Produit scalaire des vecteurs de base. Application du produit scalaire et croisé. Distance d'un point à une ligne

Il y aura également des tâches que vous devrez résoudre vous-même, dont vous pourrez voir les réponses.

Si dans le problème les longueurs des vecteurs et l'angle entre eux sont présentés « sur un plateau d'argent », alors la condition du problème et sa solution ressemblent à ceci :

Exemple 1. Les vecteurs sont donnés. Trouvez le produit scalaire des vecteurs si leurs longueurs et l'angle entre eux sont représentés par les valeurs suivantes :

Une autre définition est également valable, tout à fait équivalente à la définition 1.

Définition 2. Le produit scalaire des vecteurs est un nombre (scalaire) égal au produit de la longueur d'un de ces vecteurs et de la projection d'un autre vecteur sur l'axe déterminé par le premier de ces vecteurs. Formule selon la définition 2 :

Nous résoudrons le problème en utilisant cette formule après le prochain point théorique important.

Définition du produit scalaire des vecteurs en termes de coordonnées

Le même nombre peut être obtenu si les vecteurs multipliés reçoivent leurs coordonnées.

Définition 3. Le produit scalaire des vecteurs est un nombre égal à la somme des produits deux à deux de leurs coordonnées correspondantes.

Dans un avion

Si deux vecteurs et sur le plan sont définis par leurs deux Coordonnées rectangulaires cartésiennes

alors le produit scalaire de ces vecteurs est égal à la somme des produits deux à deux de leurs coordonnées correspondantes :

.

Exemple 2. Trouvez la valeur numérique de la projection du vecteur sur l'axe parallèle au vecteur.

Solution. On trouve le produit scalaire des vecteurs en ajoutant les produits deux à deux de leurs coordonnées :

Nous devons maintenant assimiler le produit scalaire résultant au produit de la longueur du vecteur et de la projection du vecteur sur un axe parallèle au vecteur (conformément à la formule).

On trouve la longueur du vecteur comme racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées :

.

Nous créons une équation et la résolvons :

Répondre. La valeur numérique requise est moins 8.

Dans l'espace

Si deux vecteurs et dans l'espace sont définis par leurs trois coordonnées rectangulaires cartésiennes

,

alors le produit scalaire de ces vecteurs est également égal à la somme des produits par paires de leurs coordonnées correspondantes, seulement il y a déjà trois coordonnées :

.

La tâche de trouver le produit scalaire à l'aide de la méthode considérée se fait après avoir analysé les propriétés du produit scalaire. Parce que dans le problème, vous devrez déterminer quel angle forment les vecteurs multipliés.

Propriétés du produit scalaire des vecteurs

Propriétés algébriques

1. (propriété commutative: inverser les places des vecteurs multipliés ne change pas la valeur de leur produit scalaire).

2. (propriété associative par rapport à un facteur numérique: le produit scalaire d'un vecteur multiplié par un certain facteur et un autre vecteur est égal au produit scalaire de ces vecteurs multiplié par le même facteur).

3. (propriété distributive relative à la somme des vecteurs: le produit scalaire de la somme de deux vecteurs par le troisième vecteur est égal à la somme des produits scalaires du premier vecteur par le troisième vecteur et du deuxième vecteur par le troisième vecteur).

4. (carré scalaire du vecteur supérieur à zéro), if est un vecteur non nul, et , if est un vecteur nul.

Propriétés géométriques

Dans les définitions de l'opération étudiée, nous avons déjà abordé la notion d'angle entre deux vecteurs. Il est temps de clarifier ce concept.

Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux vecteurs amenés à une origine commune. Et la première chose à laquelle vous devez faire attention est qu'il y a deux angles entre ces vecteurs - φ 1 Et φ 2 . Lequel de ces angles apparaît dans les définitions et propriétés du produit scalaire des vecteurs ? La somme des angles considérés est 2 π et donc les cosinus de ces angles sont égaux. La définition d'un produit scalaire inclut uniquement le cosinus de l'angle, et non la valeur de son expression. Mais les propriétés ne considèrent qu’un seul angle. Et c'est celui des deux angles qui ne dépasse pas π , soit 180 degrés. Sur la figure, cet angle est indiqué par φ 1 .

1. Deux vecteurs sont appelés orthogonal Et l'angle entre ces vecteurs est droit (90 degrés ou π /2 ), si le produit scalaire de ces vecteurs est nul :

.

L'orthogonalité en algèbre vectorielle est la perpendiculaire de deux vecteurs.

2. Deux vecteurs non nuls constituent angle aigu (de 0 à 90 degrés, ou, ce qui revient au même - moins π le produit scalaire est positif .

3. Deux vecteurs non nuls constituent angle obtus (de 90 à 180 degrés, ou, ce qui revient au même - plus π /2) si et seulement s'ils le produit scalaire est négatif .

Exemple 3. Les coordonnées sont données par les vecteurs :

.

Calculez les produits scalaires de toutes les paires de vecteurs donnés. Quel angle (aigu, droit, obtus) forment ces paires de vecteurs ?

Solution. Nous calculerons en additionnant les produits des coordonnées correspondantes.

Nous avons un nombre négatif, donc les vecteurs forment un angle obtus.

Nous avons un nombre positif, donc les vecteurs forment un angle aigu.

Nous avons obtenu zéro, donc les vecteurs forment un angle droit.

Nous avons un nombre positif, donc les vecteurs forment un angle aigu.

.

Nous avons un nombre positif, donc les vecteurs forment un angle aigu.

Pour l'autotest, vous pouvez utiliser calculateur en ligne Produit scalaire de vecteurs et cosinus de l'angle qui les sépare .

