Enolistni hiperboloid revolucije. Dvolistni vrtilni hiperboloid je vrtilna površina hiperbole

In nekaj črte, ki poteka skozi izvor. Če se hiperbola začne vrteti okoli te osi, se pojavi votlo vrtilno telo, ki bo hiperboloid. Obstajata dve vrsti hiperboloidov: enolistni in dvolistni. Enolistni hiperboloid je podan z enačbo v obliki: x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1 Če upoštevamo to prostorsko figuro glede na Oxz in Oyz ravnine, lahko vidimo, da so njegovi odseki hiperbole. Vendar pa je odsek enolistnega hiperboloida z ravnino Oxy elipsa. Najmanjša elipsa hiperboloida se imenuje grlena elipsa. V tem primeru je z=0 in elipsa poteka skozi izhodišče. Enačba grla pri z=0 je zapisana takole: x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Preostale elipse imajo naslednjo obliko: x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, kjer je h višina enolistnega hiperboloida.

Hiperboloid začnite sestavljati tako, da upodabljate hiperbolo v ravnini Xoz. Nariši realno pol-os, ki sovpada z osjo y, in namišljeno pol-os, ki sovpada z osjo z. Konstruirajte hiperbolo in nato določite višino h hiperboloida. Nato na ravni dane višine narišite ravne črte, ki so vzporedne z Ox in sekajo graf hiperbole v spodnji in zgornji točki, nato pa na enak način v ravnini Oyz zgradite hiperbolo, kjer je b realna polos, ki poteka skozi os y, c pa je namišljena polos, ki prav tako sovpada s c c. Konstruirajte paralelogram v ravnini Oxy, ki ga dobimo tako, da povežemo točke grafov hiperbol. Nariši elipso grla tako, da bo včrtana v ta paralelogram. Na enak način sestavite preostale elipse. Rezultat bo rotacijsko telo - enolistni hiperboloid, prikazan na sliki 1

Dvolistni hiperboloid je dobil svojo pot zaradi dveh različnih ploskev, ki ju tvori os Oz. Enačba takega hiperboloida ima naslednjo obliko: x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Dve votlini dobimo s konstruiranjem hiperbole v ravninah Oxz in Oyz . Dvolistni hiperboloid ima odseke, ki so elipse: x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Tako kot v primeru enolistnega hiperboloida, zgradite hiperbole v ravninah Oxz in Oyz, ki bosta postavljeni, kot je prikazano v 2. Konstruirajte paralelograme na dnu in na vrhu, da sestavite elipse. Ko konstruirate elipse, odstranite vse konstrukcije in nato narišite dvolistni hiperboloid.

Enojni pas hiperboloid predstavlja figuro vrtenja. Če ga želite zgraditi, morate slediti določeni metodologiji. Najprej se narišejo polose, nato hiperbole in elipse. Kombinacija vseh teh elementov bo pripomogla k ustvarjanju same prostorske figure.

Potrebovali boste

• - svinčnik,
• - papir,
• - matematični priročnik.

Navodila

Nariši hiperbolo v Xoz. Če želite to narediti, narišite dve pol-osi, ki sovpadata z osjo y (resnična pol-os) in z-osjo (namišljena pol-os). Na njihovi podlagi sestavi hiperbolo. Po tem nastavite določeno višino h a. Na koncu na ravni te danosti nariši ravne črte, ki bodo vzporedne z Ox in sekajo graf hiperbole na dva načina: spodaj in zgoraj.

Pri konstruiranju preostalih elips ponovite zgornje korake. Končno bo oblikovana risba z eno votlino hiperboloid A.

Enojna votlina hiperboloid opisano s sliko

PRILOGA 2

ENOJAMSKI HIPERBOLOID ROTACIJE

(kratka informacija)

Če je gibanje tvorne črte vrtenje okoli neke fiksne premice (osi), potem se površina, ki nastane v tem primeru, imenuje površina vrtenja. Ustvarjalna črta je lahko ravna ali prostorska krivulja, pa tudi ravna črta.

Vsaka točka nastajajoče premice pri vrtenju okoli osi opisuje krog, ki leži v ravnini, pravokotni na os vrtenja. Te kroge imenujemo vzporednice. Posledično ravnine, pravokotne na os, sekajo vrtilno površino vzdolž vzporednic. Črta presečišča rotacijske površine z ravnino, ki poteka skozi os, se imenuje poldnevnik. Vsi meridiani rotacijske površine so skladni.

