Padalinkite apskritimą į bet kokį vienodų dalių skaičių. Apskritimo padalijimas į lygias dalis ir taisyklingų įbrėžinių daugiakampių konstravimas

Apskritimas yra uždara lenkta linija, kurios kiekvienas taškas yra vienodu atstumu nuo vieno taško O, vadinamo centru.

Vadinamos tiesios linijos, jungiančios bet kurį apskritimo tašką su jo centru spinduliai R.

Vadinama tiesė AB, jungianti du apskritimo taškus ir einanti per jo centrą O skersmuo D.

Apskritimų dalys vadinamos lankai.

Vadinama tiesė CD, jungianti du apskritimo taškus akordas.

Vadinama tiesė MN, turinti tik vieną bendrą tašką su apskritimu liestinė.

Vadinama apskritimo dalis, kurią riboja stygos CD ir lankas segmentas.

Apskritimo dalis, kurią riboja du spinduliai ir lankas, vadinama sektoriuje.

Vadinamos dvi viena kitai statmenos horizontalios ir vertikalios linijos, susikertančios apskritimo centre apskritimo ašys.

Dviejų spindulių KOA suformuotas kampas vadinamas centrinis kampas.

Du viena kitai statmenas spindulys padarykite 90 0 kampą ir apribokite 1/4 apskritimo.

Apskritimo padalijimas į dalis

Nubrėžiame apskritimą horizontaliomis ir vertikaliomis ašimis, kurios padalija jį į 4 lygias dalis. Atliekama naudojant kompasą arba kvadratą 45 0, du tarpusavyje statmenos linijos padalinkite apskritimą į 8 lygiomis dalimis.

Apskritimo padalijimas į 3 ir 6 lygias dalis (kartai nuo 3 iki trijų)

Norėdami padalyti apskritimą į 3, 6 ir jų kartotinius, nubrėžkite tam tikro spindulio apskritimą ir atitinkamas ašis. Padalijimas gali prasidėti nuo horizontalios arba sankirtos taško vertikali ašis su ratu. Nurodytas apskritimo spindulys brėžiamas 6 kartus iš eilės. Tada gauti apskritimo taškai yra nuosekliai sujungti tiesiomis linijomis ir sudaro taisyklingą įrašytą šešiakampį. Sujungus taškus per vieną gaunamas lygiakraštis trikampis, o apskritimą padalinus į tris lygias dalis.

Įprasto penkiakampio konstrukcija atliekama taip. Nubrėžiame dvi viena kitai statmenas apskritimo ašis, lygias apskritimo skersmeniui. Dešinę horizontalaus skersmens pusę padalinkite per pusę, naudodami lanką R1. Iš gauto taško „a“, esančio šios atkarpos, kurios spindulys R2, viduryje nubrėžkite apskritimo lanką, kol jis susikirs su horizontaliu skersmeniu taške „b“. Su spinduliu R3 nuo taško „1“ nubrėžkite apskritimo lanką, kol jis susikerta su nurodytu apskritimu (taškas 5), ir gaukite taisyklingo penkiakampio kraštinę. Atstumas „b-O“ nurodo taisyklingo dešimtkampio kraštinę.

Apskritimo padalijimas į N skaičių identiškų dalių (sudaryti taisyklingą daugiakampį su N kraštinėmis)

Tai daroma taip. Nubrėžiame horizontalią ir vertikalią viena kitai statmeną apskritimo ašį. Iš viršutinio apskritimo taško „1“ nubrėžkite tiesią liniją savavališku kampu vertikalios ašies atžvilgiu. Ant jo išdėliojame vienodus savavališko ilgio segmentus, kurių skaičius lygus dalių, į kurias padaliname duotą apskritimą, skaičiui, pavyzdžiui, 9. Paskutinio segmento galą sujungiame su apatiniu vertikalaus skersmens tašku. . Iš atidėtų segmentų galų brėžiame lygiagrečias gautajai linijas, kol jos susikerta su vertikaliu skersmeniu, taip padalijant vertikalų tam tikro apskritimo skersmenį į tam tikrą skaičių dalių. Spindulys lygus apskritimo skersmeniui, nuo apatinio vertikalios ašies taško brėžiame lanką MN, kol jis susikerta su apskritimo horizontalios ašies tęsiniu. Iš taškų M ir N brėžiame spindulius per lyginio (arba nelyginio) vertikalaus skersmens padalijimo taškus, kol jie susikerta su apskritimu. Gauti apskritimo segmentai bus reikalingi, nes 1, 2, … punktai. 9 padalinkite apskritimą į 9 (N) lygias dalis.

