Types d'équations logarithmiques et méthodes pour les résoudre. Résolution d'équations logarithmiques. Le guide complet (2019)

Instructions

Notez le donné expression logarithmique. Si l'expression utilise le logarithme de 10, alors sa notation est raccourcie et ressemble à ceci : lg b est le logarithme décimal. Si le logarithme a le nombre e comme base, alors écrivez l'expression : ln b – un algorithme naturel. Il est entendu que le résultat de any est la puissance à laquelle le nombre de base doit être élevé pour obtenir le nombre b.

Pour trouver la somme de deux fonctions, il suffit de les différencier une à une et d'additionner les résultats : (u+v)" = u"+v";

Pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, il faut multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde et ajouter la dérivée de la deuxième fonction multipliée par la première fonction : (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions, il faut soustraire du produit de la dérivée du dividende multiplié par la fonction diviseur le produit de la dérivée du diviseur multiplié par la fonction du dividende, et diviser tout cela par la fonction diviseur au carré. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2 ;

Si une fonction complexe est donnée, il est alors nécessaire de multiplier la dérivée de la fonction interne et la dérivée de la fonction externe. Soit y=u(v(x)), alors y"(x)=y"(u)*v"(x).

En utilisant les résultats obtenus ci-dessus, vous pouvez différencier presque toutes les fonctions. Voyons donc quelques exemples :

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3 ;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Il existe également des problèmes liés au calcul de la dérivée en un point. Soit la fonction y=e^(x^2+6x+5), vous devez trouver la valeur de la fonction au point x=1.
1) Trouvez la dérivée de la fonction : y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculer la valeur de la fonction en un point donné y"(1)=8*e^0=8

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Apprenez le tableau des dérivées élémentaires. Cela permettra de gagner beaucoup de temps.

Sources:

• dérivée d'une constante

Alors, quelle est la différence entre une équation irrationnelle et une équation rationnelle ? Si la variable inconnue est sous le signe racine carrée, alors l’équation est considérée comme irrationnelle.

Instructions

La principale méthode pour résoudre de telles équations est la méthode de construction des deux côtés équations dans un carré. Cependant. c'est naturel, la première chose à faire est de vous débarrasser du panneau. Cette méthode n’est pas techniquement difficile, mais elle peut parfois entraîner des problèmes. Par exemple, l'équation est v(2x-5)=v(4x-7). En mettant les deux côtés au carré, vous obtenez 2x-5=4x-7. Résoudre une telle équation n’est pas difficile ; x=1. Mais le numéro 1 ne sera pas donné équations. Pourquoi? Remplacez-en un dans l'équation au lieu de la valeur de x et les côtés droit et gauche contiendront des expressions qui n'ont pas de sens, bien sûr. Cette valeur n'est pas valide pour une racine carrée. Par conséquent, 1 est une racine étrangère et cette équation n’a donc pas de racine.

Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en utilisant la méthode de la quadrature de ses deux côtés. Et après avoir résolu l'équation, il est nécessaire de couper les racines superflues. Pour ce faire, remplacez les racines trouvées dans l'équation d'origine.

Considérez-en un autre.
2х+vх-3=0
Bien entendu, cette équation peut être résolue en utilisant la même équation que la précédente. Déplacer les composés équations, qui n’ont pas de racine carrée, vers la droite, puis utilisez la méthode de la mise au carré. résoudre l’équation rationnelle et les racines résultantes. Mais aussi un autre, plus élégant. Entrez une nouvelle variable ; vх=y. En conséquence, vous recevrez une équation de la forme 2y2+y-3=0. C'est-à-dire l'habituel équation quadratique. Retrouver ses racines ; y1=1 et y2=-3/2. Ensuite, résolvez deux équations vx=1 ; vх=-3/2. La deuxième équation n’a pas de racines ; à partir de la première, nous trouvons que x=1. N'oubliez pas de vérifier les racines.

Résoudre les identités est assez simple. Pour ce faire, il faut effectuer des transformations identiques jusqu'à ce que l'objectif fixé soit atteint. Ainsi, à l'aide d'opérations arithmétiques simples, le problème posé sera résolu.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - stylo.

Instructions

Les plus simples de ces transformations sont les multiplications algébriques abrégées (telles que le carré de la somme (différence), la différence des carrés, la somme (différence), le cube de la somme (différence)). En outre, il existe de nombreux et formules trigonométriques, qui sont essentiellement les mêmes identités.

En effet, le carré de la somme de deux termes est égal au carré du premier plus deux fois le produit du premier par le second et plus le carré du second, soit (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifiez les deux

Principes généraux de la solution

Répétez à partir d'un manuel d'analyse mathématique ou de mathématiques supérieures ce qu'est une intégrale définie. Comme on le sait, la solution d’une intégrale définie est une fonction dont la dérivée donnera un intégral. Cette fonction est appelée une primitive. Sur la base de ce principe, les principales intégrales sont construites.
Déterminez par le type de l'intégrande laquelle des intégrales de table convient dans ce cas. Il n'est pas toujours possible de le déterminer immédiatement. Souvent, la forme tabulaire ne devient perceptible qu'après plusieurs transformations visant à simplifier l'intégrande.

Méthode de remplacement des variables

Si la fonction intégrale est fonction trigonométrique, dont l'argument contient un polynôme, essayez ensuite d'utiliser la méthode de remplacement de variable. Pour ce faire, remplacez le polynôme dans l'argument de l'intégrande par une nouvelle variable. Sur la base de la relation entre les nouvelles et anciennes variables, déterminer les nouvelles limites de l'intégration. En différenciant cette expression, trouvez la nouvelle différentielle dans . Vous obtiendrez donc le nouveau genre de l’intégrale précédente, proche ou même correspondant à n’importe quelle intégrale tabulaire.

