Užklasinė pamoka – tiesinė trupmeninė funkcija. Trupmeninė tiesinė funkcija

Trupmeninis tiesinė funkcija mokomasi 9 klasėje, ištyrus kai kurias kitas funkcijas. Būtent tai yra pasakyta pamokos pradžioje. Čia mes kalbame apie apie funkciją y=k/x, kur k>0. Anot autoriaus, šią funkciją anksčiau galvojo moksleiviai. Todėl jie yra susipažinę su jo savybėmis. Tačiau autorius siūlo šioje pamokoje prisiminti ir išsamiai apsvarstyti vieną savybę, nurodančią šios funkcijos grafiko ypatybes. Ši savybė atspindi tiesioginę funkcijos reikšmės priklausomybę nuo kintamojo reikšmės. Būtent, kai teigiamas x linkęs į begalybę, funkcijos reikšmė taip pat yra teigiama ir linkusi į 0. Kai neigiamas x linkęs į minus begalybę, y reikšmė yra neigiama ir linkusi į 0.

Be to, autorius pažymi, kaip ši savybė pasireiškia grafike. Tokiu būdu mokiniai palaipsniui susipažįsta su asimptoto sąvoka. Po bendro įvado į šią sąvoką pateikiamas aiškus jos apibrėžimas, kuris paryškinamas ryškiu rėmeliu.

Įvedus asimptotės sąvoką ir apibrėžus ją, autorius atkreipia dėmesį į tai, kad hiperbolė y=k/xfor k>0 turi dvi asimptotes: tai x ir y ašys. Lygiai tokia pati situacija su funkcija y=k/xat k<0: функция имеет две асимптоты.

Parengus pagrindinius dalykus ir atnaujinus žinias, autorius siūlo pereiti prie tiesioginio naujo tipo funkcijų tyrimo – tiesinės trupmeninės funkcijos tyrimo. Pirmiausia siūloma apsvarstyti trupmeninių tiesinių funkcijų pavyzdžius. Vienu iš tokių pavyzdžių autorius parodo, kad skaitiklis ir vardiklis yra tiesinės išraiškos arba, kitaip tariant, pirmojo laipsnio daugianariai. Skaitiklio atveju gali veikti ne tik pirmojo laipsnio daugianario, bet ir bet koks skaičius, išskyrus nulį.

Toliau autorius demonstruoja bendrąją tiesinės trupmeninės funkcijos formą. Kartu jis detaliai aprašo kiekvieną įrašytos funkcijos komponentą. Taip pat paaiškinama, kurie koeficientai negali būti lygūs 0. Autorius aprašo šiuos apribojimus ir parodo, kas gali atsitikti, jei šie koeficientai bus lygūs nuliui.

Po to autorius pakartoja, kaip iš funkcijos y=f(x) grafiko gaunamas funkcijos y=f(x)+n grafikas. Pamoką šia tema taip pat galite rasti mūsų duomenų bazėje. Čia taip pat pažymima, kaip iš to paties funkcijos y=f(x) grafiko sudaryti funkcijos y=f(x+m) grafiką.

Visa tai parodyta konkrečiu pavyzdžiu. Čia siūloma sudaryti tam tikros funkcijos grafiką. Visos statybos vykdomos etapais. Pirmiausia siūloma atskirti visą dalį nuo tam tikros algebrinės trupmenos. Atlikęs reikiamas transformacijas, autorius gauna sveikąjį skaičių, kuris pridedamas prie trupmenos, kurios skaitiklis lygus skaičiui. Taigi funkcijos, kuri yra trupmena, grafikas gali būti sudarytas iš funkcijos y = 5/x dvigubo lygiagretaus vertimo būdu. Čia autorius pažymi, kaip judės asimptotai. Po to sudaroma koordinačių sistema ir asimptotės perkeliamos į naują vietą. Tada sudaromos dvi verčių lentelės kintamajam x>0 ir kintamajam x<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.

