Vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij. Izrazimo skozi vse inverzne trigonometrične funkcije

Inverzna kosinusna funkcija

Območje vrednosti funkcije y=cos x (glej sliko 2) je segment. Na segmentu je funkcija zvezna in monotono padajoča.

riž. 2

To pomeni, da je funkcija inverzna funkciji y=cos x definirana na segmentu. Ta inverzna funkcija se imenuje arc kosinus in je označena z y=arccos x.

Opredelitev

Arkosinus števila a, če je |a|1, je kot, katerega kosinus pripada segmentu; označena je z arccos a.

Tako je arccos a kot, ki izpolnjuje naslednja dva pogoja: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Na primer arccos, saj cos in; arccos, saj cos in.

Funkcija y = arccos x (slika 3) je definirana na segmentu; njen obseg vrednosti je segment. Na segmentu je funkcija y=arccos x zvezna in monotono padajoča od p do 0 (ker je y=cos x zvezna in monotono padajoča funkcija na segmentu); na koncih segmenta doseže svoje skrajne vrednosti: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Upoštevajte, da je arccos 0 = . Graf funkcije y = arccos x (glej sliko 3) je simetričen grafu funkcije y = cos x glede na premico y=x.

riž. 3

Pokažimo, da velja enakost arccos(-x) = p-arccos x.

Pravzaprav je po definiciji 0? arccos x? r. Če pomnožimo z (-1) vse dele zadnje dvojne neenakosti, dobimo - p? arccos x? 0. Če dodamo p vsem delom zadnje neenakosti, ugotovimo, da je 0? p-arccos x? r.

Tako vrednosti kotov arccos(-x) in p - arccos x pripadajo istemu segmentu. Ker kosinus na odseku monotono pada, na njem ne moreta biti dva različna kota z enakima kosinusoma. Poiščimo kosinuse kotov arccos(-x) in p-arccos x. Po definiciji je cos (arccos x) = - x, po redukcijskih formulah in po definiciji imamo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Torej, kosinusi kotov so enaki, kar pomeni, da so sami koti enaki.

Funkcija inverznega sinusa

Oglejmo si funkcijo y=sin x (slika 6), ki je na segmentu [-р/2;р/2] naraščajoča, zvezna in zavzema vrednosti iz segmenta [-1; 1]. To pomeni, da na segmentu [- p/2; р/2] je definirana inverzna funkcija funkcije y=sin x.

riž. 6

Ta inverzna funkcija se imenuje arcsinus in je označena z y=arcsin x. Uvedimo definicijo arksina števila.

Arkussin števila je kot (ali lok), katerega sinus je enako številu a in ki pripada segmentu [-р/2; p/2]; označena je z arcsin a.

Tako je arcsin a kot, ki izpolnjuje naslednje pogoje: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2? arcsin kaj? r/2. Na primer, ker greh in [- str/2; p/2]; arcsin, ker je sin = u [- p/2; str/2].

Funkcija y=arcsin x (slika 7) je definirana na segmentu [- 1; 1], obseg njegovih vrednosti je segment [-р/2;р/2]. Na segmentu [- 1; 1] je funkcija y=arcsin x zvezna in monotono narašča od -p/2 do p/2 (to izhaja iz dejstva, da je funkcija y=sin x na segmentu [-p/2; p/2] zvezna in monotono narašča). Največjo vrednost ima pri x = 1: arcsin 1 = p/2, najmanjšo pa pri x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Pri x = 0 je funkcija nič: arcsin 0 = 0.

Pokažimo, da je funkcija y = arcsin x liha, tj. arcsin(-x) = - arcsin x za poljuben x [ - 1; 1].

Dejansko po definiciji, če |x| ?1, imamo: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Tako sta kota arcsin(-x) in - arcsin x pripada istemu segmentu [ - p/2; str/2].

Poiščimo sinuse teh koti: sin (arcsin(-x)) = - x (po definiciji); ker je funkcija y=sin x liha, potem sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Torej, sinusi kotov, ki pripadajo istemu intervalu [-р/2; p/2], sta enaka, kar pomeni, da sta tudi sama kota enaka, tj. arcsin (-x)= - arcsin x. To pomeni, da je funkcija y=arcsin x liha. Graf funkcije y=arcsin x je simetričen glede na izhodišče.

Pokažimo, da je arcsin (sin x) = x za vsak x [-р/2; str/2].

