Écrire une forme quadratique sous forme matricielle. Formes carrées. Notation matricielle de forme quadratique

Formes carrées.
Signez la définition des formes. Critère Sylvestre

L'adjectif « quadratique » suggère immédiatement que quelque chose ici est lié à un carré (le deuxième degré), et très bientôt nous découvrirons ce « quelque chose » et quelle en est la forme. Il s'est avéré que c'était un virelangue :)

Bienvenue dans ma nouvelle leçon, et comme échauffement immédiat, nous examinerons la forme rayée linéaire. Forme linéaire variables appelé homogène Polynôme du 1er degré :

- quelques chiffres précis * (on suppose qu'au moins un d'entre eux est non nul), a sont des variables qui peuvent prendre des valeurs arbitraires.

* Dans le cadre de ce sujet, nous considérerons uniquement nombres réels .

Nous avons déjà rencontré le terme « homogène » dans la leçon sur systèmes homogènes d'équations linéaires, et dans ce cas, cela implique que le polynôme n'a pas de constante plus.

Par exemple: – forme linéaire de deux variables

La forme est désormais quadratique. Forme quadratique variables appelé homogène polynôme du 2ème degré, dont chaque terme contient soit le carré de la variable, soit double produit de variables. Ainsi, par exemple, la forme quadratique de deux variables a la forme suivante :

Attention! Il s’agit d’une entrée standard et il n’est pas nécessaire d’y changer quoi que ce soit ! Malgré l'apparence « effrayante », tout est simple ici : les doubles indices des constantes signalent quelles variables sont incluses dans quel terme :
– ce terme contient le produit et (carré) ;
- voici l'ouvrage ;
- et voici le travail.

– J’anticipe immédiatement une grossière erreur lorsqu’ils perdent le « moins » d’un coefficient, sans comprendre qu’il renvoie à un terme :

Parfois, il y a une option de conception « école » dans l'esprit, mais seulement parfois. D’ailleurs, notez que les constantes ne nous disent rien ici, et donc il est plus difficile de retenir la « notation facile ». Surtout quand il y a plus de variables.

Et la forme quadratique de trois variables contient déjà six termes :

...pourquoi « deux » facteurs sont-ils placés en termes « mixtes » ? C'est pratique, et on comprendra bientôt pourquoi.

Cependant, notons la formule générale ; il est pratique de l'écrire sur une « feuille » :

– nous étudions attentivement chaque ligne – il n’y a rien de mal à cela !

La forme quadratique contient des termes avec les carrés des variables et des termes avec leurs produits appariés (cm. formule de combinaison combinatoire) . Rien de plus - pas de « X solitaire » et pas de constante ajoutée (vous n'obtiendrez alors pas une forme quadratique, mais hétérogène polynôme du 2ème degré).

Notation matricielle de forme quadratique

Selon les valeurs, la forme en question peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, et il en va de même pour toute forme linéaire - si au moins un de ses coefficients est différent de zéro, alors il peut être positif ou négatif (selon valeurs).

Ce formulaire est appelé signe alterné. Et si tout est transparent avec la forme linéaire, alors avec la forme quadratique les choses sont bien plus intéressantes :

Il est tout à fait clair que cette forme peut prendre le sens de n'importe quel signe, donc la forme quadratique peut aussi être alternée.

Ce n'est peut-être pas :

– toujours, sauf si simultanément égal à zéro.

- pour tout le monde vecteur sauf zéro.

Et d'une manière générale, si pour quelqu'un non nul vecteur , , alors la forme quadratique est appelée définie positive; si c'est le cas alors négatif défini.

Et tout irait bien, mais le caractère précis de la forme quadratique n'est visible que dans des exemples simples, et cette visibilité est perdue même avec une légère complication :
– ?

On pourrait supposer que la forme est définie positivement, mais est-ce vraiment le cas ? Et s'il y avait des valeurs auxquelles il est inférieur à zéro ?

Sur ce point, il y a théorème: Si tout le monde valeurs propres les matrices de forme quadratique sont positives * , alors il est défini positif. Si tout est négatif, alors négatif.

* Il a été prouvé en théorie que toutes les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle valide

Écrivons la matrice de la forme ci-dessus :
et de l'équation. trouvons-la valeurs propres:

Résolvons le bon vieux équation quadratique:

, ce qui signifie la forme est défini positivement, c'est-à-dire pour toute valeur non nulle, elle est supérieure à zéro.

La méthode envisagée semble fonctionner, mais il y a un gros MAIS. Déjà pour une matrice trois par trois, la recherche des nombres appropriés est une tâche longue et désagréable ; avec une forte probabilité, vous obtiendrez un polynôme du 3ème degré avec des racines irrationnelles.

Que dois-je faire? Il existe un moyen plus simple !

Critère Sylvestre

Non, pas Sylvester Stallone :) Tout d'abord, laissez-moi vous rappeler ce que c'est mineurs de coin matrices. Ce qualificatifs qui « grandissent » à partir de son coin supérieur gauche :

et le dernier est exactement égal au déterminant de la matrice.

