Grafično reševanje sistemov linearnih neenačb. Neenakost. Sistem linearnih neenačb

V tej lekciji bomo začeli preučevati sisteme neenakosti. Najprej bomo razmislili o sistemih linearne neenakosti. Na začetku lekcije bomo razmislili, kje in zakaj nastanejo sistemi neenakosti. Nato bomo preučili, kaj pomeni rešiti sistem, in se spomnili unije in presečišča množic. Na koncu bomo rešili konkretne primere sistemov linearnih neenačb.

Predmet: Dietaal neenakosti in njihovi sistemi

Lekcija:Glavnikoncepti, reševanje sistemov linearnih neenačb

Doslej smo rešili posamezne neenakosti in zanje uporabili intervalno metodo; linearne neenakosti, kvadratno in racionalno. Zdaj pa preidimo na reševanje sistemov neenačb – najprej linearni sistemi . Poglejmo primer, od koder izhaja potreba po upoštevanju sistemov neenakosti.

Poiščite domeno funkcije

Poiščite domeno funkcije

Funkcija obstaja, ko obstajata oba kvadratna korena, tj.

Kako rešiti tak sistem? Najti je treba vse x, ki zadoščajo tako prvi kot drugi neenakosti.

Na volovski osi upodobimo množico rešitev prve in druge neenačbe.

Interval presečišča dveh žarkov je naša rešitev.

To metodo upodabljanja rešitve sistema neenačb včasih imenujemo metoda strehe.

Rešitev sistema je presečišče dveh množic.

Predstavimo to grafično. Imamo množico A poljubne narave in množico B poljubne narave, ki se sekata.

Definicija: presečišče dveh množic A in B je tretja množica, ki je sestavljena iz vseh elementov, vključenih v A in B.

Poglejmo si konkretni primeri rešitve linearnih sistemov neenačb, kako najti presečišča množic rešitev posameznih neenačb, vključenih v sistem.

Rešite sistem neenačb:

Odgovor: (7; 10].

4. Reši sistem

Od kod lahko izvira druga neenakost sistema? Na primer iz neenakosti

Vsaki neenačbi grafično označimo rešitve in poiščimo interval njihovega presečišča.

Torej, če imamo sistem, v katerem ena od neenakosti izpolnjuje katero koli vrednost x, potem jo je mogoče odpraviti.

Odgovor: sistem je protisloven.

Pregledali smo tipične nosilne probleme, na katere je mogoče reducirati rešitev poljubnega linearnega sistema neenačb.

Razmislite o naslednjem sistemu.

7.

Včasih je linearni sistem podan z dvojno neenakostjo;

8.

Ogledali smo si sisteme linearnih neenačb, razumeli, od kod izvirajo, si ogledali standardne sisteme, na katere se lahko reducirajo vsi linearni sistemi, in jih nekatere rešili.

1. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Učbenik. Za splošno izobrazbo Ustanove.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str .: ilustr.

2. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Problematika za učence izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina in drugi - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr.

3. Makarychev Yu. Algebra. 9. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., prev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred. 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. izd., izbrisano. - M.: 2010. - 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred. V 2 delih 2. del. Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina in drugi; Ed. A. G. Mordkovič. - 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Portal Naravoslovje ().

2. Elektronski izobraževalni in metodološki kompleks za pripravo 10-11 razredov za sprejemne izpite iz računalništva, matematike, ruskega jezika ().

4. Izobraževalni center "Tehnologija poučevanja" ().

5. College.ru razdelek o matematiki ().

1. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina itd. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr. št. 53; 54; 56; 57.

Neenakosti in sistemi neenakosti so ena od tem, ki jih obravnava srednja šola v algebri. Po težavnostni stopnji ni najtežja, saj ima preprosta pravila (o njih malo kasneje). Šolarji se praviloma naučijo precej enostavno reševati sisteme neenačb. To je tudi posledica dejstva, da učitelji preprosto »trenirajo« svoje učence na to temo. In tega si ne morejo pomagati, saj se v prihodnosti preučuje z drugimi matematičnimi količinami, preizkuša pa se tudi na enotnem državnem izpitu in enotnem državnem izpitu. IN šolski učbeniki Tema neenakosti in sistemov neenakosti je zelo podrobno obdelana, tako da, če se boste ukvarjali s tem, je najbolje, da se zatečete k njim. Ta članek samo povzema večje gradivo in je lahko nekaj izpuščenih.

