VhodGrafi funkcij so ena najzanimivejših tem šolske matematike. Funkcije in njihovi grafi
Funkcija y = in njen graf.
CILJI:
1) uvedemo definicijo funkcije y = ;
2) naučiti, kako zgraditi graf funkcije y = s programom Agrapher;
3) razviti sposobnost konstruiranja skic grafov funkcije y = z uporabo transformacijskih lastnosti funkcijskih grafov;
I. Nova snov - razširjeni pogovor.
U: Oglejmo si funkcije, definirane s formulami y = ; y = ; y = .
Kateri izrazi so zapisani na desni strani teh formul?
D: Desne strani teh formul so v obliki racionalnega ulomka, v katerem je števec binom prve stopnje ali število, ki ni nič, imenovalec pa binom prve stopnje.
U: Takšne funkcije so običajno podane s formulo obrazca
Razmislite o primerih, ko je a) c = 0 ali c) = .
(Če imajo učenci v drugem primeru težave, jih morate prositi, da se izrazijo z iz danega deleža in nato dobljeni izraz nadomestite s formulo (1)).
D1: Če je c = 0, potem je y = x + b linearna funkcija.
D2: Če je = , potem je c = . Zamenjava vrednosti z v formuli (1) dobimo:
To pomeni, da je y = linearna funkcija.
Y: Funkcija, ki jo je mogoče podati s formulo v obliki y =, kjer črka x označuje neodvisno
Ta spremenljivka, črke a, b, c in d so poljubna števila, c0 in ad pa sta vse 0, se imenuje linearna ulomna funkcija.
Pokažimo, da je graf linearne ulomljene funkcije hiperbola.
Primer 1. Zgradimo graf funkcije y = . Ločimo cel del od ulomka.
Imamo: = = = 1 + .
Graf funkcije y = +1 lahko dobimo iz grafa funkcije y = z uporabo dveh vzporednih translacij: premika za 2 enoti v desno vzdolž osi X in premika za 1 enoto navzgor v smeri Y S temi premiki se bodo asimptote hiperbole y = premaknile: premica x = 0 (tj. os Y) je 2 enoti v desno, premica y = 0 (tj. os X) pa za eno enoto gor. Preden sestavimo graf, na koordinatno ravnino s pikčasto črto narišemo asimptote: premici x = 2 in y = 1 (slika 1a). Glede na to, da je hiperbola sestavljena iz dveh vej, bomo za konstrukcijo vsake od njiju s programom Agrapher ustvarili dve tabeli: eno za x>2 in drugo za x<2.
| X | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| pri | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| pri | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
V koordinatni ravnini označimo (s programom Agrapher) točke, katerih koordinate so zapisane v prvi tabeli, in jih povežimo z gladko neprekinjeno črto. Dobimo eno vejo hiperbole. Podobno z uporabo druge tabele dobimo drugo vejo hiperbole (slika 1b).
Primer 2. Zgradimo graf funkcije y = - Izločimo cel del od ulomka tako, da binom 2x + 10 delimo z binomom x + 3. Dobimo = 2 + . Zato je y = -2.
Graf funkcije y = --2 lahko dobimo iz grafa funkcije y = - z uporabo dveh vzporednih translacij: premika za 3 enote v levo in premika za 2 enoti navzdol. Asimptoti hiperbole sta premici x = -3 in y = -2. Izdelajmo (s programom Agrapher) tabele za x<-3 и для х>-3.
| X | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| pri | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| X | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| pri | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
S konstruiranjem (s programom Agrapher) točk v koordinatni ravnini in risanjem vej hiperbole skozi njih dobimo graf funkcije y = - (slika 2).
U: Kaj je graf linearne ulomke?
D: Graf katere koli linearne ulomljene funkcije je hiperbola.
T: Kako narisati graf linearne ulomne funkcije?
D: Graf delne linearne funkcije dobimo iz grafa funkcije y = z uporabo vzporednih translacij vzdolž koordinatnih osi, veje hiperbole delne linearne funkcije so simetrične glede na točko (-. Ravna črta x = se imenuje navpična asimptota premice y = se imenuje vodoravna asimptota.
T: Kaj je domena definicije linearne ulomke?
T: Kakšno je območje vrednosti linearne ulomne funkcije?
D: E(y) = .
T: Ali ima funkcija ničle?
