Avec 22 équations logarithmiques. Équations logarithmiques. Du simple au complexe

Instructions

Écrivez l'expression logarithmique donnée. Si l'expression utilise le logarithme de 10, alors sa notation est raccourcie et ressemble à ceci : lg b est le logarithme décimal. Si le logarithme a le nombre e comme base, alors écrivez l'expression : ln b – un algorithme naturel. Il est entendu que le résultat de any est la puissance à laquelle le nombre de base doit être élevé pour obtenir le nombre b.

Pour trouver la somme de deux fonctions, il suffit de les différencier une à une et d'additionner les résultats : (u+v)" = u"+v";

Pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, il faut multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde et ajouter la dérivée de la deuxième fonction multipliée par la première fonction : (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions, il faut soustraire du produit de la dérivée du dividende multiplié par la fonction diviseur le produit de la dérivée du diviseur multiplié par la fonction du dividende, et diviser tout cela par la fonction diviseur au carré. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2 ;

Si une fonction complexe est donnée, il est alors nécessaire de multiplier la dérivée de la fonction interne et la dérivée de la fonction externe. Soit y=u(v(x)), alors y"(x)=y"(u)*v"(x).

En utilisant les résultats obtenus ci-dessus, vous pouvez différencier presque toutes les fonctions. Alors regardons quelques exemples :

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3 ;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Il existe également des problèmes liés au calcul de la dérivée en un point. Soit la fonction y=e^(x^2+6x+5), vous devez trouver la valeur de la fonction au point x=1.
1) Trouvez la dérivée de la fonction : y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculer la valeur de la fonction en un point donné y"(1)=8*e^0=8

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Apprenez le tableau des dérivées élémentaires. Cela permettra de gagner beaucoup de temps.

Sources:

• dérivée d'une constante

Alors, quelle est la différence entre une équation irrationnelle et une équation rationnelle ? Si la variable inconnue est sous le signe racine carrée, alors l’équation est considérée comme irrationnelle.

Instructions

La principale méthode pour résoudre de telles équations est la méthode de construction des deux côtés équations dans un carré. Cependant. c'est naturel, la première chose à faire est de vous débarrasser du panneau. Cette méthode n’est pas techniquement difficile, mais elle peut parfois entraîner des problèmes. Par exemple, l'équation est v(2x-5)=v(4x-7). En mettant les deux côtés au carré, vous obtenez 2x-5=4x-7. Résoudre une telle équation n’est pas difficile ; x=1. Mais le numéro 1 ne sera pas donné équations. Pourquoi? Remplacez-en un dans l'équation au lieu de la valeur de x et les côtés droit et gauche contiendront des expressions qui n'ont pas de sens, bien sûr. Cette valeur n'est pas valide pour une racine carrée. Par conséquent, 1 est une racine étrangère et cette équation n’a donc pas de racine.

Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en utilisant la méthode de la quadrature de ses deux côtés. Et après avoir résolu l'équation, il est nécessaire de couper les racines superflues. Pour ce faire, remplacez les racines trouvées dans l'équation d'origine.

Considérez-en un autre.
2х+vх-3=0
Bien entendu, cette équation peut être résolue en utilisant la même équation que la précédente. Déplacer les composés équations, qui n’ont pas de racine carrée, vers la droite, puis utilisez la méthode de la mise au carré. résoudre l’équation rationnelle et les racines résultantes. Mais aussi un autre, plus élégant. Entrez une nouvelle variable ; vх=y. En conséquence, vous recevrez une équation de la forme 2y2+y-3=0. C'est-à-dire l'habituel équation quadratique. Retrouver ses racines ; y1=1 et y2=-3/2. Ensuite, résolvez deux équations vx=1 ; vх=-3/2. La deuxième équation n’a pas de racines ; à partir de la première, nous trouvons que x=1. N'oubliez pas de vérifier les racines.

Résoudre les identités est assez simple. Pour ce faire, il faut effectuer des transformations identiques jusqu'à ce que l'objectif fixé soit atteint. Ainsi, à l'aide d'opérations arithmétiques simples, le problème posé sera résolu.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - stylo.

Instructions

Les plus simples de ces transformations sont les multiplications algébriques abrégées (telles que le carré de la somme (différence), la différence des carrés, la somme (différence), le cube de la somme (différence)). En outre, il existe de nombreux et formules trigonométriques, qui sont essentiellement les mêmes identités.

En effet, le carré de la somme de deux termes est égal au carré du premier plus deux fois le produit du premier par le second et plus le carré du second, soit (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifiez les deux

Principes généraux de la solution

Répétez à partir d'un manuel d'analyse mathématique ou de mathématiques supérieures ce qu'est une intégrale définie. Comme on le sait, la solution d’une intégrale définie est une fonction dont la dérivée donnera un intégral. Cette fonction est appelée une primitive. Sur la base de ce principe, les principales intégrales sont construites.
Déterminez par le type de l'intégrande laquelle des intégrales de table convient dans ce cas. Il n'est pas toujours possible de le déterminer immédiatement. Souvent, la forme tabulaire ne devient perceptible qu'après plusieurs transformations visant à simplifier l'intégrande.

Méthode de remplacement variable

Si la fonction intégrale est fonction trigonométrique, dont l'argument contient un polynôme, essayez ensuite d'utiliser la méthode de remplacement de variable. Pour ce faire, remplacez le polynôme dans l'argument de l'intégrande par une nouvelle variable. Sur la base de la relation entre les nouvelles et anciennes variables, déterminer les nouvelles limites de l'intégration. En différenciant cette expression, trouvez la nouvelle différentielle dans . Vous obtiendrez donc le nouveau genre de l’intégrale précédente, proche ou même correspondant à n’importe quelle intégrale tabulaire.

