Reševanje trigonometričnih enačb. Objave z oznako "korenine trigonometrične enačbe na intervalu"

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Vrsta lekcije: Pouk ponavljanja, posploševanja in sistematizacije preučene snovi.

Cilj lekcije:

• izobraževalni: utrditi sposobnost izbire korenin trigonometrične enačbe na številskem krogu; spodbujati študente k obvladovanju racionalnih tehnik in metod za reševanje trigonometričnih enačb;
• razvoj: razvijati logično razmišljanje, sposobnost poudariti glavno stvar, posplošiti, pripraviti pravilne logične zaključke ;
• izobraževalni: negovanje takih karakternih lastnosti, kot so vztrajnost pri doseganju cilja, sposobnost, da se ne zmedete v težavni situaciji.

Oprema: multimedijski projektor, računalnik.

Napredek lekcije

I. Organizacijski trenutek.

Preverjanje pripravljenosti na lekcijo, pozdrav.

II. Postavljanje ciljev.

Francoski pisatelj Anatole France je nekoč rekel: »...Če želite prebaviti znanje, ga morate absorbirati z apetitom.« Zato sledimo temu danes pameten nasvet in z veliko željo bomo absorbirali znanje, saj vam bo v bližnji prihodnosti koristilo na enotnem državnem izpitu.

Danes bomo v lekciji nadaljevali z vadbo veščin izbire korenin v trigonometrične enačbe z uporabo številskega kroga. Krog je primeren za uporabo tako pri izbiri korenin na intervalu, katerega dolžina ne presega 2π, in v primeru, ko so vrednosti inverzne trigonometrične funkcije niso tabelarični. Pri izpolnjevanju nalog bomo uporabljali ne le preučene metode in metode, temveč tudi nestandardne pristope.

III. Posodabljanje osnovnega znanja.

1. Rešite enačbo: (Slide 3-5)

a) cosx = 0
b) cosx = 1
c) cosx = - 1
d) sinx = 1
e) sinx = 0
e) sinx = - 1
g) tgx = 1
h) tgx = 0

2. Izpolnite prazna polja: (diapozitiv 6)

greh2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. Pokažite naslednje segmente na številskem krogu (diapozitiv 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].

4. Z uporabo Vietovega izreka in njegovih posledic poiščite korenine enačb: (Slide 8)

t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0

IV. Delanje vaj.

(Slide 9)

Različne metode preoblikovanja trigonometrične izraze nas potiska k izbiri bolj racionalnega.

1. Reši enačbe: (En učenec rešuje na tabli. Ostali sodelujejo pri izboru racionalna metoda rešitve in jih zapiši v zvezek. Učitelj spremlja pravilnost sklepanja učencev.)

1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [-7π/2; - 2π].

rešitev.

[-7π/2; -2π]

Dobimo številke:- 7π/2; -19π/6;-5π/2.

Odgovor: a)π /2+ πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, nЄ Z; b) - 7π/2, -19π/6, -5π/2.

2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Označite korene, ki pripadajo segmentu [-π; π/2].

rešitev.

a) Obe strani enačbe delite zcos 2 x=0. Dobimo:

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-π; π/2]

Dobimo številke:- π+ arctg3 ; -π/4;arctg3.

Odgovor: a) - π /4+ πn, arctg3+ πn, nЄ Z; b) - π+ arctg3 , -π/4,arctg3.

3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [π; 3π].

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[π; 3π]

Dobimo števila: π; 4π/3; 8π/3;3π.

Odgovor: a) π +2 πn, ±2π /3+2 πn, nЄ Z; b)π, 4π/3, 8π/3,3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [ 2π;7π/2] .

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[; 7π/2]

Dobimo števila: 9π/4; 3π-arctg5;1 3π/4.

Odgovor: a)π /4+ πn, - arctg5+ πn, nЄ Z; b)9π/4, 3π-arctg5, 1 3π/4.

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Označite korene, ki pripadajo segmentu [-2π; -π/2].

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-2 π; -π/2]

Dobimo števila: -5π/3;-π .

Odgovor: a)π +2 πn, ± π /3+2 πn, nЄ Z; b)-5π/3;-π .

