Koncept parcialne diferencialne enačbe. UMF. Klasifikacija parcialnih diferencialnih enačb drugega reda

Teoretični minimum

V matematični fiziki se pri obravnavanju problemov, povezanih z reševanjem parcialnih diferencialnih enačb drugega reda, vedno osredotočamo
o analizi nekaterih osnovnih enačb: Poissonova, toplotna prevodnost, valovna enačba. To je posledica možnosti vnosa enačb drugega
naročilo na t.i kanonični obliki, in sicer na iste enačbe, ki so pravkar navedene.

Razmislite o enačbi drugega reda splošni pogled:
,
kje . V tem primeru bomo brez izgube splošnosti domnevali, da je matrika koeficientov simetrična, tj.
(to je pravzaprav zahteva, da so mešane izpeljanke neodvisne od vrstnega reda diferenciacije). V nadaljevanju bomo to matriko imenovali matrika najvišjega
koeficientov Strogo gledano se lahko ista enačba na različnih točkah nanaša na različne vrste klasifikacij. Primer bo podan kasneje.
V zvezi s to opombo bomo na določenem mestu govorili o matriki vodilnih koeficientov. Predpostavimo, da matrika vodilnih koeficientov predstavlja
je matrika neke kvadratne oblike. To obliko je mogoče zmanjšati na normalno obliko, tj. diagonalni obliki s koeficienti, enakimi po velikosti
nič ali ena. Spomnimo se, da se število pozitivnih koeficientov imenuje pozitivni indeks vztrajnosti kvadratne oblike, število negativnih
koeficienti – negativni indeks oblike in število ničelnih koeficientov – napaka oblike. Enačbe je mogoče razvrstiti s pomočjo teh
tri številke, ki jih bomo označili v vrstnem redu, kot so navedene: . Vsota teh treh števil je enaka številu neodvisnih spremenljivk.
Jasno je, da bo množenje celotne enačbe z minus ena povzročilo, da bodo vsi elementi matrike vodilnih koeficientov spremenili predznak. torej
pozitivni in negativni indeksi ustrezne oblike bodo zamenjali vlogi. Tako enačbe pripadajo
na eno vrsto klasifikacije.
Naštejmo glavne razrede enačb:
- hiperbolično
- parabolični
- eliptični
- ultrahiperbolični
- eliptično-parabolično
Zadnji dve vrsti enačb se v standardnih tečajih ne obravnavata.

Verbalno je to razvrstitev mogoče formulirati na naslednji način. Enačba je hiperbolična, če je napaka ustrezne kvadratne oblike
je enak nič, eden od indeksov pa je enak ena. Enačba je parabolična, če ima njena oblika napako, ki je enaka ena in so vsi koeficienti enakega predznaka.
Enačba je eliptična, če je njena oblikovna napaka enaka nič in imajo vsi koeficienti enak predznak.

Primeri različnih vrst enačb

Primer 1. Toplotna enačba.

Enačba paraboličnega tipa.

Primer 2. Valovna enačba.

Enačba hiperboličnega tipa.

Primer 3. Poissonova enačba.

Še posebej, če je na desni ničla, dobimo Laplaceovo enačbo.

Primer 4. Helmholtzova enačba.

Enačba eliptičnega tipa.

Primer 5. Tricomijeva enačba.

Če je , potem je enačba eliptična; če je , potem je enačba parabolična; če je , potem je enačba hiperbolična.

Oglejmo si podrobneje primer, ko ima neznana funkcija samo dva argumenta:
.
Koeficienti so funkcije spremenljivk in (načeloma je možna tudi odvisnost od neznane funkcije (v tem primeru enačba
bo kvazilinearen; omejimo se na linearne enačbe). Splošno enačbo lahko poenostavimo z zamenjavo neodvisnih spremenljivk -
reducirano v kanonično obliko. To kanonično obliko, tako kot vrsto zamenjave, določa karakteristična enačba
.
Značilna enačba je kvadratna enačba glede na izpeljanko se takoj razcepi na dvoje.

Predznak radikalnega izraza določa vrsto enačbe.

Hiperbolične enačbe
To je primer, ko. Splošni integrali karakteristične enačbe.
Zamenjava v teku.

Parabolične enačbe
.
Zamenjava se izvede, kjer je poljubna dvakrat diferenciabilna funkcija, za katero
stanje .

Eliptične enačbe
To je primer, ko. Splošni integral karakteristične enačbe . Zamenjava v teku
.

Oglejmo si več primerov, od katerih vsak zahteva, da enačbo spravimo v kanonično obliko. Tehnologija ima v teh primerih osrednjo vlogo.
zamenjave spremenljivk, saj je podajanje same zamenjave običajno precej preprosto. Linearna sprememba spremenljivk se izvede precej preprosto (primer enačbe z
konstantni koeficienti).
Opomba. Seveda obstaja nekaj svobode pri zamenjavi spremenljivk. Na primer, v vsakem primeru je zamenjava določena natančno do znaka, ki pri tem ne igra pomembne vloge
preoblikovanje derivatov. Tudi v primeru parabolične enačbe dvoumnost vnaša svoboda izbire druge funkcije za zamenjavo spremenljivk, ki je zelo omejena
šibki pogoji.

Primeri redukcije enačb drugega reda na kanonično obliko

Primer 1. Primer linearne spremembe spremenljivk v hiperbolični enačbi.

.
Prvotna enačba je torej hiperboličnega tipa. Najdemo splošne integrale najdenih enačb:
.
Uvedemo zamenjavo. Transformirajmo izpeljanke. V tem primeru lahko predpostavimo, da je funkcija odvisna od spremenljivk
ki so odvisne od starih spremenljivk:




.

.

Primer 2. Primer linearne spremembe spremenljivk v eliptični enačbi.

Sestavimo značilno enačbo:
.
Prvotna enačba je torej eliptičnega tipa. Najdemo splošni integral katere koli od najdenih enačb:
.
Uvedemo zamenjavo. Izpeljanke transformiramo na povsem enak način, kot smo to naredili v primeru 1.



Po nadomestitvi teh derivatov v prvotno enačbo dobimo
.

Primer 3. Primer linearne spremembe spremenljivk v parabolični enačbi.

Sestavimo značilno enačbo:
.
Prvotna enačba je torej paraboličnega tipa. Najdemo splošni integral najdene enačbe:
.
To pojasnjuje, kako je mogoče izbrati eno spremenljivko: . Drugo spremenljivko je treba izbrati neodvisno.
Običajno se izbere najpreprostejši, da ne zaplete izračunov. Oglejmo si dve možnosti, da vidimo, kako vpliva izbira druge
spremenljivke do končne oblike enačbe. Najprej postavimo. Izpeljanke ponovno transformiramo na enak način kot v 1. primeru.



Po nadomestitvi teh derivatov v prvotno enačbo dobimo

V nadaljevanju bomo predvidevali, da je bralec že seznanjen z osnovami teorije navadnih diferencialnih enačb, to je enačb, ki povezujejo neznano funkcijo ene neodvisne spremenljivke, njene odvode in samo neodvisno spremenljivko. Podali bomo le najosnovnejše informacije.

Diferencialna enačba prvega reda ima neskončno število rešitev, ki jih določa formula, ki vsebuje eno poljubno konstanto: . Podobno splošna rešitev diferencialne enačbe drugega reda vsebuje dve poljubni konstanti: Izolacijo določene rešitve je mogoče izvesti z določitvijo začetnih pogojev, ki imajo za enačbo drugega reda običajno obliko Zamenjava teh vrednosti v splošno rešitev in v njen derivat, dobimo dve enačbi za iskanje poljubnih konstant Q in C. Če je desna stran enačbe - funkcija - zvezna v določeni okolici vrednosti in ima tam zvezne delne odvode, potem obstaja edinstvena posebnost rešitev, ki izpolnjuje dane začetne pogoje (izrek obstoja in edinstvenosti rešitve).

V prihodnosti bomo še posebej pogosto srečevali linearne diferencialne enačbe drugega reda.

Za homogeno enačbo

splošna rešitev je linearna kombinacija njenih dveh posebnih

rešitve, razen če so te rešitve linearno neodvisne (tj. kjer je k konstanta):

Splošna rešitev nehomogene enačbe

je vsota katere koli njene posebne rešitve in splošne rešitve ustrezne homogene enačbe.

Ta knjiga bo preučevala parcialne diferencialne enačbe, to je enačbe, ki vključujejo neznano funkcijo več spremenljivk in njene parcialne odvode. Običajno se morate ukvarjati z enačbami za funkcije dveh ali treh neodvisnih spremenljivk. Tukaj so primeri takih enačb - neodvisne spremenljivke, u - neznana funkcija):

Prva vrstica vsebuje enačbe, ki vsebujejo samo parcialne odvode prvega reda. Take enačbe imenujemo enačbe prvega reda. V skladu s tem so enačbe, zapisane v drugi vrstici, primeri enačb drugega reda.

Sploh si ne zadajemo proučevanja metod za reševanje parcialnih diferencialnih enačb na splošno. Upoštevali bomo samo tiste specifične enačbe (pa še to ne vseh), ki so bistvene za fiziko, mehaniko in tehnologijo. Te enačbe se imenujejo diferencialne enačbe matematične fizike.

Najprej se bomo brez dokaza seznanili z najpreprostejšimi lastnostmi parcialnih diferencialnih enačb; Predpostavili bomo, da je neznana funkcija i odvisna od dveh spremenljivk x in y.

Vzemimo enačbo

Jasno je, da želena funkcija ni odvisna od spremenljivke, ampak je lahko katera koli funkcija od y.

Dejansko z diferenciranjem funkcije glede na dobimo nič, kar pomeni, da je enakost (1) izpolnjena. Posledično rešitev (2) enačbe (1) vsebuje eno poljubno funkcijo. To je temeljna razlika med rešitvijo parcialne diferencialne enačbe prvega reda in splošno rešitvijo navadne diferencialne enačbe prvega reda, ki vsebuje samo poljubno konstanto. Po analogiji bomo rešitev (2), ki vsebuje eno poljubno funkcijo, imenovali splošna rešitev enačbe (1).