Toliau apsvarstysime kitą pavyzdį, kai funkcijos žymėjime prieš algebrinę trupmeną yra minusas. Tačiau tai niekuo nesiskiria nuo ankstesnio pavyzdžio. Visi veiksmai atliekami panašiai: funkcija konvertuojama į formą, kurioje paryškinama visa dalis. Tada asimptotai perkeliami ir sudaromas funkcijos grafikas.

Čia medžiagos paaiškinimas ir baigiasi. Šis procesas trunka 7:28 minutes. Apytiksliai tiek laiko reikia, kad mokytojas paaiškintų naują medžiagą įprastoje pamokoje. Tačiau tam reikia pasiruošti iš anksto. Bet jei šią video pamoką imsime kaip pagrindą, tai pasiruošimas pamokai užtruks minimaliai laiko ir pastangų, o mokiniams patiks naujas mokymo metodas, siūlantis žiūrėti video pamoką.

Čia koeficientai už X o laisvieji skaitiklio ir vardiklio nariai pateikiami tikrieji skaičiai. Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas bendruoju atveju yra hiperbolė.

Paprasčiausia trupmeninė tiesinė funkcija y = - Tu-

streikuoja atvirkštinis proporcingas ryšys; ją vaizduojanti hiperbolė gerai žinoma iš aukštųjų mokyklų kursų (5.5 pav.).

Ryžiai. 5.5

Pavyzdys. 5.3

Nubraižykite tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką:

• 1. Kadangi ši trupmena neturi prasmės kada x = 3, Tai funkcijos X sritis susideda iš dviejų begalinių intervalų:
• 3) ir (3; +°°).

2. Norint ištirti funkcijos elgesį ties apibrėžimo srities riba (t.y. kai X-»3 ir val X-> ±°°), naudinga šią išraišką paversti dviejų terminų suma taip:

Kadangi pirmasis narys yra pastovus, funkcijos elgesį ties riba iš tikrųjų lemia antrasis kintamasis narys. Ištyręs jo kitimo procesą, kada X-> 3 ir X->±°°, dėl pateiktos funkcijos darome tokias išvadas:

• a) jei x->3 Dešinėje(t. y. *>3) funkcijos reikšmė didėja neribotai: adresu-> +°°: ties x->3 paliko(t. y. ties x y – taigi norima hiperbolė artėja prie tiesės be apribojimų su lygtimi x = 3 (apačioje kairėje Ir viršutinis dešinysis) taigi ši tiesi linija yra vertikali asimptota hiperbolė;
• b) kada x ->±°° antrasis narys mažėja be ribos, todėl funkcijos reikšmė artėja prie pirmojo, pastovaus nario be ribos, t.y. vertinti y = 2. Šiuo atveju funkcijos grafikas artėja be apribojimų (apačioje kairėje ir viršuje dešinėje) prie lygties pateiktos tiesės y = 2; taigi ši linija yra horizontali asimptote hiperbolė.

komentuoti.Šiame skyriuje gauta informacija yra svarbiausia apibūdinti funkcijos grafiko elgseną nutolusioje plokštumos dalyje (vaizdžiai tariant, begalybėje).

• 3. Darydami prielaidą, kad l = 0, randame y = ~. Todėl norima hi-

perbolė kerta ašį OU taške M x = (0;-^).

• 4. Nulinė funkcija ( adresu= 0) bus kada X= -2; todėl ši hiperbolė kerta ašį Oi taške M 2 (-2; 0).
• 5. Trupmena yra teigiama, jei skaitiklis ir vardiklis turi tą patį ženklą, ir neigiamas, jei skiriasi. Išspręsdami atitinkamas nelygybių sistemas, nustatome, kad funkcija turi du teigiamus intervalus: (-°°; -2) ir (3; +°°) ir vieną neigiamą intervalą: (-2; 3).
• 6. Pateikus funkciją kaip dviejų dėmenų sumą (žr. 2 punktą), gana lengva aptikti du mažėjimo intervalus: (-°°; 3) ir (3; +°°).
• 7. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi kraštutinumų.
• 8. Nustatykite Y šios funkcijos reikšmes: (-°°; 2) ir (2; +°°).
• 9. Taip pat nėra lyginių, nelyginių ar periodiškumo. Surinktos informacijos pakanka schematiškai

nubrėžkite hiperbolę grafiškai atspindinčios šios funkcijos savybes (5.6 pav.).

