மடக்கை வெளிப்பாடுகள். உதாரணங்கள்! மடக்கை சமன்பாடு: அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் நுட்பங்கள்

இன்று நாம் பேசுவோம் மடக்கை சூத்திரங்கள்மற்றும் குறிப்பையும் கொடுப்போம் தீர்வு உதாரணங்கள்.

அவையே மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகளுக்கு ஏற்ப தீர்வு வடிவங்களைக் குறிக்கின்றன. தீர்க்க மடக்கை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், அனைத்து பண்புகளையும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம்:

இப்போது, ​​இந்த சூத்திரங்கள் (பண்புகள்) அடிப்படையில், நாம் காண்பிப்போம் மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

சூத்திரங்களின் அடிப்படையில் மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

மடக்கை b > 0, a > 0 மற்றும் 1 உடன் b ஐப் பெறுவதற்கு a ஐ உயர்த்த வேண்டிய ஒரு அடுக்கு என்பது a (log a b ஆல் குறிக்கப்படும்) ஒரு நேர்மறை எண்.

வரையறையின்படி, a b = x ஐப் பதிவுசெய்க, இது a x = b க்கு சமமானதாகும், எனவே a a x = x ஐப் பதிவுசெய்க.

மடக்கைகள், எடுத்துக்காட்டுகள்:

பதிவு 2 8 = 3, ஏனெனில் 2 3 = 8

பதிவு 7 49 = 2, ஏனெனில் 7 2 = 49

பதிவு 5 1/5 = -1, ஏனெனில் 5 -1 = 1/5

தசம மடக்கை- இது ஒரு சாதாரண மடக்கை, இதன் அடிப்பகுதி 10. இது lg எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

பதிவு 10 100 = 2, ஏனெனில் 10 2 = 100

இயற்கை மடக்கை- வழக்கமான மடக்கை மடக்கை, ஆனால் அடிப்படை e உடன் (e = 2.71828... - பகுத்தறிவற்ற எண்) ln என குறிக்கப்படுகிறது.

மடக்கைகளின் சூத்திரங்கள் அல்லது பண்புகளை மனப்பாடம் செய்வது நல்லது, ஏனென்றால் மடக்கைகள், மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது நமக்கு அவை தேவைப்படும். ஒவ்வொரு சூத்திரத்தையும் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் மீண்டும் வேலை செய்வோம்.

• அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்
  ஒரு பதிவு a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• பொருளின் மடக்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்
  log a (bc) = log a b + log a c

  பதிவு 3 8.1 + பதிவு 3 10 = பதிவு 3 (8.1*10) = பதிவு 3 81 = 4

• மடக்கையின் மடக்கையானது மடக்கைகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 பதிவு 5 50/9 பதிவு 5 2 = 9 பதிவு 5 50- பதிவு 5 2 = 9 பதிவு 5 25 = 9 2 = 81

• மடக்கை எண்ணின் சக்தியின் பண்புகள் மற்றும் மடக்கையின் அடிப்படை

  மடக்கை எண்ணின் அடுக்கு a b m = mlog a b

  மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் அடுக்கு a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  m = n என்றால், நாம் log a n b n = log a b ஐப் பெறுகிறோம்

  பதிவு 4 9 = பதிவு 2 2 3 2 = பதிவு 2 3

• புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்
  log a b = log c b/log c a,

  c = b எனில், நமக்கு log b b = 1 கிடைக்கும்

  பின்னர் log a b = 1/log b a

  பதிவு 0.8 3*பதிவு 3 1.25 = பதிவு 0.8 3*பதிவு 0.8 1.25/பதிவு 0.8 3 = பதிவு 0.8 1.25 = பதிவு 4/5 5/4 = -1

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மடக்கைகளுக்கான சூத்திரங்கள் தோன்றும் அளவுக்கு சிக்கலானவை அல்ல. இப்போது, ​​மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்த்து, நாம் மடக்கை சமன்பாடுகளுக்குச் செல்லலாம். மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை கட்டுரையில் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்: "". தவறவிடாதீர்கள்!

தீர்வைப் பற்றி உங்களிடம் இன்னும் கேள்விகள் இருந்தால், கட்டுரைக்கான கருத்துகளில் அவற்றை எழுதுங்கள்.

