Paveikslėlyje parodytas antidarinio grafikas

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=9 ir x=5. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Atsakymas

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas – viena iš funkcijos f(x) antidarinių, apibrėžtų intervale (-5; 5). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f(x)=0 sprendinių skaičių atkarpoje [-3; 4].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal antidarinės apibrėžimą galioja lygybė: F"(x)=f(x). Todėl lygtį f(x)=0 galima parašyti kaip F"(x)=0. Kadangi paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas, reikia surasti tuos taškus intervale [-3; 4], kurioje funkcijos F(x) išvestinė lygi nuliui. Iš paveikslo aišku, kad tai bus F(x) grafiko kraštutinių taškų (maksimalaus arba minimumo) abscisės. Nurodytame intervale jų yra lygiai 7 (keturi minimalūs ir trys didžiausi taškai).

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(5)-F(0), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(5)-F(0), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=5 ir x=0. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 5 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas – vienas iš kokios nors funkcijos f(x) antidarinių, apibrėžtos intervale (-5; 4). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f (x) = 0 sprendinių skaičių atkarpoje (-3; 3]).

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal antidarinės apibrėžimą galioja lygybė: F"(x)=f(x). Todėl lygtį f(x)=0 galima parašyti kaip F"(x)=0. Kadangi paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas, reikia surasti tuos taškus intervale [-3; 3], kurioje funkcijos F(x) išvestinė lygi nuliui.

Iš paveikslo aišku, kad tai bus F(x) grafiko kraštutinių taškų (maksimalaus arba minimumo) abscisės. Nurodytame intervale jų yra lygiai 5 (du minimalūs taškai ir trys didžiausi taškai).

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas. Funkcija F(x)=-x^3+4.5x^2-7 yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Raskite užtamsintos figūros plotą.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Nuspalvinta figūra yra kreivinė trapecija, kurią iš viršaus riboja funkcijos y=f(x) grafikas, tiesės y=0, x=1 ir x=3. Pagal Niutono-Leibnizo formulę jos plotas S lygus skirtumui F(3)-F(1), kur F(x) yra sąlygoje nurodytos funkcijos f(x) antidarinė. Štai kodėl S = F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\ctaškas 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\ctaškas 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas. Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 yra viena iš funkcijos f(x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Sveiki, draugai! Šiame straipsnyje apžvelgsime antidarinių užduotis. Šios užduotys įtrauktos į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Nepaisant to, kad patys skyriai - diferenciacija ir integracija - yra gana talpūs algebros kurse ir reikalauja atsakingo požiūrio į supratimą, tačiau pačios užduotys, kurios yra įtrauktos į atviras bankas matematikos užduotys bus labai paprastos atliekant vieningą valstybinį egzaminą ir jas bus galima išspręsti vienu ar dviem etapais.

Svarbu tiksliai suprasti antidarinio esmę ir ypač geometrinę integralo reikšmę. Trumpai panagrinėkime teorinius pagrindus.

Geometrinė integralo reikšmė

Trumpai apie integralą galime pasakyti taip: integralas yra sritis.

Apibrėžimas: Tegul atkarpoje apibrėžtos teigiamos funkcijos f grafikas yra pateiktas koordinačių plokštumoje. Pografas (arba kreivinė trapecija) yra figūra, apribota funkcijos f grafiko, tiesių x = a ir x = b ir x ašies.

Apibrėžimas: Tegu yra teigiama funkcija f, apibrėžta baigtiniame atkarpoje. Funkcijos f integralas atkarpoje yra jos pografo plotas.

Kaip jau minėta, F'(x) = f (x).Ką galime daryti išvadą?

Tai paprasta. Turime nustatyti, kiek šiame grafike yra taškų, kuriuose F′(x) = 0. Žinome, kad tuose taškuose, kur funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti x ašiai. Parodykime šiuos taškus intervale [–2;4]:

Tai yra tam tikros funkcijos F (x) ekstremumo taškai. Jų yra dešimt.

Atsakymas: 10

323078. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos y = f (x) grafikas (du spinduliai su bendru pradiniu tašku). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F (8) – F (2), kur F (x) yra vienas iš funkcijos f (x) antidarinių.

Dar kartą užrašykime Niutono-Leibnizo teoremą:Tegul f šią funkciją, F yra jo savavališkas antidarinys. Tada

Ir tai, kaip jau minėta, yra funkcijos pografo sritis.

Taigi, problema kyla ieškant trapecijos ploto (intervalas nuo 2 iki 8):

Nesunku jį apskaičiuoti pagal ląsteles. Gauname 7. Ženklas yra teigiamas, nes figūra yra virš x ašies (arba teigiamojoje y ašies pusplokštumoje).

Net ir šiuo atveju būtų galima pasakyti taip: taškuose esančių antidarinių verčių skirtumas yra figūros plotas.