Résolution d'intégrales du deuxième type

Si l'intégrale est une intégrale du deuxième type, une forme vectorielle de l'intégrande, vous devrez alors utiliser les règles pour le passage de ces intégrales aux intégrales scalaires. L’une de ces règles est la relation Ostrogradsky-Gauss. Cette loi permet de passer du flux rotorique d'une fonction vectorielle à la triple intégrale sur la divergence d'un champ vectoriel donné.

Substitution des limites d'intégration

Après avoir trouvé la primitive, il faut substituer les limites d'intégration. Tout d’abord, remplacez la valeur de la limite supérieure dans l’expression de la primitive. Vous obtiendrez un numéro. Ensuite, soustrayez du nombre obtenu un autre nombre obtenu à partir de la limite inférieure dans la primitive. Si l'une des limites de l'intégration est l'infini, alors en la substituant dans la fonction primitive, il faut aller à la limite et trouver vers quoi tend l'expression.
Si l'intégrale est bidimensionnelle ou tridimensionnelle, vous devrez alors représenter géométriquement les limites de l'intégration pour comprendre comment évaluer l'intégrale. En effet, dans le cas, par exemple, d'une intégrale tridimensionnelle, les limites de l'intégration peuvent être des plans entiers qui limitent le volume à intégrer.

Les dernières vidéos d'une longue série de leçons sur la résolution d'équations logarithmiques. Cette fois, nous travaillerons principalement avec l'ODZ du logarithme - c'est précisément à cause d'une prise en compte incorrecte (ou même de l'ignorance) du domaine de définition que la plupart des erreurs surviennent lors de la résolution de tels problèmes.

Dans cette courte leçon vidéo, nous examinerons l'utilisation de formules d'addition et de soustraction de logarithmes, ainsi que les équations rationnelles fractionnaires, avec lesquelles de nombreux étudiants ont également des problèmes.

De quoi allons-nous parler ? La formule principale que j'aimerais comprendre ressemble à ceci :

log a (f g ) = log a f + log a g

Il s'agit d'une transition standard du produit à la somme des logarithmes et inversement. Vous connaissez probablement cette formule depuis le tout début de l’étude des logarithmes. Cependant, il y a un problème.

Tant que les variables a, f et g sont des nombres ordinaires, aucun problème ne se pose. Cette formule fonctionne très bien.

Cependant, dès que des fonctions apparaissent à la place de f et g, le problème de l'expansion ou du rétrécissement du domaine de définition se pose selon la direction à transformer. Jugez par vous-même : dans le logarithme écrit à gauche, le domaine de définition est le suivant :

fg > 0

Mais dans le montant inscrit à droite, le domaine de définition est déjà quelque peu différent :

f > 0

g > 0

Cet ensemble d’exigences est plus strict que celui d’origine. Dans le premier cas, on se contentera de l’option f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 est exécuté).

Ainsi, en passant de la construction de gauche à celle de droite, un rétrécissement du domaine de définition se produit. Si au début nous avions une somme et que nous la réécrivions sous la forme d’un produit, alors le domaine de définition s’élargit.

En d’autres termes, dans le premier cas, nous pourrions perdre des racines et dans le second, nous pourrions en obtenir davantage. Ceci doit être pris en compte lors de la résolution d'équations logarithmiques réelles.

Donc, la première tâche :

[Légende de la photo]

À gauche, nous voyons la somme des logarithmes utilisant la même base. On peut donc ajouter ces logarithmes :

[Légende de la photo]

Comme vous pouvez le voir, à droite nous avons remplacé le zéro par la formule :

a = journal b b a

Réorganisons un peu plus notre équation :

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique ; nous pouvons rayer le signe logarithmique et assimiler les arguments :

(x-5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Attention : d'où vient le module ? Je vous rappelle que la racine d'un carré exact est égale au module :

[Légende de la photo]

Ensuite on résout l’équation classique de module :

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4 ; x2 = 5 + 1 = 6

Voici deux réponses candidates. Sont-ils une solution à l’équation logarithmique originale ? Certainement pas!

Nous n'avons pas le droit de tout laisser comme ça et d'écrire la réponse. Jetez un œil à l'étape où nous remplaçons la somme des logarithmes par un logarithme du produit des arguments. Le problème est que dans les expressions originales nous avons des fonctions. Par conséquent, vous devriez exiger :

x(x − 5) > 0 ; (x − 5)/x > 0.

Lorsque nous avons transformé le produit, obtenant un carré exact, les exigences ont changé :

(x-5) 2 > 0

Quand cette exigence est-elle remplie ? Oui, presque toujours ! Sauf dans le cas où x − 5 = 0. C'est à dire l'inégalité sera réduite à un point perforé :

X − 5 ≠ 0 ⇒ X ≠ 5

Comme vous pouvez le constater, la portée de la définition s'est élargie, c'est ce dont nous avons parlé au tout début de la leçon. Par conséquent, des racines supplémentaires peuvent apparaître.

Comment empêcher l’apparition de ces racines supplémentaires ? C'est très simple : nous regardons nos racines obtenues et les comparons avec le domaine de définition de l'équation d'origine. Comptons:

x (x − 5) > 0

Nous allons résoudre en utilisant la méthode des intervalles :

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 5

Nous marquons les nombres résultants sur la ligne. Tous les points manquent car l'inégalité est stricte. Prenez n'importe quel nombre supérieur à 5 et remplacez-le :

[Légende de la photo]

On s'intéresse aux intervalles (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Si nous marquons nos racines sur le segment, nous verrons que x = 4 ne nous convient pas, car cette racine se situe en dehors du domaine de définition de l'équation logarithmique originale.