குறிப்பு: வேறு வகுப்புக் கல்வியைப் பெறவும், விருப்பமாக வெளிநாட்டில் படிக்கவும் முடிவு செய்தோம்.

மடக்கை என்றால் என்ன?

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

மடக்கை என்றால் என்ன? மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? இந்த கேள்விகள் பல பட்டதாரிகளை குழப்புகின்றன. பாரம்பரியமாக, மடக்கைகளின் தலைப்பு சிக்கலான, புரிந்துகொள்ள முடியாத மற்றும் பயமுறுத்துவதாக கருதப்படுகிறது. குறிப்பாக மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகள்.

இது முற்றிலும் உண்மை இல்லை. முற்றிலும்! என்னை நம்பவில்லையா? நன்றாக. இப்போது, ​​வெறும் 10 - 20 நிமிடங்களில் நீங்கள்:

1. நீங்கள் புரிந்து கொள்வீர்கள் மடக்கை என்றால் என்ன.

2. முழு வகுப்பையும் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள் அதிவேக சமன்பாடுகள். நீங்கள் அவர்களைப் பற்றி எதுவும் கேட்காவிட்டாலும் கூட.

3. எளிய மடக்கைகளை கணக்கிட கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

மேலும், இதற்காக நீங்கள் பெருக்கல் அட்டவணை மற்றும் ஒரு எண்ணை எவ்வாறு சக்தியாக உயர்த்துவது என்பதை மட்டும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

உங்களுக்கு சந்தேகம் இருப்பது போல் உணர்கிறேன்... சரி, நேரம் குறிக்கவும்! போகலாம்!

முதலில், இந்த சமன்பாட்டை உங்கள் தலையில் தீர்க்கவும்:

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

மடக்கைகளை நாங்கள் தொடர்ந்து படிக்கிறோம். இந்த கட்டுரையில் நாம் பேசுவோம் மடக்கைகளை கணக்கிடுகிறது, இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது மடக்கை. முதலில் நாம் மடக்கைகளின் கணக்கீட்டை வரையறை மூலம் புரிந்துகொள்வோம். அடுத்து, மடக்கைகளின் மதிப்புகள் அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு கண்டறியப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். இதற்குப் பிறகு, பிற மடக்கைகளின் ஆரம்பத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்புகள் மூலம் மடக்கைகளை கணக்கிடுவதில் கவனம் செலுத்துவோம். இறுதியாக, மடக்கை அட்டவணைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். முழு கோட்பாடும் விரிவான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வழங்கப்பட்டுள்ளது.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வரையறையின்படி மடக்கைகளை கணக்கிடுதல்

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், மிக விரைவாகவும் எளிதாகவும் செய்ய முடியும் வரையறை மூலம் மடக்கை கண்டறிதல். இந்த செயல்முறை எவ்வாறு நிகழ்கிறது என்பதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

அதன் சாராம்சம் ஒரு சி வடிவத்தில் எண்ணை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகும், அதில் இருந்து, மடக்கையின் வரையறையின்படி, எண் சி என்பது மடக்கையின் மதிப்பாகும். அதாவது, வரையறையின்படி, பின்வரும் சமத்துவங்களின் சங்கிலி மடக்கைக் கண்டறிவதற்கு ஒத்திருக்கிறது: log a b=log a a c =c.

எனவே, ஒரு மடக்கையை வரையறையின்படி கணக்கிடுவது c = b என்ற எண்ணைக் கண்டறிவதாகும், மேலும் c எண்ணே மடக்கையின் விரும்பிய மதிப்பாகும்.

முந்தைய பத்திகளில் உள்ள தகவலை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் மடக்கை அடிப்படையின் ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தியால் கொடுக்கப்பட்டால், மடக்கை எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் குறிப்பிடலாம் - இது அடுக்குக்கு சமம். எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு தீர்வுகளைக் காண்பிப்போம்.

உதாரணம்.

பதிவு 2 2 −3 ஐக் கண்டுபிடித்து கணக்கிடவும் இயற்கை மடக்கைஎண்கள் இ 5.3.

தீர்வு.

