Logaritemski izrazi. primeri! Logaritemska enačba: osnovne formule in tehnike

Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.

Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:

Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.

Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.

Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.

Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.

Logaritmi, primeri:

log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8

dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.

log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100

Naravni logaritem- tudi običajni logaritem logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.

Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenačb. Ponovno pregledajmo vsako formulo s primeri.

• Osnovna logaritemska identiteta
  hlod a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma

  Eksponent logaritemskega števila log a b m = mlog a b

  Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  če je m = n, dobimo log a n b n = log a b

  dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3

• Prehod na novo podlago
  log a b = log c b/log c a,

  če je c = b, dobimo log b b = 1

  potem je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne zamudite!

Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.

Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.

Kaj je logaritem?

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja begajo mnoge diplomante. Tradicionalno se tema logaritmov šteje za zapleteno, nerazumljivo in strašljivo. Še posebej enačbe z logaritmi.

To absolutno ni res. Vsekakor! ne verjameš? V redu. Zdaj v samo 10-20 minutah:

1. Razumeli boste kaj je logaritem.

2. Naučite se rešiti cel razred eksponentne enačbe. Tudi če o njih še niste slišali.

3. Naučite se računati preproste logaritme.

Še več, za to boste morali poznati samo tabelo množenja in kako povečati število na potenco ...

Zdi se mi, da dvomite ... No, v redu, označite čas! Gremo!

Najprej reši to enačbo v svoji glavi:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Nadaljujemo s preučevanjem logaritmov. V tem članku bomo govorili o računanje logaritmov, se ta postopek imenuje logaritem. Najprej bomo razumeli izračun logaritmov po definiciji. Nato si poglejmo, kako se vrednosti logaritmov najdejo z uporabo njihovih lastnosti. Po tem se bomo osredotočili na izračun logaritmov skozi prvotno določene vrednosti drugih logaritmov. Na koncu se naučimo uporabljati logaritemske tabele. Celotna teorija je opremljena s primeri s podrobnimi rešitvami.

Navigacija po straneh.

Računanje logaritmov po definiciji

V najpreprostejših primerih je to mogoče izvesti precej hitro in enostavno iskanje logaritma po definiciji. Oglejmo si podrobneje, kako poteka ta proces.

Njegovo bistvo je predstaviti število b v obliki a c, iz katere je po definiciji logaritma število c vrednost logaritma. To pomeni, da po definiciji naslednja veriga enakosti ustreza iskanju logaritma: log a b=log a a c =c.

Torej se izračun logaritma po definiciji zmanjša na iskanje števila c, tako da je a c = b, samo število c pa je želena vrednost logaritma.

Ob upoštevanju informacij iz prejšnjih odstavkov, ko je število pod znakom logaritma podano z določeno potenco osnove logaritma, lahko takoj navedete, čemu je logaritem enak - je enak eksponentu. Pokažimo rešitve na primerih.

Primer.

Poišči log 2 2 −3 in prav tako izračunaj naravni logaritemštevilke e 5.3.

rešitev.

Definicija logaritma nam omogoča, da takoj rečemo, da je log 2 2 −3 =−3. Dejansko je število pod znakom logaritma enako osnovi 2 na potenco −3.

Podobno najdemo drugi logaritem: lne 5,3 =5,3.

odgovor:

log 2 2 −3 =−3 in lne 5,3 =5,3.

Če število b pod znakom za logaritem ni določeno kot potenca osnove logaritma, potem morate skrbno pogledati, ali je možno priti do predstavitve števila b v obliki a c . Pogosto je ta predstavitev povsem očitna, zlasti kadar je število pod znakom logaritma enako osnovi na potenco 1, ali 2, ali 3, ...

Primer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , in .

rešitev.

Preprosto je videti, da je 25=5 2, kar vam omogoča izračun prvega logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pojdimo k izračunu drugega logaritma. Število je mogoče predstaviti kot potenco števila 7: (poglejte, če je potrebno). torej .

Prepišimo tretji logaritem v naslednji obrazec. Zdaj lahko to vidite , iz česar sklepamo, da . Zato po definiciji logaritma .