Résolution d'intégrales du deuxième type

Si l'intégrale est une intégrale du deuxième type, une forme vectorielle de l'intégrande, vous devrez alors utiliser les règles pour le passage de ces intégrales aux intégrales scalaires. L’une de ces règles est la relation Ostrogradsky-Gauss. Cette loi permet de passer du flux rotorique d'une fonction vectorielle à la triple intégrale sur la divergence d'un champ vectoriel donné.

Substitution des limites d'intégration

Après avoir trouvé la primitive, il faut substituer les limites d'intégration. Tout d’abord, remplacez la valeur de la limite supérieure dans l’expression de la primitive. Vous obtiendrez un numéro. Ensuite, soustrayez du nombre obtenu un autre nombre obtenu à partir de la limite inférieure dans la primitive. Si l'une des limites de l'intégration est l'infini, alors en la substituant dans la fonction primitive, il faut aller à la limite et trouver vers quoi tend l'expression.
Si l'intégrale est bidimensionnelle ou tridimensionnelle, vous devrez alors représenter géométriquement les limites de l'intégration pour comprendre comment évaluer l'intégrale. En effet, dans le cas, par exemple, d'une intégrale tridimensionnelle, les limites de l'intégration peuvent être des plans entiers qui limitent le volume à intégrer.

Introduction

Les logarithmes ont été inventés pour accélérer et simplifier les calculs. L'idée d'un logarithme, c'est-à-dire l'idée d'exprimer les nombres sous forme de puissances de même base, appartient à Mikhail Stiefel. Mais à l’époque de Stiefel, les mathématiques n’étaient pas aussi développées et l’idée du logarithme n’était pas développée. Les logarithmes ont ensuite été inventés simultanément et indépendamment les uns des autres par le scientifique écossais John Napier (1550-1617) et le Suisse Jobst Burgi (1552-1632) fut le premier à publier ces travaux en 1614. sous le titre "Description d'une étonnante table de logarithmes", la théorie des logarithmes de Napier a été présentée dans un volume assez complet, la méthode de calcul des logarithmes a été donnée la plus simple, donc les mérites de Napier dans l'invention des logarithmes étaient supérieurs à ceux de Bürgi. Bürgi travaillait sur les tables en même temps que Napier, mais pendant longtemps les garda secrets et ne les publièrent qu'en 1620. Napier maîtrisa l'idée du logarithme vers 1594. bien que les tableaux aient été publiés 20 ans plus tard. Au début, il appela ses logarithmes « nombres artificiels » et ce n'est qu'ensuite qu'il proposa d'appeler ces « nombres artificiels » en un seul mot « logarithme », qui, traduit du grec, signifie « nombres corrélés », tirés l'un d'une progression arithmétique et l'autre d'un progression géométrique spécialement sélectionnée pour cela. Les premiers tableaux en russe furent publiés en 1703. avec la participation d'un merveilleux professeur du XVIIIe siècle. L.F. Magnitski. Dans le développement de la théorie des logarithmes grande importance avait les œuvres de l'académicien de Saint-Pétersbourg Leonhard Euler. Il fut le premier à considérer les logarithmes comme l'inverse de l'élévation à une puissance ; il introduisit les termes « base du logarithme » et « mantisse ». Briggs a compilé des tableaux de logarithmes en base 10. Les tableaux décimaux sont plus pratiques pour une utilisation pratique, leur théorie est la suivante. plus simple que celui des logarithmes de Napier. Par conséquent, les logarithmes décimaux sont parfois appelés logarithmes de Briggs. Le terme « caractérisation » a été introduit par Briggs.

À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Mais il y avait des tas, ainsi que des pots et des paniers, qui étaient parfaits pour jouer le rôle de caches de stockage pouvant contenir un nombre indéterminé d'objets. Dans les anciens problèmes mathématiques de la Mésopotamie, de l'Inde, de la Chine, de la Grèce, les grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau et l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Scribes, fonctionnaires et prêtres initiés aux connaissances secrètes, bien formés à la science comptable, s'acquittèrent de ces tâches avec beaucoup de succès.

Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Pourtant, pas un seul papyrus, pas un seul tablette d'argile aucune description de ces techniques n'est donnée. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ». En ce sens, l'exception est « l'Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions.

Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'ouvrage du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot "al-jabr" du nom arabe de ce traité - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Livre de restauration et d'opposition") - s'est transformé au fil du temps en le mot bien connu "algèbre", et al- Les travaux de Khwarizmi eux-mêmes ont servi de point de départ au développement de la science de la résolution des équations.

Équations logarithmiques et inégalités

1. Équations logarithmiques

Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme ou à sa base est appelée équation logarithmique.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme

enregistrer un X = b . (1)

Déclaration 1. Si un > 0, un≠ 1, équation (1) pour tout réel b Il a seule décision X = un B .

Exemple 1. Résolvez les équations :

a) journal 2 X= 3, b) journal 3 X= -1,c)

Solution. En utilisant l’énoncé 1, nous obtenons a) X= 2 3 ou X= 8 ; b) X= 3 -1 ou X= 1 / 3 ; c)

ou X = 1.

Présentons les propriétés de base du logarithme.

P1. Identité logarithmique de base :

Où un > 0, un≠ 1 et b > 0.