Atsakymas: 7

323079. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos y = f (x) grafikas. Funkcija F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 yra vienas iš funkcijos y = f (x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Kaip jau buvo pasakyta apie geometrinę integralo reikšmę, tai yra figūros plotas, kurį riboja funkcijos f (x) grafikas, tiesės x = a ir x = b ir ašies ašis.

Teorema (Niutonas–Leibnicas):

Taigi, užduotis yra apskaičiuoti tam tikros funkcijos apibrėžtąjį integralą intervale nuo –11 iki –9, arba, kitaip tariant, reikia rasti skirtumą tarp antiderivatų, apskaičiuotų nurodytuose taškuose:

Atsakymas: 6

323080. Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y = f (x) grafikas.

Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 yra vienas iš funkcijos f (x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Teorema (Niutonas–Leibnicas):

Problema susijusi su tam tikros funkcijos apibrėžtojo integralo apskaičiavimu intervale nuo –10 iki –8:

Atsakymas: 4 Galite peržiūrėti .

Išvestinės ir diferencijavimo taisyklės taip pat yra . Jas žinoti būtina, ne tik tokias užduotis spręsti.

Taip pat galite pažiūrėti Papildoma informacija svetainėje ir .

Pažiūrėkite trumpą vaizdo įrašą, tai ištrauka iš filmo „Akloji pusė“. Galima sakyti, kad tai filmas apie išsilavinimą, apie gailestingumą, apie neva „atsitiktinių“ susitikimų svarbą mūsų gyvenime... Tačiau šių žodžių neužteks, rekomenduoju pažiūrėti patį filmą, labai rekomenduoju.

Linkiu sėkmės!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b, atsižvelgiant į tai, kad liestinės taško abscisė yra mažesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, tai yra, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas vienu metu priklauso abiem funkcija ir liestinė, tai yra -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Gauname lygčių sistemą \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=9 ir x=5. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-4; 10). Raskite mažėjančios funkcijos f(x) intervalus. Jūsų atsakyme, nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Kaip žinoma, funkcija f(x) mažėja tuose intervaluose, kurių kiekviename taške išvestinė f"(x) yra mažesnė už nulį. Atsižvelgiant į tai, kad reikia rasti didžiausio iš jų ilgį, yra trys tokie intervalai. natūraliai skiriasi nuo figūros: (-4; -2) (0; 3; 9);

Didžiausio iš jų ilgis (5; 9) yra 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje pavaizduotas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 7). Raskite funkcijos f(x), priklausančių maksimalių taškų skaičių. intervalas [-6; -2].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Grafikas rodo, kad funkcijos f(x) išvestinė f"(x) keičia ženklą iš pliuso į minusą (tokiuose taškuose bus maksimumas) tiksliai viename taške (tarp -5 ir -4) iš intervalo [ -6; -2 ] Todėl intervale yra lygiai vienas maksimalus taškas [-6;

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x), apibrėžtos intervale (-2; 8), grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra lygi 0, skaičių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Išvestinės lygybė taške su nuliu reiškia, kad šiame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Šioje diagramoje tokie taškai yra ekstremalūs taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 5 ekstremalūs taškai.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei. Raskite liestinės taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko tiesės kampinis koeficientas savavališkame taške x_0 yra lygus y"(x_0). Bet y"=-2x+5, o tai reiškia y" (x_0)=-2x_0+5. Sąlygoje nurodytas tiesės koeficientas y=-3x+4 lygiagrečios tiesės turi tokius pat kampinius koeficientus, kad = -2x_0 +5=-3.

Gauname: x_0 = 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas, o abscisėje pažymėti taškai -6, -1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

51. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=f "(x)- funkcijos išvestinė f(x), apibrėžtas intervale (- 4; 6). Raskite taško, kuriame yra funkcijos grafiko liestinė, abscisę y=f(x) lygiagrečiai tiesei y = 3x arba sutampa su juo.

Atsakymas: 5

52. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=F(x) f(x) f(x) teigiamas?

Atsakymas: 7

53. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=F(x) vienas iš kokios nors funkcijos antidarinių f(x) ir aštuoni taškai pažymėti x ašyje: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Kiek iš šių taškų yra funkcija f(x) neigiamas?

Atsakymas: 3

54. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=F(x) vienas iš kokios nors funkcijos antidarinių f(x) ir X ašyje pažymėta dešimt taškų: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Kiek iš šių taškų yra funkcija f(x) teigiamas?

Atsakymas: 6

55. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=F(x f(x), apibrėžtas intervale (- 7; 5). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties sprendinių skaičių f(x)=0 atkarpoje [− 5;  2].

Atsakymas: 3

56. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=F(x) vienas iš kokios nors funkcijos antidarinių f (x), apibrėžtas intervale (- 8; 7). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties sprendinių skaičių f(x)= 0 intervale [− 5;  5].

