Enolistni hiperboloid, njegova kanonična enačba; premočrtni generatorji. Enolistni hiperboloid revolucije

okoli osi, ki jo seka (okrog realne osi).

D Za prehod iz enačbe premice (43) v enačbo vrtilne površine zamenjamo X na
, dobimo enačbo vrtilnega hiperboloida dveh listov

.

Kot rezultat stiskanja te površine dobimo površino, podano z enačbo

. (44)

Površino, ki ima v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu enačbo oblike (44), imenujemo dvolistni hiperboloid. Dve veji hiperbole tukaj ustrezata dvema nepovezanima deloma (»votlinama«) površine, medtem ko pri konstruiranju enolistnega vrtilnega hiperboloida vsaka veja hiperbole opisuje celotno površino (slika 60).

Asimptotični stožec za dvolistni hiperboloid določimo na enak način kot za enolistni hiperboloid (slika 61).

Oglejmo si zdaj presečišča dvolistnega hiperboloida (44) z ravninami, ki so vzporedne s koordinatnimi.

Letalo z = h pri | h| < c seka površino (44) vzdolž namišljenih elips, z | h| > c po resničnih. če A = b, potem so te elipse krogi, hiperboloid pa je hiperboloid revolucije. Ko | h| = c dobimo

,

tj. par konjugiranih premic z eno realno točko (0; 0; z) (ali (0; 0; – z) oziroma).

Letala x= α in l= β sekajo hiperboloid (44) po hiperbolah

in
.

8. eliptični paraboloid

Pri vrtenju parabole x 2 = 2pz okoli svoje simetrijske osi dobimo površino z enačbo

x 2 + l 2 = 2pz,

n klical paraboloid revolucije. Stiskanje v ravnino pri= 0 pretvori paraboloid revolucije v ploskev z enačbo

. (45)

Površina, ki ima tako enačbo v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu, se imenuje eliptični paraboloid.

Videz eliptičnega paraboloida je razviden iz metode njegove konstrukcije. Vse se nahaja na eni strani letala z= 0, v polprostoru z > 0 (slika 62). Prerezi po ravninah z = h, h> 0 imajo enačbo:

in so elipse.

Prerezi eliptičnega paraboloida (45) z ravninami pri= 0 in X= 0 so parabole

x 2 = 2a 2 z, l = 0; (46)

l 2 = 2b 2 z, x = 0. (47)

Te parabole se imenujejo glavne parabole eliptični paraboloid, parabolo (46) pa bomo običajno imenovali nepremično, in parabola (47) – mobilni.

Naslednjo zelo jasno konstrukcijo eliptičnega paraboloida lahko podamo z drsenjem ene parabole vzdolž druge (predpostavimo, da je koordinatni sistem pravokoten).

Vzemimo prerez paraboloida (45) z ravnino x= α, dobimo v tej ravnini, ki vsebuje koordinatni sistem O 0 e 2 e 3 kje O 0 = (α, 0, 0), krivulja, katere enačba bo

, x = α

l 2 = 2b 2 (z – γ), x= α, (48)

kje
.

Gremo na letalo x= α iz koordinatnega sistema Oe 2 e 3 v koordinatni sistem O′ e 2 e 3 kje O′ = (α, 0, γ) je presečišče ravnine x= α s fiksno parabolo x 2 = 2a 2 z, l = 0.

S premikanjem izvora sistema O 0 e 2 e 3 do točke O′, izvedel naslednjo transformacijo koordinat:

l = l′, z = z′ + γ.

Kot rezultat te transformacije ima enačba (48) obliko:

l′ 2 = 2 pz′, x = α.

Krivulja (48) je enaka "gibljiva" parabola, le da je vzporedna sama s seboj prenesena v ravnino x= α. Ta prenos je mogoče izvesti na naslednji način. Oglišče gibljive parabole drsi vzdolž nepremične parabole iz točke O do točke O′, sama parabola pa se giblje kot togo telo in ves čas ostaja v ravnini, ki je vzporedna z ravnino yOz.