P2. Le logarithme du produit de facteurs positifs est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs :

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un N 1 + journal un N 2 (un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si N 1 · N 2 > 0, alors la propriété P2 prend la forme

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un |N 1 | + journal un |N 2 | (un > 0, un ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Le logarithme du quotient de deux nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur

(un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si

, (ce qui équivaut N 1 N 2 > 0) alors la propriété P3 prend la forme (un > 0, un ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Le logarithme de la puissance d'un nombre positif est égal au produit de l'exposant et du logarithme de ce nombre :

enregistrer un N k = k enregistrer un N (un > 0, un ≠ 1, N > 0).

Commentaire. Si k- nombre pair ( k = 2s), Que

enregistrer un N 2s = 2s enregistrer un |N | (un > 0, un ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formule pour déménager dans une autre base :

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

en particulier si N = b, on a

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

En utilisant les propriétés P4 et P5, il est facile d’obtenir propriétés suivantes

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

et, si en (5) c- nombre pair ( c = 2n), se produit

(b > 0, un ≠ 0, |un | ≠ 1). (6)

Listons les principales propriétés de la fonction logarithmique F (X) = journal un X :

1. Le domaine de définition d'une fonction logarithmique est l'ensemble des nombres positifs.

2. La plage de valeurs de la fonction logarithmique est l'ensemble des nombres réels.

3. Quand un > 1 fonction logarithmique strictement croissant (0< X 1 < X 2log un X 1 < logun X 2), et à 0< un < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log un X 1 > journal un X 2).

4.journal un 1 = 0 et journal un un = 1 (un > 0, un ≠ 1).

5. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est négative lorsque X(0;1) et positif à X(1;+∞), et si 0< un < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) et négatif à X (1;+∞).

6. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est convexe vers le haut, et si un(0;1) - convexe vers le bas.

Les instructions suivantes (voir, par exemple) sont utilisées lors de la résolution d'équations logarithmiques.

propriétés principales.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Voir également:

Propriétés de base du logarithme

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L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.

3.

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Note: moment clé Ici - motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. Beaucoup sont construits sur ce fait papiers de test. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de remarquer que dernière règle suit les deux premiers. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

1. logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
2. loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir également:

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes courants sont ceux dont la base est même dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un logarithme népérien est un logarithme dont la base est un exposant (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je vais donner juste quelques exemples courants de programme scolaire et les universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

3.
En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Une expression apparemment complexe est simplifiée pour être formée à l'aide d'un certain nombre de règles

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Premier niveau.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme par la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

1. logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
2. loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Examinons certains types d'équations logarithmiques qui ne sont pas si souvent abordées dans les cours de mathématiques à l'école, mais qui sont largement utilisées dans la composition missions de concours, y compris pour l'examen d'État unifié.

1. Équations résolues par la méthode du logarithme

Lors de la résolution d'équations contenant une variable à la fois dans la base et dans l'exposant, la méthode du logarithme est utilisée. Si, en même temps, l'exposant contient un logarithme, alors les deux côtés de l'équation doivent être logarithmés à la base de ce logarithme.

Exemple 1.

Résolvez l'équation : x log 2 x+2 = 8.

Solution.

Prenons le logarithme des côtés gauche et droit de l'équation en base 2. On obtient

journal 2 (x journal 2 x + 2) = journal 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Soit log 2 x = t.

Alors (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t 1 = 1 ; t 2 = -3.

Donc log 2 x = 1 et x 1 = 2 ou log 2 x = -3 et x 2 =1/8

Réponse : 1/8 ; 2.

2. Homogène équations logarithmiques.

Exemple 2.

Résolvez l'équation log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Solution.

Domaine de l'équation

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 à x = -4. En vérifiant, nous déterminons que valeur donnée x pas est la racine de l’équation originale. Par conséquent, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par log 2 3 (x + 5).

Nous obtenons log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Soit log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Alors t 2 – 3 t + 2 = 0. Les racines de cette équation sont 1 ; 2. En revenant à la variable d'origine, nous obtenons un ensemble de deux équations

Mais compte tenu de l'existence du logarithme, nous devons considérer uniquement les valeurs (0 ; 9]. Cela signifie que l'expression de gauche prend la plus grande valeur 2 à x = 1. Considérons maintenant la fonction y = 2 x-1 + 2 1-x. Si nous prenons t = 2 x -1, alors il prendra la forme y = t + 1/t, où t > 0. Dans de telles conditions, il a un seul point critique t. = 1. C'est le point minimum Y vin = 2. Et il est atteint en x = 1.

Or, il est évident que les graphiques des fonctions considérées ne peuvent se croiser qu'une seule fois au point (1 ; 2). Il s’avère que x = 1 est la seule racine de l’équation à résoudre.

Réponse : x = 1.

Exemple 5. Résolvez l'équation log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Solution.

Résolvons cette équation pour log 2 x. Soit log 2 x = t. Alors t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4 (2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2 ; t 2 = 3 – x.

On obtient l'équation log 2 x = -2 ou log 2 x = 3 – x.

La racine de la première équation est x 1 = 1/4.

Nous trouverons la racine de l'équation log 2 x = 3 – x par sélection. Il s'agit du nombre 2. Cette racine est unique, puisque la fonction y = log 2 x est croissante dans tout le domaine de définition, et la fonction y = 3 – x est décroissante.

Il est facile de vérifier que les deux nombres sont les racines de l’équation

Réponse : 1/4 ; 2.

