Slika prikazuje graf antiizpeljave

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

Pokaži rešitev

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega trapeza krivulje. z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=9 in x=5.

Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3. Njegova površina je enaka

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Odgovori

Pokaži rešitev

rešitev

Slika prikazuje graf funkcije y=F(x) - enega od antiodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Glede na definicijo antiizpeljave velja enakost: F"(x)=f(x). Zato lahko enačbo f(x)=0 zapišemo kot F"(x)=0.

Pokaži rešitev

rešitev

Ker slika prikazuje graf funkcije y=F(x), moramo te točke najti v intervalu [-3; 4], kjer je odvod funkcije F(x) enak nič. Iz slike je razvidno, da bodo to abscise skrajnih točk (maksimuma ali minimuma) grafa F(x).

Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3. V navedenem intervalu jih je natanko 7 (štiri minimalne točke in tri maksimalne točke).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=F(x) - enega od antiodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-5; 4).

Pokaži rešitev

rešitev

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f (x) = 0 na odseku (-3; 3].

Glede na definicijo antiizpeljave velja enakost: F"(x)=f(x). Zato lahko enačbo f(x)=0 zapišemo kot F"(x)=0.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Ker slika prikazuje graf funkcije y=F(x), moramo te točke najti v intervalu [-3; 3], kjer je odvod funkcije F(x) enak nič.

Iz slike je razvidno, da bodo to abscise skrajnih točk (maksimuma ali minimuma) grafa F(x).

Pokaži rešitev

rešitev

V navedenem intervalu jih je natanko 5 (dve minimalni točki in tri maksimalne točke). Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=-x^3+4,5x^2-7 je ena od antiizpeljank funkcije f(x). Poiščite območje zasenčene figure. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Osenčena figura je krivočrtni trapez, ki je od zgoraj omejen z grafom funkcije y=f(x), ravnimi črtami y=0, x=1 in x=3.

Po Newton-Leibnizovi formuli je njegova ploščina S enaka razliki F(3)-F(1), kjer je F(x) antiodvod funkcije f(x), podane v pogoju. zato S=

F(3)-F(1)=

-3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)=

Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x).

Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 je eden od antiodvodov funkcije f(x).

Poiščite območje zasenčene figure.

Pozdravljeni prijatelji! V tem članku si bomo ogledali naloge za antiizpeljave. Te naloge so vključene v enotni državni izpit iz matematike. Kljub dejstvu, da so sami razdelki - diferenciacija in integracija - v tečaju algebre precej obsežni in zahtevajo odgovoren pristop k razumevanju, pa same naloge, ki so vključene vodprta banka

Enostavno je. Ugotoviti moramo, koliko točk je na tem grafu, v katerih je F′(x) = 0. Vemo, da je v tistih točkah, kjer je tangenta na graf funkcije vzporedna z osjo x. Pokažimo te točke na intervalu [–2;4]:

To so ekstremne točke dane funkcije F (x). Teh je deset.

Odgovor: 10

323078. Slika prikazuje graf določene funkcije y = f (x) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunajte F (8) – F (2), kjer je F (x) eden od antiodvodov funkcije f (x).

Ponovno zapišimo Newton–Leibnizov izrek:Naj bo f to funkcijo, F je njegova poljubna antiizpeljava. Potem

In to je, kot že rečeno, območje podgrafa funkcije.

Tako se problem zmanjša na iskanje območja trapeza (interval od 2 do 8):

Ni ga težko izračunati po celicah. Dobimo 7. Predznak je pozitiven, saj se lik nahaja nad osjo x (oziroma v pozitivni polravnini osi y).

Tudi v tem primeru bi lahko rekli takole: razlika v vrednostih antiizpeljank v točkah je površina slike.

Odgovor: 7

323079. Slika prikazuje graf določene funkcije y = f (x). Funkcija F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 je eden od antiodvodov funkcije y = f (x). Poiščite območje zasenčene figure.

Kot je bilo že rečeno o geometrijskem pomenu integrala, je to območje figure, omejeno z grafom funkcije f (x), ravnima črtama x = a in x = b ter osjo vola.

Izrek (Newton–Leibniz):

Tako se naloga zmanjša na izračun določenega integrala dane funkcije na intervalu od –11 do –9, ali z drugimi besedami, najti moramo razliko v vrednostih protiodvodov, izračunanih na navedenih točkah:

Odgovor: 6

323080. Slika prikazuje graf neke funkcije y = f (x).

Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 je eden od praodvodov funkcije f (x). Poiščite območje zasenčene figure.