Koncept sistema neenakosti

Če se obrnemo na znanstveni jezik, lahko definiramo koncept "sistema neenakosti". To je matematični model, ki predstavlja več neenakosti. Ta model seveda zahteva rešitev in to bo splošen odgovor za vse neenačbe sistema, predlaganega v nalogi (običajno je zapisano takole, npr.: "Rešite sistem neenačb 4 x + 1 > 2 in 30 - x > 6 ... "). Toda preden preidete na vrste in metode rešitev, morate razumeti nekaj drugega.

Sistemi neenačb in sistemi enačb

V procesu študija nova tema zelo pogosto prihaja do nesporazumov. Po eni strani je vse jasno in želite čim prej začeti reševati naloge, po drugi strani pa nekateri trenutki ostanejo v "senci" in niso popolnoma razumljeni. Prav tako se lahko nekateri elementi že pridobljenega znanja prepletajo z novimi. Zaradi tega »prekrivanja« pogosto prihaja do napak.

Zato se moramo, preden začnemo analizirati našo temo, spomniti na razlike med enačbami in neenačbami ter njihovimi sistemi. Da bi to naredili, moramo še enkrat pojasniti, kaj ti matematični koncepti predstavljajo. Enačba je vedno enačba in je vedno enaka nečemu (v matematiki je ta beseda označena z znakom "="). Neenakost je model, v katerem je ena vrednost večja ali manjša od druge ali vsebuje izjavo, da nista enaki. Tako je v prvem primeru primerno govoriti o enakosti, v drugem pa, ne glede na to, kako očitno se sliši iz samega imena, o neenakosti začetnih podatkov. Sistemi enačb in neenačb se praktično ne razlikujejo med seboj, metode za njihovo reševanje pa so enake. Edina razlika je v tem, da se v prvem primeru uporabljajo enakosti, v drugem pa neenakosti.

Vrste neenakosti

Obstajata dve vrsti neenakosti: numerične in z neznano spremenljivko. Prvi tip predstavlja podane količine (števila), ki so si med seboj neenake, npr. 8 > 10. Drugi tip so neenačbe, ki vsebujejo neznano spremenljivko (označeno s črko latinične abecede, največkrat X). To spremenljivko je treba najti. Glede na to, koliko jih je, matematični model razlikuje med neenačbami z eno (sestavljajo sistem neenačb z eno spremenljivko) ali več spremenljivkami (sestavljajo sistem neenačb z več spremenljivkami).

Dva slednji tip Glede na stopnjo konstrukcije in stopnjo zahtevnosti se rešitve delijo na enostavne in kompleksne. Enostavne imenujemo tudi linearne neenačbe. Ti pa so razdeljeni na stroge in nestroge. Strogi posebej »pravijo«, da mora biti ena količina nujno ali manj ali več, tako da je to v čista oblika neenakost. Navedemo lahko več primerov: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Med nestroge spada tudi enakost. To pomeni, da je ena vrednost lahko večja ali enaka drugi vrednosti (znak »≥«) ali manjša ali enaka drugi vrednosti (znak »≤«). Tudi v linearnih neenačbah spremenljivka ni v korenu, kvadratu ali deljiva s čimer koli, zato se imenujejo "preproste". Kompleksni vključujejo neznane spremenljivke, ki zahtevajo več matematike za iskanje. Pogosto se nahajajo v kvadratu, kocki ali pod korenom, lahko so modularni, logaritemski, frakcijski itd. Ker pa je naša naloga potreba po razumevanju rešitve sistemov neenakosti, bomo govorili o sistemu linearnih neenakosti . Vendar je treba pred tem povedati nekaj besed o njihovih lastnostih.

