எண்ணின் வேர் என்ன? எண்கணித வர்க்க வேர் மற்றும் அதன் பண்புகள்

ஒரு சதுர நிலத்தின் பரப்பளவு 81 dm² ஆகும். அவரது பக்கத்தைக் கண்டுபிடி. சதுரத்தின் பக்க நீளம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ்டெசிமீட்டர்கள். பின்னர் சதித்திட்டத்தின் பரப்பளவு எக்ஸ்² சதுர டெசிமீட்டர்கள். நிபந்தனையின் படி, இந்த பகுதி 81 dm² க்கு சமமாக இருப்பதால் எக்ஸ்² = 81. ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் நேர்மறை எண்ணாகும். நேர்மறை எண், அதன் வர்க்கம் 81 என்பது எண் 9 ஆகும். சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, ​​x எண்ணின் வர்க்கம் 81 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். எக்ஸ்² = 81. இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: x 1 = 9 மற்றும் x 2 = - 9, 9² = 81 மற்றும் (- 9)² = 81 என்பதால். 9 மற்றும் - 9 ஆகிய இரண்டு எண்களும் 81 இன் வர்க்க வேர்கள் எனப்படும்.

அதில் ஒன்றைக் கவனியுங்கள் சதுர வேர்கள் எக்ஸ்= 9 என்பது நேர்மறை எண். இது 81 இன் எண்கணித வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது √81 எனக் குறிக்கப்படுகிறது, எனவே √81 = 9.

ஒரு எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் ஏஇது ஒரு எதிர்மில்லாத எண்ணாகும், அதன் சதுரம் சமமாக இருக்கும் ஏ.

எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் 6 மற்றும் - 6 என்பது 36 என்ற எண்ணின் வர்க்க மூலங்களாகும். இருப்பினும், எண் 6 என்பது 36 இன் எண்கணித வர்க்க மூலமாகும், ஏனெனில் 6 என்பது எதிர்மில்லாத எண் மற்றும் 6² = 36. எண் - 6 என்பது ஒரு அல்ல. எண்கணித வேர்.

ஒரு எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் ஏபின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: √ ஏ.

அடையாளம் எண்கணித அடையாளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சதுர வேர்; ஏ- ஒரு தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்பாடு √ ஏபடித்தேன் இது போல்: ஒரு எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் ஏ.எடுத்துக்காட்டாக, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. அது தெளிவாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் பற்றி பேசுகிறோம்ஒரு எண்கணித மூலத்தைப் பற்றி, அவர்கள் சுருக்கமாகச் சொல்கிறார்கள்: “இன் வர்க்கமூலம் ஏ«.

ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டறியும் செயல் வர்க்க வேரூன்றி எனப்படும். இந்த செயல் ஸ்கொயரிங் தலைகீழ் ஆகும்.

நீங்கள் எந்த எண்ணையும் வர்க்கப்படுத்தலாம், ஆனால் எந்த எண்ணிலிருந்தும் வர்க்க மூலங்களைப் பிரித்தெடுக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது சாத்தியமில்லை - 4. அத்தகைய வேர் இருந்திருந்தால், அதை எழுத்துடன் குறிப்பது எக்ஸ், x² = - 4 என்ற தவறான சமத்துவத்தைப் பெறுவோம், ஏனெனில் இடதுபுறத்தில் எதிர்மறை எண்ணும் வலதுபுறத்தில் எதிர்மறை எண்ணும் உள்ளன.

வெளிப்பாடு √ ஏபோது மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு ≥ 0. வர்க்க மூலத்தின் வரையறையை சுருக்கமாக இவ்வாறு எழுதலாம்: √ ஒரு ≥ 0, (√ஏ)² = ஏ. சமத்துவம் (√ ஏ)² = ஏசெல்லுபடியாகும் ஒரு ≥ 0. இவ்வாறு, எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலத்தை உறுதி செய்ய ஏசமம் பி, அதாவது உண்மையில் √ ஏ =பி, பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்: b ≥ 0, பி² = ஏ.

ஒரு பகுதியின் சதுர வேர்

கணக்கிடுவோம். √25 = 5, √36 = 6 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், சமத்துவம் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

ஏனெனில் மற்றும் , பின்னர் சமத்துவம் உண்மை. எனவே, .

தேற்றம்:என்றால் ஏ≥ 0 மற்றும் பி> 0, அதாவது, பின்னத்தின் மூலமானது, வகுப்பின் மூலத்தால் வகுக்கப்படும் எண்ணின் மூலத்திற்குச் சமம். அதை நிரூபிக்க வேண்டும்: மற்றும் .

முதல் √ ஏ≥0 மற்றும் √ பி> 0, பின்னர்.

ஒரு பகுதியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவதற்கான சொத்து மற்றும் ஒரு வர்க்க மூலத்தின் வரையறை தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுங்கள் .

இரண்டாவது உதாரணம்: அதை நிரூபிக்கவும் , என்றால் ஏ ≤ 0, பி < 0. .

மற்றொரு உதாரணம்: கணக்கிடு.

.

சதுர ரூட் மாற்றம்

மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை நீக்குதல். வெளிப்பாடு கொடுக்கப்படட்டும். என்றால் ஏ≥ 0 மற்றும் பி≥ 0, பின்னர் தயாரிப்பு மூல தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் எழுதலாம்:

இந்த மாற்றம் மூல அடையாளத்திலிருந்து காரணியை நீக்குதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்;

இல் கணக்கிடவும் எக்ஸ்= 2. நேரடி மாற்று எக்ஸ்தீவிர வெளிப்பாட்டில் = 2 சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள காரணிகளை முதலில் நீக்கினால், இந்தக் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்தலாம்: . இப்போது x = 2 ஐ மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும்:.

