Odkril iracionalna števila. Racionalna in iracionalna števila

Že starodavni matematiki so poznali odsek dolžine enote: poznali so na primer nesorazmernost diagonale in stranice kvadrata, kar je enakovredno iracionalnosti števila.

Neracionalni so:

Primeri dokazov neracionalnosti

Koren iz 2

Predpostavimo nasprotno: je racionalen, to je, da je predstavljen v obliki nezmanjšanega ulomka, kjer sta in celi števili. Kvadriramo domnevno enakost:

.

Iz tega sledi, da je sodo in . Naj bo tam, kjer je celota. Potem

Zato celo pomeni celo in . Ugotovili smo, da sta in soda, kar je v nasprotju z iredukcibilnostjo ulomka . To pomeni, da je bila začetna predpostavka napačna in - ir racionalno število.

Dvojiški logaritem števila 3

Predpostavimo nasprotno: je racionalen, to pomeni, da je predstavljen kot ulomek, kjer sta in cela števila. Ker , in se lahko izbereta kot pozitivna. Potem

Ampak sodo in liho. Dobimo protislovje.

e

Zgodba

Koncept iracionalnih števil so implicitno prevzeli indijski matematiki v 7. stoletju pr. n. št., ko je Manava (okoli 750 pr. n. št. - okoli 690 pr. n. št.) ugotovil, da kvadratni koreni nekaj naravna števila, kot sta 2 in 61, ni mogoče eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz o obstoju iracionalnih števil se običajno pripisuje Hipasu iz Metaponta (ok. 500 pr. n. št.), pitagorejcu, ki je ta dokaz našel s preučevanjem dolžin stranic pentagrama. V času pitagorejcev je veljalo, da obstaja ena sama dolžinska enota, dovolj majhna in nedeljiva, ki vstopi v kateri koli segment celo število krat. Vendar je Hipas trdil, da ni enotne enote za dolžino, saj domneva o njenem obstoju vodi v protislovje. Pokazal je, da če je hipotenuza enakokrakega pravokotni trikotnik vsebuje celo število segmentov enote, potem mora biti to število sodo in liho. Dokaz je bil videti takole:

• Razmerje med dolžino hipotenuze in dolžino kraka enakokrakega pravokotnega trikotnika lahko izrazimo kot a:b, Kje a in b izbrana kot najmanjša možna.
• Po Pitagorovem izreku: a² = 2 b².
• Ker a- celo, a mora biti sodo (ker bi bil kvadrat lihe številke lih).
• Ker a:b ireduktibilen b mora biti čudno.
• Ker a celo, označujemo a = 2l.
• Potem a² = 4 l² = 2 b².
• b² = 2 l² torej b- celo, torej b celo.
• Vendar je dokazano, da b liho. Protislovje.

Grški matematiki so to razmerje imenovali nesorazmerne količine alogos(neizrekljivo), a po legendah Hipasu niso izkazovali dolžnega spoštovanja. Obstaja legenda, da je Hipas odkril med potovanjem po morju in so ga drugi pitagorejci vrgli v vodo, "ker je ustvaril element vesolja, ki zanika doktrino, da je vse entitete v vesolju mogoče reducirati na cela števila in njihova razmerja." Odkritje Hipasa je izzvalo pitagorejsko matematiko resen problem, kar uniči temeljno predpostavko celotne teorije, da so števila in geometrijski objekti eno in neločljivo.

Glej tudi

Opombe

Numerični sistemi
Štetje kompleti	Naravna števila () Cela števila ()

Razumevanje števil, še posebej naravnih števil, je ena najstarejših matematičnih »veščin«. Mnoge civilizacije, tudi sodobne, so številom pripisovale določene mistične lastnosti zaradi njihovega ogromnega pomena pri opisovanju narave. čeprav moderna znanost in matematika teh "magičnih" lastnosti ne potrjuje, je pomen teorije števil nesporen.

V zgodovini so se najprej pojavila različna naravna števila, nato so se jim dokaj hitro dodajali ulomki in pozitivna iracionalna števila. Za temi podmnožicami množice so bila uvedena ničelna in negativna števila realna števila. Zadnja množica, množica kompleksnih števil, se je pojavila šele z razvojem sodobne znanosti.

