VhodObmočje trikotnika je vektorski produkt. Navzkrižni produkt – definicije, lastnosti, formule, primeri in rešitve. Fizični pomen vektorskega produkta
V tem članku si bomo podrobneje ogledali koncept navzkrižnega produkta dveh vektorjev. Podali bomo potrebne definicije, napisali formulo za iskanje koordinat vektorskega produkta, našteli in utemeljili njegove lastnosti. Nato se bomo posvetili geometrijskemu pomenu vektorskega produkta dveh vektorjev in razmislili o rešitvah različnih tipičnih primerov.
Navigacija po straneh.
Opredelitev navzkrižnega produkta.
Preden definiramo vektorski produkt, poglejmo orientacijo urejenega trojčka vektorjev v tridimenzionalnem prostoru.
Narišimo vektorje iz ene točke. Glede na smer vektorja so lahko trije desni ali levi. Poglejmo s konca vektorja, kako poteka najkrajši obrat od vektorja do . Če pride do najkrajše rotacije v nasprotni smeri urnega kazalca, se imenuje trojček vektorjev desno, drugače – levo.
Zdaj pa vzemimo dva nekolinearna vektorja in . Narišimo vektorje in iz točke A. Konstruirajmo vektor, pravokoten na oba in in . Očitno je, da lahko pri konstruiranju vektorja naredimo dve stvari, tako da mu damo eno ali nasprotno smer (glej sliko).
Odvisno od smeri vektorja je lahko urejeni trojček vektorjev desno ali levosučen.
S tem se približamo definiciji vektorskega produkta. Podana je za dva vektorja, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora.
Opredelitev.
Navzkrižni produkt dveh vektorjev in , določen v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora, imenujemo vektor, tako da
Navzkrižni produkt vektorjev in je označen kot .
Koordinate vektorskega produkta.
Zdaj bomo podali drugo definicijo vektorskega izdelka, ki vam omogoča, da poiščete njegove koordinate iz koordinat danih vektorjev in.
Opredelitev.
V pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora vektorski produkt dveh vektorjev 
in 
je vektor , kjer sta koordinatna vektorja.
Ta definicija nam daje navzkrižni produkt v koordinatni obliki.
Vektorski produkt je priročno predstaviti kot determinanto kvadratne matrike tretjega reda, katere prva vrstica so vektorji, druga vrstica vsebuje koordinate vektorja, tretja pa koordinate vektorja v danem pravokotni koordinatni sistem: 
Če to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enakost iz definicije vektorskega produkta v koordinatah (če je treba, glej članek): 
Opozoriti je treba, da je koordinatna oblika vektorskega produkta popolnoma skladna z definicijo iz prvega odstavka tega člena. Poleg tega sta ti dve definiciji navzkrižnega produkta enakovredni. Dokaz tega dejstva si lahko ogledate v knjigi, navedeni na koncu članka.
Lastnosti vektorskega produkta.
Ker je vektorski produkt v koordinatah mogoče predstaviti kot determinanto matrike, je naslednje enostavno utemeljiti na podlagi lastnosti navzkrižnega produkta:
Za primer dokažimo antikomutativnost vektorskega produkta.
Po definiciji 
in 
. Vemo, da se vrednost determinante matrike obrne, če dve vrstici zamenjamo, torej, 
, ki dokazuje antikomutativnost vektorskega produkta.
Vektorski izdelek - primeri in rešitve.
Obstajajo predvsem tri vrste težav.
Pri nalogah prvega tipa sta podani dolžini dveh vektorjev in kot med njima, pri čemer morate najti dolžino vektorskega produkta. V tem primeru se uporablja formula 
.
Primer.
Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev in , če je znana 
.
rešitev.
Iz definicije vemo, da je dolžina vektorskega produkta vektorjev in enaka produktu dolžin vektorjev in sinusa kota med njima, torej 
.
odgovor:
.
Problemi drugega tipa so povezani s koordinatami vektorjev, pri katerih se vektorski produkt, njegova dolžina ali karkoli drugega išče preko koordinat danih vektorjev. in .
Tukaj je možnih veliko različnih možnosti. Na primer, ni mogoče podati koordinat vektorjev in , temveč njihove razširitve v koordinatne vektorje oblike 
in , ali vektorji in jih je mogoče določiti s koordinatami njihove začetne in končne točke.
Poglejmo tipične primere.
Primer.
V pravokotnem koordinatnem sistemu sta podana dva vektorja 
. Poiščite njihov navzkrižni produkt.
rešitev.