Nous revenons à la totalité, barrons la racine x = 4 et notons la réponse : x = 6. C'est la réponse finale à l'équation logarithmique originale. Voilà, problème résolu.

Passons à la deuxième équation logarithmique :

[Légende de la photo]

Résolvons-le. Notez que le premier terme est une fraction et le second est la même fraction, mais inversée. N'ayez pas peur de l'expression lgx - c'est juste un logarithme décimal, on peut l'écrire :

lgx = journal 10 x

Puisque nous avons deux fractions inversées, je propose d'introduire une nouvelle variable :

[Légende de la photo]

Notre équation peut donc être réécrite comme suit :

t + 1/t = 2 ;

t + 1/t − 2 = 0 ;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0 ;

(t − 1) 2 /t = 0.

Comme vous pouvez le constater, le numérateur de la fraction est un carré exact. Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur est nul et son dénominateur est non nul :

(t-1) 2 = 0; t ≠ 0

Résolvons la première équation :

t − 1 = 0 ;

t = 1.

Cette valeur satisfait à la deuxième exigence. On peut donc dire que nous avons complètement résolu notre équation, mais uniquement par rapport à la variable t. Rappelons maintenant ce que c'est :

[Légende de la photo]

Nous avons la proportion :

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

On ramène cette équation à sa forme canonique :

logx = journal 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

En conséquence, nous avons obtenu une racine unique qui, en théorie, est la solution de l’équation originale. Cependant, jouons toujours la sécurité et écrivons le domaine de définition de l’équation originale :

[Légende de la photo]

Notre racine satisfait donc à toutes les exigences. Nous avons trouvé une solution à l'équation logarithmique originale. Réponse : x = 0,1. Le problème est résolu.

Il n'y a qu'un seul point clé dans la leçon d'aujourd'hui : lorsque vous utilisez la formule pour passer d'un produit à une somme et vice-versa, assurez-vous de prendre en compte que la portée de la définition peut se rétrécir ou s'élargir selon la direction dans laquelle la transition est effectuée.

Comment comprendre ce qui se passe : contraction ou expansion ? Très simple. Si auparavant les fonctions étaient ensemble, mais maintenant elles sont séparées, alors le champ de définition s'est rétréci (car il y a plus d'exigences). Si au début les fonctions étaient séparées, et maintenant elles sont ensemble, alors le domaine de définition est élargi (moins d'exigences sont imposées au produit qu'aux facteurs individuels).

Compte tenu de cette remarque, je voudrais noter que la deuxième équation logarithmique ne nécessite pas du tout ces transformations, c'est-à-dire que nous n'ajoutons ni ne multiplions les arguments nulle part. Cependant, je voudrais ici attirer votre attention sur une autre technique merveilleuse qui vous permet de simplifier considérablement la solution. Il s'agit de remplacer une variable.

Rappelons cependant qu’aucune substitution ne nous libère du champ de la définition. C'est pourquoi, une fois toutes les racines trouvées, nous n'avons pas été paresseux et sommes revenus à l'équation originale pour trouver son ODZ.

Souvent, lors du remplacement d'une variable, une erreur gênante se produit lorsque les élèves trouvent la valeur de t et pensent que la solution est complète. Certainement pas!

Une fois que vous avez trouvé la valeur de t, vous devez revenir à l’équation d’origine et voir exactement ce que nous voulions dire avec cette lettre. En conséquence, nous devons résoudre une équation supplémentaire, qui sera cependant beaucoup plus simple que l'équation d'origine.

C’est précisément l’intérêt d’introduire une nouvelle variable. Nous divisons l’équation originale en deux équations intermédiaires, chacune ayant une solution beaucoup plus simple.

Comment résoudre des équations logarithmiques « imbriquées »

Aujourd'hui, nous continuons à étudier les équations logarithmiques et analyserons les constructions lorsqu'un logarithme est sous le signe d'un autre logarithme. Nous résoudrons les deux équations en utilisant la forme canonique.

Aujourd'hui, nous continuons à étudier les équations logarithmiques et analyserons les constructions lorsqu'un logarithme est sous le signe d'un autre. Nous résoudrons les deux équations en utilisant la forme canonique. Permettez-moi de vous rappeler que si nous avons une équation logarithmique simple de la forme log a f (x) = b, alors pour résoudre une telle équation, nous effectuons les étapes suivantes. Tout d'abord, nous devons remplacer le nombre b :

b = journal a a b

Remarque : a b est un argument. De même, dans l’équation originale, l’argument est la fonction f(x). Ensuite, nous réécrivons l'équation et obtenons cette construction :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous pouvons effectuer la troisième étape : supprimer le signe du logarithme et écrire simplement :

f (x) = un b

En conséquence, nous obtenons une nouvelle équation. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur la fonction f (x). Par exemple, à sa place il peut aussi y avoir fonction logarithmique. Et puis nous obtiendrons à nouveau une équation logarithmique, que nous réduirons à nouveau à sa forme la plus simple et résoudrons sous la forme canonique.

Cependant, assez de paroles. Résolvons le vrai problème. Alors, tâche numéro 1 :

journal 2 (1 + 3 journal 2 x ) = 2

Comme vous pouvez le voir, nous avons une simple équation logarithmique. Le rôle de f (x) est la construction 1 + 3 log 2 x, et le rôle du nombre b est le nombre 2 (le rôle de a est aussi joué par deux). Réécrivons ces deux éléments comme suit :

Il est important de comprendre que les deux premiers deux nous viennent de la base du logarithme, c'est-à-dire s'il y avait 5 dans l'équation originale, alors nous obtiendrions que 2 = log 5 5 2. En général, la base dépend uniquement du logarithme initialement donné dans le problème. Et dans notre cas, c'est le chiffre 2.