மடக்கையின் வரையறை, பதிவு 2 2 −3 =−3 என்று உடனடியாகச் சொல்ல அனுமதிக்கிறது. உண்மையில், மடக்கை குறியின் கீழ் உள்ள எண், அடிப்படை 2 க்கு −3 சக்திக்கு சமம்.

இதேபோல், நாம் இரண்டாவது மடக்கைக் காண்கிறோம்: lne 5.3 =5.3.

பதில்:

பதிவு 2 2 −3 =−3 மற்றும் lne 5,3 =5,3.

மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் b என்பது மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் சக்தியாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், a c வடிவத்தில் b எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டு வர முடியுமா என்பதை நீங்கள் கவனமாகப் பார்க்க வேண்டும். பெரும்பாலும் இந்த பிரதிநிதித்துவம் மிகவும் வெளிப்படையானது, குறிப்பாக மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் 1, அல்லது 2, அல்லது 3 இன் சக்திக்கு அடித்தளத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது ...

உதாரணம்.

மடக்கை பதிவு 5 25 மற்றும் .

தீர்வு.

25=5 2 என்பதை எளிதாகக் காணலாம், இது முதல் மடக்கை கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது: பதிவு 5 25=பதிவு 5 5 2 =2.

இரண்டாவது மடக்கை கணக்கிடுவதற்கு செல்லலாம். எண்ணை 7 இன் சக்தியாகக் குறிப்பிடலாம்: (தேவைப்பட்டால் பார்க்கவும்). எனவே, .

மூன்றாவது மடக்கையை மீண்டும் எழுதுவோம் பின்வரும் படிவம். இப்போது நீங்கள் அதை பார்க்க முடியும் , அதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் . எனவே, மடக்கையின் வரையறையின்படி .

சுருக்கமாக, தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

பதில்:

பதிவு 5 25=2 , மற்றும் .

மடக்கை குறியின் கீழ் போதுமான அளவு பெரியது இருக்கும் இயற்கை எண், பின்னர் அதை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கூறுவது வலிக்காது. இது பெரும்பாலும் மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் சில சக்தியாக அத்தகைய எண்ணைக் குறிக்க உதவுகிறது, எனவே இந்த மடக்கையை வரையறை மூலம் கணக்கிடலாம்.

உதாரணம்.

மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

மடக்கைகளின் சில பண்புகள் மடக்கைகளின் மதிப்பை உடனடியாகக் குறிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கின்றன. இந்த பண்புகளில் ஒன்றின் மடக்கையின் பண்பு மற்றும் அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கையின் பண்பு ஆகியவை அடங்கும்: log 1 1=log a a 0 =0 மற்றும் log a =log a a 1 =1. அதாவது, மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு எண் 1 அல்லது மடக்கையின் அடிப்பகுதிக்கு சமமான எண் இருக்கும்போது, ​​இந்த நிகழ்வுகளில் மடக்கைகள் முறையே 0 மற்றும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

உதாரணம்.

மடக்கைகள் மற்றும் log10 எதற்கு சமம்?

தீர்வு.

முதல், மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு .

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், மடக்கை குறியின் கீழ் உள்ள எண் 10 அதன் அடித்தளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே பத்தின் தசம மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது lg10=lg10 1 =1.

பதில்:

மற்றும் lg10=1.

வரையறையின்படி மடக்கைகளின் கணக்கீடு (முந்தைய பத்தியில் நாம் விவாதித்தது) சமத்துவ பதிவு a a p =p பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது, இது மடக்கைகளின் பண்புகளில் ஒன்றாகும்.

நடைமுறையில், மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண்ணும் மடக்கையின் அடிப்பகுதியும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் சக்தியாக எளிதில் குறிப்பிடப்படும்போது, ​​சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. , இது மடக்கைகளின் பண்புகளில் ஒன்றிற்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டை விளக்கும் மடக்கைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

மடக்கை கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

பதில்:

.

மேலே குறிப்பிடப்படாத மடக்கைகளின் பண்புகள் கணக்கீடுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் இதைப் பற்றி பின்வரும் பத்திகளில் பேசுவோம்.