Norint rasti apskritimo lanko centrą, reikia atlikti tokias konstrukcijas: ant šio lanko pažymime keturis savavališkus taškus A, B, C, D ir sujungiame juos poromis stygomis AB ir CD. Kiekvieną akordą padalijame per pusę, naudodami kompasą, taip gaudami statmeną, einantį per atitinkamos stygos vidurį. Šių statmenų tarpusavio susikirtimas suteikia duoto lanko centrą ir jį atitinkantį apskritimą.

Apskritimo padalijimas į tris lygias dalis. Sumontuokite kvadratą su 30 ir 60° kampais, o didžioji kojelė būtų lygiagreti vienai iš centrinių linijų. Išilgai hipotenuzės nuo taško 1 (pirmas padalijimas) nubrėžkite akordą (2.11 pav., A), gaudami antrą padalijimą - tašką 2. Apvertę kvadratą ir nubrėžę antrąjį akordą, gauname trečią padalijimą - tašką 3 (2.11 pav., b). Sujungimo taškai 2 ir 3; 3 Ir 1 tiesios linijos, gauname lygiakraštį trikampį.

Ryžiai. 2.11.

a, b – c naudojant kvadratą; V- naudojant kompasą

Tą pačią problemą galima išspręsti naudojant kompasą. Kompaso atraminę kojelę padėjus apatiniame arba viršutiniame skersmens gale (2.11 pav., V), apibūdinkite lanką, kurio spindulys lygus apskritimo spinduliui. Gaukite pirmąjį ir antrąjį skyrius. Trečias skyrius yra priešingame skersmens gale.

Apskritimo padalijimas į šešias lygias dalis

Kompaso sprendimas nustatytas lygus spinduliui R apskritimai. Nuo vieno iš apskritimo skersmenų galų (iš taškų 1, 4 ) apibūdinti lankus (2.12 pav., a, b). Taškai 1, 2, 3, 4, 5, 6 padalinkite apskritimą į šešias lygias dalis. Sujungus juos tiesiomis linijomis, gaunamas taisyklingas šešiakampis (2.12 pav., b).

Ryžiai. 2.12.

Tą pačią užduotį galima atlikti naudojant liniuotę ir kvadratą su 30 ir 60° kampais (2.13 pav.). Trikampio hipotenuzė turi eiti per apskritimo centrą.

Ryžiai. 2.13.

Apskritimo padalijimas į aštuonias lygias dalis

Taškai 1, 3, 5, 7 guli vidurio linijų sankirtoje su apskritimu (2.14 pav.). Dar keturi taškai randami naudojant 45° kvadratą. Gaudamas taškus 2, 4, 6, 8 Trikampio hipotenuzė eina per apskritimo centrą.

Ryžiai. 2.14.

Apskritimo padalijimas į bet kokį lygių dalių skaičių

Norėdami padalyti apskritimą į bet kokį lygių dalių skaičių, naudokite lentelėje pateiktus koeficientus. 2.1.

Ilgis l styga, kuri nubrėžta duotame apskritime, nustatoma pagal formulę l = dk, Kur l– akordo ilgis; d– nurodyto apskritimo skersmuo; k– koeficientas, nustatytas pagal lentelę. 1.2.

2.1 lentelė

Apskritimų dalijimo koeficientai

Norėdami padalyti, pavyzdžiui, 90 mm skersmens apskritimą į 14 dalių, atlikite šiuos veiksmus.

Pirmajame lentelės stulpelyje. 2.1 raskite skyrių skaičių P, tie. 14. Iš antrojo stulpelio išrašykite koeficientą k, atitinkantis padalinių skaičių P.Šiuo atveju jis lygus 0,22252. Tam tikro apskritimo skersmuo padauginamas iš koeficiento, kad būtų gautas stygos ilgis l=dk= 90 0,22252 = 0,22 mm. Gautas stygos ilgis matavimo kompasu nubrėžiamas 14 kartų tam tikrame apskritime.