எனவே, மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து காரணியை அகற்றும் போது, ​​தீவிர வெளிப்பாடு ஒரு பொருளின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது, இதில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகள் எதிர்மறை எண்களின் சதுரங்களாக இருக்கும். பின்னர் தயாரிப்பு மூல தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் ஒவ்வொரு காரணியின் மூலத்தையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஒரு எடுத்துக்காட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்: முதல் இரண்டு சொற்களில் உள்ள காரணிகளை மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எடுத்து A = √8 + √18 - 4√2 என்ற வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கினால், நமக்குக் கிடைக்கும்: அந்த சமத்துவத்தை வலியுறுத்துவோம் போது மட்டுமே செல்லுபடியாகும் ஏ≥ 0 மற்றும் பி≥ 0. என்றால் ஏ < 0, то .

அதை வரிசைப்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது வேர் பிரித்தெடுத்தல் முறைகள். அவை வேர்களின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, குறிப்பாக, சமத்துவத்தின் அடிப்படையில், இது எந்த எதிர்மில்லாத எண்ணுக்கும் பொருந்தும்.

வேர்களை பிரித்தெடுக்கும் முக்கிய முறைகளை ஒவ்வொன்றாக கீழே பார்ப்போம்.

எளிமையான வழக்குடன் தொடங்குவோம் - சதுரங்களின் அட்டவணை, க்யூப்ஸ் அட்டவணை போன்றவற்றைப் பயன்படுத்தி இயற்கை எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுத்தல்.

சதுரங்கள், கனசதுரங்கள் போன்றவற்றின் அட்டவணைகள் என்றால். உங்களிடம் அது இல்லையென்றால், மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் முறையைப் பயன்படுத்துவது தர்க்கரீதியானது, இதில் தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது அடங்கும்.

ஒற்றைப்படை அடுக்குகளைக் கொண்ட வேர்களுக்கு என்ன சாத்தியம் என்பதைக் குறிப்பிடுவது சிறப்புக்குரியது.

இறுதியாக, ரூட் மதிப்பின் இலக்கங்களை வரிசையாகக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் ஒரு முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஆரம்பிக்கலாம்.

சதுரங்களின் அட்டவணை, க்யூப்ஸ் அட்டவணை போன்றவற்றைப் பயன்படுத்துதல்.

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், சதுரங்கள், க்யூப்ஸ், முதலியன அட்டவணைகள் நீங்கள் வேர்களை பிரித்தெடுக்க அனுமதிக்கின்றன. இந்த அட்டவணைகள் என்ன?

0 முதல் 99 வரையிலான முழு எண்களின் சதுரங்களின் அட்டவணை (கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது) இரண்டு மண்டலங்களைக் கொண்டுள்ளது. அட்டவணையின் முதல் மண்டலம் அமைந்துள்ளது சாம்பல் பின்னணி, ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் 0 முதல் 99 வரையிலான எண்ணை உருவாக்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 8 பத்துகளின் வரிசையையும் 3 அலகுகளின் நெடுவரிசையையும் தேர்ந்தெடுப்போம், இதன் மூலம் 83 என்ற எண்ணை சரிசெய்தோம். இரண்டாவது மண்டலம் மீதமுள்ள அட்டவணையை ஆக்கிரமித்துள்ளது. ஒவ்வொரு கலமும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ளது மற்றும் 0 முதல் 99 வரையிலான தொடர்புடைய எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த 8 பத்துகளின் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை 3 இன் குறுக்குவெட்டில் 6,889 எண்ணுடன் ஒரு செல் உள்ளது, இது எண் 83 இன் வர்க்கமாகும்.

க்யூப்ஸ் அட்டவணைகள், 0 முதல் 99 வரையிலான எண்களின் நான்காவது அதிகாரங்களின் அட்டவணைகள் மற்றும் பல சதுரங்களின் அட்டவணையைப் போலவே இருக்கும், அவை மட்டுமே இரண்டாவது மண்டலத்தில் க்யூப்ஸ், நான்காவது சக்திகள், முதலியவற்றைக் கொண்டிருக்கின்றன. தொடர்புடைய எண்கள்.

சதுரங்கள், கனசதுரங்கள், நான்காவது சக்திகள் போன்றவற்றின் அட்டவணைகள். சதுர வேர்கள், கனசதுர வேர்கள், நான்காவது வேர்கள் போன்றவற்றைப் பிரித்தெடுக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. அதன்படி இந்த அட்டவணையில் உள்ள எண்களில் இருந்து. வேர்களை பிரித்தெடுக்கும் போது அவற்றின் பயன்பாட்டின் கொள்கையை விளக்குவோம்.

a என்ற எண்ணின் n வது மூலத்தை பிரித்தெடுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதே நேரத்தில் a எண் nth அதிகாரங்களின் அட்டவணையில் உள்ளது. இந்த அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, a=b n என்ற எண்ணைக் கண்டுபிடிக்கிறோம். பிறகு எனவே, எண் b என்பது nவது பட்டத்தின் விரும்பிய வேராக இருக்கும்.

உதாரணமாக, 19,683 கனசதுர மூலத்தை பிரித்தெடுக்க ஒரு கனசதுர அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம். க்யூப்ஸ் அட்டவணையில் 19,683 எண்ணைக் காண்கிறோம், அதிலிருந்து இந்த எண் 27 என்ற எண்ணின் கனசதுரம் என்பதைக் காண்கிறோம். .

n வது அதிகாரங்களின் அட்டவணைகள் வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க மிகவும் வசதியானவை என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், அவை பெரும்பாலும் கையில் இல்லை, மேலும் அவற்றை தொகுக்க சிறிது நேரம் தேவைப்படுகிறது. மேலும், தொடர்புடைய அட்டவணையில் இல்லாத எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பது பெரும்பாலும் அவசியம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் ரூட் பிரித்தெடுத்தல் மற்ற முறைகளை நாட வேண்டும்.