Exemple 4.Étant donné les longueurs de deux vecteurs et l’angle qui les sépare :

.

Déterminez à quelle valeur du nombre les vecteurs et sont orthogonaux (perpendiculaires).

Solution. Multiplions les vecteurs en utilisant la règle de multiplication des polynômes :

Calculons maintenant chaque terme :

.

Créons une équation (le produit est égal à zéro), ajoutons des termes similaires et résolvons l'équation :

Réponse : nous avons obtenu la valeur λ = 1,8, auquel les vecteurs sont orthogonaux.

Exemple 5. Montrer que le vecteur orthogonal (perpendiculaire) au vecteur

Solution. Pour vérifier l'orthogonalité, nous multiplions les vecteurs et comme polynômes, en les remplaçant par l'expression donnée dans l'énoncé du problème :

.

Pour ce faire, vous devez multiplier chaque membre (terme) du premier polynôme par chaque membre du second et additionner les produits obtenus :

.

Dans le résultat obtenu, la fraction est réduite de. On obtient le résultat suivant :

Conclusion : suite à la multiplication, nous avons obtenu zéro, donc l'orthogonalité (perpendiculaire) des vecteurs est prouvée.

Résolvez le problème vous-même et voyez ensuite la solution

Exemple 6. Les longueurs des vecteurs et sont données, et l'angle entre ces vecteurs est π /4. Déterminer à quelle valeur μ vecteurs et sont perpendiculaires entre eux.

Pour l'autotest, vous pouvez utiliser calculateur en ligne Produit scalaire de vecteurs et cosinus de l'angle qui les sépare .

Représentation matricielle du produit scalaire des vecteurs et du produit des vecteurs à n dimensions

Parfois, il est avantageux pour plus de clarté de représenter deux vecteurs multipliés sous forme de matrices. Ensuite, le premier vecteur est représenté sous forme de matrice de lignes et le second sous forme de matrice de colonnes :

Alors le produit scalaire des vecteurs sera le produit de ces matrices :

Le résultat est le même que celui obtenu par la méthode que nous avons déjà considérée. Nous avons un seul nombre, et le produit d'une matrice de lignes par une matrice de colonnes est également un seul nombre.

Il est pratique de représenter le produit de vecteurs abstraits à n dimensions sous forme matricielle. Ainsi, le produit de deux vecteurs à quatre dimensions sera le produit d'une matrice ligne à quatre éléments par une matrice colonne également à quatre éléments, le produit de deux vecteurs à cinq dimensions sera le produit d'une matrice ligne à cinq éléments par une matrice de colonnes également avec cinq éléments, et ainsi de suite.

Exemple 7. Trouver des produits scalaires de paires de vecteurs

,

en utilisant la représentation matricielle.

Solution. La première paire de vecteurs. Nous représentons le premier vecteur comme une matrice de lignes et le second comme une matrice de colonnes. On trouve le produit scalaire de ces vecteurs comme le produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne :

Nous représentons de la même manière la deuxième paire et trouvons :

Comme vous pouvez le constater, les résultats étaient les mêmes que pour les mêmes paires de l'exemple 2.

Angle entre deux vecteurs

La dérivation de la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs est très belle et concise.

Pour exprimer le produit scalaire des vecteurs

(1)

sous forme de coordonnées, on trouve d'abord le produit scalaire des vecteurs unitaires. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même par définition :

Ce qui est écrit dans la formule ci-dessus signifie : le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa longueur. Le cosinus de zéro est égal à un, donc le carré de chaque unité sera égal à un :

Puisque les vecteurs

sont perpendiculaires par paires, alors les produits par paires des vecteurs unitaires seront égaux à zéro :

Effectuons maintenant la multiplication des polynômes vectoriels :

Nous substituons les valeurs des produits scalaires correspondants des vecteurs unitaires dans le côté droit de l'égalité :

On obtient la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs :

Exemple 8. Trois points sont donnés UN(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Trouvez l'angle.

Solution. Trouver les coordonnées des vecteurs :

,

.

En utilisant la formule de l'angle cosinus, nous obtenons :

Ainsi, .

Pour l'autotest, vous pouvez utiliser calculateur en ligne Produit scalaire de vecteurs et cosinus de l'angle qui les sépare .

Exemple 9. Deux vecteurs sont donnés

Trouvez la somme, la différence, la longueur, le produit scalaire et l’angle entre eux.

2.Différence

Produit scalaire des vecteurs

Nous continuons à traiter avec des vecteurs. A la première leçon Vecteurs pour les nuls Nous avons examiné le concept de vecteur, les actions avec des vecteurs, les coordonnées vectorielles et les problèmes les plus simples avec les vecteurs. Si vous êtes arrivé sur cette page pour la première fois à partir d'un moteur de recherche, je vous recommande fortement de lire l'article d'introduction ci-dessus, car pour maîtriser le matériel, vous devez vous familiariser avec les termes et les notations que j'utilise, avoir des connaissances de base sur les vecteurs et être capable de résoudre des problèmes fondamentaux. Cette leçon est une suite logique du sujet, et j'y analyserai en détail les tâches typiques qui utilisent le produit scalaire des vecteurs. C'est une activité TRÈS IMPORTANTE.. Essayez de ne pas sauter les exemples ; ils sont accompagnés d'un bonus utile : la pratique vous aidera à consolider le matériel que vous avez couvert et à mieux résoudre les problèmes courants de géométrie analytique.

