Tudi primeri funkcij. Sode in lihe funkcije. Periodične funkcije

Funkcija se imenuje soda (liha), če za katero koli in enakost

.

Graf sode funkcije je simetričen glede na os
.

Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

Primer 6.2. Preverite, ali je funkcija soda ali liha

1)
; 2)
; 3)
.

rešitev.

1) Funkcija je definirana, ko
. Bomo našli
.

Tisti.
. To pomeni, da je ta funkcija soda.

2) Funkcija je definirana, ko

Tisti.
. Zato je ta funkcija nenavadna.

3) funkcija je definirana za , tj. Za

,
. Zato funkcija ni niti soda niti liha. Recimo temu funkcija splošne oblike.

3. Študij funkcije za monotonost.

funkcija
se imenuje naraščanje (padanje) na določenem intervalu, če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.

Funkcije, ki naraščajo (padajo) v določenem intervalu, imenujemo monotone.

Če funkcija
diferencibilen na intervalu
in ima pozitiven (negativen) derivat
, nato funkcijo
poveča (zmanjša) v tem intervalu.

Primer 6.3. Poiščite intervale monotonosti funkcij

1)
; 3)
.

rešitev.

1) Ta funkcija je definirana na celotni številski premici. Poiščimo izpeljanko.

Odvod je enak nič, če
in
. Domena definicije je številska os, deljena s pikami
,
v intervalih. Določimo predznak odvoda v vsakem intervalu.

V intervalu
odvod negativen, funkcija na tem intervalu pada.

V intervalu
odvod je pozitiven, zato funkcija v tem intervalu narašča.

2) Ta funkcija je definirana, če
oz

.

V vsakem intervalu določimo predznak kvadratnega trinoma.

Torej domena definicije funkcije

Poiščimo izpeljanko
,
, Če
, tj.
, Ampak
. Določimo predznak odvoda v intervalih
.

V intervalu
odvod je negativen, zato funkcija pada na intervalu
. V intervalu
odvod je pozitiven, funkcija narašča v intervalu
.

4. Študij funkcije na ekstremumu.

Pika
imenovana največja (minimalna) točka funkcije
, če obstaja takšna okolica točke to je za vse
iz te soseske velja neenakost

.

Najvišje in najmanjše točke funkcije imenujemo točke ekstrema.

Če funkcija
na točki ima ekstrem, potem je odvod funkcije na tej točki enak nič ali pa ne obstaja (nujen pogoj za obstoj ekstrema).

Točke, v katerih je odvod enak nič ali ne obstaja, imenujemo kritične.

5. Zadostni pogoji za obstoj ekstrema.

1. pravilo. Če pri prehodu (od leve proti desni) skozi kritično točko izpeljanka
spremeni predznak iz »+« v »–«, nato na piko funkcijo
ima največ; če je od "–" do "+", potem najmanjša; če
ne spremeni predznaka, potem ekstrema ni.

2. pravilo. Naj pri bistvu
prvi odvod funkcije
enako nič
, drugi odvod pa obstaja in je različen od nič. če
, To – največja točka, če
, To – minimalna točka funkcije.

Primer 6.4 . Raziščite največje in najmanjše funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

rešitev.

1) Funkcija je definirana in zvezna na intervalu
.

Poiščimo izpeljanko
in reši enačbo
, tj.
.Od tukaj
– kritične točke.

Določimo predznak odvoda v intervalih ,
.

Pri prehodu skozi točke
in
izpeljanka spremeni predznak iz "–" v "+", torej v skladu s pravilom 1
– minimalne točke.

Pri prehodu skozi točko
izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”, torej
– največja točka.

,
.

2) Funkcija je definirana in zvezna v intervalu
. Poiščimo izpeljanko
.

Ko smo rešili enačbo
, bomo našli
in
– kritične točke. Če imenovalec
, tj.
, potem izpeljanka ne obstaja. Torej,
– tretja kritična točka. Določimo predznak odvoda v intervalih.

Zato ima funkcija minimum v točki
, največ v točkah
in
.

3) Funkcija je definirana in zvezna, če
, tj. pri
.

Poiščimo izpeljanko

.

Poiščimo kritične točke:

Soseske točk
ne spadajo v domeno definicije, torej niso ekstremi. Torej, preučimo kritične točke
in
.

4) Funkcija je definirana in zvezna na intervalu
. Uporabimo pravilo 2. Poiščite odvod
.

Poiščimo kritične točke:

Poiščimo drugo izpeljanko
in določite njegov predznak v točkah

Na točkah
funkcija ima minimum.