Maintenant, en fait, critère:

1) La forme quadratique est définie positivement si et seulement si TOUS ses mineurs angulaires sont supérieurs à zéro : .

2) La forme quadratique est définie négatif si et seulement si ses mineurs angulaires alternent en signe, le 1er mineur étant inférieur à zéro : , , if – pair ou , if – impair.

Si au moins un mineur angulaire est de signe opposé, alors la forme signe alterné. Si les mineurs angulaires sont du signe « droit », mais qu'il y a des zéros parmi eux, alors il s'agit d'un cas particulier, que j'examinerai un peu plus tard, après avoir examiné des exemples plus courants.

Analysons les mineurs angulaires de la matrice :

Et cela nous dit immédiatement que la forme n'est pas définie négativement.

Conclusion: tous les mineurs de coin sont supérieurs à zéro, ce qui signifie la forme est défini positivement.

Y a-t-il une différence avec la méthode des valeurs propres ? ;)

Écrivons la matrice de forme à partir de Exemple 1:

le premier est son mineur angulaire, et le second , d'où il résulte que la forme est alternée en signe, c'est-à-dire selon les valeurs, il peut prendre des valeurs positives et négatives. Cependant, cela est déjà évident.

Prenons la forme et sa matrice de Exemple 2:

Il n’y a aucun moyen de comprendre cela sans perspicacité. Mais avec le critère de Sylvester, on s’en fiche :
, la forme n’est donc certainement pas négative.

, et certainement pas positif (puisque tous les mineurs angulaires doivent être positifs).

Conclusion: la forme est alternée.

Exemples d'échauffement à résoudre par vous-même :

Exemple 4

Étudier les formes quadratiques pour vérifier la définition des signes

UN)

Dans ces exemples, tout se passe bien (voir la fin de la leçon), mais en fait, pour accomplir une telle tâche Le critère de Sylvester n'est peut-être pas suffisant.

Le fait est qu’il existe des cas « extrêmes », à savoir : si pour non nul vecteur, alors la forme est déterminée non négatif, si donc négatif. Ces formulaires ont non nul vecteurs pour lesquels .

Ici vous pouvez citer « l’accordéon » suivant :

Mise en évidence un carré parfait, on voit tout de suite non-négativité forme : , et il est égal à zéro pour tout vecteur de coordonnées égales, par exemple : .

Exemple "Miroir" négatif une certaine forme :

et un exemple encore plus trivial :
– ici la forme est égale à zéro pour tout vecteur , où est un nombre arbitraire.

Comment identifier les formes non négatives ou non positives ?

Pour cela nous avons besoin du concept mineurs majeurs matrices. Un mineur majeur est un mineur composé d'éléments qui se trouvent à l'intersection de lignes et de colonnes portant les mêmes nombres. Ainsi, la matrice comporte deux mineurs principaux du 1er ordre :
(l'élément est situé à l'intersection de la 1ère ligne et de la 1ère colonne) ;
(l'élément est à l'intersection de la 2ème ligne et de la 2ème colonne),

et un mineur majeur de 2ème ordre :
– composé des éléments de la 1ère, 2ème ligne et de la 1ère, 2ème colonne.

La matrice est « trois par trois » Il y a sept mineurs principaux, et ici vous devrez fléchir vos biceps :
– trois mineurs du 1er ordre,
trois mineurs de 2ème ordre :
– composé d'éléments de la 1ère, 2ème ligne et de la 1ère, 2ème colonne ;
– composé d'éléments de la 1ère, 3ème ligne et de la 1ère, 3ème colonne ;
– composé d'éléments de la 2ème, 3ème ligne et de la 2ème, 3ème colonne,
et un mineur de 3ème ordre :
– composé des éléments de la 1ère, 2ème, 3ème rangée et de la 1ère, 2ème et 3ème colonne.
Exercice pour comprendre : notez tous les mineurs majeurs de la matrice .
Nous vérifions à la fin de la leçon et continuons.

Critère de Schwarzenegger:

1) Forme quadratique non nulle* définie non négatif si et seulement si TOUS ses mineurs majeurs non négatif(supérieur ou égal à zéro).

* La forme quadratique zéro (dégénérée) a tous les coefficients égaux à zéro.

2) Une forme quadratique non nulle avec matrice est définie négatif si et seulement si:
– mineurs majeurs du 1er ordre non positif(inférieur ou égal à zéro) ;
– mineurs majeurs du 2ème ordre non négatif;
– les mineurs majeurs du 3ème ordre non positif(l'alternance a commencé) ;
…
– majeur mineur du ème ordre non positif, si – impair ou non négatif, si – même.

Si au moins un mineur est de signe opposé, alors la forme est à signe alterné.

Voyons comment fonctionne le critère dans les exemples ci-dessus :

Créons une matrice de forme, et Premièrement Calculons les mineurs angulaires - et s'ils étaient définis positivement ou négativement ?

