Formules de théorie des probabilités et exemples de résolution de problèmes. Formule classique pour calculer la probabilité

Notre réponse

Choisir le bon pari dépend non seulement de l'intuition, des connaissances sportives, des cotes des bookmakers, mais aussi du coefficient de probabilité de l'événement. La capacité de calculer un tel indicateur dans les paris est la clé du succès pour prédire l'événement à venir sur lequel un pari est censé être placé.
Chez les bookmakers, il existe trois types de cotes (plus de détails dans l'article), dont le type détermine comment calculer la probabilité d'un événement pour un joueur.

Cotes décimales

Dans ce cas, la probabilité d'un événement est calculée à l'aide de la formule : 1/coefficient. = v.i, où coefficient. est le coefficient de l'événement et vi est la probabilité du résultat. Par exemple, prenons un événement avec une cote de 1,80 avec un pari d'un dollar, en effectuant une opération mathématique selon la formule, le joueur obtient que la probabilité de l'issue de l'événement selon le bookmaker est de 0,55 pour cent.

Cotes fractionnaires

Lorsque vous utilisez des cotes fractionnaires, la formule de calcul de la probabilité sera différente. Ainsi, avec un coefficient de 7/2, où le premier chiffre désigne le montant possible du bénéfice net, et le second le montant du pari requis pour obtenir ce profit, l'équation ressemblera à ceci : zn.od/ pour la somme de zn.od et chs.od = v.i . Ici zn.coef est le dénominateur du coefficient, chs.coef est le numérateur du coefficient, v.i est la probabilité du résultat. Ainsi, pour une cote fractionnaire de 7/2, l'équation ressemble à 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, donc la probabilité de l'issue de l'événement est de 0,22 pour cent selon le bookmaker.

Cotes américaines

Les cotes américaines ne sont pas très populaires parmi les joueurs et, en règle générale, sont utilisées exclusivement aux États-Unis, ayant une structure complexe et déroutante. Pour répondre à la question : « Comment calculer la probabilité d'un événement de cette manière ? », il faut savoir que de tels coefficients peuvent être négatifs et positifs.

Un coefficient avec le signe « - », par exemple -150, indique que le joueur doit placer une mise de 150 $ pour recevoir un bénéfice net de 100 $. La probabilité d'un événement est calculée sur la base de la formule où vous devez diviser le coefficient négatif par la somme du coefficient négatif et 100. Cela ressemble à l'exemple d'un pari de -150, donc (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, où 0,6 est multiplié par 100 et la probabilité de résultat de l'événement est de 60 pour cent. La même formule convient également aux cotes américaines positives.

Que cela nous plaise ou non, notre vie est pleine d’accidents de toutes sortes, agréables et moins agréables. Par conséquent, cela ne ferait pas de mal à chacun de nous de savoir comment trouver la probabilité d’un événement particulier. Cela vous aidera à prendre bonnes décisions dans toutes les circonstances impliquant une incertitude. Par exemple, ces connaissances seront très utiles pour choisir des options d'investissement, évaluer la possibilité de gagner une action ou une loterie, déterminer la réalité de la réalisation d'objectifs personnels, etc., etc.

Formule de la théorie des probabilités

En principe, étudier ce sujet ne prend pas trop de temps. Afin d'obtenir une réponse à la question : « Comment trouver la probabilité d'un phénomène ? », vous devez comprendre les concepts clés et rappeler les principes de base sur lesquels repose le calcul. Ainsi, selon les statistiques, les événements étudiés sont désignés par A1, A2,..., An. Chacun d’eux a à la fois des résultats favorables (m) et un nombre total de résultats élémentaires. Par exemple, nous cherchons à déterminer la probabilité qu’il y ait un nombre pair de points sur la face supérieure du cube. Ensuite, A est un lancer de m - déployant 2, 4 ou 6 points (trois options favorables), et n représente les six options possibles.

La formule de calcul elle-même est la suivante :

Avec un seul résultat, tout est extrêmement simple. Mais comment trouver la probabilité si les événements se succèdent ? Prenons cet exemple : de paquet de cartes(36 pièces) une carte est affichée, puis elle est cachée dans le jeu et après avoir été mélangée, la suivante est retirée. Comment trouver la probabilité qu'au moins dans un cas la dame de pique soit tirée ? Il existe la règle suivante : si l'on considère un événement complexe, qui peut être divisé en plusieurs événements simples incompatibles, alors vous pouvez d'abord calculer le résultat pour chacun d'eux, puis les additionner. Dans notre cas, cela ressemblera à ceci : 1/36 + 1/36 = 1/18. Mais que se passe-t-il lorsque plusieurs se produisent simultanément ? Ensuite on multiplie les résultats ! Par exemple, la probabilité que lorsque deux pièces sont lancées simultanément, deux faces apparaissent sera égale à : ½ * ½ = 0,25.

Maintenant, prenons encore plus exemple complexe. Supposons que nous participions à une loterie de livres dans laquelle dix billets sur trente sont gagnants. Vous devez déterminer :

1. La probabilité que les deux soient gagnants.
2. Au moins l'un d'entre eux rapportera un prix.
3. Tous deux seront perdants.