ஒரு தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாக காரணியாக்குதல்

போதும் ஒரு வசதியான வழியில், இது ஒரு இயற்கை எண்ணிலிருந்து ஒரு மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது (நிச்சயமாக, வேர் பிரித்தெடுக்கப்பட்டால்), தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது ஆகும். அவரது விஷயம் இதுதான்: அதன் பிறகு, விரும்பிய அடுக்குடன் அதை ஒரு சக்தியாகக் குறிப்பிடுவது மிகவும் எளிதானது, இது ரூட்டின் மதிப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த விஷயத்தை தெளிவுபடுத்துவோம்.

ஒரு இயல் எண்ணின் n வது மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வோம், அதன் மதிப்பு bக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், சமத்துவம் a=b n உண்மை. எந்த மாதிரியான எண் b இயற்கை எண் p 1 , p 2 , ..., p m வடிவத்தில் p 1 · p 2 · ... · p m , மற்றும் இந்த வழக்கில் தீவிர எண் a (p 1 · p 2) என அனைத்து முதன்மை காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. · … · p m) n. ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது தனித்துவமானது என்பதால், தீவிர எண்ணை முதன்மை காரணிகளாக சிதைப்பது வடிவத்தை (p 1 ·p 2 ·…·p m) n கொண்டிருக்கும், இது மூலத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. என .

ஒரு தீவிர எண்ணின் பிரதான காரணிகளாக சிதைவதை (p 1 ·p 2 ·...·p m) n வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது என்றால், அத்தகைய எண்ணின் n வது வேர் முழுமையாக பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

உதாரணம்.

144 இன் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

தீர்வு.

முந்தைய பத்தியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதுரங்களின் அட்டவணையைப் பார்த்தால், 144 = 12 2 என்பதை நீங்கள் தெளிவாகக் காணலாம், அதில் இருந்து 144 இன் வர்க்கமூலம் 12 என்பது தெளிவாகிறது.

ஆனால் இந்த புள்ளியின் வெளிச்சத்தில், தீவிர எண் 144 ஐ பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதன் மூலம் வேர் எவ்வாறு பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது என்பதில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இந்த தீர்வைப் பார்ப்போம்.

சிதைப்போம் 144 முதல் முக்கிய காரணிகள்:

அதாவது, 144=2·2·2·2·3·3. விளைந்த சிதைவின் அடிப்படையில், பின்வரும் மாற்றங்கள் மேற்கொள்ளப்படலாம்: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. எனவே, .

டிகிரிகளின் பண்புகள் மற்றும் வேர்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, தீர்வை சற்று வித்தியாசமாக உருவாக்கலாம்: .

பதில்:

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, மேலும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம்.

ரூட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.

தீவிர எண் 243 இன் முதன்மை காரணியாக்கம் 243=3 5 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இவ்வாறு, .

பதில்:

உதாரணம்.

மூல மதிப்பு முழு எண்ணா?

தீர்வு.

இந்தக் கேள்விக்குப் பதிலளிக்க, தீவிர எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கருதி, அதை முழு எண்ணின் கனசதுரமாகக் குறிப்பிட முடியுமா என்பதைப் பார்ப்போம்.

எங்களிடம் 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 உள்ளது. விளைவான விரிவாக்கத்தை முழு எண்ணின் கனசதுரமாகக் குறிப்பிட முடியாது, ஏனெனில் பிரதான காரணி 7 இன் சக்தி மூன்றின் பெருக்கமாக இல்லை. எனவே, 285,768 கனசதுரத்தை முழுமையாக பிரித்தெடுக்க முடியாது.

பதில்:

இல்லை

பின்ன எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுத்தல்

வேரை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நேரம் இது பின்ன எண். பின்னம் ரேடிகல் எண்ணை p/q என்று எழுதலாம். ஒரு விகுதியின் மூலத்தின் சொத்தின்படி, பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாகும். இந்த சமத்துவத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு ஒரு பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி: ஒரு பின்னத்தின் மூலமானது, வகுப்பின் மூலத்தால் வகுக்கப்படும் எண்ணின் மூலத்தின் பங்கிற்குச் சமம்.

ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

வர்க்கமூலம் என்ன பொதுவான பின்னம் 25/169 .

தீர்வு.

சதுரங்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கமூலம் 5 க்கும், வகுப்பின் வர்க்கமூலம் 13 க்கும் சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். பிறகு . இது பொதுவான பின்னம் 25/169 இன் மூலத்தை பிரித்தெடுப்பதை நிறைவு செய்கிறது.

பதில்:

ஒரு தசம பின்னம் அல்லது கலப்பு எண்ணின் வேர் தீவிர எண்களை சாதாரண பின்னங்களுடன் மாற்றிய பின் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது.

உதாரணம்.

474.552 என்ற தசம பின்னத்தின் கன மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

தீர்வு.

அசல் கற்பனை செய்யலாம் தசமபொதுவான பின்னமாக: 474.552=474552/1000. பிறகு . இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பில் இருக்கும் கனசதுர வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க இது உள்ளது. ஏனெனில் 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 மற்றும் 1 000 = 10 3, பின்னர் மற்றும் . கணக்கீடுகளை முடிக்க மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது .

பதில்:

.

எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வது

எதிர்மறை எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பதில் கவனம் செலுத்துவது பயனுள்ளது. வேர்களைப் படிக்கும் போது, ​​மூல அடுக்கு ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருக்கும்போது, ​​மூல அடையாளத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்ணாக இருக்கலாம் என்று கூறினோம். இந்த உள்ளீடுகளுக்கு பின்வரும் அர்த்தத்தை வழங்கினோம்: எதிர்மறை எண் -a மற்றும் ரூட் 2 n−1 இன் ஒற்றைப்படை அடுக்கு, . இந்த சமத்துவம் அளிக்கிறது எதிர்மறை எண்களிலிருந்து ஒற்றைப்படை வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி: எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, நீங்கள் எதிர் நேர்மறை எண்ணின் மூலத்தை எடுத்து, முடிவின் முன் ஒரு கழித்தல் குறியை வைக்க வேண்டும்.