Razmislimo bolj zapleteno enačba

kje je dana funkcija. Vse funkcije, ki izpolnjujejo enačbo (3), imajo obliko

kjer je poljubna funkcija od To lahko preverimo z razlikovanjem obeh strani enakosti (4), vendar y. Najdena rešitev enačbe (3) je odvisna od ene poljubne funkcije, torej je splošna.

Enostavno preverimo, da ima enačba splošno rešitev , kjer je poljubna diferenciabilna funkcija.

Za to se spomnimo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije več spremenljivk (glej odstavek 116). Če , kje so funkcije spremenljivk potem

Podobne formule veljajo za izpeljanke glede na. V tem primeru je lahko število vmesnih argumentov, pa tudi število neodvisnih spremenljivk.

V našem primeru, kjer . zato

Če te izraze nadomestimo v enačbo, dobimo identiteto

Na enak način lahko preverimo, da ima enačba splošno rešitev in da ima enačba splošno rešitev, kjer je poljubna diferenciabilna funkcija.

Oglejmo si zdaj enačbe drugega reda. Naj

Postavimo. Potem bo enačba (5) dobila obliko . Splošna rešitev enačbe bo poljubna funkcija. Če se vrnemo k funkciji in, ponovno dobimo enačbo prvega reda

V skladu z (4) bo njena splošna rešitev funkcija

Ker je poljubna funkcija od y, je tudi njen integral poljubna funkcija, kar označimo z . Kot rezultat smo prejeli rešitev v obrazcu

kjer so poljubne diferenciabilne funkcije. Preprosto preverimo, ali funkcija (6) res zadošča enačbi (5).

Do sedaj še nismo postavili vprašanja iskanja posebnih rešitev. Kasneje bo pojasnjeno, katere dodatne pogoje je treba postaviti, da je z njihovo pomočjo mogoče izolirati določeno rešitev, torej funkcijo, ki zadošča tako diferencialni enačbi kot dodatnim pogojem.

Izkazalo se je, da imajo diferencialne enačbe matematične fizike, ki jih bomo preučevali v prihodnosti, med seboj precej skupnega: vse so drugega reda in linearne glede na neznano funkcijo in njene parcialne odvode.

Najpogosteje so vsi koeficienti funkcije in njeni derivati ​​konstantna števila. Splošna oblika takih enačb za funkcijo u, odvisno od dveh spremenljivk x in y, je naslednja:

kjer so A, B, C, D, E in F konstantna števila, desna stran pa je podana funkcija spremenljivk x in y.

Upoštevajte, da sta narava in obnašanje rešitev te enačbe močno odvisna od njenih koeficientov. O tem bomo govorili na koncu, potem ko se bomo seznanili z najpreprostejšimi enačbami tipa (7) in metodami za njihovo reševanje 1).

Uvod

Osnove teorije parcialnih diferencialnih enačb

1 Osnovne definicije teorije parcialnih diferencialnih enačb

2 Fizikalni problemi, ki vodijo do parcialnih diferencialnih enačb

Uporaba verjetnostnih metod pri reševanju parcialnih diferencialnih enačb

1 Splošni opis metod Monte Carlo

2 Reševanje parcialnih diferencialnih enačb z metodo Monte Carlo na primeru Dirichletovega problema za Laplaceovo in Poissonovo enačbo

Zaključek

Literatura

Uvod

Za kompleksne matematične modele je analitične rešitve mogoče dobiti relativno redko. Zato so med približnimi matematičnimi metodami glavne metode za reševanje problemov numerične. Te metode omogočajo doseganje dobrega kvalitativnega in kvantitativnega opisa procesa ali pojava, ki ga proučujemo.

Dirichletov problem je mogoče formulirati na naslednji način: najti funkcijo, ki je zvezna v danem zaprtem območju, harmonična v območju in zavzema zvezne dane vrednosti na svoji meji. V okviru tega dela smo obravnavali rešitev Dirichletovega problema za Laplaceovo enačbo in Poissonovo enačbo z metodo Monte Carlo, ki temelji na mrežni metodi.

Pri uporabi mrežne metode za reševanje robnih problemov se najprej pojavi problem zamenjave diferencialnih enačb z diferenčnimi enačbami - dana diferencialna enačba se na vozliščih sestavljene mreže nadomesti z ustrezno končno diferencialno enačbo.

Zamisel o mrežni metodi sega v Eulerja. Vendar praktično uporabo Metoda je naletela na resne težave, saj je pridobitev dovolj natančne rešitve robnega problema vodila do sistemov algebrskih enačb, katerih rešitev je zahtevala zamudno ročno računanje. Razmere so se dramatično spremenile s prihodom hitre elektronike računalniki.

Metode Monte Carlo so numerične metode za reševanje matematičnih problemov z uporabo modeliranja naključnih spremenljivk in statistične ocene njihovih značilnosti. V prispevku sta predstavljeni dve metodi za reševanje Dirichletovega problema za Laplaceovo enačbo z metodo Monte Carlo in na podlagi ene od njiju je podan program, ki jo izvaja.

Namen tega dela je preučevanje verjetnostnih metod za reševanje parcialnih diferencialnih enačb.

Delovni cilji:

študij osnovnih principov teorije parcialnih diferencialnih enačb;

klasifikacija parcialnih diferencialnih enačb;

študij metod za reševanje parcialnih diferencialnih enačb;

študij metod Monte Carlo;

uporaba metode Monte Carlo za reševanje Dirichletovega problema za Laplaceovo in Poissonovo enačbo.

Predmet študija: parcialne diferencialne enačbe.

Predmet raziskave: verjetnostne metode za reševanje parcialnih diferencialnih enačb.

Delo je sestavljeno iz dveh poglavij, uvoda, zaključka in seznama literature. Poglavje 1 predstavlja osnovne koncepte teorije parcialnih diferencialnih enačb in jih prikazuje praktična uporaba. Poglavje 2 opisuje metode Monte Carlo v kontekstu problemov reševanja parcialnih diferencialnih enačb.

1. Osnove teorije parcialnih diferencialnih enačb

1 Osnovne definicije teorije parcialnih diferencialnih enačb

Teorija diferencialnih enačb je veja matematike, ki se ukvarja s proučevanjem diferencialnih enačb in z njimi povezanih problemov. Njeni rezultati se uporabljajo v mnogih naravoslovje ah, še posebej široko - v fiziki.

Neformalno povedano je diferencialna enačba enačba, v kateri je neznana količina funkcija. Poleg tega sama enačba ne vključuje samo neznane funkcije, ampak tudi njene različne derivate. Diferencialna enačba opisuje razmerje med neznano funkcijo in njenimi derivati. Takšne povezave najdemo v večini različna področja znanja: mehanika, fizika, kemija, biologija, ekonomija itd.

Obstajajo navadne diferencialne enačbe (ODE) in parcialne diferencialne enačbe (PDE). Obstajajo tudi stohastične diferencialne enačbe (SDE), ki vključujejo naključne procese.

Sprva so diferencialne enačbe nastale iz problemov v mehaniki, ki so vključevali koordinate teles, njihove hitrosti in pospeške, obravnavane kot funkcije časa.

Ena najpreprostejših aplikacij diferencialnih enačb je reševanje netrivialnega problema iskanja trajektorije telesa iz znanih projekcij pospeška. Na primer, po drugem Newtonovem zakonu je pospešek telesa sorazmeren z vsoto delujočih sil; ustrezna diferencialna enačba ima obliko. Vedeti aktivne sile(desna stran), lahko rešite to enačbo in ob upoštevanju začetnih pogojev (koordinate in hitrost v začetnem trenutku) poiščete trajektorijo točke.

Naj bo neka neznana funkcija itd. njegove delne izpeljanke različnih vrst.

Razmislite o enačbi

povezovanje neodvisnih spremenljivk x, y, želene funkcije u(x, y) in njenih parcialnih odvodov različnih vrst. Enačba (1) se imenuje parcialna diferencialna enačba.

Vrstni red enačbe je določen z najvišjim vrstnim redom delnega odvoda, ki se pojavi v enačbi.

) je diferencialna enačba prvega reda.

) - diferencialna enačba drugega reda itd.

Rešitev diferencialne enačbe je katera koli funkcija u(x, y), ki jo spremeni v identiteto. Težave, ki vključujejo reševanje parcialne diferencialne enačbe, so običajno bolj zapletene kot težave za navadne diferencialne enačbe.

Vemo, da je splošna rešitev navadnih diferencialnih enačb n-tega reda odvisna od n poljubnih konstant C1, C2, ..., Cn. več težka situacija sešteje pri reševanju parcialnih diferencialnih enačb. Na primer, rešitev diferencialne enačbe je katera koli funkcija, tj. splošna rešitev je odvisna od neskončnega števila funkcij, odvisnih od samo ene spremenljivke

Predmet teorije parcialnih diferencialnih enačb je preučevanje diferencialnih enačb, ki opisujejo en ali drug naravni pojav, predvsem fizikalni. Naš predmet se bo osredotočil predvsem na parcialne diferencialne enačbe drugega reda.

V zvezi s tem bomo obravnavali nekaj fizikalnih problemov, ki vodijo do rešitve parcialnih diferencialnih enačb.

Teorija diferencialnih enačb je ena največjih vej sodobne matematike. Da bi opredelili njeno mesto v sodobni matematični znanosti, je treba najprej poudariti glavne značilnosti teorije diferencialnih enačb, ki je sestavljena iz dveh širokih področij matematike: teorije navadnih diferencialnih enačb in teorije parcialnih diferencialnih enačb. .