Res, po definiciji -p/2? arcsin (sin x)? p/2, in po pogoju -p/2? x? r/2. To pomeni, da kota x in arcsin (sin x) pripadata istemu intervalu monotonosti funkcije y=sin x. Če so sinusi takšnih kotov enaki, potem so tudi koti enaki. Poiščimo sinuse teh kotov: za kot x imamo sin x, za kot arcsin (sin x) imamo sin (arcsin(sin x)) = sin x. Ugotovili smo, da so sinusi kotov enaki, torej sta kota enaka, tj. arcsin(sin x) = x. .

riž. 7

riž. 8

Graf funkcije arcsin (sin|x|) dobimo z običajnimi transformacijami, povezanimi z modulom iz grafa y=arcsin (sin x) (prikazan s črtkano črto na sliki 8). Želeni graf y=arcsin (sin |x-/4|) dobimo iz njega s premikom za /4 v desno vzdolž osi x (prikazano kot polna črta na sliki 8)

Inverzna funkcija tangente

Funkcija y=tg x na intervalu zavzame vse številske vrednosti: E (tg x)=. V tem intervalu je zvezen in monotono narašča. To pomeni, da je na intervalu definirana funkcija inverzna funkciji y = tan x. Ta inverzna funkcija se imenuje arktangens in je označena z y = arctan x.

Arktangens a je kot iz intervala, katerega tangens je enak a. Torej je arctg a kot, ki izpolnjuje naslednje pogoje: tg (arctg a) = a in 0? arctg a ? r.

Torej vsako število x vedno ustreza eni sami vrednosti funkcije y = arctan x (slika 9).

Očitno je D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funkcija y = arctan x narašča, ker funkcija y = tan x narašča na intervalu. Ni težko dokazati, da je arctg(-x) = - arctgx, tj. da je arktangens nenavadna funkcija.

riž. 9

Graf funkcije y = arctan x je simetričen grafu funkcije y = tan x glede na premico y = x, graf y = arctan x poteka skozi izhodišče koordinat (ker je arctan 0 = 0) in je simetričen glede na izvor (kot graf lihe funkcije).

Lahko se dokaže, da je arctan (tan x) = x, če je x.

Kotangens inverzne funkcije

Funkcija y = ctg x na intervalu vzame vse številske vrednosti iz intervala. Razpon njegovih vrednosti sovpada z nizom vseh realnih števil. V intervalu je funkcija y = cot x zvezna in monotono narašča. To pomeni, da je na tem intervalu definirana funkcija, ki je inverzna funkciji y = cot x. Inverzna funkcija kotangensa se imenuje arccotangens in jo označimo z y = arcctg x.

Arkus kotangens a je kot, ki pripada intervalu, katerega kotangens je enak a.

Torej je arcctg a kot, ki izpolnjuje naslednje pogoje: ctg (arcctg a)=a in 0? arcctg a ? r.

Iz definicije inverzna funkcija in iz definicije arktangensa sledi, da je D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Arkus kotangens je padajoča funkcija, ker funkcija y = ctg x pada v intervalu.

Graf funkcije y = arcctg x ne seka osi Ox, saj je y > 0 R. Za x = 0 velja y = arcctg 0 =.

Graf funkcije y = arcctg x je prikazan na sliki 11.

riž. 11

Upoštevajte, da je za vse realne vrednosti x enaka resnična: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Vzvratno trigonometrične funkcije se pogosto uporabljajo v matematični analizi. Vendar pa večini srednješolcev naloge, povezane s to vrsto funkcije, povzročajo precejšnje težave. To je predvsem posledica dejstva, da v številnih učbenikih in učbeniki Tovrstnim težavam se posveča premalo pozornosti. In če se učenci vsaj nekako spopadejo s težavami pri izračunavanju vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij, potem enačbe in neenakosti, ki vsebujejo takšne funkcije, otroke večinoma begajo. Pravzaprav to niti ni presenetljivo, saj praktično noben učbenik ne pojasnjuje, kako rešiti tudi najpreprostejše enačbe in neenačbe, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije.

Oglejmo si več enačb in neenačb, ki vključujejo inverzne trigonometrične funkcije, in jih rešimo s podrobnimi razlagami.

Primer 1.

Rešite enačbo: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

rešitev.

Izrazimo inverzno trigonometrično funkcijo iz enačbe, dobimo:

lok (2x + 3) = 5π/6. Zdaj pa uporabimo definicijo ark kosinusa.

