீழ் மிகவும் எளிமையான சூத்திரம் உள்ளது:

மூல சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு:

*இந்த சூத்திரங்களை நீங்கள் மனப்பாடமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

நீங்கள் உடனடியாக எழுதி தீர்க்கலாம்:

எடுத்துக்காட்டு:

1. D > 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2. D = 0 எனில், சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

3. டி என்றால்< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

இது சம்பந்தமாக, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​​​ஒரு ரூட் பெறப்பட்டதாக பள்ளி பாடநெறி கூறுகிறது, இங்கே அது ஒன்பதுக்கு சமம். எல்லாம் சரி, அது அப்படித்தான், ஆனால்...

இந்த யோசனை ஓரளவு தவறானது. உண்மையில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன. ஆமாம், ஆமாம், ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், நீங்கள் இரண்டு சமமான வேர்களைப் பெறுவீர்கள், மேலும் கணித ரீதியாக துல்லியமாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் பதில் இரண்டு வேர்களை எழுத வேண்டும்:

x 1 = 3 x 2 = 3

ஆனால் இது அப்படி - ஒரு சிறிய விலகல். பள்ளிக்கூடத்தில் எழுதி வைத்துவிட்டு ஒரு ரூட் என்று சொல்லலாம்.

இப்போது அடுத்த உதாரணம்:

நமக்குத் தெரியும், எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தை எடுக்க முடியாது, எனவே இந்த வழக்கில் தீர்வு இல்லை.

அதுதான் முழு முடிவு செயல்முறை.

இருபடி செயல்பாடு.

தீர்வு வடிவியல் ரீதியாக எப்படி இருக்கும் என்பதை இது காட்டுகிறது. இதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது (எதிர்காலத்தில், ஒரு கட்டுரையில் இருபடி சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வை விரிவாக ஆராய்வோம்).

இது படிவத்தின் செயல்பாடு:

இதில் x மற்றும் y ஆகியவை மாறிகள்

a, b, c – கொடுக்கப்பட்ட எண்கள், ≠ 0 உடன்

வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும்:

அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான “y” உடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், x அச்சுடன் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த புள்ளிகளில் இரண்டு இருக்கலாம் (பாகுபாடு நேர்மறை), ஒன்று (பாகுபாடு பூஜ்யம்) மற்றும் எதுவும் இல்லை (பாகுபாடு எதிர்மறை). இருபடி செயல்பாடு பற்றிய விவரங்கள் நீங்கள் பார்க்கலாம்இன்னா ஃபெல்ட்மேனின் கட்டுரை.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1: தீர்க்கவும் 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

பதில்: x 1 = 8 x 2 = –12

* சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை உடனடியாக 2 ஆல் வகுக்க முடியும், அதாவது அதை எளிதாக்குங்கள். கணக்கீடுகள் எளிதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: முடிவு செய்யுங்கள் x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 மற்றும் x 2 = 11 என்பதைக் கண்டறிந்தோம்

பதிலில் x = 11 என்று எழுத அனுமதி உண்டு.

பதில்: x = 11

எடுத்துக்காட்டு 3: முடிவு செய்யுங்கள் x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, உண்மையான எண்களில் தீர்வு இல்லை.

பதில்: தீர்வு இல்லை

பாகுபாடு எதிர்மறையானது. ஒரு தீர்வு இருக்கிறது!

எதிர்மறையான பாகுபாடு கிடைக்கும்போது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பற்றி இங்கே பேசுவோம். சிக்கலான எண்களைப் பற்றி உங்களுக்கு ஏதாவது தெரியுமா? அவை ஏன், எங்கு எழுந்தன, கணிதத்தில் அவற்றின் குறிப்பிட்ட பங்கு மற்றும் தேவை என்ன என்பதைப் பற்றி நான் இங்கு விரிவாகப் பேசமாட்டேன்.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் கருத்து.

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

ஒரு கலப்பு எண் z என்பது படிவத்தின் எண்ணாகும்

z = a + bi

a மற்றும் b எங்கே உண்மையான எண்கள், நான் கற்பனை அலகு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

a+bi – இது ஒற்றை எண், கூடுதலாக அல்ல.

கற்பனை அலகு கழித்தல் ஒன்றின் மூலத்திற்கு சமம்:

இப்போது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

நாம் இரண்டு இணை வேர்களைப் பெறுகிறோம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு.

சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது "b" அல்லது "c" குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (அல்லது இரண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). எந்த பாகுபாடும் இல்லாமல் அவற்றை எளிதில் தீர்க்க முடியும்.

வழக்கு 1. குணகம் b = 0.

சமன்பாடு ஆகிறது:

மாற்றுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

வழக்கு 2. குணகம் c = 0.

சமன்பாடு ஆகிறது:

மாற்றுவோம் மற்றும் காரணியாக்குவோம்:

*குறைந்தது ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 அல்லது x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

வழக்கு 3. குணகங்கள் b = 0 மற்றும் c = 0.

சமன்பாட்டின் தீர்வு எப்போதும் x = 0 ஆக இருக்கும் என்பது இங்கே தெளிவாகிறது.

குணகங்களின் பயனுள்ள பண்புகள் மற்றும் வடிவங்கள்.

பெரிய குணகங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் பண்புகள் உள்ளன.

ஏx 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

அ + பி+ c = 0,என்று

- சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கு என்றால் ஏx 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

அ+ கள் =பி, என்று

இந்த பண்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சமன்பாட்டை தீர்க்க உதவுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

முரண்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, அதாவது

எடுத்துக்காட்டு 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

சமத்துவம் நிலைத்திருக்கும் அ+ கள் =பி, பொருள்

குணகங்களின் ஒழுங்குமுறைகள்.

1. கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 +1) க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் “c” குணகம் எண் ரீதியாக “a” க்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

உதாரணம். 6x 2 + 37x + 6 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. கோடாரி 2 – bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 +1) க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் “c” குணகம் எண் ரீதியாக “a” குணகத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

உதாரணம். 15x 2 –226x +15 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. சமன்பாட்டில் இருந்தால். ax 2 + bx – c = 0 குணகம் “b” சமம் (a 2 - 1), மற்றும் குணகம் "சி" குணகம் "a" க்கு எண்ணியல் சமம், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

உதாரணம். 17x 2 +288x – 17 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. கோடாரி 2 – bx – c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 – 1) க்கு சமமாக இருந்தால், c குணகம் எண் ரீதியாக “a” குணகத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

உதாரணம். 10x 2 – 99x –10 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

வியட்டாவின் தேற்றம்.

வியட்டாவின் தேற்றம் புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபிராங்கோயிஸ் வியட்டாவின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தன்னிச்சையான KU இன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனை அதன் குணகங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

மொத்தத்தில், எண் 14 5 மற்றும் 9 ஐ மட்டுமே தருகிறது. இவை வேர்கள். ஒரு குறிப்பிட்ட திறமையுடன், வழங்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பல இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக உடனடியாக தீர்க்கலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றம், கூடுதலாக. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை வழக்கமான வழியில் (ஒரு பாகுபாடு மூலம்) தீர்த்த பிறகு, இதன் விளைவாக வரும் வேர்களை சரிபார்க்கலாம். இதை எப்போதும் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

போக்குவரத்து முறை

இந்த முறையின் மூலம், குணகம் "a" இலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அது "எறிந்தது" போல் உள்ளது, அதனால்தான் இது அழைக்கப்படுகிறது. "பரிமாற்றம்" முறை.வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களை நீங்கள் எளிதாகக் கண்டறியும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் மிக முக்கியமாக, பாகுபாடு ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும் போது.