Addition de vecteurs, multiplication d'un vecteur par un nombre.... Il serait naïf de penser que les mathématiciens n’ont pas trouvé autre chose. En plus des actions déjà évoquées, il existe un certain nombre d'autres opérations avec des vecteurs, à savoir : produit scalaire des vecteurs, produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs. Le produit scalaire des vecteurs nous est familier depuis l'école ; les deux autres produits appartiennent traditionnellement au cours de mathématiques supérieures. Les sujets sont simples, l'algorithme permettant de résoudre de nombreux problèmes est simple et compréhensible. La seule chose. Il existe une quantité décente d'informations, il n'est donc pas souhaitable d'essayer de tout maîtriser et de TOUT résoudre à la fois. Cela est particulièrement vrai pour les nuls ; croyez-moi, l'auteur ne veut absolument pas se sentir comme Chikatilo en mathématiques. Eh bien, pas des mathématiques, bien sûr non plus =) Les étudiants plus préparés peuvent utiliser les matériaux de manière sélective, dans un certain sens, « acquérir » les connaissances manquantes pour vous, je serai un comte Dracula inoffensif =)

Ouvrons enfin la porte et regardons avec enthousiasme ce qui se passe lorsque deux vecteurs se rencontrent….

Définition du produit scalaire des vecteurs.
Propriétés du produit scalaire. Tâches typiques

Le concept de produit scalaire

D'abord à propos angle entre les vecteurs. Je pense que tout le monde comprend intuitivement quel est l'angle entre les vecteurs, mais juste au cas où, un peu plus de détails. Considérons les vecteurs libres non nuls et . Si vous tracez ces vecteurs à partir d'un point arbitraire, vous obtiendrez une image que beaucoup ont déjà imaginée mentalement :

J'avoue, ici j'ai décrit la situation uniquement au niveau de la compréhension. Si vous avez besoin d'une définition stricte de l'angle entre les vecteurs, veuillez vous référer au manuel pour les problèmes pratiques, en principe, nous n'en avons pas besoin. Aussi ICI ET ICI, j'ignorerai les vecteurs nuls par endroits en raison de leur faible signification pratique. J'ai fait une réservation spécifiquement pour les visiteurs avancés du site qui pourraient me reprocher le caractère incomplet théorique de certaines déclarations ultérieures.

peut prendre des valeurs de 0 à 180 degrés (0 en radians), inclus. Analytiquement, ce fait s’écrit sous la forme d’une double inégalité : ou (en radians).

Dans la littérature, le symbole de l'angle est souvent ignoré et simplement écrit.

Définition: Le produit scalaire de deux vecteurs est un NOMBRE égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare :

Or, c'est une définition assez stricte.

Nous nous concentrons sur les informations essentielles :

Désignation: le produit scalaire est noté ou simplement.

Le résultat de l'opération est un NOMBRE: Le vecteur est multiplié par le vecteur et le résultat est un nombre. En effet, si les longueurs des vecteurs sont des nombres, le cosinus d'un angle est un nombre, alors leur produit sera également un nombre.

Juste quelques exemples d’échauffement :

Exemple 1

Solution: Nous utilisons la formule . Dans ce cas:

Répondre:

Les valeurs du cosinus peuvent être trouvées dans table trigonométrique. Je recommande de l'imprimer - il sera nécessaire dans presque toutes les sections de la tour et sera nécessaire plusieurs fois.

D'un point de vue purement mathématique, le produit scalaire est sans dimension, c'est-à-dire que le résultat, dans ce cas, n'est qu'un nombre et c'est tout. Du point de vue des problèmes de physique, un produit scalaire a toujours une certaine signification physique, c'est-à-dire qu'après le résultat, l'une ou l'autre unité physique doit être indiquée. Un exemple canonique de calcul du travail d'une force peut être trouvé dans n'importe quel manuel (la formule est exactement un produit scalaire). Le travail d'une force se mesure en Joules, la réponse sera donc écrite de manière assez précise, par exemple .

Exemple 2

Trouver si , et l'angle entre les vecteurs est égal à .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, la réponse se trouve à la fin de la leçon.

Angle entre les vecteurs et la valeur du produit scalaire

Dans l’exemple 1, le produit scalaire s’est avéré positif et dans l’exemple 2, il s’est avéré négatif. Voyons de quoi dépend le signe du produit scalaire. Regardons notre formule : . Les longueurs des vecteurs non nuls sont toujours positives : , le signe ne peut donc dépendre que de la valeur du cosinus.

Note: Pour une meilleure compréhension des informations ci-dessous, il est préférable d'étudier le graphique cosinus dans le manuel Graphiques de fonctions et propriétés. Voyez comment le cosinus se comporte sur le segment.

Comme déjà noté, l'angle entre les vecteurs peut varier dans , et les cas suivants sont possibles :

1) Si coin entre vecteurs épicé: (de 0 à 90 degrés), puis , Et le produit scalaire sera positif co-dirigé, alors l'angle entre eux est considéré comme nul et le produit scalaire sera également positif. Puisque , la formule se simplifie : .

2) Si coin entre vecteurs émoussé: (de 90 à 180 degrés), puis , et, en conséquence, le produit scalaire est négatif: . Cas particulier : si les vecteurs directions opposées, alors l'angle entre eux est considéré étendu: (180 degrés). Le produit scalaire est également négatif puisque

Les affirmations inverses sont également vraies :

1) Si , alors l’angle entre ces vecteurs est aigu. Alternativement, les vecteurs sont codirectionnels.

2) Si , alors l'angle entre ces vecteurs est obtus. Alternativement, les vecteurs sont dans des directions opposées.