Izrek (Newton–Leibniz):

Težava se zmanjša na izračun določenega integrala dane funkcije v intervalu od –10 do –8:

Odgovor: 4 lahko pogledaš .

Izvodi in pravila diferenciacije so tudi v . Treba jih je poznati, ne samo za reševanje takih nalog.

Lahko tudi pogledaš osnovne informacije na spletni strani in.

Oglejte si kratek video, to je izsek iz filma "The Blind Side". Lahko rečemo, da je to film o vzgoji, o usmiljenju, o pomenu domnevno “naključnih” srečanj v naših življenjih... Ampak te besede ne bodo dovolj, ogled samega filma priporočam, toplo priporočam.

Vso srečo!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Premica y=3x+2 je tangenta na graf funkcije y=-12x^2+bx-10.

Pokaži rešitev

rešitev

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10, skozi katero poteka tangenta na ta graf. Vrednost odvoda v točki x_0 je enaka naklonu tangente, to je y"(x_0)=-24x_0+b=3. Po drugi strani pa točka tangente pripada obema grafoma funkcijo in tangento, to je -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Dobimo sistem enačb

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \konec(primeri)

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

Pokaži rešitev

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega trapeza krivulje. z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=9 in x=5.

Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3. Njegova površina je enaka

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Pogoj

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Pokaži rešitev

rešitev

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Pogoj

Kot je znano, funkcija f(x) pada na tistih intervalih, v vsaki točki katerih je odvod f"(x) manjši od nič. Glede na to, da je treba najti dolžino največjega od njih, so trije takšni intervali naravno ločeno od slike: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Pokaži rešitev

rešitev

Dolžina največjega od njih - (5; 9) je 4.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Pogoj

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-8; 7). Poiščite največje število točk funkcije f(x), ki pripadajo interval [-6].

Pokaži rešitev

rešitev

Graf kaže, da odvod f"(x) funkcije f(x) spremeni predznak iz plusa v minus (v takšnih točkah bo maksimum) točno v eni točki (med -5 in -4) iz intervala [ -6 ] Torej obstaja natanko ena maksimalna točka v intervalu [-6].

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8).

Pokaži rešitev

rešitev

Kotni koeficient premice na grafu funkcije y=-x^2+5x-7 v poljubni točki x_0 je enak y"(x_0). Toda y"=-2x+5, kar pomeni y" (x_0)=-2x_0+5 Kotni koeficient premice y=-3x+4, ki je naveden v pogoju, je enak -3 -2x_0 +5=-3.

Dobimo: x_0 = 4.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), na abscisi pa so označene točke -6, -1, 1, 4. V kateri od teh točk je odvod najmanjši? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

51. Slika prikazuje graf y=f "(x)- odvod funkcije f(x), definirana na intervalu (− 4; 6). Poiščite absciso točke, v kateri je tangenta na graf funkcije y=f(x) vzporedno s premico y=3x ali sovpada z njim.

Odgovor: 5

52. Slika prikazuje graf y=F(x) f(x) f(x) pozitivno?

Odgovor: 7

53. Slika prikazuje graf y=F(x) eden od antiizpeljank neke funkcije f(x) in osem točk je označenih na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Na koliko od teh točk je funkcija f(x) negativno?

Odgovor: 3

54. Slika prikazuje graf y=F(x) eden od antiizpeljank neke funkcije f(x) in deset točk je označenih na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Na koliko od teh točk je funkcija f(x) pozitivno?

Odgovor: 6

55. Slika prikazuje graf y=F(x f(x), definirana na intervalu (− 7; 5). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na segmentu [− 5; 

Odgovor: 3

2]. y=F(x) 56. Slika prikazuje graf eden od antiizpeljank neke funkcije f(x), definirana na intervalu (− 8; 7). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=

0 na intervalu [− 5; 

5]. Odgovor: 4(57. Slika prikazuje graf y=F x(57. Slika prikazuje graf) eden od antiizpeljank neke funkcije f (57. Slika prikazuje graf), definirana na intervalu (1;13). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe

0 na intervalu [− 5; 

f )=0 na segmentu . 58. Slika prikazuje graf določene funkcije y=f(x)(dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj F(−1)−F(−8), kje

F(x)

f(x). y=f(x Odgovor: 20 59. Slika prikazuje graf določene funkcije) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj F(−1)−F(−8), F(−1)−F(−9), kje

kje

- ena od primitivnih funkcij y=f(x Odgovor: 24

-60. Slika prikazuje graf določene funkcije kje). funkcija.