மற்ற அறியப்பட்ட மடக்கைகள் மூலம் மடக்கைகளைக் கண்டறிதல்

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவல்கள் மடக்கைகளின் பண்புகளை கணக்கிடும்போது அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான தலைப்பைத் தொடர்கின்றன. ஆனால் இங்கே முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், மடக்கைகளின் பண்புகள் அசல் மடக்கையை மற்றொரு மடக்கையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதன் மதிப்பு அறியப்படுகிறது. தெளிவுபடுத்துவதற்கு ஒரு உதாரணம் தருவோம். பதிவு 2 3≈1.584963 என்று நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சிறிய மாற்றத்தைச் செய்வதன் மூலம் பதிவு 2 6 ஐக் கண்டறியலாம்: பதிவு 2 6=பதிவு 2 (2 3)=பதிவு 2 2+பதிவு 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தினால் போதும். இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்டவற்றின் மூலம் அசல் மடக்கையைக் கணக்கிட, மடக்கைகளின் பண்புகளின் பரந்த ஆயுதக் களஞ்சியத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் அவசியம்.

உதாரணம்.

பதிவு 60 2=a மற்றும் பதிவு 60 5=b என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், 27 முதல் 60 வரையிலான மடக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.

எனவே நாம் பதிவு 60 27 ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 27 = 3 3 , மற்றும் அசல் மடக்கை, சக்தியின் மடக்கையின் பண்பு காரணமாக, 3·log 60 3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம்.

இப்போது அறியப்பட்ட மடக்கைகளின் அடிப்படையில் பதிவு 60 3 ஐ எவ்வாறு வெளிப்படுத்துவது என்று பார்ப்போம். அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கையின் பண்பு சமத்துவப் பதிவேடு 60 60=1ஐ எழுத அனுமதிக்கிறது. மறுபுறம், பதிவு 60 60=log60(2 2 3 5)= பதிவு 60 2 2 +பதிவு 60 3+பதிவு 60 5= 2·பதிவு 60 2+பதிவு 60 3+பதிவு 60 5 . இவ்வாறு, 2 பதிவு 60 2+பதிவு 60 3+பதிவு 60 5=1. எனவே, பதிவு 60 3=1−2·பதிவு 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

இறுதியாக, அசல் மடக்கை கணக்கிடுகிறோம்: பதிவு 60 27=3 பதிவு 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

பதில்:

பதிவு 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

தனித்தனியாக, படிவத்தின் மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின் பொருளைக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. . எந்தவொரு தளத்துடனும் மடக்கைகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தளத்துடன் மடக்கைகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது, அதன் மதிப்புகள் அறியப்படுகின்றன அல்லது அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியும். வழக்கமாக, அசல் மடக்கையிலிருந்து, மாற்றம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அவை தளங்கள் 2, e அல்லது 10 இல் உள்ள மடக்கைகளுக்கு நகர்கின்றன, ஏனெனில் இந்த தளங்களுக்கு மடக்கைகளின் அட்டவணைகள் உள்ளன, அவை அவற்றின் மதிப்புகளை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுடன் கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன. துல்லியம். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை அடுத்த பத்தியில் காண்போம்.

மடக்கை அட்டவணைகள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகள்

மடக்கையின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கு, மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம் மடக்கை அட்டவணைகள். பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை 2 மடக்கை அட்டவணை, இயற்கை மடக்கை அட்டவணை மற்றும் தசம மடக்கை அட்டவணை. தசம எண் அமைப்பில் பணிபுரியும் போது, ​​அடிப்படை பத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. அதன் உதவியுடன் மடக்கைகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய கற்றுக்கொள்வோம்.