என்றால் ஏ± b+c≠ 0, பின்னர் பரிமாற்ற நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

2எக்ஸ் 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => எக்ஸ் 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

சமன்பாட்டில் (2) வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, x 1 = 10 x 2 = 1 என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது

சமன்பாட்டின் விளைவாக வரும் வேர்களை 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும் (இரண்டும் x 2 இலிருந்து "எறியப்பட்டதால்"), நாம் பெறுகிறோம்

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

பகுத்தறிவு என்ன? என்ன நடக்கிறது என்று பாருங்கள்.

சமன்பாடுகளின் பாகுபாடுகள் (1) மற்றும் (2) சமம்:

நீங்கள் சமன்பாடுகளின் வேர்களைப் பார்த்தால், நீங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளை மட்டுமே பெறுவீர்கள், இதன் விளைவாக துல்லியமாக x 2 இன் குணகத்தைப் பொறுத்தது:

இரண்டாவது (மாற்றியமைக்கப்பட்ட) ஒன்று 2 மடங்கு பெரிய வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, முடிவை 2 ஆல் வகுக்கிறோம்.

*மூன்றையும் ரீரோல் செய்தால், முடிவை 3ஆல் வகுப்போம்.

பதில்: x 1 = 5 x 2 = 0.5

சதுர. ur-ie மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு.

அதன் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி நான் உங்களுக்குச் சுருக்கமாகச் சொல்கிறேன் - நீங்கள் விரைவாகவும் சிந்திக்காமலும் முடிவெடுக்க முடியும், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளின் சூத்திரங்களை இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு பணிகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பல சிக்கல்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் வருகின்றன (வடிவவியல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது).

கவனிக்க வேண்டிய ஒன்று!

1. சமன்பாட்டை எழுதும் வடிவம் "மறைமுகமாக" இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நுழைவு சாத்தியமாகும்:

15+ 9x 2 - 45x = 0 அல்லது 15x+42+9x 2 - 45x=0 அல்லது 15 -5x+10x 2 = 0.

நீங்கள் அதை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும் (தீர்க்கும் போது குழப்பமடையாமல் இருக்க).

2. x என்பது அறியப்படாத அளவு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், மேலும் இது வேறு எந்த எழுத்தாலும் குறிக்கப்படலாம் - t, q, p, h மற்றும் பிற.

இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் மட்டுமே தீர்க்கப்படுகின்றன, மற்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை "முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற கட்டுரையில் காணலாம்.

எந்த இருபடி சமன்பாடுகள் முழுமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன? இது கோடாரி 2 + b x + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், குணகங்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாம் பாகுபாடு D ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.

D = b 2 - 4ac.

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் மதிப்பைப் பொறுத்து, பதிலை எழுதுவோம்.

பாகுபாடு எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால் (டி< 0),то корней нет.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், x = (-b)/2a. பாகுபாடு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் போது (D > 0),

பின்னர் x 1 = (-b - √D)/2a, மற்றும் x 2 = (-b + √D)/2a.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

பதில்: 2.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

பதில்: – 3.5; 1.

எனவே படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை கற்பனை செய்வோம்.

இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம். நீங்கள் தான் கவனமாக இருக்க வேண்டும் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட்டது

ஏ x 2 + bx + c,இல்லையெனில் நீங்கள் தவறு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x + 3 + 2x 2 = 0 சமன்பாட்டை எழுதும்போது, ​​நீங்கள் அதை தவறாக முடிவு செய்யலாம்.

a = 1, b = 3 மற்றும் c = 2. பிறகு

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 பின்னர் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் இது உண்மையல்ல. (மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டு 2க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

எனவே, சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்படாவிட்டால், முதலில் முழுமையான இருபடி சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட வேண்டும் (பெரிய அடுக்குடன் கூடிய மோனோமியல் முதலில் வர வேண்டும், அதாவது ஏ x 2 , பின்னர் குறைவாக – bxபின்னர் ஒரு இலவச உறுப்பினர் உடன்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை இரண்டாவது காலப்பகுதியில் சம குணகத்துடன் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மற்ற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த சூத்திரங்களைப் பற்றி தெரிந்து கொள்வோம். ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டாவது சொல் சம குணகம் (b = 2k) இருந்தால், படம் 2 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்கலாம்.

ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடு இல் குணகம் இருந்தால் குறைக்கப்படும் x 2 ஒன்றுக்கு சமம் மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது x 2 + px + q = 0. அத்தகைய சமன்பாடு தீர்வுக்கு கொடுக்கப்படலாம் அல்லது சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களையும் குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறலாம். ஏ, நின்று x 2 .

குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தைத் தீர்ப்பதற்கான வரைபடத்தை படம் 3 காட்டுகிறது
சமன்பாடுகள். இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

3x 2 + 6x – 6 = 0.

படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3

இந்த சமன்பாட்டில் x இன் குணகம் ஒரு இரட்டை எண்ணாக இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம், அதாவது, b = 6 அல்லது b = 2k, எங்கிருந்து k = 3. பிறகு D உருவப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் 3 ஆல் வகுபடுவதைக் கவனித்து, வகுத்தலைச் செய்தால், குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் x 2 + 2x – 2 = 0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
சமன்பாடுகள் படம் 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​நாங்கள் அதே பதிலைப் பெற்றோம். எனவே, படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களை முழுமையாக தேர்ச்சி பெற்றால், எந்தவொரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் நீங்கள் எப்போதும் தீர்க்க முடியும்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

வீடியோ டுடோரியல் 2: இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

விரிவுரை: இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு

சமன்பாடு- இது ஒரு மாறி இருக்கும் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு வகையான சமத்துவம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்- என்பது ஒரு மாறிக்கு பதிலாக ஒரு எண்ணைக் கண்டறிவது, அது சரியான சமத்துவத்திற்குக் கொண்டுவரும்.

ஒரு சமன்பாட்டில் ஒரு தீர்வு இருக்கலாம், பல இருக்கலாம் அல்லது எதுவும் இல்லை.

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் தீர்க்க, அது படிவத்தில் முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும்:

நேரியல்: a*x = b;

சதுரம்: a*x 2 + b*x + c = 0.

அதாவது, தீர்க்கும் முன் எந்த சமன்பாடுகளும் நிலையான வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும்.

எந்த சமன்பாடும் இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படலாம்: பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை.

வரைபடத்தில், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, வரைபடம் OX அச்சில் வெட்டும் புள்ளிகளாகக் கருதப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு சமன்பாடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டால், அது வடிவத்தை எடுத்தால், அதை இருபடி என்று அழைக்கலாம்:

a*x 2 + b*x + c = 0.

அதே நேரத்தில் a, b, cபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடும் சமன்பாட்டின் குணகங்கள். ஏ "எக்ஸ்"- சமன்பாட்டின் வேர். ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அல்லது தீர்வு இல்லாமல் இருக்கலாம் என்று நம்பப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் வேர்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கலாம்.

"ஏ"- வர்க்க மூலத்திற்கு முன் நிற்கும் குணகம்.

"b"- முதல் பட்டத்தில் தெரியாததற்கு முன் நிற்கிறது.

"உடன்"சமன்பாட்டின் இலவச சொல்.

எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் படிவத்தின் சமன்பாடு இருந்தால்:

2x 2 -5x+3=0

அதில், "2" என்பது சமன்பாட்டின் முன்னணி காலத்தின் குணகம், "-5" என்பது இரண்டாவது குணகம், மற்றும் "3" என்பது இலவச சொல்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க பல்வேறு வழிகள் உள்ளன. இருப்பினும், பள்ளி கணித பாடத்தில், தீர்வு வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும், அதே போல் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தியும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது.