Prva značilnost je neposredna povezava med teorijo diferencialnih enačb in aplikacijami. Če matematiko označimo kot metodo prodiranja v skrivnosti narave, lahko rečemo, da je glavni način uporabe te metode oblikovanje in preučevanje matematičnih modelov. resnični svet. Pri preučevanju katerega koli fizikalnega pojava raziskovalec najprej ustvari njegovo matematično idealizacijo ali, z drugimi besedami, matematični model, to je zanemarjanje sekundarne značilnosti pojav, v matematični obliki zapiše osnovne zakone, ki vladajo temu pojavu. Zelo pogosto je te zakone mogoče izraziti v obliki diferencialnih enačb. To so modeli različnih pojavov mehanike kontinuuma, kemične reakcije, električni in magnetni pojavi itd.

S preučevanjem nastalih diferencialnih enačb skupaj z dodatnimi pogoji, ki so praviloma določeni v obliki začetnih in robnih pogojev, matematik pridobi informacije o pojavu, ki se dogaja, včasih pa lahko ugotovi njegovo preteklost in prihodnost. Preučevanje matematičnega modela z uporabo matematičnih metod omogoča ne le pridobivanje kvalitativnih značilnosti fizikalni pojavi in z določeno stopnjo natančnosti izračuna potek realnega procesa, omogoča pa tudi prodiranje v bistvo fizikalnih pojavov in včasih napoveduje nove fizikalne učinke. Zgodi se, da že sama narava fizičnega pojava nakazuje tako pristope kot metode matematičnega raziskovanja. Merilo za pravilno izbiro matematičnega modela je praksa, primerjava podatkov matematičnih raziskav z eksperimentalnimi podatki.

Zastavljanje problemov za parcialne diferencialne enačbe vključuje določitev same enačbe (ali sistema več enačb) ter zahtevanega števila robnih pogojev (katerih število in naravo določajo posebnosti enačbe). Enačbe morajo po imenu vsebovati parcialne odvode neznane funkcije in (ali več funkcij, če je enačb več) glede na različne argumente, na primer prostorsko spremenljivko x in čas t. V skladu s tem je za rešitev problema potrebno izračunati funkcijo več spremenljivk, na primer u

Same parcialne diferencialne enačbe (nekoliko konvencionalno) lahko razdelimo na tri glavne vrste:

parabolični (primer:) - vsebuje prvi odvod glede na eno spremenljivko in drugi glede na drugo in vse te odvode vstopajo v enačbo z istim predznakom;

hiperbolične (primer:) - vsebujejo prvi odvod glede na eno spremenljivko in drugega glede na drugo, vstopajo v enačbo z različnimi predznaki;

eliptične (primer: 1. ,) - vsebujejo samo sekundarne izpeljanke in enakega predznaka.

Nekaterih bolj zapletenih enačb ni mogoče enoznačno prilagoditi dani klasifikaciji; takrat govorimo o hibridnih vrstah enačb.

Iz tečaja navadnih diferencialnih enačb je znano, da je rešitev diferencialne enačbe n-tega reda

je definiran dvoumno. Splošna rešitev je odvisna od n poljubnih konstant in za enolično rešljivost je potrebno postaviti tako imenovane začetne pogoje

Rešitev problema za enačbo (1) z začetnimi pogoji (2) se imenuje Cauchyjev problem in pod določenimi pogoji rešitev tega problema obstaja in je edinstvena.

Bolj zapletena situacija nastane pri obravnavanju parcialnih diferencialnih enačb. Res: splošna rešitev najenostavnejše enačbe je poljubna funkcija

Da bi bila rešitev dokončna, je treba postaviti dodatne pogoje, na primer zahtevati, da neznana funkcija in morda njeni derivati ​​sprejmejo določene vrednosti na nekaterih kolektorjih. Vsak problem matematične fizike je zastavljen kot problem iskanja rešitve določene enačbe pod določenimi dodatnimi pogoji, ki jih v večini primerov narekuje njena fizikalna formulacija.

1.2 Fizikalni problemi, ki vodijo do parcialnih diferencialnih enačb

Oglejmo si nekaj fizikalnih problemov, katerih rešitve vodijo do parcialnih diferencialnih enačb.

Problem 1 (o prečnih nihanjih strune).

Naj se vrvica dolžine l raztegne s silo T 0in je v ravnotežnem položaju. V trenutku t=0 se točkam vrvice posredujejo določena odstopanja in hitrosti.

Zastavimo si problem določanja majhnih prečnih nihajev vrvičnih točk pri t>0, če so konci strune:

a) togo pritrjen,

b) brezplačno

c) gibljejo se v prečni smeri po danih zakonitostih.

rešitev. Naj os x sovpada z začetnim položajem vrvice v ravnotežnem položaju

Izberimo odsek vrvice od A do B in vse sile, ki delujejo na ta odsek, projiciramo na u os. Po d'Alembertovem principu mora biti vsota projekcij enaka nič.

saj upoštevamo majhna nihanja in zanemarimo majhno vrednost.

To pomeni, da se odsek vrvice ne razteza in zato po Hookovem zakonu vrednost napetosti ni odvisna niti od časa niti od x.

Projekcija natezne sile

Naj bo zvezna linearna gostota zunanje sile. Nato sila deluje na AB vzdolž osi u

Za iskanje vztrajnostne sile uporabimo izraz, kjer je Potem

To je enačba prisilnih nihanja strune.

Če je ρ=const in potem

Poleg tega mora želena funkcija u(x, y) izpolnjevati začetne pogoje:

Začetni položaj niza

Začetni impulz.

Robni pogoji:

a) vrvica je na koncih pritrjena

b) v primeru prostih koncev mora biti

c) - zakoni gibanja koncev vrvice.

Problem 2. Enačba kontinuitete. Težava s pretokom.

Oglejmo si gibanje idealne tekočine (plina), tj. tekočina, v kateri ni viskoznih sil.

Naj bo vektor hitrosti tekočine, njena gostota in intenziteta virov. V tekočini izberimo določeno prostornino ω, omejeno s površino S. Sprememba mase tekočine znotraj ω na časovno enoto je enaka

po drugi strani pa naj bi bila ta sprememba enaka povečanju količine Q1 tekočine zaradi virov

minus količina Q2, ki teče skozi S

formula Ostrogradskega-Gaussa,

kjer je torej zunanja normala na S

Zaradi poljubnosti ω

To je enačba kontinuitete za gibanje idealne tekočine.

Oglejmo si zdaj problem potencialnega toka nestisljive homogene tekočine, ki teče okoli togega telesa Ω z mejo S, ki ima dano hitrost v neskončnosti v odsotnosti virov. V tem primeru in Zato: pod pogojem

Naj bo u potencial hitrosti, tj. Potem

Problem 3. O širjenju toplote

Izpeljava enačbe toplotnega prevoda temelji na Fourierjevem zakonu, po katerem je količina toplote, ki prehaja v času ∆t skozi majhno površino ∆S, ki leži v notranjosti obravnavanega telesa, določena s formulo

kjer je normala na ∆S, usmerjena proti prenosu toplote, k(x, u) je koeficient notranje toplotne prevodnosti, u(x, t) je telesna temperatura v točki v času t. Predpostavlja se, da je telo izotropno glede toplotne prevodnosti, tj. k(x, u) ni odvisen od smeri območja.

Izberimo prostornino ω znotraj telesa, omejeno s S. Po Fourierjevem zakonu je količina toplote, ki teče skozi S v intervalu, enaka

Če je gostota toplotnih virov, potem je količina toplote, proizvedene zaradi njih v ω za določeno časovno obdobje, enaka

Skupna količina toploto, ki teče v ω v času od t1 do t2, lahko izračunamo tudi zaradi temperaturnega prirastka

kjer in sta toplotna kapaciteta in gostota snovi. Potem

Zaradi poljubnosti ω in časovnega intervala t1, t2 sledi enakost

imenujemo toplotna enačba. Če (ni odvisna od temperature), postane enačba (5) linearna. Če je telo homogeno in ima enačba (5) obliko:

Iz fizikalnih premislekov izhaja, da je za nedvoumen opis procesa širjenja toplote potrebno poleg enačbe določiti začetno porazdelitev temperature

Začetno stanje in temperaturni režim na meji

Robni pogoj (možne so tudi druge možnosti postavljanja robnih pogojev).

2. Uporaba verjetnostnih metod pri reševanju parcialnih diferencialnih enačb

1 Splošni opis metod Monte Carlo

Ni vedno mogoče analitično najti rešitve parcialne diferencialne enačbe. V primerih, ko ne gre za analitično iskanje rešitve enačbe, uporabimo numerične metode.

V okviru tega dela obravnavamo skupino numeričnih metod, ki temeljijo na matematičnem aparatu teorije verjetnosti, imenovanih metode Monte Carlo.

Splošno sprejete definicije metode Monte Carlo še ni. Metode Monte Carlo imenujemo numerične metode za reševanje matematičnih problemov z uporabo modeliranja naključnih spremenljivk in statistične ocene njihovih značilnosti. S to definicijo je treba med metode Monte Carlo vključiti še nekatere druge metode, kot so stohastične aproksimacije ali naključno iskanje, ki jih tradicionalno obravnavamo ločeno. Vendar strokovnjaki, ki se ukvarjajo s temi vprašanji, svoje tehnike pogosto imenujejo metode Monte Carlo. Hkrati definicija poudarja, da:

A) govorimo o o numeričnih metodah (in se lahko kosajo s klasičnimi numeričnimi metodami, ne pa z analitičnimi metodami reševanja problemov);

b) vse matematične probleme je mogoče rešiti z uporabo metod Monte Carlo (in ne le problemov verjetnostnega izvora, povezanih z naključnimi spremenljivkami).

Takoj je treba poudariti, da teoretične osnove Metode Monte Carlo so bile znane že veliko prej. Poleg tega so bile takšne metode dejansko večkrat uporabljene za izračune v matematični statistiki. Vendar pred pojavom elektronskih računalnikov (računalnikov) metode Monte Carlo niso mogle postati univerzalne numerične metode, saj je ročno modeliranje naključnih spremenljivk zelo delovno intenziven proces.