Lastnosti neenačb

Lastnosti neenakosti vključujejo naslednje:

1. Predznak neenakosti je obrnjen, če se z operacijo spremeni vrstni red stranic (na primer, če je t 1 ≤ t 2, potem je t 2 ≥ t 1).
2. Obe strani neenakosti vam omogočata, da sami sebi dodate isto število (na primer, če je t 1 ≤ t 2, potem je t 1 + število ≤ t 2 + število).
3. Dve ali več neenačb s predznakom v isti smeri omogočata seštevanje njihove leve in desne strani (na primer, če t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, potem je t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom (na primer, če je t 1 ≤ t 2 in je število ≤ 0, potem je število · t 1 ≥ število · t 2).
5. Dve ali več neenakosti, ki imata pozitivne člene in predznak v isti smeri, se dopuščata medsebojno množenje (na primer, če je t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 potem t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Oba dela neenačbe je dovoljeno pomnožiti ali deliti z istim negativnim številom, vendar se v tem primeru spremeni predznak neenakosti (na primer, če je t 1 ≤ t 2 in število ≤ 0, potem je število · t 1 ≥ število · t 2).
7. Vse neenakosti imajo lastnost tranzitivnosti (na primer, če je t 1 ≤ t 2 in t 2 ≤ t 3, potem je t 1 ≤ t 3).

Zdaj, ko smo preučili osnovna načela teorije, povezane z neenakostmi, lahko nadaljujemo neposredno z obravnavo pravil za reševanje njihovih sistemov.

Reševanje sistemov neenačb. Splošne informacije. Rešitve

Kot že omenjeno, so rešitve vrednosti spremenljivke, ki so primerne za vse neenakosti danega sistema. Reševanje sistemov neenačb je izvajanje matematičnih operacij, ki na koncu pripeljejo do rešitve celotnega sistema ali pa dokažejo, da ta nima rešitev. V tem primeru se reče, da spremenljivka pripada praznemu številskemu nizu (zapisan na naslednji način: črka, ki označuje spremenljivko∈ (znak »pripada«) ø (znak »prazna množica«), na primer x ∈ ø (beri: »Spremenljivka »x« pripada prazni množici«). Obstaja več načinov za reševanje sistemov neenačb: grafična, algebraična, substitucijska metoda. Omeniti velja, da se nanašajo na tiste matematične modele, ki imajo več neznanih spremenljivk. V primeru, da je samo ena, je primerna intervalna metoda.

Grafična metoda

Omogoča reševanje sistema neenačb z več neznanimi količinami (od dveh in več). Zahvaljujoč tej metodi je mogoče sistem linearnih neenačb rešiti zelo enostavno in hitro, zato je to najpogostejša metoda. To je razloženo z dejstvom, da risanje grafa zmanjša količino zapisovanja matematičnih operacij. Še posebej prijetno postane malo oddahniti od peresa, vzeti svinčnik z ravnilom in začeti nadaljnja dejanja z njihovo pomočjo, ko je bilo opravljenega veliko dela in želite malo raznolikosti. Nekaterim pa ta metoda ni všeč, ker se morajo odtrgati od naloge in miselno dejavnost preusmeriti na risanje. Vendar je to zelo učinkovita metoda.

Za rešitev sistema neenačb z grafično metodo je potrebno vse člene vsake neenačbe prenesti na njihovo levo stran. Predznaka bosta obrnjena, na desno je treba napisati ničlo, nato pa je treba vsako neenakost napisati posebej. Posledično bodo funkcije pridobljene iz neenakosti. Po tem lahko vzamete svinčnik in ravnilo: zdaj morate narisati graf vsake pridobljene funkcije. Celoten niz števil, ki bo v intervalu njihovega presečišča, bo rešitev sistema neenačb.