Rešitev bi lahko na kratko zapisali takole: .

odgovor:

log 5 25=2 , in .

Ko je pod znakom logaritma dovolj velik naravno število, potem ne bi škodilo, če bi ga faktorizirali na prafaktorje. Pogosto pomaga, če tako število predstavimo kot neko potenco osnove logaritma in zato ta logaritem izračunamo po definiciji.

Primer.

Poiščite vrednost logaritma.

rešitev.

Nekatere lastnosti logaritmov vam omogočajo, da takoj določite vrednost logaritmov. Te lastnosti vključujejo lastnost logaritma ena in lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi: log 1 1=log a a 0 =0 in log a a=log a a 1 =1. To pomeni, da je pod znakom logaritma številka 1 ali številka a, ki je enaka osnovi logaritma, potem sta v teh primerih logaritma enaka 0 oziroma 1.

Primer.

Čemu so enaki logaritmi in log10?

rešitev.

Ker , potem iz definicije logaritma sledi .

V drugem primeru se število 10 pod znakom za logaritem ujema s svojo osnovo, zato je decimalni logaritem desetice enak ena, to je lg10=lg10 1 =1.

odgovor:

IN lg10=1 .

Upoštevajte, da izračun logaritmov po definiciji (o katerem smo govorili v prejšnjem odstavku) implicira uporabo enakosti log a a p =p, kar je ena od lastnosti logaritmov.

V praksi, ko je število pod znakom logaritma in osnova logaritma enostavno predstavljeno kot potenca določenega števila, je zelo priročno uporabiti formulo , kar ustreza eni od lastnosti logaritmov. Oglejmo si primer iskanja logaritma, ki ponazarja uporabo te formule.

Primer.

Izračunajte logaritem.

rešitev.

odgovor:

.

Lastnosti logaritmov, ki niso omenjene zgoraj, se uporabljajo tudi pri izračunih, vendar bomo o tem govorili v naslednjih odstavkih.

Iskanje logaritmov preko drugih znanih logaritmov

Informacije v tem odstavku nadaljujejo temo uporabe lastnosti logaritmov pri njihovem izračunu. Toda tukaj je glavna razlika ta, da se lastnosti logaritmov uporabljajo za izražanje prvotnega logaritma v smislu drugega logaritma, katerega vrednost je znana. Za pojasnilo navedimo primer. Recimo, da vemo, da je log 2 3≈1,584963, potem lahko najdemo na primer log 2 6 z majhno transformacijo z uporabo lastnosti logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

V zgornjem primeru je bilo dovolj, da smo uporabili lastnost logaritma produkta. Vendar pa je veliko pogosteje potrebno uporabiti širši arzenal lastnosti logaritmov, da izračunamo prvotni logaritem preko danih.

Primer.

Izračunajte logaritem 27 na osnovo 60, če veste, da je log 60 2=a in log 60 5=b.

rešitev.

Najti moramo torej dnevnik 60 27 . Lahko vidimo, da je 27 = 3 3, prvotni logaritem pa lahko zaradi lastnosti logaritma potence prepišemo kot 3·log 60 3.

Zdaj pa poglejmo, kako izraziti log 60 3 z znanimi logaritmi. Lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi, nam omogoča, da zapisujemo log enakosti 60 60=1. Po drugi strani pa je log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . torej 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. torej log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na koncu izračunamo prvotni logaritem: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ločeno je treba omeniti pomen formule za prehod na novo osnovo logaritma oblike . Omogoča premik od logaritmov s katero koli osnovo do logaritmov z določeno osnovo, katerih vrednosti so znane ali jih je mogoče najti. Običajno se iz prvotnega logaritma s prehodno formulo premaknejo na logaritme v eni od osnov 2, e ali 10, saj za te baze obstajajo tabele logaritmov, ki omogočajo izračun njihovih vrednosti z določeno stopnjo natančnost. V naslednjem odstavku bomo pokazali, kako se to naredi.