Po drugi definiciji je vektorski produkt dveh vektorjev v koordinatah zapisan kot: 
Do enakega rezultata bi prišli, če bi vektorski produkt zapisal z determinanto 
odgovor:
.
Primer.
Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev in , kjer sta enotska vektorja pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema.
rešitev.
Najprej poiščemo koordinate vektorskega produkta 
v danem pravokotnem koordinatnem sistemu.
Ker imata vektorja in koordinate oziroma (če je potrebno, glejte članek koordinate vektorja v pravokotnem koordinatnem sistemu), potem imamo po drugi definiciji vektorskega produkta 
To je vektorski produkt ima koordinate v danem koordinatnem sistemu.
Dolžino vektorskega produkta najdemo kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat (to formulo za dolžino vektorja smo dobili v poglavju o iskanju dolžine vektorja):
odgovor:
.
Primer.
V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu so podane koordinate treh točk. Poiščite vektor, ki je pravokoten in hkrati.
rešitev.
Vektorja in imata koordinate in oziroma (glej članek o iskanju koordinat vektorja prek koordinat točk). Če najdemo vektorski produkt vektorjev in , potem je to po definiciji vektor, pravokoten na oba na in na , kar pomeni, da je rešitev našega problema. Poiščimo ga 
odgovor:
- enega od pravokotnih vektorjev.
Pri nalogah tretje vrste se preverja spretnost uporabe lastnosti vektorskega produkta vektorjev. Po uporabi lastnosti se uporabijo ustrezne formule.
Primer.
Vektorja in sta pravokotna, njuni dolžini pa sta 3 oziroma 4. Poiščite dolžino križnega produkta 
.
rešitev.
Z distribucijsko lastnostjo vektorskega produkta lahko pišemo 
Zaradi kombinacijske lastnosti številske koeficiente vzamemo iz predznaka vektorskih produktov v zadnjem izrazu: 
Vektorski produkti in so enaki nič, saj 
in 
, potem .
Ker je vektorski produkt antikomutativen, potem .
Torej smo z uporabo lastnosti vektorskega produkta prišli do enakosti 
.
Po pogoju sta vektorja in pravokotna, to pomeni, da je kot med njima enak . To pomeni, da imamo vse podatke za iskanje zahtevane dolžine 
odgovor:
.
Geometrijski pomen vektorskega produkta.
Po definiciji je dolžina vektorskega produkta vektorjev 
. In iz srednješolskega tečaja geometrije vemo, da je površina trikotnika enaka polovici produkta dolžin obeh strani trikotnika in sinusa kota med njima. Posledično je dolžina vektorskega produkta enaka dvakratni površini trikotnika, katerega stranice so vektorji in , če so narisani iz ene točke. Z drugimi besedami, dolžina vektorskega produkta vektorjev in je enaka površini paralelograma s stranicami in in kotom med njimi, ki je enak. To je geometrijski pomen vektorskega produkta.
MEŠANI PRODUKT TREH VEKTORJEV IN NJEGOVE LASTNOSTI
Mešano delo tri vektorje imenujemo število, ki je enako . Določeno 
. Tukaj se prva dva vektorja pomnožita vektorsko, nato pa se dobljeni vektor pomnoži skalarno s tretjim vektorjem. Očitno je tak izdelek določeno število.
Razmislimo o lastnostih mešanega izdelka.
- Geometrijski pomen mešano delo. Mešani produkt 3 vektorjev, do predznaka, je enak prostornini paralelopipeda, zgrajenega na teh vektorjih, kot na robovih, tj. .
Tako in
.
Dokaz. Odložimo vektorje iz skupnega izhodišča in na njih sestavimo paralelepiped. Označimo in upoštevajmo, da . Po definiciji skalarnega produkta
Če to predpostavimo in označimo z h poiščite višino paralelepipeda.
Torej, ko
Če, potem tako. Zato,.
Če združimo oba primera, dobimo ali.
Iz dokaza te lastnosti zlasti sledi, da če je trojka vektorjev desnosučna, potem je mešani produkt , če pa je levosučna, potem .
- Za vse vektorje , , enakost velja
Dokaz te lastnosti izhaja iz lastnosti 1. Dejansko je enostavno pokazati, da in . Poleg tega se znaka "+" in "–" vzameta hkrati, ker kota med vektorjema in in ter sta tako ostra kot topa.
- Ko se katera koli dva faktorja prerazporedita, mešani produkt spremeni predznak.