உதாரண தீர்வைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

மூலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

மூல அடையாளத்தின் கீழ் நேர்மறை எண் இருக்கும்படி அசல் வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: . இப்போது கலப்பு எண்ணை ஒரு சாதாரண பின்னத்துடன் மாற்றவும்: . ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: . இதன் விளைவாக வரும் பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வேர்களைக் கணக்கிட இது உள்ளது: .

தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம் இங்கே: .

பதில்:

.

ரூட் மதிப்பின் பிட்வைஸ் நிர்ணயம்

பொதுவான வழக்கில், மூலத்தின் கீழ் ஒரு எண் உள்ளது, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி, எந்த எண்ணின் nவது சக்தியாகக் குறிப்பிட முடியாது. ஆனால் இந்த விஷயத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளம் வரை கொடுக்கப்பட்ட ரூட்டின் அர்த்தத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. இந்த வழக்கில், ரூட்டைப் பிரித்தெடுக்க, நீங்கள் விரும்பிய எண்ணின் போதுமான எண்ணிக்கையிலான இலக்க மதிப்புகளை தொடர்ச்சியாகப் பெற அனுமதிக்கும் ஒரு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழிமுறையின் முதல் படி, ரூட் மதிப்பின் மிக முக்கியமான பிட் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இதைச் செய்ய, 0, 10, 100, ... எண்கள் ரேடிகல் எண்ணை மீறும் தருணம் வரை n என்ற சக்திக்கு தொடர்ச்சியாக உயர்த்தப்படும். முந்தைய கட்டத்தில் நாம் சக்தி n க்கு உயர்த்திய எண் தொடர்புடைய மிக முக்கியமான இலக்கத்தைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஐந்தின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் போது வழிமுறையின் இந்தப் படிநிலையைக் கவனியுங்கள். 0, 10, 100, ... எண்களை எடுத்து 5 ஐ விட பெரிய எண்ணைப் பெறும் வரை அவற்றை வர்க்கப்படுத்தவும். எங்களிடம் 0 2 =0 உள்ளது<5 , 10 2 =100>5, அதாவது மிக முக்கியமான இலக்கம் ஒரு இலக்கமாக இருக்கும். இந்த பிட்டின் மதிப்பு, அதே போல் குறைந்தவை, ரூட் பிரித்தெடுத்தல் வழிமுறையின் அடுத்த படிகளில் காணப்படும்.

வழிமுறையின் பின்வரும் அனைத்து படிகளும், ரூட்டின் விரும்பிய மதிப்பின் அடுத்த பிட்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதன் மூலம் ரூட்டின் மதிப்பை தொடர்ச்சியாக தெளிவுபடுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன, மிக உயர்ந்தவற்றில் தொடங்கி மிகக் குறைந்தவைக்கு நகரும். எடுத்துக்காட்டாக, முதல் படியில் ரூட்டின் மதிப்பு 2 ஆகவும், இரண்டாவது - 2.2 ஆகவும், மூன்றாவது - 2.23 ஆகவும், மற்றும் 2.236067977 ஆகவும் மாறும். இலக்கங்களின் மதிப்புகள் எவ்வாறு காணப்படுகின்றன என்பதை விவரிப்போம்.

அவற்றின் மூலம் தேடுவதன் மூலம் இலக்கங்கள் கண்டுபிடிக்கப்படுகின்றன சாத்தியமான மதிப்புகள் 0, 1, 2, ..., 9. இந்த வழக்கில், தொடர்புடைய எண்களின் n வது சக்திகள் இணையாக கணக்கிடப்படுகின்றன, மேலும் அவை தீவிர எண்ணுடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன. சில கட்டத்தில் பட்டத்தின் மதிப்பு தீவிர எண்ணை விட அதிகமாக இருந்தால், முந்தைய மதிப்புடன் தொடர்புடைய இலக்கத்தின் மதிப்பு கண்டறியப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் இது நடக்கவில்லை என்றால், ரூட் பிரித்தெடுத்தல் வழிமுறையின் அடுத்த கட்டத்திற்கு மாற்றம் செய்யப்படுகிறது. இந்த இலக்கத்தின் மதிப்பு 9 க்கு சமம்.

ஐந்தின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான அதே உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த புள்ளிகளை விளக்குவோம்.

முதலில் நாம் அலகு இலக்கத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். 0, 1, 2, ..., 9, 0 2, 1 2, ..., 9 2 ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், தீவிர எண் 5 ஐ விட அதிகமான மதிப்பைப் பெறும் வரை முறையே 0, 1, 2, ..., 9 ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவோம். இந்த கணக்கீடுகள் அனைத்தையும் அட்டவணை வடிவத்தில் வழங்குவது வசதியானது:

எனவே அலகு இலக்கத்தின் மதிப்பு 2 (2 2 முதல்<5 , а 2 3 >5) பத்தாவது இடத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம். இந்த வழக்கில், நாம் 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 எண்களை சதுரப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக வரும் மதிப்புகளை தீவிர எண் 5 உடன் ஒப்பிடுகிறோம்:

2.2 முதல் 2<5 , а 2,3 2 >5, பிறகு பத்தாம் இடத்தின் மதிப்பு 2. நூறாவது இடத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய நீங்கள் தொடரலாம்:

எனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்டது அடுத்த மதிப்புஐந்தின் வேர், அது 2.23க்கு சமம். எனவே நீங்கள் தொடர்ந்து மதிப்புகளைக் கண்டறியலாம்: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, கருதப்படும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி நூறில் ஒரு பங்கு துல்லியத்துடன் வேரின் பிரித்தெடுத்தலை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

முதலில் நாம் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்தை தீர்மானிக்கிறோம். இதைச் செய்ய, 0, 10, 100 போன்ற எண்களை கனசதுரமாக்குகிறோம். 2,151,186 ஐ விட அதிகமான எண்ணைப் பெறும் வரை. எங்களிடம் 0 3 =0 உள்ளது<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , எனவே மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கமானது பத்து இலக்கமாகும்.

அதன் மதிப்பை தீர்மானிப்போம்.