Arkus kosinus določenega števila a, ki pripada segmentu od -1 do 1, je kot y iz segmenta od 0 do π, tako da je njegov kosinus enak številu x. Zato lahko zapišemo takole:

2x + 3 = cos 5π/6.

Zapišimo desno stran dobljene enačbe z redukcijsko formulo:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Zreducirajmo desno stran na skupni imenovalec.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

odgovor: -(6 + √3) / 4 .

Primer 2.

Rešite enačbo: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

rešitev.

Ker je cos (arcсos x) = x, pri čemer x pripada [-1; 1], potem je ta enačba enakovredna sistemu:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Rešimo enačbo, vključeno v sistem.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Je kvadraten, tako da to dobimo

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Rešimo dvojno neenačbo, vključeno v sistem.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Dodajte 9 vsem delom, imamo:

8 ≤ 4x ≤ 10. Vsako število delimo s 4, dobimo:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Sedaj pa združimo odgovore, ki smo jih prejeli. Lahko vidimo, da koren x = 7 ne zadosti odgovoru na neenakost. zato edina rešitev enačba bo x = 2.

Odgovor: 2.

Primer 3.

Reši enačbo: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

rešitev.

Ker je tg (arctg x) = x za vse realna števila, potem je ta enačba enakovredna enačbi:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Rešimo rezultat kvadratna enačba z uporabo diskriminanta, ki ga je predhodno spravil v standardno obliko.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Odgovor: 1; 2.

Primer 4.

Rešite enačbo: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

rešitev.

Ker je arcctg f(x) = arcctg g(x) če in samo če je f(x) = g(x), potem

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Rešimo nastalo kvadratno enačbo:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Z Vietovim izrekom dobimo to

x = 1 ali x = 2.

Odgovor: 1; 2.

Primer 5.

Rešite enačbo: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

rešitev.

Ker je enačba oblike arcsin f(x) = arcsin g(x) enakovredna sistemu

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

potem je prvotna enačba enakovredna sistemu:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Rešimo nastali sistem:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Iz prve enačbe z uporabo Vietovega izreka dobimo, da je x = 1 ali x = 7. Če rešimo drugo neenačbo sistema, ugotovimo, da je 7 ≤ x ≤ 8. Zato je samo koren x = 7 primeren za končno odgovor.

Odgovor: 7.

Primer 6.

Rešite enačbo: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

rešitev.

Naj bo arccos x = t, potem t pripada segmentu in enačba ima obliko:

t 2 – 6t + 8 = 0. Rešimo dobljeno kvadratno enačbo z uporabo Vietovega izreka, ugotovimo, da je t = 2 ali t = 4.

Ker t = 4 ne pripada segmentu, dobimo, da je t = 2, tj. arccos x = 2, kar pomeni x = cos 2.

Odgovor: cos 2.

Primer 7.

Rešite enačbo: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

rešitev.

Uporabimo enakost arcsin x + arccos x = π/2 in zapišimo enačbo v obliki

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Naj bo arcsin x = t, potem t pripada segmentu [-π/2; π/2] in enačba ima obliko:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Rešimo nastalo enačbo:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Če vsak člen pomnožimo z 9, da se znebimo ulomkov v enačbi, dobimo:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Poiščimo diskriminanco in rešimo dobljeno enačbo:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 ali t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 ali t = 12π/36.

Po zmanjšanju imamo:

t = π/6 ali t = π/3. Potem

arcsin x = π/6 ali arcsin x = π/3.

Tako je x = sin π/6 ali x = sin π/3. To je x = 1/2 ali x =√3/2.

Odgovor: 1/2; √3/2.

Primer 8.

Poiščite vrednost izraza 5nx 0, kjer je n število korenin, x 0 pa negativni koren enačbe 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.

rešitev.

Ker je -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, potem je -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Še več, (x + 1) 2 ≥ 0 za vse realne x,
potem -(x + 1) 2 ≤ 0 in -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Tako ima enačba lahko rešitev, če sta obe strani hkrati enaki –π, tj. enačba je enakovredna sistemu:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Rešimo nastali sistem enačb:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Iz druge enačbe imamo, da je x = -1 oziroma n = 1, potem je 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Odgovor: -5.

Kot kaže praksa, je sposobnost reševanja enačb z inverznimi trigonometričnimi funkcijami nujen pogoj uspešen zaključek izpiti. Zato je usposabljanje za reševanje takšnih težav preprosto potrebno in obvezno pri pripravi na enotni državni izpit.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti enačbe?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Lekcije 32-33. Inverzne trigonometrične funkcije

09.07.2015 5917 0

Cilj: obravnava inverzne trigonometrične funkcije in njihovo uporabo za pisanje rešitev trigonometrične enačbe.