2. Delo v parih: (Dva učenca delata na stranskih tablah, ostali v zvezkih. Naloge se nato preverijo in analizirajo.)

Reši enačbe:

rešitev.

Glede na totgx≠1 intgx>0, Izberimo korenine s pomočjo številskega kroga.Dobimo:

x = arccos√2/3+2 πn, nЄ Z.

odgovor:arccos√2/3+2 πn, nЄ Z.

6cos2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Označite korene, ki pripadajo segmentu [-3π/2; - π/2].

rešitev.

a) 6(cos 2 x- greh 2 x)-14 cos 2 x-14 cosxsinx=0; 6 cos 2 x-6 greh 2 x-14 cos 2 x-14 cosxsinx=0;

3 greh 2 x+7 cosxsinx+4 cos 2 x=0 Obe strani enačbe delite zcos 2 x=0. Dobimo:

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-3π/2; -π/2]

Dobimo številke: -5π /4;- π - arctg4/3.

Odgovor: a)- π /4+ πn, - arctg4/3+ πn, nЄ Z; b)-5π/4, -π - arctg4/3.

3. Samostojno delo . (Po končanem delu si učenci izmenjajo zvezke in preverijo delo svojega sošolca ter popravijo napake (če obstajajo) s peresom z rdečim črnilom.)

Reši enačbe:

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [-3π; -2π].

rešitev.

a) 2(1- greh 2 x)+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; 2-2 greh 2 x+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; -2 sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-3π; -2π].

Dobimo številke: -11π /4;-9 π /4.

Odgovor: a) π /2+2 πn, - π /4+2 πn, -3 π /4+2 πn, nЄ Z; b)-11π/4, -9π /4 .

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Določite korenine, ki pripadajo segmentu

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku.

Dobimo številke: 13π /4;3 π ;4 π .

Odgovor: a)πn, ±3π /4+2 πn, nЄ Z; b) 13 π /4,3 π , 4 π .

3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Označite korenine, ki pripadajo segmentu [-4π; -5π/2]

rešitev.

b) S številskim krogom izberite korenine, ki pripadajo odseku[-4π;-5π/2].

Dobimo številke:-19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.

Odgovor: a)π /2+2 πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, nЄ Z; b)-19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.

V. Povzetek lekcije.

Izbiranje korenov v trigonometričnih enačbah zahteva dobro poznavanje formul, sposobnost njihove uporabe v praksi ter zahteva pozornost in inteligenco.

VI. Faza refleksije.

(Slide 10)

Na stopnji refleksije so učenci pozvani, da sestavijo sinkvin v pesniški obliki

izrazite svoj odnos do gradiva, ki ga preučujete.

Na primer:

krog.
Numerično, trigonometrično.
Študijmo, razumejmo, zanimajmo se.
Prisoten na Enotnem državnem izpitu.
Realnost.

VII. domača nalogae.

1. Rešite enačbe:

2. Praktična naloga.

Sestavite dve trigonometrični enačbi, ki vsebujeta formule z dvojnimi argumenti.

VIII. Literatura.

Enotni državni izpit-2013: Matematika: najbolj popolna izdaja standardnih različic nalog / avtorjeva zbirka. I.V. Jaščenko, I.R. Vysotsky; uredil A.L. Semjonova, I.V. Jaščenko - M.:AST: Astrel, 2013.

Cilj lekcije:

1. Ponovi formule za reševanje najenostavnejših trigonometričnih enačb.
2. Razmislite o treh glavnih metodah izbire korenin pri reševanju trigonometričnih enačb:
   izbor po neenakosti, izbor po imenovalcu in izbor po intervalu.

Oprema: Multimedijska oprema.

Metodični komentar.

1. Učence opozorite na pomembnost teme lekcije.
2. Trigonometrične enačbe, ki zahtevajo izbiro korena, pogosto najdemo v tematiki Preizkusi enotnega državnega izpita;
   reševanje tovrstnih problemov omogoča učencem utrjevanje in poglabljanje predhodno pridobljenega znanja.

Napredek lekcije

Ponavljanje. Koristno je spomniti se formul za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb (zaslon).