Ta rezultat je mogoče formulirati kot naslednjo izjavo.

Eliptični paraboloid je ploskev, ki jo opisuje gibanje ene (»gibljive«) parabole (47) vzdolž druge, nepremične (46), tako da vrh gibljive parabole drsi po nepremični, ravnina in os pa gibljivi paraboli ostaneta ves čas vzporedni sami s seboj, pri čemer se predpostavlja, da sta obe paraboli (gibljiva in mirujoča) konkavno usmerjeni v isto smer (in sicer v pozitivna stran sekire Oz).

Upoštevajte, da eliptični paraboloid nima premočrtnih generatorjev. Dejansko ravna črta, vzporedna z ravnino xOy, lahko seka samo odsek paraboloida z določeno ravnino z = h, in ta odsek je, kot smo že omenili, elipsa. To pomeni, da premica nima več kot dve skupni točki s paraboloidom.

Če premica ni vzporedna z ravnino xOy, potem njena polpremica leži v polprostoru z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. hiperbolični paraboloid

Po analogiji z enačbo (45) lahko zapišemo enačbo

. (49)

Površino, ki ima v nekem koordinatnem sistemu enačbo oblike (49), bomo imenovali hiperbolični paraboloid.

Oglejmo si videz hiperboličnega paraboloida s prerezi (slika 63). Ravninski odsek z = h je hiperbola, ki ima v tej ravnini enačbo:

oz
.

Za velike vrednosti h polos hiperbole
in
so velike in se z zmanjševanjem zmanjšujejo h. V tem primeru je os hiperbole, ki jo seka, vzporedna z vektorjem e 1 .

pri h= 0 se hiperbola degenerira v par sekajočih se premic

=>

,
.

če h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 2. Osi rastejo z naraščanjem | h|. Razmerje polose za vse hiperbole z enakim predznakom h eno in isto. Če torej narišemo vse odseke hiperboličnega paraboloida na isto ravnino, dobimo družino vseh hiperbol, ki imajo kot asimptote par sekajočih se premic z enačbami

,
.

Prerezi hiperboličnega paraboloida z ravninami pri= 0 in X= 0 sta dve "glavni paraboli":

x 2 = 2a 2 z, l = 0 (50)

je fiksna parabola in

l 2 = –2b 2 z, x = 0 (51)

– premična parabola.

Te parabole so konkavne v nasprotnih smereh: mirujoča je "gor" (tj. v pozitivni smeri osi Oz), premični pa je "dol" (tj. v negativni smeri osi Oz). Ravninski odsek x= α ima v koordinatnem sistemu O 0 e 2 e 3 kje O 0 = (α, 0, 0), enačba

, x = α

l 2 = –2b 2 (z – z 0), x= α, (52)

kje
.

Po premiku izhodišča koordinat na točko O′ = (α, 0, z 0), bo enačba (51) imela obliko:

l′ 2 = –2 b 2 z′, x = α,

kje l = l′, z = z′ + z 0 . Zadnja enačba kaže, da je krivulja (52) enaka gibljiva parabola (51), le premaknjena vzporedno sama s seboj, ko njeno oglišče drsi vzdolž nepremične parabole od točke O V O′.

Iz tega izhaja naslednja trditev. Hiperbolični paraboloid, definiran (v pravokotnem koordinatnem sistemu) z enačbo (49), je površina, ki jo opisuje parabola l 2 = –2b 2 z, X= 0, ko se giblje po mirujoči paraboli (50) tako, da vrh gibljive parabole drsi po mirujoči paraboli, ravnina in os gibljive parabole pa ostaneta ves čas vzporedni sami s seboj, medtem ko obe paraboli s svojo konkavnostjo vedno obrnjeni v nasprotnih smereh: mirujoči s svojo konkavnostjo "navzgor", to je v pozitivni smeri osi O z, gibljiva pa je »dol«.