Considérons donc le premier cas. Il se décompose en deux événements : le premier ticket portera chance, et le second portera également chance. Tenons compte du fait que les événements sont dépendants, car après chaque retrait, le nombre total d'options diminue. On a:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Dans le second cas, il faudra déterminer la probabilité d'un ticket perdant et prendre en compte qu'il peut s'agir soit du premier, soit du second : 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Enfin, le troisième cas, où vous ne pourrez même pas obtenir un seul livre à la loterie : 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

Théorie des probabilités – une science mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires. Les phénomènes aléatoires sont compris comme des phénomènes dont l'issue est incertaine et qui se produisent lorsqu'un certain ensemble de conditions est reproduit de manière répétée.

Par exemple, lorsque vous lancez une pièce de monnaie, vous ne pouvez pas prédire de quel côté elle atterrira. Le résultat du tirage au sort est aléatoire. Mais avec un nombre suffisamment grand de lancers de pièces, il existe un certain modèle (les armoiries et le dièse tomberont à peu près le même nombre de fois).

Concepts de base de la théorie des probabilités

Test (expérience, expérience) - la mise en œuvre d'un certain ensemble de conditions dans lesquelles tel ou tel phénomène est observé et tel ou tel résultat est enregistré.

Par exemple : lancer dé avec le nombre de points perdus ; différence de température de l'air; méthode de traitement de la maladie; une période de la vie d'une personne.

Événement aléatoire (ou juste un événement) – résultat du test.

Exemples d'événements aléatoires :

obtenir un point en lançant un dé ;

exacerbation des maladies coronariennes avec une forte augmentation de la température de l'air en été ;

développement de complications de la maladie dues à un mauvais choix de méthode de traitement;

admission dans une université après des études scolaires réussies.

Les événements sont désignés par les lettres majuscules de l'alphabet latin : UN , B , C , …

L'événement s'appelle fiable , si à la suite du test cela doit nécessairement se produire.

L'événement s'appelle impossible , si à la suite du test, cela ne peut pas se produire du tout.

Par exemple, si tous les produits d’un lot sont standards, alors en extraire un produit standard est un événement fiable, mais extraire un produit défectueux dans les mêmes conditions est un événement impossible.

DÉFINITION CLASSIQUE DE LA PROBABILITÉ

La probabilité est l'un des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités.

Probabilité d'événement classique s'appelle le rapport du nombre de cas favorisant un événement , À nombre total cas, c'est-à-dire

, (5.1)

Où
- probabilité d'événement ,

- nombre de cas favorables à l'événement ,

- nombre total de cas.

Propriétés de la probabilité d'un événement

La probabilité de tout événement est comprise entre zéro et un, c'est-à-dire

La probabilité d'un événement fiable est égale à un, c'est-à-dire

.

La probabilité d'un événement impossible est nulle, c'est-à-dire

.

(Suggérez de résoudre plusieurs tâches simples oralement).

DÉTERMINATION STATISTIQUE DE LA PROBABILITÉ

En pratique, l’estimation des probabilités d’événements repose souvent sur la fréquence à laquelle un événement donné se produira dans les tests effectués. Dans ce cas, la définition statistique de la probabilité est utilisée.

Probabilité statistique d'un événement appelée limite de fréquence relative (le rapport du nombre de cas m, favorable à la survenance d'un événement , au nombre total tests effectués), lorsque le nombre de tests tend vers l'infini, c'est-à-dire

Où
- probabilité statistiqueévénements ,
- nombre d'essais dans lesquels l'événement est apparu , - nombre total de tests.

Contrairement à la probabilité classique, la probabilité statistique est une caractéristique de la probabilité expérimentale. La probabilité classique sert à calculer théoriquement la probabilité d'un événement dans des conditions données et n'exige pas que des tests soient effectués dans la réalité. La formule de probabilité statistique est utilisée pour déterminer expérimentalement la probabilité d'un événement, c'est-à-dire on suppose que les tests ont été réellement effectués.

La probabilité statistique est approximativement égale à la fréquence relative d'un événement aléatoire. Par conséquent, en pratique, la fréquence relative est considérée comme la probabilité statistique, car la probabilité statistique est pratiquement impossible à trouver.

La définition statistique de la probabilité s'applique aux événements aléatoires qui ont les propriétés suivantes :

Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité

Concepts de base

a) Les seuls événements possibles

Événements
Ils sont appelés les seuls possibles si, à la suite de chaque test, au moins l'un d'entre eux se produira certainement.

Ces événements forment un groupe complet d'événements.

Par exemple, lors du lancement d'un dé, les seuls événements possibles sont les camps avec un, deux, trois, quatre, cinq et six points. Ils forment un ensemble complet d'événements.

b) Les événements sont dits incompatibles, si la survenance de l’un d’eux exclut la survenance d’autres événements dans le même procès. Sinon, ils sont appelés conjoints.

c) En face nommez deux événements uniquement possibles qui forment un groupe complet. Désigner Et .

g) Les événements sont dits indépendants, si la probabilité de survenance de l'un d'eux ne dépend pas de la commission ou de la non-réalisation des autres.

Actions sur les événements

La somme de plusieurs événements est un événement constitué par la survenance d'au moins un de ces événements.

Si Et – les événements communs, puis leur somme
ou
désigne l'occurrence de l'un ou l'autre de l'événement A, ou de l'événement B, ou des deux événements ensemble.

Si Et – les événements incompatibles, puis leur somme
désigne une occurrence ou des événements , ou des événements .