Nous réécrivons donc notre équation logarithmique en tenant compte du fait que les deux à droite sont en fait aussi un logarithme. On a:

journal 2 (1 + 3 journal 2 x ) = journal 2 4

Passons à la dernière étape de notre schéma : se débarrasser de la forme canonique. On pourrait dire que nous biffons simplement les signes du journal. Cependant, d'un point de vue mathématique, il est impossible de « rayer le journal » - il serait plus correct de dire que nous assimilons simplement les arguments :

1 + 3 journal 2 x = 4

De là, nous pouvons facilement trouver 3 log 2 x :

3 bûches 2 x = 3

journal 2 x = 1

Nous avons à nouveau obtenu l'équation logarithmique la plus simple, ramenons-la à la forme canonique. Pour ce faire, nous devons apporter les modifications suivantes :

1 = journal 2 2 1 = journal 2 2

Pourquoi y a-t-il un deux à la base ? Parce que dans notre équation canoniqueÀ gauche se trouve le logarithme exactement en base 2. Réécrivons le problème en tenant compte de ce fait :

journal 2 x = journal 2 2

Encore une fois, nous nous débarrassons du signe du logarithme, c'est-à-dire que nous assimilons simplement les arguments. Nous avons le droit de le faire car les bases sont les mêmes, et plus aucune action supplémentaire n'a été effectuée ni à droite ni à gauche :

C'est tout! Le problème est résolu. Nous avons trouvé une solution à l'équation logarithmique.

Note! Bien que la variable x apparaisse dans l’argument (c’est-à-dire qu’il existe des exigences pour le domaine de définition), nous n’imposerons aucune exigence supplémentaire.

Comme je l'ai dit plus haut, cette vérification est redondante si la variable n'apparaît que dans un seul argument d'un seul logarithme. Dans notre cas, x n’apparaît en réalité que dans l’argument et sous un seul signe log. Aucune vérification supplémentaire n’est donc requise.

Cependant, si vous ne faites pas confiance à cette méthode, vous pouvez facilement vérifier que x = 2 est bien une racine. Il suffit de substituer ce nombre dans l'équation originale.

Passons à la deuxième équation, elle est un peu plus intéressante :

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Si nous désignons l'expression à l'intérieur du grand logarithme par la fonction f (x), nous obtenons l'équation logarithmique la plus simple avec laquelle nous avons commencé la leçon vidéo d'aujourd'hui. On peut donc appliquer la forme canonique, pour laquelle il faudra représenter l'unité sous la forme log 2 2 1 = log 2 2.

Réécrivons notre grande équation :

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Laissons de côté le signe du logarithme, égalisant les arguments. Nous avons le droit de le faire, car à gauche comme à droite, les bases sont les mêmes. De plus, notez que log 2 4 = 2 :

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Devant nous se trouve à nouveau l'équation logarithmique la plus simple de la forme log a f (x) = b. Passons à la forme canonique, c'est-à-dire que nous représentons zéro sous la forme log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Nous réécrivons notre équation et supprimons le signe logarithmique, en égalisant les arguments :

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Encore une fois, nous avons reçu une réponse immédiatement. Aucune vérification supplémentaire n'est requise car dans l'équation d'origine, un seul logarithme contient la fonction comme argument.

Aucune vérification supplémentaire n’est donc requise. Nous pouvons affirmer avec certitude que x = 1 est la seule racine de cette équation.

Mais si dans le deuxième logarithme il y avait une fonction x au lieu de quatre (ou si 2x n'était pas dans l'argument, mais dans la base), alors il faudrait vérifier le domaine de définition. Sinon, il y a de fortes chances que vous rencontriez des racines supplémentaires.

D’où viennent ces racines supplémentaires ? Ce point doit être compris très clairement. Jetez un œil aux équations originales : partout la fonction x est sous le signe du logarithme. Par conséquent, puisque nous avons noté log 2 x, nous définissons automatiquement l'exigence x > 0. Sinon, cette entrée n'a tout simplement aucun sens.

Cependant, à mesure que nous résolvons l’équation logarithmique, nous nous débarrassons de tous les signes logarithmiques et obtenons des constructions simples. Il n'y a plus de restrictions ici, car fonction linéaire défini pour toute valeur de x.

C'est ce problème, lorsque la fonction finale est définie partout et toujours, mais que la fonction originale n'est pas définie partout et pas toujours, c'est la raison pour laquelle des racines supplémentaires apparaissent très souvent lors de la résolution d'équations logarithmiques.

Mais je le répète encore une fois : cela n'arrive que dans une situation où la fonction est soit dans plusieurs logarithmes, soit à la base de l'un d'eux. Dans les problèmes que nous examinons aujourd'hui, il n'y a, en principe, aucun problème à élargir la portée de la définition.

Cas pour différents motifs

Cette leçon est consacrée aux conceptions plus complexes. Les logarithmes dans les équations d'aujourd'hui ne seront plus résolus immédiatement ; certaines transformations devront d'abord être effectuées.

Nous commençons à résoudre des équations logarithmiques avec des bases complètement différentes, qui ne sont pas des puissances exactes les unes des autres. Ne laissez pas ces problèmes vous effrayer : ils ne sont pas plus difficiles à résoudre que les conceptions les plus simples dont nous avons parlé ci-dessus.