Atsakymas: 4

57. Paveiksle pavaizduotas grafikas y=F(x) vienas iš kokios nors funkcijos antidarinių f(x), apibrėžtas intervale (1;13). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties sprendinių skaičių f (x)=0 segmente .

Atsakymas: 4

58. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos grafikas y=f(x)(du spinduliai su bendru pradžios tašku). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(-1)-F(-8), Kur F(x) f(x).

Atsakymas: 20

59. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos grafikas y=f(x) (du spinduliai su bendru pradžios tašku). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(-1)-F(-9), Kur F(x)- viena iš primityvių funkcijų f(x).

Atsakymas: 24

60. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos grafikas y=f(x). Funkcija

-viena iš primityvių funkcijų f(x). Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas: 6

61. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos grafikas y=f(x). Funkcija

Viena iš primityvių funkcijų f(x). Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas: 14.5

lygiagrečiai funkcijos grafiko liestinei

Atsakymas: 0,5

Raskite liestinės taško abscisę.

Atsakymas: -1

yra funkcijos grafiko liestinė

Rasti c.

Atsakymas: 20

yra funkcijos grafiko liestinė

Rasti a.

Atsakymas: 0,125

yra funkcijos grafiko liestinė

Rasti b, atsižvelgiant į tai, kad liestinės taško abscisė yra didesnė nei 0.

Atsakymas: -33

67. Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį

Kur x t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 96 m/s?

Atsakymas: 18

68. Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį

Kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 48 m/s?

Atsakymas: 9

69. Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį

Kur x t t=6 Su.

Atsakymas: 20

70. Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį

Kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (m/s) laiko momentu t=3 Su.

Atsakymas: 59

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Turinys

Turinio elementai

Išvestinė, liestinė, antiderivatinė, funkcijų grafikai ir išvestinės.

Darinys Tegul funkcija \(f(x)\) yra apibrėžta tam tikroje taško \(x_0\) kaimynystėje.

Funkcijos \(f\) išvestinė taške \(x_0\) vadinamas limitu

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

jei ši riba egzistuoja.

Funkcijos išvestinė taške apibūdina šios funkcijos kitimo greitį tam tikrame taške.

Išvestinių priemonių lentelė

Funkcija	Darinys
\(konst.\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Diferencijavimo taisyklės\(f\) ir \(g\) yra funkcijos, priklausančios nuo kintamojo \(x\); \(c\) yra skaičius.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) – sudėtingos funkcijos išvestinė

Geometrinė išvestinės reikšmė Linijos lygtis- ne lygiagrečiai ašiai \(Oy\) galima parašyti \(y=kx+b\) forma. Koeficientas \(k\) šioje lygtyje vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tangentui pasvirimo kampasši tiesi linija.

Tiesus kampas- kampas tarp teigiamos \(Ox\) ašies krypties ir šios tiesės, išmatuotas teigiamų kampų kryptimi (ty mažiausio sukimosi kryptimi nuo \(Ox\) ašies iki \ (Oy\) ašis).

Funkcijos \(f(x)\) išvestinė taške \(x_0\) yra lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui šiame taške: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Jei \(f"(x_0)=0\), tada funkcijos \(f(x)\) grafiko liestinė taške \(x_0\) yra lygiagreti ašiai \(Ox\).

Tangento lygtis

Funkcijos \(f(x)\) grafiko liestinės lygtis taške \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Funkcijos monotoniškumas Jei funkcijos išvestinė yra teigiama visuose intervalo taškuose, tai funkcija didėja šiame intervale.

Jei funkcijos išvestinė yra neigiama visuose intervalo taškuose, tai funkcija šiame intervale mažėja.

Minimalus, maksimalus ir posūkio taškai teigiamasįjungta neigiamasšiuo metu \(x_0\) yra maksimalus funkcijos \(f\) taškas.

Jei funkcija \(f\) yra ištisinė taške \(x_0\), o šios funkcijos išvestinės reikšmė \(f"\) pasikeičia neigiamasįjungta teigiamasšiuo metu \(x_0\) yra mažiausias funkcijos \(f\) taškas.

Iškviečiami taškai, kuriuose išvestinė \(f"\) lygi nuliui arba neegzistuoja kritinius taškus funkcijos \(f\).

Funkcijos \(f(x)\) apibrėžimo srities vidiniai taškai, kuriuose \(f"(x)=0\) gali būti minimalus, maksimalus arba vingio taškai.

Išvestinio fizinė reikšmė Jeigu materialusis taškas juda tiesia linija, o jo koordinatė keičiasi priklausomai nuo laiko pagal dėsnį \(x=x(t)\), tai šio taško greitis yra lygus koordinatės išvestinei laiko atžvilgiu:

Materialaus taško pagreitis yra lygus šio taško greičio išvestinei laiko atžvilgiu:

\(a(t)=v"(t).\)