Montant les événements signifient :

Le produit (intersection) de plusieurs événements est un événement constitué de la survenance conjointe de tous ces événements.

Le produit de deux événements est noté
ou
.

Travail les événements représentent

Théorème pour ajouter des probabilités d'événements incompatibles

La probabilité de la somme de deux ou plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de ces événements :

Pour deux événements ;

- Pour événements.

Conséquences:

a) Somme des probabilités d'événements opposés Et égal à un :

La probabilité de l’événement opposé est notée :
.

b) Somme des probabilités d'événements formant un ensemble complet d'événements est égal à un : ou
.

Théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints

La probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans les probabilités de leur intersection, c'est-à-dire

Théorème de multiplication de probabilité

a) Pour deux événements indépendants :

b) Pour deux événements dépendants

Où
– probabilité conditionnelle d’un événement , c'est à dire. probabilité d'un événement , calculé sous la condition que l'événement arrivé.

c) Pour événements indépendants :

.

d) Probabilité qu'au moins un des événements se produise , formant un ensemble complet d'événements indépendants :

Probabilite conditionnelle

Probabilité de l'événement , calculé en supposant que l'événement s'est produit , est appelée probabilité conditionnelle de l'événement et est désigné
ou
.

Lors du calcul de la probabilité conditionnelle à l'aide de la formule de probabilité classique, le nombre de résultats Et
calculé en tenant compte du fait qu'avant que l'événement ne se produise un événement s'est produit .

Initialement, n’étant qu’un recueil d’informations et d’observations empiriques sur le jeu de dés, la théorie des probabilités est devenue une science approfondie. Les premiers à lui donner un cadre mathématique furent Fermat et Pascal.

De la réflexion sur l’éternel à la théorie des probabilités

Les deux individus à qui la théorie des probabilités doit bon nombre de ses formules fondamentales, Blaise Pascal et Thomas Bayes, sont connus pour être des personnes profondément religieuses, ce dernier étant un pasteur presbytérien. Apparemment, le désir de ces deux scientifiques de prouver l'erreur de l'opinion selon laquelle une certaine Fortune donnerait chance à ses favoris a donné une impulsion à la recherche dans ce domaine. Après tout, en fait, tout jeu de hasard, avec ses gains et ses pertes, n'est qu'une symphonie de principes mathématiques.

Grâce à la passion du chevalier de Mère, qui était à la fois joueur et homme non indifférent à la science, Pascal fut contraint de trouver un moyen de calculer les probabilités. De Mere s'est intéressé à la question suivante : « Combien de fois faut-il lancer deux dés par paires pour que la probabilité d'obtenir 12 points dépasse 50 % ? La deuxième question, qui intéressait beaucoup le monsieur : « Comment répartir la mise entre les participants au jeu inachevé ? Bien entendu, Pascal a répondu avec succès aux deux questions de de Mere, qui est devenu l'initiateur involontaire du développement de la théorie des probabilités. Il est intéressant de noter que la personne de De Mere est restée connue dans ce domaine et non dans la littérature.

Auparavant, aucun mathématicien n'avait jamais tenté de calculer les probabilités d'événements, car on pensait qu'il ne s'agissait que d'une solution de supposition. Blaise Pascal a donné la première définition de la probabilité d'un événement et a montré qu'il s'agit d'un chiffre précis qui peut être justifié mathématiquement. La théorie des probabilités est devenue la base des statistiques et est largement utilisée dans la science moderne.

Qu'est-ce que le hasard

Si l’on considère un test qui peut être répété un nombre infini de fois, alors on peut définir un événement aléatoire. C'est l'un des résultats probables expérience.

L'expérience est la mise en œuvre d'actions spécifiques dans des conditions constantes.

Pour pouvoir travailler avec les résultats de l'expérience, les événements sont généralement désignés par les lettres A, B, C, D, E...

Probabilité d'un événement aléatoire

Afin de commencer la partie mathématique des probabilités, il est nécessaire de définir toutes ses composantes.

La probabilité d'un événement est une mesure numérique de la possibilité qu'un événement (A ou B) se produise à la suite d'une expérience. La probabilité est notée P(A) ou P(B).

En théorie des probabilités, on distingue :

• fiable il est garanti que l'événement se produira à la suite de l'expérience P(Ω) = 1 ;
• impossible l'événement ne peut jamais se produire P(Ø) = 0 ;
• aléatoire un événement se situe entre fiable et impossible, c'est-à-dire que la probabilité de son apparition est possible, mais non garantie (la probabilité d'un événement aléatoire est toujours comprise dans la plage 0≤Р(А)≤ 1).

Relations entre les événements

L'un et la somme des événements A+B sont pris en compte lorsque l'événement est compté lorsqu'au moins l'un des composants, A ou B, ou les deux, A et B, est rempli.

Les événements les uns par rapport aux autres peuvent être :

• Tout aussi possible.
• Compatible.
• Incompatible.
• Ci-contre (mutuellement exclusifs).
• Dépendant.

Si deux événements peuvent se produire avec une probabilité égale, alors ils tout aussi possible.

Si la survenance de l’événement A ne réduit pas à zéro la probabilité de survenance de l’événement B, alors ils compatible.

Si les événements A et B ne se produisent jamais simultanément dans la même expérience, alors ils sont appelés incompatible. Tirage au sort - bon exemple: l'apparition des têtes est automatiquement la non-apparition des têtes.