Mais avant de passer directement aux problèmes, permettez-moi de vous rappeler la formule permettant de résoudre les équations logarithmiques les plus simples en utilisant la forme canonique. Considérons un problème comme celui-ci :

log une f (x) = b

Il est important que la fonction f (x) soit simplement une fonction et que le rôle des nombres a et b soit celui des nombres (sans aucune variable x). Bien sûr, dans une minute, nous examinerons de tels cas où, au lieu des variables a et b, il y a des fonctions, mais ce n'est pas le cas maintenant.

On s'en souvient, le nombre b doit être remplacé par un logarithme de même base a, qui se trouve à gauche. Cela se fait très simplement :

b = journal a a b

Bien entendu, les mots « n'importe quel nombre b » et « n'importe quel nombre a » signifient des valeurs qui satisfont au champ d'application de la définition. En particulier, dans cette équation nous parlons de seulement la base a > 0 et a ≠ 1.

Cependant, cette exigence est automatiquement satisfaite, car le problème d'origine contient déjà un logarithme en base a - il sera certainement supérieur à 0 et non égal à 1. Par conséquent, nous continuons à résoudre l'équation logarithmique :

log a f (x) = log a a b

Une telle notation est appelée forme canonique. Sa commodité réside dans le fait que l'on peut immédiatement se débarrasser du signe du journal en assimilant les arguments :

f (x) = un b

C'est cette technique que nous allons maintenant utiliser pour résoudre des équations logarithmiques à base variable. Alors allons-y!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Et après? Quelqu'un dira maintenant qu'il faut calculer le bon logarithme, ou le réduire à la même base, ou autre chose. Et en effet, nous devons maintenant amener les deux bases sous la même forme - soit 2, soit 0,5. Mais apprenons une fois pour toutes la règle suivante :

Si une équation logarithmique contient décimales, assurez-vous de convertir ces fractions de la notation décimale aux fractions ordinaires. Cette transformation peut grandement simplifier la solution.

Une telle transition doit être effectuée immédiatement, avant même d'effectuer toute action ou transformation. Jetons un coup d'oeil :

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Que nous apporte un tel record ? Nous pouvons représenter 1/2 et 1/8 comme des puissances avec un exposant négatif :

[Légende de la photo]

Devant nous se trouve la forme canonique. Nous égalisons les arguments et obtenons l'équation quadratique classique :

x2 + 4x + 11 = 8

x2 + 4x + 3 = 0

Nous avons devant nous l’équation quadratique suivante, qui peut être facilement résolue à l’aide des formules de Vieta. Au lycée, vous devriez voir des affichages similaires littéralement oralement :

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x2 = −1

C'est tout! L'équation logarithmique originale a été résolue. Nous avons deux racines.

Je vous rappelle que dans ce cas il n'est pas nécessaire de déterminer le domaine de définition, puisque la fonction avec la variable x n'est présente que dans un seul argument. Par conséquent, la définition de la portée est effectuée automatiquement.

La première équation est donc résolue. Passons au deuxième :

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Notez maintenant que l’argument du premier logarithme peut également s’écrire sous la forme d’une puissance avec un exposant négatif : 1/2 = 2 −1. Ensuite, vous pouvez supprimer les puissances des deux côtés de l’équation et diviser le tout par −1 :

[Légende de la photo]

Et maintenant, nous avons franchi une étape très importante dans la résolution de l’équation logarithmique. Peut-être que quelqu'un n'a pas remarqué quelque chose, alors laissez-moi vous expliquer.

Regardez notre équation : à gauche et à droite il y a un signe log, mais à gauche il y a un logarithme en base 2, et à droite il y a un logarithme en base 3. Trois n'est pas une puissance entière de deux et, inversement, vous ne pouvez pas écrire que 2 est 3 en degrés entiers.

Il s’agit donc de logarithmes de bases différentes qui ne peuvent être réduits les uns aux autres par une simple addition de puissances. La seule façon de résoudre de tels problèmes est de se débarrasser de l’un de ces logarithmes. Dans ce cas, puisque nous envisageons encore assez tâches simples, le logarithme de droite a été simplement calculé et nous avons obtenu l'équation la plus simple - exactement celle dont nous avons parlé au tout début de la leçon d'aujourd'hui.

Représentons le nombre 2, qui est à droite, comme log 2 2 2 = log 2 4. Et puis on se débarrasse du signe du logarithme, après quoi on se retrouve simplement avec une équation quadratique :

journal 2 (5x 2 + 9x + 2) = journal 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Nous avons devant nous une équation quadratique ordinaire, mais elle n'est pas réduite car le coefficient de x 2 est différent de l'unité. Nous allons donc le résoudre en utilisant un discriminant :

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

C'est tout! Nous avons trouvé les deux racines, ce qui signifie que nous avons obtenu une solution à l’équation logarithmique originale. En effet, dans le problème original, la fonction de variable x n'est présente que dans un seul argument. Par conséquent, aucune vérification supplémentaire sur le domaine de définition n’est requise – les deux racines que nous avons trouvées répondent certainement à toutes les restrictions possibles.

Cela pourrait être la fin de la leçon vidéo d'aujourd'hui, mais en conclusion, je voudrais le répéter : assurez-vous de convertir toutes les fractions décimales en fractions ordinaires lorsque vous résolvez des équations logarithmiques. Dans la plupart des cas, cela simplifie grandement leur solution.

Rarement, très rarement, vous rencontrez des problèmes dans lesquels la suppression des fractions décimales ne fait que compliquer les calculs. Cependant, dans de telles équations, en règle générale, il est clair au départ qu'il n'est pas nécessaire de se débarrasser des fractions décimales.

Dans la plupart des autres cas (surtout si vous commencez tout juste à vous entraîner à résoudre des équations logarithmiques), n'hésitez pas à vous débarrasser des décimales et à les convertir en valeurs ordinaires. Parce que la pratique montre que vous simplifierez ainsi considérablement la solution et les calculs ultérieurs.