Razvoj metod Monte Carlo je pospešil hiter razvoj računalnikov. Algoritmi Monte Carlo (običajno imajo malo povezljivosti) so relativno enostavni za programiranje in omogočajo izračun številnih problemov, ki so nedostopni klasičnim numeričnim metodam. Ker se izboljševanje računalnikov nadaljuje, lahko pričakujemo nadaljnji razvoj metod Monte Carlo in nadaljnje širjenje obsega njihove uporabe.

Najpomembnejša tehnika za konstruiranje metod Monte Carlo je zmanjšanje problema na izračun matematičnih pričakovanj. Podrobneje: da bi približno izračunali določeno skalarno količino a, morate pripraviti tako naključno spremenljivko, da je; potem, ko smo izračunali neodvisne vrednosti količine, lahko domnevamo, da.

Primer. Potrebno je oceniti obseg neke omejene prostorske figure.

Izberimo paralelepiped, katerega prostornina je znana. Izberimo naključne točke, enakomerno porazdeljene v, in označimo s številom točk, ki spadajo v. Če je velik, potem je očitno : , iz česar dobimo oceno.

V tem primeru je naključna spremenljivka enaka, če naključna točka pade noter, in je enaka nič, če točka pade noter. Preprosto je preveriti, ali sta matematično pričakovanje in aritmetična sredina

Zlahka je videti, da obstaja neskončno veliko naključnih spremenljivk, tako da. Zato mora teorija metod Monte Carlo odgovoriti na dve vprašanji:

) kako izbrati primerno vrednost za izračun določenega problema;

) kako najti vrednosti poljubne naključne spremenljivke?

Študija teh vprašanj bi morala biti glavna vsebina praktični tečaj Metode Monte Carlo.

Številne metode temeljijo na izračunu matematičnih pričakovanj. Obstajajo metode naključnega iskanja (razen najpreprostejših) in stohastičnih približkov.

Med metodami Monte Carlo ločimo metode, pri katerih se model izračunanega procesa v celoti reproducira. Take metode se včasih imenujejo "fizične", čeprav se zdi, da avtor raje uporablja drugo ime za te metode - simulacija. Posnemanje naravnih procesov se pogosto uporablja na različnih področjih znanosti, tehnologije in ekonomije.

2 Reševanje parcialnih diferencialnih enačb z metodo Monte Carlo na primeru Dirichletovega problema za Laplaceovo in Poissonovo enačbo

Opredelitev. Funkcija, ki ima zvezne količnike drugega reda v domeni in interno izpolnjuje Laplaceovo enačbo, se imenuje harmonična funkcija:

Najenostavnejši primer harmonične funkcije dveh spremenljivk je funkcija oblike kjer je (glavna rešitev Laplaceove enačbe).

Dirichletov problem z drugimi izrazi je mogoče formulirati na naslednji način: poiščite funkcijo, ki je zvezna v danem zaprtem območju, harmonična v območju in zavzema zvezne dane vrednosti na svoji meji.

Če, potem Dirichletov problem zadošča Poissonovi enačbi in njegova zvezna predstavitev iz robnih pogojev (pravilnost robnega problema) sledi iz naslednjih harmoničnih funkcij.

Lastnost 1 (načelo maksimuma). Funkcija, ki je harmonična v omejenem območju in zvezna v zaprtem območju, v tem območju ne more sprejeti vrednosti, večjih od maksimuma svojih vrednosti na meji zveznih danih vrednosti.

Dokaz. Naj bodo največje vrednosti na meji. Recimo, da funkcija na neki točki znotraj prevzame vrednost in.

Ustvarimo pomožno funkcijo

kjer je premer regije. Očitno imamo

in ko neenakost velja

Zato funkcija doseže svoje najvišjo vrednost znotraj regije na določeni točki in na tej točki bodo izpolnjeni potrebni pogoji za maksimum funkcije:

Iz relacije

iz tega sledi, da je vsaj ena izmed izpeljank ali notranje pozitivna. Zato funkcija ne more imeti maksimuma na nobeni določeni točki v regiji in posledično pridemo do protislovja. Tako,.

Podobno je dokazano, da je, kjer je najmanjša vrednost funkcije na meji.

Posledica. Naj bo funkcija harmonična v omejenem območju in zvezna v zaprtem območju. V tem primeru velja enakost, kjer je on, on.

Komentiraj. Možno je dokazati močnejšo izjavo, da funkcija, ki je harmonična v omejenem in zaprtem območju, razen konstante, ne prevzame največje in najmanjše vrednosti znotraj.

Lastnost II (edinstvenost rešitve Dirichletovega problema). Dirichletov problem za zaprto in omejeno domeno ima lahko le edina rešitev, tj. v zaprtem omejenem območju ni dveh zveznih harmoničnih funkcij, ki imata enake vrednosti na meji.

Dokaz. Predpostavimo, da dve funkciji, obe harmonični v regiji, sovpadata povsod na njeni meji. Upoštevajte funkcijo

Očitno je na harmonična funkcija, ki na meji izgine. Z lastnostjo I ta funkcija ne more sprejeti vrednosti, večjih ali manjših od nič znotraj, torej znotraj in.

Komentiraj. Iz lastnosti II ne sledi, da ima Dirichletov problem za omejeno zaprto domeno rešitev; ta lastnost samo navaja, da če obstaja rešitev Dirichletovega problema za domeno, potem je edinstvena.

Dokaže se lahko, da če je območje konveksno, tj. skupaj s svojima točkama vsebuje segment, ki ju povezuje, njegova meja dejansko ima rešitev (Neumannov izrek).

Lastnost III (korektnost Dirichletovega problema). Rešitev Dirichletovega problema za zaprto in omejeno regijo je stalno odvisna od mejnih podatkov.

Dokaz. Predpostavimo, da sta in sta rešitvi Dirichletovega problema, ki prevzameta vrednost in na meji.

Naj bo neenakost povsod izpolnjena

kjer je poljubno majhno pozitivno število.

Upoštevajte harmonično funkcijo

Na meji ta funkcija prevzame vrednost

Od naprej, potem po lastnini I imamo pri, tj. oz.

Tako je za Dirichletov problem zahteva pravilnosti izpolnjena, ko.

Naj bo na ravnini podano območje s koščno gladko mejo. V območju bomo zgradili kvadratno mrežo s korakom:

Predpostavimo, da je mreža sestavljena iz notranjih vozlišč in mejnih vozlišč prve vrste. Mejna vozlišča mreže tvorijo njeno mejo. Grobo povedano, je meja linearni niz točk, ki natančno približa ukrivljeno-krivočrtno mejo regije.

Predstavljajmo si delec, ki opravi enakomeren naključni sprehod po vozliščih mreže (1). Namreč, ko je v notranjem vozlišču mreže, se lahko ta delec v enem prehodu z enako verjetnostjo, enako 1/4, premakne v eno od štirih sosednjih vozlišč: bodisi v (korak v levo), bodisi v (korak v desno). ), ali v (stopiti navzdol), ali v (stopiti navzgor), in vsak tak posamezni prehod je povsem naključen in ni odvisen od položaja delca in njegove pretekle zgodovine. Predpostavili bomo, da se tavanje delca konča takoj, ko ta delec zadene mejo; v tem smislu obroba predstavlja »vpojni zaslon«. Lahko se dokaže, da z verjetnostjo, ki je enaka 1, točka tava skozi končna številka stopnice se končajo na meji.

Če je delec začel svoj sprehod iz fiksne notranje točke mreže, potem se končna množica zaporednih položajev tega delca: kjer in, imenuje trajektorija delca (s koraki) ali zgodovina hoje.

Enoten naključni hod delca po ravnini je mogoče organizirati z uporabo enakomerno porazdeljenega zaporedja enomestnih naključna števila, ob upoštevanju vrednosti. Če želite to narediti, je na primer dovolj, da naredite risbo, tj. naključna izbira številk; in številki 8 in 9 se ponovita.

Naključna števila so vzeta iz že pripravljenih tabel ali ustvarjena elektronski stroj. Zadnja metoda pri delu na računskem stroju je zaželeno, saj vam omogoča, da se izognete preobremenitvi pomnilnika stroja.

Naj bo neka funkcija definirana na točkah meje G področja G. Prenesimo te vrednosti na mejo mreže. Na primer, za vsako mejno vozlišče določimo točko, ki je vodoravno (ali navpično) najbližja in jo postavimo.

Za kratkost uvajamo oznako.

Naj bo verjetnost, da se bo pot delca, ki zapusti vozlišče mreže, končala na mejnem vozlišču. Ker se tavanje točke neizogibno konča na meji na prvi točki, ko doseže mejo, potem

kjer se seštevek razširi na vse točke meje, in

kje je mejno vozlišče.

Naredimo vsoto

kjer točka poteka čez celotno mejo. Če funkcijo obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki zavzema vrednosti na meji, potem vsota (4) predstavlja matematično pričakovanje (povprečna vrednost) funkcije na meji za trajektorije, ki se začnejo na točki ("premija za doseganje meje ” od začetne točke). Delec, ki začne svoj naključni sprehod iz notranjega vozlišča, po prvem koraku z verjetnostjo 1/4 konča v enem od štirih sosednjih vozlišč. Zato naključni sprehodi, ki se začnejo v vozlišču, glede na vrsto trajektorij spadajo v štiri kategorije novih naključnih sprehodov:

Zato pomnožimo obe strani enakosti (5) z mejnimi vrednostmi in seštejemo vse možne vrednosti in na podlagi formule (4) dobimo

Poleg tega imamo na podlagi formule (3).

če točka.