Vrednote	Enačba	Formule za reševanje enačb
	sinx=a
	sinx=a	pri enačba nima rešitev
a=0	sinx=0
a=1	sinx= 1
a= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	enačba nima rešitev
a=0	cosx=0
a=1	cosx= 1
a= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

Pri izbiranju korenin v trigonometričnih enačbah, zapisovanju rešitev enačb sinx=a, сosx=a kot celota bolj upravičena. O tem se bomo prepričali pri reševanju problemov.

Reševanje enačb.

Naloga. Reši enačbo

rešitev. Ta enačba je enakovredna naslednjemu sistemu

Razmislite o krogu. Na njem označimo korenine vsakega sistema in z lokom označimo tisti del kroga, kjer je neenakost ( riž. 1)

riž. 1

To razumemo ne more biti rešitev prvotne enačbe.

odgovor:

V tej nalogi smo izbrali korenine z neenakostjo.

V naslednji nalogi bomo izvedli selekcijo po imenovalcu. Da bi to naredili, bomo izbrali korenine števca, vendar takšne, da ne bodo korenine imenovalca.

Naloga 2. Reši enačbo.

rešitev. Zapišimo rešitev enačbe z uporabo zaporednih enakovrednih prehodov.

Pri reševanju enačbe in neenačbe sistema v rešitev postavimo različne črke, ki predstavljajo cela števila. Kot ponazarjamo na sliki, na krogu označimo korenine enačbe s krogci, korenine imenovalca pa s križci (slika 2.)

riž. 2

Iz slike je jasno razvidno, da – rešitev izvirne enačbe.

Naj učence opozorimo na dejstvo, da je bilo lažje izbrati korenine po sistemu z vrisom ustreznih točk na krožnici.

odgovor:

Naloga 3. Reši enačbo

3sin2x = 10 cos 2 x – 2/

Poiščite vse korenine enačbe, ki pripadajo segmentu.

rešitev. V tem problemu so koreni izbrani v interval, ki je določen s pogojem problema. Izbiranje korenov v interval lahko izvedemo na dva načina: z iskanjem po vrednostih spremenljivke za cela števila ali z reševanjem neenačbe.

Pri tej enačbi bomo korene izbirali po prvi metodi, pri naslednji nalogi pa z reševanjem neenačbe.

Uporabimo glavno trigonometrična identiteta in formula dvojnega kota za sinus. Dobimo enačbo

6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, tiste. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

Ker drugače sinx = 0, kar ne more biti, saj ni kotov, za katere bi bila oba sinus in kosinus enaka nič, kar pomeni sin 2 x+ cos 2 x = 0.

Razdelimo obe strani enačbe z cos 2 x. Dobimo tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

Naj tgx = t, Potem t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2, t 2 = –8.

tgx = 2 oz tg = –8;

Oglejmo si vsako serijo posebej, poiščimo točke znotraj intervala ter eno točko levo in desno od njega.

če k=0, To x=arctg2. Ta koren pripada obravnavanemu intervalu.

če k=1, To x=arctg2+. Tudi ta koren spada v obravnavani interval.

če k=2, To . Jasno je, da ta koren ne spada v naš interval.

Upoštevali smo eno točko desno od tega intervala, torej k=3,4,… se ne upoštevajo.

če k = –1, dobimo – ne pripada intervalu .

Vrednote k = –2, –3,… se ne upoštevajo.

Tako iz te serije dva korena pripadata intervalu

Podobno kot v prejšnjem primeru poskrbimo, da kdaj n = 0 in n = 2, in torej kdaj p = –1, –2,…p = 3,4,… dobili bomo korenine, ki ne pripadajo intervalu. Šele ko n=1 dobimo , ki pripada temu intervalu.

odgovor:

Naloga 4. Reši enačbo 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 in navedite korenine, ki pripadajo intervalu.

rešitev. Dajmo enačbo 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 Za kvadratna enačba relativno cos2x.

kje cos2x

Tukaj uporabimo metodo selekcije v interval z uporabo dvojne neenakosti

Ker Za zavzema samo celoštevilske vrednosti, je možno le k=2,k=3.

pri k=2 dobimo , z k=3 bomo prejeli.

odgovor:

Metodološki komentar. Priporočljivo je, da učitelj rešuje te štiri naloge ob tabli ob sodelovanju učencev. Za rešitev naslednjega problema je bolje, da k hčerki pokličete močnega učenca in mu omogočite največjo neodvisnost pri razmišljanju.