Algebrski način

Omogoča reševanje sistema neenačb z dvema neznanima spremenljivkama. Prav tako morajo imeti neenakosti enak znak neenakosti (to pomeni, da morajo vsebovati ali samo znak »večje kot« ali samo znak »manj kot«, itd.) Ta metoda je kljub svojim omejitvam tudi bolj zapletena. Nanaša se v dveh fazah.

Prvi vključuje dejanja, s katerimi se znebimo ene od neznanih spremenljivk. Najprej ga morate izbrati, nato pa preveriti prisotnost številk pred to spremenljivko. Če jih ni (potem bo spremenljivka videti kot ena črka), potem ne spreminjamo ničesar, če pa so (vrsta spremenljivke bo na primer 5y ali 12y), potem je potrebno narediti se prepričajte, da je v vsaki neenačbi število pred izbrano spremenljivko enako. Če želite to narediti, morate vsak člen neenačb pomnožiti s skupnim faktorjem, na primer, če je v prvi neenačbi zapisano 3y, v drugi pa 5y, potem morate vse člene prve neenačbe pomnožiti s 5. , drugo pa za 3. Dobite 15y oziroma 15y.

Druga stopnja rešitve. Levo stran vsake neenakosti je treba prenesti na njihovo desno stran, spremeniti znak vsakega izraza v nasprotno in na desno napisati nič. Nato pride zabavni del: znebiti se izbrane spremenljivke (sicer znane kot »zmanjšanje«) ob dodajanju neenakosti. Posledica tega je neenačba z eno spremenljivko, ki jo je treba rešiti. Po tem bi morali narediti isto stvar, le z drugo neznano spremenljivko. Dobljeni rezultati bodo rešitev sistema.

Metoda zamenjave

Omogoča reševanje sistema neenačb, če je mogoče uvesti novo spremenljivko. Običajno se ta metoda uporablja, ko se neznana spremenljivka v enem členu neenakosti dvigne na četrto potenco, v drugem členu pa se kvadrira. Tako je ta metoda namenjena zmanjšanju stopnje neenakosti v sistemu. Vzorčna neenačba x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 je rešena na ta način. Uvede se nova spremenljivka, na primer t. Zapišejo: "Naj je t = x 2," potem je model prepisan v novi obliki. V našem primeru dobimo t 2 - t - 1 ≤0. To neenakost je treba rešiti z intervalno metodo (več o tem malo kasneje), nato nazaj k spremenljivki X, nato storite enako z drugo neenakostjo. Prejeti odgovori bodo rešitev sistema.

Intervalna metoda

To je najpreprostejši način reševanja sistemov neenačb, hkrati pa je univerzalen in razširjen. Uporablja se v srednjih in celo višjih šolah. Njegovo bistvo je v tem, da učenec išče intervale neenakosti na številski premici, ki je narisana v zvezku (to ni graf, ampak navadna premica s števili). Kjer se intervali neenačb sekajo, se najde rešitev sistema. Če želite uporabiti intervalno metodo, morate slediti tem korakom:

1. Vsi členi vsake neenačbe se prenesejo na levo stran s spremembo predznaka v nasprotno (desno je zapisana ničla).
2. Neenačbe so izpisane posebej in za vsako od njih je določena rešitev.
3. Najdena so presečišča neenačb na številski premici. Vse številke, ki se nahajajo na teh križiščih, bodo rešitev.

Katero metodo naj uporabim?

Očitno tista, ki se zdi najlažja in najbolj priročna, vendar obstajajo primeri, ko naloge zahtevajo določeno metodo. Najpogosteje pravijo, da morate rešiti z uporabo grafa ali intervalne metode. Algebraična metoda in substitucija se uporabljata izjemno redko ali pa sploh ne, saj sta precej zapleteni in zmedeni, poleg tega pa se bolj uporabljata za reševanje sistemov enačb kot neenakosti, zato se raje zateci k risanju grafov in intervalov. Prinašajo jasnost, ki ne more drugega kot prispevati k učinkovitemu in hitremu izvajanju matematičnih operacij.