Dejansko, če upoštevamo mešani izdelek, potem, na primer, ali
- Mešani produkt, če in samo, če je eden od faktorjev enak nič ali so vektorji koplanarni.
Dokaz.
Tako je nujen in zadosten pogoj za koplanarnost treh vektorjev ta, da je njihov mešani produkt enak nič. Poleg tega sledi, da trije vektorji tvorijo osnovo v prostoru, če .
Če so vektorji podani v koordinatni obliki, se lahko pokaže, da je njihov mešani produkt najden s formulo:
.Tako je mešani produkt enak determinanti tretjega reda, ki ima v prvi vrstici koordinate prvega vektorja, v drugi vrstici koordinate drugega vektorja in v tretji vrstici koordinate tretjega vektorja.
Primeri.
ANALITIČNA GEOMETRIJA V PROSTORU
Enačba F(x, y, z)= 0 določa v prostoru Oxyz neko površino, tj. geometrijsko mesto točk, katerih koordinate x, y, z zadovoljiti to enačbo. Ta enačba se imenuje enačba površine in x, y, z– trenutne koordinate.
Vendar pogosto površina ni podana z enačbo, temveč kot niz točk v prostoru, ki imajo eno ali drugo lastnost. V tem primeru je treba najti enačbo površine na podlagi njenih geometrijskih lastnosti.
LETALO.
NORMALNI RAVNINSKI VEKTOR.
ENAČBA RAVNINE, KI POTEKA SKOZI DANO TOČKO
Oglejmo si poljubno ravnino σ v prostoru. Njegov položaj je določen z določitvijo vektorja, pravokotnega na to ravnino, in neke fiksne točke M0(x 0, y 0, z 0), ki leži v ravnini σ.
Vektor, pravokoten na ravnino σ, se imenuje normalno vektor te ravnine. Naj ima vektor koordinate .
Izpeljimo enačbo ravnine σ, ki poteka skozi to točko M0 in ima normalni vektor. Za to vzemite poljubno točko na ravnini σ M(x, y, z) in razmislite o vektorju.
Za katero koli točko MО σ je vektor. Zato je njihov skalarni produkt enak nič. Ta enakost je pogoj, da točka MО σ. Velja za vse točke te ravnine in se krši takoj, ko točka M bo izven ravnine σ.
Če točke označimo s radij vektorjem M, – radij vektor točke M0, potem lahko enačbo zapišemo v obliki
Ta enačba se imenuje vektor enačba ravnine. Zapišimo ga v koordinatni obliki. Od takrat
Tako smo dobili enačbo ravnine, ki poteka skozi to točko. Torej, če želite ustvariti enačbo ravnine, morate poznati koordinate normalnega vektorja in koordinate neke točke, ki leži na ravnini.
Upoštevajte, da je enačba ravnine enačba 1. stopnje glede na trenutne koordinate x, y in z.
Primeri.
SPLOŠNA ENAČBA RAVNINE
Lahko se pokaže, da katera koli enačba prve stopnje glede na kartezične koordinate x, y, z predstavlja enačbo neke ravnine. Ta enačba je zapisana kot:
Sekira+Po+Cz+D=0
in se imenuje splošna enačba ravnino in koordinate A, B, C tukaj so koordinate normalnega vektorja ravnine.
Oglejmo si posebne primere splošne enačbe. Ugotovimo, kako se ravnina nahaja glede na koordinatni sistem, če eden ali več koeficientov enačbe postane nič.
A je dolžina segmenta, ki ga odseka ravnina na osi Ox. Podobno se lahko pokaže, da b in c– dolžine segmentov, ki jih odseka obravnavana ravnina na oseh Oj in Oz.
Za konstruiranje ravnin je priročno uporabiti enačbo ravnine v segmentih.
Preden podamo koncept vektorskega produkta, se posvetimo vprašanju orientacije urejene trojke vektorjev a →, b →, c → v tridimenzionalnem prostoru.
Za začetek odložimo vektorje a → , b → , c → iz ene točke. Usmerjenost trojke a → , b → , c → je lahko desna ali leva, odvisno od smeri samega vektorja c →. Vrsto trojke a → , b → , c → bomo določili iz smeri, v kateri je narejen najkrajši obrat od vektorja a → do b → od konca vektorja c → .
Če je najkrajši obrat izveden v nasprotni smeri urinega kazalca, se trojka vektorjev a → , b → , c → imenuje desno, če v smeri urinega kazalca – levo.