I. Sporočanje teme in namena učnih ur

II. Učenje nove snovi

1. Inverzne trigonometrične funkcije

Začnimo razpravo o tej temi z naslednjim primerom.

Primer 1

Rešimo enačbo: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Na ordinatno os nanesemo vrednost 1/2 in sestavimo kote x 1 in x2, za kar greh x = 1/2. V tem primeru x1 + x2 = π, od koder je x2 = π – x 1 . S pomočjo tabele vrednosti trigonometričnih funkcij najdemo vrednost x1 = π/6, torejUpoštevajmo periodičnost sinusne funkcije in zapišimo rešitve te enačbe:kjer je k ∈ Z.

b) Očitno algoritem za rešitev enačbe greh x = a je enak kot v prejšnjem odstavku. Seveda je zdaj vrednost a narisana vzdolž ordinatne osi. Treba je nekako določiti kot x1. Dogovorili smo se, da ta kot označimo s simbolom arcsin A. Potem lahko rešitve te enačbe zapišemo v oblikiTi dve formuli je mogoče združiti v eno: hkrati

Preostale inverzne trigonometrične funkcije uvedemo na podoben način.

Zelo pogosto je treba določiti velikost kota z znana vrednost njegovo trigonometrično funkcijo. Takšen problem je večvredni - obstaja nešteto kotov, katerih trigonometrične funkcije so enake isti vrednosti. Zato so na podlagi monotonosti trigonometričnih funkcij uvedene naslednje inverzne trigonometrične funkcije za enolično določanje kotov.

Arkus sin števila a (arcsin , katerega sinus je enak a, tj.

Arkus kosinus števila a(arccos a) je kot a iz intervala, katerega kosinus je enak a, tj.

Arktangens števila a(arctg a) - takšen kot a iz intervalakaterega tangens je enak a, tj.tg a = a.

Arkotangens števila a(arcctg a) je kot a iz intervala (0; π), katerega kotangens je enak a, tj. ctg a = a.

Primer 2

Poiščimo:

Ob upoštevanju definicij inverznih trigonometričnih funkcij dobimo:

Primer 3

Izračunajmo

Naj bo kot a = arcsin 3/5, potem po definiciji sin a = 3/5 in . Zato moramo najti cos A. Uporaba osnovnega trigonometrična identiteta, dobimo:Upošteva se, da je cos a ≥ 0. Torej,

Lastnosti funkcije	funkcija
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Domena definicije	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Razpon vrednosti	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2; π/2)	y ∈ (0; π)
Pariteta	Čudno	Niti sodo niti liho	Čudno	Niti sodo niti liho
Funkcijske ničle (y = 0)	Pri x = 0	Pri x = 1	Pri x = 0	y ≠ 0
Intervali konstantnosti predznaka	y > 0 za x ∈ (0; 1], pri< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 za x ∈ [-1; 1)	y > 0 za x ∈ (0; +∞), pri< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 za x ∈ (-∞; +∞)
Monotona	Povečanje	Sestopanje	Povečanje	Sestopanje
Odnos do trigonometrične funkcije	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Urnik

Naj navedemo več tipičnih primerov, povezanih z definicijami in osnovnimi lastnostmi inverznih trigonometričnih funkcij.

Primer 4

Poiščimo domeno definicije funkcije

Da bi bila funkcija y definirana, mora biti izpolnjena neenakostkar je enakovredno sistemu neenačbRešitev prve neenačbe je interval x∈ (-∞; +∞), sekunda - Ta interval in je rešitev sistema neenačb in zato domena definicije funkcije

Primer 5

Poiščimo območje spremembe funkcije

Oglejmo si obnašanje funkcije z = 2x - x2 (glej sliko).

Jasno je, da je z ∈ (-∞; 1]. Glede na to, da argument z funkcija ark kotangens se spreminja v določenih mejah, kar dobimo iz podatkov tabeleTako je območje sprememb

Primer 6

Dokažimo, da je funkcija y = arctg x liho. NajPotem je tg a = -x ali x = - tg a = tg (- a) in Zato je - a = arctg x ali a = - arctg X. Tako vidimo, datj. y(x) je liha funkcija.