Na točkah
funkcija ima maksimum.

Skrij Pokaži

Metode za določanje funkcije

Naj bo funkcija podana s formulo: y=2x^(2)-3. Če neodvisni spremenljivki x dodelite poljubne vrednosti, lahko s to formulo izračunate ustrezne vrednosti odvisne spremenljivke y. Če je na primer x=-0,5, potem z uporabo formule ugotovimo, da je ustrezna vrednost y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Če vzamete katero koli vrednost, ki jo prevzame argument x v formuli y=2x^(2)-3, lahko izračunate samo eno vrednost funkcije, ki ji ustreza. Funkcijo lahko predstavimo kot tabelo:

x	−2	−1	0	1	2	3
l	−4	−3	−2	−1	0	1

Z uporabo te tabele lahko vidite, da bo vrednosti argumenta −1 ustrezala vrednost funkcije −3; in vrednost x=2 bo ustrezala y=0 itd. Pomembno je tudi vedeti, da vsaka vrednost argumenta v tabeli ustreza le eni vrednosti funkcije.

Z grafi je mogoče določiti več funkcij. Z grafom ugotovimo, katera vrednost funkcije korelira z določeno vrednostjo x. Najpogosteje bo to približna vrednost funkcije.

Soda in liha funkcija

Funkcija je celo funkcijo, ko je f(-x)=f(x) za kateri koli x iz domene definicije. Takšna funkcija bo simetrična glede na os Oy.

Funkcija je nenavadna funkcija, ko je f(-x)=-f(x) za kateri koli x iz domene definicije. Takšna funkcija bo simetrična glede na izvor O (0;0) .

Funkcija je niti ne, niti čudno in se imenuje splošna funkcija, kadar nima simetrije glede na os ali izhodišče.

Oglejmo si naslednjo funkcijo za pariteto:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) s simetrično domeno definicije glede na izvor. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

To pomeni, da je funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) liha.

Periodična funkcija

Funkcija y=f(x) , v domeni katere za vsak x velja enakost f(x+T)=f(x-T)=f(x), se imenuje periodična funkcija z obdobjem T \neq 0 .

Ponavljanje grafa funkcije na katerem koli segmentu osi x z dolžino T.

Intervali, kjer je funkcija pozitivna, to je f(x) > 0, so segmenti abscisne osi, ki ustrezajo točkam grafa funkcije, ki ležijo nad abscisno osjo.

f(x) > 0 vklopljeno (x_(1); x_(2)) \skodelica (x_(3); +\infty)

Intervali, kjer je funkcija negativna, to je f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \skodelica (x_(2); x_(3))

Omejena funkcija

Omejeno od spodaj Običajno je poklicati funkcijo y=f(x), x \in X, ko obstaja število A, za katerega velja neenakost f(x) \geq A za kateri koli x \in X .

Primer funkcije, omejene od spodaj: y=\sqrt(1+x^(2)), ker je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za poljuben x .

Omejeno od zgoraj funkcija y=f(x), x \in X se pokliče, ko obstaja število B, za katero velja neenakost f(x) \neq B za katerikoli x \in X .

Spodaj omejen primer funkcije: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ker je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za kateri koli x \in [-1;1] .

Omejeno Običajno je poklicati funkcijo y=f(x), x \in X, kadar obstaja število K > 0, za katero velja neenakost \left | f(x)\desno | \neq K za poljuben x \in X .

Primer omejene funkcije: y=\sin x je omejena na celotni številski osi, saj \levo | \sin x \desno | \neq 1.

Naraščajoča in padajoča funkcija

Običajno govorimo o funkciji, ki narašča na obravnavanem intervalu kot povečanje funkcije takrat, ko večja vrednost x ustreza večji vrednosti funkcije y=f(x) . Iz tega sledi, da če vzamemo dve poljubni vrednosti argumenta x_(1) in x_(2) iz obravnavanega intervala, z x_(1) > x_(2) , bo rezultat y(x_(1)) > y(x_(2)).

