இருபடி சமன்பாடுகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019). இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, ரூட் சூத்திரம், எடுத்துக்காட்டுகள்

இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது இருபடிச் சமன்பாடுகள் அடிக்கடி தோன்றும். இந்தக் கட்டுரையில் இந்த சமத்துவங்களை ஒரு உலகளாவிய வழியில் "ஒரு பாகுபாடு மூலம்" எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பார்ப்போம். பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளும் கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

நாம் என்ன சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசுவோம்?

கீழே உள்ள படம் ஒரு சூத்திரத்தைக் காட்டுகிறது, இதில் x என்பது அறியப்படாத மாறி மற்றும் லத்தீன் குறியீடுகள் a, b, c சில அறியப்பட்ட எண்களைக் குறிக்கும்.

இந்த குறியீடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "a" என்ற எண் மாறி x ஸ்கொயர்டுக்கு முன் தோன்றும். இது பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் அதிகபட்ச சக்தியாகும், அதனால்தான் இது இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பிற பெயர் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது: இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடு. மதிப்பு a என்பது ஒரு சதுர குணகம் (மாறி வர்க்கத்துடன் நிற்கிறது), b என்பது ஒரு நேரியல் குணகம் (இது முதல் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட மாறிக்கு அடுத்தது), இறுதியாக, எண் c என்பது இலவச சொல்.

மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டின் வகை ஒரு பொதுவான கிளாசிக்கல் இருபடி வெளிப்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது தவிர, மற்ற இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள் உள்ளன, இதில் குணகங்கள் b மற்றும் c பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்.

கேள்விக்குரிய சமத்துவத்தைத் தீர்க்க பணி அமைக்கப்பட்டால், x மாறியின் அத்தகைய மதிப்புகள் அதைத் திருப்திப்படுத்தும் என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும் என்பதாகும். இங்கே, நீங்கள் முதலில் நினைவில் கொள்ள வேண்டியது பின்வரும் விஷயம்: X இன் அதிகபட்ச அளவு 2 என்பதால், இந்த வகை வெளிப்பாடு 2 க்கும் மேற்பட்ட தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க முடியாது. அதாவது, ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​அதை திருப்திப்படுத்தும் x இன் 2 மதிப்புகள் கண்டறியப்பட்டால், x க்கு மாற்றாக 3 வது எண் இல்லை என்பதை நீங்கள் உறுதியாக நம்பலாம், சமத்துவமும் உண்மையாக இருக்கும். கணிதத்தில் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் அதன் வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இந்த வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அவற்றைப் பற்றிய சில கோட்பாடுகளின் அறிவு தேவை. பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தில், 4 வெவ்வேறு தீர்வு முறைகள் கருதப்படுகின்றன. அவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

• காரணியாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல்;
• சரியான சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்;
• தொடர்புடைய இருபடி செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்;
• பாகுபாடு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல்.

முதல் முறையின் நன்மை அதன் எளிமை, இருப்பினும், அதை அனைத்து சமன்பாடுகளுக்கும் பயன்படுத்த முடியாது. இரண்டாவது முறை உலகளாவியது, ஆனால் சற்றே சிக்கலானது. மூன்றாவது முறை அதன் தெளிவு மூலம் வேறுபடுகிறது, ஆனால் அது எப்போதும் வசதியானது மற்றும் பொருந்தாது. இறுதியாக, பாரபட்சமான சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது எந்தவொரு இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய உலகளாவிய மற்றும் மிகவும் எளிமையான வழியாகும். எனவே, இந்த கட்டுரையில் நாம் அதை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவதற்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்திற்கு வருவோம். அதை எழுதுவோம்: a*x²+ b*x + c =0. "ஒரு பாகுபாடு மூலம்" தீர்க்கும் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், நீங்கள் எப்போதும் சமத்துவத்தை அதன் எழுத்து வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். அதாவது, இது மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் (அல்லது b அல்லது c என்றால் 0).

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வெளிப்பாடு இருந்தால்: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², நீங்கள் முதலில் அதன் அனைத்து விதிமுறைகளையும் சமத்துவத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தி, x மாறியைக் கொண்ட விதிமுறைகளைச் சேர்க்க வேண்டும். அதே அதிகாரங்கள்.

இந்த வழக்கில், இந்த செயல்பாடு பின்வரும் வெளிப்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும்: -6*x²-4*x+8=0, இது சமன்பாடு 6*x²+4*x-8=0 (இங்கு இடது மற்றும் சமத்துவத்தின் வலது பக்கங்கள் -1) .

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், a = 6, b=4, c=-8. பரிசீலனையில் உள்ள சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளும் எப்பொழுதும் ஒன்றாகச் சுருக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே "-" அடையாளம் தோன்றினால், இந்த வழக்கில் உள்ள எண்ணைப் போலவே தொடர்புடைய குணகம் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

இந்த புள்ளியை ஆராய்ந்த பின்னர், இப்போது சூத்திரத்திற்கு செல்வோம், இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. கீழே உள்ள புகைப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது போல் தெரிகிறது.

இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து பார்க்க முடிந்தால், இது இரண்டு வேர்களைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது ("±" அடையாளத்திற்கு கவனம் செலுத்துங்கள்). இதைச் செய்ய, b, c மற்றும் a ஆகிய குணகங்களை மாற்றினால் போதும்.

ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து

முந்தைய பத்தியில், இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டை விரைவாக தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரம் கொடுக்கப்பட்டது. அதில், தீவிர வெளிப்பாடு ஒரு பாரபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, D = b²-4*a*c.

சூத்திரத்தின் இந்த பகுதி ஏன் தனிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, ஏன் அதன் சொந்த பெயரைக் கொண்டுள்ளது? உண்மை என்னவென்றால், பாகுபாடு காண்பவர் சமன்பாட்டின் மூன்று குணகங்களையும் ஒரே வெளிப்பாடாக இணைக்கிறார். பிந்தைய உண்மை என்னவென்றால், இது வேர்களைப் பற்றிய தகவல்களை முழுமையாகக் கொண்டுள்ளது, இது பின்வரும் பட்டியலில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

1. D>0: சமத்துவம் 2 வெவ்வேறு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, இவை இரண்டும் உண்மையான எண்கள்.
2. D=0: சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது, அது ஒரு உண்மையான எண்.