La probabilité de la somme de ces événements incompatibles consiste en la somme des probabilités de chacun des événements :

P(A+B)=P(A)+P(B)

Si la survenance d'un événement rend impossible la survenance d'un autre, alors ils sont appelés opposés. Ensuite, l'un d'eux est désigné par A et l'autre par Ā (lu comme « non A »). L'occurrence de l'événement A signifie que  ne s'est pas produit. Ces deux événements forment un groupe complet avec une somme de probabilités égale à 1.

Les événements dépendants ont une influence mutuelle, diminuant ou augmentant la probabilité les uns des autres.

Relations entre les événements. Exemples

À l’aide d’exemples, il est beaucoup plus facile de comprendre les principes de la théorie des probabilités et des combinaisons d’événements.

L'expérience qui sera réalisée consiste à sortir des balles d'une boîte, et le résultat de chaque expérience est un résultat élémentaire.

Un événement est l'un des résultats possibles d'une expérience - une boule rouge, une boule bleue, une boule avec le chiffre six, etc.

Essai n°1. Il y a 6 boules impliquées, dont trois sont bleues avec des nombres impairs et les trois autres sont rouges avec des nombres pairs.

Essai n°2. 6 balles impliquées de couleur bleue avec des nombres de un à six.

Sur la base de cet exemple, nous pouvons nommer des combinaisons :

• Événement fiable. En espagnol N°2 l'événement « récupérer la balle bleue » est fiable, puisque la probabilité de son apparition est égale à 1, puisque toutes les balles sont bleues et qu'il ne peut y avoir aucun échec. Alors que l’événement « récupérer le ballon avec le numéro 1 » est aléatoire.
• Événement impossible. En espagnol N°1 avec les boules bleues et rouges, l'événement « obtenir la boule violette » est impossible, puisque la probabilité qu'il se produise est de 0.
• Des événements tout aussi possibles. En espagnol N°1, les événements « récupérer le ballon avec le numéro 2 » et « récupérer le ballon avec le numéro 3 » sont également possibles, et les événements « récupérer le ballon avec le numéro pair » et « récupérer le ballon avec le numéro 2 » sont également possibles. » ont des probabilités différentes.
• Événements compatibles. Obtenir un six deux fois de suite en lançant un dé est un événement compatible.
• Événements incompatibles. Dans le même espagnol N°1, les événements « récupérer une balle rouge » et « récupérer une balle avec un nombre impair » ne peuvent pas être combinés dans la même expérience.
• Des événements opposés. La plupart exemple brillant Il s'agit d'un tirage au sort, où tirer face équivaut à ne pas tirer face, et la somme de leurs probabilités est toujours 1 (groupe complet).
• Événements dépendants. Donc en espagnol N°1, vous pouvez vous fixer comme objectif de tirer la boule rouge deux fois de suite. Le fait qu'il soit récupéré ou non la première fois affecte la probabilité d'être récupéré la deuxième fois.

On constate que le premier événement affecte significativement la probabilité du second (40 % et 60 %).

Formule de probabilité d'événement

Le passage de la bonne aventure à des données précises se fait par la traduction du sujet sur un plan mathématique. Autrement dit, les jugements sur un événement aléatoire tel que « probabilité élevée » ou « probabilité minimale » peuvent être traduits en données numériques spécifiques. Il est déjà permis d'évaluer, de comparer et d'intégrer ces matériaux dans des calculs plus complexes.

D'un point de vue calcul, la détermination de la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats positifs élémentaires et le nombre de tous les résultats possibles de l'expérience concernant un événement spécifique. La probabilité est notée P(A), où P représente le mot « probabilité », qui est traduit du français par « probabilité ».

Ainsi, la formule de la probabilité d'un événement est :

Où m est le nombre d’issues favorables pour l’événement A, n est la somme de toutes les issues possibles pour cette expérience. Dans ce cas, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 :

0 ≤ P(A)≤ 1.

Calcul de la probabilité d'un événement. Exemple

Prenons l'espagnol. N°1 avec des boules, qui a été décrit plus haut : 3 boules bleues avec les chiffres 1/3/5 et 3 boules rouges avec les chiffres 2/4/6.

Sur la base de ce test, plusieurs problèmes différents peuvent être envisagés :

• A - une boule rouge qui tombe. Il y a 3 boules rouges, et il y a 6 options au total. exemple le plus simple, dans lequel la probabilité de l'événement est égale à P(A)=3/6=0,5.
• B - rouler un nombre pair. Il y a 3 nombres pairs (2,4,6) et le nombre total d'options numériques possibles est de 6. La probabilité de cet événement est P(B)=3/6=0,5.
• C - déployer un nombre supérieur à 2. Il existe 4 options de ce type (3,4,5,6) sur nombre total résultats possibles 6. La probabilité de l'événement C est égale à P(C)=4/6=0,67.

Comme le montrent les calculs, l'événement C a une probabilité plus élevée, puisque le nombre de résultats positifs probables est plus élevé que dans A et B.

Événements incompatibles

De tels événements ne peuvent pas apparaître simultanément dans la même expérience. Comme en espagnol N°1, il est impossible d’avoir une boule bleue et une boule rouge en même temps. Autrement dit, vous pouvez obtenir une boule bleue ou rouge. De la même manière, un nombre pair et un nombre impair ne peuvent pas apparaître simultanément dans un dé.