10 3 முதல்<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, பின்னர் பத்து இடத்தின் மதிப்பு 1 ஆகும். அலகுகளுக்கு செல்லலாம்.

எனவே, ஒரு இலக்கத்தின் மதிப்பு 2 ஆகும். பத்தாவதுக்கு செல்லலாம்.

12.9 3 கூட தீவிர எண் 2 151.186 ஐ விட குறைவாக இருப்பதால், பத்தாவது இடத்தின் மதிப்பு 9 ஆகும். அல்காரிதத்தின் கடைசிப் படியைச் செய்ய இது உள்ளது;

இந்த கட்டத்தில், ரூட்டின் மதிப்பு நூறில் ஒரு பங்கு வரை துல்லியமாகக் காணப்படுகிறது: .

இந்த கட்டுரையின் முடிவில், வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க இன்னும் பல வழிகள் உள்ளன என்று நான் கூற விரும்புகிறேன். ஆனால் பெரும்பாலான பணிகளுக்கு, நாம் மேலே படித்தவையே போதுமானது.

குறிப்புகள்.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது என்பது பல பெருக்கல்களின் செயல்பாட்டை எழுதுவதற்கான சுருக்கமான வடிவமாகும், இதில் அனைத்து காரணிகளும் அசல் எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும். மேலும் ஒரு மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது என்பது தலைகீழ் செயல்பாடு என்று பொருள்படும் - பல பெருக்கல் செயல்பாட்டில் ஈடுபட வேண்டிய காரணியைத் தீர்மானித்தல், இதன் விளைவாக ஒரு தீவிர எண்ணாக இருக்கும். அடுக்கு மற்றும் மூல அடுக்கு இரண்டும் ஒரே விஷயத்தைக் குறிக்கின்றன - அத்தகைய பெருக்கல் செயல்பாட்டில் எத்தனை காரணிகள் இருக்க வேண்டும்.

உங்களுக்கு தேவைப்படும்

• இணைய அணுகல்.

வழிமுறைகள்

• மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல் மற்றும் அதை ஒரு எண் அல்லது வெளிப்பாட்டின் சக்தியாக உயர்த்துதல் ஆகிய இரண்டையும் நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் என்றால், இரண்டு செயல்பாடுகளையும் ஒன்றாகக் குறைக்கவும் - ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தவும். பின்னத்தின் எண்ணில் ஒரு அடுக்கு இருக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பில் ஒரு வேர் இருக்க வேண்டும். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு கன சதுரம் வேண்டும் என்றால் வேர், இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் ஒரு எண்ணை ⅔ சக்திக்கு உயர்த்துவதற்குச் சமமாக இருக்கும்.
• நிபந்தனைகளுக்கு சதுரம் தேவை என்றால் வேர்இரண்டுக்கு சமமான அடுக்குடன், இது ஒரு கணக்கீட்டு பணி அல்ல, ஆனால் உங்கள் அறிவின் சோதனை. முதல் படியிலிருந்து முறையைப் பயன்படுத்தவும், நீங்கள் பின்னம் 2/2 ஐப் பெறுவீர்கள், அதாவது. 1. எந்த எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை வகுப்பதன் விளைவு அந்த எண்ணாகவே இருக்கும்.
• தேவைப்பட்டால் சதுரம் வேர்ஒரு சமமான அடுக்குடன், செயல்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கான சாத்தியக்கூறு எப்போதும் உள்ளது. இரண்டு (ஒரு பின்னம் அடுக்கு எண்) மற்றும் எந்த இரட்டை எண்ணும் (வகுப்பு) ஒரு பொதுவான வகுப்பியைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னத்தை எளிமைப்படுத்திய பிறகு, ஒன்று எண்ணில் இருக்கும், அதாவது கணக்கீடுகளில் ஒரு சக்தியை உயர்த்த வேண்டிய அவசியமில்லை. பிரித்தெடுத்தால் போதும் வேர்பாதி அடுக்குடன். எடுத்துக்காட்டாக, எட்டின் ஆறாவது மூலத்தை அதிலிருந்து க்யூப் ரூட்டைப் பிரித்தெடுப்பதாகக் குறைக்கலாம். 2/6=1/3.
• மூலத்தின் எந்த ஒரு அடுக்குக்கான முடிவையும் கணக்கிட, எடுத்துக்காட்டாக, Google தேடுபொறியில் கட்டமைக்கப்பட்ட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும். உங்கள் கணினியிலிருந்து இணைய அணுகல் இருந்தால், பணம் செலுத்துவதற்கான எளிதான வழி இதுவாக இருக்கலாம். இந்த "மூடி": ^ அதிவேக செயல்பாட்டின் அடையாளத்திற்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மாற்றாக உள்ளது. Google இல் தேடல் வினவலை உள்ளிடும்போது அதைப் பயன்படுத்தவும். உதாரணமாக, நீங்கள் சதுரமாக விரும்பினால் வேர் 750 எண்ணிலிருந்து ஐந்தாவது சக்தி, வினவலை பின்வருமாறு உருவாக்கவும்: 750^(2/5). அதை உள்ளிட்ட பிறகு, தேடுபொறி, சேவையகத்திற்கு அனுப்பு பொத்தானை அழுத்தாமல் கூட, கணக்கீட்டு முடிவை ஏழு தசம இடங்களுக்கு துல்லியமாகக் காண்பிக்கும்: 750^(2/5) = 14.1261725.

கால்குலேட்டர்களுக்கு முன், மாணவர்களும் ஆசிரியர்களும் சதுர வேர்களைக் கையால் கணக்கிட்டனர். ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை கைமுறையாகக் கணக்கிட பல வழிகள் உள்ளன. அவர்களில் சிலர் தோராயமான தீர்வை மட்டுமே வழங்குகிறார்கள், மற்றவர்கள் சரியான பதிலைக் கொடுக்கிறார்கள்.