பாரபட்சமான தீர்வு:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கும் போது, ​​சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவது அவசியம்:

உங்கள் கணக்கீடுகளின் போது பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருப்பதை நீங்கள் கண்டால், இந்த சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை என்று அர்த்தம்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் சதுரத்தில் சுருக்கப்படலாம். பின்னர் அதை நேரியல் சமன்பாடாக தீர்க்கவும். அல்லது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

வியட்டாவின் தேற்றம்

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், அதாவது, முன்னணி காலத்தின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் வியட்டாவின் தேற்றம்.

எனவே சமன்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகின்றன:

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு பல விருப்பங்கள் உள்ளன, அதன் வடிவம் குணகங்களின் இருப்பைப் பொறுத்தது.

1. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (b = 0, c = 0), பின்னர் இருபடி சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். சமன்பாட்டின் தீர்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்.

நுழைவு நிலை

இருபடி சமன்பாடுகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

"இருபடி சமன்பாடு" என்ற சொல்லில், முக்கிய சொல் "குவாட்ராடிக்" ஆகும். இதன் பொருள், சமன்பாடு அவசியமாக ஒரு மாறி (அதே x) சதுரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், மேலும் மூன்றாவது (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சக்திக்கு xகள் இருக்கக்கூடாது.

பல சமன்பாடுகளின் தீர்வு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.

இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு, வேறு சில சமன்பாடு அல்ல என்பதை தீர்மானிக்க கற்றுக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் வகுப்போம்

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தி, X இன் அதிகாரங்களின் இறங்கு வரிசையில் விதிமுறைகளை வரிசைப்படுத்துவோம்

இப்போது இந்த சமன்பாடு இருபடி என்று நாம் நம்பிக்கையுடன் சொல்லலாம்!

எடுத்துக்காட்டு 2.

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை இவ்வாறு பெருக்கவும்:

இந்த சமன்பாடு, முதலில் அதில் இருந்தாலும், இருபடி அல்ல!

எடுத்துக்காட்டு 3.

அனைத்தையும் பெருக்குவோம்:

பயங்கரமா? நான்காவது மற்றும் இரண்டாவது டிகிரி... எனினும், நாம் மாற்றீடு செய்தால், நாம் ஒரு எளிய இருபடி சமன்பாட்டைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.

அது இருப்பதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

பார், அது குறைக்கப்பட்டது - இப்போது அது ஒரு எளிய நேரியல் சமன்பாடு!

பின்வரும் சமன்பாடுகளில் எவை இருபடி மற்றும் எவை இல்லை என்பதை இப்போது நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பதில்கள்:

1. சதுரம்;
2. சதுரம்;
3. சதுரம் அல்ல;
4. சதுரம் அல்ல;
5. சதுரம் அல்ல;
6. சதுரம்;
7. சதுரம் அல்ல;
8. சதுரம்.

கணிதவியலாளர்கள் வழக்கமாக அனைத்து இருபடி சமன்பாடுகளையும் பின்வரும் வகைகளாகப் பிரிக்கிறார்கள்:

• முழு இருபடி சமன்பாடுகள்- சமன்பாடுகள் இதில் குணகங்கள் மற்றும், அத்துடன் இலவச கால c, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை (உதாரணமாக). கூடுதலாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளில் உள்ளன கொடுக்கப்பட்டது- இவை சமன்பாடுகள் இதில் குணகம் (எடுத்துக்காட்டு ஒன்றின் சமன்பாடு முழுமையானது மட்டுமல்ல, குறைக்கப்பட்டது!)

• முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்- குணகம் மற்றும் அல்லது இலவச கால c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் சமன்பாடுகள்:

  சில உறுப்புகள் இல்லாததால் அவை முழுமையடையாது. ஆனால் சமன்பாடு எப்போதும் x சதுரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்!!! இல்லையெனில், அது இனி ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்காது, ஆனால் வேறு சில சமன்பாடுகளாக இருக்கும்.

ஏன் இப்படி ஒரு பிரிவினை கொண்டு வந்தார்கள்? ஒரு X ஸ்கொயர் உள்ளது என்று தோன்றுகிறது, சரி. இந்த பிரிவு தீர்வு முறைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அவை ஒவ்வொன்றையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முதலில், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் கவனம் செலுத்துவோம் - அவை மிகவும் எளிமையானவை!

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைகள் உள்ளன:

1. , இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் சமம்.
2. , இந்த சமன்பாட்டில் இலவச சொல் சமம்.
3. , இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் மற்றும் இலவச சொல் சமம்.

1. i. வர்க்க மூலத்தை எப்படி எடுப்பது என்பது நமக்குத் தெரிந்ததால், இந்தச் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவோம்

வெளிப்பாடு எதிர்மறையாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருக்கலாம். ஒரு வர்க்க எண் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் இரண்டு எதிர்மறை அல்லது இரண்டு நேர்மறை எண்களை பெருக்கும்போது, ​​முடிவு எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும், எனவே: என்றால், சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை.

மற்றும் என்றால், நாம் இரண்டு வேர்கள் கிடைக்கும். இந்த சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அது குறைவாக இருக்க முடியாது என்பதை நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும் மற்றும் எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

சில உதாரணங்களைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இப்போது எஞ்சியிருப்பது இடது மற்றும் வலது பக்கங்களிலிருந்து வேரை பிரித்தெடுப்பதுதான். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வேர்களை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது என்பது உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா?

பதில்:

எதிர்மறை அடையாளம் கொண்ட வேர்களைப் பற்றி ஒருபோதும் மறந்துவிடாதீர்கள் !!!

எடுத்துக்காட்டு 6:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 7:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

ஓ! ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதாவது சமன்பாடு

வேர்கள் இல்லை!

வேர்கள் இல்லாத அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு, கணிதவியலாளர்கள் ஒரு சிறப்பு ஐகானைக் கொண்டு வந்தனர் - (வெற்று தொகுப்பு). மேலும் பதிலை இப்படி எழுதலாம்:

பதில்:

எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் வேரைப் பிரித்தெடுக்காததால் இங்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு 8:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

இவ்வாறு,

இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளின் எளிமையான வகை (அவை அனைத்தும் எளிமையானவை, இல்லையா?). வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாடு எப்போதும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இங்கே எடுத்துக்காட்டுகள் இல்லாமல் செய்வோம்.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாடு என்பது படிவ சமன்பாட்டின் சமன்பாடு என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம்

முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இவற்றை விட சற்று கடினமானது (கொஞ்சம் தான்).

நினைவில் கொள்ளுங்கள் எந்த இருபடி சமன்பாடும் ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும்! முழுமையற்றதும் கூட.

மற்ற முறைகள் அதை விரைவாகச் செய்ய உங்களுக்கு உதவும், ஆனால் இருபடி சமன்பாடுகளில் உங்களுக்கு சிக்கல்கள் இருந்தால், முதலில் பாரபட்சத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வைத் தெரிந்துகொள்ளுங்கள்.

1. ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிமையானது, செயல்களின் வரிசை மற்றும் இரண்டு சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வது.

சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் இருந்தால், நீங்கள் படிக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டும். பாகுபாடு () சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கூறுகிறது.

