Accélérez la sortie des formules. Accélération centripète - dérivation de formule et application pratique

Accélération centripète- composante de l'accélération d'un point, caractérisant la vitesse d'évolution dans la direction du vecteur vitesse pour une trajectoire avec courbure (la deuxième composante, l'accélération tangentielle, caractérise l'évolution du module vitesse). Dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, d'où vient le terme. La valeur est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure. Le terme « accélération centripète » est équivalent au terme « accélération normale" La composante de la somme des forces qui provoque cette accélération est appelée force centripète.

La plupart exemple simple L'accélération centripète est le vecteur d'accélération lors d'un mouvement circulaire uniforme (dirigé vers le centre du cercle).

Accélération rapide en projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, il apparaît comme centripète.

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  A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) une n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

  Où une n (\displaystyle a_(n)\ )- accélération normale (centripète), v (\style d'affichage v\ )- vitesse de déplacement linéaire (instantanée) le long de la trajectoire, ω (\ displaystyle \ omega \ )- vitesse angulaire (instantanée) de ce mouvement par rapport au centre de courbure de la trajectoire, R (\style d'affichage R\ )- rayon de courbure de la trajectoire en un point donné. (Le lien entre la première formule et la seconde est évident, étant donné v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).

  Les expressions ci-dessus incluent des valeurs absolues. Ils peuvent être facilement écrits sous forme vectorielle en les multipliant par e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vecteur unitaire du centre de courbure de la trajectoire jusqu'à son point donné :

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) une n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

  Ces formules sont également applicables au cas d'un mouvement à vitesse constante (en valeur absolue) et à un cas arbitraire. Cependant, dans le second, il faut garder à l'esprit que l'accélération centripète n'est pas le vecteur accélération complet, mais seulement sa composante perpendiculaire à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, perpendiculaire au vecteur vitesse instantanée) ; le vecteur d'accélération complète comprend alors également une composante tangentielle ( accélération tangentielle) une τ = ré v / ré t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), dans une direction coïncidant avec la tangente à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, avec la vitesse instantanée).

  Motivation et conclusion

  Le fait que la décomposition du vecteur d'accélération en composantes - l'une le long de la tangente à la trajectoire du vecteur (accélération tangentielle) et l'autre orthogonale à celle-ci (accélération normale) - puisse être pratique et utile est en soi assez évident. Lors d'un déplacement avec une vitesse de module constante, la composante tangentielle devient égale à zéro, c'est-à-dire que dans ce cas particulier important elle reste seulement composant normal. De plus, comme on peut le voir ci-dessous, chacun de ces composants a des propriétés et une structure clairement définies, et l'accélération normale contient un contenu géométrique assez important et non trivial dans la structure de sa formule. Sans parler du cas particulier important du mouvement circulaire.

  Conclusion formelle

  La décomposition de l'accélération en composantes tangentielles et normales (dont la seconde est l'accélération centripète ou normale) peut être trouvée en différenciant par rapport au temps le vecteur vitesse, présenté sous la forme v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))à travers le vecteur tangent unitaire e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)

  Ici, nous utilisons la notation du vecteur unitaire normal à la trajectoire et l (\displaystyle l\ )- pour la longueur actuelle de la trajectoire ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); la dernière transition utilise également l'évidence ré l / ré t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).

  v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

  Accélération normale (centripète). De plus, sa signification, la signification des objets qui y sont inclus, ainsi que la preuve du fait qu'il est bien orthogonal au vecteur tangent (c'est-à-dire que e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- vraiment un vecteur normal) - découlera de considérations géométriques (cependant, le fait que la dérivée de tout vecteur de longueur constante par rapport au temps soit perpendiculaire à ce vecteur lui-même est un fait assez simple ; dans ce cas nous appliquons cette affirmation à ré e τ ré t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

  Remarques

  Il est facile de remarquer que la valeur absolue de l'accélération tangentielle dépend uniquement de l'accélération du sol, coïncidant avec sa valeur absolue, contrairement à la valeur absolue de l'accélération normale, qui ne dépend pas de l'accélération du sol, mais de la vitesse au sol.

  Les méthodes présentées ici, ou des variantes de celles-ci, peuvent être utilisées pour introduire des concepts tels que la courbure d'une courbe et le rayon de courbure d'une courbe (puisque dans le cas où la courbe est un cercle, R. coïncide avec le rayon d'un tel cercle ; il n'est pas non plus trop difficile de montrer que le cercle est dans le plan e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) avec le centre en direction e n (\displaystyle e_(n)\ ) d'un point donné à une distance R.à partir de là - coïncidera avec la courbe donnée - trajectoire - jusqu'au deuxième ordre de petitesse dans la distance jusqu'au point donné).