Subtilités et astuces de la solution

Aujourd'hui, nous passons à des problèmes plus complexes et résoudrons une équation logarithmique basée non pas sur un nombre, mais sur une fonction.

Et même si cette fonction est linéaire, de petites modifications devront être apportées au schéma de solution, dont le sens se résume à des exigences supplémentaires imposées au domaine de définition du logarithme.

Tâches complexes

Ce tutoriel sera assez long. Nous y analyserons deux équations logarithmiques assez sérieuses, lors de la résolution desquelles de nombreux étudiants commettent des erreurs. Durant ma pratique de professeur de mathématiques, j'ai constamment rencontré deux types d'erreurs :

1. L'apparition de racines supplémentaires due à l'expansion du domaine de définition des logarithmes. Pour éviter de telles erreurs offensantes, surveillez simplement attentivement chaque transformation ;
2. Perte de racines due au fait que l'étudiant a oublié de considérer certains cas « subtils » - ce sont les situations sur lesquelles nous allons nous concentrer aujourd'hui.

C'est la dernière leçon sur les équations logarithmiques. Ce sera long, nous analyserons des équations logarithmiques complexes. Installez-vous confortablement, préparez-vous du thé et commençons.

La première équation semble assez standard :

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Notons immédiatement que les deux logarithmes sont des copies inversées l'un de l'autre. Rappelons la merveilleuse formule :

log a b = 1/log b a

Cependant, cette formule présente un certain nombre de limitations qui surviennent si, au lieu des nombres a et b, il existe des fonctions de la variable x :

b > 0

1 ≠ une > 0

Ces exigences s'appliquent à la base du logarithme. En revanche, dans une fraction, nous devons avoir 1 ≠ a > 0, puisque non seulement la variable a est dans l'argument du logarithme (donc a > 0), mais le logarithme lui-même est au dénominateur de la fraction. . Mais log b 1 = 0, et le dénominateur doit être différent de zéro, donc a ≠ 1.

Ainsi, les restrictions sur la variable demeurent. Mais qu’arrive-t-il à la variable b ? D'une part, la base implique b > 0, d'autre part, la variable b ≠ 1, car la base du logarithme doit être différente de 1. Au total, du côté droit de la formule il s'ensuit que 1 ≠ b > 0.

Mais voici le problème : la deuxième exigence (b ≠ 1) est absente de la première inégalité, qui concerne le logarithme de gauche. En d’autres termes, lors de cette transformation, nous devons vérifier séparément, que l'argument b est différent de un !

Alors vérifions-le. Appliquons notre formule :

[Légende de la photo]

1 ≠ x − 0,5 > 0 ; 1 ≠ x + 1 > 0

Nous avons donc déjà obtenu cela de l'équation logarithmique originale, il s'ensuit que a et b doivent être supérieurs à 0 et non égaux à 1. Cela signifie que nous pouvons facilement inverser l'équation logarithmique :

Je suggère d'introduire une nouvelle variable :

log x + 1 (x − 0,5) = t

Dans ce cas, notre construction sera réécrite comme suit :

(t 2 − 1)/t = 0

Notez qu’au numérateur nous avons la différence des carrés. Nous révélons la différence des carrés à l'aide de la formule de multiplication abrégée :

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul. Mais le numérateur contient un produit, nous assimilons donc chaque facteur à zéro :

t 1 = 1 ;

t 2 = −1 ;

t ≠ 0.

Comme on peut le voir, les deux valeurs de la variable t nous conviennent. Cependant, la solution ne s’arrête pas là, car nous devons trouver non pas t, mais la valeur de x. On revient au logarithme et on obtient :

log x + 1 (x − 0,5) = 1 ;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Mettons chacune de ces équations sous forme canonique :

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

On se débarrasse du signe du logarithme dans le premier cas et on assimile les arguments :

x − 0,5 = x + 1 ;

x−x = 1 + 0,5 ;

Une telle équation n’a pas de racines, donc la première équation logarithmique n’a pas non plus de racines. Mais avec la deuxième équation, tout est bien plus intéressant :

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

En résolvant la proportion, on obtient :

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Permettez-moi de vous rappeler que lors de la résolution d'équations logarithmiques, il est beaucoup plus pratique d'utiliser toutes les fractions décimales comme des fractions ordinaires, réécrivons donc notre équation comme suit :

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0 ;

x2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Nous avons devant nous l’équation quadratique ci-dessous, elle peut être facilement résolue en utilisant les formules de Vieta :

(x + 3/2) (x − 1) = 0 ;

x 1 = −1,5 ;

x2 = 1.

Nous avons deux racines - elles sont candidates pour résoudre l'équation logarithmique originale. Afin de comprendre quelles sont les racines de la réponse, revenons au problème initial. Nous allons maintenant vérifier chacune de nos racines pour voir si elles rentrent dans le domaine de définition :

1,5 ≠ x > 0,5 ; 0 ≠ X > −1.

Ces exigences équivalent à une double inégalité :

1 ≠ x > 0,5

De là on voit immédiatement que la racine x = −1,5 ne nous convient pas, mais x = 1 nous convient plutôt bien. Donc x = 1 est la solution finale de l’équation logarithmique.