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Aujourd'hui, nous allons apprendre à résoudre les équations logarithmiques les plus simples, pour lesquelles aucune transformation préalable ni sélection de racines n'est requise. Mais si vous apprenez à résoudre de telles équations, ce sera beaucoup plus facile.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme log a f (x) = b, où a, b sont des nombres (a > 0, a ≠ 1), f (x) est une certaine fonction.

Une caractéristique distinctive de toutes les équations logarithmiques est la présence de la variable x sous le signe du logarithme. Si telle est l’équation initialement donnée dans le problème, elle est dite la plus simple. Toutes les autres équations logarithmiques sont réduites au plus simple par des transformations spéciales (voir « Propriétés de base des logarithmes »). Cependant, de nombreuses subtilités doivent être prises en compte : des racines supplémentaires peuvent apparaître, c'est pourquoi les équations logarithmiques complexes seront considérées séparément.

Comment résoudre de telles équations ? Il suffit de remplacer le nombre à droite du signe égal par un logarithme dans la même base qu'à gauche. Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe du logarithme. On a:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Nous avons l'équation habituelle. Ses racines sont les racines de l’équation originale.

Sortir des diplômes

Souvent, les équations logarithmiques, qui semblent complexes et menaçantes, sont résolues en quelques lignes seulement, sans impliquer de formules complexes. Aujourd'hui, nous examinerons précisément de tels problèmes, où tout ce qui vous est demandé est de réduire soigneusement la formule à la forme canonique et de ne pas vous tromper lors de la recherche du domaine de définition des logarithmes.

Aujourd'hui, comme vous l'avez probablement deviné d'après le titre, nous allons résoudre des équations logarithmiques à l'aide de formules pour la transition vers la forme canonique. Le principal « truc » de cette leçon vidéo sera de travailler avec des diplômes, ou plutôt de déduire le diplôme à partir de la base et de l'argumentation. Regardons la règle :

De même, vous pouvez déduire le diplôme de la base :

Comme nous pouvons le voir, si lorsque nous supprimons le degré de l'argument du logarithme, nous avons simplement un facteur supplémentaire devant, alors lorsque nous supprimons le degré de la base, nous obtenons non seulement un multiplicateur, mais un facteur inversé. Il faut s'en souvenir.

Enfin, le plus intéressant. Ces formules peuvent être combinées, on obtient alors :

Bien entendu, lors de ces transitions, il existe certains écueils liés à un éventuel élargissement du champ de définition ou, à l'inverse, au rétrécissement du champ de définition. Jugez par vous-même :

journal 3 x 2 = 2 ∙ journal 3 x

Si dans le premier cas x peut être n'importe quel nombre autre que 0, c'est-à-dire l'exigence x ≠ 0, alors dans le second cas nous nous contentons uniquement de x, qui non seulement ne sont pas égaux, mais sont strictement supérieurs à 0, car le domaine de La définition du logarithme est que l'argument soit strictement supérieur à 0. Par conséquent, je vais vous rappeler une merveilleuse formule du cours d'algèbre de 8e à 9e années :

Autrement dit, nous devons écrire notre formule comme suit :

journal 3 x 2 = 2 ∙ journal 3 |x |

Il n’y aura alors aucune réduction du champ de la définition.

Cependant, dans le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, il n'y aura pas de carrés. Si vous regardez nos tâches, vous n’en verrez que les racines. Par conséquent, nous n'appliquerons pas cette règle, mais vous devez quand même la garder à l'esprit, afin qu'au bon moment, lorsque vous voyez une fonction quadratique dans un argument ou la base d'un logarithme, vous vous souveniez de cette règle et effectuiez toutes les transformations correctement.

La première équation est donc :

Pour résoudre ce problème, je propose d'examiner attentivement chacun des termes présents dans la formule.

Réécrivons le premier terme comme une puissance avec un exposant rationnel :

Nous regardons le deuxième terme : log 3 (1 − x). Il n’y a rien à faire ici, tout est déjà transformé ici.

Enfin, 0, 5. Comme je l'ai dit dans les leçons précédentes, lors de la résolution d'équations et de formules logarithmiques, je recommande fortement de passer des fractions décimales aux fractions communes. Faisons cela:

0,5 = 5/10 = 1/2

Réécrivons notre formule originale en tenant compte des termes résultants :

journal 3 (1 − x ) = 1

Passons maintenant à la forme canonique :

journal 3 (1 − x ) = journal 3 3

On se débarrasse du signe du logarithme en égalisant les arguments :

1 - X = 3

−x = 2

x = −2

Ça y est, nous avons résolu l'équation. Cependant, jouons toujours la sécurité et trouvons le domaine de définition. Pour ce faire, revenons à la formule originale et voyons :

1 − X > 0

−x > −1

X< 1

Notre racine x = −2 satisfait à cette exigence, donc x = −2 est une solution de l'équation d'origine. Nous avons désormais reçu une justification stricte et claire. Voilà, problème résolu.

Passons à la deuxième tâche :

Examinons chaque terme séparément.

Écrivons le premier :

Nous avons transformé le premier terme. On travaille avec le deuxième terme :

Enfin, le dernier terme, qui se trouve à droite du signe égal :

Nous substituons les expressions résultantes au lieu des termes dans la formule résultante :

journal 3 x = 1

Passons à la forme canonique :

journal 3 x = journal 3 3

On se débarrasse du signe du logarithme, en égalisant les arguments, et on obtient :

x = 3

Encore une fois, par mesure de sécurité, revenons à l’équation originale et jetons un coup d’œil. Dans la formule originale, la variable x n'est présente que dans l'argument, donc

x > 0

Dans le deuxième logarithme, x est sous la racine, mais encore une fois dans l'argument, la racine doit donc être supérieure à 0, c'est-à-dire que l'expression radicale doit être supérieure à 0. Nous regardons notre racine x = 3. Évidemment, elle satisfait à cette exigence. Par conséquent, x = 3 est une solution de l’équation logarithmique originale. Voilà, problème résolu.