Imenuje se funkcija, ki pada na obravnavanem intervalu zmanjševanje funkcije ko večja vrednost x ustreza manjši vrednosti funkcije y(x) . Iz tega sledi, da iz obravnavanega intervala vzamemo dve poljubni vrednosti argumenta x_(1) in x_(2) ter x_(1) > x_(2) , bo rezultat y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korenine funkcije Običajno imenujemo točke, v katerih funkcija F=y(x) seka abscisno os (dobimo jih z reševanjem enačbe y(x)=0).

a) Če pri x > 0 soda funkcija narašča, potem pri x pada< 0

b) Ko soda funkcija pada pri x > 0, potem narašča pri x< 0

c) Ko liha funkcija narašča pri x > 0, potem narašča tudi pri x< 0

d) Ko liha funkcija pada za x > 0, potem se zmanjšuje tudi za x< 0

Ekstremi funkcije

Minimalna točka funkcije y=f(x) običajno imenujemo točka x=x_(0), katere soseska bo imela druge točke (razen točke x=x_(0)), zanje pa bo neenakost f(x) > f zadovoljen (x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije na točki min.

Največja točka funkcije y=f(x) običajno imenujemo točka x=x_(0), katere soseska bo imela druge točke (razen točke x=x_(0)), zanje pa bo potem izpolnjena neenakost f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Predpogoj

Po Fermatovem izreku: f"(x)=0, ko bo imela funkcija f(x), ki je diferenciabilna v točki x_(0), na tej točki ekstrem.

Zadosten pogoj

1. Ko izpeljanka spremeni predznak iz plusa v minus, bo x_(0) najmanjša točka;
2. x_(0) - bo najvišja točka le, ko odvod spremeni predznak iz minusa v plus pri prehodu skozi stacionarno točko x_(0) .

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu

Koraki izračuna:

1. Išče se odvod f"(x);
2. Poiščemo stacionarne in kritične točke funkcije ter izberemo tiste, ki pripadajo segmentu;
3. Vrednosti funkcije f(x) najdemo na stacionarnih in kritičnih točkah ter koncih segmenta. Manjši od dobljenih rezultatov bo najmanjša vrednost funkcije, in več - največji.

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Cilji:

• oblikujejo koncept sodih in lihih funkcij, poučujejo sposobnost določanja in uporabe teh lastnosti pri preučevanju funkcij in konstruiranju grafov;
• razvijati ustvarjalno dejavnost študentov, logično razmišljanje, sposobnost primerjave in posploševanja;
• gojiti delavnost in matematično kulturo; razvijati komunikacijske sposobnosti .

Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna tabla, izročki.

Oblike dela: frontalni in skupinski z elementi iskalne in raziskovalne dejavnosti.

Viri informacij:

1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Učbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Problemska knjiga.
3. Algebra 9. razred. Naloge za učenje in razvoj učencev. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

NAPREDEK POUKA

1. Organizacijski trenutek

Določanje ciljev in ciljev lekcije.

2. Preverjanje domače naloge

10.17 (9. razred problemske knjige. A.G. Mordkovich).

A) pri = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 pri X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija se poveča z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je omejena od spodaj.
7. pri ime = – 3, pri naib ne obstaja
8. Funkcija je neprekinjena.

(Ali ste uporabili algoritem za raziskovanje funkcij?) Diapozitiv.

2. Preverimo tabelo, ki ste jo vprašali na diapozitivu.

Izpolni tabelo
	Domena definicije	Funkcijske ničle	Intervali konstantnosti predznaka		Koordinate presečišč grafa z Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Posodabljanje znanja

– Funkcije so podane.
– Določite obseg definicije za vsako funkcijo.
– Primerjajte vrednost posamezne funkcije za vsak par vrednosti argumentov: 1 in – 1; 2 in – 2.
– Za katero od teh funkcij v domeni definicije veljajo enakosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (dobljene podatke vnesite v tabelo) Diapozitiv

		f(1) in f(– 1)	f(2) in f(– 2)	grafika	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		in ni definiran

4. Novo gradivo

– Med opravljanjem tega dela, fantje, smo identificirali še eno lastnost funkcije, ki vam ni znana, a nič manj pomembna od drugih - to je parnost in lihost funkcije. Zapišite temo lekcije: "Sode in lihe funkcije", naša naloga je, da se naučimo določiti parnost in lihost funkcije, ugotoviti pomen te lastnosti pri študiju funkcij in risanju grafov.
Torej, poiščimo definicije v učbeniku in preberimo (str. 110) . Diapozitiv

Def. 1 funkcija pri = f (X), definirana na množici X, se imenuje celo, če za kakršno koli vrednost XЄ X se izvede enakost f(–x)= f(x). Navedite primere.

Def. 2 funkcija y = f(x), definirana na množici X se imenuje liho, če za kakršno koli vrednost XЄ X velja enakost f(–х)= –f(х). Navedite primere.