D: Če je x = 0, potem je f(0) = , d. To pomeni, da ima funkcija ničle - točka A.
T: Ali ima graf linearne ulomljene funkcije presečišča z osjo X?
D: Če je y = 0, potem je x = -. To pomeni, da če je a, ima presečišče z osjo X koordinate. Če je a = 0, b, potem graf linearne frakcijske funkcije nima presečišč z osjo abscise.
U: Funkcija pada v intervalih celotne definicijske domene, če je bc-ad > 0, in narašča v intervalih celotne definicijske domene, če je bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.
V: Ali je mogoče navesti največjo in najmanjšo vrednost funkcije?
D: Funkcija nima največje in najmanjše vrednosti.
T: Katere premice so asimptote grafa linearne ulomljene funkcije?
D: Navpična asimptota je premica x = -; vodoravna asimptota pa je premica y = .
(Vse posplošujoče sklepe, definicije in lastnosti linearne ulomke si učenci zapišejo v zvezek)
II. Utrjevanje.
Pri konstruiranju in "branju" grafov linearnih frakcijskih funkcij se uporabljajo lastnosti programa Agrapher
III. Vzgojno samostojno delo.
- Poiščite središče hiperbole, asimptote in narišite graf funkcije:
a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; e) y = ;
g) y = h) y = -
Vsak učenec dela v svojem tempu. Po potrebi učitelj pomaga z vprašanji, odgovori na katera bodo študentu pomagali pravilno opraviti nalogo.
Laboratorijsko in praktično delo pri preučevanju lastnosti funkcij y = in y = ter značilnosti grafov teh funkcij.
CILJI: 1) še naprej razvijati spretnosti za gradnjo grafov funkcij y = in y = s programom Agrapher;
2) utrditi veščine "branja grafov" funkcij in sposobnost "napovedovanja" sprememb v grafih med različnimi transformacijami delnih linearnih funkcij.
I. Diferencirana ponovitev lastnosti ulomljene linearne funkcije.
Vsak učenec dobi kartonček – izpisek z nalogami. Vse konstrukcije se izvajajo s programom Agrapher. O rezultatih vsake naloge se takoj razpravlja.
Vsak učenec lahko s samokontrolo prilagodi dosežene rezultate pri opravljanju naloge in prosi za pomoč učitelja ali svetovalnega delavca.
Poiščite vrednost argumenta X, pri kateri je f(x) =6; f(x) = -2,5.
3. Zgradite graf funkcije y = Ugotovite, ali točka pripada grafu te funkcije: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?
4. Zgradite graf funkcije y = Poiščite intervale, v katerih je y>0 in v katerih je y<0.
5. Narišite graf funkcije y = . Poiščite domeno in obseg funkcije.
6. Označite asimptote hiperbole – grafa funkcije y = -. Ustvari graf.
7. Graf funkcije y = . Poiščite ničle funkcije.
II. Laboratorijsko in praktično delo.
Vsak učenec dobi 2 kartici: kartico št “Navodila” z načrtom, po katerem delo poteka, besedilo z nalogo in kartico št. 2 " Rezultati funkcionalne študije ”.
- Narišite graf označene funkcije.
- Poiščite domeno funkcije.
- Poiščite obseg funkcije.
- Označite asimptote hiperbole.
- Poiščite ničle funkcije (f(x) = 0).
- Poiščite presečišče hiperbole z osjo X (y = 0).
7. Poiščite intervale, v katerih: a) y<0; б) y>0.
8. Navedite intervale naraščanja (padanja) funkcije.
I možnost.
S programom Agrapher zgradite graf funkcije in raziščite njene lastnosti:
a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-
Delna racionalna funkcija
Formula y = k/ x, je graf hiperbola. V 1. delu GIA je ta funkcija na voljo brez premikov vzdolž osi. Zato ima samo en parameter k. Največja razlika v videzu grafa je odvisna od predznaka k.
Težje je videti razlike v grafih, če k en znak:
Kot vidimo, več k, višje gre hiperbola.
Slika prikazuje funkcije, pri katerih se parameter k bistveno razlikuje. Če razlika ni tako velika, jo je težko določiti na oko.