Il y a deux points clés dans le didacticiel vidéo d'aujourd'hui :

1) n'ayez pas peur de transformer des logarithmes et, en particulier, n'ayez pas peur de retirer des puissances du signe du logarithme, tout en vous rappelant notre formule de base : lorsqu'on supprime une puissance d'un argument, elle est simplement retirée sans modifications comme multiplicateur, et lors de la suppression d'un pouvoir de la base, ce pouvoir est inversé.

2) le deuxième point est lié à la forme canonique elle-même. Nous avons fait le passage à la forme canonique à la toute fin de la transformation de la formule de l'équation logarithmique. Je vous rappelle la formule suivante :

a = journal b b a

Bien entendu, par l'expression « n'importe quel nombre b », j'entends les nombres qui satisfont aux exigences imposées sur la base du logarithme, c'est-à-dire

1 ≠ b > 0

Pour un tel b, et puisque nous connaissons déjà la base, cette condition sera automatiquement remplie. Mais pour un tel b - tous ceux qui satisfont à cette exigence - cette transition peut être effectuée, et nous obtiendrons une forme canonique dans laquelle nous pourrons nous débarrasser du signe du logarithme.

Élargir le domaine de la définition et des racines supplémentaires

Lors du processus de transformation d'équations logarithmiques, une expansion implicite du domaine de définition peut se produire. Souvent, les étudiants ne le remarquent même pas, ce qui entraîne des erreurs et des réponses incorrectes.

Commençons par les conceptions les plus simples. L'équation logarithmique la plus simple est la suivante :

log une f (x) = b

Notez que x n'est présent que dans un seul argument d'un logarithme. Comment résoudre de telles équations ? Nous utilisons la forme canonique. Pour ce faire, imaginez le nombre b = log a a b, et notre équation sera réécrite comme suit :

log a f (x) = log a a b

Cette entrée est appelée la forme canonique. C’est à cela que vous devez réduire toute équation logarithmique que vous rencontrerez non seulement dans la leçon d’aujourd’hui, mais également dans tout travail indépendant et test.

Comment arriver à la forme canonique et quelles techniques utiliser est une question de pratique. La principale chose à comprendre est que dès que vous recevez un tel enregistrement, vous pouvez considérer le problème comme résolu. Parce que la prochaine étape consiste à écrire :

f (x) = un b

En d’autres termes, nous nous débarrassons du signe du logarithme et assimilons simplement les arguments.

Pourquoi tout ce discours ? Le fait est que la forme canonique est applicable non seulement aux problèmes les plus simples, mais aussi à tous les autres. En particulier, ceux que nous déciderons aujourd'hui. Jetons un coup d'oeil.

Première tâche :

Quel est le problème avec cette équation ? Le fait est que la fonction est en deux logarithmes à la fois. Le problème peut être réduit à sa plus simple expression en soustrayant simplement un logarithme à un autre. Mais des problèmes surviennent avec la zone de définition : des racines supplémentaires peuvent apparaître. Déplaçons donc simplement l'un des logarithmes vers la droite :

Cette entrée ressemble beaucoup plus à la forme canonique. Mais il y a encore une nuance : sous la forme canonique, les arguments doivent être les mêmes. Et à gauche nous avons le logarithme en base 3, et à droite en base 1/3. Il sait que ces bases doivent être ramenées au même nombre. Par exemple, rappelons ce que sont les pouvoirs négatifs :

Et puis nous utiliserons l’exposant « -1 » en dehors du journal comme multiplicateur :

Attention : le degré qui était à la base est retourné et se transforme en fraction. Nous avons obtenu une notation presque canonique en supprimant les différentes bases, mais en retour nous avons obtenu le facteur « −1 » à droite. Prenons en compte ce facteur dans l'argumentation en le transformant en puissance :

Bien sûr, après avoir reçu la forme canonique, nous barrons hardiment le signe du logarithme et assimilons les arguments. En même temps, permettez-moi de vous rappeler que lorsqu'elle est élevée à la puissance « −1 », la fraction est simplement retournée - une proportion est obtenue.

Utilisons la propriété de base de proportion et multiplions-la transversalement :

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Nous avons devant nous l’équation quadratique ci-dessus, nous la résolvons donc en utilisant les formules de Vieta :

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8 ; x2 = 2

C'est tout. Pensez-vous que l'équation est résolue ? Non! Pour une telle solution, nous recevrons 0 point, car l'équation originale contient deux logarithmes avec la variable x. Il est donc nécessaire de prendre en compte le domaine de définition.

Et c'est là que le plaisir commence. La plupart des étudiants sont confus : quel est le domaine de définition d’un logarithme ? Bien entendu, tous les arguments (nous en avons deux) doivent être supérieurs à zéro :

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Chacune de ces inégalités doit être résolue, tracée sur une ligne droite, coupée et ensuite seulement voir quelles racines se trouvent à l'intersection.