பாரபட்சமான தீர்மானம் பணி

ஒரு பாகுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதற்கு ஒரு எளிய உதாரணம் தருவோம். பின்வரும் சமத்துவம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

அதை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம், நாம் பெறுவது: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, இதிலிருந்து நாம் சமத்துவத்திற்கு வருகிறோம். : -2*x² +2*x-11 = 0. இங்கே a=-2, b=2, c=-11.

இப்போது நீங்கள் பாகுபாட்டிற்கு மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. இதன் விளைவாக வரும் எண் பணிக்கான பதில். எடுத்துக்காட்டில் உள்ள பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருப்பதால், இந்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று கூறலாம். அதன் தீர்வு சிக்கலான வகை எண்கள் மட்டுமே.

ஒரு பாகுபாட்டின் மூலம் சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சற்று வித்தியாசமான வகையிலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்: சமத்துவம் -3*x²-6*x+c = 0. D>0க்கான c இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

இந்த வழக்கில், 3 குணகங்களில் 2 மட்டுமே அறியப்படுகிறது, எனவே பாகுபாட்டின் சரியான மதிப்பைக் கணக்கிட முடியாது, ஆனால் அது நேர்மறையானது என்று அறியப்படுகிறது. சமத்துவமின்மையை உருவாக்கும் போது கடைசி உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம்: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. விளைந்த சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது விளைவுக்கு வழிவகுக்கிறது: c>-3.

இதன் விளைவாக வரும் எண்ணைச் சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, 2 நிகழ்வுகளுக்கு D ஐ கணக்கிடுகிறோம்: c=-2 மற்றும் c=-4. எண் -2 பெறப்பட்ட முடிவை (-2>-3) திருப்திப்படுத்துகிறது, தொடர்புடைய பாகுபாடு மதிப்பு: D = 12>0. இதையொட்டி, எண் -4 சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யாது (-4. எனவே, -3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் எந்த எண்களும் c நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது மட்டுமல்லாமல், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதையும் உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலை முன்வைப்போம். சமத்துவத்திற்கான வேர்களைக் கண்டறிவது அவசியம் -2*x²+7-9*x = 0.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பாகுபாடு பின்வரும் மதிப்புக்கு சமம்: D = 81-4*(-2)*7= 137. பின்னர் சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: x = (9±√137)/(- 4) இவை வேர்களின் சரியான மதிப்புகள்;

வடிவியல் சிக்கல்

ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்போம், அது பாகுபாடுகளைக் கணக்கிடும் திறன் மட்டுமல்ல, சுருக்க சிந்தனை திறன் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு எழுதுவது என்பது பற்றிய அறிவு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது.

பாப் 5 x 4 மீட்டர் டூவெட் வைத்திருந்தார். சிறுவன் அதன் முழு சுற்றளவிலும் ஒரு தொடர்ச்சியான அழகிய துணியை தைக்க விரும்பினான். பாப்பில் 10 m² துணி உள்ளது என்று தெரிந்தால், இந்த துண்டு எவ்வளவு தடிமனாக இருக்கும்.

துண்டு x மீ தடிமன் இருக்கட்டும், பின்னர் போர்வையின் நீண்ட பக்கத்திலுள்ள துணியின் பரப்பளவு (5+2*x)*x ஆக இருக்கும், மேலும் 2 நீண்ட பக்கங்கள் இருப்பதால், நம்மிடம் உள்ளது: 2*x *(5+2*x). குறுகிய பக்கத்தில், தைக்கப்பட்ட துணியின் பரப்பளவு 4*x ஆக இருக்கும், இதில் 2 பக்கங்கள் இருப்பதால், 8*x மதிப்பைப் பெறுகிறோம். போர்வையின் நீளம் அந்த எண்ணால் அதிகரித்ததால் 2*x மதிப்பு நீண்ட பக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். போர்வையில் தைக்கப்பட்ட துணியின் மொத்த பரப்பளவு 10 m² ஆகும். எனவே, நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பாரபட்சம் இதற்கு சமம்: D = 18²-4*4*(-10) = 484. அதன் ரூட் 22. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, தேவையான வேர்களைக் காண்கிறோம்: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). வெளிப்படையாக, இரண்டு வேர்களில், 0.5 என்ற எண் மட்டுமே சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப பொருத்தமானது.

இதனால், பாப் தனது போர்வையில் தைக்கும் துணி துண்டு 50 செ.மீ அகலத்தில் இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாடு - தீர்க்க எளிதானது! *இனி "KU" என்று குறிப்பிடப்படுகிறது.நண்பர்களே, கணிதத்தில் இதுபோன்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதை விட எளிமையானது எதுவும் இருக்க முடியாது என்று தோன்றுகிறது. ஆனால் பலருக்கு அவரால் பிரச்சனைகள் இருப்பதாக ஏனோ என்னிடம் கூறினார். Yandex ஒரு மாதத்திற்கு எத்தனை ஆன்-டிமாண்ட் பதிவுகளை வழங்குகிறது என்பதைப் பார்க்க முடிவு செய்தேன். என்ன நடந்தது, பாருங்கள்:

அது என்ன அர்த்தம்? இதன் பொருள் ஒரு மாதத்திற்கு சுமார் 70,000 பேர் இந்தத் தகவலைத் தேடுகிறார்கள், இது கோடைக்காலம், பள்ளி ஆண்டில் என்ன நடக்கும் - இரண்டு மடங்கு கோரிக்கைகள் இருக்கும். இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு பள்ளியில் பட்டம் பெற்ற மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் தோழர்களும் சிறுமிகளும் இந்த தகவலைத் தேடுகிறார்கள், மேலும் பள்ளி மாணவர்களும் தங்கள் நினைவகத்தைப் புதுப்பிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள்.

இந்த சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று உங்களுக்குச் சொல்லும் தளங்கள் நிறைய உள்ளன என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், நான் பங்களிக்க மற்றும் உள்ளடக்கத்தை வெளியிட முடிவு செய்தேன். முதலாவதாக, இந்தக் கோரிக்கையின் அடிப்படையில் எனது தளத்திற்கு பார்வையாளர்கள் வருமாறு நான் விரும்புகிறேன்; இரண்டாவதாக, மற்ற கட்டுரைகளில், "KU" என்ற தலைப்பு வரும்போது, ​​இந்தக் கட்டுரைக்கான இணைப்பை நான் தருகிறேன்; மூன்றாவதாக, மற்ற தளங்களில் பொதுவாகக் கூறப்படுவதை விட அவருடைய தீர்வைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம் அதிகமாகச் சொல்கிறேன். தொடங்குவோம்!கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்:

இருபடிச் சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்:

குணகங்கள் a,பிமற்றும் c என்பது a≠0 உடன் தன்னிச்சையான எண்கள்.