வழங்கப்பட்ட அட்டவணை, 1,000 முதல் 9,999 வரையிலான எண்களின் தசம மடக்கைகளின் மதிப்புகளை (மூன்று தசம இடங்களுடன்) பத்தாயிரத்தில் ஒரு துல்லியத்துடன் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியும் கொள்கையை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். குறிப்பிட்ட உதாரணம்- அது அந்த வழியில் தெளிவாக உள்ளது. log1.256ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையின் இடது நெடுவரிசையில் 1.256 எண்ணின் முதல் இரண்டு இலக்கங்களைக் காண்கிறோம், அதாவது, 1.2 ஐக் காண்கிறோம் (இந்த எண் தெளிவுக்காக நீல நிறத்தில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). எண் 1.256 (இலக்க 5) இன் மூன்றாவது இலக்கமானது இரட்டைக் கோட்டின் இடதுபுறத்தில் முதல் அல்லது கடைசி வரியில் காணப்படுகிறது (இந்த எண் சிவப்பு நிறத்தில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). அசல் எண் 1.256 (இலக்க 6) இன் நான்காவது இலக்கமானது இரட்டைக் கோட்டின் வலதுபுறத்தில் முதல் அல்லது கடைசி வரியில் காணப்படுகிறது (இந்த எண் பச்சைக் கோடுடன் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). இப்போது குறிக்கப்பட்ட வரிசை மற்றும் குறிக்கப்பட்ட நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் மடக்கை அட்டவணையின் கலங்களில் எண்களைக் காண்கிறோம் (இந்த எண்கள் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளன ஆரஞ்சு) குறிக்கப்பட்ட எண்களின் கூட்டுத்தொகை நான்காவது தசம இடத்திற்கு துல்லியமான தசம மடக்கையின் விரும்பிய மதிப்பை அளிக்கிறது, அதாவது, பதிவு1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

மேலே உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தசம புள்ளிக்குப் பிறகு மூன்று இலக்கங்களுக்கு மேல் உள்ள எண்களின் தசம மடக்கைகளின் மதிப்புகளையும், 1 முதல் 9.999 வரையிலான வரம்பிற்கு அப்பால் செல்லும் எண்களையும் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? ஆம், உங்களால் முடியும். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்போம்.

lg102.76332 ஐ கணக்கிடுவோம். முதலில் நீங்கள் எழுத வேண்டும் நிலையான வடிவத்தில் எண்: 102.76332=1.0276332·10 2. இதற்குப் பிறகு, மாண்டிசாவை மூன்றாவது தசம இடத்திற்கு வட்டமிட வேண்டும், நம்மிடம் உள்ளது 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, அசல் தசம மடக்கையானது விளைந்த எண்ணின் மடக்கைக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் போது, ​​அதாவது, நாம் log102.76332≈lg1.028·10 2 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம். இப்போது நாம் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. இறுதியாக, தசம மடக்கைகள் lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 அட்டவணையில் இருந்து மடக்கை lg1.028 இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இதன் விளைவாக, மடக்கை கணக்கிடுவதற்கான முழு செயல்முறையும் இதுபோல் தெரிகிறது: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

முடிவில், தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த மடக்கையின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடலாம் என்பது கவனிக்கத்தக்கது. இதைச் செய்ய, தசம மடக்கைகளுக்குச் செல்ல, அவற்றின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் கண்டுபிடித்து, மீதமுள்ள கணக்கீடுகளைச் செய்ய, மாற்றம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 3 ஐக் கணக்கிடுவோம். மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின்படி, எங்களிடம் உள்ளது. தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து log3≈0.4771 மற்றும் log2≈0.3010ஐக் காணலாம். இவ்வாறு, .

குறிப்புகள்.

• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள், வரைபடம், வரையறையின் டொமைன், மதிப்புகளின் தொகுப்பு, அடிப்படை சூத்திரங்கள், வழித்தோன்றல், ஒருங்கிணைந்த, ஆற்றல் தொடர் விரிவாக்கம் மற்றும் சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி ln x செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை

இயற்கை மடக்கைசெயல்பாடு y = ln x, அதிவேகத்தின் தலைகீழ், x = e y, மற்றும் இது e எண்ணின் அடிப்பகுதிக்கான மடக்கையாகும்: ln x = பதிவு e x.

இயற்கை மடக்கை கணிதத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் வழித்தோன்றல் எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: (ln x)′ = 1/ x.

அடிப்படையில் வரையறைகள், இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை எண் ஆகும் இ:
இ ≅ 2.718281828459045...;
.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = ln x.

இயற்கை மடக்கையின் வரைபடம் (செயல்பாடுகள் y = ln x) அதிவேக வரைபடத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது கண்ணாடி படம் y = x நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடையது.

x மாறியின் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இயற்கை மடக்கை வரையறுக்கப்படுகிறது.