Kje smo srečali izraza "sodo" in "liho"?
Katera od teh funkcij bo enakomerna, kaj mislite? Zakaj? Kateri so nenavadni? Zakaj?
Za katero koli funkcijo obrazca pri= x n, Kje n– celo število, lahko trdimo, da je funkcija liha, ko n– liho in funkcija soda, ko n– celo.
– Ogled funkcij pri= in pri = 2X– 3 niso niti sodi niti lihi, ker enakosti niso izpolnjene f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Preučevanje, ali je funkcija soda ali liha, se imenuje preučevanje funkcije za pariteto. Diapozitiv

V definiciji 1 in 2 smo govorili o vrednostih funkcije pri x in – x, pri čemer se predpostavlja, da je funkcija definirana tudi pri vrednosti X, in pri – X.

Def 3.Če številska množica skupaj z vsakim svojim elementom x vsebuje tudi nasprotni element –x, potem množica X imenujemo simetrična množica.

Primeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) so simetrične množice in , [–5;4] so asimetrične.

– Ali imajo enakomerne funkcije domeno definicije, ki je simetrična množica? Tiste nenavadne?
– Če D( f) je asimetrična množica, kaj je potem funkcija?
– Tako, če funkcija pri = f(X) – sodo ali liho, potem je njegova definicijska domena D( f) je simetrična množica. Ali velja obratna trditev: če je domena definicije funkcije simetrična množica, ali je soda ali liha?
– To pomeni, da je prisotnost simetrične množice domene definicije nujen pogoj, vendar ne zadosten.
– Kako torej preverite pariteto funkcije? Poskusimo ustvariti algoritem.

Diapozitiv

Algoritem za preučevanje funkcije za pariteto

1. Ugotovi, ali je definicijsko področje funkcije simetrično. Če ne, potem funkcija ni niti soda niti liha. Če da, pojdite na 2. korak algoritma.

2. Napiši izraz za f(–X).

3. Primerjaj f(–X).In f(X):

• če f(–X).= f(X), potem je funkcija soda;
• če f(–X).= – f(X), potem je funkcija liha;
• če f(–X) ≠ f(X) In f(–X) ≠ –f(X), potem funkcija ni niti soda niti liha.

Primeri:

Preverite funkcijo a) za pariteto pri= x 5 +; b) pri= ; V) pri= .

rešitev.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrična množica.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + liho.

b) y =,

pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrična množica, kar pomeni, da funkcija ni niti soda niti liha.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnost 2

1. Ali je dana množica simetrična: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Preglejte funkcijo za pariteto:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Na sl. graf je bil zgrajen pri = f(X), za vse X, ki izpolnjuje pogoj X? 0.
Narišite graf funkcije pri = f(X), če pri = f(X) je soda funkcija.

3. Na sl. graf je bil zgrajen pri = f(X), za vse x, ki izpolnjujejo pogoj x? 0.
Narišite graf funkcije pri = f(X), če pri = f(X) je liha funkcija.

Medsebojno preverjanje vključeno diapozitiv.

6. Domača naloga: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskega pomena paritetne lastnosti.

***(Dodelitev možnosti enotnega državnega izpita).

1. Liha funkcija y = f(x) je definirana na celotni številski premici. Za vsako nenegativno vrednost spremenljivke x vrednost te funkcije sovpada z vrednostjo funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Poiščite vrednost funkcije h( X) = pri X = 3.

7. Povzemanje

Pretvarjanje grafov.

Besedni opis funkcije.

Grafična metoda.

Grafična metoda določanja funkcije je najbolj vizualna in se pogosto uporablja v tehnologiji. Pri matematični analizi se kot ilustracija uporablja grafična metoda podajanja funkcij.

Funkcijski graf f je množica vseh točk (x;y) koordinatne ravnine, kjer je y=f(x), x pa "teče skozi" celotno domeno definicije te funkcije.

Podmnožica koordinatne ravnine je graf funkcije, če nima več kot eno skupno točko s katero koli premico, vzporedno z osjo Oy.

Primer. Ali so spodnje slike grafi funkcij?

Prednost grafične naloge je njena nazornost. Takoj lahko vidite, kako se funkcija obnaša, kje narašča in kje pada. Iz grafa lahko takoj ugotovite nekatere pomembne značilnosti funkcije.

Na splošno gredo analitične in grafične metode definiranja funkcije z roko v roki. Delo s formulo pomaga zgraditi graf. In graf pogosto predlaga rešitve, ki jih v formuli sploh ne bi opazili.

Skoraj vsak učenec pozna tri načine definiranja funkcije, ki smo si jih pravkar ogledali.