V zvezi s tem je naslednja naloga, ki sem jo našel v na splošno dobrem priročniku za pripravo na državni izpit, enostavno »mojstrovina«:
Ne le to, na dokaj majhni sliki se tesno razmaknjeni grafi enostavno združijo. Prav tako so hiperbole s pozitivnim in negativnim k upodobljene v isti koordinatni ravnini. Kar bo popolnoma zmešalo vsakogar, ki bo pogledal to risbo. "Col little star" pade v oči.
Hvala bogu je to samo naloga za trening. V resničnih različicah so bile predlagane pravilnejše besedilo in očitne risbe.
Ugotovimo, kako določiti koeficient k glede na graf funkcije.
Iz formule: y = k/x iz tega sledi k = y x. To pomeni, da lahko vzamemo katero koli celo točko s priročnimi koordinatami in jih pomnožimo - dobimo k.
k= 1·(- 3) = - 3.
Zato je formula te funkcije: y = - 3/x.
Zanimivo je razmisliti o situaciji z delnim k. V tem primeru lahko formulo zapišemo na več načinov. To ne bi smelo biti zavajajoče.
na primer
Na tem grafu je nemogoče najti eno celo točko. Zato vrednost k lahko zelo približno določimo.
k= 1·0,7≈0,7. Vendar pa je mogoče razumeti, da je 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.
Torej, povzamemo.
k> 0 hiperbola se nahaja v 1. in 3. koordinatnem kotu (kvadrantih),
k < 0 - во 2-м и 4-ом.
če k modulo večji od 1 ( k= 2 oz k= - 2), potem se graf nahaja nad 1 (pod - 1) vzdolž osi y in je videti širši.
če k modulo manj kot 1 ( k= 1/2 oz k= - 1/2), potem se graf nahaja pod 1 (zgoraj - 1) vzdolž osi y in je videti ožji, "stisnjen" proti ničli:
Linearna ulomna funkcija se preučuje v 9. razredu po tem, ko so bile preučene nekatere druge vrste funkcij. Točno to je povedano na začetku lekcije. Tukaj govorimo o o funkciji y=k/x, kjer je k>0. Po mnenju avtorja so to funkcijo že prej obravnavali šolarji. Zato so seznanjeni z njegovimi lastnostmi. Toda avtor predlaga, da se v tej lekciji spomnite in podrobno razmislite o eni lastnosti, ki označuje značilnosti grafa te funkcije. Ta lastnost odraža neposredno odvisnost vrednosti funkcije od vrednosti spremenljivke. Namreč, pri pozitivnem x, ki teži v neskončnost, je tudi vrednost funkcije pozitivna in teži k 0. Pri negativnem x, ki teži v minus neskončnost, je vrednost y negativna in teži k 0.
Nadalje avtor ugotavlja, kako se ta lastnost kaže na grafu. Na ta način se učenci postopoma seznanijo s konceptom asimptote. Po splošnem uvodu v ta koncept sledi njegova jasna definicija, ki je poudarjena s svetlim okvirjem.
Po uvedbi pojma asimptote in po njeni definiciji avtor opozori na dejstvo, da ima hiperbola y=k/x za k>0 dve asimptoti: to sta osi x in y. Popolnoma enaka situacija s funkcijo y=k/xat k<0: функция имеет две асимптоты.
Ko so glavne točke pripravljene in je znanje posodobljeno, avtor predlaga, da preidemo na neposredno študijo nove vrste funkcije: študij linearne frakcijske funkcije. Za začetek je predlagano, da razmislimo o primerih delnih linearnih funkcij. Na enem od takšnih primerov avtor pokaže, da sta števec in imenovalec linearna izraza ali z drugimi besedami polinoma prve stopnje. V primeru števca lahko deluje ne le polinom prve stopnje, ampak tudi katero koli število, ki ni nič.
Nato avtor nadaljuje z demonstracijo splošne oblike linearne frakcijske funkcije. Hkrati podrobno opiše vsako komponento zapisane funkcije. Pojasni tudi, kateri koeficienti ne morejo biti enaki 0. Avtor opiše te omejitve in pokaže, kaj se lahko zgodi, če se ti koeficienti izkažejo za nič.
Nato avtor ponovi, kako iz grafa funkcije y=f(x) dobimo graf funkcije y=f(x)+n. Lekcijo na to temo lahko najdete tudi v naši podatkovni bazi. Tukaj je tudi omenjeno, kako sestaviti graf funkcije y=f(x+m) iz istega grafa funkcije y=f(x).