Mais le troisième cas est particulièrement intéressant :

3) Si coin entre vecteurs direct: (90 degrés), alors le produit scalaire est nul: . L’inverse est également vrai : si , alors . La déclaration peut être formulée de manière compacte comme suit : Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. Notation mathématique courte :

! Note : Répétons bases de la logique mathématique: Une icône de conséquence logique recto-verso se lit généralement "si et seulement si", "si et seulement si". Comme vous pouvez le voir, les flèches sont dirigées dans les deux sens - "de ceci suit ceci, et vice versa - de cela suit ceci". Au fait, quelle est la différence avec l'icône de suivi à sens unique ? L'icône indique seulement ça, que « de ceci découle ceci », et ce n'est pas un fait que le contraire soit vrai. Par exemple : , mais tous les animaux ne sont pas des panthères, donc dans ce cas vous ne pouvez pas utiliser l'icône. En même temps, au lieu de l'icône Peut utilisez l’icône unilatérale. Par exemple, en résolvant le problème, nous avons découvert que nous avions conclu que les vecteurs sont orthogonaux : - une telle entrée sera correcte, et encore plus appropriée que .

Le troisième cas a une grande importance pratique, puisqu'il permet de vérifier si les vecteurs sont orthogonaux ou non. Nous résoudrons ce problème dans la deuxième partie de la leçon.

Propriétés du produit scalaire

Revenons à la situation où deux vecteurs co-dirigé. Dans ce cas, l'angle qui les sépare est nul, , et la formule du produit scalaire prend la forme : .

Que se passe-t-il si un vecteur est multiplié par lui-même ? Il est clair que le vecteur est aligné sur lui-même, nous utilisons donc la formule simplifiée ci-dessus :

Le numéro est appelé carré scalaire vecteur, et sont notés .

Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de la longueur du vecteur donné :

De cette égalité on peut obtenir une formule pour calculer la longueur du vecteur :

Jusqu'à présent, cela ne semble pas clair, mais les objectifs de la leçon remettront chaque chose à sa place. Pour résoudre les problèmes dont nous avons également besoin propriétés du produit scalaire.

Pour les vecteurs arbitraires et n'importe quel nombre, les propriétés suivantes sont vraies :

1) – commutatif ou commutatif loi des produits scalaires.

2) – distribution ou distributif loi des produits scalaires. Simplement, vous pouvez ouvrir les supports.

3) – associatif ou associatif loi des produits scalaires. La constante peut être dérivée du produit scalaire.

Souvent, toutes sortes de propriétés (qui doivent également être prouvées !) sont perçues par les étudiants comme des déchets inutiles, qu'il suffit de mémoriser et d'oublier en toute sécurité immédiatement après l'examen. Il semblerait que ce qui est important ici, tout le monde sait déjà dès la première année que la réorganisation des facteurs ne change pas le produit : . Je dois vous prévenir qu’en mathématiques supérieures, il est facile de gâcher les choses avec une telle approche. Ainsi, par exemple, la propriété commutative n’est pas vraie pour matrices algébriques. Ce n'est pas vrai non plus pour produit vectoriel de vecteurs. Par conséquent, au minimum, il est préférable d'approfondir toutes les propriétés que vous rencontrez dans un cours de mathématiques supérieures afin de comprendre ce qui peut être fait et ce qui ne peut pas être fait.

Exemple 3

.

Solution: Tout d'abord, clarifions la situation avec le vecteur. Qu'est-ce que c'est d'ailleurs ? La somme des vecteurs est un vecteur bien défini, noté . Une interprétation géométrique des actions avec des vecteurs peut être trouvée dans l'article Vecteurs pour les nuls. Le même persil avec un vecteur est la somme des vecteurs et .

Ainsi, selon la condition, il faut trouver le produit scalaire. En théorie, vous devez appliquer la formule de travail , mais le problème est que nous ne connaissons pas les longueurs des vecteurs ni l'angle qui les sépare. Mais la condition donne des paramètres similaires pour les vecteurs, nous allons donc emprunter un chemin différent :

(1) Remplacez les expressions des vecteurs.

(2) On ouvre les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes ; un vulgaire virelangue se trouve dans l'article ; Nombres complexes ou Intégration d'une fonction fractionnaire-rationnelle. Je ne me répéterai pas =) D'ailleurs, la propriété distributive du produit scalaire nous permet d'ouvrir les parenthèses. Nous avons le droit.

(3) Dans le premier et le dernier termes, nous écrivons de manière compacte les carrés scalaires des vecteurs : . Dans le deuxième terme on utilise la commutabilité du produit scalaire : .

(4) Nous présentons des termes similaires : .

(5) Dans le premier terme, nous utilisons la formule du carré scalaire, mentionnée il n'y a pas si longtemps. Au dernier terme, donc, la même chose fonctionne : . On développe le deuxième terme selon la formule standard .

(6) Remplacer ces conditions , et effectuez ATTENTIVEMENT les calculs finaux.

Répondre:

Une valeur négative du produit scalaire indique que l’angle entre les vecteurs est obtus.

Le problème est typique, voici un exemple pour le résoudre vous-même :

Exemple 4

Trouver le produit scalaire des vecteurs et si l'on sait que .

Maintenant, une autre tâche courante, juste pour la nouvelle formule pour la longueur d'un vecteur. La notation ici se chevauchera un peu, donc pour plus de clarté, je vais la réécrire avec une lettre différente :

Exemple 5

Trouver la longueur du vecteur si .

Solution sera le suivant :

(1) Nous fournissons l’expression du vecteur .

(2) Nous utilisons la formule de longueur : , et l'expression entière ve agit comme le vecteur « ve ».

(3) Nous utilisons la formule scolaire pour le carré de la somme. Remarquez comment cela fonctionne ici d’une manière curieuse : – en fait, c’est le carré de la différence, et, en fait, c’est comme ça. Ceux qui le souhaitent peuvent réarranger les vecteurs : - il se passe la même chose, jusqu'au réarrangement des termes.

(4) Ce qui suit est déjà familier des deux problèmes précédents.