Lanko centro radimas ir spindulio nustatymas

Duotas apskritimo lankas, kurio centras ir spindulys nežinomi.

Norint juos nustatyti, reikia nubrėžti dvi nelygiagrečias stygas (2.15 pav., A) ir atstatyti statmenus į stygų vidurio taškus (2.15 pav., b). centras APIE lankas yra šių statmenų sankirtoje.

Ryžiai. 2.15.

Bičiuliai

Darant mechanikos inžinerinius brėžinius, taip pat gamyboje žymint detalių ruošinius, dažnai reikia sklandžiai sujungti tieses su apskritimo lankais arba apskritimo lanką su kitų apskritimų lankais, t.y. atlikti poravimą.

Poravimas vadinamas sklandžiu tiesios linijos perėjimu į apskritimo lanką arba vieno lanko į kitą.

Norint konstruoti mate, reikia žinoti mate spindulį, rasti centrus, iš kurių brėžiami lankai, t.y. mate centrai(2.16 pav.). Tada reikia surasti taškus, kuriuose viena linija virsta kita, t.y. mate taškų. Statant brėžinį, jungiamosios linijos turi būti tiksliai nuvestos į šiuos taškus. Apskritimo lanko ir tiesės konjugacijos taškas yra ant statmenos, nuleistas nuo lanko centro iki jungiamosios tiesės (2.17 pav., A), arba tiesėje, jungiančioje poravimosi lankų centrus (2.17 pav., b). Todėl, norėdami sukurti bet kokią konjugaciją su tam tikro spindulio lanku, turite rasti mate centras Ir tašką (taškų) poravimas.

Ryžiai. 2.16.

Ryžiai. 2.17.

Dviejų susikertančių tiesių su tam tikro spindulio lanku konjugacija. Duotos tiesės, susikertančios stačiu, smailiu ir buku kampu (2.18 pav., A). Būtina sukonstruoti šių tiesių su tam tikro spindulio lanku porininkus R.

Ryžiai. 2.18.

Visais trim atvejais galima taikyti tokią konstrukciją.

1. Raskite tašką APIE– porininko centras, kuris turi būti per atstumą R iš kampo šonų, t.y. tiesių, einančių lygiagrečiai kampo kraštinėms atstumu, susikirtimo taške R iš jų (2.18 pav., b).

Nubrėžti tiesias linijas, lygiagrečias kampo kraštams iš savavališkų taškų, paimtų tiesiose linijose, naudojant kompaso sprendimą, lygų R, padarykite įpjovas ir nubrėžkite prie jų liestinės (2.18 pav., b).

• 2. Raskite sujungimo taškus (2.18 pav., c). Norėdami tai padaryti iš taško APIE numesti statmenus ant nurodytų linijų.
• 3. Iš taško O, kaip nuo centro, apibūdinkite nurodyto spindulio lanką R tarp sąsajos taškų (2.18 pav., c).

Renovacijos metu dažnai tenka susidurti su apskritimais, ypač jei norite sukurti įdomių ir originalių dekoratyvinių elementų. Taip pat dažnai tenka juos padalyti į lygias dalis. Yra keletas būdų tai padaryti. Pavyzdžiui, galite nupiešti taisyklingą daugiakampį arba naudoti visiems nuo mokyklos laikų žinomus įrankius. Taigi, norint padalyti apskritimą į lygias dalis, jums reikės paties apskritimo su aiškiai apibrėžtu centru, pieštuko, transporterio, taip pat liniuotės ir kompaso.

Apskritimo padalijimas naudojant transporterį

Padalyti apskritimą į lygias dalis naudojant minėtą įrankį yra bene paprasčiausia. Yra žinoma, kad apskritimas yra 360 laipsnių. Padalijus šią vertę į reikiamą dalių skaičių, galite sužinoti, kiek kiekviena dalis užtruks (žr. nuotrauką).