V sodobni matematiki številke niso predstavljene v zgodovinskem vrstnem redu, čeprav so precej blizu tega.

Naravna števila $\mathbb(N)$

Množica naravnih števil je pogosto označena kot $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ in je pogosto dopolnjena z ničlo, da označi $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definira operaciji seštevanja (+) in množenja ($\cdot$) z naslednje lastnosti za poljubne $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ je množica $\mathbb(N)$ zaprta glede na operacije seštevanja in množenja
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativnost
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativnost
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivnost
5. $a\cdot 1=a$ je nevtralen element za množenje

Ker niz $\mathbb(N)$ vsebuje nevtralni element za množenje, ne pa tudi za seštevanje, dodajanje ničle temu nizu zagotovi, da vključuje nevtralni element za seštevanje.

Poleg teh dveh operacij so razmerja »manj kot« ($

1. $a b$ trihotomija
2. če $a\leq b$ in $b\leq a$, potem $a=b$ antisimetrija
3. če je $a\leq b$ in $b\leq c$, potem je $a\leq c$ tranzitiven
4. če je $a\leq b$ potem $a+c\leq b+c$
5. če je $a\leq b$ potem $a\cdot c\leq b\cdot c$

Cela števila $\mathbb(Z)$

Primeri celih števil:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Reševanje enačbe $a+x=b$, kjer sta $a$ in $b$ znani naravni števili in $x$ neznano naravno število, zahteva uvod nova operacija- odštevanje (-). Če obstaja naravno število $x$, ki ustreza tej enačbi, potem je $x=b-a$. Vendar ta posebna enačba nima nujno rešitve na množici $\mathbb(N)$, zato praktični premisleki zahtevajo razširitev množice naravnih števil, da bi vključevala rešitve takšne enačbe. To vodi do uvedbe nabora celih števil: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Ker je $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, je logično domnevati, da so predhodno uvedene operacije $+$ in $\cdot$ ter razmerja $ 1. $0+a=a+0=a$ obstaja nevtralni element za dodajanje
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ obstaja nasprotno število $-a$ za $a$

Lastnost 5.:
5. če je $0\leq a$ in $0\leq b$, potem $0\leq a\cdot b$

Množica $\mathbb(Z)$ je prav tako zaprta glede operacije odštevanja, to je $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Racionalna števila $\mathbb(Q)$

Primeri racionalnih števil:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Zdaj razmislite o enačbah v obliki $a\cdot x=b$, kjer sta $a$ in $b$ znani celi števili, $x$ pa neznanka. Da bi bila rešitev mogoča, je potrebno vpeljati operacijo deljenja ($:$), rešitev pa ima obliko $x=b:a$, torej $x=\frac(b)(a)$ . Spet se pojavi problem, da $x$ ne pripada vedno $\mathbb(Z)$, zato je treba množico celih števil razširiti. To uvaja množico racionalnih števil $\mathbb(Q)$ z elementi $\frac(p)(q)$, kjer sta $p\in \mathbb(Z)$ in $q\in \mathbb(N)$. Množica $\mathbb(Z)$ je podmnožica, v kateri je vsak element $q=1$, torej $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ in se operaciji seštevanja in množenja razširita na to množico v skladu z naslednja pravila, ki ohranijo vse zgornje lastnosti na množici $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Delitev je uvedena na naslednji način:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Na množici $\mathbb(Q)$ ima enačba $a\cdot x=b$ edina rešitev za vsak $a\neq 0$ (deljenje z ničlo je nedefinirano). To pomeni, da obstaja inverzni element $\frac(1)(a)$ ali $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\obstaja \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Vrstni red množice $\mathbb(Q)$ lahko razširimo na naslednji način:
$\frac(p_1)(q_1)

Množica $\mathbb(Q)$ ima eno pomembno lastnost: med katerimakoli dvema racionalnima številoma je neskončno veliko drugih racionalnih števil, torej ni dveh sosednjih racionalnih števil, za razliko od množic naravnih števil in celih števil.