Je vais être honnête : cette technique a le droit d'exister, elle est fiable et vous obtiendrez la bonne réponse, mais elle comporte trop d'étapes inutiles. Reprenons donc notre solution et voyons : où devons-nous exactement appliquer la portée ? En d'autres termes, vous devez comprendre clairement quand exactement des racines supplémentaires apparaissent.

1. Au départ, nous avions deux logarithmes. Ensuite, nous avons déplacé l'un d'eux vers la droite, mais cela n'a pas affecté la zone de définition.
2. Ensuite, nous retirons la puissance de la base, mais il y a toujours deux logarithmes, et dans chacun d'eux il y a une variable x.
3. Enfin, nous barrons les signes du log et obtenons l'équation rationnelle fractionnaire classique.

C'est à la dernière étape que le champ de la définition est élargi ! Dès que nous sommes passés à une équation fractionnaire-rationnelle, en supprimant les signes logarithmiques, les exigences pour la variable x ont radicalement changé !

Par conséquent, le domaine de définition peut être considéré non pas au tout début de la solution, mais seulement à l’étape mentionnée – avant d’assimiler directement les arguments.

C’est là que réside l’opportunité d’optimisation. D’une part, nous devons que les deux arguments soient supérieurs à zéro. D’un autre côté, nous assimilons davantage ces arguments. Donc, si au moins l’un d’eux est positif, alors le second le sera également !

Il s’avère donc qu’exiger que deux inégalités soient satisfaites à la fois est exagéré. Il suffit de considérer une seule de ces fractions. Lequel? Celui qui est le plus simple. Par exemple, regardons la fraction de droite :

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Il s'agit d'une inégalité rationnelle fractionnaire typique ; nous la résolvons en utilisant la méthode des intervalles :

Comment placer des panneaux ? Prenons un nombre évidemment supérieur à toutes nos racines. Par exemple, 1 milliard et nous substituons sa fraction. Nous obtenons un nombre positif, c'est-à-dire il y aura un signe plus à droite de la racine x = 5.

Ensuite, les signes alternent, car il n’y a nulle part des racines de même multiplicité. Nous nous intéressons aux intervalles où la fonction est positive. Par conséquent, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Rappelons maintenant les réponses : x = 8 et x = 2. À proprement parler, ce ne sont pas encore des réponses, mais seulement des candidats à la réponse. Lequel appartient à l’ensemble spécifié ? Bien sûr, x = 8. Mais x = 2 ne nous convient pas quant à son domaine de définition.

Au total, la réponse à la première équation logarithmique sera x = 8. Nous avons maintenant une solution compétente et bien fondée, prenant en compte le domaine de définition.

Passons à la deuxième équation :

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Permettez-moi de vous rappeler que s'il y a une fraction décimale dans l'équation, vous devriez vous en débarrasser. En d’autres termes, réécrivons 0,5 sous forme de fraction commune. On remarque immédiatement que le logarithme contenant cette base se calcule facilement :

C'est un moment très important ! Lorsque nous avons des diplômes à la fois dans la base et dans l'argument, nous pouvons dériver les indicateurs de ces diplômes à l'aide de la formule :

Revenons à notre équation logarithmique originale et réécrivons-la :

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Nous avons obtenu un design assez proche de la forme canonique. Cependant, nous sommes confus par les termes et le signe moins à droite du signe égal. Représentons-en un comme un logarithme en base 5 :

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Soustrayez les logarithmes de droite (dans ce cas leurs arguments sont divisés) :

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Merveilleux. Nous avons donc la forme canonique ! Nous barrons les signes du journal et assimilons les arguments :

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Il s'agit d'une proportion qui peut être facilement résolue en multipliant transversalement :

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Évidemment, nous avons une équation quadratique réduite. Cela peut être facilement résolu en utilisant les formules de Vieta :

(x − 10)(x − 4) = 0

x1 = 10

x2 = 4

Nous avons deux racines. Mais ce ne sont pas des réponses définitives, mais seulement des réponses candidates, car l’équation logarithmique nécessite aussi de vérifier le domaine de définition.

Je vous le rappelle : inutile de chercher quand chaque des arguments sera supérieur à zéro. Il suffit d’exiger qu’un argument – ​​soit x − 9, soit 5/(x − 5) – soit supérieur à zéro. Considérons le premier argument :

x−9 > 0

x > 9

Évidemment, seul x = 10 satisfait à cette exigence. C’est la réponse finale. Tout le problème est résolu.

Encore une fois, les réflexions clés de la leçon d'aujourd'hui :

1. Dès que la variable x apparaît dans plusieurs logarithmes, l'équation cesse d'être élémentaire, et il faudra calculer le domaine de définition pour elle. Sinon, vous pouvez facilement écrire des racines supplémentaires dans la réponse.
2. Travailler avec le domaine lui-même peut être considérablement simplifié si nous écrivons l'inégalité non pas immédiatement, mais exactement au moment où nous nous débarrassons des signes de journal. Après tout, lorsque les arguments sont assimilés les uns aux autres, il suffit d'exiger qu'un seul d'entre eux soit supérieur à zéro.

Bien sûr, nous choisissons nous-mêmes quel argument utiliser pour former une inégalité, il est donc logique de choisir le plus simple. Par exemple, dans la deuxième équation, nous avons choisi l'argument (x − 9) - fonction linéaire, par opposition au deuxième argument rationnel fractionnaire. D’accord, résoudre l’inégalité x − 9 > 0 est beaucoup plus facile que 5/(x − 5) > 0. Bien que le résultat soit le même.