Ryžiai. 5.6

Iki šiol aptartos funkcijos vadinamos algebrinė. Dabar pereikime prie svarstymo transcendentinis funkcijas.

Panagrinėkime metodologijos klausimus, kaip tirti tokią temą kaip „trupinės tiesinės funkcijos grafiko sudarymas“. Deja, jos studija buvo pašalinta pagrindinė programa o matematikos mokytojas savo pamokose to neliečia taip dažnai, kaip norėtų. Tačiau matematikos pamokų dar niekas neatšaukė, taip pat neatšaukė ir antrosios GIA dalies. Ir vieningame valstybiniame egzamine yra galimybė jį įsiskverbti į C5 užduoties kūną (per parametrus). Todėl teks pasiraitoti rankoves ir padirbėti, kaip tai paaiškinti pamokoje su vidutinio ar vidutinio stiprumo mokiniu. Paprastai matematikos dėstytojas parengia pagrindinių skyrių paaiškinimo metodus mokyklos mokymo programa per pirmuosius 5-7 darbo metus. Per šį laiką per dėstytojo akis ir rankas spėja prasibrauti dešimtys įvairių kategorijų studentų. Nuo apleistų ir iš prigimties silpnų vaikų, metančių rūkyti ir pamokančių iki tikslingų gabumų.

Laikui bėgant matematikos mokytojas įgyja meistriškumą aiškindamas sudėtingas sąvokas. paprasta kalba neprarandant matematinio išsamumo ir tikslumo. Pagaminta individualus stilius medžiagos pristatymas, kalba, vaizdinė pagalba ir įrašymas. Bet koks patyręs dėstytojas pamoką pasakos užsimerkęs, nes iš anksto žino, kokios problemos kyla suprantant medžiagą ir ko reikia joms išspręsti. Svarbu pasirinkti Teisingi žodžiai ir pastabas, pavyzdžius pamokos pradžiai, viduriui ir pabaigai, taip pat teisingai sudaryti pratimus namų darbams.

Šiame straipsnyje bus aptariami tam tikri darbo su tema būdai.

Nuo kokių grafikų pradeda matematikos mokytojas?

Pirmiausia turite apibrėžti tiriamą sąvoką. Leiskite jums priminti, kad trupmeninė tiesinė funkcija yra formos funkcija. Jo konstrukcija priklauso nuo pastato dažniausia hiperbolė naudojant gerai žinomus paprastus grafų transformavimo būdus. Praktiškai jie pasirodo paprasti tik pačiam dėstytojui. Net jei pas dėstytoją ateina stiprus mokinys, su pakankamu skaičiavimų ir transformacijų greičiu, jis vis tiek turi išmokyti šių technikų atskirai. Kodėl? Mokykloje 9 klasėje grafikai sudaromi tik perkeliant ir nenaudojami skaitinių daugiklių sudėjimo metodai (glaudinimo ir tempimo metodai). Kokį grafiką naudoja matematikos mokytojas? Kur geriausia pradėti? Visas paruošimas atliekamas naudojant, mano nuomone, patogiausios funkcijos pavyzdį . Ką dar turėčiau naudoti? Trigonometrija 9 klasėje mokomasi be grafikų (o vadovėliuose, kurie buvo modifikuoti, kad atitiktų matematikos valstybinio egzamino sąlygas, jų visai nemokoma). Kvadratinė funkcija šioje temoje neturi tokio „metodologinio svorio“ kaip šaknis. Kodėl? 9 klasėje detaliai mokomasi kvadratinio trinalio ir mokinys gana geba be pamainų spręsti statybos uždavinius. Forma akimirksniu sukelia skliaustų atidarymo refleksą, po kurio galite taikyti standartinio braižymo taisyklę per parabolės viršūnę ir reikšmių lentelę. Su tokiu manevru nebus įmanoma atlikti ir matematikos kuratoriui bus lengviau motyvuoti mokinį mokytis bendrosios transformacijos technikos. Naudojant modulį y=|x| taip pat nepasiteisina, nes ne taip idomu kaip šaknis ir moksleiviai to siaubingai bijo. Be to, į tiriamų transformacijų skaičių įtraukiamas ir pats modulis (tiksliau jo „pakabinimas“).