• என்றால், படியில் உள்ள சூத்திரம் குறைக்கப்படும். எனவே, சமன்பாடு ஒரு ரூட் மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
• அப்படியானால், படியில் உள்ள பாகுபாட்டின் வேரைப் பிரித்தெடுக்க முடியாது. சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது குறிக்கிறது.

நமது சமன்பாடுகளுக்குச் சென்று சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

படி 1நாம் தவிர்க்கிறோம்.

படி 2.

நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

இதன் பொருள் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

படி 3.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 10:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது, எனவே படி 1நாம் தவிர்க்கிறோம்.

படி 2.

நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

இதன் பொருள் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 11:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது, எனவே படி 1நாம் தவிர்க்கிறோம்.

படி 2.

நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

இதன் பொருள், பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் வேரை நம்மால் பிரித்தெடுக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் வேர்கள் இல்லை.

அத்தகைய பதில்களை எவ்வாறு சரியாக எழுதுவது என்பது இப்போது நமக்குத் தெரியும்.

பதில்:வேர்கள் இல்லை

2. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், குறைக்கப்பட்டது என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வகை சமன்பாடு உள்ளது (குணம் a சமமாக இருக்கும் போது):

இத்தகைய சமன்பாடுகள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க மிகவும் எளிதானது:

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கொடுக்கப்பட்டதுஇருபடி சமன்பாடு சமம், மற்றும் வேர்களின் பலன் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 12:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டை வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் .

சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம், அதாவது. நாம் முதல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

மற்றும் தயாரிப்பு சமம்:

அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்.

மற்றும் அமைப்புக்கான தீர்வு:

பதில்: ; .

எடுத்துக்காட்டு 13:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 14:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

பதில்:

குவாட்ரேட் சமன்பாடுகள். நடுத்தர நிலை

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன?

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், அங்கு - தெரியாதது, - சில எண்கள் மற்றும்.

எண் மிக உயர்ந்த அல்லது அழைக்கப்படுகிறது முதல் குணகம்இருபடி சமன்பாடு, - இரண்டாவது குணகம், ஏ - இலவச உறுப்பினர்.

ஏன்? ஏனெனில் சமன்பாடு உடனடியாக நேர்கோட்டாக மாறினால், ஏனெனில் மறைந்துவிடும்.

இந்த வழக்கில், மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த நாற்காலி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து விதிமுறைகளும் இடத்தில் இருந்தால், அதாவது, சமன்பாடு முடிந்தது.

பல்வேறு வகையான இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள்

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்:

முதலில், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பார்ப்போம் - அவை எளிமையானவை.

பின்வரும் வகையான சமன்பாடுகளை நாம் வேறுபடுத்தி அறியலாம்:

I., இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் மற்றும் இலவச சொல் சமம்.

II. , இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் சமம்.

III. , இந்த சமன்பாட்டில் இலவச சொல் சமம்.

இப்போது இந்த ஒவ்வொரு துணை வகைக்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாடு எப்போதும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது:

ஒரு வர்க்க எண் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நீங்கள் இரண்டு எதிர்மறை அல்லது இரண்டு நேர்மறை எண்களை பெருக்கும்போது, ​​​​முடிவு எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும். அதனால்தான்:

சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால்;

நமக்கு இரண்டு வேர்கள் இருந்தால்

இந்த சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அது குறைவாக இருக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

தீர்வுகள்:

பதில்:

எதிர்மறை அடையாளம் கொண்ட வேர்களைப் பற்றி ஒருபோதும் மறந்துவிடாதீர்கள்!

ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதாவது சமன்பாடு

வேர்கள் இல்லை.

ஒரு சிக்கலுக்கு தீர்வு இல்லை என்பதை சுருக்கமாக எழுத, வெற்று செட் ஐகானைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

பதில்:

எனவே, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும்.

பதில்:

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதன் பொருள் சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் போது:

எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும்.

எடுத்துக்காட்டு:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை காரணியாக்குவோம் மற்றும் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பதில்:

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்:

1. பாகுபாடு

இந்த வழியில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எளிதானது, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், செயல்களின் வரிசை மற்றும் இரண்டு சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வது. நினைவில் கொள்ளுங்கள், எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும்! முழுமையற்றதும் கூட.

வேர்களுக்கான சூத்திரத்தில் உள்ள பாகுபாட்டிலிருந்து மூலத்தை கவனித்தீர்களா? ஆனால் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கலாம். என்ன செய்வது? நாம் படி 2 க்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டும். சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை பாகுபாடு கூறுகிறது.

• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால்:
• சமன்பாடு ஒரே வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், உண்மையில் ஒரு வேர்:

  இத்தகைய வேர்கள் இரட்டை வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

• என்றால், பாகுபாட்டின் வேர் பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை. சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது குறிக்கிறது.

வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான வேர்கள் ஏன் சாத்தியமாகும்? இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவியல் அர்த்தத்திற்கு வருவோம். செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும்:

ஒரு சிறப்பு வழக்கில், இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு, . இதன் பொருள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் (அச்சு) வெட்டும் புள்ளிகள் ஆகும். ஒரு பரவளையம் அச்சில் குறுக்கிடாமல் இருக்கலாம் அல்லது ஒன்றில் (பரவளையத்தின் உச்சி அச்சில் இருக்கும் போது) அல்லது இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டலாம்.

கூடுதலாக, பரவளையத்தின் கிளைகளின் திசைக்கு குணகம் பொறுப்பாகும். பரவளையத்தின் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்டால், பின்னர் கீழ்நோக்கி.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

தீர்வுகள்:

பதில்:

பதில்: .

பதில்:

இதன் பொருள் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில்: .

2. வியட்டாவின் தேற்றம்

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் எளிதானது: நீங்கள் ஒரு ஜோடி எண்களைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதன் தயாரிப்பு சமன்பாட்டின் இலவச காலத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தை மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் ().

சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு #1:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

இந்த சமன்பாட்டை வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் . பிற குணகங்கள்: ; .

சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை:

மற்றும் தயாரிப்பு சமம்:

தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் ஜோடி எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்து அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:

• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்.

மற்றும் அமைப்புக்கான தீர்வு:

இவ்வாறு, மற்றும் நமது சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்: ; .

எடுத்துக்காட்டு #2:

தீர்வு:

தயாரிப்பில் உள்ள எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:

மற்றும்: அவர்கள் மொத்தமாக கொடுக்கிறார்கள்.

மற்றும்: அவர்கள் மொத்தமாக கொடுக்கிறார்கள். பெறுவதற்கு, கூறப்படும் வேர்களின் அறிகுறிகளை மாற்றினால் போதும்: மற்றும், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, தயாரிப்பு.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு #3:

தீர்வு:

சமன்பாட்டின் இலவச சொல் எதிர்மறையானது, எனவே வேர்களின் தயாரிப்பு எதிர்மறை எண்ணாகும். வேர்களில் ஒன்று எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும். எனவே வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் அவற்றின் தொகுதிகளின் வேறுபாடுகள்.

தயாரிப்பில் கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம், அவற்றின் வேறுபாடு இதற்கு சமம்:

மற்றும்: அவற்றின் வேறுபாடு சமம் - பொருந்தாது;

மற்றும்: - பொருத்தமானது அல்ல;

மற்றும்: - பொருத்தமானது அல்ல;

மற்றும்: - பொருத்தமானது. வேர்களில் ஒன்று எதிர்மறையானது என்பதை நினைவில் கொள்வது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், சிறிய மாடுலஸ் கொண்ட ரூட் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்: . நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு #4:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

இலவச சொல் எதிர்மறையானது, எனவே வேர்களின் தயாரிப்பு எதிர்மறையானது. சமன்பாட்டின் ஒரு வேர் எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே இது சாத்தியமாகும்.

தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, எந்த வேர்களில் எதிர்மறை அடையாளம் இருக்க வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

வெளிப்படையாக, வேர்கள் மட்டுமே மற்றும் முதல் நிபந்தனைக்கு ஏற்றது:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு #5:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறையானது, அதாவது குறைந்தபட்சம் ஒரு வேர் எதிர்மறையானது. ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், இரண்டு வேர்களும் ஒரு கழித்தல் அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளன.

தயாரிப்புக்கு சமமான எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம்:

வெளிப்படையாக, வேர்கள் எண்கள் மற்றும்.

பதில்:

ஒப்புக்கொள், இந்த மோசமான பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்குப் பதிலாக, வாய்வழியாக வேர்களைக் கொண்டு வருவது மிகவும் வசதியானது. வியட்டாவின் தேற்றத்தை முடிந்தவரை அடிக்கடி பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும்.

ஆனால் வேர்களைக் கண்டறிவதை எளிதாக்குவதற்கும் விரைவுபடுத்துவதற்கும் வியட்டாவின் தேற்றம் தேவைப்படுகிறது. அதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நீங்கள் பயனடைய, நீங்கள் செயல்களை தானாகவே கொண்டு வர வேண்டும். இதற்கு மேலும் ஐந்து உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும். ஆனால் ஏமாற்ற வேண்டாம்: நீங்கள் ஒரு பாகுபாடு பயன்படுத்த முடியாது! வியட்டாவின் தேற்றம் மட்டுமே:

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகளுக்கான தீர்வுகள்:

பணி 1. ((x)^(2))-8x+12=0

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி:

வழக்கம் போல், நாங்கள் தேர்வைத் தொடங்குகிறோம்:

அளவு என்பதால் பொருந்தாது;

: தொகை உங்களுக்கு தேவையானது தான்.

பதில்: ; .

பணி 2.

மீண்டும் எங்களுக்கு பிடித்த வியட்டா தேற்றம்: கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும், மற்றும் தயாரிப்பு சமமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் அது இருக்கக்கூடாது என்பதால், ஆனால், வேர்களின் அறிகுறிகளை மாற்றுகிறோம்: மற்றும் (மொத்தத்தில்).

பதில்: ; .

பணி 3.

ம்ம்... அது எங்கே?

நீங்கள் அனைத்து விதிமுறைகளையும் ஒரு பகுதியாக நகர்த்த வேண்டும்:

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை தயாரிப்புக்கு சமம்.

சரி, நிறுத்து! சமன்பாடு கொடுக்கப்படவில்லை. ஆனால் வியட்டாவின் தேற்றம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளில் மட்டுமே பொருந்தும். எனவே முதலில் நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை கொடுக்க வேண்டும். உங்களால் வழிநடத்த முடியாவிட்டால், இந்த யோசனையை கைவிட்டு வேறு வழியில் தீர்க்கவும் (உதாரணமாக, ஒரு பாகுபாடு காட்டுபவர் மூலம்). ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைக் கொடுப்பது என்பது முன்னணி குணகத்தை சமமாக்குவது என்று உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

பெரிய. பின்னர் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் மற்றும் தயாரிப்பு.

இங்கே ஷெல்லிங் பேரிக்காய்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒரு பிரதான எண் (டாட்டாலஜிக்கு மன்னிக்கவும்).

பதில்: ; .

பணி 4.

இலவச உறுப்பினர் எதிர்மறையானவர். இதில் என்ன விசேஷம்? உண்மை என்னவென்றால், வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும். இப்போது, ​​​​தேர்வின் போது, ​​​​வேர்களின் தொகையை அல்ல, அவற்றின் தொகுதிகளில் உள்ள வேறுபாட்டை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்: இந்த வேறுபாடு சமம், ஆனால் ஒரு தயாரிப்பு.

எனவே, வேர்கள் சமமானவை மற்றும், ஆனால் அவற்றில் ஒன்று கழித்தல். வியட்டாவின் தேற்றம், வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம் என்று கூறுகிறது, அதாவது. இதன் பொருள் சிறிய ரூட் ஒரு கழித்தல்: மற்றும், பின்னர்.

பதில்: ; .

பணி 5.

நீங்கள் முதலில் என்ன செய்ய வேண்டும்? அது சரி, சமன்பாட்டைக் கொடுங்கள்:

மீண்டும்: எண்ணின் காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அவற்றின் வேறுபாடு இதற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்:

வேர்கள் சமம் மற்றும், ஆனால் அவற்றில் ஒன்று கழித்தல். எது? அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது கழித்தல் ஒரு பெரிய வேரைக் கொண்டிருக்கும்.

பதில்: ; .

நான் சுருக்கமாக சொல்கிறேன்:

1. வியட்டாவின் தேற்றம் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளில் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது.
2. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, தேர்வு மூலம், வாய்வழியாக வேர்களைக் கண்டறியலாம்.
3. சமன்பாடு வழங்கப்படாவிட்டால் அல்லது இலவச காலத்தின் பொருத்தமான ஜோடி காரணிகள் இல்லை என்றால், முழு வேர்களும் இல்லை, நீங்கள் அதை வேறு வழியில் தீர்க்க வேண்டும் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பாகுபாடு மூலம்).

3. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை

அறியப்படாத அனைத்து சொற்களும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களிலிருந்து சொற்களின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால் - தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கம் - பின்னர் மாறிகளை மாற்றிய பின், சமன்பாட்டை வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் வழங்கலாம்.

உதாரணமாக:

எடுத்துக்காட்டு 1:

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 2:

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

பதில்:

IN பொதுவான பார்வைமாற்றம் இப்படி இருக்கும்:

இது பின்வருமாறு: .

உங்களுக்கு எதுவும் நினைவூட்டவில்லையா? இது ஒரு பாரபட்சமான விஷயம்! அப்படித்தான் எங்களுக்கு பாகுபாடு சூத்திரம் கிடைத்தது.

குவாட்ரேட் சமன்பாடுகள். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

இருபடி சமன்பாடு- இது வடிவத்தின் சமன்பாடு, அங்கு - தெரியாதது, - இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள், - இலவச சொல்.

முழு இருபடி சமன்பாடு- குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத சமன்பாடு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு- ஒரு சமன்பாடு இதில் குணகம், அதாவது: .

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு- ஒரு சமன்பாடு இதில் குணகம் மற்றும் அல்லது இலவச சொல் c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

• குணகம் என்றால், சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: ,
• ஒரு இலவச சொல் இருந்தால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: ,
• என்றால் மற்றும், சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: .

1. முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

1.1 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு, எங்கே:

1) தெரியாததை வெளிப்படுத்துவோம்:,

2) வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைச் சரிபார்க்கவும்:

• சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை என்றால்,
• என்றால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

1.2 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு, எங்கே:

1) அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

2) காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

1.3 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு, எங்கே:

இந்த சமன்பாடு எப்போதும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது: .

2. படிவத்தின் முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

2.1 பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

1) சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்: ,

2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்: , இது சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது:

3) சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:

• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால், அவை சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகின்றன:
• சமன்பாட்டிற்கு ஒரு ரூட் இருந்தால், இது சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:
• என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

2.2 வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை (எங்கே உள்ள வடிவத்தின் சமன்பாடு) சமம், மற்றும் வேர்களின் பெருக்கல் சமம், அதாவது. , ஏ.