Logaritemske tabele in njihova uporaba

Za približen izračun lahko uporabite vrednosti logaritmov logaritemske tabele. Najpogosteje uporabljena tabela logaritmov z bazo 2, tabela naravnih logaritmov in tabela decimalnih logaritmov. Pri delu v decimalnem številskem sistemu je priročno uporabljati tabelo logaritmov, ki temelji na osnovi deset. Z njegovo pomočjo se bomo naučili poiskati vrednosti logaritmov.

Predstavljena tabela vam omogoča, da poiščete vrednosti decimalnih logaritmov števil od 1.000 do 9.999 (s tremi decimalnimi mesti) z natančnostjo ene desettisočinke. Analizirali bomo princip iskanja vrednosti logaritma s pomočjo tabele decimalnih logaritmov v konkreten primer- tako je bolj jasno. Poiščimo log1.256.

V levem stolpcu tabele decimalnih logaritmov najdemo prvi dve števki števila 1,256, torej najdemo 1,2 (to število je zaradi jasnosti obkroženo z modro barvo). Tretja števka števila 1,256 (številka 5) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici levo od dvojne črte (to število je obkroženo z rdečo barvo). Četrta številka prvotnega števila 1.256 (številka 6) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici desno od dvojne črte (to število je obkroženo z zeleno črto). Zdaj najdemo številke v celicah tabele logaritmov na presečišču označene vrstice in označenih stolpcev (te številke so označene oranžna). Vsota označenih števil daje želeno vrednost decimalnega logaritma natančno na četrto decimalno mesto, to je log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ali je mogoče z uporabo zgornje tabele najti vrednosti decimalnih logaritmov števil, ki imajo več kot tri števke za decimalno vejico, pa tudi tistih, ki presegajo obseg od 1 do 9,999? Da, lahko. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.

Izračunajmo lg102,76332. Najprej morate zapisati številko v standardni obliki: 102,76332=1,0276332·10 2. Po tem je treba mantiso zaokrožiti na tretjo decimalno mesto, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medtem ko je prvotni decimalni logaritem približno enak logaritmu dobljenega števila, to pomeni, da vzamemo log102,76332≈lg1,028·10 2. Zdaj uporabimo lastnosti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nazadnje najdemo vrednost logaritma lg1,028 iz tabele decimalnih logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kot rezultat, celoten postopek izračuna logaritma izgleda takole: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na koncu je treba omeniti, da lahko s tabelo decimalnih logaritmov izračunate približno vrednost katerega koli logaritma. Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite formulo prehoda, da greste na decimalne logaritme, poiščete njihove vrednosti v tabeli in izvedete preostale izračune.

Na primer, izračunajmo log 2 3 . Po formuli za prehod na novo osnovo logaritma imamo . Iz tabele decimalnih logaritmov najdemo log3≈0,4771 in log2≈0,3010. torej .

Reference.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Podane so osnovne lastnosti naravnega logaritma, grafa, domene definicije, niza vrednosti, osnovnih formul, odvoda, integrala, potenčne ekspanzije in predstavitev funkcije ln x s kompleksnimi števili.

Opredelitev

Naravni logaritem je funkcija y = v x, inverzna eksponenta, x = e y, in je logaritem osnove števila e: ln x = log e x.

Naravni logaritem se pogosto uporablja v matematiki, ker ima njegov derivat najpreprostejšo obliko: (ln x)′ = 1/ x.

Na podlagi definicije, je osnova naravnega logaritma število e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcije y = v x.

Graf naravnega logaritma (funkcije y = v x) dobimo iz eksponentnega grafa zrcalna slika glede na premico y = x.

Naravni logaritem je definiran za pozitivne vrednosti spremenljivke x.

V svoji definicijski domeni monotono narašča. 0 Pri x →

meja naravnega logaritma je minus neskončnost (-∞).

Ko je x → + ∞, je meja naravnega logaritma plus neskončnost (+ ∞). Pri velikem x logaritem narašča precej počasi. Vsaka potenčna funkcija x a s pozitivnim eksponentom a raste hitreje kot logaritem.