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், பொருள் பின்வரும் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - சமன்பாடுகள் மூன்று வகுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

1. அவர்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

2. *ஒரே ஒரு ரூட் வேண்டும்.

3. அவர்களுக்கு வேர்கள் இல்லை. அவர்களுக்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்பது இங்கே குறிப்பாக கவனிக்கத்தக்கது

வேர்கள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகின்றன? வெறும்!

நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம். இந்த "பயங்கரமான" வார்த்தையின் கீழ் மிகவும் எளிமையான சூத்திரம் உள்ளது:

மூல சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு:

*இந்த சூத்திரங்களை நீங்கள் மனப்பாடமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

நீங்கள் உடனடியாக எழுதி தீர்க்கலாம்:

எடுத்துக்காட்டு:

1. D > 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2. D = 0 எனில், சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

3. டி என்றால்< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

இது சம்பந்தமாக, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​​​ஒரு ரூட் பெறப்பட்டதாக பள்ளி பாடநெறி கூறுகிறது, இங்கே அது ஒன்பதுக்கு சமம். எல்லாம் சரி, அது அப்படித்தான், ஆனால்...

இந்த யோசனை ஓரளவு தவறானது. உண்மையில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன. ஆமாம், ஆமாம், ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், நீங்கள் இரண்டு சமமான வேர்களைப் பெறுவீர்கள், மேலும் கணித ரீதியாக துல்லியமாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் பதில் இரண்டு வேர்களை எழுத வேண்டும்:

x 1 = 3 x 2 = 3

ஆனால் இது அப்படி - ஒரு சிறிய விலகல். பள்ளிக்கூடத்தில் எழுதி வைத்துவிட்டு ஒரு ரூட் என்று சொல்லலாம்.

இப்போது அடுத்த உதாரணம்:

நமக்குத் தெரியும், எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தை எடுக்க முடியாது, எனவே இந்த வழக்கில் தீர்வு இல்லை.

அதுதான் முழு முடிவு செயல்முறை.

இருபடி செயல்பாடு.

தீர்வு வடிவியல் ரீதியாக எப்படி இருக்கும் என்பதை இது காட்டுகிறது. இதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது (எதிர்காலத்தில், ஒரு கட்டுரையில் இருபடி சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வை விரிவாக ஆராய்வோம்).

இது படிவத்தின் செயல்பாடு:

இதில் x மற்றும் y ஆகியவை மாறிகள்

a, b, c – கொடுக்கப்பட்ட எண்கள், ≠ 0 உடன்

வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும்:

அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான “y” உடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், x அச்சுடன் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த புள்ளிகளில் இரண்டு இருக்கலாம் (பாகுபாடு நேர்மறை), ஒன்று (பாகுபாடு பூஜ்யம்) மற்றும் எதுவும் இல்லை (பாகுபாடு எதிர்மறை). இருபடி செயல்பாடு பற்றிய விவரங்கள் நீங்கள் பார்க்கலாம்இன்னா ஃபெல்ட்மேனின் கட்டுரை.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1: தீர்க்கவும் 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

பதில்: x 1 = 8 x 2 = –12

* சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை உடனடியாக 2 ஆல் வகுக்க முடியும், அதாவது அதை எளிதாக்குங்கள். கணக்கீடுகள் எளிதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: முடிவு செய்யுங்கள் x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 மற்றும் x 2 = 11 என்பதைக் கண்டறிந்தோம்

பதிலில் x = 11 என்று எழுத அனுமதி உண்டு.

பதில்: x = 11

எடுத்துக்காட்டு 3: முடிவு செய்யுங்கள் x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, உண்மையான எண்களில் தீர்வு இல்லை.

பதில்: தீர்வு இல்லை

பாகுபாடு எதிர்மறையானது. ஒரு தீர்வு இருக்கிறது!

எதிர்மறையான பாகுபாடு கிடைக்கும்போது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பற்றி இங்கே பேசுவோம். சிக்கலான எண்களைப் பற்றி உங்களுக்கு ஏதாவது தெரியுமா? அவை ஏன், எங்கு எழுந்தன, கணிதத்தில் அவற்றின் குறிப்பிட்ட பங்கு மற்றும் தேவை என்ன என்பதைப் பற்றி நான் இங்கு விரிவாகப் பேசமாட்டேன்.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் கருத்து.

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

ஒரு கலப்பு எண் z என்பது படிவத்தின் எண்ணாகும்

z = a + bi

இதில் a மற்றும் b உண்மையான எண்கள், i என்பது கற்பனை அலகு எனப்படும்.

a+bi – இது ஒற்றை எண், கூடுதலாக அல்ல.

கற்பனை அலகு கழித்தல் ஒன்றின் மூலத்திற்கு சமம்:

இப்போது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

நாம் இரண்டு இணை வேர்களைப் பெறுகிறோம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு.

சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது "b" அல்லது "c" குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (அல்லது இரண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). எந்த பாகுபாடும் இல்லாமல் அவற்றை எளிதில் தீர்க்க முடியும்.

வழக்கு 1. குணகம் b = 0.

சமன்பாடு ஆகிறது:

மாற்றுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

வழக்கு 2. குணகம் c = 0.

சமன்பாடு ஆகிறது:

மாற்றுவோம் மற்றும் காரணியாக்குவோம்:

*குறைந்தது ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 அல்லது x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

வழக்கு 3. குணகங்கள் b = 0 மற்றும் c = 0.

சமன்பாட்டின் தீர்வு எப்போதும் x = 0 ஆக இருக்கும் என்பது இங்கே தெளிவாகிறது.

குணகங்களின் பயனுள்ள பண்புகள் மற்றும் வடிவங்கள்.

பெரிய குணகங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் பண்புகள் உள்ளன.

ஏx 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

அ + பி+ c = 0,என்று

- சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கு என்றால் ஏx 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

அ+ கள் =பி, என்று

இந்த பண்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சமன்பாட்டை தீர்க்க உதவுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

முரண்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, அதாவது

எடுத்துக்காட்டு 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

சமத்துவம் நிலைத்திருக்கும் அ+ கள் =பி, பொருள்

குணகங்களின் ஒழுங்குமுறைகள்.

1. கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 +1) க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் “c” குணகம் எண் ரீதியாக “a” க்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

உதாரணம். 6x 2 + 37x + 6 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. கோடாரி 2 – bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 +1) க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் “c” குணகம் எண் ரீதியாக “a” குணகத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

உதாரணம். 15x 2 –226x +15 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. சமன்பாட்டில் இருந்தால். ax 2 + bx – c = 0 குணகம் “b” சமம் (a 2 - 1), மற்றும் குணகம் "சி" குணகம் "a" க்கு எண்ணியல் சமம், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

உதாரணம். 17x 2 +288x – 17 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. கோடாரி 2 – bx – c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 – 1) க்கு சமமாக இருந்தால், c குணகம் எண் ரீதியாக “a” குணகத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

உதாரணம். 10x 2 – 99x –10 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

வியட்டாவின் தேற்றம்.

வியட்டாவின் தேற்றம் புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபிராங்கோயிஸ் வியட்டாவின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தன்னிச்சையான KU இன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனை அதன் குணகங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

மொத்தத்தில், எண் 14 5 மற்றும் 9 ஐ மட்டுமே தருகிறது. இவை வேர்கள். ஒரு குறிப்பிட்ட திறமையுடன், வழங்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பல இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக உடனடியாக தீர்க்கலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றம், கூடுதலாக. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை வழக்கமான வழியில் (ஒரு பாகுபாடு மூலம்) தீர்த்த பிறகு, இதன் விளைவாக வரும் வேர்களை சரிபார்க்கலாம். இதை எப்போதும் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

போக்குவரத்து முறை

இந்த முறையின் மூலம், குணகம் "a" இலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அது "எறிந்தது" போல் உள்ளது, அதனால்தான் இது அழைக்கப்படுகிறது. "பரிமாற்றம்" முறை.வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களை நீங்கள் எளிதாகக் கண்டறியும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் மிக முக்கியமாக, பாகுபாடு ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும் போது.

என்றால் ஏ± b+c≠ 0, பின்னர் பரிமாற்ற நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

2எக்ஸ் 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => எக்ஸ் 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

சமன்பாட்டில் (2) வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, x 1 = 10 x 2 = 1 என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது

சமன்பாட்டின் விளைவாக வரும் வேர்களை 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும் (இரண்டும் x 2 இலிருந்து "எறியப்பட்டதால்"), நாம் பெறுகிறோம்

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

பகுத்தறிவு என்ன? என்ன நடக்கிறது என்று பாருங்கள்.

சமன்பாடுகளின் பாகுபாடுகள் (1) மற்றும் (2) சமம்:

நீங்கள் சமன்பாடுகளின் வேர்களைப் பார்த்தால், நீங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளை மட்டுமே பெறுவீர்கள், இதன் விளைவாக துல்லியமாக x 2 இன் குணகத்தைப் பொறுத்தது:

இரண்டாவது (மாற்றியமைக்கப்பட்ட) ஒன்று 2 மடங்கு பெரிய வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, முடிவை 2 ஆல் வகுக்கிறோம்.

*மூன்றையும் ரீரோல் செய்தால், முடிவை 3ஆல் வகுப்போம்.

பதில்: x 1 = 5 x 2 = 0.5

சதுர. ur-ie மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு.

அதன் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி நான் உங்களுக்குச் சுருக்கமாகச் சொல்கிறேன் - நீங்கள் விரைவாகவும் சிந்திக்காமலும் முடிவெடுக்க முடியும், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளின் சூத்திரங்களை இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு பணிகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பல சிக்கல்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் வருகின்றன (வடிவவியல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது).

கவனிக்க வேண்டிய ஒன்று!

1. சமன்பாட்டை எழுதும் வடிவம் "மறைமுகமாக" இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நுழைவு சாத்தியமாகும்:

15+ 9x 2 - 45x = 0 அல்லது 15x+42+9x 2 - 45x=0 அல்லது 15 -5x+10x 2 = 0.

நீங்கள் அதை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும் (தீர்க்கும் போது குழப்பமடையாமல் இருக்க).

2. x என்பது அறியப்படாத அளவு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், மேலும் இது வேறு எந்த எழுத்தாலும் குறிக்கப்படலாம் - t, q, p, h மற்றும் பிற.

நாங்கள் தலைப்பை தொடர்ந்து படிக்கிறோம் " சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" நாம் ஏற்கனவே நேரியல் சமன்பாடுகளுடன் பழகியுள்ளோம், மேலும் பழகுவதற்கு நகர்கிறோம் இருபடி சமன்பாடுகள்.

முதலில், இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு பொதுவான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்த்து, தொடர்புடைய வரையறைகளை வழங்குவோம். இதற்குப் பிறகு, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை விரிவாக ஆராய எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்துவோம். அடுத்து, முழுமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்வோம், ரூட் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம், இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைப் பற்றி அறிந்துகொள்வோம், மேலும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இறுதியாக, வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான இணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அவற்றின் வகைகள்

முதலில் நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறை மற்றும் தொடர்புடைய வரையறைகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைப் பற்றிய உரையாடலைத் தொடங்குவது தர்க்கரீதியானது. இதற்குப் பிறகு, இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகளை நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம்: குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத, அத்துடன் முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற சமன்பாடுகள்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் a x 2 +b x+c=0, x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள், மற்றும் a என்பது பூஜ்ஜியம் அல்ல.

இருபடி சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று இப்போதே சொல்லலாம். இருபடி சமன்பாடு என்பது இதற்குக் காரணம் இயற்கணித சமன்பாடுஇரண்டாம் பட்டம்.

கூறப்பட்ட வரையறை இருபடி சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை கொடுக்க அனுமதிக்கிறது. எனவே 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, முதலியன. இவை இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.

எண்கள் a, b மற்றும் c என்று அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் a·x 2 +b·x+c=0, மற்றும் குணகம் a என்பது முதல், அல்லது உயர்ந்தது, அல்லது x 2 இன் குணகம், b என்பது இரண்டாவது குணகம் அல்லது x இன் குணகம், மற்றும் c என்பது இலவசச் சொல் .

எடுத்துக்காட்டாக, 5 x 2 -2 x -3=0 படிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம், இங்கே முன்னணி குணகம் 5, இரண்டாவது குணகம் −2 க்கு சமம், மற்றும் இலவச சொல் −3 க்கு சமம். குணகங்கள் b மற்றும்/அல்லது c எதிர்மறையாக இருக்கும்போது, ​​இப்போது கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், இருபடிச் சமன்பாட்டின் குறுகிய வடிவம் 5 x 2 +(−2 ) ஐ விட 5 x 2 -2 x−3=0 . ·x+(−3)=0 .