Cette remarque simplifie grandement la recherche de ODZ, mais attention : on ne peut utiliser une inégalité au lieu de deux que si les arguments sont précisément sont égaux les uns aux autres!

Bien sûr, quelqu’un va maintenant se demander : que se passe-t-il différemment ? Oui, parfois. Par exemple, dans l'étape elle-même, lorsque l'on multiplie deux arguments contenant une variable, il existe un risque d'apparition de racines inutiles.

Jugez par vous-même : il faut d'abord que chacun des arguments soit supérieur à zéro, mais après multiplication il suffit que leur produit soit supérieur à zéro. En conséquence, le cas où chacune de ces fractions est négative est manqué.

Par conséquent, si vous commencez tout juste à comprendre des équations logarithmiques complexes, ne multipliez en aucun cas les logarithmes contenant la variable x - cela conduirait trop souvent à l'apparition de racines inutiles. Il vaut mieux faire un pas supplémentaire, déplacer un terme de l’autre côté et créer une forme canonique.

Eh bien, que faire si vous ne pouvez pas vous passer de multiplier de tels logarithmes, nous en discuterons dans la prochaine leçon vidéo :)

Encore une fois sur les puissances dans l'équation

Aujourd'hui, nous allons examiner un sujet plutôt glissant concernant les équations logarithmiques, ou plus précisément, la suppression des puissances dans les arguments et les bases des logarithmes.

Je dirais même que nous parlerons de la suppression des puissances paires, car c'est avec des puissances paires que surgissent la plupart des difficultés lors de la résolution d'équations logarithmiques réelles.

Commençons par la forme canonique. Disons que nous avons une équation de la forme log a f (x) = b. Dans ce cas, nous réécrivons le nombre b en utilisant la formule b = log a a b . Il s'avère ce qui suit :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous assimilons les arguments :

f (x) = un b

L’avant-dernière formule est appelée forme canonique. C'est à cela qu'ils tentent de réduire toute équation logarithmique, aussi complexe et effrayante qu'elle puisse paraître à première vue.

Alors essayons. Commençons par la première tâche :

Note préliminaire : comme je l'ai dit, tout décimales dans une équation logarithmique, il est préférable de la convertir en équations ordinaires :

0,5 = 5/10 = 1/2

Réécrivons notre équation en tenant compte de ce fait. Notez que 1/1000 et 100 sont des puissances de dix, puis supprimons les puissances où qu'elles se trouvent : à partir d'arguments et même de la base de logarithmes :

Et ici, de nombreux étudiants se posent une question : « D'où vient le module de droite ? En effet, pourquoi ne pas simplement écrire (x − 1) ? Bien sûr, nous allons maintenant écrire (x − 1), mais la prise en compte du domaine de définition nous donne droit à une telle notation. Après tout, un autre logarithme contient déjà (x − 1), et cette expression doit être supérieure à zéro.

Mais quand on enlève le carré de la base du logarithme, il faut laisser exactement le module à la base. Laissez-moi vous expliquer pourquoi.

Le fait est que, d’un point de vue mathématique, obtenir un diplôme équivaut à prendre racine. En particulier, lorsque nous mettons au carré l’expression (x − 1) 2, nous prenons essentiellement la deuxième racine. Mais la racine carrée n’est rien d’autre qu’un module. Exactement module, car même si l'expression x − 1 est négative, une fois au carré, le « moins » s'éteindra toujours. Une extraction plus poussée de la racine nous donnera un nombre positif - sans aucun inconvénient.

De manière générale, afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes, rappelez-vous une fois pour toutes :

La racine d'une puissance paire de toute fonction élevée à la même puissance n'est pas égale à la fonction elle-même, mais à son module :

Revenons à notre équation logarithmique. En parlant du module, j'ai soutenu que nous pouvons le supprimer sans douleur. C'est vrai. Maintenant, je vais vous expliquer pourquoi. À proprement parler, nous avons dû envisager deux options :

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x−1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Chacune de ces options devra être examinée. Mais il y a un hic : la formule originale contient déjà la fonction (x − 1) sans aucun module. Et en suivant le domaine de définition des logarithmes, on a le droit d'écrire immédiatement que x − 1 > 0.

Cette exigence doit être satisfaite quels que soient les modules et autres transformations que nous effectuons dans le processus de solution. Par conséquent, il ne sert à rien d’envisager la deuxième option – elle ne se posera jamais. Même si nous obtenons des chiffres en résolvant cette branche d’inégalité, ils ne seront toujours pas inclus dans la réponse finale.

Nous sommes désormais littéralement à un pas de la forme canonique de l’équation logarithmique. Représentons l'unité comme suit :

1 = journal x − 1 (x − 1) 1

De plus, nous introduisons le facteur −4, qui se trouve à droite, dans l'argument :

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique. On se débarrasse du signe du logarithme :

10 −4 = x − 1

Mais comme la base était une fonction (et non un nombre premier), nous exigeons en plus que cette fonction soit supérieure à zéro et non égale à un. Le système résultant sera :

Puisque l’exigence x − 1 > 0 est automatiquement satisfaite (après tout, x − 1 = 10 −4), l’une des inégalités peut être supprimée de notre système. La deuxième condition peut également être barrée, car x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

C'est la seule racine qui satisfait automatiquement à toutes les exigences du domaine de définition du logarithme (cependant, toutes les exigences ont été éliminées comme étant évidemment remplies dans les conditions de notre problème).