Množica vseh vzporednikov ali meridianov predstavlja neprekinjen okvir vrtilne površine. Skozi vsako točko na površju poteka en vzporednik in en poldnevnik. Projekcije točke se nahajajo na ustreznih projekcijah vzporednika ali poldnevnika. Nastavite lahko točko na površini ali sestavite drugo projekcijo točke, če je podana, z uporabo vzporednika ali poldnevnika, ki poteka skozi to točko. Geometrijski del determinante vrtilne ploskve sestavljata vrtilna os in generatrisa.

Površine, ki nastanejo z vrtenjem premice:

1. - rotacijski valj nastane z vrtenjem ravne črte, vzporedne z osjo;

2. - stožec vrtenja nastane z vrtenjem premice, ki seka os;

3. - enolistni vrtilni hiperboloid nastane z vrtenjem premice, ki prečka os;

Vzporednice ploskve so krogi.

Poldnevnik površja je hiperbola.

Vse naštete krožne ploskve so ploskve drugega reda.

Površine, oblikovane z vrtenjem krivulj drugega reda okoli svojih osi

1. Krogla nastane z vrtenjem kroga okoli njenega premera.

2. Vrtilni elipsoid nastane z vrtenjem elipse okoli velike ali male osi.

3. Paraboloid revolucije nastane z vrtenjem parabole okoli svoje osi.

4. Enolistni vrtilni hiperboloid nastane z vrtenjem hiperbole okoli njene namišljene osi (ta ploskev nastane tudi z vrtenjem premice: korak a-1).

Enolistni hiperboloid je površina, katere kanonična enačba ima obliko:

kjer so a, b, c pozitivna števila.

Ima tri simetrijske ravnine, tri simetrijske osi in simetrično središče. To so koordinatne ravnine, koordinatne osi in izhodišče koordinat. Za konstrukcijo hiperboloida najdemo njegove odseke z različnimi ravninami. Poiščimo presečišče z ravnino xOy. Na tej ravnini je z = 0, torej

Ta enačba na ravnini xOy določa elipso s polosema a in b (slika 1). Poiščimo presečišče z ravnino yOz. Na tej ravnini je x = 0, torej

To je enačba hiperbole v ravnini yOz, kjer je realna polos b, namišljena polos pa c. Sestavimo to hiperbolo.

Presek z ravnino xOz je tudi hiperbola z enačbo

Narisali bomo tudi to hiperbolo, a da ne bomo risbe preobremenili z dodatnimi črtami, ne bomo prikazali njenih asimptot in odstranili asimptote v odseku z ravnino yOz.

Poiščimo presečišča ploskve z ravninami z = ± h, h > 0.

riž. 1. Prerez enolistnega hiperboloida

Enačbe teh črt so:

Pretvorimo prvo enačbo v obliko

Ta enačba je enačba elipse, ki je podobna elipsi v ravnini xOy, s koeficientom podobnosti in polosema a 1 in b 1 . Narišimo nastale odseke (slika 2).

riž. 2. Slika enolistnega hiperboloida z uporabo odsekov

Enolistni vrtilni hiperboloid lahko dobimo z vrtenjem premice, ki seka namišljeno os, okoli katere se premica vrti. V tem primeru dobimo prostorski lik (slika 3), katerega ploskev je sestavljena iz zaporednih položajev premice med vrtenjem.

riž. 3. Enolistni vrtilni hiperboloid, dobljen z vrtenjem premice, ki prečka vrtilno os

Poldnevnik take površine je hiperbola. Prostor znotraj te rotacijske figure bo resničen, zunaj pa namišljen. Ravnina, ki je pravokotna na imaginarno os in seka enolistni hiperboloid na njegovem najmanjšem preseku, se imenuje goriščna ravnina.

Očesu znana slika enolistnega hiperboloida je prikazana na sl. 6.4.

Če je v enačbi a=b, so prerezi hiperboloida z ravninami, vzporednimi z ravnino xOy, krožnice. V tem primeru se površina imenuje enolistni vrtilni hiperboloid in jo lahko dobimo z vrtenjem hiperbole, ki leži v ravnini yOz okoli osi Oz (slika 4).

riž. 4. Enolistni hiperboloid revolucije,

Nastane z vrtenjem hiperbole okoli svoje osi.

Obstajajo enolistni in dvolistni hiperboloidi revolucije.

Enojni list (sl. 2-89) nastane z vrtenjem hiperbole okoli namišljene osi (sl. 2.90). Površino enolistnega hiperboloida lahko oblikujemo tudi z vrtenjem premice okoli osi, ki jo seka (slika 2-91).

Determinanta enolistnega hiperboloida S (l,i^P 1)

Determinanta enolistnega hiperboloida (generator je premica). Generatrisa in presečna os sta premici. To površino uvrščamo tudi med ravničaste površine.

S (l, i^P 1, l° i)(slika 2-91).