Taigi, mokytojui nebelieka nieko patogiau ir efektyviau, kaip pasiruošti transformacijoms naudojant kvadratinė šaknis. Jums reikia praktikos kuriant tokio dalyko grafikus. Tarkime, kad šis pasiruošimas buvo labai sėkmingas. Vaikas gali judėti ir net suspausti/ištempti grafikus. Kas toliau?

Kitas etapas yra mokymasis atskirti visą dalį. Galbūt tai yra pagrindinė matematikos dėstytojo užduotis, nes po visos dalies paskyrimo ji prisiima liūto dalį viso skaičiavimo krūvio ta tema. Be galo svarbu paruošti funkciją tokia forma, kuri atitiktų vieną iš standartinių statybos schemų. Taip pat svarbu transformacijų logiką apibūdinti prieinamai, suprantamai, o kita vertus, matematiškai tiksliai ir harmoningai.

Leiskite jums priminti, kad norint sukurti grafiką, trupmeną reikia konvertuoti į formą . Kaip tik tam, o ne tam
, išlaikant vardiklį. Kodėl? Sunku atlikti transformacijas grafe, kuris susideda ne tik iš gabalų, bet ir turi asimptotes. Tęstinumas naudojamas norint sujungti du ar tris daugiau ar mažiau aiškiai judančius taškus viena linija. Nenutrūkstamos funkcijos atveju negalite iš karto suprasti, kuriuos taškus reikia prijungti. Todėl suspausti ar ištempti hiperbolę yra itin nepatogu. Matematikos dėstytojas tiesiog privalo išmokyti mokinį, kaip apsiprasti su pamainomis.

Norėdami tai padaryti, be visos dalies pasirinkimo, taip pat turite pašalinti koeficientą iš vardiklio c.

Sveikosios dalies pasirinkimas iš trupmenos

Kaip išmokyti paryškinti visą dalį? Matematikos dėstytojai ne visada tinkamai įvertina studento žinių lygį ir, nepaisant to, kad programoje nėra išsamaus daugianario padalijimo su liekana teoremos tyrimo, jie taiko padalijimo kampu taisyklę. Jei mokytojas imsis skirstymo į kampą, jis turės beveik pusę pamokos praleisti tai aiškindamas (jei, žinoma, viskas bus kruopščiai pagrįsta). Deja, mokytojas ne visada turi tiek laiko. Geriau išvis neprisiminti jokių kampų.

Yra dvi darbo su studentu formos:
1) Mokytojas parodo jam paruoštą algoritmą, naudodamas trupmeninės funkcijos pavyzdį.
2) Mokytojas sudaro sąlygas loginei šio algoritmo paieškai.

Antrojo kelio įgyvendinimas man atrodo pats įdomiausias korepetitorių praktikai ir be galo naudingas ugdyti mokinių mąstymą. Pasitelkus tam tikras užuominas ir nuorodas, dažnai pavyksta atrasti tam tikrą teisingų veiksmų seką. Priešingai nei mechaniškai vykdant kažkieno parengtą planą, 9 klasės mokinys išmoksta jo ieškoti savarankiškai. Natūralu, kad visi paaiškinimai turi būti pateikti su pavyzdžiais. Šiuo tikslu paimkime funkciją ir apsvarstykime dėstytojo pastabas apie algoritmo paieškos logiką. Matematikos mokytojas klausia: „Kas mums trukdo atlikti standartinę grafiko transformaciją, naudojant poslinkį išilgai ašių? Žinoma, tuo pačiu metu X yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Tai reiškia, kad jis turi būti pašalintas iš skaitiklio. Kaip tai padaryti naudojant tapatybės transformacijas? Yra tik vienas būdas – sumažinti trupmeną. Bet mes neturime vienodų veiksnių (skliaustelių). Tai reiškia, kad turime pabandyti juos sukurti dirbtinai. Bet kaip? Negalite skaitiklio pakeisti vardikliu be jokio identiško perėjimo. Pabandykime paversti skaitiklį taip, kad jame būtų vardikliui lygus skliaustas. Padėkime ten priverstinai ir „perdengti“ su koeficientais, kad jiems „veikiant“ skliaustą, tai yra jį atidarius ir pridedant panašius terminus, būtų gautas tiesinis daugianario dydis 2x+3.