Če kaj ne gre

Med študijem določene teme v algebri se seveda lahko pojavijo težave z njenim razumevanjem. In to je normalno, saj so naši možgani zasnovani tako, da kompleksne snovi ne morejo razumeti naenkrat. Pogosto morate ponovno prebrati odstavek, poiskati pomoč učitelja ali vaditi reševanje standardnih nalog. V našem primeru izgledajo na primer takole: "Rešite sistem neenačb 3 x + 1 ≥ 0 in 2 x - 1 > 3." Tako osebna želja, pomoč zunanjih sodelavcev in praksa pomagajo pri razumevanju katere koli zapletene teme.

Reševalec?

Zelo primerna je tudi reševalna knjiga, a ne za prepisovanje domačih nalog, ampak za samopomoč. V njih lahko najdete sisteme neenačb z rešitvijo, si jih ogledate (kot predloge), poskusite natančno razumeti, kako se je avtor rešitve spopadel z nalogo, in nato poskusite enako narediti sami.

Sklepi

Algebra je eden najtežjih predmetov v šoli. No, kaj lahko narediš? Matematika je že od nekdaj taka: za nekatere je lahka, za druge težka. Vsekakor pa je treba zapomniti, da je splošni izobraževalni program strukturiran tako, da se z njim lahko spopade vsak študent. Poleg tega je treba upoštevati ogromno pomočniki Nekateri od njih so bili omenjeni zgoraj.

Sistem neenakosti.
Primer 1. Poiščite domeno izraza
rešitev. Pod znakom kvadratni koren obstajati mora nenegativno število, kar pomeni, da morata biti hkrati izpolnjeni dve neenakosti: V takih primerih pravijo, da se problem zmanjša na reševanje sistema neenakosti

Toda s takim matematičnim modelom (sistemom neenakosti) se še nismo srečali. To pomeni, da še ne moremo dokončati rešitve primera.

Neenakosti, ki tvorijo sistem, so združene z zavitim oklepajem (enako velja za sisteme enačb). Na primer, zapis

pomeni, da sta neenačbi 2x - 1 > 3 in 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Včasih je sistem neenakosti zapisan v obliki dvojne neenakosti. Na primer sistem neenakosti

lahko zapišemo kot dvojno neenakost 3<2х-1<11.

Pri predmetu algebra v 9. razredu bomo obravnavali le sisteme dveh neenačb.

Razmislite o sistemu neenakosti

Izberete lahko več njegovih posebnih rešitev, na primer x = 3, x = 4, x = 3,5. Pravzaprav ima za x = 3 prva neenakost obliko 5 > 3, druga pa obliko 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Hkrati pa vrednost x = 5 ni rešitev sistema neenačb. Pri x = 5 ima prva neenakost obliko 9 > 3 - pravilna numerična neenakost, druga pa obliko 13< 11- неверное числовое неравенство .
Rešiti sistem neenačb pomeni najti vse njegove partikularne rešitve. Jasno je, da zgoraj prikazano ugibanje ni metoda za reševanje sistema neenačb. V naslednjem primeru bomo pokazali, kako ljudje običajno sklepajo, ko rešujejo sistem neenačb.

Primer 3. Rešite sistem neenačb:

rešitev.

A) Pri reševanju prve neenačbe sistema najdemo 2x > 4, x > 2; rešujemo drugo neenačbo sistema, najdemo 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Z rešitvijo prve neenačbe sistema najdemo x > 2; reševanje druge neenačbe sistema, ugotovimo Označimo te intervale na eni koordinatni premici, pri čemer za prvi interval uporabimo zgornjo šrafuro, za drugega pa spodnjo (slika 23). Rešitev sistema neenačb bo presečišče rešitev neenačb sistema, tj. interval, kjer obe šrafuri sovpadata. V obravnavanem primeru dobimo žarek

V)Če rešimo prvo neenakost sistema, najdemo x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Posplošimo sklepanje, izvedeno v obravnavanem primeru. Recimo, da moramo rešiti sistem neenačb

Naj bo na primer interval (a, b) rešitev neenačbe fx 2 > g(x), interval (c, d) pa rešitev neenačbe f 2 (x) > s 2 (x ). Te intervale označimo na eni koordinatni premici, pri čemer za prvi interval uporabimo zgornjo šrafuro, za drugega pa spodnjo šrafuro (slika 25). Rešitev sistema neenačb je presečišče rešitev neenačb sistema, tj. interval, kjer obe šrafuri sovpadata. Na sl. 25 je interval (c, b).