Nato vzemite dva nekolinearna vektorja a → in b →. Nato iz točke A narišemo vektorja A B → = a → in A C → = b →. Konstruirajmo vektor A D → = c →, ki je hkrati pravokoten na A B → in A C →. Tako lahko pri konstruiranju samega vektorja A D → = c → to naredimo na dva načina, tako da mu damo eno ali nasprotno smer (glej sliko).
Urejena trojka vektorjev a → , b → , c → je lahko, kot smo ugotovili, desna ali leva, odvisno od smeri vektorja.
Iz zgornjega lahko uvedemo definicijo vektorskega produkta. Ta definicija je podana za dva vektorja, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora.
Definicija 1
Vektorski produkt dveh vektorjev a → in b → bomo imenovali tak vektor, definiran v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora, tako da:
- če sta vektorja a → in b → kolinearna, bo nič;
- pravokoten bo tako na vektor a → kot na vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- njegova dolžina je določena s formulo: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- trojka vektorjev a → , b → , c → ima enako orientacijo kot dani koordinatni sistem.
Vektorski produkt vektorjev a → in b → ima naslednji zapis: a → × b →.
Koordinate vektorskega produkta
Ker ima vsak vektor določene koordinate v koordinatnem sistemu, lahko uvedemo drugo definicijo vektorskega produkta, ki nam bo omogočila, da poiščemo njegove koordinate z uporabo danih koordinat vektorjev.
Definicija 2
V pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora vektorski produkt dveh vektorjev a → = (a x ; a y ; a z) in b → = (b x ; b y ; b z) se imenuje vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kjer so i → , j → , k → koordinatni vektorji.
Vektorski produkt lahko predstavimo kot determinanto kvadratne matrike tretjega reda, kjer prva vrstica vsebuje vektorske vektorje i → , j → , k → , druga vrstica vsebuje koordinate vektorja a → , tretja vrstica pa koordinate vektorja a → . vsebuje koordinate vektorja b → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu je ta determinanta matrike videti takole: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Če to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Lastnosti navzkrižnega produkta
Znano je, da je vektorski produkt v koordinatah predstavljen kot determinanta matrike c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , nato pa na podlagi lastnosti matrične determinante prikazano je naslednje lastnosti vektorskega produkta:
- antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
- porazdelitev a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ali a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- asociativnost λ a → × b → = λ a → × b → ali a → × (λ b →) = λ a → × b →, kjer je λ poljubno realno število.
Te lastnosti imajo preproste dokaze.
Kot primer lahko dokažemo antikomutativnost vektorskega produkta.
Dokaz antikomutativnosti
Po definiciji je a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z in b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. In če se dve vrstici matrike zamenjata, se mora vrednost determinante matrike spremeniti v nasprotno, torej a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kar in dokazuje, da je vektorski produkt antikomutativen.
Vektorski izdelek - primeri in rešitve
V večini primerov gre za tri vrste težav.
Pri nalogah prvega tipa sta običajno podani dolžini dveh vektorjev in kot med njima, pri čemer morate najti dolžino vektorskega produkta. V tem primeru uporabite naslednjo formulo c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Primer 1
Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev a → in b →, če poznate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.
rešitev
Z določitvijo dolžine vektorskega produkta vektorjev a → in b → rešimo ta problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
odgovor: 15 2 2 .
Problemi druge vrste so povezani s koordinatami vektorjev, v njih vektorski produkt, njegova dolžina itd. iščemo po znanih koordinatah danih vektorjev a → = (a x; a y; a z) in b → = (b x ; b y ; b z) .
Za to vrsto problema lahko rešite veliko možnosti naloge. Na primer, ne moremo določiti koordinat vektorjev a → in b →, temveč njihove razširitve v koordinatne vektorje oblike b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → in c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ali vektorja a → in b → lahko podate s koordinatami njihovega začetka in končne točke.
Razmislite o naslednjih primerih.
Primer 2
V pravokotnem koordinatnem sistemu sta podana dva vektorja: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Poiščite njihov navzkrižni produkt.
rešitev
Po drugi definiciji najdemo vektorski produkt dveh vektorjev v danih koordinatah: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Če vektorski produkt zapišemo skozi determinanto matrike, je rešitev tega primera videti takole: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Primer 3
Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev i → - j → in i → + j → + k →, kjer so i →, j →, k → enotski vektorji pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema.
rešitev
Najprej poiščimo koordinate danega vektorskega produkta i → - j → × i → + j → + k → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu.