Iz te konstrukcije je razvidno, da ima hiperbolični paraboloid obliko sedla.

Hiperbolični paraboloid ima tako kot enolistni hiperboloid dve družini premočrtnih generatorjev (slika 64). Skozi vsako točko hiperboličnega paraboloida potekata dve premici, ki vse ležita na tej ravnini.

Poiščimo enačbe premočrtnih generatorjev. Prepišimo enačbo (49) v obliki

.

Razmislite o ravni črti, definirani kot presečišče dveh ravnin

(53)

Očitno je, da vsaka točka, ki izpolnjuje enačbe (53), izpolnjuje tudi enačbo (49), ki je produkt enačb (53)

.

To pomeni, da vsaka točka premice (53) pripada hiperboličnemu paraboloidu (49).

Ravna črta se obravnava podobno

Tudi premica (54) z vsemi točkami leži na hiperboličnem paraboloidu.

PRILOGA 2

ENOJAMSKI HIPERBOLOID ROTACIJE

(kratka informacija)

Če je gibanje tvorne črte vrtenje okoli neke fiksne ravne črte (osi), potem se površina, ki nastane v tem primeru, imenuje vrtilna površina. Ustvarjalna črta je lahko ravna ali prostorska krivulja, pa tudi ravna črta.

Vsaka točka nastajajoče premice pri vrtenju okoli osi opisuje krog, ki leži v ravnini, pravokotni na os vrtenja. Te kroge imenujemo vzporednice. Posledično ravnine, pravokotne na os, sekajo vrtilno površino vzdolž vzporednic. Črta presečišča rotacijske površine z ravnino, ki poteka skozi os, se imenuje poldnevnik. Vsi meridiani vrtilne površine so skladni.

Množica vseh vzporednikov ali meridianov predstavlja neprekinjen okvir vrtilne površine. Skozi vsako točko na površju poteka en vzporednik in en poldnevnik. Projekcije točke se nahajajo na ustreznih projekcijah vzporednika ali poldnevnika. Nastavite lahko točko na površini ali sestavite drugo projekcijo točke, če je podana, z uporabo vzporednika ali poldnevnika, ki poteka skozi to točko. Geometrijski del determinante vrtilne ploskve sestavljata vrtilna os in generatrisa.

Površine, ki nastanejo z vrtenjem premice:

1. - rotacijski valj nastane z vrtenjem ravne črte, vzporedne z osjo;

2. - stožec vrtenja nastane z vrtenjem premice, ki seka os;

3. - enojna votlina hiperboloid revolucije nastane z vrtenjem ravne črte, ki prečka os;

Vzporednice ploskve so krogi.

Poldnevnik površja je hiperbola.

Vse naštete krožne ploskve so ploskve drugega reda.

Površine, oblikovane z vrtenjem krivulj drugega reda okoli svojih osi

1. Krogla nastane z vrtenjem kroga okoli njenega premera.

2. Vrtilni elipsoid nastane z vrtenjem elipse okoli velike ali male osi.

3. Paraboloid revolucije nastane z vrtenjem parabole okoli svoje osi.

4. Enolistni vrtilni hiperboloid nastane z vrtenjem hiperbole okoli njene namišljene osi (ta ploskev nastane tudi z vrtenjem premice: korak a-1).

Enolistni hiperboloid je površina kanonična enačba ki ima obliko:

kjer so a, b, c pozitivna števila.

Ima tri simetrijske ravnine, tri simetrijske osi in simetrično središče. To so koordinatne ravnine, koordinatne osi in izhodišče koordinat. Za konstrukcijo hiperboloida najdemo njegove odseke z različnimi ravninami. Poiščimo presečišče z ravnino xOy. Na tej ravnini je z = 0, torej

Ta enačba na ravnini xOy določa elipso s polosema a in b (slika 1). Poiščimo presečišče z ravnino yOz. Na tej ravnini je x = 0, torej

To je enačba hiperbole v ravnini yOz, kjer je realna polos b, namišljena polos pa c. Sestavimo to hiperbolo.