  Histoire

  D'abord formules correctes pour l'accélération centripète (ou force centrifuge) aurait été obtenu par Huygens. Presque à partir de cette époque, la prise en compte de l’accélération centripète fait désormais partie de la technique habituelle pour résoudre tâches mécaniques etc.

  Un peu plus tard, ces formules ont joué un rôle important dans la découverte de la loi de la gravitation universelle (la formule de l'accélération centripète a été utilisée pour obtenir la loi de la dépendance de la force gravitationnelle sur la distance à la source de gravité, basée sur la troisième loi de Kepler dérivé d’observations).

  À 19ème siècle la prise en compte de l’accélération centripète est déjà devenue une routine, tant pour la science pure que pour les applications techniques.

• Lois fondamentales de la dynamique. Lois de Newton - première, deuxième, troisième. Le principe de relativité de Galilée. La loi de la gravitation universelle. La gravité. Forces élastiques. Poids. Forces de frottement - repos, glissement, roulement + frottement dans les liquides et gaz.
• Cinématique. Concepts de base. Mouvement rectiligne uniforme. Mouvement uniformément accéléré. Mouvement uniforme en cercle. Système de référence. Trajectoire, déplacement, chemin, équation du mouvement, vitesse, accélération, relation entre vitesse linéaire et angulaire.
• Mécanismes simples. Levier (levier du premier type et levier du deuxième type). Bloc (bloc fixe et bloc mobile). Plan incliné. Presse hydraulique. La règle d'or de la mécanique
• Lois de conservation en mécanique. Travail mécanique, puissance, énergie, loi de conservation de la quantité de mouvement, loi de conservation de l'énergie, équilibre des solides
• Tu es ici maintenant: Mouvement circulaire. Équation du mouvement dans un cercle. Vitesse angulaire. Normal = accélération centripète. Période, fréquence de circulation (rotation). Relation entre la vitesse linéaire et angulaire
• Vibrations mécaniques. Vibrations libres et forcées. Vibrations harmoniques. Vibrations élastiques. Pendule mathématique. Transformations d'énergie lors d'oscillations harmoniques
• Ondes mécaniques. Vitesse et longueur d'onde. Équation des ondes progressives. Phénomènes ondulatoires (diffraction, interférence...)
• Mécanique des fluides et aéromécanique. Pression, pression hydrostatique. La loi de Pascal. Équation de base de l'hydrostatique. Vases communicants. Loi d'Archimède. Conditions de navigation tél. L'écoulement d'un fluide. La loi de Bernoulli. Formule Torricelli
• Physique moléculaire. Dispositions de base des TIC. Concepts et formules de base. Propriétés d'un gaz parfait. Équation MKT de base. Température. Équation d'état d'un gaz parfait. Équation de Mendeleïev-Clayperon. Lois des gaz - isotherme, isobare, isochore
• Optique ondulatoire. Théorie des ondes de particules de la lumière. Propriétés ondulatoires de la lumière. Dispersion de la lumière. Interférence de la lumière. Principe de Huygens-Fresnel. Diffraction de la lumière. Polarisation de la lumière
• Thermodynamique. Énergie interne. Emploi. Quantité de chaleur. Phénomènes thermiques. Première loi de la thermodynamique. Application de la première loi de la thermodynamique à divers processus. Équation du bilan thermique. Deuxième loi de la thermodynamique. Moteurs thermiques
• Électrostatique. Concepts de base. Charge électrique. Loi de conservation de la charge électrique. La loi de coulomb. Principe de superposition. La théorie de l'action à courte portée. Potentiel de champ électrique. Condensateur.
• Courant électrique constant. Loi d'Ohm pour une section d'un circuit. Fonctionnement et alimentation CC. Loi Joule-Lenz. Loi d'Ohm pour un circuit complet. Loi de Faraday sur l'électrolyse. Circuits électriques - connexion série et parallèle. Les règles de Kirchhoff.
• Vibrations électromagnétiques. Oscillations électromagnétiques libres et forcées. Circuit oscillatoire. Courant électrique alternatif. Condensateur dans un circuit à courant alternatif. Un inducteur (« solénoïde ») dans un circuit à courant alternatif.
• Éléments de la théorie de la relativité. Postulats de la théorie de la relativité. Relativité des simultanéités, des distances, des intervalles de temps. Loi relativiste d'addition des vitesses. Dépendance de la masse à la vitesse. La loi fondamentale de la dynamique relativiste...
• Erreurs de mesures directes et indirectes. Erreur absolue et relative. Erreurs systématiques et aléatoires. Écart type (erreur). Tableau pour déterminer les erreurs de mesures indirectes de diverses fonctions.

