Sistemi linearnih neenačb in konveksne množice točk. Reševanje neenačb. Na voljo o reševanju neenakosti

Sistem neenakosti.
Primer 1. Poiščite domeno izraza
rešitev. Pod znakom kvadratni koren obstajati mora nenegativno število, kar pomeni, da morata biti hkrati izpolnjeni dve neenakosti: V takih primerih pravijo, da se problem zmanjša na reševanje sistema neenakosti

Toda s takim matematičnim modelom (sistemom neenakosti) se še nismo srečali. To pomeni, da še ne moremo dokončati rešitve primera.

Neenakosti, ki tvorijo sistem, so združene z zavitim oklepajem (enako velja za sisteme enačb). Na primer, zapis

pomeni, da sta neenačbi 2x - 1 > 3 in 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Včasih je sistem neenakosti zapisan v obliki dvojne neenakosti. Na primer sistem neenakosti

lahko zapišemo kot dvojno neenakost 3<2х-1<11.

Pri predmetu algebra v 9. razredu bomo obravnavali le sisteme dveh neenačb.

Razmislite o sistemu neenakosti

Izberete lahko več njegovih posebnih rešitev, na primer x = 3, x = 4, x = 3,5. Pravzaprav ima za x = 3 prva neenakost obliko 5 > 3, druga pa obliko 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Hkrati pa vrednost x = 5 ni rešitev sistema neenačb. Pri x = 5 ima prva neenakost obliko 9 > 3 - pravilna numerična neenakost, druga pa obliko 13< 11- неверное числовое неравенство .
Rešiti sistem neenačb pomeni najti vse njegove partikularne rešitve. Jasno je, da zgoraj prikazano ugibanje ni metoda za reševanje sistema neenačb. V naslednjem primeru bomo pokazali, kako ljudje običajno sklepajo, ko rešujejo sistem neenačb.

Primer 3. Rešite sistem neenačb:

rešitev.

A) Pri reševanju prve neenačbe sistema najdemo 2x > 4, x > 2; rešujemo drugo neenačbo sistema, najdemo 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Z rešitvijo prve neenačbe sistema najdemo x > 2; reševanje druge neenačbe sistema, ugotovimo Označimo te intervale na eni koordinatni premici, pri čemer za prvi interval uporabimo zgornjo šrafuro, za drugega pa spodnjo (slika 23). Rešitev sistema neenačb bo presečišče rešitev neenačb sistema, tj. interval, kjer obe šrafuri sovpadata. V obravnavanem primeru dobimo žarek

V)Če rešimo prvo neenakost sistema, najdemo x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Posplošimo sklepanje, izvedeno v obravnavanem primeru. Recimo, da moramo rešiti sistem neenačb

Naj bo na primer interval (a, b) rešitev neenačbe fx 2 > g(x), interval (c, d) pa rešitev neenačbe f 2 (x) > s 2 (x ). Te intervale označimo na eni koordinatni premici, pri čemer za prvi interval uporabimo zgornjo šrafuro, za drugega pa spodnjo šrafuro (slika 25). Rešitev sistema neenačb je presečišče rešitev neenačb sistema, tj. interval, kjer obe šrafuri sovpadata. Na sl. 25 je interval (c, b).

Zdaj lahko enostavno rešimo sistem neenačb, ki smo ga dobili zgoraj v 1. primeru:

Z rešitvijo prve neenačbe sistema najdemo x > 2; pri reševanju druge neenačbe sistema najdemo x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Seveda ni nujno, da je sistem neenakosti sestavljen iz linearne neenakosti, kot je bilo do zdaj; Pojavijo se lahko kakršnekoli racionalne (in ne samo racionalne) neenakosti. Tehnično je delo s sistemom racionalnih nelinearnih neenačb seveda bolj zapleteno, vendar tu ni nič bistveno novega (v primerjavi s sistemi linearnih neenačb).

Primer 4. Rešite sistem neenačb

rešitev.