Vse to je prikazano na konkretnem primeru. Tukaj je predlagana izdelava grafa določene funkcije. Vsa gradnja se izvaja po fazah. Za začetek je predlagano, da izoliramo celoten del iz danega algebraičnega ulomka. Po opravljenih potrebnih transformacijah avtor prejme celo število, ki se doda ulomku s števcem, ki je enak številu. Tako lahko graf funkcije, ki je ulomek, sestavimo iz funkcije y = 5/x s pomočjo dvojnega vzporednega prevajanja. Tu avtor ugotavlja, kako se bodo gibale asimptote. Po tem se sestavi koordinatni sistem in asimptote prenesejo na novo lokacijo. Nato sta zgrajeni dve tabeli vrednosti za spremenljivko x>0 in za spremenljivko x<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.
Nato razmislimo o drugem primeru, kjer je v zapisu funkcije minus pred algebraičnim ulomkom. Vendar se to ne razlikuje od prejšnjega primera. Vsa dejanja se izvajajo na podoben način: funkcija se pretvori v obliko, kjer je označen celoten del. Nato se prenesejo asimptote in sestavi graf funkcije.
Tu se razlaga snovi konča. Ta postopek traja 7:28 minut. To je približno toliko časa, ki ga učitelj potrebuje za razlago nove snovi pri redni lekciji. Toda za to se morate dobro pripraviti vnaprej. Če pa vzamemo to video lekcijo kot osnovo, potem bo priprava na lekcijo vzela najmanj časa in truda, študentom pa bo všeč nova metoda poučevanja, ki ponuja ogled video lekcije.
“OSNOVNA IZOBRAŽEVALNA ŠOLA SUBASHI” OBČINSKO OKROŽJE BALTASI
REPUBLIKA TATARSTAN
Razvoj lekcije - 9. razred
Tema: Ulomek – linearna funkcijacija
kvalifikacijska kategorija
GarifullinAŽeleznicajazRifkatovna
201 4
Tema lekcije: Ulomek je linearna funkcija.
Cilj lekcije:
Izobraževalni: Učence seznaniti s pojmifrakcijsko – linearna funkcija in enačba asimptot;
Razvojni: Oblikovanje tehnik logičnega mišljenja, razvoj zanimanja za predmet; razvijajo določanje definicijskega področja, vrednostnega področja ulomljene linearne funkcije in oblikovanje spretnosti za sestavljanje njenega grafa;
- motivacijski cilj:negovanje matematične kulture učencev, pozornosti, ohranjanje in razvijanje zanimanja za študij predmeta z uporabo različnih oblik pridobivanja znanja.
Oprema in literatura: Prenosni računalnik, projektor, interaktivna tabla, koordinatna ravnina in graf funkcije y= , refleksijska karta, multimedijska predstavitev,Algebra: učbenik za 9. razred osnovne srednje šole / Yu.N. Makarychev, N.G Mendyuk, K.I. Neshkov, S.B. uredil S.A. Telyakovsky / M: “Prosveshchenie”, 2004 z dodatki.
Vrsta lekcije:
lekcija o izboljšanju znanja, spretnosti, sposobnosti.
Napredek lekcije.
I organizacijski trenutek:
Cilj: - razvoj ustnih računalniških sposobnosti;
ponavljanje teoretičnih gradiv in definicij, potrebnih za študij nove teme.
dober dan Pouk začnemo s preverjanjem domače naloge:
Pozor na zaslon (slide 1-4):
Naloga - 1.
Odgovorite na vprašanje 3 z uporabo grafa te funkcije (poiščite največjo vrednost funkcije, ...)
( 24 )
Naloga -2. Izračunajte vrednost izraza:
-
=
Naloga -3: Poiščite trojno vsoto korenin kvadratne enačbe:
X 2 -671∙X + 670= 0.
Vsota koeficientov kvadratne enačbe je nič:
1+(-671)+670 = 0. Torej x 1 =1 in x 2 = torej
3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013
Zdaj pa zaporedno s pikami zapišimo odgovore na vse 3 naloge. (24. december 2013.)
Rezultat: Da, tako je! Torej, tema današnje lekcije:
Ulomek je linearna funkcija.