படிகள்

முதன்மை காரணியாக்கம்

தீவிர எண்ணை சதுர எண்களாக இருக்கும் காரணிகளாகக் காரணியாக்கு.தீவிர எண்ணைப் பொறுத்து, தோராயமான அல்லது சரியான பதிலைப் பெறுவீர்கள். சதுர எண்கள் முழு வர்க்க மூலத்தையும் எடுக்கக்கூடிய எண்கள். காரணிகள் என்பது, பெருக்கும்போது, ​​அசல் எண்ணைக் கொடுக்கும் எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 8 இன் காரணிகள் 2 மற்றும் 4, 2 x 4 = 8 என்பதால், 25, 36, 49 எண்கள் சதுர எண்கள், √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. சதுரக் காரணிகள் காரணிகள் , அவை சதுர எண்கள். முதலில், தீவிர எண்ணை சதுர காரணிகளாகக் கணக்கிட முயற்சிக்கவும்.

• எடுத்துக்காட்டாக, 400 இன் வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள் (கையால்). முதலில் 400 ஐ சதுர காரணிகளாக மாற்ற முயற்சிக்கவும். 400 என்பது 100 இன் பெருக்கல், அதாவது 25 ஆல் வகுபடும் - இது ஒரு சதுர எண். 400 ஐ 25 ஆல் வகுத்தால் 16 கிடைக்கும். 16 என்ற எண்ணும் ஒரு சதுர எண்ணாகும். எனவே, 400 ஐ 25 மற்றும் 16 இன் சதுரக் காரணிகளாகக் கணக்கிடலாம், அதாவது 25 x 16 = 400.
• இதை பின்வருமாறு எழுதலாம்: √400 = √(25 x 16).

1. சில சொற்களின் பெருக்கத்தின் வர்க்கமூலம், ஒவ்வொரு சொல்லின் வர்க்க வேர்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், அதாவது √(a x b) = √a x √b.

   • இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு சதுரக் காரணியின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்து, விடையைக் கண்டறிய முடிவுகளைப் பெருக்கவும்.
     • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 25 மற்றும் 16 இன் மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20

   • தீவிர எண் இரண்டு சதுர காரணிகளாக இல்லை என்றால் (பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது நடக்கும்), முழு எண்ணின் வடிவத்தில் சரியான பதிலை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியாது.
     • ஆனால் தீவிர எண்ணை ஒரு சதுர காரணி மற்றும் ஒரு சாதாரண காரணி (முழு வர்க்க மூலத்தை எடுக்க முடியாத எண்) என சிதைப்பதன் மூலம் சிக்கலை எளிதாக்கலாம். பின்னர் நீங்கள் சதுர காரணியின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்து, பொதுவான காரணியின் மூலத்தை எடுப்பீர்கள்.
     • எடுத்துக்காட்டாக, 147 என்ற எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள். 147 என்ற எண்ணை இரண்டு சதுரக் காரணிகளாகக் கணக்கிட முடியாது, ஆனால் அது பின்வரும் காரணிகளாகக் கணக்கிடப்படலாம்: 49 மற்றும் 3. சிக்கலைப் பின்வருமாறு தீர்க்கவும்:
     • = 7√3

3. = √(49 x 3)= √49 x √3

   • தேவைப்பட்டால், வேரின் மதிப்பை மதிப்பிடுங்கள்.
     • இப்போது நீங்கள் மூலத்தின் மதிப்பை மதிப்பிடலாம் (தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும்) அதை தீவிர எண்ணுக்கு மிக நெருக்கமான (எண் கோட்டின் இருபுறமும் உள்ள) சதுர எண்களின் வேர்களின் மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடலாம். நீங்கள் ரூட் மதிப்பை தசமப் பகுதியாகப் பெறுவீர்கள், இது ரூட் அடையாளத்தின் பின்னால் உள்ள எண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும்.

4. நமது உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம். தீவிர எண் 3. அதற்கு மிக நெருக்கமான சதுர எண்கள் எண்கள் 1 (√1 = 1) மற்றும் 4 (√4 = 2) ஆகும். எனவே, √3 இன் மதிப்பு 1 மற்றும் 2 க்கு இடையில் அமைந்துள்ளது. √3 இன் மதிப்பு 1 ஐ விட 2 க்கு அருகில் இருப்பதால், எங்கள் மதிப்பீடு: √3 = 1.7. இந்த மதிப்பை மூல அடையாளத்தில் உள்ள எண்ணால் பெருக்குகிறோம்: 7 x 1.7 = 11.9. நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரில் கணிதத்தைச் செய்தால், நீங்கள் 12.13 ஐப் பெறுவீர்கள், இது எங்கள் பதிலுக்கு மிக அருகில் உள்ளது.இந்த முறை பெரிய எண்ணிக்கையிலும் வேலை செய்கிறது. உதாரணமாக, √35 ஐக் கவனியுங்கள். தீவிர எண் 35. அதற்கு மிக நெருக்கமான சதுர எண்கள் 25 (√25 = 5) மற்றும் 36 (√36 = 6) எண்களாக இருக்கும். எனவே, √35 இன் மதிப்பு 5 மற்றும் 6 க்கு இடையில் அமைந்துள்ளது. √35 இன் மதிப்பு 5 ஐ விட 6 க்கு மிக நெருக்கமாக இருப்பதால் (35 36 ஐ விட 1 மட்டுமே குறைவாக இருப்பதால்), √35 6 ஐ விட சற்று குறைவாக உள்ளது என்று கூறலாம். . கால்குலேட்டரைச் சரிபார்த்தால் 5.92 - நாங்கள் சொன்னது சரிதான்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 45 இன் வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிடுகிறோம்: 45 = 9 x 5, மற்றும் 9 = 3 x 3. எனவே, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 ஐ ஒரு மூல அடையாளமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்: √45 = 3√5. இப்போது நாம் √5 ஐ மதிப்பிடலாம்.
   • மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). நீங்கள் 2 இன் மூன்று பெருக்கிகளைப் பெற்றுள்ளீர்கள்; அவற்றில் ஒன்றிரண்டு எடுத்து மூல அடையாளத்திற்கு அப்பால் நகர்த்தவும்.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. இப்போது நீங்கள் √2 மற்றும் √11 ஐ மதிப்பீடு செய்து தோராயமான பதிலைக் கண்டறியலாம்.