Répondre:

Puisque nous parlons de longueur, n'oubliez pas d'indiquer la dimension - « unités ».

Exemple 6

Trouver la longueur du vecteur si .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Nous continuons à extraire des éléments utiles du produit scalaire. Regardons à nouveau notre formule . En utilisant la règle de proportion, on remet les longueurs des vecteurs au dénominateur du côté gauche :

Échangeons les pièces :

Quel est le sens de cette formule ? Si les longueurs de deux vecteurs et leur produit scalaire sont connus, alors le cosinus de l'angle entre ces vecteurs et, par conséquent, l'angle lui-même peuvent être calculés.

Un produit scalaire est-il un nombre ? Nombre. Les longueurs vectorielles sont-elles des nombres ? Nombres. Cela signifie qu’une fraction est aussi un nombre. Et si le cosinus de l'angle est connu : , puis en utilisant la fonction inverse, il est facile de trouver l'angle lui-même : .

Exemple 7

Trouvez l'angle entre les vecteurs et s'il est connu.

Solution: Nous utilisons la formule :

Au stade final des calculs, une technique technique a été utilisée - éliminant l'irrationalité du dénominateur. Afin d'éliminer l'irrationalité, j'ai multiplié le numérateur et le dénominateur par .

Alors si , Que:

Les valeurs des fonctions trigonométriques inverses peuvent être trouvées par table trigonométrique. Bien que cela arrive rarement. Dans les problèmes de géométrie analytique, certains ours maladroits aiment beaucoup plus souvent, et la valeur de l'angle doit être trouvée approximativement à l'aide d'une calculatrice. En fait, nous verrons une telle image plus d’une fois.

Répondre:

Encore une fois, n'oubliez pas d'indiquer les dimensions - radians et degrés. Personnellement, afin de bien évidemment « résoudre toutes les questions », je préfère indiquer les deux (à moins que la condition, bien entendu, n'exige de présenter la réponse uniquement en radians ou uniquement en degrés).

Vous pouvez désormais faire face de manière indépendante à une tâche plus complexe :

Exemple 7*

Les longueurs des vecteurs et l'angle entre eux sont donnés. Trouvez l'angle entre les vecteurs , .

La tâche n’est pas tant difficile qu’elle comporte plusieurs étapes.
Regardons l'algorithme de solution :

1) Selon la condition, vous devez trouver l'angle entre les vecteurs et , vous devez donc utiliser la formule .

2) Trouver le produit scalaire (voir exemples n°3, 4).

3) Trouver la longueur du vecteur et la longueur du vecteur (voir exemples n°5, 6).

4) La fin de la solution coïncide avec l'exemple n°7 - nous connaissons le nombre , ce qui signifie qu'il est facile de trouver l'angle lui-même :

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

La deuxième section de la leçon est consacrée au même produit scalaire. Coordonnées. Ce sera encore plus simple que dans la première partie.

Produit scalaire de vecteurs,
donné par des coordonnées dans une base orthonormée

Répondre:

Inutile de dire que gérer les coordonnées est bien plus agréable.

Exemple 14

Trouver le produit scalaire des vecteurs et si

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, vous pouvez utiliser l'associativité de l'opération, c'est-à-dire ne pas compter , mais prendre immédiatement le triple en dehors du produit scalaire et le multiplier par celui-ci en dernier. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

En fin de paragraphe, un exemple provocateur sur le calcul de la longueur d'un vecteur :

Exemple 15

Trouver les longueurs des vecteurs , Si

Solution: La méthode de la section précédente se suggère à nouveau : mais il existe une autre manière :

Trouvons le vecteur :

Et sa longueur selon la formule triviale :

Le produit scalaire n’est pas du tout pertinent ici !

Ce n'est pas non plus utile pour calculer la longueur d'un vecteur :
Arrêt. Ne devrions-nous pas profiter de la propriété évidente de la longueur du vecteur ? Que pouvez-vous dire de la longueur du vecteur ? Ce vecteur est 5 fois plus long que le vecteur. La direction est opposée, mais cela n'a pas d'importance, car nous parlons de longueur. Évidemment, la longueur du vecteur est égale au produit module nombres par longueur de vecteur :
– le signe du module « mange » l’éventuel moins du nombre.

Ainsi:

Répondre:

Formule pour le cosinus de l'angle entre les vecteurs spécifiés par les coordonnées

Nous disposons maintenant d'informations complètes pour exprimer la formule précédemment dérivée pour le cosinus de l'angle entre les vecteurs à travers les coordonnées des vecteurs :

Cosinus de l'angle entre les vecteurs plans et , spécifié dans une base orthonormée, exprimé par la formule:
.

Cosinus de l'angle entre les vecteurs spatiaux, spécifié dans une base orthonormée, exprimé par la formule:

Exemple 16

Étant donné trois sommets d'un triangle. Trouver (angle du sommet).

Solution: Selon les conditions, le dessin n'est pas obligatoire, mais quand même :

L'angle requis est marqué par un arc vert. Rappelons immédiatement la désignation scolaire d'un angle : – une attention particulière à moyenne lettre - c'est le sommet de l'angle dont nous avons besoin. Par souci de concision, vous pouvez également écrire simplement .

D'après le dessin, il est bien évident que l'angle du triangle coïncide avec l'angle entre les vecteurs et, en d'autres termes : .

Il est conseillé d'apprendre à effectuer l'analyse mentalement.

Trouvons les vecteurs :

Calculons le produit scalaire :

Et les longueurs des vecteurs :

Cosinus de l'angle :

C'est exactement l'ordre d'exécution de la tâche que je recommande aux nuls. Les lecteurs plus avancés peuvent écrire les calculs « sur une seule ligne » :

Voici un exemple de « mauvaise » valeur de cosinus. La valeur résultante n'est pas définitive, il ne sert donc à rien de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur.