Les valeurs obtenues ne satisfont pas au critère de Sylvester, mais au deuxième mineur pas négatif, et cela oblige à vérifier le 2ème critère (dans le cas du 2ème critère, il ne sera pas rempli automatiquement, c'est-à-dire que la conclusion est immédiatement tirée sur l'alternance des signes de la forme).

Principaux mineurs du 1er ordre :
- positif,
majeur mineur du 2ème ordre :
– pas négatif.

Ainsi, TOUS les mineurs majeurs ne sont pas négatifs, ce qui signifie que la forme non négatif.

Écrivons la matrice du formulaire , pour lequel le critère Sylvester n'est évidemment pas satisfait. Mais nous n'avons pas non plus reçu de signes opposés (puisque les deux mineurs angulaires sont égaux à zéro). Nous vérifions donc le respect du critère de non-négativité/non-positivité. Principaux mineurs du 1er ordre :
– pas positif,
majeur mineur du 2ème ordre :
– pas négatif.

Ainsi, selon le critère de Schwarzenegger (point 2), la forme est définie de manière non positive.

Examinons maintenant de plus près un problème plus intéressant :

Exemple 5

Examinez la forme quadratique pour la précision du signe

Ce formulaire est décoré de l'ordre « alpha », qui peut être égal à n'importe quel nombre réel. Mais ce n'en sera que plus amusant nous décidons.

Tout d’abord, écrivons la matrice du formulaire ; beaucoup de gens se sont probablement déjà habitués à le faire oralement : diagonale principale On met les coefficients des carrés, et aux endroits symétriques on met la moitié des coefficients des produits « mixtes » correspondants :

Calculons les mineurs angulaires :

Je développerai le troisième déterminant sur la 3ème ligne :

Le concept de forme quadratique. Matrice de forme quadratique. Forme canonique de forme quadratique. Méthode Lagrange. Vue normale d'une forme quadratique. Rang, index et signature de forme quadratique. Forme quadratique définie positive. Quadriques.

Notion de forme quadratique : une fonction sur un espace vectoriel défini par un polynôme homogène du deuxième degré dans les coordonnées du vecteur.

Forme quadratique de n inconnu s'appelle une somme dont chaque terme est soit le carré d'une de ces inconnues, soit le produit de deux inconnues différentes.

Matrice quadratique : La matrice est appelée matrice de forme quadratique dans une base donnée. Si la caractéristique du champ n'est pas égale à 2, on peut supposer que la matrice de forme quadratique est symétrique, c'est-à-dire.

Écrivez une matrice de forme quadratique :

Ainsi,

Sous forme matricielle vectorielle, la forme quadratique est :

A, où

Forme canonique de forme quadratique : Une forme quadratique est dite canonique si tout c'est à dire.

Toute forme quadratique peut être réduite à une forme canonique à l'aide de transformations linéaires. En pratique, les méthodes suivantes sont généralement utilisées.

méthode Lagrange : sélection séquentielle de carrés complets. Par exemple, si

Ensuite, une procédure similaire est effectuée avec la forme quadratique etc. Si sous forme quadratique tout est mais puis, après transformation préalable, il s'agit de la procédure envisagée. Ainsi, si, par exemple, nous supposons

Forme normale de forme quadratique : Une forme quadratique normale est une forme quadratique canonique dans laquelle tous les coefficients sont égaux à +1 ou -1.

Rang, index et signature de forme quadratique : Rang de la forme quadratique UN est appelé le rang de la matrice UN. Le rang d'une forme quadratique ne change pas sous des transformations non dégénérées d'inconnues.

Le nombre de coefficients négatifs est appelé indice de forme négative.

Le nombre de termes positifs sous forme canonique est appelé indice d'inertie positif de la forme quadratique, le nombre de termes négatifs est appelé indice négatif. La différence entre les indices positifs et négatifs est appelée la signature de la forme quadratique

Forme quadratique définie positive : Forme quadratique réelle est appelé défini positif (défini négatif) si, pour toute valeur réelle des variables qui ne sont pas simultanément nulles,

. (36)

Dans ce cas, la matrice est aussi appelée définie positive (définie négative).

La classe des formes définies positives (définies négatives) fait partie de la classe des formes non négatives (resp. non positives).

Quadriques : Quadrique - n hypersurface dimensionnelle dans n Espace de dimension +1, défini comme l'ensemble des zéros d'un polynôme du deuxième degré. Si vous entrez les coordonnées ( X 1 , X 2 , xn+1 ) (dans l'espace euclidien ou affine), l'équation générale d'une quadrique est

Cette équation peut être réécrite de manière plus compacte en notation matricielle :

où x = ( X 1 , X 2 , xn+1 ) — vecteur de ligne, X T est un vecteur transposé, Q— matrice de taille ( n+1)×( n+1) (on suppose qu'au moins un de ses éléments est non nul), P. est un vecteur ligne, et R.- constante. Les quadriques sur des nombres réels ou complexes sont le plus souvent considérées. La définition peut être étendue aux quadriques dans l'espace projectif, voir ci-dessous.