Znano je, da imata vektorja i → - j → in i → + j → + k → koordinate (1; - 1; 0) oziroma (1; 1; 1). Poiščemo dolžino vektorskega produkta z determinanto matrike, potem imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Zato ima vektorski produkt i → - j → × i → + j → + k → koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) v danem koordinatnem sistemu.
Dolžino vektorskega produkta poiščemo s formulo (glej poglavje o iskanju dolžine vektorja): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Primer 4
V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu so podane koordinate treh točk A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Poiščite vektor, pravokoten na A B → in A C → hkrati.
rešitev
Vektorja A B → in A C → imata naslednje koordinate (- 1 ; 2 ; 2) oziroma (0 ; 4 ; 1). Ko smo našli vektorski produkt vektorjev A B → in A C →, je očitno, da je po definiciji pravokoten vektor na A B → in A C →, kar pomeni, da je rešitev našega problema. Poiščimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . - enega od pravokotnih vektorjev.
Problemi tretje vrste so osredotočeni na uporabo lastnosti vektorskega produkta vektorjev. Po uporabi katere bomo dobili rešitev danega problema.
Primer 5
Vektorja a → in b → sta pravokotna in njuni dolžini sta 3 oziroma 4. Poiščite dolžino vektorskega produkta 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
rešitev
Z distribucijsko lastnostjo vektorskega produkta lahko zapišemo 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Z lastnostjo asociativnosti izvzamemo numerične koeficiente iz predznaka vektorskih produktov v zadnjem izrazu: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Vektorska produkta a → × a → in b → × b → sta enaka 0, saj je a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 in b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, potem 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Iz antikomutativnosti vektorskega produkta sledi - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
Z uporabo lastnosti vektorskega produkta dobimo enakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Po pogoju sta vektorja a → in b → pravokotna, to pomeni, da je kot med njima enak π 2. Zdaj ostane le še zamenjava najdenih vrednosti v ustrezne formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.
Dolžina vektorskega produkta vektorjev je po definiciji enaka a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Ker je že znano (iz šolskega tečaja), da je površina trikotnika enaka polovici produkta dolžin njegovih dveh strani, pomnoženega s sinusom kota med tema stranicama. Posledično je dolžina vektorskega produkta enaka površini paralelograma - podvojenega trikotnika, in sicer produkta stranic v obliki vektorjev a → in b →, položenih iz ene točke, s sinusom kot med njima sin ∠ a →, b →.
To je geometrijski pomen vektorskega produkta.
Fizični pomen vektorskega produkta
V mehaniki, eni od vej fizike, lahko zahvaljujoč vektorskemu produktu določite trenutek sile glede na točko v prostoru.
Definicija 3
Pod momentom sile F →, ki deluje na točko B, glede na točko A, bomo razumeli naslednji vektorski produkt A B → × F →.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Ni kaj, včasih se zgodi, da za popolno srečo, poleg skalarni produkt vektorjev, potrebnih je vedno več. To je vektorska odvisnost. Morda se zdi, da smo zašli v džunglo analitične geometrije. To je narobe. V tem delu višje matematike je na splošno malo lesa, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo običajen in preprost - skorajda ni bolj zapleten kot enak pikasti izdelek, tipičnih nalog bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot bodo mnogi prepričani ali so se že prepričali, je, da se NE ZMOTI PRI IZRAČUNAH. Ponavljajte kot urok in srečni boste =)
Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, ni pomembno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami, poskušal sem zbrati čim bolj popolno zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praksi
Kaj vas bo takoj osrečilo? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema ali celo tremi žogami. Dobro se je izšlo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili le prostorski vektorji, ploski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. Zakaj? Tako so se rodile te akcije - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Je že lažje!
Ta operacija, tako kot skalarni produkt, vključuje dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.
Sama akcija označen z kot sledi: . Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen vektorski produkt vektorjev označevati na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.
In to takoj vprašanje: če v skalarni produkt vektorjev sta vključena dva vektorja in tukaj sta dva vektorja tudi pomnožena, potem kakšna je razlika? Očitna razlika je najprej v REZULTATU:
Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILO:
Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , to pomeni, da vektorje pomnožimo in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod izvira ime operacije. V različni izobraževalni literaturi se lahko poimenovanja tudi razlikujejo;
Opredelitev navzkrižnega produkta
Najprej bo definicija s sliko, nato komentarji.