La probabilité de deux événements est considérée comme la probabilité de leur somme ou de leur produit. La somme de ces événements A+B est considérée comme un événement qui consiste en l’occurrence de l’événement A ou B, et leur produit AB est l’occurrence des deux. Par exemple, l'apparition de deux six à la fois sur les faces de deux dés en un seul lancer.

La somme de plusieurs événements est un événement qui présuppose la survenance d'au moins l'un d'entre eux. La production de plusieurs événements est la cooccurrence de tous.

En théorie des probabilités, en règle générale, l'utilisation de la conjonction « et » désigne une somme et la conjonction « ou » - une multiplication. Des formules avec des exemples vous aideront à comprendre la logique de l'addition et de la multiplication dans la théorie des probabilités.

Probabilité de la somme des événements incompatibles

Si la probabilité d'événements incompatibles est considérée, alors la probabilité de la somme des événements est égale à l'addition de leurs probabilités :

P(A+B)=P(A)+P(B)

Par exemple : calculons la probabilité qu'en espagnol. N°1 avec des boules bleues et rouges, un nombre compris entre 1 et 4 apparaîtra. Nous calculerons non pas en une seule action, mais par la somme des probabilités des composantes élémentaires. Ainsi, dans une telle expérience, il n’y a que 6 boules ou 6 de tous les résultats possibles. Les nombres qui satisfont à la condition sont 2 et 3. La probabilité d'obtenir le chiffre 2 est de 1/6, la probabilité d'obtenir le chiffre 3 est également de 1/6. La probabilité d’obtenir un nombre compris entre 1 et 4 est :

La probabilité de la somme des événements incompatibles d'un groupe complet est de 1.

Ainsi, si dans une expérience avec un cube nous additionnons les probabilités que tous les nombres apparaissent, le résultat sera un.

Cela est également vrai pour les événements opposés, par exemple dans l'expérience avec une pièce de monnaie, où un côté est l'événement A et l'autre l'événement opposé Â, comme on le sait,

P(A) + P(Ā) = 1

Probabilité que des événements incompatibles se produisent

La multiplication de probabilité est utilisée pour considérer l'occurrence de deux événements incompatibles ou plus dans une observation. La probabilité que les événements A et B y apparaissent simultanément est égale au produit de leurs probabilités, soit :

P(UNE*B)=P(UNE)*P(B)

Par exemple, la probabilité qu'en espagnol N°1, à la suite de deux tentatives, une boule bleue apparaîtra deux fois, égale à

C'est-à-dire que la probabilité qu'un événement se produise lorsque, à la suite de deux tentatives d'extraction de balles, seules des balles bleues sont extraites, est de 25 %. Il est très facile de faire des expériences pratiques sur ce problème et de voir si c’est réellement le cas.

Événements communs

Des événements sont considérés comme conjoints lorsque la survenance de l’un d’eux peut coïncider avec la survenance d’un autre. Malgré le fait qu'ils soient conjoints, la probabilité d'événements indépendants est prise en compte. Par exemple, lancer deux dés peut donner un résultat lorsque le chiffre 6 apparaît sur les deux. Bien que les événements aient coïncidé et soient apparus en même temps, ils sont indépendants les uns des autres - un seul six pourrait tomber, le deuxième dé n'en a pas. influence sur celui-ci.

La probabilité d'événements conjoints est considérée comme la probabilité de leur somme.

Probabilité de la somme des événements communs. Exemple

La probabilité de la somme des événements A et B, qui sont conjoints l'un par rapport à l'autre, est égale à la somme des probabilités de l'événement moins la probabilité de leur occurrence (c'est-à-dire leur occurrence conjointe) :

Articulation R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Supposons que la probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup soit de 0,4. Ensuite, l'événement A atteint la cible lors de la première tentative, B - lors de la seconde. Ces événements sont communs, puisqu'il est possible que vous puissiez atteindre la cible à la fois avec le premier et le deuxième tir. Mais les événements ne dépendent pas. Quelle est la probabilité que l'événement touche la cible avec deux tirs (au moins un) ? D'après la formule :

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

La réponse à la question est : « La probabilité d’atteindre la cible avec deux tirs est de 64 %. »

Cette formule de probabilité d'un événement peut également être appliquée à des événements incompatibles, où la probabilité d'occurrence conjointe d'un événement P(AB) = 0. Cela signifie que la probabilité de la somme des événements incompatibles peut être considérée comme un cas particulier. de la formule proposée.

Géométrie des probabilités pour plus de clarté

Il est intéressant de noter que la probabilité de la somme des événements conjoints peut être représentée par deux zones A et B qui se croisent. Comme le montre la photo, l'aire de leur union est égale à l'aire totale moins l'aire de leur intersection. Cette explication géométrique rend la formule apparemment illogique plus compréhensible. Notez que les solutions géométriques ne sont pas rares en théorie des probabilités.

Déterminer la probabilité de la somme de plusieurs (plus de deux) événements conjoints est assez fastidieux. Pour le calculer, vous devez utiliser les formules fournies pour ces cas.