Primer 7

Izrazimo skozi vse inverzne trigonometrične funkcije

Naj To je očitno Potem od takrat

Predstavimo kot Ker to

Podobno torej in

Torej,

Primer 8

Zgradimo graf funkcije y = cos(arcsin x).

Označimo torej a = arcsin x Upoštevajmo, da je x = sin a in y = cos a, torej x 2 + y2 = 1 in omejitve na x (x∈ [-1; 1]) in y (y ≥ 0). Nato je graf funkcije y = cos(arcsin x) je polkrog.

Primer 9

Zgradimo graf funkcije y = arccos (cos x).

Ker je funkcija cos x spremembe na intervalu [-1; 1], potem je funkcija y definirana na celotni numerični osi in se spreminja na segmentu . Upoštevajmo, da je y = arccos(cosx) = x na segmentu; funkcija y je soda in periodična s periodo 2π. Glede na to, da ima funkcija te lastnosti cos x Zdaj je preprosto ustvariti graf.

Omenimo nekaj uporabnih enakosti:

Primer 10

Poiščimo najmanjši in najvišjo vrednost funkcije Označimo Potem Dobimo funkcijo Ta funkcija ima minimum na točki z = π/4 in je enak Največjo vrednost funkcija doseže v točki z = -π/2 in je enako Tako in

Primer 11

Rešimo enačbo

Upoštevajmo to Potem je enačba videti takole:oz kjer Po definiciji arktangensa dobimo:

2. Reševanje preprostih trigonometričnih enačb

Podobno kot v primeru 1 lahko dobite rešitve najenostavnejših trigonometričnih enačb.

Enačba	rešitev
tgx = a
ctg x = a

Primer 12

Rešimo enačbo

Ker je sinusna funkcija liha, enačbo zapišemo v oblikiRešitve te enačbe:od kje ga najdemo?

Primer 13

Rešimo enačbo

Z dano formulo zapišemo rešitve enačbe:in bomo našli

Upoštevajte, da v posebnih primerih (a = 0; ±1) pri reševanju enačb sin x = a in cos x = in lažje in bolj priročno je uporabljati ne splošne formule, ampak zapisati rešitve na podlagi enotskega kroga:

za enačbo sin x = 1 rešitev

za enačbo sin x = 0 rešitve x = π k;

za enačbo sin x = -1 rešitev

za cos enačbo x = 1 rešitve x = 2π k ;

za enačbo cos x = 0 rešitve

za enačbo cos x = -1 rešitev

Primer 14

Rešimo enačbo

Ker v tem primeru obstaja poseben primer enačbe, nato z ustrezno formulo zapišemo rešitev:kje ga lahko najdemo?

III. Kontrolna vprašanja (frontalna anketa)

1. Definirajte in naštejte glavne lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij.

2. Podajte grafe inverznih trigonometričnih funkcij.

3. Reševanje preprostih trigonometričnih enačb.

IV. Naloga lekcije

§ 15, št. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, št. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, št. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Domača naloga

§ 15, št. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, št. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, št. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Ustvarjalne naloge

1. Poiščite domeno funkcije:

odgovori:

2. Poiščite obseg funkcije:

odgovori:

3. Graf funkcije:

VII. Povzetek lekcij

Funkcije sin, cos, tg in ctg vedno spremljajo arksinus, arkosinus, arktangens in arkotangens. Eno je posledica drugega in pari funkcij so enako pomembni za delo s trigonometričnimi izrazi.

Razmislite o risbi enotskega kroga, ki grafično prikazuje vrednosti trigonometričnih funkcij.

Če izračunamo loke OA, arcos OC, arctg DE in arcctg MK, potem bodo vsi enaki vrednosti kota α. Spodnje formule odražajo razmerje med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami in njihovimi ustreznimi loki.

Da bi razumeli več o lastnostih arkusina, je treba upoštevati njegovo funkcijo. Urnik ima obliko asimetrične krivulje, ki poteka skozi koordinatno središče.

Lastnosti arkusina:

Če primerjamo grafe greh in arcsin, imata lahko dve trigonometrični funkciji skupna načela.

ark kosinus

Arccos števila je vrednost kota α, katerega kosinus je enak a.

Krivulja y = arcos x zrcali graf arcsin x, z edino razliko, da gre skozi točko π/2 na osi OY.