Plus généralement, l'ensemble des zéros d'un système d'équations polynomiales est appelé variété algébrique. Ainsi, une quadrique est une variété algébrique (affine ou projective) du deuxième degré et de codimension 1.

Transformations du plan et de l'espace.

Définition de la transformation plane. Détection de mouvement. propriétés du mouvement. Deux types de mouvements : mouvement de première espèce et mouvement de seconde espèce. Exemples de mouvements. Expression analytique du mouvement. Classification des mouvements plans (en fonction de la présence de points fixes et de lignes invariantes). Groupe de mouvements d'avion.

Définition de la transformation plane : Définition. Une transformation plane qui préserve la distance entre les points est appelée mouvement(ou mouvement) de l'avion. La transformation plane est appelée affine, s'il transforme trois points quelconques situés sur la même ligne en trois points situés également sur la même ligne et en préservant en même temps la relation simple des trois points.

Définition du mouvement : Ce sont des transformations de forme qui préservent les distances entre les points. Si deux figures sont précisément alignées l’une avec l’autre par le mouvement, alors ces figures sont identiques, égales.

Propriétés de mouvement : Tout mouvement préservant l'orientation d'un plan est soit une translation parallèle, soit une rotation ; tout mouvement changeant d'orientation d'un plan est soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissante. Lors du déplacement, les points situés sur une ligne droite se transforment en points situés sur une ligne droite et l'ordre de leurs positions relatives est conservé. Lors du déplacement, les angles entre demi-lignes sont conservés.

Deux types de mouvements : mouvement de première espèce et mouvement de seconde espèce : Les mouvements du premier type sont les mouvements qui préservent l'orientation des bases d'une certaine figure. Ils peuvent être réalisés par des mouvements continus.

Les mouvements du deuxième type sont les mouvements qui changent l'orientation des bases dans le sens opposé. Ils ne peuvent être réalisés par des mouvements continus.

Des exemples de mouvements du premier type sont la translation et la rotation autour d'une ligne droite, et les mouvements du deuxième type sont les symétries centrales et miroir.

La composition d’un nombre quelconque de mouvements de première espèce est un mouvement de première espèce.

La composition d'un nombre pair de mouvements de seconde espèce est un mouvement de première espèce, et la composition d'un nombre impair de mouvements de seconde espèce est un mouvement de seconde espèce.

Exemples de mouvements :Transfert parallèle. Soit a le vecteur donné. Le transfert parallèle vers le vecteur a est une cartographie du plan sur lui-même, dans laquelle chaque point M est mappé au point M 1, de sorte que le vecteur MM 1 est égal au vecteur a.

La translation parallèle est un mouvement car c'est une cartographie du plan sur lui-même, préservant les distances. Ce mouvement peut être représenté visuellement comme un déplacement de l'ensemble du plan dans la direction d'un vecteur donné a par sa longueur.

Tourner. Notons le point O sur le plan ( centre de tournage) et définissez l'angle α ( angle de rotation). La rotation du plan autour du point O d'un angle α est la cartographie du plan sur lui-même, dans laquelle chaque point M est mappé au point M 1, tel que OM = OM 1 et l'angle MOM 1 est égal à α. Dans ce cas, le point O reste à sa place, c'est-à-dire qu'il est mappé sur lui-même, et tous les autres points tournent autour du point O dans le même sens - dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (la figure montre une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).

La rotation est un mouvement car elle représente une cartographie du plan sur lui-même, dans laquelle les distances sont préservées.

Expression analytique du mouvement : la connexion analytique entre les coordonnées de la préimage et l'image du point a la forme (1).

Classification des mouvements plans (en fonction de la présence de points fixes et de lignes invariantes) : Définition :

Un point sur un plan est invariant (fixe) si, sous une transformation donnée, il se transforme en lui-même.

Exemple : Avec symétrie centrale, le point du centre de symétrie est invariant. En tournant, le point du centre de rotation est invariant. Avec la symétrie axiale, la ligne invariante est une ligne droite - l'axe de symétrie est une ligne droite de points invariants.

Théorème : Si un mouvement n’a pas un seul point invariant, alors il a au moins une direction invariante.

Exemple : transfert parallèle. En effet, les droites parallèles à cette direction sont invariantes en tant que figure dans son ensemble, bien qu'elle ne soit pas constituée de points invariants.

Théorème : Si un rayon se déplace, le rayon se traduit sur lui-même, alors ce mouvement est soit une transformation identique, soit une symétrie par rapport à la droite contenant le rayon donné.

Ainsi, à partir de la présence de points ou de figures invariants, il est possible de classer les mouvements.