Événements dépendants

Les événements sont dits dépendants si la survenance de l'un (A) d'entre eux affecte la probabilité de survenance d'un autre (B). De plus, l’influence à la fois de l’occurrence de l’événement A et de sa non-occurrence est prise en compte. Bien que les événements soient dits dépendants par définition, un seul d'entre eux est dépendant (B). La probabilité ordinaire était notée P(B) ou probabilité d’événements indépendants. Dans le cas d'événements dépendants, un nouveau concept est introduit - la probabilité conditionnelle P A (B), qui est la probabilité d'un événement dépendant B, sous réserve de la survenance de l'événement A (hypothèse), dont il dépend.

Mais l’événement A est également aléatoire, il a donc également une probabilité qui doit et peut être prise en compte dans les calculs effectués. L'exemple suivant montrera comment travailler avec des événements dépendants et une hypothèse.

Un exemple de calcul de la probabilité d'événements dépendants

Un bon exemple de calcul d’événements dépendants serait un jeu de cartes standard.

En utilisant un jeu de 36 cartes comme exemple, examinons les événements dépendants. Nous devons déterminer la probabilité que la deuxième carte tirée du jeu soit composée de diamants si la première carte tirée est :

1. Boubnovaïa.
2. Une couleur différente.

Évidemment, la probabilité du deuxième événement B dépend du premier A. Donc, si la première option est vraie, qu'il y a 1 carte (35) et 1 carreau (8) de moins dans le jeu, la probabilité de l'événement B :

RA (B) =8/35=0,23

Si la deuxième option est vraie, alors le jeu contient 35 cartes et le nombre total de diamants (9) est toujours conservé, alors la probabilité de l'événement suivant B :

R A (B) = 9/35 = 0,26.

On voit que si l’événement A est conditionné au fait que la première carte est un diamant, alors la probabilité de l’événement B diminue, et vice versa.

Multiplication d'événements dépendants

Guidés par le chapitre précédent, nous acceptons le premier événement (A) comme un fait, mais il est essentiellement de nature aléatoire. La probabilité de cet événement, à savoir tirer un diamant d'un jeu de cartes, est égale à :

P(A) = 9/36=1/4

Puisque la théorie n’existe pas en soi, mais est destinée à servir des objectifs pratiques, il est juste de noter que ce qui est le plus souvent nécessaire est la probabilité de produire des événements dépendants.

Selon le théorème sur le produit des probabilités d'événements dépendants, la probabilité d'apparition des événements A et B conjointement dépendants est égale à la probabilité d'un événement A, multipliée par la probabilité conditionnelle de l'événement B (dépendant de A) :

P(AB) = P(A) *P A(B)

Ensuite, dans l’exemple du jeu, la probabilité de tirer deux cartes avec la couleur des carreaux est :

9/36*8/35=0,0571, soit 5,7 %

Et la probabilité d'extraire non pas les diamants d'abord, puis les diamants, est égale à :

27/36*9/35=0,19, soit 19 %

On voit que la probabilité que l'événement B se produise est plus grande à condition que la première carte tirée soit d'une couleur autre que les carraux. Ce résultat est tout à fait logique et compréhensible.

Probabilité totale d'un événement

Lorsqu’un problème avec probabilités conditionnelles devient multiforme, il ne peut pas être calculé à l’aide de méthodes conventionnelles. Lorsqu'il y a plus de deux hypothèses, à savoir A1, A2,…, A n, ..forme un ensemble complet d'événements à condition :

• P(UNE je)>0, je=1,2,…
• UNE je ∩ UNE j =Ø, je≠j.
• ΣkAk =Ω.

Ainsi, la formule de la probabilité totale de l'événement B à groupe completévénements aléatoires A1,A2,…,Et n est égal à :

Un regard vers le futur

La probabilité d'un événement aléatoire est extrêmement nécessaire dans de nombreux domaines scientifiques : économétrie, statistiques, physique, etc. Étant donné que certains processus ne peuvent pas être décrits de manière déterministe, puisqu'ils sont eux-mêmes de nature probabiliste, des méthodes de travail spéciales sont nécessaires. La théorie de la probabilité d’un événement peut être utilisée dans n’importe quel domaine technologique pour déterminer la possibilité d’une erreur ou d’un dysfonctionnement.

On peut dire qu’en reconnaissant la probabilité, nous faisons en quelque sorte un pas théorique vers le futur, en l’envisageant à travers le prisme des formules.

en tant que catégorie ontologique, il reflète l'étendue de la possibilité d'émergence de toute entité dans toutes les conditions. Contrairement à l’interprétation mathématique et logique de ce concept, les mathématiques ontologiques ne s’associent pas à l’obligation d’expression quantitative. Le sens de V. se révèle dans le contexte de la compréhension du déterminisme et de la nature du développement en général.