Oglejmo si zdaj Dirichletov problem iskanja funkcije, ki je harmonična v območju in zavzema dane zvezne vrednosti na svoji meji. Po metodi mreže se ta problem zmanjša na iskanje vrednosti želene funkcije na notranjih vozliščih določene mreže, pod pogojem, da so vrednosti na mejnih vozliščih znane in enake. Neznanke so določene iz sistema linearnih enačb

Če primerjamo formule (8) s formulami (6), (7), vidimo, da sovpadajo do zapisa. Zato lahko neznane neznanke obravnavamo kot matematična pričakovanja. Vrednosti je mogoče določiti eksperimentalno. Razmislimo dovolj veliko število enakomerni naključni sprehodi delca vzdolž vozlišč mreže, ki se začnejo od fiksnega vozlišča in končajo na meji. Naj ustrezne točke delca izstopijo na mejo. Če zamenjamo matematično pričakovanje z empiričnim matematičnim pričakovanjem, bomo imeli

Formula (9) daje statistično oceno vrednosti in jo je mogoče uporabiti za približno rešitev Dirichletovega problema. Metoda za reševanje problemov, ki temelji na uporabi naključnih spremenljivk, je splošno znana kot metoda Monte Carlo.

Upoštevajte, da lahko z uporabo formule (9) neposredno najdete približno vrednost rešitve Dirichletovega problema na eni sami fiksni mrežni točki, ne da bi poznali rešitev problema za preostale mrežne točke. V tej okoliščini se metoda Monte Carlo za Dirichletov problem močno razlikuje od običajnih standardnih metod za reševanje tega problema.

Zanimivo je omeniti, da je verjetnost na podlagi formule (4) analogna Greenovi funkciji za Dirichletov problem v domeni. To vrednost je mogoče najti eksperimentalno na podlagi formule (9), če so določeni naslednji robni pogoji:

Ko konstruiramo takšno Greenovo funkcijo, dobimo priložnost, da z uporabo formule (9) preprosto

najti približno rešitev Dirichletovega problema za območje z dano mejo za poljubne mejne vrednosti.

Pomanjkljivost obravnavane različice metode Monte Carlo za Dirichletov problem je šibka konvergenca v verjetnosti za empirično matematično pričakovanje.

na matematično pričakovanje. Za odpravo te neugodne okoliščine se uporabljajo različne modifikacije naključnih sprehodov. Poleg tega je pri reševanju problema koristno upoštevati tudi, da je hod delca, ki se začne v točki, samodejno naključen hod delca, ki se začne na kateri koli vmesni točki na poti tega delca.

Naj navedemo še eno metodo Monte Carlo za reševanje Dirichletovega problema za Laplaceovo enačbo, ki ni povezana z diferenčnimi enačbami. Naj sta dana omejeno povezano območje in točka. Definirajmo naključno trajektorijo na naslednji način: put; nadalje, če je točka znana, bomo zgradili krog poljubnega polmera, ki se nahaja znotraj, in izbrali naključno točko na tem krogu.

Tako sta kjer in kot enakomerno porazdeljena v intervalu.

Predstavimo izrek: če funkcija zadošča Laplaceovi enačbi v domeni

potem je za vsako in za vsako matematično pričakovanje enako vrednosti na začetku trajektorije.

Dokaz. Dajmo natančnejši pomen trditvi o poljubnosti polmera. Predpostavili bomo, da je podana določena ravnina, ki je identično enaka nič za vse, ki presegajo najmanjšo oddaljenost od meje, kot tudi za; dovoljen je tudi primer; izbor pa poteka glede na gostoto. Naj bo gostota porazdelitve točke c. Potem je matematično pričakovanje vrednosti enako

Po izreku o srednji vrednosti harmonične funkcije

zato

Pri piki in. Z indukcijo dobimo trditev izreka.

Konstrukcija trajektorij tipa, obravnavanega v tridimenzionalnem primeru, se včasih imenuje hoja po kroglah.

Zgornjo trajektorijo lahko uporabimo za približno rešitev Dirichletovega problema. Naj bo podana meja regije omejena funkcija. Označimo z želeno rešitev, ki interno zadošča enačbi (1) in se spremeni v at.

Popravimo dokaj majhno okolico meje (slika 3, dodatek D). Za izračun bomo zgradili trajektorije oblike, dokler ne pade naključna točka. Naj bo mejna točka najbližja. Predpostavimo lahko, da je vrednost naključne spremenljivke približno enaka. Z izgradnjo trajektorij te vrste dobimo vrednosti, s katerimi se ocenjuje želena rešitev

Upoštevajte, da konvergenca v verjetnosti

kadar ne izhaja iz Khinchinovega izreka, ki pravi, da zaporedje enako porazdeljenih neodvisnih količin, ki imajo matematična pričakovanja, upošteva zakon velike številke, ker vsota (3) vključuje različne naključne spremenljivke, ki se razlikujejo po pravilih izbire. Lahko pa uporabite drugo obliko zakona velikih števil - Čebiševljev izrek:

Če so količine neodvisne in obstaja in, potem kdaj

(Dokaz tega izreka je enostavno dobiti z uporabo neenakosti Čebiševa - na količino).

Pri nas vse, le odstopanja, kje. Pravzaprav, kot je znano, sta maksimum in minimum harmonične funkcije dosežena na meji regije, torej za vse.

Ta metoda izračuna se šteje za hitrejšo od metode, ki uporablja diferenčne enačbe, saj vam omogoča, da naredite večje korake daleč od meje. Običajno je priporočljivo izbrati največje možne radije.

To metodo je predlagal J. Brown in utemeljil M. Muller, ki je zlasti dokazal, da je verjetnost, da trajektorija nikoli ne bo zadela, enaka nič. Nadaljnji razvoj metode je organizacija odvisnih testov, reševanje enačb splošnejše oblike in uporaba drugih likov namesto krogov (za katere so znane Greenove funkcije).

Naj bo rešitev Laplaceove enačbe v enotskem kvadratu, ki izpolnjuje robne pogoje. Izračunajte vrednost.

Izberimo mrežo s korakom v kvadratu in preštevilčimo vozlišča (slika (4), dodatek E). Za Laplaceovo enačbo je formula (8) vedno bolj poenostavljena: , zato je enaka vrednosti v vozlišču, na katerem veriga zadene mejo.

Če se naključna številka izkaže za 0 ali 4, se premaknemo na sosednje vozlišče na desni; če se izkaže, da je 1 ali 5, se pomaknemo na levo; če se izkaže, da je 2 oz 6, potem se bomo premaknili navzgor; če se izkaže, da je 3 ali 7, potem se bomo premaknili navzdol; vrednosti enake 8 ali 9 so izpuščene.

Tabela 2 (Priloga F) prikazuje 16 naključnih verig. Prva vrstica vsebuje uporabljena naključna števila, tretja vrstica pa vsebuje samo verigo(e). Vrednosti, ki ustrezajo tem vezjem, so enake. Aritmetična sredina teh količin nam daje približno vrednost rešitve v točki:

Iz empirične ocene variance

iz tega sledi, da gre za verjetno napako.

Natančna rešitev obravnavanega problema je torej dejanska računska napaka 0,08.

Tukaj predstavljena metoda omogoča izračun rešitev diferenčnih enačb, ki približujejo diferencialne enačbe.

Zaključek

V okviru tega dela so bili preučeni osnovni principi teorije parcialnih diferencialnih enačb in prikazana možnost uporabe verjetnostnih metod za njihovo reševanje. Kot primer je bil izbran Dirichletov problem za Laplaceovo in Poissonovo enačbo.

Numerične in empirične metode se pogosto uporabljajo na številnih področjih fizike, matematike in drugih naravoslovnih ved za reševanje direktnih in inverznih problemov. Opozoriti je treba na posebno vlogo diferencialnih enačb pri reševanju tovrstnih problemov, saj ni vedno mogoče vzpostaviti funkcionalnega razmerja med želeno in dano spremenljivko, vendar je pogosto mogoče izpeljati diferencialno enačbo, ki omogoča natančno napovedovanje potek določenega procesa pod določenimi pogoji.

Diferencialne enačbe imajo ogromno uporabljena vrednost, ki so močno orodje za preučevanje številnih problemov v naravoslovju in tehnologiji: pogosto se uporabljajo v mehaniki, astronomiji, fiziki ter pri številnih problemih v kemiji in biologiji. To pojasnjujemo z dejstvom, da so zakoni, ki urejajo določene procese, zelo pogosto zapisani v obliki diferencialnih enačb, te same enačbe pa so tako sredstvo za kvantitativno izražanje teh zakonov.

izpeljanka enačbe Laplaceov problem

Literatura

1. Aramanovich I.G., Levin V.I. Enačbe matematične fizike. - M.: Nauka, 1964.

2.Berezin I.S., Židkov N.P. Metode izračuna. - M .: Državna založba za literaturo, 1959. - 602 str.

3. Bitsadze A.V. Enačbe matematične fizike: Učbenik. M.: Nauka, 1982. 336 str.

4.Bitsadze A.V., Kalinichenko D.F. Zbirka nalog o enačbah matematične fizike: Učbenik. dodatek. M.: Nauka, 1977. 222 str.

Budak B.M., Samarski A.A., Tihonov A.N. Zbirka nalog iz matematične fizike: Učbenik. dodatek. M.: Nauka, 1980. 686 str.

6. Buslenko N.P., Shrader Yu.A. Metoda statističnih testov (Monte Carlo) in njena implementacija v digitalne stroje. - M.: Fizmatgiz, 1961. - 315 str.

7.Vladimirov V.S., Enačbe matematične fizike, M., 1967. - 256 str.

9. Demidovich B.P., Maron I.A., Shuvalova E. Numerične metode analize. - M.: Nauka, 1967. - 368 str.

10. Kantorovich L.V. in Krylov V.I., Približne metode višje analize, 5. izd., L. - M., 1962. - 256 str.

Mikhailov V.P. Diferencialne enačbe v parcialnih odvodih: Učbenik. M.: Nauka, 1983. 424 str.

Petrovsky I.G., Predavanja o teoriji integralne enačbe, 3. izd., M., 1999. - 213 str.

14. Sdvizhnikov O.A., Matematika na računalniku: Maple8. M .: Solon-Press, 2003. -176 str.

Smirnov V.I. Tečaj višje matematike: Učbenik: V 4 zvezkih T.2. M.: Nauka, 1981. 655 str.