Toliau, pradėdami nuo bet kurio taško, galite padaryti pastabas, atitinkančias atliktus skaičiavimus. Šis metodas yra geras, kai apskritimą reikia padalyti iš 5, 7, 9 ir kt. dalys. Pavyzdžiui, jei figūrą reikia padalyti į 9 dalis, žymės bus 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280 ir 320 laipsnių kampu.

Padalijimas į 3 ir 6 dalis

Norėdami teisingai padalinti apskritimą į 6 dalis, galite naudoti nuosavybę taisyklingas šešiakampis, t.y. jo ilgiausia įstrižainė turi būti dvigubai didesnė už jos kraštinę. Pirmiausia kompasas turi būti ištemptas iki ilgio, lygaus figūros spinduliui. Tada, palikdami vieną iš įrankio kojelių bet kuriame apskritimo taške, antrojoje reikia padaryti įpjovą, po kurios, kartodami manipuliacijas, galėsite padaryti šešis taškus, kuriuos sujungdami galite gauti šešiakampį ( žiūrėti nuotrauką).

Sujungus figūros viršūnes per vieną, galima gauti taisyklingą trikampį ir atitinkamai figūrą galima padalinti į 3 lygias dalis, o sujungus visas viršūnes ir per jas nubrėžus įstrižaines, figūrą padalinti į 6 dalis.

Padalijimas į 4 ir 8 dalis

Jei apskritimą reikia padalyti į 4 lygias dalis, pirmiausia reikia nubrėžti figūros skersmenį. Tai leis vienu metu gauti du iš reikiamų keturių taškų. Tada turite paimti kompasą, ištiesti jo kojas išilgai skersmens, tada palikti vieną iš jų viename skersmens gale, o kitas įpjovas padaryti apskritimo išorėje iš apačios ir viršaus (žr. nuotrauką).

Tą patį reikia padaryti su kitu skersmens galu. Po to taškai, gauti už apskritimo, sujungiami liniuote ir pieštuku. Gauta linija bus antrasis skersmuo, kuris bus aiškiai statmenas pirmajam, todėl figūra bus padalinta į 4 dalis. Norint gauti, pavyzdžiui, 8 lygias dalis, gautus stačius kampus galima padalyti per pusę ir per juos nubrėžti įstrižaines.

Norint padalyti apskritimą per pusę, pakanka nubrėžti bet kokį skersmenį. Du tarpusavyje statmeni skersmenys padalins apskritimą į keturias lygias dalis (28 pav., a Padalijus kiekvieną ketvirtą dalį per pusę, gausite aštuntąją, o toliau – šešioliktąją, trisdešimt antrąją dalis ir tt (28 pav.). b) Jei padalijimo taškus sujungsite tiesiomis linijomis, galite gauti įprasto įbrėžto kvadrato kraštines (). a 4 ), aštuonkampis ( a 8 ) ir t . d (28 pav., c).

28 pav

Padalijus apskritimą į 3, 6, 12 ir tt lygias dalis, ir atitinkamų taisyklingųjų įbrėžtinių daugiakampių konstravimas atliekami taip. Apskritimu nubrėžti du vienas kitam statmeni skersmenys 1–2 Ir 3–4 (29 a pav.). Iš taškų 1 Ir 2 kaip iš centrų aprašomi lankai su apskritimo spinduliu R prieš susikertant jį taškuose A, B, C Ir D . Taškai A , B , 1, C, D Ir 2 padalinkite apskritimą į šešias lygias dalis. Tie patys taškai, paimti per vieną, padalins apskritimą į tris lygias dalis (29 pav., b). Norėdami padalyti apskritimą į 12 lygių dalių, apibūdinkite dar du lankus su apskritimo spinduliu nuo taškų 3 Ir 4 (29 pav., c).

29 pav

Naudodami liniuotę ir 30 ir 60° kvadratą taip pat galite sukonstruoti įprastus trikampius, šešiakampius ir pan. 30 paveiksle pavaizduota panaši įbrėžto trikampio konstrukcija.

30 pav

Apskritimo padalijimas į septynias lygias dalis o taisyklingo įbrėžto septyniakampio konstravimas (31 pav.) atliekamas naudojant pusę įbrėžto trikampio kraštinės, apytiksliai lygia pusė užrašytas septyniakampis.