   வர்க்க மூலத்தைக் கைமுறையாகக் கணக்கிடுகிறது

   நீண்ட பிரிவைப் பயன்படுத்துதல்

   1. இந்த முறை நீண்ட பிரிவு போன்ற ஒரு செயல்முறையை உள்ளடக்கியது மற்றும் துல்லியமான பதிலை வழங்குகிறது.முதலில், தாளை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ஒரு செங்குத்து கோட்டை வரையவும், பின்னர் வலதுபுறம் மற்றும் தாளின் மேல் விளிம்பிற்கு சற்று கீழே, செங்குத்து கோட்டிற்கு ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரையவும். இப்போது தீவிர எண்ணை ஜோடி எண்களாகப் பிரிக்கவும், தசம புள்ளிக்குப் பிறகு பகுதியளவு பகுதியிலிருந்து தொடங்கவும். எனவே, 79520789182.47897 என்ற எண் "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" என எழுதப்பட்டுள்ளது.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 780.14 என்ற எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிடுவோம். இரண்டு கோடுகளை வரையவும் (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை மேல் இடதுபுறத்தில் "7 80, 14" வடிவத்தில் எழுதவும். இடமிருந்து வரும் முதல் இலக்கம் இணைக்கப்படாத இலக்கமாக இருப்பது இயல்பானது. நீங்கள் பதிலை (இந்த எண்ணின் வேர்) மேல் வலதுபுறத்தில் எழுதுவீர்கள்.

   2. இடமிருந்து வரும் முதல் ஜோடி எண்களுக்கு (அல்லது ஒற்றை எண்) பெரிய முழு எண் n ஐக் கண்டறியவும், அதன் சதுரம் கேள்விக்குரிய எண்களின் ஜோடியை (அல்லது ஒற்றை எண்) விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது.

      • வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இடதுபுறத்தில் உள்ள முதல் ஜோடி எண்களுக்கு (அல்லது ஒற்றை எண்) மிக நெருக்கமான, ஆனால் அதை விட சிறிய சதுர எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, அந்த சதுர எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; n என்ற எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேல் வலதுபுறத்தில் நீங்கள் கண்டறிந்த n ஐ எழுதவும், கீழ் வலதுபுறத்தில் n இன் சதுரத்தை எழுதவும்.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. எங்கள் விஷயத்தில், இடதுபுறத்தில் முதல் எண் 7 ஆக இருக்கும். அடுத்து, 4இடதுபுறத்தில் உள்ள முதல் ஜோடி எண்களிலிருந்து (அல்லது ஒற்றை எண்) நீங்கள் இப்போது கண்டறிந்த எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கழிக்கவும்.

      • சப்ட்ராஹெண்டின் கீழ் கணக்கீட்டின் முடிவை எழுதவும் (n எண்ணின் வர்க்கம்).

   4. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 7 இலிருந்து 4 ஐக் கழித்து 3 ஐப் பெறுங்கள்.இரண்டாவது ஜோடி எண்களை எடுத்து, முந்தைய கட்டத்தில் பெறப்பட்ட மதிப்புக்கு அடுத்ததாக எழுதுங்கள்.

      • பின்னர் மேல் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணை இரட்டிப்பாக்கி, முடிவை கீழே வலதுபுறத்தில் "_×_=" சேர்த்து எழுதவும்.

   5. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இரண்டாவது ஜோடி எண்கள் "80" ஆகும். 3 க்குப் பிறகு "80" என்று எழுதவும். பின்னர், மேல் வலதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டு மடங்கு எண் 4 ஐக் கொடுக்கும். கீழ் வலதுபுறத்தில் "4_×_=" என்று எழுதவும்.

      • எங்கள் விஷயத்தில், கோடுகளுக்குப் பதிலாக 8 என்ற எண்ணை வைத்தால், 48 x 8 = 384, இது 380 ஐ விட அதிகமாகும். எனவே, 8 மிகவும் பெரிய எண், ஆனால் 7 செய்யும். கோடுகளுக்குப் பதிலாக 7 ஐ எழுதிப் பெறுங்கள்: 47 x 7 = 329. மேல் வலதுபுறத்தில் 7 ஐ எழுதவும் - இது 780.14 எண்ணின் விரும்பிய வர்க்க மூலத்தில் இரண்டாவது இலக்கமாகும்.

   6. இடதுபுறத்தில் உள்ள தற்போதைய எண்ணிலிருந்து விளைந்த எண்ணைக் கழிக்கவும்.இடதுபுறத்தில் உள்ள தற்போதைய எண்ணின் கீழ் முந்தைய படியிலிருந்து முடிவை எழுதவும், வேறுபாட்டைக் கண்டறிந்து, துணைப் பிரிவின் கீழ் எழுதவும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 380 இலிருந்து 329 ஐக் கழிக்கவும், இது 51 க்கு சமம்.

   7. படி 4 ஐ மீண்டும் செய்யவும்.மாற்றப்படும் ஜோடி எண்கள் அசல் எண்ணின் பகுதியளவு பகுதியாக இருந்தால், மேல் வலதுபுறத்தில் தேவையான சதுர மூலத்தில் முழு எண் மற்றும் பின்ன பகுதிகளுக்கு இடையே ஒரு பிரிப்பான் (காற்புள்ளி) வைக்கவும். இடதுபுறத்தில், அடுத்த ஜோடி எண்களைக் கீழே கொண்டு வாருங்கள். மேல் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணை இரட்டிப்பாக்கி, முடிவை கீழே வலதுபுறத்தில் "_×_=" சேர்த்து எழுதவும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அகற்றப்படும் அடுத்த ஜோடி எண்கள் 780.14 என்ற எண்ணின் பகுதியளவு பகுதியாக இருக்கும், எனவே முழு எண் மற்றும் பின்னம் பகுதிகளின் பிரிப்பானை மேல் வலதுபுறத்தில் விரும்பிய வர்க்க மூலத்தில் வைக்கவும். 14ஐ இறக்கி கீழே இடதுபுறத்தில் எழுதவும். மேல் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணை (27) இரட்டிப்பாக்கு 54, எனவே கீழ் வலதுபுறத்தில் "54_×_=" என்று எழுதவும்.