1) Rešite neenačbo, ki jo imamo
Na številski premici označimo točki -3 in 3 (slika 27). Črto razdelijo na tri intervale in na vsakem intervalu izraz p(x) = (x- 3)(x + 3) ohrani konstanten znak - ti znaki so prikazani na sl. 27. Zanimajo nas intervali, v katerih velja neenakost p(x) > 0 (na sliki 27 so osenčeni), in točke, v katerih velja enakost p(x) = 0, tj. točki x = -3, x = 3 (na sliki 2 7 sta označeni s temnimi krogci). Tako je na sl. Slika 27 predstavlja geometrijski model za rešitev prve neenačbe.

2) Rešite neenačbo, ki jo imamo
Na številski premici označimo točki 0 in 5 (slika 28). Premico razdelijo na tri intervale, na vsakem pa izraz<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (osenčeno na sliki 28) in točke, v katerih je izpolnjena enakost g (x) - O, tj. točki x = 0, x = 5 (na sliki 28 sta označeni s temnimi krogci). Tako je na sl. Slika 28 predstavlja geometrijski model za reševanje druge neenačbe sistema.

3) Označimo najdene rešitve prve in druge neenačbe sistema na isti koordinatni premici, pri čemer uporabimo zgornjo šrafuro rešitve prve neenačbe in spodnjo šrafuro rešitve druge (slika 29). Rešitev sistema neenačb bo presečišče rešitev neenačb sistema, tj. interval, kjer obe šrafuri sovpadata. Tak interval je segment.

Primer 5. Rešite sistem neenačb:

rešitev:

A) Iz prve neenakosti dobimo x >2. Razmislimo o drugi neenakosti. Kvadratni trinom x 2 + x + 2 nima realnih korenin in njegov vodilni koeficient (koeficient pri x 2) je pozitiven. To pomeni, da za vse x velja neenakost x 2 + x + 2>0, zato druga neenačba sistema nima rešitev. Kaj to pomeni za sistem neenakosti? To pomeni, da sistem nima rešitev.

b) Iz prve neenakosti najdemo x > 2, druga neenakost pa je izpolnjena za poljubne vrednosti x. Kaj to pomeni za sistem neenakosti? To pomeni, da ima njena rešitev obliko x>2, tj. sovpada z rešitvijo prve neenačbe.

odgovor:

a) brez rešitev; b) x >2.

Ta primer je ilustracija naslednjega uporabnega

1. Če v sistemu več neenačb z eno spremenljivko ena neenačba nima rešitev, potem sistem nima rešitev.

2. Če je v sistemu dveh neenakosti z eno spremenljivko ena neenakost izpolnjena za katero koli vrednost spremenljivke, potem je rešitev sistema rešitev druge neenakosti sistema.

Ob zaključku tega razdelka se vrnimo k problemu o predvidenem številu, navedenem na začetku, in ga rešimo, kot pravijo, po vseh pravilih.

Primer 2(glej stran 29). Namenjeno naravno število. Znano je, da če kvadratu želenega števila dodate 13, bo vsota večja od zmnožka želenega števila in števila 14. Če kvadratu želenega števila dodate 45, bo vsota biti manj izdelka načrtovano število in število 18. Kakšno število je načrtovano?

rešitev.

Prva stopnja. Izdelava matematičnega modela.
Namenjeno število x, kot smo videli zgoraj, mora zadostiti sistemu neenakosti

Druga stopnja. Delo s sestavljenim matematičnim modelom Pretvorimo prvo neenačbo sistema v obliko
x2- 14x+ 13 > 0.

Poiščimo korenine trinoma x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. S pomočjo parabole y = x 2 - 14x + 13 (slika 30) ugotovimo, da je neenakost, ki nas zanima, zadovoljen pri x< 1 или x > 13.