31 pav

Padalinti apskritimą į penkias ar dešimt lygių dalių nubrėžkite du vienas kitam statmenus skersmenis (32 pav., a). Spindulys O.A. padalinti per pusę ir gavęs tašką IN , apibūdinkite lanką nuo jo spinduliu R = BC kol susikerta taške D su horizontaliu skersmeniu. Atstumas tarp taškų C Ir D lygus taisyklingo įbrėžto penkiakampio kraštinės ilgiui ( a 5 ) ir segmentą O.D. lygus taisyklingo įrašyto dešimtkampio kraštinės ilgiui ( a 10 ). Apskritimo padalijimas į penkias ir dešimt lygių dalių, taip pat įbrėžtų taisyklingųjų penkiakampių ir dešimtkampių konstrukcija parodyta 32 paveiksle, b. Apskritimo padalijimo į penkias dalis naudojimo pavyzdys yra penkiakampė žvaigždė (32 pav., c).

32 pav

33 paveiksle parodyta bendras metodas apytikslis apskritimo padalijimas į lygias dalis . Tarkime, kad norite padalyti apskritimą į devynias lygias dalis. Apskritimu nubrėžti du vienas kitam statmeni skersmenys ir vertikalus skersmuo AB padalijama į devynias lygias dalis, naudojant pagalbinę tiesę (33 pav., a). Iš taško B apibūdinkite lanką su spinduliu R = AB, o jo sankirtoje su horizontalaus skersmens tęsiniu gaunami taškai SU Ir D . Iš taškų C Ir D per lyginio arba nelyginio skersmens padalijimo taškus AB laidi spindulius. Spindulių susikirtimo taškai su apskritimu jį padalins į devynias lygias dalis (33 pav., b).

Apskritimo padalijimas į keturias lygias dalis ir taisyklingo įbrėžto keturkampio sudarymas(6 pav.).

Dvi viena kitai statmenos vidurio linijos padalija apskritimą į keturias lygias dalis. Šių tiesių susikirtimo taškus su apskritimu sujungus tiesėmis, gaunamas taisyklingasis įbrėžtas keturkampis.

Apskritimo padalijimas į aštuonias lygias dalis ir taisyklingo įbrėžto aštuonkampio sukūrimas(7 pav.).

Apskritimas yra padalintas į aštuonias lygias dalis naudojant kompasą taip.

Iš 1 ir 3 taškų (centro linijų susikirtimo su apskritimu taškai) brėžiami savavališko spindulio R lankai, kol jie susikerta, ir iš taško 5 daroma įpjova tokiu pat spinduliu lanke, nubrėžtame iš taško. 3.

Per serifų ir apskritimo centro susikirtimo taškus brėžiamos tiesios linijos, kol jos susikerta su apskritimu taškuose 2, 4, 6, 8.

Jei gautus aštuonis taškus nuosekliai sujungsite tiesiomis linijomis, gausite taisyklingą užrašytą aštuonkampį.

Apskritimo padalijimas į tris lygias dalis ir taisyklingo brėžinio trikampio sukūrimas(8 pav.).

1 variantas.

Padalydami apskritimą kompasu į tris lygias dalis, iš bet kurio apskritimo taško, pavyzdžiui, taško A, kuriame susikerta vidurinės linijos su apskritimu, nubrėžkite R spindulio lanką, lygų apskritimo spinduliui, gaudami 2 ir 3 taškai. Trečiasis padalijimo taškas (1 taškas) bus priešingame skersmens, einančio per tašką A, gale. Paeiliui sujungus taškus 1, 2 ir 3, gaunamas taisyklingas įbrėžtas trikampis.

2 variantas.

Statant taisyklingąjį įbrėžtinį trikampį, jei nurodyta viena iš jo viršūnių, pavyzdžiui, taškas 1, randamas taškas A Tam per duotą tašką nubrėžkite skersmenį (8 pav.). Taškas A bus priešingame šio skersmens gale. Tada nubrėžiamas R spindulio lankas, lygus duoto apskritimo spinduliui, gaunami 2 ir 3 taškai.

Apskritimo padalijimas į šešias lygias dalis ir taisyklingo įbrėžto šešiakampio sukūrimas(9 pav.).