16. Sobol I.M. Numerične metode Monte Carlo. - M.: Nauka, 1973. - 312 str.

17.Tihonenko A.V. Računalniški matematični paketi pri predmetu "Linearne in nelinearne enačbe fizike." Obninsk: IATE, 2005.- 80 str.

18. Tihonov A.N., Samarski A.A. Enačbe matematične fizike: Učbenik. M.: Nauka, 1977. 735 str.

definicija: Enačba, ki vsebuje več neodvisnih spremenljivk, funkcijo teh spremenljivk in njene parcialne odvode glede na te spremenljivke, se imenuje parcialna diferencialna enačba. spremenljivka linearnega diferencialnega reda

Na primer enačba

je parcialna diferencialna enačba, v kateri x, y, z so neodvisne spremenljivke in q(x,y,z)- zahtevana funkcija. Pri matematičnem opisovanju različnih naravnih procesov se pogosto srečujemo s parcialnimi diferencialnimi enačbami, saj se v naravi običajno srečamo z odvisnostjo spremenljivk od več neodvisnih spremenljivk. Na primer, ko preučujemo porazdelitev toplote v katerem koli telesu, moramo upoštevati temperaturo telesa na kateri koli točki kot funkcijo treh koordinat te točke v prostoru, in če se temperatura še vedno spreminja skozi čas, potem je funkcija štirih spremenljivk: x, y, z in t. Pri preučevanju nihanja katere koli elastične plošče imamo opravka s funkcijo treh spremenljivk, saj je velikost premika točk plošče odvisna tudi od koordinat x in l točk plošče in od časa.

Za parcialne diferencialne enačbe je uveden tudi koncept vrstnega reda enačbe, ki je določen z najvišjim vrstnim redom parcialnih odvodov, vključenih v enačbo. Torej, na primer, enačba

je parcialna diferencialna enačba drugega reda.

Parcialne diferencialne enačbe imajo tudi neskončno število rešitev. Splošna rešitev parcialne diferencialne enačbe vsebuje poljubno funkcijo (splošna rešitev navadne diferencialne enačbe je vsebovala samo poljubne konstante). Začetni podatki problema, s pomočjo katerih lahko ločimo posamezno rešitev iz splošne rešitve parcialne diferencialne enačbe, se običajno razčlenijo na tako imenovane začetne pogoje, to je pogoje, ki jih izpolnjuje želena funkcija na začetku procesa, ki se proučuje, in mejni pogoji, ki običajno določajo nekatere vrednosti, želena funkcija je odvisna od predmeta, v katerem poteka preučevani proces, in od položaja tega predmeta v prostoru ali na ravnini.

Oglejmo si problem, ki vodi do parcialne diferencialne enačbe drugega reda.

Problem majhnih prostih prečnih nihanj raztegnjene strune.

Naj vzdolž osi Ox napne se tanka homogena nit (vrvica), ki se lahko upogne. Napetost, pri kateri je vrvica v stanju ravnovesja in napeta vzdolž svoje osi Ox, označujejo T 0 . Če vrvico premaknete iz ravnotežnega položaja, bo začela vibrirati. Preučimo naravo teh nihanj. Predpostavili bomo, da se gibanje dogaja v eni ravnini in da so točke vrvice premaknjene pravokotno na os Ox(takšne vibracije imenujemo transverzalne). Označimo z U(x,t) premik točke strune z absciso x v določenem trenutku t. Na sliki 1 odmik U=NM.

Raziskovali bomo majhne tresljaje strune, tj. tiste, pri katerih U in (kotni koeficient tangente na krivuljo v točki M) sta majhna. Oglejmo si majhen del niza MM."

Zaradi predpostavke, da je majhna, tj. da se oblika vrvice malo razlikuje od premočrtne, bo mogoče dolžino loka približno nadomestiti MM" dolžina segmenta NN"na osi Ox. Razmislimo o silah, ki delujejo na območje MM".

Notranje sile, ki nastanejo pri določeni deformaciji vrvice, se zmanjšajo na napetost, saj se med deformacijo vrvica na nekaterih področjih raztegne, na drugih pa stisne.

Glede na predpostavko o majhnosti deformacij predpostavimo, da je vrednost napetosti na vseh točkah vrvice enaka in enaka T 0 . Napetost T 0 na točki M usmerjena tangentno na krivuljo na M na levo in napetost T 0 na točki M" usmerjena tangentno na krivuljo pri M"v desno. Ker smo predpostavili, da se premik točk strune zgodi le pravokotno na os Ox, potem nas zanima samo delovanje vertikalnih komponent napetosti. Sestavimo vsoto navpičnih komponent napetosti v M in M":

Lahko sinb zamenjati prek tgb, saj pri majhnem b lahko zavržemo kot infinitezimal višjega reda majhnosti v primerjavi z tgb:

Potem ima vsota navpičnih komponent napetosti obliko:

V oglatih oklepajih je razlika med vrednostmi količine v točkah M"In M; se lahko šteje za povečanje vrednosti na območju MM«, in prirastek

lahko nadomestimo, do infinitezimalk višjega reda, z diferencialom te količine:

Tako dobimo končni izraz za silo, ki deluje na odsek MM":

Pospešek gibanja na kateri koli točki je enak drugemu odvodu prevožene razdalje glede na čas, tj. Linearno gostoto vrvice označimo z z(je konstantna glede na pogoje problema), nato pa maso odseka strune MM" je enako

Zdaj pa sestavimo enačbo gibanja po Newtonovem zakonu:

od koder, ki nakazuje

To je parcialna diferencialna enačba drugega reda, iz katere moramo najti funkcijo dveh spremenljivk U(x,t).

Oglejmo si metodo reševanja te enačbe, ki jo je v 18. stoletju podal francoski matematik D'Alembert. Predpostavili bomo, da se vrvica neskončno razteza v obe smeri vzdolž osi Ox. V tem primeru v problemu ni robnih pogojev, začetni pogoji problema pa so, da sta v začetnem trenutku znana premik na vsaki točki strune in hitrost:

Uvedimo nove neodvisne spremenljivke O in h povezana s starim x in t z naslednjimi formulami:

Nato funkcija U(x,t) lahko obravnavamo kot kompleksno funkcijo; odvisnost od x in t izvajajo prek spremenljivk O in h. Nato z uporabo pravila diferenciacije kompleksnih funkcij parcialne odvode funkcije U lahko zapišemo kot:

Podobno najdemo delne odvode drugega reda:

Te izraze za derivate nadomestimo v enačbo (*):

t.j. izpeljanka je odvisna samo od O:

Od tu najdemo:

(namesto poljubne konstante dodamo poljubno funkcijo od h, kar lahko naredimo glede na enakost (2)). Tako iz (3) dobimo:

kje in 1 in in 2 - poljubne funkcije. To je splošna rešitev enačbe (*).

Z začetnimi pogoji (1) določimo vrsto funkcij in 1 in in 2 v tem problemu; Da bi to naredili, te začetne podatke nadomestimo v splošno rešitev (4) in v tisto, ki jo dobimo iz (4) z diferenciacijo glede na t:

in z integracijo dobimo:

pri. To bomo domnevali С=0(to je dovoljeno, saj če je konstanta Z je bil drugačen od 0 , potem bi bilo namesto funkcij mogoče in 1 (x) in in 2 (x) upoštevati funkcije

Za katere je razlika v vrednostih pri x=0 bi bila enaka nič). Potem iz (6) imamo

Tej enačbi dodamo prvo izmed enačb (5) in iz nje ugotovimo:

Če nadomestimo dobljene funkcije v splošno rešitev (4), dobimo:

V tej konkretni rešitvi so vse funkcije, vključene na desni strani, navedene v začetnih pogojih problema.

Če so začetni pogoji takšni, da ts 1 (x)=0, potem ima rešitev enostavnejšo obliko:

Podrobna študija pridobljene rešitve nam omogoča, da ugotovimo fizični pomen formule in narava širjenja valov po struni.

Primer 1. Poiščite obliko vrvice, podane z enačbo

v tem trenutku, če

rešitev. Tukaj a=a, ts(x)=sinx ts 1 (x)=1- začetna hitrost nihanja strune. Imamo

tiste. vrvica je vzporedna z osjo x. ¦

Primer 2. Poiščite rešitev enačbe

rešitev. Tukaj a=2, c(x)=0- začetni položaj vrvice, ts 1 (x)=x- začetna hitrost nihanja strune. Od tukaj

Navedimo več primerov parcialnih diferencialnih enačb. Če obravnavamo problem majhnih prostih vibracij membrane, tj. tanke plošče, ki je pod vplivom napetosti v stanju ravnovesja T 0 leži v ravnini XOY, in ko ga odstranimo iz ravnotežnega položaja, zaniha tako, da premik U(x,y,t) točke (x,y) plošče se pojavljajo pravokotno na ravnino XOY, potem premik izpolnjuje diferencialno enačbo, podobno enačbi (*)

Pri obravnavi elektromagnetnih nihanj pridemo do enačbe oblike

Enačba (8) in njena posebna primera (7) in (4) se imenujejo "valovna enačba". Študij in rešitev valovne enačbe pri različnih začetnih in robnih pogojih, ki ustrezajo različnim problemom, katerih rešitev je privedla do valovne enačbe, je zelo težavna. Dokazana je obstoj in edinstvenost rešitve valovne enačbe za podane začetne podatke.

Parcialne diferencialne enačbe oblike

na katere naletimo pri proučevanju številnih pojavov. Tej diferencialni enačbi mora zadostiti: potencial gravitacijskih sil na vseh točkah v prostoru, ki se nahajajo izven privlačnih mas; potencial interakcijskih sil električni naboji na vseh točkah prostora, ki se nahajajo zunaj nabojev, ki ustvarjajo polje; temperatura v homogenem telesu, če ni odvisna od časa, tj. če je prenos toplote stacionaren itd. To enačbo imenujemo Laplaceova enačba. Rešitve te enačbe (ki imajo zvezne odvode drugega reda) se imenujejo "harmonične funkcije". Zelo pogosti so pri različnih fizičnih vprašanjih. Lastnosti harmoničnih funkcij so dobro raziskane. Pri reševanju Laplaceove enačbe seveda ni začetnih pogojev (saj funkcija U ni odvisen od časa), robni pogoji pa se spreminjajo glede na specifične pogoje problema.