Presek z ravnino xOz je tudi hiperbola z enačbo

Narisali bomo tudi to hiperbolo, a da ne bomo risbe preobremenili z dodatnimi črtami, ne bomo prikazali njenih asimptot in odstranili asimptote v odseku z ravnino yOz.

Poiščimo presečišča ploskve z ravninami z = ± h, h > 0.

riž. 1. Prerez enolistnega hiperboloida

Enačbe teh črt so:

Pretvorimo prvo enačbo v obliko

Ta enačba je enačba elipse, ki je podobna elipsi v ravnini xOy, s koeficientom podobnosti in polosema a 1 in b 1 . Narišimo nastale odseke (slika 2).

riž. 2. Slika enolistnega hiperboloida z uporabo odsekov

Enolistni vrtilni hiperboloid lahko dobimo z vrtenjem premice, ki seka namišljeno os, okoli katere se premica vrti. V tem primeru dobimo prostorski lik (slika 3), katerega ploskev je sestavljena iz zaporednih položajev premice med vrtenjem.

riž. 3. Enolistni vrtilni hiperboloid, dobljen z vrtenjem premice, ki prečka vrtilno os

Poldnevnik take površine je hiperbola. Prostor znotraj te rotacijske figure bo resničen, zunaj pa namišljen. Ravnina, ki je pravokotna na imaginarno os in seka enolistni hiperboloid na njegovem najmanjšem preseku, se imenuje goriščna ravnina.

Očesu znana slika enolistnega hiperboloida je prikazana na sl. 6.4.

Če je v enačbi a=b, so prerezi hiperboloida z ravninami, vzporednimi z ravnino xOy, krožnice. V tem primeru se površina imenuje enolistni vrtilni hiperboloid in jo lahko dobimo z vrtenjem hiperbole, ki leži v ravnini yOz okoli osi Oz (slika 4).

riž. 4. Enolistni hiperboloid revolucije,

- (grško, od hyperbole hiperbola in eidos podobnost). Odprta ukrivljena površina 2. reda, ki je posledica rotacije hiperbole. Slovar tuje besede, vključeno v ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. HIPERBOLOID grščina, iz hiperbole, ... ... Slovar tujih besed ruskega jezika

hiperboloid- a, m. hyperboloïde m. mat. Odprta površina, ki nastane z vrtenjem hiperbole okoli ene od njenih osi. BAS 2. Hiperboloid inženirja Garina. Lex. Jan. 1803: hiperboloid; SAN 1847: hiperbolični/d: BAS 1954: hiperbolični/id... Zgodovinski slovar Galicizmi ruskega jezika

HIPERBOLOID, hiperboloid, moški. (mat.). Površina, ki nastane z vrtenjem hiperbole (v 1 vrednosti). Ushakovov razlagalni slovar. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Razlagalni slovar Ušakova

Samostalnik, število sinonimov: 2 konoid (4) površina (32) Slovar sinonimov ASIS. V.N. Trishin. 2013… Slovar sinonimov

Hiperboloid- Enolistni hiperboloid. HIPERBOLOID (iz hiperbola in grško eidos pogled), površina, ki jo dobimo z vrtenjem hiperbole okoli ene od simetrijskih osi. V enem primeru nastane dvolistni hiperboloid, v drugem pa enolistni ... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

hiperboloid- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. hiperboloid vok. Hiperboloid, m rus. hiperboloid, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (mat.) Pod tem imenom poznamo dve vrsti površin drugega reda. 1) Homoseksualne geometrije, povezane s simetričnimi osemi, imajo enačbo x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Enospolne geometrije so linijska ploskev in na njej sta dva sistema... Enciklopedični slovar F. Brockhaus in I.A. Ephron