Dvolistni vrtilni hiperboloid nastane z vrtenjem hiperbole okoli svoje realne osi.

Eden od načinov (sl. 2-92) konstruiranja enolistnega hiperboloida: ker vodoravne projekcije vseh generatrik se morajo dotikati projekcije grlenega kroga, nato vsak naslednji položaj premočrtna generatrisa lahko ustvarite tako, da narišete tangente na projekcijo obsega grla.

Izjemen ruski inženir V.G. Shukhov (1921) je predlagal uporabo enolistnega hiperboloida za gradnjo trajnih in tehnološko naprednih struktur (radijski stebri, vodni stolpi, svetilniki).

Algoritem konstrukcije, če je površina podana z vzporednicami in razdaljo ( l) od ekvatorja do grla (slika 2-92):

1. Zlomi grlo ( A, B, C...) in nižje ( 1,2,3 ,..) vzporednice na 12 enakih delov;

2. Iz točke 4 1 narišite generatorje tako, da so tangentne na grlo vzporedno (tj. skozi B 1 in E 1), na vodoravni projekciji zgornjega vzporednika dobimo točko P 1, ki bo določil položaj zgornje vzporednice na čelni projekciji. Ti generatorji in P 2 bo šel skozi iste točke ( 4 2, B 2, E 2).

3. Za preostale točke ponovite konstrukcijo.

Le tri rotacijske ploskve drugega reda imajo za generator ravno črto. Odvisno od lokacije te ravne črte glede na os je mogoče dobiti tri vrste ravnih površin vrtenja drugega reda:

1. valj, če je generatrix vzporedna z osjo vrtenja x 2 + y 2 = R 2 ;

2. stožec, če generatrisa seka vrtilno os k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;

3. enolistni vrtilni hiperboloid, če se os in generatrisa sekata

(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d 2 = 0

Opredelitev. Enolistni hiperboloid je površina drugega reda, ki jo v nekem pravokotnem koordinatnem sistemu definira enačba

Enačba (3.32) se imenuje kanonična enačba enolistnega hiperboloida.

Iz (3.32) sledi, da so koordinatne ravnine simetrijske osi, izhodišče pa simetrijsko središče enolistnega hiperboloida.

Ugotovimo vrsto površine, podane z enačbo (3.32). Oglejmo si črte presečišča enolistnega hiperboloida z ravninami
. Enačba za projekcijo takšne premice na ravnino
dobimo iz enačbe (3.32), če vanjo vstavimo
. Imamo:

. (3.33)

Kot vedno
, potem lahko uvedemo zapis

,
, (3.34)

upoštevajoč, katero razmerje (3.33) ima obliko

, (3.35)

tj. projekcija presečišča je elipsa s polosemi in . Najmanjša od obravnavanih elips s polosijami
in
dobimo z rezanjem enolistnega hiperboloida z ravnino
, torej koordinatno ravnino
. Ta elipsa se imenuje grlo.

S povečanjem dimenzije elipse neomejeno naraščajo. Hiperboloid z eno votlino je torej površina, sestavljena iz ene same votline in podobna cevi, ki se neomejeno širi v pozitivni in negativni smeri vzdolž aplicirane osi.

Oglejmo si prereze enolistnega hiperboloida z ravninami
in
, vzporedno s koordinatnimi ravninami
in
. Projekcije teh odsekov na ustrezne koordinatne ravnine so premice, določene z enačbami:

in
. (3.36)

Oglejmo si podrobneje odsek enolistnega hiperboloida z ravnino, vzporedno s koordinatno ravnino
.

če
, nato v projekciji na ravnino
dobimo par realnih sekajočih se premic, ki jih določata enačbi
in poteka skozi izvor.

če
, potem imamo v projekciji hiperbolo z žarišči na osi
(
) oz
(
), pol-osi teh hiperbol pa se povečujejo z oddaljenostjo od izhodišča.

Podobno sliko dobimo pri rezanju z ravninami, vzporednimi z ravnino
. V prerezu enolistnega hiperboloida s koordinatnimi ravninami
in
dobimo hiperbole

in
. (3.37)

Količine ,,se imenujejo polosi enolistnega hiperboloida.

3.12. Dvolistni hiperboloid

Opredelitev. Dvolistni hiperboloid je površina drugega reda, ki jo v nekem pravokotnem koordinatnem sistemu poda enačba

. (3.38)

Enačbo (3.38) imenujemo kanonična enačba dvolistnega hiperboloida.

Iz te enačbe sledi, da so koordinatne ravnine njene simetrijske osi, koordinatni izhodišče pa njeno simetrijsko središče.