Trouvons l'angle lui-même :

Si vous regardez le dessin, le résultat est tout à fait plausible. Pour vérifier, l'angle peut également être mesuré avec un rapporteur. N'endommagez pas le couvercle du moniteur =)

Répondre:

Dans la réponse, nous n'oublions pas que interrogé sur l'angle d'un triangle(et non sur l'angle entre les vecteurs), n'oubliez pas d'indiquer la réponse exacte : et la valeur approximative de l'angle : , trouvé à l'aide d'une calculatrice.

Ceux qui ont apprécié le processus peuvent calculer les angles et vérifier la validité de l'égalité canonique

Exemple 17

Un triangle est défini dans l'espace par les coordonnées de ses sommets. Trouvez l'angle entre les côtés et

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon

Une courte section finale sera consacrée aux projections, qui font également intervenir un produit scalaire :

Projection d'un vecteur sur un vecteur. Projection d'un vecteur sur des axes de coordonnées.
Cosinus directeurs d'un vecteur

Considérons les vecteurs et :

Projetons le vecteur sur le vecteur ; pour ce faire, nous omettons le début et la fin du vecteur perpendiculaires au vecteur (lignes pointillées vertes). Imaginez que des rayons de lumière tombent perpendiculairement sur le vecteur. Ensuite, le segment (ligne rouge) sera « l’ombre » du vecteur. Dans ce cas, la projection du vecteur sur le vecteur est la LONGUEUR du segment. Autrement dit, LA PROJECTION EST UN NOMBRE.

Ce NOMBRE est noté ainsi : , « grand vecteur » désigne le vecteur LEQUEL projet, « petit vecteur d'indice » désigne le vecteur SUR qui est projeté.

L'entrée elle-même se lit comme ceci : « projection du vecteur « a » sur le vecteur « être ».

Que se passe-t-il si le vecteur « être » est « trop court » ? Nous traçons une ligne droite contenant le vecteur « être ». Et le vecteur « a » sera déjà projeté à la direction du vecteur "être", simplement - à la droite contenant le vecteur « être ». La même chose se produira si le vecteur « a » est reporté dans le trentième royaume - il sera toujours facilement projeté sur la droite contenant le vecteur « être ».

Si l'angle entre vecteurs épicé(comme sur la photo), alors

Si les vecteurs orthogonal, alors (la projection est un point dont les dimensions sont considérées comme nulles).

Si l'angle entre vecteurs émoussé(sur la figure, réorganisez mentalement la flèche vectorielle), puis (la même longueur, mais prise avec un signe moins).

Traçons ces vecteurs à partir d'un point :

Évidemment, lorsqu’un vecteur se déplace, sa projection ne change pas

Conférence: Coordonnées vectorielles ; produit scalaire de vecteurs ; angle entre les vecteurs

Coordonnées vectorielles

Ainsi, comme mentionné précédemment, un vecteur est un segment orienté qui a son propre début et sa propre fin. Si le début et la fin sont représentés par certains points, alors ils ont leurs propres coordonnées dans un plan ou dans l'espace.

Si chaque point a ses propres coordonnées, alors nous pouvons obtenir les coordonnées de l’ensemble du vecteur.

Disons que nous avons un vecteur dont le début et la fin ont les désignations et coordonnées suivantes : A(A x ; Ay) et B(B x ; By)

Pour obtenir les coordonnées d'un vecteur donné, il faut soustraire les coordonnées correspondantes du début des coordonnées de la fin du vecteur :

Pour déterminer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace, utilisez la formule suivante :

Produit scalaire des vecteurs

Il existe deux manières de définir la notion de produit scalaire :

• Méthode géométrique. Selon lui, le produit scalaire est égal au produit des valeurs de ces modules et du cosinus de l'angle qui les sépare.

• Signification algébrique. Du point de vue de l'algèbre, le produit scalaire de deux vecteurs est une certaine quantité obtenue à la suite de la somme des produits des vecteurs correspondants.

Si les vecteurs sont donnés dans l'espace, alors vous devez utiliser une formule similaire :

Propriétés:

• Si vous multipliez scalairement deux vecteurs identiques, alors leur produit scalaire ne sera pas négatif :

• Si le produit scalaire de deux vecteurs identiques s'avère égal à zéro, alors ces vecteurs sont considérés comme nuls :

• Si un certain vecteur est multiplié par lui-même, alors le produit scalaire sera égal au carré de son module :

• Le produit scalaire a une propriété communicative, c'est-à-dire que si les vecteurs sont réorganisés, le produit scalaire ne changera pas :

• Le produit scalaire de vecteurs non nuls ne peut être égal à zéro que si les vecteurs sont perpendiculaires entre eux :

• Pour un produit scalaire de vecteurs, la loi commutative est valable dans le cas de la multiplication d'un des vecteurs par un nombre :

• Avec un produit scalaire, vous pouvez également utiliser la propriété distributive de la multiplication :

Angle entre les vecteurs

Le produit vectoriel et le produit scalaire facilitent le calcul de l'angle entre les vecteurs. Soit deux vecteurs $\overline(a)$ et $\overline(b)$, l'angle orienté entre eux est égal à $\varphi$. Calculons les valeurs $x = (\overline(a),\overline(b))$ et $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Alors $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, où $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, et $\varphi$ est le angle souhaité, c'est-à-dire que le point $(x, y)$ a un angle polaire égal à $\varphi$, et donc $\varphi$ peut être trouvé comme atan2(y, x).