2.3 முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையின் மூலம் தீர்வு

நாங்கள் தலைப்பை தொடர்ந்து படிக்கிறோம் " சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" நாம் ஏற்கனவே நேரியல் சமன்பாடுகளுடன் பழகியுள்ளோம், மேலும் பழகுவதற்கு நகர்கிறோம் இருபடி சமன்பாடுகள்.

முதலில், இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு பொதுவான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்த்து, தொடர்புடைய வரையறைகளை வழங்குவோம். இதற்குப் பிறகு, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை விரிவாக ஆராய எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்துவோம். தீர்வுக்கு செல்லலாம் முழுமையான சமன்பாடுகள், ரூட் ஃபார்முலாவைப் பெறுவோம், இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைப் பற்றி அறிந்துகொள்வோம், மேலும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இறுதியாக, வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான இணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அவற்றின் வகைகள்

முதலில் நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறை மற்றும் தொடர்புடைய வரையறைகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைப் பற்றிய உரையாடலைத் தொடங்குவது தர்க்கரீதியானது. இதற்குப் பிறகு, இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகளை நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம்: குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத, அத்துடன் முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற சமன்பாடுகள்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் a x 2 +b x+c=0, x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள், மற்றும் a என்பது பூஜ்ஜியம் அல்ல.

இருபடி சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று இப்போதே சொல்லலாம். இருபடி சமன்பாடு என்பது இதற்குக் காரணம் இயற்கணித சமன்பாடுஇரண்டாம் பட்டம்.

கூறப்பட்ட வரையறை இருபடி சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை கொடுக்க அனுமதிக்கிறது. எனவே 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, முதலியன. இவை இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.

எண்கள் a, b மற்றும் c என்று அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் a·x 2 +b·x+c=0, மற்றும் குணகம் a என்பது முதல், அல்லது உயர்ந்தது, அல்லது x 2 இன் குணகம், b என்பது இரண்டாவது குணகம் அல்லது x இன் குணகம், மற்றும் c என்பது இலவசச் சொல் .

க்கு ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்படிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு 5 x 2 -2 x−3=0, இங்கே முன்னணி குணகம் 5, இரண்டாவது குணகம் -2, மற்றும் இலவச சொல் -3. குணகங்கள் b மற்றும்/அல்லது c எதிர்மறையாக இருக்கும் போது, ​​இப்போது கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் குறுகிய வடிவம் 5 x 2 -2 x−3=0 வடிவத்தின் இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுதல், மற்றும் 5 x 2 +(-2) x+(−3)=0 அல்ல.

குணகங்கள் a மற்றும்/அல்லது b 1 அல்லது −1 க்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​அவை பொதுவாக இருபடி சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாக இருக்காது, இது எழுதும் தனித்தன்மையின் காரணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டில் y 2 -y+3=0 முன்னணி குணகம் ஒன்று, மற்றும் y இன் குணகம் −1க்கு சமம்.

குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள்

முன்னணி குணகத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்து, குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

முன்னணி குணகம் 1 ஆக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. இல்லையெனில் இருபடி சமன்பாடு ஆகும் தீண்டப்படாத.

படி இந்த வரையறை, இருபடி சமன்பாடுகள் x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, முதலியன. - கொடுக்கப்பட்டால், அவை ஒவ்வொன்றிலும் முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். A 5 x 2 -x−1=0, முதலியன. - குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள், அவற்றின் முன்னணி குணகங்கள் 1 இலிருந்து வேறுபட்டவை.

எந்த குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து, இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகத்தால் பிரிப்பதன் மூலம், நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு செல்லலாம். இந்த செயல் ஒரு சமமான மாற்றமாகும், அதாவது, இந்த வழியில் பெறப்பட்ட குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு அசல் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டின் அதே வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது, அதைப் போலவே, வேர்கள் இல்லை.

குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாறுவது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

3 x 2 +12 x−7=0 சமன்பாட்டிலிருந்து, தொடர்புடைய குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லவும்.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகம் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், இது பூஜ்ஜியமற்றது, எனவே இந்த செயலைச் செய்யலாம். எங்களிடம் உள்ளது (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, இது ஒன்றுதான், (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, பின்னர் (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, எங்கிருந்து . இப்படித்தான் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெற்றோம், இது அசல் ஒன்றிற்குச் சமமானதாகும்.

பதில்:

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறை a≠0 என்ற நிபந்தனையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நிலை அவசியம் எனவே a x 2 + b x + c = 0 சமன்பாடு இருபடியாக இருக்கும், ஏனெனில் a = 0 ஆனது உண்மையில் b x + c = 0 வடிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்.

b மற்றும் c குணகங்களைப் பொறுத்தவரை, அவை தனித்தனியாகவும் ஒன்றாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடு a x 2 +b x+c=0 அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்றது, b, c குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.

இதையொட்டி

வரையறை.

முழு இருபடி சமன்பாடுஅனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

அத்தகைய பெயர்கள் தற்செயலாக கொடுக்கப்படவில்லை. இது பின்வரும் விவாதங்களில் இருந்து தெளிவாகும்.

குணகம் b பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +0·x+c=0 வடிவத்தை எடுக்கும், மேலும் அது a·x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம். c=0, அதாவது, இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x+0=0 வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதை a·x 2 +b·x=0 என மீண்டும் எழுதலாம். மேலும் b=0 மற்றும் c=0 உடன் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 =0 கிடைக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகள் முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் இடது பக்கங்களில் x மாறியுடன் ஒரு சொல் அல்லது ஒரு இலவச சொல் அல்லது இரண்டும் இல்லை. எனவே அவற்றின் பெயர் - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +x+1=0 மற்றும் −2 x 2 -5 x+0.2=0 ஆகியவை முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், மேலும் x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முந்தைய பத்தியில் உள்ள தகவலில் இருந்து அது உள்ளது மூன்று வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்:

• a·x 2 =0, குணகங்கள் b=0 மற்றும் c=0 அதை ஒத்திருக்கும்;
• a x 2 +c=0 போது b=0 ;
• மற்றும் a·x 2 +b·x=0 போது c=0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை வரிசையாக ஆராய்வோம்.

ஒரு x 2 =0

b மற்றும் c குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் தொடங்குவோம், அதாவது a x 2 =0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுடன். சமன்பாடு a·x 2 =0 என்பது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, இது இரு பகுதிகளையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுத்து மூலத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, x 2 =0 சமன்பாட்டின் வேர் பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் 0 2 =0. இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, இது எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணிற்கும் p 2 >0 சமத்துவமின்மையால் விளக்கப்படுகிறது, அதாவது p≠0 க்கு p 2 =0 என்ற சமத்துவம் ஒருபோதும் அடையப்படாது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 =0 ஆனது x=0 என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு −4 x 2 =0 தீர்வைக் கொடுக்கிறோம். இது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு சமம், அதன் ஒரே ரூட் x=0, எனவே, அசல் சமன்பாடு ஒற்றை வேர் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த வழக்கில் ஒரு குறுகிய தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

குணகம் b பூஜ்ஜியம் மற்றும் c≠0, அதாவது a x 2 +c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளில் உள்ள முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றொரு பக்கத்திற்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை நகர்த்துவதும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுப்பதும் சமமான சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, ஒரு x 2 +c=0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்யலாம்:

• c ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும், இது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு x 2 =-c,
• மற்றும் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும் .