Nom du mouvement	Points invariants	Lignes invariantes
Mouvement du premier genre.
1. - tourner	(centre) - 0	Non
2. Transformation identique	tous les points de l'avion	tout droit
3. Symétrie centrale	point 0 - centre	toutes les lignes passant par le point 0
4. Transfert parallèle	Non	tout droit
Mouvement du deuxième type.
5. Symétrie axiale.	ensemble de points	axe de symétrie (ligne droite) toutes les lignes droites

Groupe de mouvement plan : En géométrie, les groupes d'auto-alignements de figures jouent un rôle important. Si est une certaine figure sur un plan (ou dans l'espace), alors nous pouvons considérer l'ensemble de tous ces mouvements du plan (ou de l'espace) au cours desquels la figure se transforme en elle-même.

Cet ensemble est un groupe. Par exemple, pour un triangle équilatéral, l'ensemble des mouvements plans qui transforment le triangle en lui-même est constitué de 6 éléments : des rotations par angles autour d'un point et des symétries autour de trois droites.

Ils sont représentés sur la Fig. 1 lignes rouges. Les éléments du groupe des auto-alignements d'un triangle régulier peuvent être précisés différemment. Pour expliquer cela, numérotons les sommets d'un triangle régulier avec les nombres 1, 2, 3. Tout auto-alignement du triangle amène les points 1, 2, 3 aux mêmes points, mais pris dans un ordre différent, c'est-à-dire peut être conditionnellement écrit sous la forme de l'une de ces parenthèses :

etc.

où les nombres 1, 2, 3 indiquent les numéros des sommets dans lesquels vont les sommets 1, 2, 3 à la suite du mouvement considéré.

Espaces projectifs et leurs modèles.

Le concept d'espace projectif et le modèle d'espace projectif. Faits de base de la géométrie projective. Un ensemble de droites centrées au point O est un modèle du plan projectif. Points projectifs. Le plan étendu est un modèle du plan projectif. L'espace affine ou euclidien tridimensionnel étendu est un modèle d'espace projectif. Images de figures plates et spatiales en conception parallèle.

Le concept d'espace projectif et le modèle d'espace projectif :

L'espace projectif sur un champ est un espace constitué de lignes (sous-espaces unidimensionnels) d'un espace linéaire sur un champ donné. Les espaces directs sont appelés points espace projectif. Cette définition peut être généralisée à un organisme arbitraire

S'il a une dimension , alors la dimension de l'espace projectif est appelée nombre , et l'espace projectif lui-même est noté et appelé associé à (pour l'indiquer, la notation est adoptée).

La transition d'un espace vectoriel de dimension à l'espace projectif correspondant est appelée projectivisation espace.

Les points peuvent être décrits à l'aide de coordonnées homogènes.

Faits de base de la géométrie projective : La géométrie projective est une branche de la géométrie qui étudie les plans et les espaces projectifs. La principale caractéristique de la géométrie projective est le principe de dualité, qui ajoute une symétrie élégante à de nombreuses conceptions. La géométrie projective peut être étudiée aussi bien d'un point de vue purement géométrique que d'un point de vue analytique (utilisant des coordonnées homogènes) et salgébrique, en considérant le plan projectif comme une structure sur un corps. Souvent, et historiquement, le véritable plan projectif est considéré comme le plan euclidien avec l'ajout de « ligne à l'infini ».

Alors que les propriétés des figures dont traite la géométrie euclidienne sont métrique(valeurs spécifiques des angles, segments, surfaces), et l'équivalence des figures équivaut à leur congruence(c'est-à-dire lorsque les figures peuvent être traduites les unes dans les autres par le mouvement tout en préservant les propriétés métriques), il existe des propriétés plus « profondes » des figures géométriques qui sont préservées par des transformations d'un type plus général que le mouvement. La géométrie projective traite de l'étude des propriétés des figures invariantes sous la classe transformations projectives, ainsi que ces transformations elles-mêmes.

La géométrie projective complète la géométrie euclidienne en fournissant des solutions belles et simples à de nombreux problèmes compliqués par la présence de lignes parallèles. La théorie projective des sections coniques est particulièrement simple et élégante.

Il existe trois approches principales de la géométrie projective : l'axiomatisation indépendante, la complémentation de la géométrie euclidienne et la structure sur un champ.

Axiomatisation

L'espace projectif peut être défini à l'aide d'un ensemble différent d'axiomes.

Coxeter fournit les éléments suivants :

1. Il y a une ligne droite et un point n’y figure pas.

2. Chaque ligne comporte au moins trois points.

3. Par deux points, vous pouvez tracer exactement une ligne droite.

4. Si UN, B, C, Et D- divers points et UN B Et CD se croisent, alors A.C. Et BD couper.

5. Si abc est un plan, alors il y a au moins un point qui n'est pas dans le plan abc.

6. Deux plans différents coupent au moins deux points.

7. Les trois points diagonaux d’un quadrilatère complet ne sont pas colinéaires.

8. Si trois points sont sur une ligne X X

Le plan projectif (sans la troisième dimension) est défini par des axiomes légèrement différents :

1. Par deux points, vous pouvez tracer exactement une ligne droite.

2. Deux lignes quelconques se croisent.

3. Il y a quatre points, dont trois ne sont pas colinéaires.

4. Les trois points diagonaux d’un quadrilatère complet ne sont pas colinéaires.

5. Si trois points sont sur une ligne X sont invariants par rapport à la projectivité de φ, alors tous les points sur X invariant par rapport à φ.