Aire d'un triangle

Puisque le produit vectoriel contient le produit de deux longueurs de vecteurs et le cosinus de l'angle qui les sépare, le produit vectoriel peut être utilisé pour calculer l'aire du triangle ABC :

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Appartenance d'un point à une droite

Soit un point $P$ et une droite $AB$ (données par deux points $A$ et $B$). Il faut vérifier si un point appartient à la droite $AB$.

Un point appartient à la droite $AB$ si et seulement si les vecteurs $AP$ et $AB$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Appartenance d'un point à un rayon

Soit un point $P$ et un rayon $AB$ (définis par deux points - le début du rayon $A$ et un point sur le rayon $B$). Il faut vérifier si un point appartient au rayon $AB$.

A la condition que le point $P$ appartient à la droite $AB$, il faut ajouter une condition supplémentaire - les vecteurs $AP$ et $AB$ sont codirectionnels, c'est-à-dire qu'ils sont colinéaires et leur produit scalaire est non négatif, c'est-à-dire $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Appartenance d'un point à un segment

Soit un point $P$ et un segment $AB$. Il faut vérifier si un point appartient au segment $AB$.

Dans ce cas, le point doit appartenir à la fois au rayon $AB$ et au rayon $BA$, donc les conditions suivantes doivent être vérifiées :

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Distance d'un point à une ligne

Soit un point $P$ et une droite $AB$ (données par deux points $A$ et $B$). Il faut trouver la distance du point de la droite $AB$.

Considérons le triangle ABP. D'une part, son aire est égale à $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Par contre, son aire est égale à $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, où $h$ est la hauteur tombée du point $P$, c'est-à-dire la distance de $P$ à $AB$. Où $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Distance du point au faisceau

Soit un point $P$ et un rayon $AB$ (définis par deux points - le début du rayon $A$ et un point sur le rayon $B$). Il est nécessaire de trouver la distance d'un point à un rayon, c'est-à-dire la longueur du segment le plus court du point $P$ à n'importe quel point du rayon.

Cette distance est égale soit à la longueur $AP$, soit à la distance du point $P$ à la ligne $AB$. Lequel des cas se produit peut être facilement déterminé par la position relative du rayon et du point. Si l'angle PAB est aigu, c'est-à-dire $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, alors la réponse sera la distance du point $P$ à la droite $AB$, sinon la réponse sera la longueur du segment $AB$.

Distance d'un point à un segment

Soit un point $P$ et un segment $AB$. Il faut trouver la distance de $P$ au segment $AB$.

Si la base de la perpendiculaire tombée de $P$ sur la droite $AB$ tombe sur le segment $AB$, ce qui peut être vérifié par les conditions

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

alors la réponse sera la distance du point $P$ à la ligne $AB$. Sinon la distance sera égale à $\min(AP, BP)$.

Définition 1

Le produit scalaire des vecteurs est un nombre égal au produit des dynes de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare.

La notation du produit des vecteurs a → et b → a la forme a → , b → . Transformons-le en formule :

une → , b → = une → · b → · cos une → , b → ^ . a → et b → désignent les longueurs des vecteurs, a → , b → ^ - désignation de l'angle entre les vecteurs donnés. Si au moins un vecteur est nul, c'est-à-dire a une valeur de 0, alors le résultat sera égal à zéro, a → , b → = 0

En multipliant un vecteur par lui-même, on obtient le carré de sa longueur :

une → , b → = une → b → cos une → , une → ^ = une → 2 cos 0 = une → 2

Définition 2

La multiplication scalaire d'un vecteur par lui-même est appelée un carré scalaire.

Calculé par la formule :

une → , b → = une → · b → · cos une → , b → ^ .

La notation a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → montre que n p b → a → est la projection numérique de a → sur b → , n p a → a → - projection de b → sur a →, respectivement.

Formulons la définition d'un produit pour deux vecteurs :

Le produit scalaire de deux vecteurs a → par b → est appelé respectivement le produit de la longueur du vecteur a → par la projection b → par la direction de a → ou le produit de la longueur b → par la projection a →.

Produit scalaire en coordonnées

Le produit scalaire peut être calculé grâce aux coordonnées de vecteurs dans un plan donné ou dans l'espace.

Le produit scalaire de deux vecteurs sur un plan, dans un espace tridimensionnel, est appelé la somme des coordonnées de vecteurs donnés a → et b →.

Lors du calcul du produit scalaire de vecteurs donnés a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) sur le plan du système cartésien, utilisez :

une → , b → = une x b x + une y par ,

pour un espace tridimensionnel, l'expression suivante s'applique :

une → , b → = une x · b x + une y · b y + une z · b z .

En fait, c'est la troisième définition du produit scalaire.

Prouvons-le.

Preuve 1

Pour le prouver, nous utilisons a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y pour les vecteurs a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) sur le système cartésien.

Les vecteurs doivent être mis de côté

O A → = a → = a X , a y et O B → = b → = b X , par y .

Alors la longueur du vecteur A B → sera égale à A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considérons le triangle O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) est correct d'après le théorème du cosinus.

D'après la condition, il est clair que O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , ce qui signifie que nous écrivons différemment la formule pour trouver l'angle entre les vecteurs

b → - une → 2 = une → 2 + b → 2 - 2 · une → · b → · cos (une → , b → ^) .

Alors de la première définition il résulte que b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , ce qui signifie (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - une → 2) .

En appliquant la formule de calcul de la longueur des vecteurs, on obtient :
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y par y

Démontrons les égalités :

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectivement pour les vecteurs de l'espace tridimensionnel.

Le produit scalaire de vecteurs avec coordonnées dit que le carré scalaire d'un vecteur est égal à la somme des carrés de ses coordonnées dans l'espace et dans le plan, respectivement. une → = (une X , une y , une z) , b → = (b X , par y , b z) et (une → , une →) = une X 2 + une y 2 .