Iracionalna števila $\mathbb(I)$

Primeri iracionalnih števil:
$\sqrt(2) \približno 1,41422135...$
$\pi\približno 3,1415926535...$

Ker je med katerima koli racionalnima številoma neskončno veliko drugih racionalnih števil, je zlahka napačno sklepati, da je množica racionalnih števil tako gosta, da je ni treba več širiti. Tudi Pitagora je v svojem času naredil takšno napako. Toda že njegovi sodobniki so to ugotovitev ovrgli, ko so preučevali rešitve enačbe $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na množici racionalnih števil. Za rešitev takšne enačbe je potrebno uvesti pojem kvadratnega korena, potem pa ima rešitev te enačbe obliko $x=\sqrt(2)$. Enačba, kot je $x^2=a$, kjer je $a$ znano racionalno število in $x$ neznano, nima vedno rešitve na množici racionalnih števil in spet se pojavi potreba po razširitvi set. Nastane množica iracionalnih števil, v katero spadajo števila, kot so $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$....

Realna števila $\mathbb(R)$

Zveza množic racionalnih in iracionalnih števil je množica realnih števil. Ker je $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, je spet logično domnevati, da uvedene aritmetične operacije in relacije ohranijo svoje lastnosti na novi množici. Formalni dokaz tega je zelo težak, zato so zgoraj omenjene lastnosti aritmetičnih operacij in relacije na množici realnih števil uvedene kot aksiomi. V algebri se tak objekt imenuje polje, zato pravimo, da je množica realnih števil urejeno polje.

Da bi bila definicija množice realnih števil popolna, je potrebno uvesti dodaten aksiom, ki loči množici $\mathbb(Q)$ in $\mathbb(R)$. Recimo, da je $S$ neprazna podmnožica množice realnih števil. Element $b\in \mathbb(R)$ se imenuje zgornja meja množice $S$, če $\forall x\in S$ velja za $x\leq b$. Potem rečemo, da je množica $S$ omejena zgoraj. Najmanjšo zgornjo mejo množice $S$ imenujemo supremum in jo označimo z $\sup S$. Koncepti spodnje meje, spodaj omejene množice in infinum $\inf S$ so uvedeni podobno. Zdaj je manjkajoči aksiom formuliran takole:

Vsaka neprazna in zgoraj omejena podmnožica množice realnih števil ima supremum.
Prav tako je mogoče dokazati, da je tako definirano polje realnih števil edinstveno.

Kompleksna števila$\mathbb(C)$

Primeri kompleksnih števil:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kjer je $i = \sqrt(-1)$ ali $i^2 = -1$

Množica kompleksnih števil predstavlja vse urejene pare realnih števil, to je $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na katerih so operacije seštevanje in množenje sta definirana na naslednji način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Obstaja več oblik zapisa kompleksnih števil, med katerimi je najpogostejša $z=a+ib$, kjer je $(a,b)$ par realnih števil, število $i=(0,1)$ se imenuje imaginarna enota.

Enostavno je pokazati, da je $i^2=-1$. Razširitev množice $\mathbb(R)$ na množico $\mathbb(C)$ omogoča določitev kvadratnega korena negativnih števil, kar je bil razlog za uvedbo množice kompleksnih števil. Prav tako je enostavno pokazati, da je podmnožica množice $\mathbb(C)$, podana z $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, izpolnjuje vse aksiome za realna števila, torej $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ ali $R\subset\mathbb(C)$.

Algebraična struktura množice $\mathbb(C)$ glede na operaciji seštevanja in množenja ima naslednje lastnosti:
1. komutativnost seštevanja in množenja
2. asociativnost seštevanja in množenja
3. $0+i0$ - nevtralni element za dodajanje
4. $1+i0$ - nevtralni element za množenje
5. Množenje je distributivno glede na seštevanje
6. Za seštevanje in množenje obstaja en inverz.

Kaj so iracionalna števila? Zakaj se tako imenujejo? Kje se uporabljajo in kaj so? Malokdo zna odgovoriti na ta vprašanja brez razmišljanja. Toda v resnici so odgovori nanje precej preprosti, čeprav jih ne potrebujejo vsi in v zelo redkih situacijah

Bistvo in poimenovanje

Iracionalna števila so neskončna neperiodična števila zaradi dejstva, da za reševanje novih problemov, ki se pojavljajo, prej obstoječi koncepti realnih ali realnih, celih, naravnih in racionalnih števil niso več zadostovali. Na primer, da bi izračunali, katera količina je kvadrat 2, je treba uporabiti neperiodično neskončno decimalke. Poleg tega številne preproste enačbe tudi nimajo rešitve brez uvedbe koncepta iracionalnega števila.