Lastnosti naravnega logaritma

Naravni logaritem je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti naravnega logaritma so predstavljene v tabeli.

ln x vrednosti

V 1 = 0

Osnovne formule za naravne logaritme

Formule, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:

Glavna lastnost logaritmov in njene posledice

Formula za zamenjavo baze

Vsak logaritem je mogoče izraziti z naravnimi logaritmi z uporabo osnovne substitucijske formule:

Dokazi teh formul so predstavljeni v razdelku "Logaritem".

Inverzna funkcija

Obratna vrednost naravnega logaritma je eksponent.

Če, potem

Če, potem.

Izpeljanka ln x

Odvod naravnega logaritma:
.
Odvod naravnega logaritma modula x:
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Integral

Integral izračunamo z integracijo po delih:
.
Torej,

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke z:
.
Izrazimo kompleksno spremenljivko z prek modula r in argument φ :
.
Z uporabo lastnosti logaritma imamo:
.
oz
.
Argument φ ni enolično definiran. Če postavite
, kjer je n celo število,
to bo enako število za različne n.

Zato naravni logaritem kot funkcija kompleksne spremenljivke ni funkcija z eno vrednostjo.

Razširitev potenčnega niza

Ko pride do razširitve:

Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Navodila

Zapišite dano logaritemski izraz. Če izraz uporablja logaritem 10, je njegov zapis skrajšan in izgleda takole: lg b je decimalni logaritem. Če ima logaritem za osnovo število e, potem zapišimo izraz: ln b – naravni logaritem. Razume se, da je rezultat any potenca, na katero je treba dvigniti osnovno število, da dobimo število b.

Pri iskanju vsote dveh funkcij ju preprosto ločite eno za drugo in seštejte rezultate: (u+v)" = u"+v";

Pri iskanju odvoda produkta dveh funkcij je treba odvod prve funkcije pomnožiti z drugo in dodati odvod druge funkcije, pomnožen s prvo funkcijo: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Da bi našli odvod količnika dveh funkcij, je treba od produkta odvoda dividende, pomnoženega s funkcijo delitelja, odšteti produkt odvoda delitelja, pomnoženega s funkcijo dividende, in deliti vse to s funkcijo delitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Če je podana kompleksna funkcija, je treba pomnožiti odvod notranje funkcije in odvod zunanje funkcije. Naj bo y=u(v(x)), potem je y"(x)=y"(u)*v"(x).

Z uporabo zgornjih rezultatov lahko ločite skoraj vsako funkcijo. Oglejmo si torej nekaj primerov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Težave so tudi pri izračunu izpeljanke v točki. Naj bo podana funkcija y=e^(x^2+6x+5), vrednost funkcije morate najti v točki x=1.
1) Poiščite odvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrednost funkcije v dani točki y"(1)=8*e^0=8

Video na temo

Koristen nasvet

Naučite se tabele elementarnih odvodov. To bo znatno prihranilo čas.

Viri:

• derivat konstante

Kakšna je torej razlika med iracionalno in racionalno enačbo? Če je neznana spremenljivka pod znakom kvadratni koren, potem enačba velja za iracionalno.

Navodila

Glavna metoda za reševanje takih enačb je metoda konstruiranja obeh strani enačbe v kvadrat. Vendar. to je naravno, prva stvar, ki jo morate storiti, je, da se znebite znaka. Ta metoda tehnično ni težka, včasih pa lahko povzroči težave. Na primer, enačba je v(2x-5)=v(4x-7). Če kvadrirate obe strani, dobite 2x-5=4x-7. Reševanje takšne enačbe ni težko; x=1. Toda številka 1 ne bo dana enačbe. Zakaj? V enačbo zamenjajte eno namesto vrednosti x. Desna in leva stran bosta vsebovali izraze, ki nimajo smisla, tj. Ta vrednost ni veljavna za kvadratni koren. Zato je 1 tuja korenina in zato ta enačba nima korenin.