Preden zapelje na cesto, mora voznik poznati cestna pravila: znake za prepoved in dovoljenje. Danes si morava zapomniti tudi nekaj prepovedujočih in dopustnih znakov. Pozor na zaslon! (Diapozitiv-6
)
Zaključek:
Izraz nima pomena;
Pravilno izražanje, odgovor: -2;
pravilno izražanje, odgovor: -0;
Ne moreš deliti 0 z nič!
Upoštevajte, ali je vse pravilno zapisano? (diapozitiv – 7)
1) ; 2) = ; 3) = a .
(1) prava enakost, 2) = - ; 3) = - a )
II. Učenje nove teme: (diapozitiv – 8).
Cilj: Naučiti veščine iskanja definicijskega področja in območja vrednosti delno linearne funkcije, konstruirati njen graf z vzporednim prenosom grafa funkcije vzdolž abscisne in ordinatne osi.
Določite, katera funkcija je grafično prikazana na koordinatni ravnini?
Podan je graf funkcije na koordinatni ravnini.
vprašanje
Pričakovan odziv
Poiščite domeno definicije funkcije, (D( l)=?)
X ≠0 oz(-∞;0]UUU
Graf funkcije premaknemo z vzporedno translacijo vzdolž osi Ox (abscisa) za 1 enoto v desno;
Katero funkcijo si narisal?
Graf funkcije premaknemo z vzporedno translacijo vzdolž Oy (ordinatne) osi za 2 enoti navzgor;
Zdaj, katero funkcijo ste prikazali?
Narišite ravne črte x=1 in y=2
kako misliš Kakšna neposredna sporočila sva prejela ti in jaz?
To so tisti ravni, ki se ji točke krivulje grafa funkcije približujejo z oddaljevanjem v neskončnost.
In so poklicani– asimptote.
To pomeni, da ena asimptota hiperbole poteka vzporedno z osjo y na razdalji 2 enoti desno od nje, druga asimptota pa poteka vzporedno z osjo x na razdalji 1 enote nad njo.
Bravo! Zdaj pa zaključimo:
Graf linearne ulomljene funkcije je hiperbola, ki jo lahko dobimo iz hiperbole y =z uporabo vzporednih translacij vzdolž koordinatnih osi. Za to je treba formulo delne linearne funkcije predstaviti v naslednji obliki: y=
kjer je n število enot, za katere je hiperbola premaknjena v desno ali levo, m je število enot, za katere je hiperbola premaknjena navzgor ali navzdol. V tem primeru se asimptote hiperbole premaknejo na ravne črte x = m, y = n.
Navedimo primere delne linearne funkcije:
; .
Delna linearna funkcija je funkcija oblike y = , kjer je x spremenljivka, a, b, c, d so nekatera števila in c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.
c≠0 inoglas- pr≠0, saj pri c=0 funkcija preide v linearno.
čeoglas- pr=0, je dobljeni ulomek vrednost, ki je enaka (tj. konstantna).
Lastnosti frakcijske linearne funkcije:
1. Ko se pozitivne vrednosti argumenta povečajo, se vrednosti funkcije zmanjšajo in težijo k ničli, vendar ostanejo pozitivne.
2. Ko se pozitivne vrednosti funkcije povečajo, se vrednosti argumenta zmanjšajo in se nagibajo k nič, vendar ostanejo pozitivne.
III – utrjevanje prejete snovi.
Cilj: - razvijati predstavitvene spretnosti in sposobnostiformule delne linearne funkcije v obliki:
Okrepiti veščine sestavljanja asimptotnih enačb in risanja grafa delno linearne funkcije.
Primer -1:
Rešitev: S transformacijami predstavimo to funkcijo v obliki .
=
(diapozitiv 10)
Minute telesne vzgoje:
(ogrevanje vodi dežurni)
Cilj: - razbremenitev duševnega stresa in izboljšanje zdravja učencev.
Delo z učbenikom: št. 184.
Rešitev: S transformacijami to funkcijo predstavimo v obliki y=k/(x-m)+n.
=
de x≠0.
Zapišimo enačbo asimptote: x=2 in y=3.
Torej graf funkcije premika vzdolž osi Ox na razdalji 2 enoti desno od nje in vzdolž osi Oy na razdalji 3 enot nad njo.
Skupinsko delo:
Cilj: - razvijanje sposobnosti poslušanja drugega in hkrati konkretnega izražanja svojega mnenja;
izobrazba osebe, sposobne vodenja;
negovanje kulture matematičnega govora pri učencih.