Zdaj lahko enostavno rešimo sistem neenačb, ki smo ga dobili zgoraj v 1. primeru:

Z rešitvijo prve neenačbe sistema najdemo x > 2; pri reševanju druge neenačbe sistema najdemo x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Seveda pa ni nujno, da je sistem neenačb sestavljen iz linearnih neenačb, kot je veljalo do sedaj; Pojavijo se lahko kakršnekoli racionalne (in ne samo racionalne) neenakosti. Tehnično je delo s sistemom racionalnih nelinearnih neenačb seveda bolj zapleteno, vendar tu ni nič bistveno novega (v primerjavi s sistemi linearnih neenačb).

Primer 4. Rešite sistem neenačb

rešitev.

1) Rešite neenačbo, ki jo imamo
Na številski premici označimo točki -3 in 3 (slika 27). Črto razdelijo na tri intervale in na vsakem intervalu izraz p(x) = (x- 3)(x + 3) ohrani konstanten znak - ti znaki so prikazani na sl. 27. Zanimajo nas intervali, v katerih velja neenakost p(x) > 0 (na sliki 27 so osenčeni), in točke, v katerih velja enakost p(x) = 0, tj. točki x = -3, x = 3 (na sliki 2 7 sta označeni s temnimi krogci). Tako je na sl. Slika 27 predstavlja geometrijski model za rešitev prve neenačbe.

2) Rešite neenačbo, ki jo imamo
Na številski premici označimo točki 0 in 5 (slika 28). Premico razdelijo na tri intervale, na vsakem pa izraz<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (osenčeno na sliki 28) in točke, v katerih je izpolnjena enakost g (x) - O, tj. točki x = 0, x = 5 (na sliki 28 sta označeni s temnimi krogci). Tako je na sl. Slika 28 predstavlja geometrijski model za reševanje druge neenačbe sistema.

3) Označimo najdene rešitve prve in druge neenačbe sistema na isti koordinatni premici, pri čemer uporabimo zgornjo šrafuro rešitve prve neenačbe in spodnjo šrafuro rešitve druge (slika 29). Rešitev sistema neenačb bo presečišče rešitev neenačb sistema, tj. interval, kjer obe šrafuri sovpadata. Tak interval je segment.

Primer 5. Rešite sistem neenačb:

rešitev:

A) Iz prve neenakosti dobimo x >2. Razmislimo o drugi neenakosti. Kvadratni trinom x 2 + x + 2 nima realnih korenin in njegov vodilni koeficient (koeficient pri x 2) je pozitiven. To pomeni, da za vse x velja neenakost x 2 + x + 2>0, zato druga neenačba sistema nima rešitev. Kaj to pomeni za sistem neenakosti? To pomeni, da sistem nima rešitev.

b) Iz prve neenakosti najdemo x > 2, druga neenakost pa je izpolnjena za poljubne vrednosti x. Kaj to pomeni za sistem neenakosti? To pomeni, da ima njena rešitev obliko x>2, tj. sovpada z rešitvijo prve neenačbe.

odgovor:

a) brez rešitev; b) x >2.

Ta primer je ilustracija naslednjega uporabnega

1. Če v sistemu več neenačb z eno spremenljivko ena neenačba nima rešitev, potem sistem nima rešitev.

2. Če je v sistemu dveh neenakosti z eno spremenljivko ena neenakost izpolnjena za katero koli vrednost spremenljivke, potem je rešitev sistema rešitev druge neenakosti sistema.

Ob zaključku tega razdelka se vrnimo k problemu o predvidenem številu, navedenem na začetku, in ga rešimo, kot pravijo, po vseh pravilih.