M. Odprta površina, ki nastane z vrtenjem hiperbole [hiperbola II] okoli ene od njenih osi (v geometriji). Efraimov razlagalni slovar. T. F. Efremova. 2000 ... Moderno razlagalni slovar Ruski jezik Efremova

Hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi, hiperboloid, hiperboloidi (Vir: "Popolna poudarjena paradigma po A. A. Zaliznyaku") ... Oblike besed

Nezaprta sredinska površina drugega reda. Obstajata dve vrsti plina: enoplastni plin in dvoplastni plin. V pravilnem koordinatnem sistemu (glej sliko) ima enačba enoplastnega plina obliko: in dvoplastnega plina: Števila a, b in c (in segmenti, kot so ... ... Matematična enciklopedija

knjige

• , Aleksej Tolstoj. Knjiga vključuje znanstvenofantastične romane A. N. Tolstoja, nastale v 20. letih prejšnjega stoletja...
• Hiperboloid inženirja Garina. Aelita, Aleksej Tolstoj. Roman "Hiperboloid inženirja Garina" in povest "Aelita" sta zaznamovala začetek sovjetske znanstvenofantastične literature. Razlikujejo se po tem, da so fantastične teme podane v kombinaciji z...

In nekaj črte, ki poteka skozi izvor. Če se hiperbola začne vrteti okoli te osi, se pojavi votlo vrtilno telo, ki bo hiperboloid. Obstajata dve vrsti hiperboloidov: enolistni in dvolistni. Enolistni hiperboloid je podan z enačbo v obliki: x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1 Če upoštevamo to prostorsko figuro glede na Oxz in Oyz ravnine, lahko vidimo, da so njegovi odseki hiperbole. Vendar pa je odsek enolistnega hiperboloida z ravnino Oxy elipsa. Najmanjša elipsa hiperboloida se imenuje grlena elipsa. V tem primeru je z=0 in elipsa poteka skozi izhodišče. Enačba grla pri z=0 je zapisana takole: x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Preostale elipse imajo naslednjo obliko: x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, kjer je h višina enolistnega hiperboloida.

Hiperboloid začnite sestavljati tako, da upodabljate hiperbolo v ravnini Xoz. Nariši realno pol-os, ki sovpada z osjo y, in namišljeno pol-os, ki sovpada z osjo z. Konstruirajte hiperbolo in nato določite neko višino h hiperboloida. Nato na ravni dane višine narišite ravne črte, ki so vzporedne z Ox in sekajo graf hiperbole v spodnji in zgornji točki, nato pa na enak način v ravnini Oyz zgradite hiperbolo, kjer je b realna polos, ki poteka skozi os y, c pa je namišljena polos, ki prav tako sovpada s c c. Konstruirajte paralelogram v ravnini Oxy, ki ga dobimo tako, da povežemo točke grafov hiperbol. Nariši elipso grla tako, da bo včrtana v ta paralelogram. Na enak način sestavite preostale elipse. Rezultat bo rotacijsko telo - enolistni hiperboloid, prikazan na sliki 1

Dvolistni hiperboloid je dobil svojo pot zaradi dveh različnih ploskev, ki ju tvori os Oz. Enačba takega hiperboloida ima naslednjo obliko: x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Dve votlini dobimo s konstruiranjem hiperbole v ravninah Oxz in Oyz . Dvolistni hiperboloid ima odseke, ki so elipse: x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Tako kot v primeru enolistnega hiperboloida, zgradite hiperbole v ravninah Oxz in Oyz, ki bosta postavljeni, kot je prikazano v 2. Konstruirajte paralelograme na dnu in na vrhu, da sestavite elipse. Po konstruiranju elips odstranimo vse konstrukcije in nato narišemo dvolistni hiperboloid.