Možnost #1
Dana funkcija:
.
.
Možnost št. 2
Glede na funkcijo
1. Reduciraj linearno ulomkovo funkcijo na standardno obliko in zapiši enačbo asimptote.
2. Poiščite domeno funkcije
3. Poiščite množico funkcijskih vrednosti
1. Reduciraj linearno ulomkovo funkcijo na standardno obliko in zapiši enačbo asimptote.
2. Poiščite domeno funkcije.
3. Poiščite množico vrednosti funkcije.
(Skupina, ki je končala delo, se najprej pripravi na zagovor skupinskega dela pred tablo. Delo analiziramo.)
IV. Povzetek lekcije.
Cilj: - analiza teoretičnih in praktičnih dejavnosti pri pouku;
Oblikovanje veščin samospoštovanja pri učencih;
Refleksija, samoocena dejavnosti in zavesti učencev.
In tako, dragi moji učenci! Pouk se bliža koncu. Izpolniti morate kartico za refleksijo. Svoja mnenja napišite previdno in čitljivo
Priimek in ime _______________________________________
Koraki lekcije
Določitev stopnje zahtevnosti stopenj lekcije
Vaši mi trije
Ocena vaše dejavnosti v lekciji, 1-5 točk
enostavno
srednje težka
težko
Organizacijska faza
Učenje nove snovi
Oblikovanje spretnosti pri gradnji grafa delne linearne funkcije
Skupinsko delo
Splošno mnenje o lekciji
domača naloga:
Cilj: - preverjanje stopnje obvladovanja te teme.
[klavzula 10*, št. 180(a), 181(b).]
Priprava na državni izpit: (Delo na "Virtualni izbirni predmet" )
telovadba iz serije GIA (št. 23 - najvišja ocena):
Graf funkcije Y=
in ugotovite, pri katerih vrednostih c ima premica y=c natanko eno skupno točko z grafom.
Vprašanja in naloge bodo objavljene od 14.00 do 14.30.
1. Delna linearna funkcija in njen graf
Funkcijo v obliki y = P(x) / Q(x), kjer sta P(x) in Q(x) polinoma, imenujemo delna racionalna funkcija.
Verjetno ste že seznanjeni s konceptom racionalnih števil. Prav tako racionalne funkcije so funkcije, ki jih lahko predstavimo kot kvocient dveh polinomov.
Če je ulomna racionalna funkcija kvocient dveh linearnih funkcij - polinomov prve stopnje, tj. funkcijo oblike
y = (ax + b) / (cx + d), potem se imenuje frakcijski linearni.
Upoštevajte, da je v funkciji y = (ax + b) / (cx + d) c ≠ 0 (sicer funkcija postane linearna y = ax/d + b/d) in da je a/c ≠ b/d (sicer funkcija funkcija je konstantna). Funkcija linearnega ulomka je definirana za vsa realna števila razen za x = -d/c. Grafi delnih linearnih funkcij se po obliki ne razlikujejo od grafa y = 1/x, ki ga poznate. Imenuje se krivulja, ki je graf funkcije y = 1/x hiperbola. Z neomejenim naraščanjem absolutne vrednosti x funkcija y = 1/x absolutno neomejeno pada in obe veji grafa se približujeta abscisi: desna od zgoraj, leva od spodaj. Premice, h katerim se približujejo veje hiperbole, se imenujejo njene asimptote.
Primer 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
rešitev.
Izberimo cel del: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Zdaj je enostavno videti, da je graf te funkcije dobljen iz grafa funkcije y = 1/x z naslednjimi transformacijami: premik za 3 enotske segmente v desno, raztezanje vzdolž osi Oy 7-krat in premik za 2 segmente enote navzgor.
Vsak ulomek y = (ax + b) / (cx + d) lahko zapišemo na podoben način, pri čemer označimo "celoten del". Posledično so grafi vseh delnih linearnih funkcij hiperbole, na različne načine premaknjene vzdolž koordinatnih osi in raztegnjene vzdolž osi Oy.
Če želite zgraditi graf katere koli poljubne delno-linearne funkcije, sploh ni potrebno transformirati ulomka, ki definira to funkcijo. Ker vemo, da je graf hiperbola, bo dovolj, da poiščemo premice, ki se jim približujejo njene veje - asimptoti hiperbole x = -d/c in y = a/c.