6. Théorème de Desargues : Si deux triangles sont en perspective par un point, alors ils sont en perspective par une ligne.

En présence d'une troisième dimension, le théorème de Desargues peut être prouvé sans introduire de point et de droite idéaux.

Plan étendu - modèle de plan projectif : Dans l'espace affine A3 on prend un fibré de droites S(O) de centre au point O et d'un plan Π qui ne passe pas par le centre du fibré : O 6∈ Π. Un faisceau de lignes dans un espace affine est un modèle du plan projectif. Définissons une cartographie de l'ensemble des points du plan Π sur l'ensemble des droites du connecteur S (Putain, prie si tu as cette question, pardonne-moi)

Espace affine ou euclidien tridimensionnel étendu - modèle d'espace projectif :

Afin de rendre la cartographie surjective, nous répétons le processus d'extension formelle du plan affine Π au plan projectif, Π, en complétant le plan Π avec un ensemble de points impropres (M∞) tel que : ((M∞)) = PO(O). Puisque sur la carte l'image inverse de chaque plan du paquet de plans S(O) est une droite sur le plan d, il est évident que l'ensemble de tous les points impropres du plan étendu : Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), représente une droite impropre d∞ du plan étendu, qui est l'image inverse du plan singulier Π0 : (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Admettons qu'ici et désormais nous entendrons la dernière égalité P0(O) = Π0 au sens d'égalité d'ensembles de points, mais dotée d'une structure différente. En complétant le plan affine par une droite impropre, nous nous sommes assurés que l'application (I.21) devenait bijective sur l'ensemble de tous les points du plan étendu :

Images de figures plates et spatiales lors d'une conception parallèle :

En stéréométrie, les figures spatiales sont étudiées, mais dans le dessin elles sont représentées comme des figures plates. Comment représenter une figure spatiale sur un plan ? Généralement en géométrie, une conception parallèle est utilisée à cet effet. Soit p un avion, je- une droite qui le coupe (Fig. 1). Par un point arbitraire UN, n'appartenant pas à la ligne je, trace une ligne parallèle à la droite je. Le point d'intersection de cette droite avec le plan p est appelé la projection parallèle du point UN au plan p dans la direction de la droite je. Notons-le UN". Si le point UN appartient à la ligne je, puis par projection parallèle UN le point d'intersection de la droite est considéré comme étant sur le plan p je avec avion p.

Ainsi, chaque point UN l'espace où sa projection est comparée UN" sur le plan p. Cette correspondance est appelée projection parallèle sur le plan p dans la direction de la droite l.

Groupe de transformations projectives. Application à la résolution de problèmes.

Le concept de transformation projective d'un plan. Exemples de transformations projectives du plan. Propriétés des transformations projectives. Homologie, propriétés de l'homologie. Groupe de transformations projectives.

La notion de transformation projective d'un plan : Le concept de transformation projective généralise le concept de projection centrale. Si l'on effectue une projection centrale du plan α sur un plan α 1, puis une projection de α 1 sur α 2, α 2 sur α 3, ... et enfin, un plan α n toujours sur α 1, alors la composition de toutes ces projections est la transformation projective du plan α ; Des projections parallèles peuvent également être incluses dans une telle chaîne.

Exemples de transformations planes projectives : Une transformation projective d'un plan terminé est son mappage biunivoque sur lui-même, dans lequel la colinéarité des points est préservée, ou, en d'autres termes, l'image de toute ligne est une ligne droite. Toute transformation projective est une composition d'une chaîne de projections centrales et parallèles. Une transformation affine est un cas particulier de transformation projective, dans laquelle la ligne à l'infini se transforme en elle-même.

Propriétés des transformations projectives :

Lors d'une transformation projective, trois points ne se trouvant pas sur une droite sont transformés en trois points ne se trouvant pas sur une droite.

Lors d'une transformation projective, le cadre devient un cadre.

Lors d'une transformation projective, une ligne se transforme en ligne droite et un crayon se transforme en crayon.

Homologie, propriétés de l'homologie :

Une transformation projective d'un plan qui possède une ligne de points invariants, et donc un crayon de lignes invariantes, est appelée homologie.

1. Une droite passant par des points d’homologie correspondants non coïncidants est une droite invariante ;

2. Les droites passant par des points d'homologie correspondants non coïncidants appartiennent au même crayon dont le centre est un point invariant.

3. Le point, son image et le centre d'homologie se trouvent sur la même droite.

Groupe de transformations projectives : considérons l'application projective du plan projectif P 2 sur lui-même, c'est-à-dire la transformation projective de ce plan (P 2 ' = P 2).