Poskusimo odgovoriti na vprašanje: "Ali obstajajo drugi načini za definiranje funkcije?"

Obstaja takšen način.

Funkcijo lahko povsem nedvoumno opredelimo z besedami.

Na primer, funkcijo y=2x lahko podate z naslednjim besednim opisom: vsaka realna vrednost argumenta x je povezana z njegovo dvojno vrednostjo. Pravilo je vzpostavljeno, funkcija je določena.

Poleg tega lahko ustno določite funkcijo, ki jo je zelo težko, če ne celo nemogoče, definirati s formulo.

Na primer: vsaka vrednost naravnega argumenta x je povezana z vsoto števk, ki sestavljajo vrednost x. Na primer, če je x=3, potem je y=3. Če je x=257, potem je y=2+5+7=14. In tako dalje. Težko je to zapisati v formulo. Toda znak je enostavno narediti.

Metoda besednega opisa je precej redko uporabljena metoda. Toda včasih se.

Če obstaja zakon korespondence ena proti ena med x in y, potem obstaja funkcija. Kakšen zakon, v kakšni obliki je izražen - formula, tablica, graf, besede - ne spremeni bistva zadeve.

Oglejmo si funkcije, katerih domene definicije so simetrične glede na izvor, tj. za kogarkoli X iz domene definicijske številke (- X) prav tako spada v domeno definicije. Med temi funkcijami so sodo in liho.

Opredelitev. Pokliče se funkcija f celo, če sploh X iz svoje domene definicije

Primer. Upoštevajte funkcijo

Je celo. Preverimo.

Za kogarkoli X enakosti so izpolnjene

Tako sta izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija soda. Spodaj je graf te funkcije.

Opredelitev. Pokliče se funkcija f liho, če sploh X iz svoje domene definicije

Primer. Upoštevajte funkcijo

Čudno je. Preverimo.

Domena definicije je celotna številska os, kar pomeni, da je simetrična glede na točko (0;0).

Za kogarkoli X enakosti so izpolnjene

Tako sta izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija liha. Spodaj je graf te funkcije.

Grafa, prikazana na prvi in ​​tretji sliki, sta simetrična glede na ordinatno os, grafa, prikazana na drugi in četrti sliki, pa sta simetrična glede na izhodišče.

Katere od funkcij, katerih grafi so prikazani na slikah, so sode in katere lihe?

Odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x, pri kateri vsaka vrednost x ustreza eni sami vrednosti y, se imenuje funkcija. Za oznako uporabimo oznako y=f(x). Vsaka funkcija ima številne osnovne lastnosti, kot so monotonost, parnost, periodičnost in druge.

Pobliže si oglejte lastnost paritete.

Funkcija y=f(x) je poklicana, tudi če izpolnjuje naslednja dva pogoja:

2. Vrednost funkcije v točki x, ki pripada domeni definicije funkcije, mora biti enaka vrednosti funkcije v točki -x. To pomeni, da mora biti za katero koli točko x iz domene definicije funkcije izpolnjena naslednja enakost: f(x) = f(-x).

Graf sode funkcije

Če narišete graf sode funkcije, bo ta simetričen glede na os Oy.

Na primer, funkcija y=x^2 je soda. Preverimo. Domen definicije je celotna numerična os, kar pomeni, da je simetrična glede na točko O.

Vzemimo poljuben x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Zato je f(x) = f(-x). Tako sta izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija soda. Spodaj je graf funkcije y=x^2.

Slika prikazuje, da je graf simetričen glede na os Oy.

Graf lihe funkcije

Funkcija y=f(x) se imenuje liha, če izpolnjuje naslednja dva pogoja:

1. Definicijsko področje dane funkcije mora biti simetrično glede na točko O. To pomeni, da če neka točka a pripada definicijskemu področju funkcije, mora tudi ustrezna točka -a pripadati definicijskemu področju dane funkcije.

2. Za vsako točko x mora biti iz domene definicije funkcije izpolnjena naslednja enakost: f(x) = -f(x).

Graf lihe funkcije je simetričen glede na točko O - izhodišče koordinat. Na primer, funkcija y=x^3 je liha. Preverimo. Domen definicije je celotna numerična os, kar pomeni, da je simetrična glede na točko O.

Vzemimo poljuben x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Zato je f(x) = -f(x). Tako sta izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija liha. Spodaj je graf funkcije y=x^3.

Slika jasno kaže, da je liha funkcija y=x^3 simetrična glede na izvor.