La deuxième équation est donc :

3 journal 3 x x = 2 journal 9 x x 2

En quoi cette équation est-elle fondamentalement différente de la précédente ? Ne serait-ce que parce que les bases des logarithmes - 3x et 9x - ne sont pas des puissances naturelles les unes des autres. La transition que nous avons utilisée dans la solution précédente n’est donc pas possible.

Débarrassons-nous au moins des diplômes. Dans notre cas, le seul degré est dans le deuxième argument :

3 journal 3 x x = 2 ∙ 2 journal 9 x |x |

Cependant, le signe du module peut être supprimé, car la variable x est également à la base, c'est-à-dire x > 0 ⇒ |x| = x. Réécrivons notre équation logarithmique :

3 bûches 3 x x = 4 bûches 9 x x

Nous avons obtenu des logarithmes dans lesquels les arguments sont les mêmes, mais des raisons différentes. Que faire ensuite? Il existe de nombreuses options ici, mais nous n'en considérerons que deux, qui sont les plus logiques et, surtout, ce sont des techniques rapides et compréhensibles pour la plupart des étudiants.

Nous avons déjà envisagé la première option : dans toute situation peu claire, convertir les logarithmes à base variable en base constante. Par exemple, à deux. La formule de transition est simple :

Bien entendu, le rôle de la variable c devrait être un nombre normal : 1 ≠ c > 0. Soit dans notre cas c = 2. Nous avons maintenant devant nous une équation rationnelle fractionnaire ordinaire. On rassemble tous les éléments de gauche :

Évidemment, il est préférable de supprimer le facteur log 2 x, puisqu'il est présent à la fois dans la première et dans la deuxième fraction.

journal 2 x = 0 ;

3 bûches 2 9x = 4 bûches 2 3x

Nous divisons chaque journal en deux termes :

journal 2 9x = journal 2 9 + journal 2 x = 2 journal 2 3 + journal 2 x ;

journal 2 3x = journal 2 3 + journal 2 x

Réécrivons les deux côtés de l'égalité en tenant compte de ces faits :

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 bûche 2 3 + 3 bûche 2 x = 4 bûche 2 3 + 4 bûche 2 x

2 bûche 2 3 = bûche 2 x

Il ne reste plus qu'à saisir un deux sous le signe du logarithme (il se transformera en puissance : 3 2 = 9) :

journal 2 9 = journal 2 x

Nous avons devant nous la forme canonique classique, on se débarrasse du signe du logarithme et on obtient :

Comme prévu, cette racine s’est avérée supérieure à zéro. Reste à vérifier le domaine de définition. Voyons les raisons :

Mais la racine x = 9 satisfait à ces exigences. C’est donc la décision finale.

Conclusion de cette décision simple : ne vous laissez pas intimider par les longues mises en page ! C'est juste qu'au tout début, nous avons choisi une nouvelle base au hasard - et cela a considérablement compliqué le processus.

Mais alors la question se pose : quelle est la base optimal? J'en parlerai dans la deuxième méthode.

Revenons à notre équation originale :

3 bûches 3x x = 2 bûches 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| =x

3 bûches 3 x x = 4 bûches 9 x x

Réfléchissons maintenant un peu : quel nombre ou quelle fonction serait la base optimale ? Il est évident que la meilleure option il y aura c = x - ce qui est déjà dans les arguments. Dans ce cas, la formule log a b = log c b /log c a prendra la forme :

Autrement dit, l’expression est simplement inversée. Dans ce cas, l’argument et le fondement changent de place.

Cette formule est très utile et est très souvent utilisée pour résoudre des équations logarithmiques complexes. Cependant, l’utilisation de cette formule présente un écueil très sérieux. Si nous substituons la variable x à la place de la base, alors des restrictions lui sont imposées qui n'étaient pas observées auparavant :

Il n’y avait pas une telle limitation dans l’équation originale. Par conséquent, nous devrions vérifier séparément le cas où x = 1. Remplacez cette valeur dans notre équation :

3 bûches 3 1 = 4 bûches 9 1

Nous obtenons l'égalité numérique correcte. Donc x = 1 est une racine. Nous avons trouvé exactement la même racine dans la méthode précédente au tout début de la solution.

Mais maintenant que nous avons examiné cela séparément cas particulier, nous supposons en toute sécurité que x ≠ 1. Alors notre équation logarithmique sera réécrite sous la forme suivante :

3 bûches x 9x = 4 bûches x 3x

Nous développons les deux logarithmes en utilisant la même formule que précédemment. Notez que log x x = 1 :

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 bûches x 9 + 3 = 4 bûches x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 bûches x 3 = 1

Nous sommes donc arrivés à la forme canonique :

journal x 9 = journal x x 1

x=9

Nous avons la deuxième racine. Il satisfait à l’exigence x ≠ 1. Par conséquent, x = 9 avec x = 1 est la réponse finale.

Comme vous pouvez le constater, le volume des calculs a légèrement diminué. Mais lors de la résolution d’une équation logarithmique réelle, le nombre d’étapes sera également bien moindre car vous n’êtes pas obligé de décrire chaque étape avec autant de détails.

La règle clé de la leçon d'aujourd'hui est la suivante : si le problème contient un degré pair, à partir duquel la racine du même degré est extraite, alors le résultat sera un module. Cependant, ce module peut être supprimé si vous faites attention au domaine de définition des logarithmes.

Mais attention : après ce cours, la plupart des élèves pensent avoir tout compris. Mais lorsqu’ils résolvent des problèmes réels, ils ne peuvent pas reproduire toute la chaîne logique. En conséquence, l'équation acquiert des racines inutiles et la réponse s'avère incorrecte.