Matematikos mokytojas tuščių stačiakampių pavidalu įterpia koeficientų spragas (kaip dažnai naudojami 5–6 klasių vadovėliai) ir nustato užduotį užpildyti juos skaičiais. Atranka turėtų būti atlikta iš kairės į dešinę, pradedant nuo pirmojo praėjimo. Mokinys turi įsivaizduoti, kaip jis atidarys laikiklį. Kadangi jį išplečiant bus tik vienas narys su X, tai jo koeficientas turi būti lygus didžiausiam senajame skaitiklyje 2x+3. Todėl akivaizdu, kad pirmame langelyje yra skaičius 2. Jis užpildytas. Matematikos mokytojas turėtų paimti gana paprastą trupmeninę tiesinę funkciją su c=1. Tik po to galime pereiti prie pavyzdžių su nemaloniu skaitiklio ir vardiklio (įskaitant trupmeninius koeficientus) išvaizda.

Pirmyn. Mokytojas atidaro skliaustą ir pasirašo rezultatą tiesiai virš jo.
Galite nuspalvinti atitinkamą veiksnių porą. Prie „atviro termino“ reikia pridėti tokį skaičių iš antrojo tarpo, kad gautumėte laisvą senojo skaitiklio koeficientą. Akivaizdu, kad tai 7.

Toliau trupmena suskaidoma į atskirų trupmenų sumą (dažniausiai trupmenas apvedu debesiu, lygindamas jų išsidėstymą su drugelio sparnais). Ir aš sakau: „Sulaužykime frakciją drugeliu“. Moksleiviai gerai prisimena šią frazę.

Matematikos mokytojas parodo visą visos dalies išskyrimo į formą, kuriai jau galite pritaikyti hiperbolės poslinkio algoritmą, procesą:

Jei vardiklis turi pirminį koeficientą, kuris nėra lygus vienetui, jokiu būdu nepalikite jo ten. Tai sukels tiek dėstytojui, tiek studentui papildomą galvos skausmą, susijusį su būtinybe atlikti papildomą transformaciją, o patį sunkiausią: suspaudimą – tempimą. Tiesioginio proporcingumo grafiko schematiškai konstravimui skaitiklio tipas nėra svarbus. Svarbiausia žinoti jo ženklą. Tada į jį geriau perkelti didžiausią vardiklio koeficientą. Pavyzdžiui, jei dirbame su funkcija , tada mes tiesiog išimame 3 iš skliausto ir „pakeliame“ į skaitiklį, sukonstruodami jame trupmeną. Konstravimui gauname daug patogesnę išraišką: Belieka pastumti į dešinę ir 2 aukštyn.

Jei tarp visos 2 dalies ir likusios trupmenos yra „minusas“, geriau jį įtraukti į skaitiklį. Priešingu atveju tam tikrame statybos etape turėsite papildomai rodyti hiperbolę Oy ašies atžvilgiu. Tai tik apsunkins procesą.

Auksinė matematikos mokytojo taisyklė:
visi nepatogūs koeficientai, lemiantys simetriją, grafiko suspaudimą ar ištempimą, turi būti perkelti į skaitiklį.

Sunku aprašyti darbo su kokia nors tema technika metodus. Visada jaučiamas kažkoks nuvertinimas. Kiek mes galėjome kalbėti apie trupmeninę tiesinę funkciją, turite nuspręsti. Siųskite savo komentarus ir atsiliepimus apie straipsnį (juos galite įrašyti langelyje, kurį matote puslapio apačioje). Būtinai juos paskelbsiu.

Kolpakovas A.N. Matematikos mokytojas Maskvoje. Strogino. Metodai dėstytojams.