Oglejmo si podrobneje funkcijo ark kosinusa:

1. Funkcija je definirana na intervalu [-1; 1].
2. ODZ za arccos - .
3. Graf se v celoti nahaja v prvi in ​​drugi četrtini, sama funkcija pa ni niti soda niti liha.
4. Y = 0 pri x = 1.
5. Krivulja se po celotni dolžini zmanjšuje. Nekatere lastnosti ark kosinusa sovpadajo s kosinusno funkcijo.

Nekatere lastnosti ark kosinusa sovpadajo s kosinusno funkcijo.

Morda se bo šolarjem tako "podrobno" preučevanje "lokov" zdelo nepotrebno. Sicer pa nekaj osnovnih tipičnih Naloge za enotni državni izpit lahko študente spravi v zmedo.

Naloga 1. Označite funkcije, prikazane na sliki.

odgovor: riž. 1 – 4, sl. 2 – 1.

V tem primeru je poudarek na malenkostih. Običajno so učenci zelo nepozorni na sestavo grafov in videz funkcij. Zakaj bi si pravzaprav zapomnili vrsto krivulje, če jo je vedno mogoče narisati z izračunanimi točkami. Ne pozabite, da je v testnih pogojih čas, porabljen za risanje preprosta naloga, bodo potrebni za reševanje zahtevnejših nalog.

Arktangens

Arctgštevili a sta vrednost kota α, katerega tangens je enak a.

Če upoštevamo graf arktangensa, lahko izpostavimo naslednje lastnosti:

1. Graf je neskončen in definiran na intervalu (- ∞; + ∞).
2. Arktangens je liha funkcija, zato je arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 pri x = 0.
4. Krivulja se povečuje po celotnem območju definicije.

Tukaj je na kratko primerjalna analiza tg x in arctg x v obliki tabele.

Arkotangens

Arcctg števila - vzame vrednost α iz intervala (0; π), tako da je njegov kotangens enak a.

Lastnosti funkcije ark kotangens:

1. Interval definicije funkcije je neskončen.
2. Razpon sprejemljivih vrednosti je interval (0; π).
3. F(x) ni niti sodo niti liho.
4. Po vsej dolžini se graf funkcije znižuje.

Zelo preprosto je primerjati ctg x in arctg x; samo naredite dve risbi in opišite obnašanje krivulj.

Naloga 2. Poveži graf in zapis funkcije.

Če logično razmišljamo, je iz grafov razvidno, da obe funkciji naraščata. Zato obe sliki prikazujeta določeno arktanovo funkcijo. Iz lastnosti arktangenta je znano, da je y=0 pri x = 0,

odgovor: riž. 1 – 1, sl. 2 – 4.

Trigonometrične identitete arcsin, arcos, arctg in arcctg

Prej smo že ugotovili razmerje med loki in osnovnimi funkcijami trigonometrije. To odvisnost je mogoče izraziti s številnimi formulami, ki omogočajo izražanje na primer sinusa argumenta prek njegovega arksinusa, arkkosinusa ali obratno. Poznavanje takšnih identitet je lahko koristno pri reševanju konkretnih primerov.

Obstajajo tudi razmerja za arctg in arcctg:

Drug uporaben par formul nastavi vrednost za vsoto arcsin in arcos ter arcctg in arcctg istega kota.

Primeri reševanja problemov

Trigonometrične naloge lahko razdelimo v štiri skupine: izračunajte številsko vrednost določenega izraza, zgradite graf dane funkcije, poiščite njeno definicijsko domeno ali ODZ in izvedite analitične transformacije za rešitev primera.

Pri reševanju prve vrste problema se morate držati naslednjega akcijskega načrta:

Pri delu s funkcijskimi grafi je glavna stvar poznavanje njihovih lastnosti in videz ukrivljen. Reševanje trigonometričnih enačb in neenačb zahteva identifikacijske tabele. kako več formul si učenca zapomni, lažje najde odgovor na nalogo.

Recimo, da morate na enotnem državnem izpitu najti odgovor za enačbo, kot je:

Če pravilno preoblikujemo izraz in vodimo do pravi tip, potem je rešitev zelo preprosta in hitra. Najprej premaknimo arcsin x na desno stran enakosti.

Če se spomnite formule arcsin (sin α) = α, potem lahko iskanje odgovorov zmanjšamo na reševanje sistema dveh enačb:

Omejitev na model x je nastala, spet iz lastnosti arcsin: ODZ za x [-1; 1]. Ko je a ≠0, je del sistema kvadratna enačba s korenoma x1 = 1 in x2 = - 1/a. Ko je a = 0, bo x enak 1.