Enojni pas hiperboloid predstavlja figuro vrtenja. Če ga želite zgraditi, morate slediti določeni metodologiji. Najprej se narišejo polose, nato hiperbole in elipse. Kombinacija vseh teh elementov bo pripomogla k ustvarjanju same prostorske figure.

Potrebovali boste

• - svinčnik,
• - papir,
• - matematični priročnik.

Navodila

Nariši hiperbolo v Xoz. Če želite to narediti, narišite dve pol-osi, ki sovpadata z osjo y (resnična pol-os) in z-osjo (namišljena pol-os). Na njihovi podlagi sestavi hiperbolo. Po tem nastavite določeno višino h a. Na koncu na ravni te danosti nariši ravne črte, ki bodo vzporedne z Ox in sekajo graf hiperbole na dva načina: spodaj in zgoraj.

Pri konstruiranju preostalih elips ponovite zgornje korake. Končno bo oblikovana risba z eno votlino hiperboloid A.

Enojna votlina hiperboloid opisano s sliko

Enolistni hiperboloid. Površina, določena z enačbo

imenujemo enolistni hiperboloid. Ta površina ima tri simetrijske ravnine - koordinatne ravnine, saj sta trenutni koordinati y in z vključeni v enačbo (55) v sodih potencah.

Če enolistni hiperboloid presekamo z ravnino, dobimo hiperbolo ABCD, ki leži v ravnini (slika 97)

Podobno v prerezu enolistnega hiperboloida z ravnino dobimo hiperbolo EFGH

v letalu

Ko enolistni hiperboloid preseka ravnina, je rezultat elipsa BFCG, katere enačbe imajo obliko:

Polose te elipse naraščajo z naraščajočo absolutno vrednostjo h.

Ko dobiš elipso, ki leži v ravnini in ima najmanjši polosi a in b. Ko dobimo enolistni hiperboloid revolucije

Ko ga ravnine sekajo, dobimo kroge

V odstavkih 2 in 3 so bile obravnavane cilindrične in stožčaste ploskve, od katerih je vsaka sestavljena iz ravnih črt. Izkazalo se je, da lahko enolistni hiperboloid obravnavamo tudi kot površino, sestavljeno iz ravnih črt. Razmislite o ravni črti, določeni z enačbami

kjer so a, b in c pol-osi enolistnega hiperboloida, k pa je poljubno izbrano število

Če pomnožimo te enačbe člen za členom, dobimo enačbo

tj. enačba enolistnega hiperboloida.

Tako je enačba enolistnega hiperboloida posledica sistema enačb (59). Zato koordinate katere koli točke, ki zadošča sistemu enačb (59), zadoščajo tudi enačbi (55) enolistnega hiperboloida. Z drugimi besedami, vse točke premice (59) pripadajo hiperboloidu (55). S spreminjanjem vrednosti k dobimo celotno družino črt, ki ležijo na površini (55). Podobno se lahko pokaže, da enolistni hiperboloid vsebuje vse neposredne družine

kjer je poljuben parameter.

Lahko tudi pokažemo, da skozi vsako točko enolistnega hiperboloida poteka po ena premica iz vsake od navedenih družin. Tako lahko enolistni hiperboloid obravnavamo kot površino, sestavljeno iz ravnih črt (slika 98). Te črte imenujemo premočrtni generatorji enolistnega hiperboloida.

Sposobnost sestavljanja površine enolistnega hiperboloida iz ravnih črt se uporablja v gradbeni tehnologiji.

Tako je bil na primer po zasnovi, ki jo je predlagal inženir V. G. Shukhov, v Moskvi zgrajen radijski jambor z uporabo žarkov, ki se nahajajo vzdolž pravokotnih generatric hiperboloida z eno votlino.

Dvolistni hiperboloid. Površina, določena z enačbo

imenujemo dvolistni hiperboloid.

Koordinatne ravnine so simetrijske ravnine za dvolistni hiperboloid.

Če to površino presekamo s koordinatnimi ravninami, dobimo hiperbole