குணகங்கள் a மற்றும்/அல்லது b 1 அல்லது −1 க்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​அவை பொதுவாக இருபடி சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாக இருக்காது, இது எழுதும் தனித்தன்மையின் காரணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டில் y 2 -y+3=0 முன்னணி குணகம் ஒன்று, மற்றும் y இன் குணகம் −1க்கு சமம்.

குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள்

முன்னணி குணகத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்து, குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

முன்னணி குணகம் 1 ஆக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. இல்லையெனில் இருபடி சமன்பாடு ஆகும் தீண்டப்படாத.

இந்த வரையறையின்படி, இருபடிச் சமன்பாடுகள் x 2 -3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, முதலியன. - கொடுக்கப்பட்டால், அவை ஒவ்வொன்றிலும் முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். A 5 x 2 -x−1=0, முதலியன. - குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள், அவற்றின் முன்னணி குணகங்கள் 1 இலிருந்து வேறுபட்டவை.

எந்த குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து, இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகத்தால் பிரிப்பதன் மூலம், நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு செல்லலாம். இந்த செயல் ஒரு சமமான மாற்றமாகும், அதாவது, இந்த வழியில் பெறப்பட்ட குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு அசல் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டின் அதே வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது, அதைப் போலவே, வேர்கள் இல்லை.

குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாறுவது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

3 x 2 +12 x−7=0 சமன்பாட்டிலிருந்து, தொடர்புடைய குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லவும்.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகம் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், இது பூஜ்ஜியமற்றது, எனவே இந்த செயலைச் செய்யலாம். எங்களிடம் உள்ளது (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, இது ஒன்றுதான், (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, பின்னர் (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, எங்கிருந்து . இப்படித்தான் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெற்றோம், இது அசல் ஒன்றிற்குச் சமமானதாகும்.

பதில்:

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறை a≠0 என்ற நிபந்தனையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நிலை அவசியம் எனவே a x 2 + b x + c = 0 சமன்பாடு இருபடியாக இருக்கும், ஏனெனில் a = 0 ஆனது உண்மையில் b x + c = 0 வடிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்.

b மற்றும் c குணகங்களைப் பொறுத்தவரை, அவை தனித்தனியாகவும் ஒன்றாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடு a x 2 +b x+c=0 அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்றது, b, c குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.

இதையொட்டி

வரையறை.

முழு இருபடி சமன்பாடுஅனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

அத்தகைய பெயர்கள் தற்செயலாக கொடுக்கப்படவில்லை. இது பின்வரும் விவாதங்களில் இருந்து தெளிவாகும்.

குணகம் b பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +0·x+c=0 வடிவத்தை எடுக்கும், மேலும் அது a·x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம். c=0, அதாவது, இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x+0=0 வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதை a·x 2 +b·x=0 என மீண்டும் எழுதலாம். மேலும் b=0 மற்றும் c=0 உடன் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 =0 கிடைக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகள் முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் இடது பக்கங்களில் x மாறியுடன் ஒரு சொல் அல்லது ஒரு இலவச சொல் அல்லது இரண்டும் இல்லை. எனவே அவற்றின் பெயர் - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +x+1=0 மற்றும் −2 x 2 -5 x+0.2=0 ஆகியவை முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், மேலும் x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முந்தைய பத்தியில் உள்ள தகவலில் இருந்து அது உள்ளது மூன்று வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்:

• a·x 2 =0, குணகங்கள் b=0 மற்றும் c=0 அதை ஒத்திருக்கும்;
• a x 2 +c=0 போது b=0 ;
• மற்றும் a·x 2 +b·x=0 போது c=0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை வரிசையாக ஆராய்வோம்.

ஒரு x 2 =0

b மற்றும் c குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் தொடங்குவோம், அதாவது a x 2 =0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுடன். சமன்பாடு a·x 2 =0 என்பது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, இது இரு பகுதிகளையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுத்து மூலத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, x 2 =0 சமன்பாட்டின் வேர் பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் 0 2 =0. இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, இது எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணிற்கும் p 2 >0 சமத்துவமின்மையால் விளக்கப்படுகிறது, அதாவது p≠0 க்கு p 2 =0 என்ற சமத்துவம் ஒருபோதும் அடையப்படாது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 =0 ஆனது x=0 என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு −4 x 2 =0 தீர்வைக் கொடுக்கிறோம். இது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு சமம், அதன் ஒரே ரூட் x=0, எனவே, அசல் சமன்பாடு ஒற்றை வேர் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த வழக்கில் ஒரு குறுகிய தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

குணகம் b பூஜ்ஜியம் மற்றும் c≠0, அதாவது a x 2 +c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளில் உள்ள முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றொரு பக்கத்திற்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை நகர்த்துவதும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுப்பதும் சமமான சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, ஒரு x 2 +c=0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்யலாம்:

• c ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும், இது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு x 2 =-c,
• மற்றும் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும் .

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அதன் வேர்களைப் பற்றிய முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. a மற்றும் c இன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (உதாரணமாக, a=1 மற்றும் c=2 எனில், பின்னர் ) அல்லது நேர்மறை (உதாரணமாக, a=−2 மற்றும் c=6 எனில், பின்னர் ), இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது, ஏனெனில் நிபந்தனை c≠0. வழக்குகளைத் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மில்லாத எண் என்பதிலிருந்து இந்த அறிக்கை பின்பற்றப்படுகிறது. இதிலிருந்து எப்பொழுது , பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் p சமத்துவம் உண்மையாக இருக்க முடியாது.

என்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் நிலைமை வேறுபட்டது. இந்த வழக்கில், நாம் பற்றி நினைவில் வைத்திருந்தால், சமன்பாட்டின் வேர் உடனடியாகத் தெளிவாகிறது, அது எண். எண் சமன்பாட்டின் மூலமும் கூட என்று யூகிக்க எளிதானது. இந்த சமன்பாட்டில் வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முரண்பாட்டால் காட்டப்படலாம். இதைச் செய்வோம்.