1. Trupmeninė tiesinė funkcija ir jos grafikas

Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.

Su koncepcija racionalūs numeriai tikriausiai jau pažįstate vienas kitą. taip pat racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.

Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. formos funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra pastovi). Trupmeninė tiesinė funkcija yra apibrėžta visiems realūs skaičiai, išskyrus x = -d/c. Trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo jums žinomo grafiko y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia reikšme mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisės: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių hiperbolės artėjimo šakos vadinamos jo asimptotų.

1 pavyzdys.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Sprendimas.

Pasirinkime visą dalį: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus tokias transformacijas: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempiant išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkus 2 vieneto segmentais aukštyn.

Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti panašiai, paryškinant „sveikąją dalį“. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais pasislinko kartu koordinačių ašys ir ištemptas išilgai Oy ašies.

Norint sudaryti bet kurios savavališkos trupmeninės-tiesinės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės x = -d/c ir y = a/c asimptotes.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta, kai x = -1. Tai reiškia, kad tiesi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumento x absoliuti reikšme padidėja.

Norėdami tai padaryti, padalykite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kaip x → ∞ trupmena bus linkusi į 3/2. Tai reiškia, kad horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 3/2.

3 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).

Sprendimas.

Pažymime „visą trupmenos dalį“:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: poslinkis 1 vienetu į kairę, simetriškas rodymas Ox atžvilgiu ir poslinkis 2 vienetų segmentai aukštyn išilgai Oy ašies.

Domenas D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.

Atsakymas: 1 pav.

2. Trupmeninė racionali funkcija

Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios forma yra y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra aukštesnio laipsnio nei pirmasis daugianariai.

Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) arba y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jei funkcija y = P(x) / Q(x) reiškia dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnį, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka naudoti metodus, panašius į tuos, kuriuos jau pristatėme aukščiau.

Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы baigtinis skaičius elementariosios trupmenos, kurių forma nustatoma trupmenos Q(x) vardiklį išskaidžius į realiųjų faktorių sandaugą:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikų braižymas

Panagrinėkime keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninės racionalios funkcijos grafikus.

4 pavyzdys.

Nubraižykite funkcijos y = 1/x 2 grafiką.

Sprendimas.

Mes naudojame funkcijos y = x 2 grafiką, kad sukurtume y = 1/x 2 grafiką ir naudojame grafikų „padalijimo“ techniką.

Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).

Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.

Atsakymas: 2 pav.

5 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Sprendimas.

Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Čia mes panaudojome faktorizavimo, mažinimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos metodą.

Atsakymas: 3 pav.

6 pavyzdys.

Nubraižykite funkcijos y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) grafiką.

Sprendimas.

Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lyginė, grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Prieš kurdami grafiką, dar kartą paverskime išraišką, paryškindami visą dalį:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies išskyrimas trupmeninės racionalios funkcijos formulėje yra vienas iš pagrindinių kuriant grafikus.

Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. tiesė y = 1 yra horizontali asimptotė.

Atsakymas: 4 pav.

7 pavyzdys.

Panagrinėkime funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykime tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. labiausiai aukstas taskas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių neužtenka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „pakilti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turime išspręsti lygtį x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga. Norint rasti didžiausią funkcijos reikšmę, reikia išsiaiškinti, prie kokio didžiausio A lygtis A = x/(x 2 + 1) turės sprendinį. Pradinę lygtį pakeiskime kvadratine: Аx 2 – x + А = 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 – 4А 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausia vertė A = 1/2.

Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

IN šią pamoką nagrinėsime trupmeninę tiesinę funkciją, spręsime uždavinius naudodami trupmeninę tiesinę funkciją, modulį, parametrą.

Tema: kartojimas

Pamoka: Trupmeninė tiesinė funkcija

Apibrėžimas:

Formos funkcija:

Pavyzdžiui:

Įrodykime, kad šios tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė.

Išimkime du iš skaitiklio skliaustų ir gaukime:

Mes turime x ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Dabar transformuojame taip, kad išraiška atsirastų skaitiklyje:

Dabar sumažinkime trupmenos terminą po termino:

Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra hiperbolė.