Preučevanje širjenja toplote v homogenem mediju vodi do parcialne diferencialne enačbe

kje U(x,y,z,t) temperatura (izmenjava toplote ni stacionarna). Enačbo oblike (9) imenujemo toplotna enačba. Rešuje se pod začetnimi in robnimi pogoji, ki so lahko zelo raznoliki. V primeru širjenja toplote v telesu linearnih dimenzij ima enačba (9) obliko

Tako enačbo je treba rešiti na primer pri preučevanju širjenja toplote v palici.

Zgornji zelo nepopoln seznam glavnih tipov parcialnih diferencialnih enačb, ki se najpogosteje pojavljajo pri vprašanjih matematične fizike, kaže, kako širok in raznolik je obseg vprašanj, ki zahtevajo poznavanje teorije diferencialnih enačb za njihovo preučevanje. Diferencialne enačbe so tisti del matematične analize, ki je neposredno povezan z matematičnim preučevanjem fizikalnih pojavov in brez poznavanja katerega nista mogoča formulacija in rešitev problemov matematične fizike.

Prej so bile obravnavane navadne diferencialne enačbe. Njihove odločitve so odvisne samo od ene spremenljivke: ,
itd. V številnih praktičnih problemih so iskane funkcije odvisne od več spremenljivk in enačbe, ki opisujejo takšne probleme, lahko vsebujejo delne odvode iskanih funkcij. Imenujejo se parcialne diferencialne enačbe.

Na primer, veliko problemov v mehaniki kontinuuma vodi do rešitve parcialnih diferencialnih enačb. Tu so iskane funkcije običajno gostota, temperatura, napetost itd., katerih argumenti so koordinate obravnavane točke v prostoru, pa tudi čas.

Celotna matematična formulacija problema, poleg diferencialnih enačb, vsebuje tudi nekaj dodatnih pogojev. Če se rešitev išče na omejenem območju, se na njegovi meji določijo pogoji, imenovani robni (robni) pogoji. Takšni problemi se imenujejo robni problemi za parcialne diferencialne enačbe.

Če je ena od neodvisnih spremenljivk v obravnavanem problemu čas t, potem so v začetnem trenutku nastavljeni nekateri pogoji (na primer vrednosti zahtevanih parametrov). , ki se imenujejo začetni pogoji. Problem, ki je sestavljen iz reševanja enačbe pod danimi začetnimi pogoji, se imenuje Cauchyjev problem za parcialno diferencialno enačbo. V tem primeru se problem rešuje v neomejenem prostoru in robni pogoji niso podani.

Problemi, pri katerih so postavljeni robni in začetni pogoji, se imenujejo nestacionarni (ali mešani) robni problemi. Dobljene rešitve se skozi čas spreminjajo.

Tako so matematični modeli fizikalnih in drugih procesov opisani s parcialnimi diferencialnimi enačbami. Argumenti funkcij teh enačb so prostorske koordinate
in čas .

Enačbe prvega reda. Enačbe prvega reda imenujemo tudi transportne enačbe. To je razloženo z dejstvom, da takšne enačbe opisujejo procese prenosa delcev v medijih, širjenje motenj itd.

Njegova rešitev ni zanimiva samo s praktičnega vidika; V še večji meri je ta enačba uporabna pri razvoju in preučevanju diferenčnih shem.

Predvidevamo, da zahtevana funkcija odvisno od časa in eno prostorsko spremenljivko x. Potem lahko linearno transportno enačbo zapišemo kot

.

Tukaj - hitrost prenosa.

Enačbe drugega reda. Linearna parcialna diferencialna enačba drugega reda je razmerje med funkcijo
oz
in njegove delne izpeljanke oblike.

(1)

Če je spremenljivka funkcija odvisno od in , potem lahko enačbo zapišemo takole:

(2)

V primeru
, potem se enačbe 1-2 imenujejo homogene, sicer nehomogene.

če
, potem enačba (2) spada v razred eliptičnih enačb;

če
, potem je to hiperbolična enačba;

če
- parabolična enačba.

kdaj
nima konstantnega predznaka, dobimo enačbo mešanega tipa.

Klasične eliptične enačbe vključujejo:

Laplaceova enačba
, ki se uporablja za opisovanje magnetnih in stacionarnih toplotnih polj;

Poissonova enačba
, ki se uporablja v elektrostatiki, teoriji elastičnosti in drugih vedah;

Helmholtzova enačba
, ki opisuje enakomerne nihajne procese.

Laplaceov operater:

v enodimenzionalnem primeru
;

v dvodimenzionalnem primeru
;

v tridimenzionalnem primeru
.

Med hiperboličnimi enačbami ločimo:

Valovne enačbe:

enodimenzionalno
, ki opisuje prisilna nihanja strune;

dvodimenzionalni
, ki opisuje vibracije membrane.

Telegrafska enačba, ki opisuje spremembo potenciala v električnih vodih. Tukaj
- koeficient samoindukcije, kapacitivnost, upor, izgubne karakteristike na enoto dolžine voda.

Klasične parabolične enačbe vključujejo toplotno enačbo
.

Za iskanje edinstvene rešitve parcialne diferencialne enačbe je treba določiti začetne in robne pogoje. Začetni pogoji se običajno imenujejo pogoji, določeni v začetnem trenutku . Robni pogoji so podani za različne vrednosti prostorskih spremenljivk. Za eliptične enačbe so podani le robni pogoji, ki jih lahko razdelimo v tri razrede:

Dirichletovo stanje
- v tem primeru je na meji območja G, v katerem se išče rešitev, določena določena zvezna funkcija . V enodimenzionalnem primeru ima ta pogoj obliko:
in
kje
- interval, v katerem se išče rešitev enodimenzionalnega problema;

Neumannovo stanje
- v tem primeru je na meji območja G določen smerni derivat zunanja normala;

Mešano stanje
.

Za parabolične enačbe je potrebno poleg robnih pogojev določiti še enega začetnega, ki je lahko naslednji:
.

V primeru hiperboličnih enačb so začetni pogoji lahko naslednji
in
.

Rešitev številnih parcialnih diferencialnih enačb je mogoče dobiti analitično. Ena najpogosteje uporabljenih metod je metoda ločevanja spremenljivk (Fourierjeva metoda). Oglejmo si podrobneje to metodo.

O metodah reševanja parcialnih diferencialnih enačb.

Rešitev najpreprostejših problemov za parcialne diferencialne enačbe je mogoče izvesti v številnih primerih analitične metode, ki se obravnavajo v ustreznih oddelkih matematike. To velja predvsem za nekatere enačbe prvega reda, pa tudi za enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti. Analitične metode niso uporabne samo zato, ker omogočajo pridobivanje splošnih rešitev, ki jih je mogoče večkrat uporabiti. Prav tako so velikega pomena za konstrukcijo numeričnih metod. Preizkušanje diferenčnih shem na znanih rešitvah najpreprostejših enačb omogoča ovrednotenje teh shem in ugotavljanje njihovih prednosti in slabosti.

Med numerične metode Metode razlik se pogosto uporabljajo. Temeljijo na uvedbi določene diferenčne mreže v obravnavani regiji. Vrednosti odvodov, začetnih in robnih pogojev so izražene z vrednostmi funkcij v vozliščih mreže, kar ima za posledico sistem algebrskih enačb, imenovan diferenčna shema. Z reševanjem tega sistema enačb je mogoče najti vrednosti funkcij mreže na vozliščih mreže, ki se približno štejejo za enake vrednostim iskanih funkcij.

Dane enačbe imenujemo enačbe matematične fizike. Številni uporabni problemi se zmanjšajo na njihovo rešitev. Preden preidemo na razpravo o numeričnih metodah za reševanje teh enačb, razmislimo o glavnih vprašanjih konstruiranja diferenčnih shem.

2. Uvod v mrežne metode, koncepte mreže, predloge, plasti.

O konstrukciji diferenčnih shem. Kot smo že omenili, konstrukcija diferenčnih shem za reševanje parcialnih diferencialnih enačb temelji na uvedbi mreže v obravnavani prostor. Vozlišča mreže so načrtovalne točke.

Primer preprostega pravokotnega območja G(x, y) z mejo G v dvodimenzionalnem primeru je prikazano na sliki 1, A. Stranice pravokotnika
,
razdeljeni na osnovne segmente s točkami
,
in
,
. Skozi te točke sta narisani dve družini koordinatnih premic
,
ki tvorijo mrežo s pravokotno celico. Vsako vozlišče te mreže, katerega številka (
), določeno s koordinatami (
).

Ab

riž. 1. Pravokotna mreža ( A), 3D mrežni element ( b)

Vozlišča mreže, ki ležijo na meji območja G G, se imenujejo mejna vozlišča. Vsa ostala vozlišča so notranja.

Podobno uvedemo mreže za večdimenzionalna območja. Na sl. 1, b prikazuje mrežni element v obliki pravokotnega paralelepipeda za tridimenzionalno regijo.

Vzorec– kombinacija uporabljenih vozlišč

Ker so začetni in robni pogoji pri postavljanju problemov formulirani na meji računske domene, jih lahko štejemo za podane na mejnih vozliščih mreže. Včasih mejne točke območja niso vozlišča mreže, kar velja za območja kompleksna oblika. Nato se na presečišču koordinatnih črt z mejo uvedejo dodatna vozlišča ali pa se meja približno nadomesti z zlomljeno črto, ki poteka skozi vozlišča blizu meje. Robni pogoji se prenesejo na to lomljeno črto.