Primer 2(glej stran 29). Namenjeno naravno število. Znano je, da če kvadratu želenega števila dodate 13, bo vsota večja od zmnožka želenega števila in števila 14. Če kvadratu želenega števila dodate 45, bo vsota biti manj izdelka načrtovano število in število 18. Kakšno število je načrtovano?

rešitev.

Prva stopnja. Izdelava matematičnega modela.
Namenjeno število x, kot smo videli zgoraj, mora zadostiti sistemu neenakosti

Druga stopnja. Delo s sestavljenim matematičnim modelom Pretvorimo prvo neenačbo sistema v obliko
x2- 14x+ 13 > 0.

Poiščimo korenine trinoma x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. S pomočjo parabole y = x 2 - 14x + 13 (slika 30) ugotovimo, da je neenakost, ki nas zanima, zadovoljen pri x< 1 или x > 13.

Pretvorimo drugo neenačbo sistema v obliko x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

glej tudi Grafično reševanje problema linearnega programiranja, Kanonična oblika problemov linearnega programiranja

Sistem omejitev za tak problem je sestavljen iz neenakosti v dveh spremenljivkah:
in ciljna funkcija ima obliko F = C 1 x + C 2 l ki ga je treba maksimizirati.

Odgovorimo na vprašanje: kateri pari številk ( x; l) so rešitve sistema neenačb, tj. zadovoljujejo vsako od neenačb hkrati? Z drugimi besedami, kaj pomeni grafično rešiti sistem?
Najprej morate razumeti, kaj je rešitev ene linearne neenačbe z dvema neznankama.
Reševanje linearne neenačbe z dvema neznankama pomeni določitev vseh parov neznanih vrednosti, za katere neenakost velja.
Na primer, neenakost 3 x – 5l≥ 42 zadovoljivih parov ( x , l) : (100, 2); (3, –10) itd. Naloga je najti vse take pare.
Oglejmo si dve neenakosti: sekira + avtor≤ c, sekira + avtor≥ c. Naravnost sekira + avtor = c razdeli ravnino na dve polravnini tako, da koordinate točk ene od njiju izpolnjujejo neenakost sekira + avtor >c, in druga neenakost sekira + +avtor <c.
Res, vzemimo točko s koordinato x = x 0 ; potem točka, ki leži na premici in ima absciso x 0, ima ordinato

Naj za gotovost a< 0, b>0, c>0. Vse točke z absciso x 0, ki leži zgoraj p(na primer pika M), imajo y M>l 0 in vse točke pod točko p, z absciso x 0, imeti y N<l 0 . Ker x 0 je poljubna točka, potem bodo na eni strani črte vedno točke, za katere sekira+ avtor > c, ki tvori polravnino, in na drugi strani - točke, za katere sekira + avtor< c.

Slika 1

Predznak neenakosti v polravnini je odvisen od števil a, b , c.
To pomeni naslednjo metodo za grafično reševanje sistemov linearnih neenačb v dveh spremenljivkah. Za rešitev sistema potrebujete:

1. Za vsako neenačbo zapišite enačbo, ki ji ustreza.
2. Konstruirajte ravne črte, ki so grafi funkcij, določenih z enačbami.
3. Za vsako premico določi polravnino, ki jo podaja neenačba. Če želite to narediti, vzemite poljubno točko, ki ne leži na premici, in njene koordinate nadomestite v neenakost. če je neenakost resnična, potem je polravnina, ki vsebuje izbrano točko, rešitev prvotne neenačbe. Če je neenakost napačna, potem je polravnina na drugi strani premice množica rešitev te neenakosti.
4. Za rešitev sistema neenačb je treba najti območje presečišča vseh polravnin, ki so rešitev vsake neenačbe sistema.

Lahko se izkaže, da je to območje prazno, potem sistem neenačb nima rešitev in je neskladen. Sicer pa naj bi bil sistem konsistenten.
Morda obstajajo rešitve končna številka in neskončno število. Območje je lahko zaprt poligon ali neomejeno.