Naloga 5. Reši enačbo

rešitev. S preoblikovanjem števca enačbo reduciramo na preprostejšo obliko

Nastala enačba je enakovredna kombinaciji dveh sistemov:

Izbor korenin v intervalu (0; 5) Naredimo to na dva načina. Prva metoda je za prvi sistem agregata, druga metoda je za drugi sistem agregata.

, 0.

Ker Za je torej celo število k=1. Potem x =– rešitev izvirne enačbe.

Razmislite o drugem sistemu agregata

če n=0, To . pri n = -1; -2;… rešitve ne bo.

če n=1, – rešitev sistema in s tem izvirne enačbe.

če n=2, To

Odločitev ne bo.

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

Izbira korenin pri reševanju trigonometričnih enačb

1. Izračunaj: b) arccos c) arcsin 2 d) arccos f) ar c ctg a) arcsin (-1) d) arctg (ne obstaja); (ne obstaja);

2. Reši enačbe: b) sin x = c) cos x = 0; d) tan x = a) cos x = - 1;

1. Izbira korenin v trigonometrični enačbi s pomočjo številskega kroga. Primer 1. cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Rešitev. cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x) = 0,

Upodabljajmo vrsto korenin na trigonometričnem krogu. 0 x y Vidimo, da prva serija () vključuje korenine druge serije (), tretja serija () pa vključuje številke oblike iz korenin prve serije (). 0

Primer 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Rešitev.

tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; Upodabljajmo ODZ in vrsto korenin na številskem krogu. 0 x y 0 Iz druge serije korenov () številke obrazca ne zadoščajo ODZ, temveč števila obrazca. so vključeni v tretjo serijo () Prva serija () je prav tako vključena v tretjo serijo korenov (), zato lahko odgovor zapišemo v eni formuli.

Primer 3. Rešitev. Včasih se zgodi, da je del serije vključen v odgovor, del pa ne. Na številski krog narišimo vsa števila v nizu in izločimo korene, ki izpolnjujejo Preostale rešitve niza korenov lahko združimo v formulo 0 x y 0 pogoj

2. Izbira korenin v trigonometrični enačbi z uporabo algebrske metode Primer 1. Rešitev. Ker je največja vrednost funkcije y = cos t 1, je enačba ekvivalentna sistemu presečišče nizov, kar pomeni, da moramo rešiti enačbo.

Primer 2. Rešitev. Rešitev enačbe je presečišče nizov, to pomeni, da moramo rešiti enačbo, kjer je celo število. potem naj tako,

3. Izbira korenov v trigonometrični enačbi z določenimi pogoji Primer 1. Poiščite korene enačbe sin 2 x = cos x | cos x |, ki izpolnjuje pogoj x . cos x (2sin x - | cos x |)=0; rešitev. sin 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;

0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x

Primer 2. Poiščite vse rešitve enačbe, ki pripadajo segmentu Rešitev. ODZ: cos 3x ≥ 0; Označimo ODZ na trigonometričnem krogu: 0 y x Odsek vsebuje samo en interval iz ODZ, in sicer Rešimo enačbo in izberimo korenine, ki pripadajo temu intervalu: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; sin 2x = cos 6x; sin 2 x - cos 6 x =0;

Izberimo korenine, ki zadoščajo pogojem problema. Iz prve serije: Zato je n =2, to je, Iz druge serije: Zato je n =5, to je

Primer 3. Poiščite vse korene enačbe, ki izpolnjujejo pogoj Rešitev. 10sin 2 x = – cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x Z uporabo številskega kroga dobimo:

Izberimo korenine, ki zadoščajo pogojem problema. Iz prve serije: Zato je n =0 ali n =1, to je, Iz druge serije: Zato je n =0 ali n =1, to je