Ta niz je označen kot I. In kot je že jasno, teh vrednosti ni mogoče predstaviti kot preprost ulomek, katerega števec bo celo število, imenovalec pa bo

Prvič, tako ali drugače, so se s tem pojavom indijski matematiki srečali v 7. stoletju, ko so odkrili, da kvadratnih korenov nekaterih količin ni mogoče eksplicitno navesti. In prvi dokaz o obstoju takšnih števil pripisujejo Pitagorejcu Hipasu, ki je to naredil med preučevanjem enakokrakega pravokotnega trikotnika. Nekateri drugi znanstveniki, ki so živeli pred našim štetjem, so resno prispevali k preučevanju tega sklopa. Uvedba koncepta iracionalnih števil je povzročila revizijo obstoječega matematični sistem, zato so tako pomembni.

Izvor imena

Če je razmerje prevedeno iz latinščine "frakcija", "razmerje", potem je predpona "ir"
daje tej besedi nasprotni pomen. Tako ime niza teh števil nakazuje, da jih ni mogoče povezati s celim številom ali ulomkom in imajo ločeno mesto. To izhaja iz njihovega bistva.

Mesto v generalni razvrstitvi

Iracionalna števila poleg racionalnih spadajo v skupino realnih ali realnih števil, ta pa med kompleksna števila. Podmnožic ni, obstajajo pa algebraične in transcendentalne varietete, o katerih bomo razpravljali v nadaljevanju.

Lastnosti

Ker so iracionalna števila del množice realnih števil, zanje veljajo vse njihove lastnosti, ki jih preučuje aritmetika (imenujemo jih tudi osnovni algebrski zakoni).

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativnost);

a + (-a) = 0 (obstoj nasprotnega števila);

ab = ba (komutativni zakon);

(ab)c = a(bc) (distributivnost);

a(b+c) = ab + ac (distribucijski zakon);

a x 1/a = 1 (obstoj recipročnega števila);

Primerjava poteka tudi v skladu s splošnimi zakonitostmi in načeli:

Če je a > b in b > c, potem je a > c (tranzitivnost relacije) in. itd.

Seveda je mogoče vsa iracionalna števila pretvoriti z uporabo osnovne aritmetike. Posebnih pravil ni.

Poleg tega Arhimedov aksiom velja za iracionalna števila. Navaja, da za kateri koli dve količini a in b velja, da če dovoljkrat vzamete a kot izraz, lahko premagate b.

Uporaba

Kljub temu, da je v običajno življenje Ne zgodi se prav pogosto, da jih človek sreča; iracionalnih števil ni mogoče prešteti. Ogromno jih je, a so skoraj nevidni. Iracionalna števila so povsod okoli nas. Primera, ki sta znana vsem, sta pi, kar je 3,1415926..., ali e, ki je v bistvu osnova naravni logaritem, 2.718281828... V algebri, trigonometriji in geometriji jih je treba nenehno uporabljati. Mimogrede, slavni pomen tudi »zlati rez«, torej razmerje med večjim in manjšim delom in obratno.

spada v ta niz. Tudi manj znana "srebrna".

Na številski premici se nahajajo zelo gosto, tako da se med katerimakoli dvema količinama, ki ju uvrščamo med racionalne, zagotovo pojavi iracionalna.

Še vedno jih je veliko nerešene težave povezane s tem nizom. Obstajajo merila, kot sta mera iracionalnosti in normalnost števila. Matematiki še naprej preučujejo najpomembnejše primere, da bi ugotovili, ali pripadajo eni ali drugi skupini. Na primer, verjame se, da je e normalno število, kar pomeni, da je verjetnost, da se v njegovem zapisu pojavijo različne števke, enaka. Kar zadeva pi, raziskave o njem še vedno potekajo. Mera iracionalnosti je vrednost, ki kaže, kako dobro je dano število mogoče približati z racionalnimi števili.

Algebrsko in transcendentalno

Kot smo že omenili, so iracionalna števila konvencionalno razdeljena na algebrska in transcendentalna. Pogojno, saj se, strogo gledano, ta klasifikacija uporablja za razdelitev množice C.