Opredelitev: Vektorski izdelek nekolinearni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, imenovan VEKTOR, dolžina kar je številčno enaka površini paralelograma, zgrajen na teh vektorjih; vektor pravokoten na vektorje, in je usmerjena tako, da je osnova pravilno usmerjena: 
Razčlenimo definicijo po delih, tukaj je veliko zanimivih stvari!
Torej je mogoče poudariti naslednje pomembne točke:
1) Izvirni vektorji, označeni z rdečimi puščicami, po definiciji ni kolinearna. Primer kolinearnih vektorjev bo primerno obravnavati nekoliko kasneje.
2) Vektorji so vzeti v strogo določenem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", ne "biti" z "a". Rezultat vektorskega množenja je VEKTOR, ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in nasprotne smeri (barva maline). To pomeni, da je enakost resnična 
.
3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatnega vektorja) je številčno enaka PLOŠČINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram črno osenčen.
Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina vektorskega produkta ni enaka površini paralelograma.
Spomnimo se ene od geometrijskih formul: Površina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:
Poudarjam, da formula govori o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kakšen je praktični pomen? In pomen je, da se v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najde s konceptom vektorskega izdelka:
Pridobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga deli na dva enaka trikotnika. Zato je območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), mogoče najti s formulo:
4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor pravokoten na vektorja, tj 
. Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (malinasta puščica) pravokoten na prvotne vektorje.
5) Vektor je usmerjen tako, da osnova ima desno orientacija. V lekciji o prehod na novo osnovo Govoril sem dovolj podrobno o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kaj je vesoljska orientacija. Razložil vam bom na prste desna roka. Mentalno kombinirajte kazalec z vektorjem in srednji prst z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite na dlan. Kot rezultat palec– vektorski produkt bo pogledal navzgor. To je desno usmerjena osnova (to je ta na sliki). Zdaj spremenite vektorje ( kazalec in sredinec) na nekaterih mestih, posledično se bo palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: katera osnova ima levo orientacijo? "Dodeli" istim prstom leva roka vektorje ter pridobimo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Figurativno povedano, te baze "sukajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli obravnavati kot nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, orientacijo prostora spremeni najbolj običajno ogledalo, in če "izvlečete odsevni predmet iz ogledala", potem v splošnem primeru ne bo mogoče kombinirati z "originalom". Mimogrede, drži tri prste do ogledala in analiziraj odsev ;-)
... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno baze, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi usmeritve strašljive =)
Navzkrižni produkt kolinearnih vektorjev
Definicija je bila podrobno obravnavana, treba je ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, jih lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Območje takega, kot pravijo matematiki, degeneriran paralelogram je enak nič. Enako izhaja iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina enaka nič
Torej, če , potem 
in 
. Upoštevajte, da je sam vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in piše, da je tudi enak nič.
Poseben primer je navzkrižni produkt vektorja s samim seboj:
Z vektorskim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim bomo analizirali tudi ta problem.
Za rešitev praktičnih primerov boste morda potrebovali trigonometrična tabela da bi iz njega našli vrednosti sinusov.
No, prižgimo ogenj:
Primer 1
a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če 
b) Poiščite ploščino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če 
rešitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namerno sem naredil enake začetne podatke v stavkih. Ker bo zasnova rešitev drugačna!
a) Glede na pogoj morate najti dolžina vektor (navzkrižni produkt). Po ustrezni formuli:
Odgovori:
Če ste bili vprašani o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.
b) Glede na pogoj, morate najti kvadrat paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini vektorskega produkta:
Odgovori:
Upoštevajte, da odgovor sploh ne govori o vektorskem produktu; območje figure, zato so dimenzije kvadratne enote.
Vedno pogledamo, KAJ moramo najti glede na stanje, in na podlagi tega oblikujemo jasno odgovor. Morda se zdi kot dobesednost, vendar je med učitelji veliko dobesednikov in naloga ima dobre možnosti, da jo vrnejo v popravek. Čeprav ne gre za posebno nategnjeno zadrego – če je odgovor napačen, potem dobimo vtis, da oseba ne razume preprostih stvari in/ali ni razumela bistva naloge. To točko je treba vedno imeti pod nadzorom pri reševanju katerega koli problema v višji matematiki in tudi pri drugih predmetih.
Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi ga lahko dodatno priložili k rešitvi, vendar zaradi skrajšanja vnosa tega nisem naredil. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka za isto stvar.