Dalijant apskritimą į šešias lygias dalis naudojant kompasą, iš dviejų vienodo skersmens galų brėžiami lankai, kurių spindulys lygus nurodyto apskritimo spinduliui, kol susikerta su apskritimu taškuose 2, 6 ir 3, 5. nuosekliai sujungiant gautus taškus, gaunamas taisyklingas įbrėžtas šešiakampis.

Apskritimo padalijimas į dvylika lygių dalių ir taisyklingo įbrėžto dviračio sudarymas(10 pav.).

Dalijant apskritimą kompasu, iš dviejų viena kitai statmenų apskritimo skersmenų keturių galų brėžiamas lankas, kurio spindulys lygus duoto apskritimo spinduliui, kol susikerta su apskritimu (10 pav.). Sujungus nuosekliai gautus susikirtimo taškus, gaunamas taisyklingas įrašytas dvikampis.

Apskritimo padalijimas į penkias lygias dalis ir taisyklingo įrašyto penkiakampio sudarymas ( 11 pav.).

Dalijant apskritimą kompasu, pusė bet kurio skersmens (spindulio) padalijama per pusę, iš taško A, kaip ir iš centro, nubrėžkite lanką, kurio spindulys lygus atstumui nuo taško A iki taško 1 , kol susikerta su antrąja šio skersmens puse taške B. 1B atkarpa yra lygus stygai, jungiančiai lanką, kurio ilgis lygus 1/5 apskritimo. Padarę įpjovas apskritime, kurio spindulys R1 lygus atkarpai 1B, apskritimą padalinkite į penkias lygias dalis. Pradinis taškas A pasirenkamas priklausomai nuo penkiakampio vietos.

Iš taško 1 statykite taškus 2 ir 5, tada iš taško 2 statykite tašką 3, o iš taško 5 - 4. Atstumas nuo taško 3 iki taško 4 tikrinamas kompasu; jei atstumas tarp taškų 3 ir 4 yra lygus segmentui 1B, tada konstrukcija buvo atlikta tiksliai.

Neįmanoma padaryti įpjovų nuosekliai, viena kryptimi, nes kaupiasi matavimo paklaidos ir paskutinė penkiakampio pusė pasirodo iškreipta. Paeiliui sujungus rastus taškus, gaunamas taisyklingas įbrėžtas penkiakampis.

Apskritimo padalijimas į dešimt lygių dalių ir taisyklingo įbrėžto dešimtakio sukūrimas(12 pav.).

Apskritimo padalijimas į dešimt lygių dalių atliekamas panašiai kaip apskritimo padalijimas į penkias lygias dalis (11 pav.), bet pirmiausia apskritimas padalinamas į penkias lygias dalis, pradedant statyti nuo 1 taško, o tada nuo 6 taško, esančio priešingas skersmens galas. Sujungus visus taškus nuosekliai, gaunamas taisyklingas įrašytas dešimtkampis.

Apskritimo padalijimas į septynias lygias dalis ir taisyklingo įbrėžto septyniakampio sukūrimas(13 pav.).

Iš bet kurio apskritimo taško, pavyzdžiui, taško A, tam tikro apskritimo spinduliu brėžiamas lankas, kol jis susikerta su apskritimu tiesės taškuose B ir D.

Pusė gautos atkarpos (šiuo atveju atkarpa BC) bus lygi stygai, kuri nutiesia lanką, sudarantį 1/7 apskritimo. Kai spindulys lygus atkarpai BC, apskritime daromos įpjovos tokia seka, kokia parodyta statant taisyklingąjį penkiakampį. Sujungus visus taškus iš eilės, gaunamas taisyklingas įrašytas septyniakampis.

Apskritimo padalijimas į keturiolika lygių dalių ir taisyklingo įbrėžinio keturkampio konstravimas (14 pav.).

Apskritimo padalijimas į keturiolika lygių dalių atliekamas panašiai kaip apskritimo padalijimas į septynias lygias dalis (13 pav.), bet pirmiausia apskritimas padalinamas į septynias lygias dalis, pradedant statyti nuo 1 taško, o tada nuo 8 taško, esančio priešingas skersmens galas. Sujungus visus taškus nuosekliai, gaunamas taisyklingas įrašytas keturkampis.