Za tem poimenovanjem se skrivajo kompleksna števila, ki vključujejo realna ali realna števila.

Torej je algebraična vrednost, ki je koren polinoma, ki ni identično enak nič. Na primer, kvadratni koren iz 2 bi bil v tej kategoriji, ker je rešitev enačbe x 2 - 2 = 0.

Vsa druga realna števila, ki ne izpolnjujejo tega pogoja, se imenujejo transcendentalna. Ta sorta vključuje najbolj znane in že omenjene primere - število pi in osnovo naravnega logaritma e.

Zanimivo je, da ne enega ne drugega matematiki prvotno niso razvili v tej vlogi; njuna iracionalnost in transcendentnost sta bili dokazani mnogo let po njunem odkritju. Za pi je bil dokaz podan leta 1882 in poenostavljen leta 1894, s čimer se je končala 2500-letna razprava o problemu kvadrature kroga. Še vedno ni v celoti raziskan, zato imajo sodobni matematiki nekaj za delo. Mimogrede, prvi dokaj natančen izračun te vrednosti je izvedel Arhimed. Pred njim so bili vsi izračuni preveč približni.

Za e (Eulerjevo ali Napierjevo število) je bil leta 1873 najden dokaz o njegovi transcendenci. Uporablja se pri reševanju logaritemskih enačb.

Drugi primeri vključujejo vrednosti sinusa, kosinusa in tangensa za katero koli algebraično vrednost, ki ni nič.

Vsa racionalna števila lahko predstavimo kot navadni ulomek. To velja za cela števila (na primer 12, –6, 0) in končne decimalne ulomke (na primer 0,5; –3,8921) in neskončne periodične decimalne ulomke (na primer 0,11(23); –3 ,(87) )).

Vendar neskončne neperiodične decimalke predstavljajo v obliki navadni ulomki nemogoče. To so iracionalna števila(torej neracionalno). Primer takega števila je število π, ki je približno enako 3,14. Vendar pa, čemu točno je enako, ni mogoče določiti, saj je za številom 4 neskončen niz drugih števil, v katerih ni mogoče razločiti ponavljajočih se pik. Še več, čeprav števila π ni mogoče natančno izraziti, ima poseben geometrijski pomen. Število π je razmerje med dolžino poljubnega kroga in dolžino njegovega premera. Tako iracionalna števila dejansko obstajajo v naravi, tako kot racionalna števila.

Drug primer iracionalnih števil so kvadratni koreni pozitivnih števil. Izvleček korenin iz nekaterih števil daje racionalne vrednosti, iz drugih - iracionalne. Na primer, √4 = 2, kar pomeni, da je koren iz 4 racionalno število. Toda √2, √5, √7 in mnogi drugi dajejo iracionalna števila, kar pomeni, da jih je mogoče izluščiti le s približkom, zaokroževanjem na določeno decimalno mesto. V tem primeru ulomek postane neperiodičen. To pomeni, da je nemogoče natančno in zagotovo reči, kaj je koren teh številk.

Torej je √5 število, ki leži med številkama 2 in 3, saj je √4 = 2 in √9 = 3. Sklepamo lahko tudi, da je √5 bližje 2 kot 3, saj je √4 bližje √5 kot √9 do √5. Dejansko je √5 ≈ 2,23 ali √5 ≈ 2,24.

Iracionalna števila dobimo tudi pri drugih izračunih (in ne samo pri pridobivanju korenov) in so lahko negativna.

V zvezi z iracionalnimi števili lahko rečemo, da ne glede na to, kateri odsek enote vzamemo za merjenje dolžine, izražene s takim številom, je ne bomo mogli zagotovo izmeriti.

Pri aritmetičnih operacijah lahko poleg racionalnih sodelujejo tudi iracionalna števila. Hkrati obstaja vrsta pravilnosti. Na primer, če so v aritmetični operaciji vključena samo racionalna števila, je rezultat vedno racionalno število. Če v operaciji sodelujejo samo iracionalni, potem je nemogoče nedvoumno reči, ali bo rezultat racionalno ali iracionalno število.

Na primer, če pomnožite dve iracionalni števili √2 * √2, dobite 2 - to je racionalno število. Po drugi strani pa je √2 * √3 = √6 iracionalno število.