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PROBABILITÉ

concept caractérisant les quantités. la mesure de la possibilité de survenance d'un certain événement à un certain moment conditions. En scientifique connaissance, il existe trois interprétations de V. Le concept classique de V., issu des mathématiques. analyse jeu d'argent et plus pleinement développé par B. Pascal, J. Bernoulli et P. Laplace, considère la victoire comme le rapport du nombre de cas favorables au nombre total de tous ceux également possibles. Par exemple, lorsque l’on lance un dé à 6 faces, on peut s’attendre à ce que chacune d’elles atterrisse avec une valeur de 1/6, puisqu’aucune face n’a d’avantage sur l’autre. Une telle symétrie des résultats expérimentaux est particulièrement prise en compte lors de l'organisation de jeux, mais est relativement rare dans l'étude d'événements objectifs en science et en pratique. Classique L'interprétation de V. a cédé la place aux statistiques. Les concepts de V., qui sont basés sur la réalité observer l'apparition d'un certain événement sur une longue période de temps. expérience dans des conditions précisément fixées. La pratique confirme que plus un événement se produit souvent, plus le degré de possibilité objective de son apparition, ou B. Donc statistique, est grand. L'interprétation de V. repose sur la notion de relation. fréquence, qui peut être déterminée expérimentalement. V. comme théorie le concept ne coïncide jamais avec la fréquence déterminée empiriquement, mais au pluriel. Dans les cas, il diffère pratiquement peu du relatif. fréquence trouvée en raison de la durée. observations. De nombreux statisticiens considèrent V. comme un « double ». fréquences, les bords sont déterminés statistiquement. étude des résultats d'observation

ou des expériences. La définition de V. en ce qui concerne la limite était moins réaliste. fréquences d'événements de masse, ou de groupes, proposées par R. Mises. Comme la poursuite du développement L'approche fréquentielle de V. propose une interprétation dispositionnelle ou propensive de V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Selon cette interprétation, V. caractérise par exemple la propriété des conditions génératrices. expérience. installations pour obtenir une séquence d’événements aléatoires massifs. C'est précisément cette attitude qui donne lieu à des inquiétudes physiques. dispositions, ou prédispositions, V. qui peuvent être vérifiées à l'aide de proches. fréquence

Statistique L'interprétation de V. domine la recherche scientifique. cognition, car elle reflète des spécificités. la nature des schémas inhérents aux phénomènes de masse de nature aléatoire. Dans de nombreux domaines physiques, biologiques, économiques, démographiques. et d'autres processus sociaux, il est nécessaire de prendre en compte l'action de nombreux facteurs aléatoires, caractérisés par une fréquence stable. Identifier ces fréquences et quantités stables. son évaluation avec l'aide de V. permet de révéler la nécessité qui se fraye un chemin à travers l'action cumulative de nombreux accidents. C'est ici que trouve sa manifestation la dialectique de la transformation du hasard en nécessité (voir F. Engels, dans le livre : K. Marx et F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).

Le raisonnement logique, ou inductif, caractérise la relation entre les prémisses et la conclusion d'un raisonnement non démonstratif et, en particulier, inductif. Contrairement à la déduction, les prémisses de l'induction ne garantissent pas la véracité de la conclusion, mais la rendent seulement plus ou moins plausible. Cette plausibilité, avec des prémisses précisément formulées, peut parfois être appréciée à l'aide de V. La valeur de ce V. est le plus souvent déterminée par comparaison. concepts (supérieur, inférieur ou égal à), et parfois de manière numérique. Logique l'interprétation est souvent utilisée pour analyser le raisonnement inductif et construire divers systèmes de logique probabiliste (R. Carnap, R. Jeffrey). En sémantique concepts logiques V. est souvent défini comme le degré auquel une affirmation est confirmée par d'autres (par exemple, une hypothèse par ses données empiriques).

En relation avec le développement des théories de la prise de décision et des jeux, ce qu'on appelle interprétation personnaliste de V. Bien que V. exprime en même temps le degré de foi du sujet et la survenance d'un certain événement, V. eux-mêmes doivent être choisis de telle manière que les axiomes du calcul de V. soient satisfaits. Par conséquent, V. avec une telle interprétation n'exprime pas tant le degré de foi subjective, mais plutôt raisonnable . Par conséquent, les décisions prises sur la base d'un tel V. seront rationnelles, car elles ne prennent pas en compte le psychologique. caractéristiques et inclinations du sujet.

Avec épistémologique t.zr. différence entre statistique et logique. et les interprétations personnalistes de V. sont que si la première caractérise les propriétés objectives et les relations des phénomènes de masse de nature aléatoire, alors les deux dernières analysent les caractéristiques du subjectif, de la connaissance. activités humaines dans des conditions d’incertitude.

PROBABILITÉ

l'un des concepts scientifiques les plus importants, caractérisant une vision systémique particulière du monde, de sa structure, de son évolution et de ses connaissances. La spécificité de la vision probabiliste du monde se révèle à travers l'inclusion des concepts de hasard, d'indépendance et de hiérarchie (l'idée de niveaux dans la structure et la détermination des systèmes) parmi les concepts fondamentaux de l'existence.

Les idées sur la probabilité sont nées dans l'Antiquité et liées aux caractéristiques de nos connaissances, tandis que l'existence de connaissances probabilistes était reconnue, qui différait des connaissances fiables et des fausses connaissances. L'impact de l'idée de probabilité sur la pensée scientifique et sur le développement des connaissances est directement lié au développement de la théorie des probabilités en tant que discipline mathématique. L'origine de la doctrine mathématique des probabilités remonte au XVIIe siècle, époque à laquelle se développe un noyau de concepts permettant. caractéristiques quantitatives (numériques) et exprimant une idée probabiliste.