Galime pasiūlyti antrąjį įrodinėjimo būdą, ty skaitiklį padalinti iš vardiklio stulpelyje:

Gavau:

Svarbu, kad būtų galima lengvai sudaryti tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, ypač norint rasti hiperbolės simetrijos centrą. Išspręskime problemą.

1 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:

Mes jau atsivertėme šią funkciją ir gavo:

Statymui šio tvarkaraščio ašių ar pačios hiperbolės nepaslinksime. Funkcijų grafikų sudarymui naudojame standartinį metodą, naudojant pastovaus ženklo intervalų buvimą.

Mes veikiame pagal algoritmą. Pirmiausia panagrinėkime pateiktą funkciją.

Taigi, turime tris pastovaus ženklo intervalus: dešinėje () funkcija turi pliuso ženklą, tada ženklai pakaitomis, nes visos šaknys turi pirmąjį laipsnį. Taigi, intervale funkcija yra neigiama, intervale funkcija yra teigiama.

Sukuriame grafiko eskizą šalia ODZ šaknų ir lūžio taškų. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė linkusi į tris, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie trigubo kairėje, funkcija yra neigiama ir linkusi į minus begalybę, dešinėje funkcija yra teigiama ir palieka plius begalybę.

Dabar sukonstruojame funkcijos grafiko eskizą taškų apylinkėse begalybėje, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Mes turime:

Taigi, turime horizontalią asimptotę ir vertikalią, hiperbolės centras yra taškas (3;2). Iliustruojame:

Ryžiai. 1. Hiperbolės grafikas, pavyzdžiui, 1

Trupmeninės tiesinės funkcijos problemas gali apsunkinti modulio ar parametro buvimas. Norėdami sukurti, pavyzdžiui, funkcijos grafiką, turite vadovautis šiuo algoritmu:

Ryžiai. 2. Algoritmo iliustracija

Gautoje diagramoje yra šakų, esančių virš x ašies ir žemiau x ašies.

1. Taikykite nurodytą modulį. Šiuo atveju grafiko dalys, esančios virš x ašies, lieka nepakitusios, o esančios žemiau ašies, atspindinčios x ašį. Mes gauname:

Ryžiai. 3. Algoritmo iliustracija

2 pavyzdys – nubraižykite funkciją:

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas, pavyzdžiui, 2

Apsvarstykite šią užduotį – sukurkite funkcijos grafiką. Norėdami tai padaryti, turite laikytis šio algoritmo:

1. Nubraižykite submodulinę funkciją

Tarkime, kad gauname tokį grafiką:

Ryžiai. 5. Algoritmo iliustracija

1. Taikykite nurodytą modulį. Norėdami suprasti, kaip tai padaryti, išplėskime modulį.

Taigi funkcijų reikšmėms su neneigiamomis argumentų reikšmėmis pakeitimų nebus. Kalbant apie antrąją lygtį, mes žinome, kad ji gaunama simetriškai y ašies atžvilgiu. turime funkcijos grafiką:

Ryžiai. 6. Algoritmo iliustracija

3 pavyzdys – nubraižykite funkciją:

Pagal algoritmą pirmiausia reikia sudaryti submodulinės funkcijos grafiką, mes jį jau sukūrėme (žr. 1 pav.)

Ryžiai. 7. Funkcijos grafikas pvz 3

4 pavyzdys – raskite lygties šaknų skaičių su parametru:

Prisiminkite, kad lygties su parametru sprendimas reiškia pereiti visas parametro reikšmes ir nurodyti kiekvienos iš jų atsakymą. Veikiame pagal metodiką. Pirmiausia sukuriame funkcijos grafiką, tai jau padarėme ankstesniame pavyzdyje (žr. 7 pav.). Toliau reikia išardyti grafiką su skirtingų a linijų šeima, rasti susikirtimo taškus ir užrašyti atsakymą.

Žvelgdami į grafiką išrašome atsakymą: kada ir lygtis turi du sprendinius; kai lygtis turi vieną sprendinį; kai lygtis neturi sprendinių.