V številnih primerih je mogoče kompleksna krivuljasta območja zmanjšati na njihovo najpreprostejšo obliko s prehodom na nove neodvisne spremenljivke. Na primer, štirikotno območje G, prikazano na sl. 2, se lahko reducira na enoto kvadrata G" z uvedbo novih spremenljivk £, q namesto #, y z uporabo relacij

Enačbe ter začetne in robne pogoje je treba transformirati v nove spremenljivke. Na območju G" lahko vnesete pravokotno mrežo, medtem ko v območju G ustrezal bo mreži z neenakomerno razporejenimi vozlišči in ukrivljenimi celicami,

V prihodnje bomo pri izdelavi diferenčnih shem zaradi enostavnosti uporabljali pravokotne mreže (ali s celicami v obliki pravokotnih paralelepipedov v tridimenzionalnem primeru), enačbe pa bomo zapisovali v kartezičnih koordinatah (
). V praksi je potrebno reševati probleme v različnih krivuljnih koordinatnih sistemih: polarnem, cilindričnem, sferičnem itd. Na primer, če je priročno določiti računsko območje v polarnih koordinatah (
), potem se mreža uvede v korakih
in
glede na radij vektor in polarni kot.

Včasih je v preprosto računsko domeno uvedena neenotna mreža. Zlasti v nekaterih primerih je treba izboljšati vozlišča za natančnejše izračune v nekaterih delih obravnavane regije. V tem primeru so območja koncentracije vozlišč znana vnaprej ali pa so določena v procesu reševanja problema (na primer glede na gradiente iskanih funkcij).

Za izgradnjo diferenčne sheme, tako kot v primeru navadnih diferencialnih enačb, se parcialni odvodi v enačbi nadomestijo z razmerji končne razlike v skladu z določeno predlogo (glej poglavje 3, § 1). V tem primeru točne vrednosti iskane funkcije U se nadomestijo z vrednostmi mrežne funkcije na vozliščih diferenčne mreže.

Kot primer bomo izdelali nekaj diferenčnih shem za reševanje toplotne enačbe za dane začetne in robne pogoje. Zapišimo mešani robni problem v obliki

,(6)

kje
- začetna porazdelitev temperature U(pri t= 0);
- porazdelitev temperature na koncih obravnavanega segmenta ( X= 0, 1) kadar koli t. Upoštevajte, da morajo biti začetni in robni pogoji skladni, tj.

Predstavimo enotno pravokotno mrežo s pomočjo koordinatnih črt
,
in
,
,in - oziroma koraki mreže v smereh X in t. Označujemo vrednosti funkcij na vozliščih mreže
. Te vrednosti bomo nadomestili z ustreznimi vrednostmi mrežne funkcije ki zadoščajo diferenčni shemi.

Z zamenjavo parcialnih odvodov želene funkcije v izvirni enačbi (6) z uporabo relacij končne razlike dobimo diferenčno shemo

(7)

Pri snemanju tega diagrama se za vsako vozlišče uporablja predloga, prikazana na sliki 1. 2, A.

Za isto enačbo lahko sestavite različne diferenčne sheme. Še posebej, če uporabite predlogo, prikazano na sl. 2, b, potem namesto (7) dobimo diferenčno shemo

(8)

V obeh primerih dobimo sistem algebraičnih enačb za določitev vrednosti mrežne funkcije na notranjih vozliščih. Vrednosti na mejnih vozliščih se najdejo iz robnih pogojev

Niz vozlišč pri t= const, tj. za fiksno vrednost , poklical plast. Shema (7) vam omogoča zaporedno iskanje vrednosti
,
na
plast skozi ustrezne vrednosti na th plast. Takšne sheme se imenujejo očitno.

Za začetek štetja pri j= 1, je potrebna rešitev na začetni plasti. Določeno je z začetnim stanjem

V nasprotju z eksplicitno shemo vsebuje vsaka diferenčna enačba (8) na vsaki novi plasti vrednosti neznank v treh točkah, zato je te vrednosti nemogoče takoj določiti preko znane rešitve na prejšnji plasti. Takšne sheme se imenujejo implicitno. V tem primeru je diferenčna shema (8) sestavljena iz linearnih tritočkovnih enačb, kar pomeni, da vsaka enačba vsebuje neznano funkcijo v treh točkah dane plasti. Takšne sisteme linearnih enačb s tridiagonalno matriko je mogoče rešiti z metodo pometanja, zaradi česar bodo najdene vrednosti mrežne funkcije na vozliščih.

Upoštevajte, da v obravnavanem primeru dobimo dvoslojna vezja, ko vsaka diferenčna enačba vključuje vrednosti funkcije iz dveh plasti - spodnje, na kateri je rešitev že najdena, in zgornje, v vozliščih katere se rešitev išče.

Z obravnavano metodo konstruiranja diferenčnih shem, ko posamezne delne odvode, vključene v enačbo, nadomestimo s končnodiferenčnimi relacijami za mrežno funkcijo (ali mrežnimi izrazi), je mogoče večplastne sheme, pa tudi sheme visokih stopenj natančnosti. ustvarili.

Laplaceova enačba.Številni stacionarni fizikalni problemi (študije potencialnih tokov tekočine, določanje oblike obremenjene membrane, problemi toplotne prevodnosti in difuzije v stacionarnih primerih itd.) Se zmanjšajo na reševanje enačbe Poisson prijazen

1

če
, potem se ta enačba imenuje enačba Laplace. Zaradi enostavnosti bomo obravnavali dvodimenzionalno Laplaceovo enačbo

2

Rešitev te enačbe bomo iskali za določeno omejeno območje G spremembe neodvisnih spremenljivk x, y. Meja regije G je zaprta linija L. Za popolno formulacijo robnega problema je treba poleg Laplaceove enačbe določiti robni pogoj na meji L. Vzemimo ga v obliki

3

Problem, ki sestoji iz reševanja Laplaceove (ali Poissonove) enačbe za dane vrednosti želene funkcije na meji računske domene, se imenuje Dirichletov problem.

Eden od načinov reševanja stacionarnih eliptičnih problemov, vključno z robnimi problemi, je, da jih zmanjšamo na rešitev nekega fiktivnega nestacionarnega problema (hiperboličnega ali paraboličnega), katerega rešitev je najdena za dovolj velike vrednosti. t blizu rešitve prvotnega problema. Ta rešitev se imenuje način vzpostavitve.

Ker rešitev U(x,y) naše enačbe (2) ni odvisna od časa, potem lahko tej enačbi dodamo člen enak nič (za natančno rešitev) . Potem bo enačba (2) dobila obliko

4

To je nam znana enačba toplotnega prevoda, za katero so že izdelane diferenčne sheme. Ostane le še nastavitev začetnega stanja. Lahko se vzame v skoraj poljubni obliki, skladni z robnimi pogoji. Postavimo

5

Robni pogoj (3) ostane stacionaren, tj. neodvisen od časa.

Postopek numerične rešitve enačbe (4) s pogoji (3), (5) je sestavljen iz prehoda pri
od poljubne vrednosti (5) do želene stacionarne rešitve. Štetje poteka, dokler raztopina ne doseže stacionarnega načina. Seveda smo omejeni na reševanje za nekaj dovolj velikih , če zahtevane vrednosti na dveh zaporednih slojih sovpadajo z dano stopnjo natančnosti.

Metoda vzpostavitve pravzaprav predstavlja iterativni proces reševanja problema, pri vsaki iteraciji pa z numeričnim reševanjem nekega pomožnega problema dobimo vrednosti želene funkcije.

Za rešitev Dirichletovega problema lahko sestavite tudi diferenčno shemo z aproksimacijo enačbe (2). Vstavimo mrežo v pravokotno območje G s pomočjo koordinatnih črt X= konst in y = konst. Za poenostavitev sprejmimo vrednosti korakov v spremenljivkah X in pri enaka h(predpostavlja se, da so stranice področja G sorazmerne). Funkcijske vrednosti U v vozliščih
zamenjajte z vrednostmi mrežne funkcije . Nato z aproksimacijo drugih odvodov v enačbi (2) z uporabo relacij končne razlike dobimo diferenčno enačbo (predloga je prikazana na sliki):

(6)

To enačbo lahko predstavimo kot sistem linearnih algebrskih enačb glede vrednosti mrežne funkcije na vozliščih. Ta sistem lahko zapišemo v obliki

Vrednosti mrežne funkcije na vozliščih, ki se nahajajo na meji računske domene, je mogoče najti iz robnega pogoja (3):

V teoriji diferenčnih shem je dokazano, da rešitev konstruiranega diferenčnega problema obstaja, sama shema pa je stabilna.

Vsaka enačba sistema (7) (razen tistih, ki ustrezajo vozliščem v bližini meja) vsebuje pet neznank. Ena najpogostejših metod za reševanje tega sistema linearnih enačb je iteracijska metoda. Vsako od enačb zapišemo v dovoljeni obliki glede na vrednost v osrednjem vozlišču (glej sliko):

Postopek iteracije je nadzorovan z največjim odstopanjem M vrednosti mrežne funkcije na vozliščih za dve zaporedni iteraciji. Če njegova vrednost doseže določeno majhno število , ponovitve se ustavijo.

Reševanje Laplaceove enačbe v Mathcadu. Mathcad nudi vgrajene funkcije za reševanje Laplaceovih in Poissonovih enačb sprostite se in multigrid .

3. Reševanje parcialnih diferencialnih enačb z metodo končnih razlik.

4. Reševanje eliptičnih, paraboličnih in hiperboličnih enačb.

5. Nestacionarni problemi.

6. Konstrukcija eksplicitnih in implicitnih diferenčnih shem za enodimenzionalno toplotno enačbo.

7. Vprašanja aproksimacije, stabilnosti in konvergence.

8. Metoda teka.

9. Aproksimacija parcialnih diferencialnih enačb s sistemom navadnih diferencialnih enačb (direktna metoda).

10. Stacionarni problemi, diferenčne sheme, izračun za ustanovitev.

11. Variacijsko-diferenčne metode.

12. Metoda končnih elementov.