Puisque la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement circulaire ne peut pas être qualifié d’uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissons un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Dans une unité de temps, le point se déplacera vers le point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.



Période et fréquence

Période de rotation T- c'est le temps pendant lequel le corps fait un tour.

La fréquence de rotation est le nombre de tours par seconde.



La fréquence et la période sont interdépendantes par la relation



Relation avec la vitesse angulaire



Vitesse linéaire

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles provenant du dessous d’une rectifieuse se déplacent, répétant la direction de la vitesse instantanée.




Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé est la période T. Le chemin parcouru par un point est la circonférence.



Accélération centripète

Lors d'un déplacement en cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.



En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes




Les points situés sur la même ligne droite partant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur les rayons d'une roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus un point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi de l'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un cadre de référence n'est pas uniforme, alors la loi s'applique aux vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre participe à deux mouvements de rotation principaux : diurne (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction allant du centre de la Terre vers un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est la force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, alors force agissante est la force élastique.



Si un corps posé sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force cesse d’agir, le corps continuera à se déplacer en ligne droite.

Considérons le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à vA Et vB respectivement. L'accélération est la variation de vitesse par unité de temps. Trouvons la différence entre les vecteurs.

Définition

Accélération centripète appelé la composante de l'accélération totale d'un point matériel se déplaçant le long d'une trajectoire courbe, qui détermine le taux de changement dans la direction du vecteur vitesse.

Une autre composante de l’accélération totale est l’accélération tangentielle, qui est responsable du changement de vitesse. Désigne une accélération centripète, généralement $(\overline(a))_n$. L'accélération centripète est également appelée accélération normale.

L'accélération centripète est égale à :

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\droite),\]

où $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ est le vecteur unitaire, qui est dirigé du centre de courbure de la trajectoire jusqu'au point en question ; $r$ est le rayon de courbure de la trajectoire à l'emplacement du point matériel à l'instant considéré.

H. Huygens fut le premier à obtenir les formules correctes pour calculer l'accélération centripète.

L'unité de mesure de l'accélération centripète est Système international Les unités sont le mètre divisé par le deuxième au carré :

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

Formule d'accélération centripète pour le mouvement uniforme d'un point dans un cercle

Considérons le mouvement uniforme d'un point matériel le long d'un cercle. Avec un tel mouvement, la vitesse du point matériel reste inchangée ($v=const$). Mais cela ne signifie pas que l’accélération totale d’un point matériel avec ce type de mouvement est nulle. Le vecteur vitesse instantanée est dirigé tangentiellement au cercle le long duquel le point se déplace. Par conséquent, dans ce mouvement, la vitesse change constamment de direction. Il s'ensuit que le point a une accélération.

Considérons les points A et B qui se trouvent sur la trajectoire de la particule. Nous trouvons le vecteur de changement de vitesse pour les points A et B comme :

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

Si le temps passé à se déplacer du point A au point B tend vers zéro, alors l'arc AB ne diffère pas beaucoup de la corde AB. Les triangles AOB et BMN sont similaires, on obtient :

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]

L'amplitude du module d'accélération moyen est déterminée comme suit :

\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]

Passons à la limite à $\Delta t\à 0\ $ de $\left\langle a\right\rangle \ \ $dans la formule (4) :

Le vecteur accélération moyenne fait un angle égal au vecteur vitesse :

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]

À $\Delta t\to 0\ $ angle $\alpha \to 0.$ Il s'avère que le vecteur accélération instantanée fait un angle $\frac(\pi )(2)$ avec le vecteur vitesse.

Et pour qu'un point matériel se déplaçant uniformément autour d'un cercle ait une accélération dirigée vers le centre du cercle ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), sa valeur est égale à la vitesse carré divisé par le rayon des cercles :

où $\omega $ est la vitesse angulaire de mouvement d'un point matériel ($v=\omega \cdot R$). Sous forme vectorielle, la formule de l'accélération centripète peut s'écrire sur la base de (7) comme suit :

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

où $\overline(R)$ est le rayon vecteur, égal en longueur au rayon de l'arc de cercle, dirigé du centre de courbure vers l'emplacement du point matériel considéré.