Pretvorimo drugo neenačbo sistema v obliko x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Lekcija in predstavitev na temo: "Sistemi neenačb. Primeri rešitev"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 9. razred
Interaktivni učbenik za 9. razred "Pravila in vaje iz geometrije"
Elektronski učbenik "Razumljiva geometrija" za 7.-9

Sistem neenakosti

Fantje, preučevali ste linearne in kvadratne neenakosti in se naučili reševati probleme na te teme. Zdaj pa preidimo na nov koncept v matematiki - sistem neenakosti. Sistem neenačb je podoben sistemu enačb. Se spomnite sistemov enačb? V sedmem razredu ste se učili sisteme enačb, poskusite se spomniti, kako ste jih rešili.

Uvedimo definicijo sistema neenačb.
Več neenakosti z neko spremenljivko x tvorijo sistem neenakosti, če morate najti vse vrednosti x, za katere vsaka od neenakosti tvori pravilen numerični izraz.

Vsaka vrednost x, za katero ima vsaka neenačba pravilen numerični izraz, je rešitev neenačbe. Lahko se imenuje tudi zasebna rešitev.
Kaj je zasebna rešitev? Na primer, v odgovoru smo prejeli izraz x>7. Potem je x=8 ali x=123 ali katero koli drugo število, večje od sedem, posebna rešitev in izraz x>7 je splošna rešitev. Splošno rešitev tvorijo številne zasebne rešitve.

Kako smo združili sistem enačb? Tako je, zavit oklepaj, in tako naredijo enako z neenakostmi. Oglejmo si primer sistema neenačb: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Če je sistem neenačb sestavljen iz enakih izrazov, je na primer $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Kaj torej pomeni: najti rešitev za sistem neenakosti?
Rešitev neenačbe je množica delnih rešitev neenačbe, ki zadovoljujejo obe neenačbi sistema hkrati.

Splošno obliko sistema neenačb zapišemo kot $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Označimo $Х_1$ kot splošno rešitev neenačbe f(x)>0.
$X_2$ je splošna rešitev neenačbe g(x)>0.
$X_1$ in $X_2$ sta nabor posebnih rešitev.
Rešitev sistema neenačb bodo števila, ki pripadajo tako $X_1$ kot $X_2$.
Spomnimo se operacij na množicah. Kako najdemo elemente množice, ki pripadajo obema množicama hkrati? Tako je, za to obstaja operacija presečišča. Torej bo rešitev naše neenakosti množica $A= X_1∩ X_2$.

Primeri rešitev sistemov neenačb

Oglejmo si primere reševanja sistemov neenačb.

Rešite sistem neenačb.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
rešitev.
a) Reši vsako neenačbo posebej.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Označimo naše intervale na eni koordinatni premici.

Rešitev sistema bo segment presečišča naših intervalov. Neenakost je stroga, potem bo segment odprt.
Odgovor: (1;3).

B) Reševali bomo tudi vsako neenačbo posebej.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5 $.


Rešitev sistema bo segment presečišča naših intervalov. Druga neenakost je stroga, potem bo segment odprt na levi.
Odgovor: (-5; 5].

Povzemimo, kaj smo se naučili.
Recimo, da je treba rešiti sistem neenačb: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Nato je interval ($x_1; x_2$) rešitev prve neenačbe.
Interval ($y_1; y_2$) je rešitev druge neenačbe.
Rešitev sistema neenačb je presečišče rešitev vsake neenačbe.

Sistemi neenakosti so lahko sestavljeni ne samo iz neenakosti prvega reda, ampak tudi iz vseh drugih vrst neenakosti.

Pomembna pravila za reševanje sistemov neenačb.
Če ena od neenačb sistema nima rešitev, potem celoten sistem nima rešitev.
Če je ena od neenakosti izpolnjena za katero koli vrednost spremenljivke, bo rešitev sistema rešitev druge neenakosti.

Primeri.
Rešite sistem neenačb:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
rešitev.
Rešimo vsako neenačbo posebej.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Rešimo drugo neenačbo.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Rešitev neenačbe je interval.
Narišimo oba intervala na isto premico in poiščimo presečišče.
Presek intervalov je odsek (4; 6].
Odgovor: (4;6].

Rešite sistem neenačb.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

rešitev.
a) Prva neenačba ima rešitev x>1.
Poiščimo diskriminanto za drugo neenakost.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Spomnimo se pravila: če ena od neenačb nima rešitev, potem celoten sistem nima rešitev.
Odgovor: Ni rešitev.