Des applications intensives des probabilités au développement de la cognition ont lieu au cours de la seconde moitié. 19 - 1er étage 20ième siècle La probabilité est entrée dans les structures de sciences fondamentales de la nature telles que la physique statistique classique, la génétique, la théorie quantique et la cybernétique (théorie de l’information). En conséquence, les probabilités personnifient cette étape du développement de la science, qui est désormais définie comme une science non classique. Pour révéler la nouveauté et les caractéristiques de la pensée probabiliste, il est nécessaire de partir d'une analyse du sujet de la théorie des probabilités et des fondements de ses nombreuses applications. La théorie des probabilités est généralement définie comme une discipline mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires de masse dans certaines conditions. Le hasard signifie que dans le cadre du caractère de masse, l'existence de chaque phénomène élémentaire ne dépend pas et n'est pas déterminée par l'existence d'autres phénomènes. Dans le même temps, la nature massive des phénomènes elle-même a une structure stable et contient certaines régularités. Un phénomène de masse est assez strictement divisé en sous-systèmes, et le nombre relatif de phénomènes élémentaires dans chacun des sous-systèmes (fréquence relative) est très stable. Cette stabilité est comparée à la probabilité. Un phénomène de masse dans son ensemble est caractérisé par une distribution de probabilité, c'est-à-dire par la spécification de sous-systèmes et de leurs probabilités correspondantes. Le langage de la théorie des probabilités est le langage des distributions de probabilités. En conséquence, la théorie des probabilités est définie comme la science abstraite du fonctionnement avec des distributions.

Les probabilités ont donné naissance à des idées scientifiques sur les modèles statistiques et les systèmes statistiques. La dernière essence systèmes formés d’entités indépendantes ou quasi-indépendantes, leur structure est caractérisée par des distributions de probabilité. Mais comment est-il possible de constituer des systèmes à partir d’entités indépendantes ? On suppose généralement que pour la formation de systèmes dotés de caractéristiques intégrales, il est nécessaire qu'il existe des connexions suffisamment stables entre leurs éléments qui cimentent les systèmes. La stabilité des systèmes statistiques est donnée par la présence de conditions externes, d'environnement externe, externe et non Forces internes. La définition même de la probabilité repose toujours sur la définition des conditions de formation du phénomène de masse initial. Une autre idée importante caractérisant le paradigme probabiliste est l'idée de hiérarchie (subordination). Cette idée exprime la relation entre les caractéristiques des éléments individuels et les caractéristiques intégrales des systèmes : ces dernières, pour ainsi dire, sont construites sur les premières.

L'importance des méthodes probabilistes en cognition réside dans le fait qu'elles permettent d'étudier et d'exprimer théoriquement les modèles de structure et de comportement d'objets et de systèmes qui ont une structure hiérarchique à « deux niveaux ».

L'analyse de la nature de la probabilité repose sur sa fréquence et son interprétation statistique. En même temps, très longue durée En science, une telle compréhension de la probabilité prévalait, appelée probabilité logique ou inductive. La probabilité logique s'intéresse aux questions de validité d'un jugement individuel séparé dans certaines conditions. Est-il possible d'évaluer le degré de confirmation (fiabilité, vérité) d'une conclusion inductive (conclusion hypothétique) sous forme quantitative ? Au cours du développement de la théorie des probabilités, ces questions ont été discutées à plusieurs reprises et ils ont commencé à parler des degrés de confirmation des conclusions hypothétiques. Cette mesure de probabilité est déterminée par les données disponibles cette personne informations, son expérience, sa vision du monde et son état d'esprit psychologique. Dans tous ces cas, la grandeur de la probabilité ne se prête pas à des mesures strictes et échappe pratiquement à la compétence de la théorie des probabilités en tant que discipline mathématique cohérente.

L’interprétation objective et fréquentiste des probabilités a été établie en science avec des difficultés considérables. Initialement, la compréhension de la nature de la probabilité a été influencée par fort impact ces vues philosophiques et méthodologiques qui étaient caractéristiques de science classique. Historiquement, le développement des méthodes probabilistes en physique s'est produit sous l'influence déterminante des idées de la mécanique : les systèmes statistiques étaient interprétés simplement comme mécaniques. Étant donné que les problèmes correspondants n'ont pas été résolus par des méthodes mécaniques strictes, des affirmations ont surgi selon lesquelles le recours aux méthodes probabilistes et aux lois statistiques était le résultat du caractère incomplet de nos connaissances. Dans l'histoire du développement de la physique statistique classique, de nombreuses tentatives ont été faites pour la justifier sur la base mécanique classique, cependant, ils ont tous échoué. La base de la probabilité est qu'elle exprime les caractéristiques structurelles d'une certaine classe de systèmes, autres que les systèmes mécaniques : l'état des éléments de ces systèmes est caractérisé par une instabilité et une nature particulière (non réductible à la mécanique) des interactions.

L'entrée de la probabilité dans la connaissance conduit au déni du concept de déterminisme dur, au déni du modèle de base de l'être et de la connaissance développé au cours du processus de formation de la science classique. Les modèles de base représentés par les théories statistiques ont une approche différente, plus caractère général: Ceux-ci incluent les idées de hasard et d’indépendance. L'idée de probabilité est associée à la divulgation de la dynamique interne des objets et des systèmes, qui ne peut être entièrement déterminée par des conditions et des circonstances externes.

Le concept d'une vision probabiliste du monde, fondée sur l'absolutisation des idées sur l'indépendance (comme avant le paradigme de la détermination rigide), a désormais révélé ses limites, qui affectent le plus fortement la transition. science moderne aux méthodes analytiques pour étudier les systèmes complexes et les fondements physiques et mathématiques des phénomènes d'auto-organisation.

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