Passons à la deuxième tâche :

bûche x 25 + bûche 125 x 5 = bûche 25 x 625

À première vue, il peut sembler que tous les logarithmes des raisons différentes et différents arguments. Que faire de telles structures ? Tout d’abord, notez que les nombres 25, 5 et 625 sont des puissances de 5 :

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Profitons maintenant de la merveilleuse propriété du logarithme. Le fait est que vous pouvez extraire des pouvoirs d’un argument sous la forme de facteurs :

log a b n = n ∙ log a b

Cette transformation est également soumise à des restrictions dans le cas où b est remplacé par une fonction. Mais pour nous, b n’est qu’un nombre et aucune restriction supplémentaire ne s’impose. Réécrivons notre équation :

2 ∙ journal x 5 + journal 125 x 5 = 4 ∙ journal 25 x 5

Nous avons obtenu une équation à trois termes contenant le signe logarithmique. De plus, les arguments des trois logarithmes sont égaux.

Il est temps d'inverser les logarithmes pour les ramener à la même base - 5. Puisque la variable b est une constante, aucun changement dans le domaine de définition ne se produit. On réécrit simplement :

[Légende de la photo]

Comme prévu, les mêmes logarithmes sont apparus au dénominateur. Je suggère de remplacer la variable :

journal 5 x = t

Dans ce cas, notre équation sera réécrite comme suit :

Écrivons le numérateur et ouvrons les parenthèses :

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Revenons à notre fraction. Le numérateur doit être nul :

[Légende de la photo]

Et le dénominateur est différent de zéro :

t ≠ 0 ; t ≠ −3 ; t ≠ −2

Les dernières conditions sont remplies automatiquement, car elles sont toutes « liées » à des nombres entiers et toutes les réponses sont irrationnelles.

Ainsi, l'équation rationnelle fractionnaire a été résolue, les valeurs de la variable t ont été trouvées. Revenons à la résolution de l'équation logarithmique et rappelons-nous ce qu'est t :

[Légende de la photo]

Nous réduisons cette équation à la forme canonique et obtenons un nombre de degré irrationnel. Ne vous laissez pas embrouiller : même de tels arguments peuvent être assimilés :

[Légende de la photo]

Nous avons deux racines. Plus précisément, deux réponses candidates - vérifions leur conformité avec le domaine de définition. Puisque la base du logarithme est la variable x, nous avons besoin de ce qui suit :

1 ≠ x > 0 ;

Avec le même succès nous affirmons que x ≠ 1/125, sinon la base du deuxième logarithme se transformera en unité. Enfin, x ≠ 1/25 pour le troisième logarithme.

Au total, nous avons reçu quatre restrictions :

1 ≠ x > 0 ; x ≠ 1/125 ; x ≠ 1/25

Maintenant, la question est : nos racines satisfont-elles à ces exigences ? Bien sûr, ils satisfont ! Parce que 5 à n'importe quelle puissance sera supérieur à zéro et que l'exigence x > 0 est automatiquement satisfaite.

En revanche, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, ce qui veut dire que ces restrictions pour nos racines (qui, je le rappelle, ont nombre irrationnel) sont également satisfaits, et les deux réponses sont des solutions au problème.

Nous avons donc la réponse finale. Points clés Il y en a deux dans ce problème :

1. Soyez prudent lorsque vous retournez un logarithme lorsque l'argument et la base sont inversés. De telles transformations imposent des restrictions inutiles sur la portée de la définition.
2. N'ayez pas peur de transformer des logarithmes : vous pouvez non seulement les retourner, mais aussi les ouvrir à l'aide de la formule de somme et généralement les modifier à l'aide de toutes les formules que vous avez étudiées lors de la résolution expressions logarithmiques. Cependant, rappelez-vous toujours : certaines transformations élargissent la portée de la définition, tandis que d'autres la rétrécissent.

Introduction

Les logarithmes ont été inventés pour accélérer et simplifier les calculs. L'idée d'un logarithme, c'est-à-dire l'idée d'exprimer les nombres sous forme de puissances de même base, appartient à Mikhail Stiefel. Mais à l’époque de Stiefel, les mathématiques n’étaient pas aussi développées et l’idée du logarithme n’était pas développée. Les logarithmes ont ensuite été inventés simultanément et indépendamment les uns des autres par le scientifique écossais John Napier (1550-1617) et le Suisse Jobst Burgi (1552-1632) fut le premier à publier ces travaux en 1614. sous le titre "Description d'une étonnante table de logarithmes", la théorie des logarithmes de Napier a été présentée dans un volume assez complet, la méthode de calcul des logarithmes a été donnée la plus simple, donc les mérites de Napier dans l'invention des logarithmes étaient supérieurs à ceux de Bürgi. Bürgi travaillait sur les tables en même temps que Napier, mais pendant longtemps les garda secrets et ne les publièrent qu'en 1620. Napier maîtrisa l'idée du logarithme vers 1594. bien que les tableaux aient été publiés 20 ans plus tard. Au début, il appela ses logarithmes « nombres artificiels » et ce n'est qu'ensuite qu'il proposa d'appeler ces « nombres artificiels » en un seul mot « logarithme », qui, traduit du grec, signifie « nombres corrélés », tirés l'un d'une progression arithmétique et l'autre d'un progression géométrique spécialement sélectionnée pour cela. Les premiers tableaux en russe furent publiés en 1703. avec la participation d'un merveilleux professeur du XVIIIe siècle. L.F. Magnitski. Dans le développement de la théorie des logarithmes grande importance avait les œuvres de l'académicien de Saint-Pétersbourg Leonhard Euler. Il fut le premier à considérer les logarithmes comme l'inverse de l'élévation à une puissance ; il introduisit les termes « base du logarithme » et « mantisse ». Briggs a compilé des tableaux de logarithmes en base 10. Les tableaux décimaux sont plus pratiques pour une utilisation pratique, leur théorie est la suivante. plus simple que celui des logarithmes de Napier. Par conséquent, les logarithmes décimaux sont parfois appelés logarithmes de Briggs. Le terme « caractérisation » a été introduit par Briggs.