B) Prva neenačba ima rešitev x>1.
Druga neenakost je večja od nič za vse x. Takrat rešitev sistema sovpada z rešitvijo prve neenačbe.
Odgovor: x>1.

Problemi o sistemih neenačb za samostojno reševanje

Rešite sisteme neenačb:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cases)x^2+36

je vsak niz dveh ali več linearnih neenakosti, ki vsebujejo isto neznano količino

Tu so primeri takih sistemov:

Interval presečišča dveh žarkov je naša rešitev. Zato je rešitev te neenakosti vse X ki se nahaja med dva in osem.

odgovor: X

Uporaba te vrste preslikave za reševanje sistema neenačb se včasih imenuje strešna metoda.

definicija: Presečišče dveh množic A in IN se imenuje tretji niz, ki vključuje vse elemente, vključene v A in v IN. To je pomen presečišča množic poljubne narave. Zdaj podrobno obravnavamo numerične nize, zato so pri iskanju linearnih neenakosti takšni nizi žarki - sosmerni, protismerni in tako naprej.

Ugotovimo zares primeri iskanje linearnih sistemov neenačb, kako določiti presečišča množic rešitev posameznih neenačb, vključenih v sistem.

Izračunajmo sistem neenakosti:

Postavimo dve siloviti eno pod drugo. Na vrhu bomo narisali te vrednosti X, ki zadoščajo prvi neenakosti x>7 , in na dnu - ki delujejo kot rešitev druge neenačbe x>10 Primerjajmo rezultate številskih premic in ugotovimo, da bosta obe neenakosti izpolnjeni, ko x>10.

Odgovor: (10;+∞).

To naredimo po analogiji s prvim vzorcem. Na določeno številsko os narišemo vse te vrednosti X za katere prvi obstaja sistem neenakosti, na drugi numerični osi, ki se nahaja pod prvo, pa vse te vrednosti X, za katero je izpolnjena druga neenakost sistema. Primerjajmo ta dva rezultata in ugotovimo, da bosta obe neenakosti hkrati izpolnjeni za vse vrednosti X ki se nahaja med 7 in 10, ob upoštevanju znakov dobimo 7<x≤10

Odgovor: (7; 10].

Naslednji problemi se rešujejo na podoben način. sistemi neenakosti.

V članku bomo razmislili reševanje neenačb. Jasno vam bomo povedali o kako sestaviti rešitev neenakosti, z jasnimi primeri!

Preden si ogledamo reševanje neenačb s primeri, poglejmo osnovne pojme.

Splošne informacije o neenakosti

Neenakost je izraz, v katerem so funkcije povezane z relacijskimi znaki >, . Neenakosti so lahko numerične in dobesedne.
Neenakosti z dvema znakoma razmerja se imenujejo dvojne, s tremi - trojne itd. Na primer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Neenačbe, ki vsebujejo znak > ali ali - niso stroge.
Reševanje neenačbe je katera koli vrednost spremenljivke, za katero bo ta neenakost resnična.
"Reši neenačbo" pomeni, da moramo najti nabor vseh njegovih rešitev. Obstajajo različne metode za reševanje neenačb. Za rešitve neenakosti Uporabljajo številsko premico, ki je neskončna. na primer rešitev neenakosti x > 3 je interval od 3 do +, število 3 pa ni vključeno v ta interval, zato je točka na premici označena s praznim krogom, ker neenakost je stroga.
+
Odgovor bo: x (3; +).
Vrednost x=3 ni vključena v nabor rešitev, zato je oklepaj okrogel. Znak neskončnosti je vedno označen z oklepajem. Znak pomeni "pripadnost".
Poglejmo, kako rešiti neenakosti na drugem primeru z znakom:
x 2
-+
Vrednost x=2 je vključena v množico rešitev, zato je oklepaj kvadraten, točka na črti pa označena s polnim krogom.
Odgovor bo: x)