Oglejmo si prerez dvolistnega hiperboloida, definiranega z enačbo (3.38), z ravninami
. Enačba za projekcijo presečišča na ravnino
dobimo iz (3.38), če vanj vstavimo
. Enačba te projekcije je

. (3.39)

če
, potem je (3.39) enačba namišljene elipse in presečišč dvolistnega hiperboloida z ravnino
ne, torej v plasti med ravninama
in
ne vsebuje točk obravnavane površine. če
, potem premica (3.39) degenerira v točke, tj. ravnine
v točkah se dotaknite dvolistnega hiperboloida
in
. če
, To
in lahko uvedete notacijo

,
. (3.40)

Nato dobi enačba (3.39) obliko

, (3.41)

torej projekcija na ravnino
presečišče dvolistnega hiperboloida in ravnine
je elipsa s polosemi, ki so določene z enačbami (3.40), zato je presečišče sama elipsa. Pri odmiku od izhodišča vzdolž osi
pol-osi elipse se povečajo.

Zaradi simetrije glede na ravnino
obravnavana površina vsebuje dve votlini.

Pri prerezu po ravninah
, vzporedno
, dobimo krivulje, ki so pri projiciranju na to ravnino določene z enačbami

. (3.42)

Krivulje, podane z enačbami (3.42), so hiperbole, katerih žarišča se nahajajo na osi
, in z naraščajočo absolutno vrednostjo realna polos hiperbole se poveča.

Podobne rezultate dobimo pri rezanju dvolistnega hiperboloida z ravninami, vzporednimi s koordinatno ravnino
.

Obravnavani odseki omogočajo upodobitev dvolistnega hiperboloida kot površine, sestavljene iz dveh ločenih "votlin", od katerih ima vsaka videz konveksne sklede.

Količine ,,imenujemo pol osi dvolistnega hiperboloida.

- (grško, od hyperbole hiperbola in eidos podobnost). Odprta ukrivljena površina 2. reda, ki je posledica rotacije hiperbole. Slovar tuje besede, vključeno v ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. HIPERBOLOID grščina, iz hiperbole, ... ... Slovar tujih besed ruskega jezika

hiperboloid- a, m. hyperboloïde m. mat. Odprta površina, ki nastane z vrtenjem hiperbole okoli ene od njenih osi. BAS 2. Hiperboloid inženirja Garina. Lex. Jan. 1803: hiperboloid; SAN 1847: hiperbolični/d: BAS 1954: hiperbolični/id... Zgodovinski slovar Galicizmi ruskega jezika

HIPERBOLOID, hiperboloid, moški. (mat.). Površina, ki nastane z vrtenjem hiperbole (v 1 vrednosti). Ushakovov razlagalni slovar. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Razlagalni slovar Ušakova

Samostalnik, število sinonimov: 2 konoid (4) površina (32) Slovar sinonimov ASIS. V.N. Trishin. 2013… Slovar sinonimov

Hiperboloid- Enolistni hiperboloid. HIPERBOLOID (iz hiperbola in grško eidos pogled), površina, ki jo dobimo z vrtenjem hiperbole okoli ene od simetrijskih osi. V enem primeru nastane dvolistni hiperboloid, v drugem pa enolistni ... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

hiperboloid- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. hiperboloid vok. Hiperboloid, m rus. hiperboloid, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (mat.) Pod tem imenom poznamo dve vrsti površin drugega reda. 1) Enospolna geometrijska struktura, vezana na simetrijske osi, ima enačbo x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Enospolna geometrijska struktura je linijasta ploskev in na njej sta dva sistema... . .. Enciklopedični slovar F. Brockhaus in I.A. Efron

M. Odprta površina, ki nastane z vrtenjem hiperbole [hiperbola II] okoli ene od njenih osi (v geometriji). Efraimov razlagalni slovar. T. F. Efremova. 2000 ... Moderno razlagalni slovar Ruski jezik Efremova

Hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi (Vir: "Popolna poudarjena paradigma po A. A. Zaliznyaku") ... Oblike besed

Nezaprta sredinska površina drugega reda. Obstajata dve vrsti plina: enoplastni plin in dvoplastni plin. V pravilnem koordinatnem sistemu (glej sliko) ima enačba enoplastnega plina obliko: in dvoplastnega plina: Številke. a, b in c (in segmenti, kot je ... ... Matematična enciklopedija

knjige

• , Aleksej Tolstoj. Knjiga vključuje znanstvenofantastične romane A. N. Tolstoja, nastale v 20. letih prejšnjega stoletja...
• Hiperboloid inženirja Garina. Aelita, Aleksej Tolstoj. Roman "Hiperboloid inženirja Garina" in povest "Aelita" sta zaznamovala začetek sovjetske znanstvenofantastične literature. Razlikujejo se po tem, da so fantastične teme podane v kombinaciji z...