   8. 5 மற்றும் 6 படிகளை மீண்டும் செய்யவும்.வலதுபுறத்தில் உள்ள கோடுகளுக்குப் பதிலாக மிகப்பெரிய எண்ணைக் கண்டறியவும் (கோடுகளுக்குப் பதிலாக அதே எண்ணை நீங்கள் மாற்ற வேண்டும்) அதனால் பெருக்கத்தின் முடிவு இடதுபுறத்தில் உள்ள தற்போதைய எண்ணை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 549 x 9 = 4941, இது இடதுபுறத்தில் உள்ள தற்போதைய எண்ணை விட (5114) குறைவாக உள்ளது. மேல் வலதுபுறத்தில் 9 ஐ எழுதி, இடதுபுறத்தில் உள்ள தற்போதைய எண்ணிலிருந்து பெருக்கத்தின் முடிவைக் கழிக்கவும்: 5114 - 4941 = 173.

   9. நீங்கள் சதுர மூலத்திற்கு அதிக தசம இடங்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், தற்போதைய எண்ணின் இடதுபுறத்தில் இரண்டு பூஜ்ஜியங்களை எழுதி, 4, 5 மற்றும் 6 படிகளை மீண்டும் செய்யவும். பதிலைத் துல்லியமாக (தசம இடங்களின் எண்ணிக்கை) பெறும் வரை படிகளை மீண்டும் செய்யவும். தேவை.

   செயல்முறையைப் புரிந்துகொள்வது

   இந்த முறையை மாஸ்டர் செய்ய, சதுர S இன் பரப்பளவை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய வர்க்க மூலத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். இந்த விஷயத்தில், அத்தகைய சதுரத்தின் L பக்கத்தின் நீளத்தை நீங்கள் தேடுவீர்கள். L இன் மதிப்பை L² = S என்று கணக்கிடுகிறோம்.

   பதிலில் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒரு கடிதம் கொடுங்கள். L இன் மதிப்பில் உள்ள முதல் இலக்கத்தை A ஆல் குறிப்போம் (விரும்பிய வர்க்கமூலம்). பி இரண்டாவது இலக்கமாகவும், சி மூன்றாவது இலக்கமாகவும் இருக்கும்.

   முதல் இலக்கங்களின் ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் ஒரு எழுத்தைக் குறிப்பிடவும். S இன் மதிப்பில் உள்ள முதல் ஜோடி இலக்கங்களை S a ஆல் குறிப்போம், Sb மூலம் இரண்டாவது ஜோடி இலக்கங்கள் மற்றும் பல.

   இந்த முறைக்கும் நீண்ட பிரிவுக்கும் உள்ள தொடர்பைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.ஒவ்வொரு முறையும் நாம் வகுக்கும் எண்ணின் அடுத்த இலக்கத்தில் மட்டுமே ஆர்வம் காட்டுவதைப் போலவே, வகுப்பின் செயல்பாட்டைப் போலவே, ஒரு வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிடும்போது, ​​ஒரு ஜோடி இலக்கங்களுடன் வரிசையாக (சதுரத்தில் அடுத்த ஒரு இலக்கத்தைப் பெற) வேலை செய்கிறோம். மூல மதிப்பு).

   1. S எண்ணின் Sa இன் முதல் ஜோடி இலக்கங்களைக் கவனியுங்கள் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் Sa = 7) அதன் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டறியவும்.இந்த வழக்கில், வர்க்க மூலத்தின் விரும்பிய மதிப்பின் முதல் இலக்கமான A ஆனது S a ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் இலக்கமாக இருக்கும் (அதாவது, A² ≤ Sa என்ற சமத்துவமின்மை A² ≤ Sa ஐத் தேடுகிறோம்.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962 ஐ 7 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்; இங்கே முதல் படி ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்: வகுபடும் எண்ணான 88962 (8) இன் முதல் இலக்கத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம் மற்றும் 7 ஆல் பெருக்கப்படும் போது, ​​8 ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான மதிப்பை வழங்கும் மிகப்பெரிய எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். அதாவது, நாங்கள் தேடுகிறோம் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் ஒரு எண் d: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. நீங்கள் கணக்கிட வேண்டிய ஒரு சதுரத்தை மனதளவில் கற்பனை செய்து பாருங்கள்.நீங்கள் L ஐத் தேடுகிறீர்கள், அதாவது, S க்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம். A, B, C ஆகியவை L எண்ணில் உள்ள எண்கள். நீங்கள் அதை வேறு விதமாக எழுதலாம்: 10A + B = L (க்கு இரண்டு இலக்க எண்) அல்லது 100A + 10B + C = L (மூன்று இலக்க எண்ணுக்கு) மற்றும் பல.

      • விடுங்கள் (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B என்பது ஒரு எண் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், இதில் இலக்கம் B என்பது அலகுகளைக் குறிக்கிறது மற்றும் இலக்க A என்பது பத்துகளைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, A=1 மற்றும் B=2 எனில், 10A+B என்பது 12 என்ற எண்ணுக்குச் சமம். (10A+B)²முழு சதுரத்தின் பரப்பளவு, 100A²- பெரிய உள் சதுரத்தின் பரப்பளவு, B²- சிறிய உள் சதுரத்தின் பரப்பளவு, 10A×B- இரண்டு செவ்வகங்களில் ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு. விவரிக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், அசல் சதுரத்தின் பகுதியைக் காண்பீர்கள்.