Če aritmetična operacija vključuje racionalna in iracionalna števila, bo rezultat iracionalen. Na primer, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Zakaj je √17 – 4 iracionalno število? Predstavljajmo si, da dobimo racionalno število x. Potem je √17 = x + 4. Toda x + 4 je racionalno število, ker smo predpostavili, da je x racionalen. Tudi število 4 je racionalno, torej je x + 4 racionalno. Vendar pa racionalno število ne more biti enako iracionalnemu številu √17. Zato je predpostavka, da √17 – 4 daje racionalen rezultat, napačna. Rezultat aritmetične operacije bo iracionalen.

Vendar pa obstaja izjema od tega pravila. Če iracionalno število pomnožimo z 0, dobimo racionalno število 0.

Že starodavni matematiki so poznali odsek dolžine enote: poznali so na primer nesorazmernost diagonale in stranice kvadrata, kar je enakovredno iracionalnosti števila.

Neracionalni so:

Primeri dokazov neracionalnosti

Koren iz 2

Predpostavimo nasprotno: je racionalen, to je, da je predstavljen v obliki nezmanjšanega ulomka, kjer sta in celi števili. Kvadriramo domnevno enakost:

.

Iz tega sledi, da je sodo in . Naj bo tam, kjer je celota. Potem

Zato celo pomeni celo in . Ugotovili smo, da sta in soda, kar je v nasprotju z iredukcibilnostjo ulomka . To pomeni, da je bila prvotna predpostavka napačna in da gre za iracionalno število.

Dvojiški logaritem števila 3

Predpostavimo nasprotno: je racionalen, to pomeni, da je predstavljen kot ulomek, kjer sta in cela števila. Ker , in se lahko izbereta kot pozitivna. Potem

Ampak sodo in liho. Dobimo protislovje.

e

Zgodba

Koncept iracionalnih števil so implicitno prevzeli indijski matematiki v 7. stoletju pr. n. št., ko je Manava (okoli 750 pr. n. št. - okoli 690 pr. n. št.) ugotovil, da kvadratnih korenov nekaterih naravnih števil, kot sta 2 in 61, ni mogoče eksplicitno izraziti. .

Prvi dokaz o obstoju iracionalnih števil se običajno pripisuje Hipasu iz Metaponta (ok. 500 pr. n. št.), pitagorejcu, ki je ta dokaz našel s preučevanjem dolžin stranic pentagrama. V času pitagorejcev je veljalo, da obstaja ena sama dolžinska enota, dovolj majhna in nedeljiva, ki vstopi v kateri koli segment celo število krat. Vendar pa je Hipas trdil, da ni enotne enote za dolžino, saj domneva o njenem obstoju vodi v protislovje. Pokazal je, da če hipotenuza enakokrakega pravokotnega trikotnika vsebuje celo število enotskih segmentov, mora biti to število sodo in liho. Dokaz je bil videti takole:

• Razmerje med dolžino hipotenuze in dolžino kraka enakokrakega pravokotnega trikotnika lahko izrazimo kot a:b, Kje a in b izbrana kot najmanjša možna.
• Po Pitagorovem izreku: a² = 2 b².
• Ker a- celo, a mora biti sodo (ker bi bil kvadrat lihe številke lih).
• Ker a:b ireduktibilen b mora biti čudno.
• Ker a celo, označujemo a = 2l.
• Potem a² = 4 l² = 2 b².
• b² = 2 l² torej b- celo, torej b celo.
• Vendar je dokazano, da b liho. Protislovje.

Grški matematiki so to razmerje imenovali nesorazmerne količine alogos(neizrekljivo), a po legendah Hipasu niso izkazovali dolžnega spoštovanja. Obstaja legenda, da je Hipas odkril med potovanjem po morju in so ga drugi pitagorejci vrgli v vodo, "ker je ustvaril element vesolja, ki zanika doktrino, da je vse entitete v vesolju mogoče reducirati na cela števila in njihova razmerja." Odkritje Hipasa je predstavljalo resen problem za pitagorejsko matematiko, saj je uničilo temeljno predpostavko, da so števila in geometrijski objekti eno in neločljivo.

Glej tudi

Opombe

Numerični sistemi
Štetje kompleti	Naravna števila () Cela števila ()