Priljubljen primer rešitve DIY:
Primer 2
Poiščite območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če 
Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.
V praksi je naloga res zelo pogosta; trikotniki vas lahko na splošno mučijo.
Za reševanje drugih težav bomo potrebovali:
Lastnosti vektorskega produkta vektorjev
Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil v ta seznam.
Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:
1) V drugih virih informacij ta element običajno ni poudarjen v lastnostih, vendar je v praksi zelo pomemben. Pa naj bo.
2) 
– lastnost je tudi obravnavana zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.
3) – asociativne oz asociativno zakoni o vektorskem produktu. Konstante je mogoče preprosto premakniti izven vektorskega produkta. Saj res, kaj naj počnejo tam?
4) – distribucija oz razdelilni zakoni o vektorskem produktu. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.
Za dokaz si oglejmo kratek primer:
Primer 3
Poiščite, če 
rešitev: Pogoj spet zahteva iskanje dolžine vektorskega produkta. Pobarvajmo našo miniaturo: 
(1) V skladu z asociativnimi zakoni jemljemo konstante izven obsega vektorskega produkta.
(2) Konstanto vzamemo izven modula in modul "poje" znak minus. Dolžina ne more biti negativna.
(3) Ostalo je jasno.
Odgovori: 
Čas je, da dodamo še drva na ogenj:
Primer 4
Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če 
rešitev: Poiščite površino trikotnika s formulo 
. Ulov je v tem, da sta vektorja »tse« in »de« sama predstavljena kot vsota vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije Točkovni produkt vektorjev. Zaradi jasnosti bomo rešitev razdelili na tri stopnje:
1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazimo vektor z vektorjem. O dolžinah še ni govora!
(1) Zamenjajte izraze vektorjev.
(2) S pomočjo distribucijskih zakonov odpremo oklepaje po pravilu množenja polinomov.
(3) Z uporabo asociativnih zakonov premaknemo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj lahko 2. in 3. korak izvedete hkrati.
(4) Prvi in zadnji člen sta zaradi lepe lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem členu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:
(5) Predstavljamo podobne pogoje.
Kot rezultat se je izkazalo, da je vektor izražen z vektorjem, kar je bilo potrebno doseči: 
2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno 3. primeru: 
3) Poiščite območje zahtevanega trikotnika: 
Faze 2-3 rešitve bi lahko zapisali v eno vrstico.
Odgovori:
Obravnavana težava je precej pogosta v testih, tukaj je primer, kako jo rešiti sami:
Primer 5
Poiščite, če
Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako pozorni ste bili pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)
Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah
, določeno v ortonormirani osnovi, izraženo s formulo:
Formula je res enostavna: v zgornjo vrstico determinante zapišemo koordinatne vektorje, v drugo in tretjo vrstico »vstavimo« koordinate vektorjev in vnesemo v strogem redu– najprej koordinate vektorja »ve«, nato koordinate vektorja »double-ve«. Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zamenjati: 
Primer 10
Preverite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:
A)
b) 
rešitev: Preverjanje temelji na eni od izjav v tej lekciji: če sta vektorja kolinearna, potem je njihov vektorski produkt enak nič (ničelni vektor): 
.
a) Poiščite vektorski produkt: 
Vektorji torej niso kolinearni.
b) Poiščite vektorski produkt: 
Odgovori: a) ni kolinearna, b)
Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.
Ta del ne bo zelo velik, saj je malo problemov, kjer se uporablja mešani produkt vektorjev. Pravzaprav bo vse odvisno od definicije, geometrijskega pomena in nekaj delovnih formul.
Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorjev:
Tako so se postavili v vrsto kot vlak in komaj čakajo, da jih identificirajo.
Najprej spet definicija in slika:
Opredelitev: Mešano delo nekoplanarni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, poklical volumen paralelopipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "–", če je osnova leva.
Naredimo risanje. Nam nevidne črte so narisane s pikčastimi črtami: 
Poglobimo se v definicijo:
2) Vektorji so vzeti v določenem vrstnem redu, to je preureditev vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne poteka brez posledic.
3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je lahko zasnova nekoliko drugačna; mešani izdelek sem navajen označevati s , rezultat izračunov pa s črko "pe".
Po definiciji mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajen na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako prostornini danega paralelepipeda.
Opomba : Risba je shematska.
4) Ne obremenjujmo se spet s konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešani produkt je lahko negativen: .
Neposredno iz definicije sledi formula za izračun volumna paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih.