Comme précédemment, la composition f des transformations projectives f 1 et f 2 du plan projectif P 2 est le résultat de l'exécution séquentielle des transformations f 1 et f 2 : f = f 2 °f 1 .

Théorème 1 : l'ensemble H de toutes les transformations projectives du plan projectif P 2 est un groupe par rapport à la composition des transformations projectives.

Forme en L quadratique depuis n variables est une somme dont chaque terme est soit le carré d'une de ces variables, soit le produit de deux variables différentes.

En supposant que sous forme quadratique L La réduction de termes similaires a déjà été faite, introduisons la notation suivante pour les coefficients de cette forme : le coefficient pour est noté , et le coefficient dans le produit pour est noté . Puisque , le coefficient de ce produit pourrait également être noté , c'est-à-dire La notation que nous avons introduite suppose la validité de l'égalité. Le terme peut maintenant s'écrire sous la forme

et toute la forme quadratique L– sous la forme de la somme de tous les termes possibles, où je Et j prennent déjà des valeurs indépendamment les unes des autres
de 1 à n:

(6.13)

Les coefficients peuvent être utilisés pour construire une matrice carrée d'ordre n ; on l'appelle matrice de forme quadratique L, et son rang est rang cette forme quadratique. Si en particulier , c'est-à-dire la matrice est non dégénérée, alors c'est une forme quadratique L appelé non dégénéré. Puisque , alors les éléments de la matrice A, symétriques par rapport à la diagonale principale, sont égaux entre eux, c'est-à-dire matrice A – symétrique. Inversement, pour toute matrice symétrique A n d’ordre on peut spécifier une forme quadratique bien définie (6.13) de n variables qui ont des éléments de la matrice A avec leurs coefficients.

La forme quadratique (6.13) peut être représentée sous forme matricielle en utilisant la multiplication matricielle introduite dans la section 3.2. Notons X une colonne composée de variables

X est une matrice comportant n lignes et une colonne. En transposant cette matrice, on obtient la matrice , composé d'une seule ligne. La forme quadratique (6.13) avec matrice peut maintenant s’écrire sous la forme du produit suivant :

En effet:

et l'équivalence des formules (6.13) et (6.14) est établie.

Écrivez-le sous forme matricielle.

○ Trouvons une matrice de forme quadratique. Ses éléments diagonaux sont égaux aux coefficients des variables au carré, c'est-à-dire 4, 1, –3 et autres éléments – aux moitiés des coefficients correspondants de la forme quadratique. C'est pourquoi

. ●

Voyons comment la forme quadratique change sous une transformation linéaire non dégénérée de variables.

Notez que si les matrices A et B sont telles que leur produit est défini, alors l'égalité est vraie :

(6.15)

En effet, si le produit AB est défini, alors le produit sera également défini : le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre de lignes de la matrice. Elément matriciel debout dans son jeème ligne et j La ème colonne, dans la matrice AB est située en jème ligne et jeème colonne. Il est donc égal à la somme des produits des éléments correspondants j-ième ligne de la matrice A et jeème colonne de la matrice B, soit égal à la somme des produits des éléments correspondants de la ligne jème colonne de la matrice et jeème ligne de la matrice. Cela prouve l’égalité (6.15).

Laissez les variables de la matrice-colonne Et sont liés par la relation linéaire X = CY, où C = ( c ij) il existe une matrice non singulière n-ième ordre. Alors la forme quadratique

ou , Où .

La matrice sera symétrique, car compte tenu de l'égalité (6.15), qui est évidemment valable pour un nombre quelconque de facteurs, et de l'égalité , qui équivaut à la symétrie de la matrice A, on a :

Ainsi, avec une transformation linéaire non dégénérée X=CY, la matrice de forme quadratique prend la forme

Commentaire. Le rang d'une forme quadratique ne change pas lors de l'exécution d'une transformation linéaire non dégénérée.

Exemple. Étant donné une forme quadratique

Trouver la forme quadratique obtenue à partir de la transformation linéaire donnée

, .

○ Matrice d'une forme quadratique donnée , et la matrice de transformation linéaire . Par conséquent, d’après (6.16), la matrice de la forme quadratique souhaitée

et la forme quadratique a la forme . ●

Avec quelques transformations linéaires bien choisies, la forme de la forme quadratique peut être considérablement simplifiée.

Forme quadratique appelé canonique(ou a vue canonique), si tous ses coefficients à je≠ j:

,

et sa matrice est diagonale.

Le théorème suivant est vrai.

Théorème 6.1. Toute forme quadratique peut être réduite à une forme canonique en utilisant une transformation linéaire non dégénérée de variables.

Exemple. Réduire la forme quadratique à la forme canonique

○ Dans un premier temps, on sélectionne le carré complet de la variable dont le coefficient du carré est différent de zéro :

.