இது அதன் வரையறையின் களத்தில் ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது. 0 x → இல்

இயற்கை மடக்கையின் வரம்பு கழித்தல் முடிவிலி (-∞) ஆகும்.

x → + ∞ என, இயற்கை மடக்கையின் வரம்பு முடிவிலி (+ ∞) ஆகும். பெரிய xக்கு, மடக்கை மிகவும் மெதுவாக அதிகரிக்கிறது. நேர்மறை அடுக்கு a கொண்ட எந்த சக்தி செயல்பாடும் x a மடக்கை விட வேகமாக வளரும்.

இயற்கை மடக்கையின் பண்புகள்

இயற்கை மடக்கை என்பது ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடாகும், எனவே அதற்கு எக்ஸ்ட்ரீமா இல்லை. இயற்கை மடக்கையின் முக்கிய பண்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

ln x மதிப்புகள்

ln 1 = 0

இயற்கை மடக்கைகளுக்கான அடிப்படை சூத்திரங்கள்

தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து பின்வரும் சூத்திரங்கள்:

மடக்கைகளின் முக்கிய சொத்து மற்றும் அதன் விளைவுகள்

அடிப்படை மாற்று சூத்திரம்

அடிப்படை மாற்று சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எந்த மடக்கையும் இயற்கை மடக்கைகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்:

இந்த சூத்திரங்களின் சான்றுகள் "மடக்கை" பிரிவில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

தலைகீழ் செயல்பாடு

இயற்கை மடக்கையின் தலைகீழ் அடுக்கு அடுக்கு ஆகும்.

என்றால், பின்னர்

என்றால், பின்னர்.

வழித்தோன்றல் ln x

இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்:
.
மாடுலஸ் x இன் இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்:
.
n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்:
.
சூத்திரங்களைப் பெறுதல் >>>

ஒருங்கிணைந்த

ஒருங்கிணைந்த பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது:
.
எனவே,

சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்

சிக்கலான மாறி z இன் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
.
சிக்கலான மாறியை வெளிப்படுத்துவோம் zதொகுதி வழியாக ஆர்மற்றும் வாதம் φ :
.
மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, எங்களிடம் உள்ளது:
.
அல்லது
.
வாதம் φ தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படவில்லை. போட்டால்
, n என்பது ஒரு முழு எண்,
வெவ்வேறு nக்கு ஒரே எண்ணாக இருக்கும்.

எனவே, இயற்கை மடக்கை, ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடாக, ஒற்றை மதிப்புடைய செயல்பாடு அல்ல.

சக்தி தொடர் விரிவாக்கம்

விரிவாக்கம் நடைபெறும் போது:

பயன்படுத்திய இலக்கியம்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009.

வழிமுறைகள்

கொடுக்கப்பட்டதை எழுதுங்கள் மடக்கை வெளிப்பாடு. வெளிப்பாடு 10 இன் மடக்கையைப் பயன்படுத்தினால், அதன் குறியீடு சுருக்கப்பட்டு இது போல் தெரிகிறது: lg b என்பது தசம மடக்கை. மடக்கை அதன் அடிப்படையாக e எண்ணைக் கொண்டிருந்தால், வெளிப்பாட்டை எழுதவும்: ln b - இயற்கை மடக்கை. எதன் விளைவு என்பது b எண்ணைப் பெறுவதற்கு அடிப்படை எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி என்று புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியும் போது, ​​அவற்றை ஒவ்வொன்றாக வேறுபடுத்தி முடிவுகளைச் சேர்க்க வேண்டும்: (u+v)" = u"+v";

இரண்டு சார்புகளின் பெருக்கத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது, ​​முதல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை இரண்டால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் இரண்டாவது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை முதல் செயல்பாட்டால் பெருக்க வேண்டும்: (u*v)" = u"*v +v"*u;

இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, ஈவுத்தொகையின் வழித்தோன்றலின் விளைபொருளில் இருந்து வகுக்கும் செயல்பாட்டால் பெருக்கப்படும் ஈவுத்தொகையின் வழித்தோன்றலின் பெருக்கத்தை டிவிடெண்டின் செயல்பாட்டால் பெருக்கி, வகுத்தல் அவசியம். இவை அனைத்தும் வகுப்பி செயல்பாட்டின் மூலம். (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

சிக்கலான செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், அகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வெளிப்புறத்தின் வழித்தோன்றலைப் பெருக்குவது அவசியம். y=u(v(x)), பின்னர் y"(x)=y"(u)*v"(x) என்று விடுங்கள்.