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அதன் வேர்களைப் பற்றிய முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. a மற்றும் c இன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (உதாரணமாக, a=1 மற்றும் c=2 எனில், பின்னர் ) அல்லது நேர்மறை (உதாரணமாக, a=−2 மற்றும் c=6 எனில், பின்னர் ), இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது, ஏனெனில் நிபந்தனை c≠0. வழக்குகளைத் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மில்லாத எண் என்பதிலிருந்து இந்த அறிக்கை பின்பற்றப்படுகிறது. இதிலிருந்து எப்பொழுது , பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் p சமத்துவம் உண்மையாக இருக்க முடியாது.

என்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் நிலைமை வேறுபட்டது. இந்த வழக்கில், நாம் பற்றி நினைவில் வைத்திருந்தால், சமன்பாட்டின் வேர் உடனடியாகத் தெளிவாகிறது, அது எண். எண் சமன்பாட்டின் மூலமும் கூட என்று யூகிக்க எளிதானது. இந்த சமன்பாட்டில் வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முரண்பாட்டால் காட்டப்படலாம். இதைச் செய்வோம்.

இப்போது x 1 மற்றும் −x 1 என அறிவிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்போம். சமன்பாட்டில் மேலும் ஒரு ரூட் x 2 உள்ளது, இது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வேர்கள் x 1 மற்றும் −x 1 ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். x க்கு பதிலாக அதன் வேர்களை ஒரு சமன்பாட்டில் மாற்றுவது சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. x 1 மற்றும் −x 1 க்கு நம்மிடம் உள்ளது, x 2 க்கு நம்மிடம் உள்ளது. எண் சமத்துவங்களின் பண்புகள் சரியான எண் சமத்துவங்களின் கால-படி-கால கழிப்பைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன, எனவே சமத்துவங்களின் தொடர்புடைய பகுதிகளைக் கழித்தால் x 1 2 -x 2 2 =0 கிடைக்கும். எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகள், விளைவான சமத்துவத்தை (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 என மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கிறது. இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. எனவே, விளைவான சமத்துவத்திலிருந்து x 1 -x 2 =0 மற்றும்/அல்லது x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 மற்றும்/அல்லது x 2 =−x 1. x 2 சமன்பாட்டின் வேர் x 1 மற்றும் −x 1 இலிருந்து வேறுபட்டது என்று ஆரம்பத்தில் சொன்னதால், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்தோம். சமன்பாட்டிற்கு மற்றும் தவிர வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம். முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம்

• வேர்கள் இல்லை என்றால்,
• இரண்டு வேர்கள் மற்றும் , என்றால் .

a·x 2 +c=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 +7=0 உடன் ஆரம்பிக்கலாம். சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு இலவச காலத்தை நகர்த்திய பிறகு, அது 9 x 2 =−7 வடிவத்தை எடுக்கும். விளைந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 9 ஆல் வகுத்தால், நாம் வருகிறோம். வலது பக்கம் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு 9 x 2 +7 = 0 க்கு வேர்கள் இல்லை.

மற்றொரு முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் -x 2 +9=0. நாம் ஒன்பதை வலது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம்: −x 2 =-9. இப்போது இரண்டு பக்கங்களையும் −1 ஆல் வகுத்தால், x 2 =9 கிடைக்கும். வலது பக்கத்தில் ஒரு நேர்மறை எண் உள்ளது, அதில் இருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் அல்லது . பின்னர் நாம் இறுதிப் பதிலை எழுதுகிறோம்: முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு -x 2 +9=0 x=3 அல்லது x=−3 என்ற இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

a x 2 +b x=0

இது தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க உள்ளது கடைசி வகை c=0க்கான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள். a x 2 + b x = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் உங்களை தீர்க்க அனுமதிக்கிறது காரணியாக்கல் முறை. வெளிப்படையாக, நாம் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது, இதற்கு அடைப்புக்குறிக்குள் x என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். இது அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து x·(a·x+b)=0 வடிவத்தின் சமமான சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல அனுமதிக்கிறது. மேலும் இந்த சமன்பாடு x=0 மற்றும் a·x+b=0 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது, இவற்றின் பிந்தையது நேரியல் மற்றும் x=−b/a வேர் கொண்டது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x=0 x=0 மற்றும் x=−b/a ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கான தீர்வை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

அடைப்புக்குறிக்குள் xஐ எடுத்தால் சமன்பாடு கிடைக்கும். இது x=0 மற்றும் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்குச் சமம். இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: , மற்றும் கலப்பு எண்ணை வகுக்கிறோம் பொதுவான பின்னம், நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=0 மற்றும் .

தேவையான பயிற்சியைப் பெற்ற பிறகு, அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை சுருக்கமாக எழுதலாம்:

பதில்:

x=0, .

பாகுபாடு, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, ஒரு ரூட் சூத்திரம் உள்ளது. அதை எழுதுவோம் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்: , எங்கே D=b 2 −4 a c- என்று அழைக்கப்படும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு. நுழைவு என்பது அடிப்படையில் அதைக் குறிக்கிறது.

மூல சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் அது எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை அறிவது பயனுள்ளது. இதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இருபடி சமன்பாட்டை a·x 2 +b·x+c=0 தீர்க்க வேண்டும். சில சமமான மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

• இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுக்க முடியும், இதன் விளைவாக பின்வரும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கும்.
• இப்போது ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்அதன் இடது பக்கத்தில்: . இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்.
• இந்த கட்டத்தில், கடைசி இரண்டு சொற்களை எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கத்திற்கு மாற்ற முடியும், எங்களிடம் உள்ளது .
• மேலும் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: .

இதன் விளைவாக, அசல் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 +b·x+c=0 க்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டை நாம் வந்தடைகிறோம்.

நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்த போது, ​​முந்தைய பத்திகளில் இதே போன்ற சமன்பாடுகளை தீர்த்துள்ளோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் குறித்து பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க இது அனுமதிக்கிறது:

• என்றால், சமன்பாட்டில் உண்மையான தீர்வுகள் இல்லை;
• என்றால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது, எனவே, அதன் ஒரே வேர் தெரியும்;
• என்றால் , பின்னர் அல்லது , இது அதே அல்லது , அதாவது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை, எனவே அசல் இருபடி சமன்பாடு, வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது. இதையொட்டி, இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம், 4·a 2 என்ற வகுத்தல் எப்போதும் நேர்மறையாக இருப்பதால், அதாவது, b 2 −4·a·c என்ற வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு b 2 -4 a c என அழைக்கப்பட்டது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடுமற்றும் கடிதத்தால் நியமிக்கப்பட்டது டி. இங்கிருந்து பாகுபாடு காண்பவரின் சாராம்சம் தெளிவாக உள்ளது - அதன் மதிப்பு மற்றும் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் உள்ளதா என்பதை அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள், அப்படியானால், அவற்றின் எண் என்ன - ஒன்று அல்லது இரண்டு.

சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி அதை மீண்டும் எழுதுவோம்: . மற்றும் நாங்கள் முடிவுகளை எடுக்கிறோம்:

• டி என்றால்<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 எனில், இந்தச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது;
• இறுதியாக, D>0 எனில், சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன அல்லது அவை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம் அல்லது, விரிவடைந்து பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம்.

எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களை நாங்கள் பெற்றோம், அவை , பாகுபாடு D என்பது D=b 2 −4·a·c என்ற சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படும்.