À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Mais il y avait des tas, ainsi que des pots et des paniers, qui étaient parfaits pour servir de caches de stockage pouvant contenir un nombre indéterminé d'objets. Dans les anciens problèmes mathématiques de la Mésopotamie, de l'Inde, de la Chine, de la Grèce, les grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau et l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Scribes, fonctionnaires et prêtres initiés aux connaissances secrètes, bien formés à la science comptable, s'acquittent de ces tâches avec beaucoup de succès.

Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Pourtant, pas un seul papyrus, pas un seul tablette d'argile aucune description de ces techniques n'est donnée. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ». En ce sens, l'exception est « l'Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions.

Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'œuvre du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot "al-jabr" du nom arabe de ce traité - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Livre de restauration et d'opposition") - s'est transformé au fil du temps en le mot bien connu "algèbre", et al- Les travaux de Khwarizmi eux-mêmes ont servi de point de départ au développement de la science de la résolution des équations.

Équations logarithmiques et inégalités

1. Équations logarithmiques

Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme ou à sa base est appelée équation logarithmique.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme

enregistrer un X = b . (1)

Déclaration 1. Si un > 0, un≠ 1, équation (1) pour tout réel b Il a seule décision X = un B .

Exemple 1. Résolvez les équations :

a) journal 2 X= 3, b) journal 3 X= -1,c)

Solution. En utilisant l’énoncé 1, nous obtenons a) X= 2 3 ou X= 8 ; b) X= 3 -1 ou X= 1 / 3 ; c)

ou X = 1.

Présentons les propriétés de base du logarithme.

P1. Identité logarithmique de base :

Où un > 0, un≠ 1 et b > 0.

P2. Le logarithme du produit de facteurs positifs est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs :

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un N 1 + journal un N 2 (un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si N 1 · N 2 > 0, alors la propriété P2 prend la forme

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un |N 1 | + journal un |N 2 | (un > 0, un ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Le logarithme du quotient de deux nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur

(un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si

, (ce qui équivaut N 1 N 2 > 0) alors la propriété P3 prend la forme (un > 0, un ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Le logarithme de la puissance d'un nombre positif est égal au produit de l'exposant et du logarithme de ce nombre :

enregistrer un N k = k enregistrer un N (un > 0, un ≠ 1, N > 0).

Commentaire. Si k- nombre pair ( k = 2s), Que

enregistrer un N 2s = 2s enregistrer un |N | (un > 0, un ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formule pour déménager dans une autre base :

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

en particulier si N = b, on a

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

En utilisant les propriétés P4 et P5, il est facile d’obtenir propriétés suivantes

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

et, si en (5) c- nombre pair ( c = 2n), se produit

(b > 0, un ≠ 0, |un | ≠ 1). (6)

Listons les principales propriétés de la fonction logarithmique F (X) = journal un X :

1. Le domaine de définition d'une fonction logarithmique est l'ensemble des nombres positifs.

2. La plage de valeurs de la fonction logarithmique est l'ensemble des nombres réels.

3. Quand un> 1 fonction logarithmique est strictement croissante (0< X 1 < X 2log un X 1 < logun X 2), et à 0< un < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log un X 1 > journal un X 2).

4.journal un 1 = 0 et journal un un = 1 (un > 0, un ≠ 1).

5. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est négative lorsque X(0;1) et positif à X(1;+∞), et si 0< un < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) et négatif à X (1;+∞).

6. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est convexe vers le haut, et si un(0;1) - convexe vers le bas.

Les instructions suivantes (voir, par exemple) sont utilisées lors de la résolution d'équations logarithmiques.

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Expressions logarithmiques, résolution d'exemples. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés à la résolution de logarithmes. Les tâches posent la question de trouver le sens d'une expression. Il convient de noter que le concept de logarithme est utilisé dans de nombreuses tâches et qu’il est extrêmement important d’en comprendre la signification. Quant à l'examen d'État unifié, le logarithme est utilisé lors de la résolution d'équations, dans des problèmes appliqués, ainsi que dans des tâches liées à l'étude des fonctions.

Donnons des exemples pour comprendre le sens même du logarithme :

Identité logarithmique de base :

Propriétés des logarithmes qu'il faut toujours retenir :

*Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

* * *

*Le logarithme d'un quotient (fraction) est égal à la différence entre les logarithmes des facteurs.

* * *

*Le logarithme d'un exposant est égal au produit de l'exposant par le logarithme de sa base.

* * *

*Transition vers une nouvelle fondation

* * *

Plus de propriétés :

* * *

Le calcul des logarithmes est étroitement lié à l'utilisation des propriétés des exposants.

Citons-en quelques-uns :

L'essence de cette propriété est que lorsque le numérateur est transféré au dénominateur et vice versa, le signe de l'exposant change à l'opposé. Par exemple:

Un corollaire de cette propriété :

* * *

Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés.

* * *

Comme vous l’avez vu, le concept de logarithme en lui-même est simple. L'essentiel est que vous ayez besoin d'une bonne pratique, qui vous confère une certaine compétence. Bien entendu, la connaissance des formules est requise. Si la compétence de conversion de logarithmes élémentaires n'a pas été développée, alors lors de la résolution tâches simples Il est facile de se tromper.

Entraînez-vous, résolvez d'abord les exemples les plus simples du cours de mathématiques, puis passez aux exemples plus complexes. À l'avenir, je montrerai certainement comment les logarithmes « effrayants » sont résolus ; ils n'apparaîtront pas à l'examen d'État unifié, mais ils sont intéressants, ne les manquez pas !

C'est tout! Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.