மேலே பெறப்பட்ட முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எந்த செயல்பாட்டையும் வேறுபடுத்தலாம். எனவே சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்களும் உள்ளன. y=e^(x^2+6x+5) சார்பு கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், நீங்கள் செயல்பாட்டின் மதிப்பை x=1 புள்ளியில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
1) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும் y"(1)=8*e^0=8

தலைப்பில் வீடியோ

பயனுள்ள ஆலோசனை

அடிப்படை வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள். இது கணிசமாக நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.

ஆதாரங்கள்:

• மாறிலியின் வழித்தோன்றல்

எனவே, பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டிற்கும் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கும் என்ன வித்தியாசம்? தெரியாத மாறி குறியின் கீழ் இருந்தால் சதுர வேர், பின்னர் சமன்பாடு பகுத்தறிவற்றதாகக் கருதப்படுகிறது.

வழிமுறைகள்

இத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறை இரு பக்கங்களையும் கட்டமைக்கும் முறையாகும் சமன்பாடுகள்ஒரு சதுரத்திற்குள். எனினும். இது இயற்கையானது, நீங்கள் முதலில் செய்ய வேண்டியது அடையாளத்தை அகற்றுவதுதான். இந்த முறை தொழில்நுட்ப ரீதியாக கடினம் அல்ல, ஆனால் சில நேரங்களில் அது சிக்கலுக்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு v(2x-5)=v(4x-7) ஆகும். இருபுறமும் சதுரப்படுத்தினால் 2x-5=4x-7 கிடைக்கும். அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல; x=1. ஆனால் எண் 1 கொடுக்கப்படாது சமன்பாடுகள். ஏன்? x இன் மதிப்புக்கு பதிலாக ஒன்றை சமன்பாட்டில் மாற்றவும், மேலும் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் அர்த்தமில்லாத வெளிப்பாடுகள் இருக்கும், அதாவது. இந்த மதிப்பு ஒரு வர்க்க மூலத்திற்கு செல்லுபடியாகாது. எனவே, 1 என்பது ஒரு புறம்பான வேர், எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

எனவே, ஒரு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு அதன் இருபுறமும் ஸ்கொயர் செய்யும் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, வெளிப்புற வேர்களை துண்டிக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்.

இன்னொன்றைக் கவனியுங்கள்.
2х+vx-3=0
நிச்சயமாக, இந்த சமன்பாட்டை முந்தைய சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். கலவைகளை நகர்த்தவும் சமன்பாடுகள், சதுர வேர் இல்லாத, வலது பக்கம், பின்னர் ஸ்கொயர் முறையைப் பயன்படுத்தவும். இதன் விளைவாக வரும் பகுத்தறிவு சமன்பாடு மற்றும் வேர்களை தீர்க்கவும். ஆனால் மற்றொன்று, மிகவும் நேர்த்தியான ஒன்று. புதிய மாறியை உள்ளிடவும்; vх=y. அதன்படி, நீங்கள் 2y2+y-3=0 என்ற படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். அதாவது வழக்கம் இருபடி சமன்பாடு. அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடி; y1=1 மற்றும் y2=-3/2. அடுத்து, இரண்டைத் தீர்க்கவும் சமன்பாடுகள் vх=1; vх=-3/2. இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை; வேர்களை சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள்.

அடையாளங்களைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிது. இதைச் செய்ய, நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்கை அடையும் வரை ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம். இவ்வாறு, எளிய எண்கணித செயல்பாடுகளின் உதவியுடன், கையில் உள்ள பணி தீர்க்கப்படும்.

உங்களுக்கு தேவைப்படும்

• - காகிதம்;
• - பேனா.

வழிமுறைகள்

இத்தகைய மாற்றங்களில் எளிமையானது இயற்கணித சுருக்கப் பெருக்கல்கள் (தொகையின் வர்க்கம் (வேறுபாடு), சதுரங்களின் வேறுபாடு, கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு), தொகையின் கன சதுரம் (வேறுபாடு) போன்றவை). கூடுதலாக, பல மற்றும் உள்ளன முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், இவை அடிப்படையில் ஒரே அடையாளங்கள்.