Poglejmo tri ustrezne primere.

Primer 1. Grafično rešite sistem:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2l + 5 ≤ 0.

• obravnavajte enačbi x+y–1=0 in –2x–2y+5=0, ki ustrezata neenačbam;
• Konstruirajmo ravne črte, podane s temi enačbami.

Slika 2

Določimo polravnine, ki jih določata neenakosti. Vzemimo poljubno točko, naj (0; 0). Razmislimo x+ y– 1 0, nadomestimo točko (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. To pomeni, da v polravnini, kjer leži točka (0; 0), x + l – 1 ≤ 0, tj. polravnina, ki leži pod premico, je rešitev prve neenačbe. Če to točko (0; 0) nadomestimo z drugo, dobimo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. v polravnini, kjer leži točka (0; 0), pa –2 x – 2l+ 5≥ 0 in vprašali so nas, kje je –2 x – 2l+ 5 ≤ 0 torej v drugi polravnini - v tisti nad premico.
Poiščimo presečišče teh dveh polravnin. Premici sta vzporedni, zato se ravnini nikjer ne sekata, kar pomeni, da sistem teh neenačb nima rešitev in je neskladen.

Primer 2. Grafično poiščite rešitve sistema neenačb:

Slika 3
1. Izpišimo enačbe, ki ustrezajo neenačbam, in sestavimo premice.
x + 2l– 2 = 0

x	2	0
l	0	1

l – x – 1 = 0

x	0	2
l	1	3

l + 2 = 0;
l = –2.
2. Po izbiri točke (0; 0) določimo znake neenakosti v polravninah:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2l– 2 ≤ 0 v polravnini pod premico;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. l –x– 1 ≤ 0 v polravnini pod premico;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. l+ 2 ≥ 0 v polravnini nad premico.
3. Presečišče teh treh polravnin bo območje, ki je trikotnik. Ni težko najti oglišč regije kot presečišča ustreznih črt


torej A(–3; –2), IN(0; 1), Z(6; –2).

Oglejmo si še en primer, v katerem posledična domena rešitve sistema ni omejena.

je vsak niz dveh ali več linearnih neenakosti, ki vsebujejo isto neznano količino

Tu so primeri takih sistemov:

Interval presečišča dveh žarkov je naša rešitev. Zato je rešitev te neenakosti vse X ki se nahaja med dva in osem.

odgovor: X

Uporaba te vrste preslikave za reševanje sistema neenačb se včasih imenuje strešna metoda.

definicija: Presečišče dveh množic A in IN se imenuje tretji niz, ki vključuje vse elemente, vključene v A in v IN. To je pomen presečišča množic poljubne narave. Zdaj podrobno obravnavamo numerične nize, zato so pri iskanju linearnih neenakosti takšni nizi žarki - sosmerni, protismerni in tako naprej.

Ugotovimo zares primeri iskanje linearnih sistemov neenačb, kako določiti presečišča množic rešitev posameznih neenačb, vključenih v sistem.

Izračunajmo sistem neenakosti:

Postavimo dve siloviti eno pod drugo. Na vrhu bomo narisali te vrednosti X, ki zadoščajo prvi neenakosti x>7 , in na dnu - ki delujejo kot rešitev druge neenačbe x>10 Primerjajmo rezultate številskih premic in ugotovimo, da bosta obe neenakosti izpolnjeni, ko x>10.

Odgovor: (10;+∞).

To naredimo po analogiji s prvim vzorcem. Na določeno številsko os narišemo vse te vrednosti X za katere prvi obstaja sistem neenakosti, na drugi numerični osi, ki se nahaja pod prvo, pa vse te vrednosti X, za katero je izpolnjena druga neenakost sistema. Primerjajmo ta dva rezultata in ugotovimo, da bosta obe neenakosti hkrati izpolnjeni za vse vrednosti X ki se nahaja med 7 in 10, ob upoštevanju znakov dobimo 7<x≤10

Odgovor: (7; 10].

Naslednji problemi se rešujejo na podoben način. sistemi neenakosti.