7.1. Opredelitev navzkrižnega produkta
Trije nekoplanarni vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desnosučni trojček, če je s konca tretjega vektorja c najkrajši obrat od prvega vektorja a do drugega vektorja b viden biti v nasprotni smeri urinega kazalca in levosučni trojček, če je v smeri urinega kazalca (glej sliko .16).
Vektorski produkt vektorja a in vektorja b imenujemo vektor c, ki:
1. Pravokotno na vektorja a in b, tj. c ^ a in c ^ b ;
2. Ima dolžino, ki je numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a inb kot na straneh (glej sliko 17), tj.
3. Vektorji a, b in c tvorijo desnosučno trojko.
Navzkrižni produkt je označen z a x b ali [a,b]. Naslednji odnosi med enotskimi vektorji i neposredno izhajajo iz definicije vektorskega produkta, j in k
(glej sliko 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Dokažimo npr
i xj =k. ^ 1) k ^ i, k
j ; 2) |k |=1, vendar | i x j
| = |i | in|J | sin(90°)=1;
3) vektorji i, j in
tvorijo desno trojko (glej sliko 16).
7.2. Lastnosti navzkrižnega produkta = -(1. Pri preurejanju faktorjev vektorski produkt spremeni predznak, tj.).
in xb =(b xa) (glej sliko 19).
Vektorja a xb in b xa sta kolinearna, imata enake module (ploščina paralelograma ostane nespremenjena), vendar sta nasprotno usmerjena (trojke a, b, a xb in a, b, b x a nasprotne orientacije). Zato axb b xa b 2. Vektorski produkt ima kombinirano lastnost glede na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). b Naj bo l >0. Vektor l (a xb) je pravokoten na vektorja a in b. Vektor ( axb l axb a)x axb b xa b je tudi pravokotna na vektorja a in
(vektorji a, axb vendar ležijo v isti ravnini). To pomeni, da vektorji axb(a xb) in ( axb<0.
kolinearni. Očitno je, da se njihove smeri ujemajo. Imajo enako dolžino: b so kolinearne, če in samo, če je njihov vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, tj. a ||b<=>in xb =0.
Zlasti i *i =j *j =k *k =0 .
4. Vektorski produkt ima lastnost porazdelitve:
(a+b) xc = a xc + b xs.
Sprejeli bomo brez dokazov.
7.3. Izražanje navzkrižnega produkta s koordinatami
Uporabili bomo tabelo navzkrižnega produkta vektorjev i, Naslednji odnosi med enotskimi vektorji i neposredno izhajajo iz definicije vektorskega produkta, in k:
če smer najkrajše poti od prvega vektorja do drugega sovpada s smerjo puščice, potem je produkt enak tretjemu vektorju; če ne sovpada, se tretji vektor vzame z znakom minus.
Naj sta podana vektorja a =a x i +a y Naslednji odnosi med enotskimi vektorji i neposredno izhajajo iz definicije vektorskega produkta,+a z in in b =b x i+b l Naslednji odnosi med enotskimi vektorji i neposredno izhajajo iz definicije vektorskega produkta,+b z in. Poiščimo vektorski produkt teh vektorjev tako, da jih pomnožimo kot polinome (glede na lastnosti vektorskega produkta):
Nastalo formulo lahko zapišemo še bolj na kratko:
ker desna stran enačbe (7.1) ustreza razširitvi determinante tretjega reda glede na elemente prve vrstice, si je enakost (7.2) enostavno zapomniti.
7.4. Nekatere uporabe navzkrižnega produkta
Ugotavljanje kolinearnosti vektorjev
Iskanje ploščine paralelograma in trikotnika
Po definiciji vektorskega produkta vektorjev A in b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parov = |a x b |. In zato je D S =1/2|a x b |.
Določitev momenta sile na točko
Naj na točko A deluje sila F = AB in pusti O- neka točka v prostoru (glej sliko 20).
Iz fizike je znano, da moment sile F glede na točko O imenujemo vektor M, ki poteka skozi točko O in:
1) pravokotno na ravnino, ki poteka skozi točke O, A, B;
2) številčno enak produktu sile na roko
3) tvori desno trojko z vektorjema OA in A B.
Zato je M = OA x F.
Iskanje linearne hitrosti vrtenja
Hitrost v točka M togega telesa, ki se vrti s kotno hitrostjo w okoli fiksne osi, je določena z Eulerjevo formulo v =w xr, kjer je r =OM, kjer je O neka fiksna točka osi (glej sliko 21).