Odgovor: 6

ena izmed primitivnih funkcij Poiščite območje zasenčene figure 61. Slika prikazuje graf določene funkcije

y=f(x). kje funkcija

Ena izmed primitivnih funkcij

Poiščite območje zasenčene figure.

Odgovor: 14.5

vzporedna s tangento na graf funkcije

Odgovor: 0,5

je tangenta na graf funkcije

Najdi c.

F(x)

je tangenta na graf funkcije

Najdi a.

Odgovor: 0,125

je tangenta na graf funkcije

Najdi b, ob upoštevanju, da je abscisa tangentne točke večja od 0.

Odgovor: -33

67. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj 57. Slika prikazuje graf t- čas v sekundah, merjen od trenutka, ko se je gibanje začelo. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 96 m/s?

Odgovor: 18

68. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj 57. Slika prikazuje graf- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od trenutka, ko se je gibanje začelo. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 48 m/s?

Odgovor: 9

69. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj 57. Slika prikazuje graf t t=6 z.

F(x)

70. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj 57. Slika prikazuje graf- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v m/s) v trenutku t=3 z.

Odgovor: 59

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Vsebina

Vsebinski elementi

Odvod, tangens, protiodvod, grafi funkcij in odvodi.

Izpeljanka Naj bo funkcija \(f(x)\) definirana v neki okolici točke \(x_0\).

Odvod funkcije \(f\) v točki \(x_0\) imenovana meja

\(f"(x_0)=\lim_(x\desna puščica x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

če ta meja obstaja.

Odvod funkcije v točki označuje hitrost spremembe te funkcije v dani točki.

Tabela izvedenih finančnih instrumentov

funkcija	Izpeljanka
\(konst\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Pravila razlikovanja\(f\) in \(g\) sta funkciji, odvisni od spremenljivke \(x\); \(c\) je število.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\levo(\dfrac(f)(g)\desno)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - odvod kompleksne funkcije

Geometrijski pomen izpeljanke Enačba premice- ni vzporeden z osjo \(Oy\) lahko zapišemo v obliki \(y=kx+b\). Koeficient \(k\) v tej enačbi se imenuje naklon ravne črte. Je enak tangenti naklonski kot ta ravna črta.

Ravni kot- kot med pozitivno smerjo osi \(Ox\) in to premico, merjen v smeri pozitivnih kotov (to je v smeri najmanjše rotacije od osi \(Ox\) do \ (Oy\) os).

Odvod funkcije \(f(x)\) v točki \(x_0\) je enak naklonu tangente na graf funkcije v tej točki: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Če je \(f"(x_0)=0\), potem je tangenta na graf funkcije \(f(x)\) v točki \(x_0\) vzporedna z osjo \(Ox\).

Tangentna enačba

Enačba tangente na graf funkcije \(f(x)\) v točki \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonost funkcijeČe je odvod funkcije pozitiven na vseh točkah intervala, potem funkcija na tem intervalu narašča.

Če je odvod funkcije negativen v vseh točkah intervala, potem funkcija pada na tem intervalu.

Minimum, maksimum in prevojne točke pozitivno na negativno na tej točki je \(x_0\) največja točka funkcije \(f\).

Če je funkcija \(f\) zvezna v točki \(x_0\) in se vrednost odvoda te funkcije \(f"\) spreminja z negativno na pozitivno na tej točki je \(x_0\) najmanjša točka funkcije \(f\).

Imenujemo točke, v katerih je odvod \(f"\) enak nič ali ne obstaja kritične točke funkcije \(f\).

Notranje točke domene definicije funkcije \(f(x)\), v kateri so \(f"(x)=0\) lahko minimalne, maksimalne ali prevojne točke.

Fizični pomen izpeljankeČe se materialna točka giblje premočrtno in se njena koordinata spreminja glede na čas po zakonu \(x=x(t)\), potem je hitrost te točke enaka odvodu koordinate glede na čas:

Pospešek materialne točke je enak odvodu hitrosti te točke glede na čas:

\(a(t)=v"(t).\)