Iracionalno enačbo torej rešimo z metodo kvadriranja obeh njenih strani. In po rešitvi enačbe je treba odrezati tuje korenine. Če želite to narediti, zamenjajte najdene korenine v prvotno enačbo.

Razmislite o drugem.
2х+vх-3=0
Seveda je to enačbo mogoče rešiti z uporabo iste enačbe kot prejšnjo. Premaknite spojine enačbe, ki nimajo kvadratnega korena, na desno stran in nato uporabite metodo kvadriranja. reši dobljeno racionalno enačbo in korene. A tudi druga, bolj elegantna. Vnesite novo spremenljivko; vх=y. V skladu s tem boste prejeli enačbo v obliki 2y2+y-3=0. Se pravi običajno kvadratna enačba. Poiščite njene korenine; y1=1 in y2=-3/2. Nato reši dva enačbe vх=1; vх=-3/2. Druga enačba nima korenin; iz prve ugotovimo, da je x=1. Ne pozabite preveriti korenin.

Reševanje identitet je povsem preprosto. Za to je potrebno izvajati enake transformacije, dokler ni dosežen zastavljeni cilj. Tako bo s pomočjo preprostih aritmetičnih operacij zastavljen problem rešen.

Potrebovali boste

• - papir;
• - pero.

Navodila

Najenostavnejša takšna preoblikovanja so algebrska skrajšana množenja (kot so kvadrat vsote (razlika), razlika kvadratov, vsota (razlika), kub vsote (razlika)). Poleg tega obstaja veliko in trigonometrične formule, ki sta v bistvu enaki identiteti.

Dejansko je kvadrat vsote dveh členov enak kvadratu prvega plus dvakratni produkt prvega z drugim in plus kvadrat drugega, to je (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Poenostavite oboje

Splošna načela rešitve

Ponovite iz učbenika matematične analize ali višje matematike, kaj je določen integral. Kot je znano, je rešitev določenega integrala funkcija, katere odvod bo dal integrand. Ta funkcija se imenuje antiderivat. Na podlagi tega principa so zgrajeni osnovni integrali.
Glede na vrsto integranda ugotovite, kateri izmed integralov tabele je v tem primeru primeren. Tega ni vedno mogoče takoj ugotoviti. Pogosto postane tabelarična oblika opazna šele po več transformacijah za poenostavitev integranda.

Metoda zamenjave spremenljivke

Če je funkcija integrand trigonometrična funkcija, katerega argument vsebuje nek polinom, nato poskusite uporabiti metodo zamenjave spremenljivke. Da bi to naredili, zamenjajte polinom v argumentu integranda z neko novo spremenljivko. Na podlagi razmerja med novimi in starimi spremenljivkami določite nove meje integracije. Z razlikovanjem tega izraza poiščite nov diferencial v . Torej boste dobili nov videz prejšnjega integrala, ki je blizu ali celo ustreza kateremu koli tabelarnemu.

Reševanje integralov druge vrste

Če je integral integral druge vrste, vektorska oblika integranda, potem boste morali uporabiti pravila za prehod iz teh integralov v skalarne. Eno takšnih pravil je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ta zakon vam omogoča prehod od rotorskega toka neke vektorske funkcije do trojnega integrala nad divergenco danega vektorskega polja.

Zamenjava integracijskih mej

Po najdbi protiizpeljave je treba zamenjati limite integracije. Najprej zamenjajte vrednost zgornje meje v izraz za antiizpeljavo. Dobili boste nekaj številk. Nato od dobljenega števila odštejemo drugo število, dobljeno iz spodnje meje v protiizpeljavo. Če je ena od mej integracije neskončnost, potem je treba pri zamenjavi v antiderivacijsko funkcijo iti do meje in ugotoviti, h čemu teži izraz.
Če je integral dvodimenzionalen ali tridimenzionalen, boste morali meje integracije predstaviti geometrijsko, da boste razumeli, kako ovrednotiti integral. V primeru, recimo, tridimenzionalnega integrala, so meje integracije lahko celotne ravnine, ki omejujejo prostornino, ki se integrira.