Primer 2.
Poiščite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).
rešitev.
Funkcija ni definirana, pri x = -1. To pomeni, da premica x = -1 služi kot navpična asimptota. Da bi našli vodoravno asimptoto, ugotovimo, čemu se približajo vrednosti funkcije y(x), ko se argument x poveča v absolutni vrednosti.
Če želite to narediti, delite števec in imenovalec ulomka z x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Pri x → ∞ bo ulomek težil k 3/2. To pomeni, da je vodoravna asimptota ravna črta y = 3/2.
Primer 3.
Narišite graf funkcije y = (2x + 1)/(x + 1).
rešitev.
Izberimo "cel del" ulomka:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Zdaj lahko vidimo, da je graf te funkcije dobljen iz grafa funkcije y = 1/x z naslednjimi transformacijami: premik za 1 enoto v levo, simetričen prikaz glede na Ox in premik za 2 enotska segmenta navzgor vzdolž osi Oy.
Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Območje vrednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Presečišča z osemi: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija narašča na vsakem intervalu definirane domene.
Odgovor: Slika 1.
2. Ulomljena racionalna funkcija
Razmislite o ulomljeni racionalni funkciji oblike y = P(x) / Q(x), kjer sta P(x) in Q(x) polinoma višje stopnje od prve.
Primeri takih racionalnih funkcij:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ali y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Če funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja količnik dveh polinomov stopnje, višje od prvega, bo njen graf praviloma bolj zapleten in ga je včasih težko natančno sestaviti. , z vsemi podrobnostmi. Vendar pa je pogosto dovolj, da uporabimo tehnike, podobne tistim, ki smo jih že predstavili zgoraj.
Naj bo ulomek pravi ulomek (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Očitno lahko graf ulomke racionalne funkcije dobimo kot vsoto grafov elementarnih ulomkov.
Risanje grafov ulomkov racionalnih funkcij
Razmislimo o več načinih za izdelavo grafov delne racionalne funkcije.
Primer 4.
Narišite graf funkcije y = 1/x 2 .
rešitev.
Graf funkcije y = x 2 uporabimo za sestavo grafa y = 1/x 2 in uporabimo tehniko »deljenja« grafov.
Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Območje vrednosti E(y) = (0; +∞).
Ni presečišč z osemi. Funkcija je enakomerna. Narašča za vse x iz intervala (-∞; 0), zmanjšuje za x od 0 do +∞.
Odgovor: Slika 2.
Primer 5.
Graf funkcije y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
rešitev.
Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Tu smo uporabili tehniko faktorizacije, redukcije in redukcije na linearno funkcijo.
Odgovor: Slika 3.
Primer 6.
Narišite graf funkcije y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
rešitev.
Definicijsko področje je D(y) = R. Ker je funkcija soda, je graf simetričen glede na ordinato. Preden zgradimo graf, ponovno preoblikujemo izraz in označimo celoten del:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Upoštevajte, da je izolacija celega dela v formuli frakcijske racionalne funkcije ena glavnih pri konstruiranju grafov.
Če x → ±∞, potem je y → 1, tj. premica y = 1 je vodoravna asimptota.
Odgovor: Slika 4.
Primer 7.
Oglejmo si funkcijo y = x/(x 2 + 1) in poskušajmo natančno najti njeno največjo vrednost, tj. najvišja točka na desni polovici grafa. Za natančno sestavo tega grafa današnje znanje ni dovolj. Očitno se naša krivulja ne more "dvigniti" zelo visoko, ker imenovalec hitro začne »prehitevati« števec. Poglejmo, ali je lahko vrednost funkcije enaka 1. Za to moramo rešiti enačbo x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ta enačba nima pravih korenin. To pomeni, da je naša predpostavka napačna. Če želite najti največjo vrednost funkcije, morate ugotoviti, pri katerem največjem A bo enačba A = x/(x 2 + 1) imela rešitev. Zamenjajmo prvotno enačbo s kvadratno: Ax 2 – x + A = 0. Ta enačba ima rešitev, ko je 1 – 4A 2 ≥ 0. Od tod najdemo največjo vrednost A = 1/2. 
Odgovor: slika 5, max y(x) = ½.
Imate še vprašanja? Ne veste, kako prikazati funkcije?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.