உண்மையில், இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமானது முதல் வகுப்பின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக உள்ளது. முதல் கூட்டல் இரண்டின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு மற்றும் இரண்டின் வர்க்கத்தைக் கூட்டல், அதாவது (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

இரண்டையும் எளிமையாக்குங்கள்

தீர்வுக்கான பொதுவான கொள்கைகள்

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ன என்பதை கணித பகுப்பாய்வு அல்லது உயர் கணிதம் பற்றிய பாடப்புத்தகத்திலிருந்து மீண்டும் செய்யவும். அறியப்பட்டபடி, ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான தீர்வு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு ஒருங்கிணைப்பைக் கொடுக்கும். இந்த செயல்பாடுஆன்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த கொள்கையின் அடிப்படையில், முக்கிய ஒருங்கிணைப்புகள் கட்டப்பட்டுள்ளன.
இந்த வழக்கில் எந்த அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு பொருத்தமானது என்பதை ஒருங்கிணைப்பின் வகை மூலம் தீர்மானிக்கவும். இதை உடனடியாக தீர்மானிக்க எப்போதும் சாத்தியமில்லை. பெரும்பாலும், அட்டவணை வடிவம் ஒருங்கிணைப்பை எளிமைப்படுத்த பல மாற்றங்களுக்குப் பிறகு மட்டுமே கவனிக்கப்படுகிறது.

மாறி மாற்று முறை

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு என்றால் முக்கோணவியல் செயல்பாடு, யாருடைய வாதத்தில் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன, பின்னர் மாறி மாற்று முறையைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும். இதைச் செய்ய, ஒருங்கிணைப்பின் வாதத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையை சில புதிய மாறிகளுடன் மாற்றவும். புதிய மற்றும் பழைய மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவின் அடிப்படையில், ஒருங்கிணைப்பின் புதிய வரம்புகளைத் தீர்மானிக்கவும். இந்த வெளிப்பாட்டை வேறுபடுத்துவதன் மூலம், இல் புதிய வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும். எனவே நீங்கள் பெறுவீர்கள் புதிய தோற்றம்முந்தைய ஒருங்கிணைந்த, எந்த அட்டவணை ஒன்றுக்கு அருகில் அல்லது தொடர்புடையது.

இரண்டாவது வகையான ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பது

ஒருங்கிணைப்பானது இரண்டாவது வகையின் ஒருங்கிணைப்பாக இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பின் திசையன் வடிவமாக இருந்தால், இந்த ஒருங்கிணைப்புகளிலிருந்து அளவிடக்கூடியவற்றிற்கு மாறுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். அத்தகைய விதிகளில் ஒன்று ஆஸ்ட்ரோகிராட்ஸ்கி-காஸ் உறவு. இந்த சட்டம்கொடுக்கப்பட்ட திசையன் புலத்தின் வேறுபாட்டின் மீது சில திசையன் செயல்பாட்டின் ரோட்டார் ஃப்ளக்ஸில் இருந்து மூன்று ஒருங்கிணைப்புக்கு செல்ல உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளின் மாற்றீடு

ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடித்த பிறகு, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மாற்றுவது அவசியம். முதலில், மேல் வரம்பின் மதிப்பை ஆன்டிடெரிவேடிவ்க்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றவும். உங்களுக்கு சில எண் கிடைக்கும். அடுத்து, கீழ் வரம்பிலிருந்து பெறப்பட்ட மற்றொரு எண்ணை விளைந்த எண்ணிலிருந்து ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆகக் கழிக்கவும். ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளில் ஒன்று முடிவிலியாக இருந்தால், அதை ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டில் மாற்றும் போது, ​​வரம்புக்குச் சென்று வெளிப்பாடு எதை நோக்கி செல்கிறது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒருங்கிணைப்பானது இரு பரிமாணமாகவோ அல்லது முப்பரிமாணமாகவோ இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு மதிப்பிடுவது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வடிவியல் ரீதியாக நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும். உண்மையில், ஒரு முப்பரிமாண ஒருங்கிணைப்பின் விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட அளவைக் கட்டுப்படுத்தும் முழு விமானங்களாக இருக்கலாம்.