இப்போது x 1 மற்றும் −x 1 என அறிவிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்போம். சமன்பாட்டில் மேலும் ஒரு ரூட் x 2 உள்ளது, இது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வேர்கள் x 1 மற்றும் −x 1 ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். x க்கு பதிலாக அதன் வேர்களை ஒரு சமன்பாட்டில் மாற்றுவது சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. x 1 மற்றும் −x 1 க்கு நம்மிடம் உள்ளது, x 2 க்கு நம்மிடம் உள்ளது. எண் சமத்துவங்களின் பண்புகள் சரியான எண் சமத்துவங்களின் கால-படி-கால கழிப்பைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன, எனவே சமத்துவங்களின் தொடர்புடைய பகுதிகளைக் கழித்தால் x 1 2 -x 2 2 =0 கிடைக்கும். எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகள், விளைவான சமத்துவத்தை (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 என மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கிறது. இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. எனவே, விளைவான சமத்துவத்திலிருந்து x 1 -x 2 =0 மற்றும்/அல்லது x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 மற்றும்/அல்லது x 2 =−x 1. x 2 சமன்பாட்டின் வேர் x 1 மற்றும் −x 1 இலிருந்து வேறுபட்டது என்று ஆரம்பத்தில் சொன்னதால், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்தோம். சமன்பாட்டிற்கு மற்றும் தவிர வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம். முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம்

• வேர்கள் இல்லை என்றால்,
• இரண்டு வேர்கள் மற்றும் , என்றால் .

a·x 2 +c=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 +7=0 உடன் ஆரம்பிக்கலாம். சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு இலவச காலத்தை நகர்த்திய பிறகு, அது 9 x 2 =−7 வடிவத்தை எடுக்கும். விளைந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 9 ஆல் வகுத்தால், நாம் வருகிறோம். வலது பக்கம் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு 9 x 2 +7 = 0 க்கு வேர்கள் இல்லை.

மற்றொரு முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் -x 2 +9=0. நாம் ஒன்பதை வலது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம்: −x 2 =-9. இப்போது இரண்டு பக்கங்களையும் −1 ஆல் வகுத்தால், x 2 =9 கிடைக்கும். வலது பக்கத்தில் ஒரு நேர்மறை எண் உள்ளது, அதில் இருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் அல்லது . பின்னர் நாம் இறுதிப் பதிலை எழுதுகிறோம்: முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு -x 2 +9=0 x=3 அல்லது x=−3 என்ற இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

a x 2 +b x=0

c=0 க்கான முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கடைசி வகையின் தீர்வைக் கையாள இது உள்ளது. a x 2 + b x = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் உங்களை தீர்க்க அனுமதிக்கிறது காரணியாக்கல் முறை. வெளிப்படையாக, நாம் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது, இதற்கு அடைப்புக்குறிக்குள் x என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். இது அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து x·(a·x+b)=0 வடிவத்தின் சமமான சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல அனுமதிக்கிறது. மேலும் இந்த சமன்பாடு x=0 மற்றும் a·x+b=0 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது, இவற்றின் பிந்தையது நேரியல் மற்றும் x=−b/a வேர் கொண்டது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x=0 x=0 மற்றும் x=−b/a ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கான தீர்வை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

அடைப்புக்குறிக்குள் xஐ எடுத்தால் சமன்பாடு கிடைக்கும். இது x=0 மற்றும் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்குச் சமம். இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: , மற்றும் கலப்பு எண்ணை ஒரு சாதாரண பின்னத்தால் வகுப்பதன் மூலம், நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=0 மற்றும் .

தேவையான பயிற்சியைப் பெற்ற பிறகு, அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை சுருக்கமாக எழுதலாம்:

பதில்:

x=0, .

பாகுபாடு, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, ஒரு ரூட் சூத்திரம் உள்ளது. அதை எழுதுவோம் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்: , எங்கே D=b 2 −4 a c- என்று அழைக்கப்படும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு. நுழைவு என்பது அடிப்படையில் அதைக் குறிக்கிறது.

மூல சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் அது எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை அறிவது பயனுள்ளது. இதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இருபடி சமன்பாட்டை a·x 2 +b·x+c=0 தீர்க்க வேண்டும். சில சமமான மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

• இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுக்க முடியும், இதன் விளைவாக பின்வரும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கும்.
• இப்போது ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்அதன் இடது பக்கத்தில்: . இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்.
• இந்த கட்டத்தில், கடைசி இரண்டு சொற்களை எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கத்திற்கு மாற்ற முடியும், எங்களிடம் உள்ளது .
• மேலும் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: .

இதன் விளைவாக, அசல் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 +b·x+c=0 க்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டை நாம் வந்தடைகிறோம்.

நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்த போது, ​​முந்தைய பத்திகளில் இதே போன்ற சமன்பாடுகளை தீர்த்துள்ளோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் குறித்து பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க இது அனுமதிக்கிறது:

• என்றால், சமன்பாட்டில் உண்மையான தீர்வுகள் இல்லை;
• என்றால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது, எனவே, அதன் ஒரே வேர் தெரியும்;
• என்றால் , பின்னர் அல்லது , இது அதே அல்லது , அதாவது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை, எனவே அசல் இருபடி சமன்பாடு, வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது. இதையொட்டி, இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம், 4·a 2 என்ற வகுத்தல் எப்போதும் நேர்மறையாக இருப்பதால், அதாவது, b 2 −4·a·c என்ற வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு b 2 -4 a c என அழைக்கப்பட்டது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடுமற்றும் கடிதத்தால் நியமிக்கப்பட்டது டி. இங்கிருந்து பாகுபாடு காண்பவரின் சாராம்சம் தெளிவாக உள்ளது - அதன் மதிப்பு மற்றும் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் உள்ளதா என்பதை அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள், அப்படியானால், அவற்றின் எண் என்ன - ஒன்று அல்லது இரண்டு.

சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி அதை மீண்டும் எழுதுவோம்: . மற்றும் நாங்கள் முடிவுகளை எடுக்கிறோம்:

• டி என்றால்<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 எனில், இந்தச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது;
• இறுதியாக, D>0 எனில், சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன அல்லது அவை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம் அல்லது, விரிவடைந்து பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம்.

எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களை நாங்கள் பெற்றோம், அவை , பாகுபாடு D என்பது D=b 2 −4·a·c என்ற சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படும்.