Exemples de problèmes avec solutions

Exemple 1

Exercice.Équation vectorielle $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, où $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ décrit le mouvement d'un point matériel. Quelle trajectoire suit ce point ? Quelle est l’ampleur de son accélération centripète ? Considérez toutes les quantités du système SI.

Solution. Considérons l'équation du mouvement d'un point :

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \gauche(1.1\droite).\]

Dans le système de coordonnées cartésiennes, cette équation est équivalente au système d'équations :

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array) \left(1.2\right).\right.\]

Afin de comprendre sur quelle trajectoire se déplace le point, nous devons exclure le temps des équations du système (1.2). Pour ce faire, on met les deux équations au carré et on les additionne :

À partir de l'équation (1.3), nous voyons que la trajectoire du point est un cercle (Fig. 2) de rayon $R=1$ m.

Afin de trouver l’accélération centripète, nous utilisons la formule :

Déterminons le module de vitesse à l'aide du système d'équations (1.2). Trouvons les composantes de vitesse qui sont égales à :

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

Le carré du module de vitesse sera égal à :

À partir du module de vitesse résultant (1.6), nous voyons que notre point se déplace uniformément autour du cercle, donc l'accélération centripète coïncidera avec l'accélération totale.



En remplaçant $v^2$ de (1.6) dans la formule (1.4), nous avons :

Calculons $a_n$ :

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(s^2)\right).$

Répondre. 1) Cercle ; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$

Exemple 2

Exercice. Quelle est l'accélération centripète des points sur le bord du disque à un temps égal à $t=2$c, si le disque tourne conformément à l'équation : $\varphi (t)=3+2t^3$ ? Le rayon du disque est $R=0,(\rm 1)$ m.

Solution. Nous chercherons l'accélération centripète des points du disque à l'aide de la formule :

Nous trouvons la vitesse angulaire en utilisant l'équation $\varphi (t)=3+2t^3$ comme :

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

À $t=2\ $c la vitesse angulaire est égale à :

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Vous pouvez calculer l'accélération centripète à l'aide de la formule (2.1) :

Répondre.$a_n=57,6\frac(m)(s^2)$

Un objet qui se déplace sur une orbite circulaire de rayon r avec une vitesse tangentielle uniforme toi est le vecteur vitesse v, dont la grandeur est constante, mais dont la direction change constamment. Il s'ensuit qu'un objet doit avoir une accélération, puisque (vecteur) est le taux de changement de vitesse (vecteur), et la vitesse (vecteur) est en effet différente dans le temps.

Supposons qu'un objet se déplace d'un point P. jusqu'au point Q entre le temps t Et, t + δ t comme le montre l'image ci-dessus. Supposons en outre que l'objet tourne de δθ radians pendant cette période. Le vecteur, comme le montre le diagramme, est identique au vecteur. De plus, l'angle entre les vecteurs et ce δθ . Le vecteur représente la variation du vecteur vitesse, δ v, entre le temps t Et t + δ t. Il en ressort clairement que ce vecteur est dirigé vers le centre du cercle. D'après la trigonométrie standard, la longueur d'un vecteur est :

Cependant, aux petits angles péché θ ≃ θ , à condition que θ mesuré en radians. Ainsi,

δv ≃vδθ.



Où est la vitesse angulaire de l'objet en radians par seconde. Ainsi, un objet se déplaçant sur une orbite circulaire de rayon r, à vitesse tangentielle uniforme v, et une vitesse angulaire uniforme, a une accélération dirigée vers le centre du cercle - c'est-à-dire accélération centripète- taille:





Supposons qu'un corps de masse m, attaché à l'extrémité d'un câble, longueur r, et tourne de telle manière que le corps décrit un cercle horizontal de rayon r, avec une vitesse tangentielle uniforme v. Comme nous venons de l’apprendre, un corps a une accélération de grandeur centripète. Le corps subit donc une force centripète



Qu'est-ce qui donne ce pouvoir ? D'accord, dans cet exemple, la force est fournie par la tension dans le câble. Ainsi, .

Supposons que le câble soit tel qu'il se brise lorsque la tension qu'il contient dépasse un certain valeur critique. Il s'ensuit qu'il existe une vitesse maximale à laquelle un corps peut se déplacer, à savoir :



Si v dépasse vmax, le câble se brisera. Une fois le câble rompu, le corps ne subira plus de force centripète, il se déplacera donc à grande vitesse vmax le long d’une ligne droite tangente à l’orbite circulaire préexistante.