Produit scalaire et ses propriétés

Il existe des propriétés du produit scalaire qui s'appliquent à a → , b → et c → :

1. commutativité (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivité (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. propriété combinatoire (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - n'importe quel nombre ;
4. le carré scalaire est toujours supérieur à zéro (a → , a →) ≥ 0, où (a → , a →) = 0 dans le cas où a → zéro.

Exemple 1

Les propriétés sont explicables grâce à la définition du produit scalaire sur le plan et aux propriétés d'addition et de multiplication des nombres réels.

Démontrer la propriété commutative (a → , b →) = (b → , a →) . De la définition, nous avons que (a → , b →) = a y · b y + a y · b y et (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Par la propriété de commutativité, les égalités a x · b x = b x · a x et a y · b y = by · a y sont vraies, ce qui signifie a x · b x + a y · by = b x · a x + by · a y .

Il s'ensuit que (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

La distributivité est valable pour tous les nombres :

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (une (n) → , b →)

et (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (une → , b → (n)) ,

nous avons donc

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (une (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (une (n) → , b (m) →)

Produit scalaire avec exemples et solutions

Tout problème de ce genre est résolu à l'aide des propriétés et formules relatives au produit scalaire :

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ou (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (une → , une →) = une → 2 .

Examinons quelques exemples de solutions.

Exemple 2

La longueur de a → est 3, la longueur de b → est 7. Trouvez le produit scalaire si l'angle a 60 degrés.

Solution

Par condition, nous avons toutes les données, nous les calculons donc à l'aide de la formule :

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Réponse : (a → , b →) = 21 2 .

Exemple 3

Vecteurs donnés a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Qu'est-ce que le produit scalaire ?

Solution

Cet exemple considère la formule de calcul des coordonnées, puisqu'elles sont spécifiées dans l'énoncé du problème :

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Réponse : (a → , b →) = - 9

Exemple 4

Trouvez le produit scalaire de A B → et A C →. Les points A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) sont donnés sur le plan de coordonnées.

Solution

Pour commencer, les coordonnées des vecteurs sont calculées, puisque par condition les coordonnées des points sont données :

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

En substituant dans la formule en utilisant les coordonnées, nous obtenons :

(UNE B → , UNE C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Réponse : (A B → , A C →) = 28 .

Exemple 5

Étant donné les vecteurs a → = 7 · m → + 3 · n → et b → = 5 · m → + 8 · n → , trouvez leur produit. m → est égal à 3 et n → est égal à 2 unités, ils sont perpendiculaires.

Solution

(une → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . En appliquant la propriété de distributivité, on obtient :

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

On retire le coefficient du signe du produit et on obtient :

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Par la propriété de commutativité on transforme :

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

En conséquence nous obtenons :

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) .

Nous appliquons maintenant la formule du produit scalaire avec l'angle spécifié par la condition :

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Réponse : (a → , b →) = 411

S'il existe une projection numérique.

Exemple 6

Trouvez le produit scalaire de a → et b →. Le vecteur a → a des coordonnées a → = (9, 3, - 3), projection b → avec des coordonnées (- 3, - 1, 1).

Solution

Par condition, les vecteurs a → et la projection b → sont de direction opposée, car a → = - 1 3 · n p a → b → → , ce qui signifie que la projection b → correspond à la longueur n p a → b → → , et avec le « -" signe:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

En substituant dans la formule, on obtient l'expression :

(une → , b →) = une → · n p une → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Réponse : (a → , b →) = - 33 .

Problèmes avec un produit scalaire connu, où il faut trouver la longueur d'un vecteur ou d'une projection numérique.

Exemple 7

Quelle valeur λ doit prendre pour un produit scalaire donné a → = (1, 0, λ + 1) et b → = (λ, 1, λ) sera égal à -1.

Solution

D'après la formule, il est clair qu'il faut trouver la somme des produits de coordonnées :

(une → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Étant donné que nous avons (a → , b →) = - 1 .

Pour trouver λ, on calcule l’équation :

λ 2 + 2 · λ = - 1, donc λ = - 1.

Réponse : λ = - 1.

Signification physique du produit scalaire

La mécanique considère l'application du produit scalaire.

Lorsque A travaille avec une force constante F → un mobile d'un point M à N, vous pouvez trouver le produit des longueurs des vecteurs F → et M N → par le cosinus de l'angle qui les sépare, ce qui signifie que le travail est égal au produit des vecteurs force et déplacement :

UNE = (F → , M N →) .

Exemple 8

Le mouvement d'un point matériel de 3 mètres sous l'influence d'une force égale à 5 Ntonnes est dirigé selon un angle de 45 degrés par rapport à l'axe. Trouvez A.

Solution

Puisque le travail est le produit du vecteur force et du déplacement, cela signifie qu'à partir de la condition F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45°, on obtient A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Réponse : A = 15 2 2 .

Exemple 9

Un point matériel, passant de M (2, - 1, - 3) à N (5, 3 λ - 2, 4) sous la force F → = (3, 1, 2), a fait un travail égal à 13 J. Calculer la durée du mouvement.

Solution

Pour des coordonnées vectorielles données M N → nous avons M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

En utilisant la formule pour trouver un travail avec les vecteurs F → = (3, 1, 2) et M N → = (3, 3 λ - 1, 7), nous obtenons A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Selon la condition, on sait que A = 13 J, ce qui signifie 22 + 3 λ = 13. Cela implique λ = - 3, ce qui signifie M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Pour trouver la longueur du mouvement M N →, appliquez la formule et remplacez les valeurs :

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Réponse : 158.

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