Sélectionnons maintenant le carré de la variable dont le coefficient carré est différent de zéro :

Donc, une transformation linéaire non dégénérée

réduit cette forme quadratique à la forme canonique

.●

La forme canonique d'une forme quadratique n'est pas définie de manière unique, puisque la même forme quadratique peut être réduite à la forme canonique de plusieurs manières. Cependant, les formes canoniques obtenues par diverses méthodes possèdent un certain nombre de propriétés communes. Formulons l'une de ces propriétés sous forme de théorème.

Théorème 6.2.(loi d'inertie des formes quadratiques).

Le nombre de termes à coefficients positifs (négatifs) de la forme quadratique ne dépend pas de la méthode de réduction de la forme à cette forme.

Par exemple, la forme quadratique

que dans l'exemple discuté à la page 131 nous avons amené sous la forme

cela a été possible en appliquant une transformation linéaire non dégénérée

rappeler

.

Comme vous pouvez le constater, le nombre de coefficients positifs et négatifs (respectivement deux et un) a été conservé.

A noter que le rang d'une forme quadratique est égal au nombre de coefficients non nuls de la forme canonique.

Forme quadratique est dit positif (négatif) défini si, pour toutes les valeurs des variables dont au moins une est non nulle,

().

Lors de la résolution de divers problèmes appliqués, il est souvent nécessaire d'étudier les formes quadratiques.

Définition. Une forme quadratique L(, x 2, ..., x n) de n variables est une somme dont chaque terme est soit le carré d'une des variables, soit le produit de deux variables différentes prises avec un certain coefficient :

L( ,x 2 ,...,x n) =

Nous supposons que les coefficients de la forme quadratique sont des nombres réels, et

La matrice A=() (i, j = 1, 2, ...,n), composée de ces coefficients, est appelée matrice de forme quadratique.

En notation matricielle, la forme quadratique a la forme : L = X"AX, où X = (x 1, x 2,..., x n)" - matrice-colonne de variables.

Exemple 8.1

Écrivez la forme quadratique L( , x 2 , x 3) = sous forme matricielle.

Trouvons une matrice de forme quadratique. Ses éléments diagonaux sont égaux aux coefficients des variables au carré, c'est-à-dire 4, 1, -3 et autres éléments - aux moitiés des coefficients correspondants de la forme quadratique. C'est pourquoi

L=( , x 2 , x 3) .

Avec une transformation linéaire non dégénérée X = CY, la matrice de forme quadratique prend la forme : A* = C"AC. (*)

Exemple 8.2

Étant donné la forme quadratique L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Trouver la forme quadratique L(y 1 ,y 2) obtenue à partir de la transformation linéaire donnée = 2à 1 - 3 ans 2 , x 2 = oui 1 + oui 2.

La matrice d'une forme quadratique donnée est A= , et la matrice de transformation linéaire est

C = . Par conséquent, selon (*) matrice de la forme quadratique requise

Et la forme quadratique ressemble à

L(y 1, y 2) = .

Il convient de noter qu’avec quelques transformations linéaires bien choisies, la forme quadratique peut être considérablement simplifiée.

Définition. La forme quadratique L( ,x 2 ,...,x n) = est dite canonique (ou a une forme canonique) si tous ses coefficients = 0 pour i¹j :

L= , et sa matrice est diagonale.

Le théorème suivant est vrai.

Théorème. Toute forme quadratique peut être réduite à une forme canonique en utilisant une transformation linéaire non dégénérée de variables.

Exemple 8.3

Réduire la forme quadratique à la forme canonique

L( , x 2 , x 3) =

Tout d'abord, on sélectionne le carré complet de la variable dont le coefficient du carré est différent de zéro :

On sélectionne maintenant le carré parfait pour la variable dont le coefficient est différent de zéro :

Donc, une transformation linéaire non dégénérée

réduit cette forme quadratique à la forme canonique :

La forme canonique d'une forme quadratique n'est pas définie de manière unique, puisque la même forme quadratique peut être réduite à la forme canonique de plusieurs manières. Cependant, les formes canoniques obtenues par diverses méthodes possèdent un certain nombre de propriétés communes. Formulons l'une de ces propriétés sous forme de théorème.

Théorème (loi d'inertie des formes quadratiques). Le nombre de termes à coefficients positifs (négatifs) de la forme quadratique ne dépend pas de la méthode de réduction de la forme à cette forme.

Il est à noter que le rang d'une matrice de forme quadratique est égal au nombre de coefficients non nuls de la forme canonique et ne change pas sous les transformations linéaires.

Définition. La forme quadratique L(, x 2, ..., x n) est dite définie positive (négative) si, pour toutes les valeurs des variables, dont au moins une est non nulle,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Donc, Par exemple, forme quadratique est défini positif et la forme est définie négative.

Théorème. Pour que la forme quadratique L = X"AX soit définie positive (négative), il faut et suffisant que toutes les valeurs propres de la matrice A soient positives (négatives).