அவர்களின் உதவியுடன், நேர்மறை பாகுபாடுடன், இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​இரு சூத்திரங்களும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் தனித்துவமான தீர்வுக்கு ஒத்த மூலத்தின் ஒரே மதிப்பைக் கொடுக்கும். எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கும்போது, ​​எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதை எதிர்கொள்கிறோம், இது பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் எல்லைக்கு அப்பால் நம்மை அழைத்துச் செல்கிறது. எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், இருபடிச் சமன்பாட்டில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஆனால் ஒரு ஜோடி உள்ளது சிக்கலான இணைப்புவேர்கள், நாம் பெற்ற அதே ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

நடைமுறையில், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட ரூட் சூத்திரத்தை உடனடியாகப் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் இது சிக்கலான வேர்களைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடையது.

இருப்பினும், ஒரு பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில் நாம் பொதுவாக சிக்கலானது பற்றி அல்ல, ஆனால் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைப் பற்றி பேசுகிறோம். இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், முதலில் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது நல்லது, அது எதிர்மறையானது அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் (இல்லையெனில், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்), பின்னர் மட்டுமே வேர்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

மேலே உள்ள தர்க்கம் நம்மை எழுத அனுமதிக்கிறது இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை. இருபடி சமன்பாட்டை a x 2 +b x+c=0 தீர்க்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

• D=b 2 −4·a·c என்ற பாகுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்;
• பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று முடிவு செய்யுங்கள்;
• D=0 என்றால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள்;
• பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை இங்கே நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நீங்கள் செல்லலாம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

நேர்மறை, எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜிய பாகுபாடு கொண்ட மூன்று இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றின் தீர்வைக் கையாள்வதன் மூலம், ஒப்புமை மூலம் வேறு எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். ஆரம்பிக்கலாம்.

உதாரணம்.

x 2 +2·x−6=0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இந்த வழக்கில், இருபடி சமன்பாட்டின் பின்வரும் குணகங்கள் உள்ளன: a=1, b=2 மற்றும் c=−6. அல்காரிதத்தின் படி, நீங்கள் முதலில் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட a, b மற்றும் c ஐ பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 என்பதால், அதாவது, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, இருபடி சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம், இங்கே நீங்கள் செய்வதன் மூலம் விளைந்த வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மூல அடையாளத்திற்கு அப்பால் பெருக்கியை நகர்த்துகிறதுபின்னத்தின் குறைப்பு தொடர்ந்து:

பதில்:

அடுத்த பொதுவான உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்.

உதாரணம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் -4 x 2 +28 x−49=0 .

தீர்வு.

பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் நாங்கள் தொடங்குகிறோம்: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் , அதாவது,

பதில்:

x=3.5.

எதிர்மறையான பாகுபாட்டுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணம்.

5·y 2 +6·y+2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் இங்கே உள்ளன: a=5, b=6 மற்றும் c=2. இந்த மதிப்புகளை பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம், எங்களிடம் உள்ளது D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. பாகுபாடு எதிர்மறையானது, எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் குறிப்பிட வேண்டும் என்றால், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் செயல்படுகிறோம் சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள்:

பதில்:

உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள்: .

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், பள்ளியில் அவர்கள் உடனடியாக ஒரு பதிலை எழுதுவார்கள், அதில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள் காணப்படவில்லை என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டாவது குணகங்களுக்கான ரூட் சூத்திரம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம், D=b 2 -4·a·c ஆனது, மிகவும் கச்சிதமான வடிவத்தின் சூத்திரத்தைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. படிவத்தின் குணகம் 2·n, எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது 14· ln5=2·7·ln5 ). அவளை வெளியேற்றுவோம்.

x 2 +2 n x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம் D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), பின்னர் நாம் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

n 2 -a c என்ற வெளிப்பாட்டை D 1 ஆகக் குறிப்போம் (சில நேரங்களில் அது D "என்று குறிக்கப்படுகிறது) பின்னர் இரண்டாவது குணகம் 2 n உடன் பரிசீலனையில் உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும். , D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, அல்லது D 1 =D/4 என்பதைக் காண்பது எளிது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டி 1 என்பது பாகுபாட்டின் நான்காவது பகுதியாகும். D 1 இன் அடையாளம் D யின் அறிகுறியே என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, D 1 என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் குறிகாட்டியாகும்.

எனவே, இரண்டாவது குணகம் 2·n உடன் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• D 1 =n 2 -a·c கணக்கிடுக;
• டி 1 என்றால்<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடவும்;
• D 1 >0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

இந்த பத்தியில் பெறப்பட்ட ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 -6 x -32=0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகம் 2·(−3) என குறிப்பிடப்படலாம். அதாவது, அசல் இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, இங்கே a=5, n=−3 மற்றும் c=−32 வடிவில் மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு: D 1 =n 2 −a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. அதன் மதிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பொருத்தமான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு வழக்கமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் இந்த விஷயத்தில் அதிக கணக்கீட்டு வேலைகள் செய்யப்பட வேண்டும்.

பதில்:

இருபடி சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எளிதாக்குதல்

சில நேரங்களில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடத் தொடங்குவதற்கு முன், "இந்த சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்த முடியுமா?" என்ற கேள்வியைக் கேட்பது வலிக்காது. கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் 1100 x 2 -400 x−600=0 ஐ விட இருபடி சமன்பாடு 11 x 2 -4 x−6=0 ஐ தீர்க்க எளிதாக இருக்கும் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன்.

பொதுவாக, ஒரு இருபக்க சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமையாக்குவது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் அல்லது வகுப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பத்தியில் 1100 x 2 -400 x -600=0 சமன்பாட்டை இரு பக்கங்களையும் 100 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் எளிமைப்படுத்த முடியும்.

இதேபோன்ற மாற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அவற்றின் குணகங்கள் இல்லை. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பொதுவாக அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளால் வகுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 12 x 2 -42 x+48=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள்: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் வகுத்தால், சமமான இருபடி சமன்பாடு 2 x 2 -7 x+8=0 ஐ அடைகிறோம்.

மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்குவது பொதுவாக பின்ன குணகங்களை அகற்றுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பெருக்கல் அதன் குணகங்களின் வகுப்பினரால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் LCM(6, 3, 1)=6 ஆல் பெருக்கப்பட்டால், அது x 2 +4·x−18=0 என்ற எளிய வடிவத்தை எடுக்கும்.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், இருபுறமும் −1 ஆல் பெருக்க (அல்லது வகுத்தல்) ஒத்த அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவதன் மூலம் அவை எப்போதும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் மிக உயர்ந்த குணகத்தில் கழித்தலை அகற்றுவதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவாக ஒன்று −2 x 2 -3 x+7=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து 2 x 2 +3 x−7=0 தீர்வுக்கு நகரும்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் அதன் குணகங்களின் மூலம் சமன்பாட்டின் வேர்களை வெளிப்படுத்துகிறது. ரூட் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான பிற உறவுகளைப் பெறலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திலிருந்து மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் பொருந்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் வடிவம் மற்றும் . குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தின் மூலம், அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7/3 க்கு சமம் என்றும், வேர்களின் பலன் 22/3 என்றும் கூறலாம்.

ஏற்கனவே எழுதப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் பல இணைப்புகளைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அதன் குணகங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்: .

குறிப்புகள்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8ம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

முழு பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில், மிகவும் விரிவான தலைப்புகளில் ஒன்று இருபடி சமன்பாடுகளின் தலைப்பு. இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு எனப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இதில் a ≠ 0 (படிக்க: x ஆல் பெருக்கப்படும் மற்றும் x கூட்டல் ce ஆனது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அங்கு a இல்லை. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). இந்த வழக்கில், குறிப்பிட்ட வகையின் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களால் முக்கிய இடம் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் வெளிப்பாடாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அதே போல் அவற்றின் எண் (ஏதேனும் இருந்தால்).

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டின் சூத்திரம் (சமன்பாடு).

இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டிற்கான பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட சூத்திரம் பின்வருமாறு: D = b 2 – 4ac. குறிப்பிடப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், இருபடி சமன்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் வேர்களின் எண்ணிக்கையை மட்டும் தீர்மானிக்க முடியாது, ஆனால் இந்த வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையையும் தேர்வு செய்யலாம், அவற்றில் பல இருபடி சமன்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து பல உள்ளன.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் என்ன அர்த்தம் \ பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

பாகுபாடு, சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு, லத்தீன் எழுத்து D மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​கோடாரி 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு என்று முடிவு செய்ய வேண்டும், அங்கு a ≠ 0, ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது. பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது மட்டுமே இந்த சூத்திரம் பொருந்தும்: x = –b/2a, இங்கு x என்பது இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர், b மற்றும் a ஆகியவை இருபடிச் சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய மாறிகள். இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிய, b மாறியின் எதிர்மறை மதிப்பை a மாறியின் மதிப்பை விட இரு மடங்கு ஆல் வகுக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வெளிப்படும் வெளிப்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாக இருக்கும்.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்ப்பது

மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாரபட்சத்தைக் கணக்கிடும் போது, ​​நேர்மறை மதிப்பு (D என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகம்) பெறப்பட்டால், இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, அவை பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. பெரும்பாலும், பாகுபாடு தனித்தனியாக கணக்கிடப்படுவதில்லை, ஆனால் ஒரு பாகுபாடு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் உள்ள தீவிர வெளிப்பாடு வெறுமனே ரூட் பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பு D இல் மாற்றப்படுகிறது. b மாறி சம மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட, a ≠ 0, நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்தலாம்: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, இங்கு k = b/2.

சில சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடுகளை நடைமுறையில் தீர்க்க, நீங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இது x 2 + px + q = 0 என்ற வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு x 1 + x 2 = –p உண்மையாக இருக்கும், மேலும் குறிப்பிட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களின் பெருக்கத்திற்கு – வெளிப்பாடு x 1 x x 2 = q.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்க முடியுமா?

பாகுபாடு மதிப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​விவரிக்கப்பட்ட எந்த வழக்குகளின் கீழும் வராத சூழ்நிலையை நீங்கள் சந்திக்க நேரிடலாம் - பாகுபாடு காட்டுபவர் எதிர்மறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் போது (அதாவது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக). இந்த வழக்கில், ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு, ≠ 0 க்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்பது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது, எனவே, அதன் தீர்வு பாகுபாடு மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு மட்டுப்படுத்தப்படும். ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் இந்த வழக்கில் பொருந்தாது. அதே நேரத்தில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கான பதிலில், "சமன்பாடு உண்மையான வேர்கள் இல்லை" என்று எழுதப்பட்டுள்ளது.

விளக்க வீடியோ:

சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு நம் வாழ்வில் பரவலாக உள்ளது. அவை பல கணக்கீடுகள், கட்டமைப்புகளின் கட்டுமானம் மற்றும் விளையாட்டுகளில் கூட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பழங்காலத்தில் மனிதன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினான், அதன் பிறகு அவற்றின் பயன்பாடு மட்டுமே அதிகரித்துள்ளது. பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்ட பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க பாரபட்சம் உங்களை அனுமதிக்கிறது:

பாகுபாடு சூத்திரம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைப் பொறுத்தது. மேலே உள்ள சூத்திரம் பின்வரும் படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஏற்றது:

நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய பின்வரும் பண்புகளை பாரபட்சம் கொண்டவர்:

பல்லுறுப்புக்கோவை பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது "D" 0 ஆகும் (சம வேர்கள்);

* "D" என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைப் பொறுத்து ஒரு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், எனவே அதன் குணகங்களில் இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்; மேலும், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் வேர்கள் எந்த நீட்டிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் முழு எண்களாகும்.

பின்வரும் படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

1 சமன்பாடு

எங்களிடம் உள்ள சூத்திரத்தின் படி:

\ என்பதால், சமன்பாடு 2 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றை வரையறுப்போம்:

பாரபட்சமான ஆன்லைன் தீர்வைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?

எங்கள் வலைத்தளமான https://site இல் நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். இலவச ஆன்லைன் தீர்வி சில நொடிகளில் எந்தவொரு சிக்கலான ஆன்லைன் சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும். நீங்கள் செய்ய வேண்டியது உங்கள் தரவை தீர்வியில் உள்ளிடுவது மட்டுமே. நீங்கள் வீடியோ வழிமுறைகளைப் பார்க்கலாம் மற்றும் எங்கள் இணையதளத்தில் சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டறியலாம், மேலும் உங்களிடம் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எங்கள் VKontakte குழு http://vk.com/pocketteacher இல் கேட்கலாம். எங்கள் குழுவில் சேருங்கள், உங்களுக்கு உதவ நாங்கள் எப்போதும் மகிழ்ச்சியடைகிறோம்.