அவர்களின் உதவியுடன், நேர்மறை பாகுபாடுடன், இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​​​இரண்டு சூத்திரங்களும் ரூட்டின் ஒரே மதிப்பைக் கொடுக்கும். ஒரே தீர்வுஇருபடி சமன்பாடு. எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கும்போது, ​​​​நாம் பிரித்தெடுக்கப்படுவதை எதிர்கொள்கிறோம். சதுர வேர்எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து, இது நம்மைத் தாண்டி அழைத்துச் செல்கிறது பள்ளி பாடத்திட்டம். எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், இருபடிச் சமன்பாட்டில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஆனால் ஒரு ஜோடி உள்ளது சிக்கலான இணைப்புவேர்கள், நாம் பெற்ற அதே ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

நடைமுறையில், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட ரூட் சூத்திரத்தை உடனடியாகப் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் இது சிக்கலான வேர்களைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடையது.

இருப்பினும், பள்ளி இயற்கணித பாடத்தில் இது வழக்கமாக உள்ளது பற்றி பேசுகிறோம்சிக்கலானது அல்ல, ஆனால் இருபடி சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்கள் பற்றி. இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், முதலில் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது நல்லது, அது எதிர்மறையானது அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் (இல்லையெனில், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்), பின்னர் மட்டுமே வேர்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

மேலே உள்ள தர்க்கம் நம்மை எழுத அனுமதிக்கிறது இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை. இருபடி சமன்பாட்டை a x 2 +b x+c=0 தீர்க்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

• D=b 2 −4·a·c என்ற பாகுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்;
• பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று முடிவு செய்யுங்கள்;
• D=0 என்றால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள்;
• பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை இங்கே நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நீங்கள் செல்லலாம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

நேர்மறை, எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜிய பாகுபாடு கொண்ட மூன்று இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றின் தீர்வைக் கையாள்வதன் மூலம், ஒப்புமை மூலம் வேறு எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். ஆரம்பிக்கலாம்.

உதாரணம்.

x 2 +2·x−6=0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இந்த வழக்கில், இருபடி சமன்பாட்டின் பின்வரும் குணகங்கள் உள்ளன: a=1, b=2 மற்றும் c=−6. அல்காரிதத்தின் படி, நீங்கள் முதலில் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட a, b மற்றும் c ஐ பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 என்பதால், அதாவது, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, இருபடி சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம், இங்கே நீங்கள் செய்வதன் மூலம் விளைந்த வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மூல அடையாளத்திற்கு அப்பால் பெருக்கியை நகர்த்துகிறதுபின்னத்தின் குறைப்பு தொடர்ந்து:

பதில்:

அடுத்த பொதுவான உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்.

உதாரணம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் -4 x 2 +28 x−49=0 .

தீர்வு.

பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் நாங்கள் தொடங்குகிறோம்: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் , அதாவது,

பதில்:

x=3.5.

எதிர்மறையான பாகுபாட்டுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணம்.

5·y 2 +6·y+2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் இங்கே உள்ளன: a=5, b=6 மற்றும் c=2. இந்த மதிப்புகளை பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம், எங்களிடம் உள்ளது D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. பாகுபாடு எதிர்மறையானது, எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் குறிப்பிட வேண்டும் என்றால், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் செயல்படுகிறோம் சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள்:

பதில்:

உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள்: .

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், பள்ளியில் அவர்கள் உடனடியாக ஒரு பதிலை எழுதுவார்கள், அதில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள் காணப்படவில்லை என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டாவது குணகங்களுக்கான ரூட் சூத்திரம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம், D=b 2 -4·a·c ஆனது, மிகவும் கச்சிதமான வடிவத்தின் சூத்திரத்தைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. படிவத்தின் குணகம் 2·n, எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது 14· ln5=2·7·ln5 ). அவளை வெளியேற்றுவோம்.

x 2 +2 n x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம் D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), பின்னர் நாம் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

n 2 -a c என்ற வெளிப்பாட்டை D 1 ஆகக் குறிப்போம் (சில நேரங்களில் அது D "என்று குறிக்கப்படுகிறது) பின்னர் இரண்டாவது குணகம் 2 n உடன் பரிசீலனையில் உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும். , D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, அல்லது D 1 =D/4 என்பதைக் காண்பது எளிது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டி 1 என்பது பாகுபாட்டின் நான்காவது பகுதியாகும். D 1 இன் அடையாளம் D யின் அறிகுறியே என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, D 1 என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் குறிகாட்டியாகும்.

எனவே, இரண்டாவது குணகம் 2·n உடன் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• D 1 =n 2 -a·c கணக்கிடுக;
• டி 1 என்றால்<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடவும்;
• D 1 >0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

இந்த பத்தியில் பெறப்பட்ட ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 -6 x -32=0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகம் 2·(−3) என குறிப்பிடப்படலாம். அதாவது, அசல் இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, இங்கே a=5, n=−3 மற்றும் c=−32 வடிவில் மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு: D 1 =n 2 −a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. அதன் மதிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பொருத்தமான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு வழக்கமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் இந்த விஷயத்தில் அதிக கணக்கீட்டு வேலைகள் செய்யப்பட வேண்டும்.

பதில்:

இருபடி சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எளிதாக்குதல்

சில நேரங்களில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடத் தொடங்குவதற்கு முன், "இந்த சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்த முடியுமா?" என்ற கேள்வியைக் கேட்பது வலிக்காது. கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் 1100 x 2 -400 x−600=0 ஐ விட இருபடி சமன்பாடு 11 x 2 -4 x−6=0 ஐ தீர்க்க எளிதாக இருக்கும் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன்.

பொதுவாக, ஒரு இருபக்க சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமையாக்குவது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் அல்லது வகுப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பத்தியில் 1100 x 2 -400 x -600=0 சமன்பாட்டை இரு பக்கங்களையும் 100 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் எளிமைப்படுத்த முடியும்.

இதேபோன்ற மாற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அவற்றின் குணகங்கள் இல்லை. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பொதுவாக அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளால் வகுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 12 x 2 -42 x+48=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள்: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் வகுத்தால், சமமான இருபடி சமன்பாடு 2 x 2 -7 x+8=0 ஐ அடைகிறோம்.

மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்குவது பொதுவாக பின்ன குணகங்களை அகற்றுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பெருக்கல் அதன் குணகங்களின் வகுப்பினரால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் LCM(6, 3, 1)=6 ஆல் பெருக்கப்பட்டால், அது x 2 +4·x−18=0 என்ற எளிய வடிவத்தை எடுக்கும்.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், இருபுறமும் −1 ஆல் பெருக்க (அல்லது வகுத்தல்) ஒத்த அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவதன் மூலம் அவை எப்போதும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் மிக உயர்ந்த குணகத்தில் கழித்தலை அகற்றுவதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவாக ஒன்று −2 x 2 -3 x+7=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து 2 x 2 +3 x−7=0 தீர்வுக்கு நகரும்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் அதன் குணகங்களின் மூலம் சமன்பாட்டின் வேர்களை வெளிப்படுத்துகிறது. ரூட் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான பிற உறவுகளைப் பெறலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திலிருந்து மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் பொருந்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் வடிவம் மற்றும் . குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தின் மூலம், அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7/3 க்கு சமம் என்றும், வேர்களின் பலன் 22/3 என்றும் கூறலாம்.

ஏற்கனவே எழுதப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் பல இணைப்புகளைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அதன் குணகங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்: .

குறிப்புகள்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8ம் வகுப்பு. மதியம் 2 மணிக்கு பகுதி 1. மாணவர்களுக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்/ ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.