Résolvez l’inégalité modulaire. Inégalités de module. Nouveau regard sur la solution

Cette calculatrice mathématique en ligne vous aidera résoudre une équation ou une inégalité avec des modules. Programme pour résoudre des équations et des inégalités avec des modules non seulement donne la réponse au problème, mais cela conduit solution détaillée avec explications, c'est à dire. affiche le processus d’obtention du résultat.

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

|x| ou abs(x) - module x

Saisir une équation ou une inégalité avec des modules

Résoudre une équation ou une inégalité

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Un peu de théorie.

Équations et inégalités avec modules

Dans un cours de base d’algèbre scolaire, vous rencontrerez peut-être les équations et inégalités les plus simples avec des modules. Pour les résoudre, vous pouvez utiliser une méthode géométrique basée sur le fait que \(|x-a| \) est la distance sur la droite numérique entre les points x et a : \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Par exemple, pour résoudre l'équation \(|x-3|=2\), vous devez trouver des points sur la droite numérique qui sont éloignés du point 3 à une distance de 2. Il existe deux de ces points : \(x_1=1 \) et \(x_2=5\) .

Résoudre l’inégalité \(|2x+7|

Mais la principale manière de résoudre des équations et des inégalités avec des modules est associée à ce que l'on appelle la « révélation du module par définition » :
si \(a \geq 0 \), alors \(|a|=a \);
if \(a En règle générale, une équation (inégalité) avec modules se réduit à un ensemble d'équations (inégalités) qui ne contiennent pas le signe du module.

En plus de la définition ci-dessus, les déclarations suivantes sont utilisées :
1) Si \(c > 0\), alors l'équation \(|f(x)|=c \) est équivalente à l'ensemble des équations : \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| > c \) est équivalent à un ensemble d'inégalités : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si les deux côtés de l'inégalité \(f(x) EXEMPLE 1. Résolvez l'équation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), alors \(|x-1| = x-1\) et l'équation donnée prend la forme
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Ainsi, l'équation donnée doit être considérée séparément dans chacun des deux cas indiqués.
1) Soit \(x-1 \geq 0 \), c'est-à-dire \(x\geq 1\). A partir de l'équation \(x^2 +2x -8 = 0\) nous trouvons \(x_1=2, \; x_2=-4\). La condition \(x \geq 1 \) n'est satisfaite que par la valeur \(x_1=2\).
2) Soit \(x-1 Réponse : \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Première façon(extension de module par définition).
En raisonnant comme dans l'exemple 1, nous arrivons à la conclusion que l'équation donnée doit être considérée séparément si deux conditions sont remplies : \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7

1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), alors \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) et l'équation donnée prend la forme \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Après avoir résolu cette équation quadratique, nous obtenons : \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Voyons si la valeur \(x_1=6\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée dans l'inégalité quadratique. On obtient : \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), c'est-à-dire \(7 \geq 0 \) est une vraie inégalité. Cela signifie que \(x_1=6\) est la racine de l'équation donnée.
Voyons si la valeur \(x_2=\frac(5)(3)\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée dans l'inégalité quadratique. On obtient : \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), soit \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) est une inégalité incorrecte. Cela signifie que \(x_2=\frac(5)(3)\) n'est pas une racine de l'équation donnée.

2) Si \(x^2-6x+7 Value \(x_3=3\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 Value \(x_4=\frac(4)(3) \) ne satisfait pas la condition \ (x^2-6x+7 Ainsi, l'équation donnée a deux racines : \(x=6, \; x=3 \).

Deuxième façon. Si l'équation \(|f(x)| = h(x) \) est donnée, alors avec \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ces deux équations ont été résolues ci-dessus (en utilisant la première méthode de résolution de l'équation donnée), leurs racines sont les suivantes : \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condition \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de ces quatre valeurs est satisfaite par seulement deux : 6 et 3. Cela signifie que l'équation donnée a deux racines : \(x=6 , \; x=3 \ ).

Troisième voie(graphique).
1) Construisons un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \). Tout d’abord, construisons une parabole \(y = x^2-6x+7\). Nous avons \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Le graphique de la fonction \(y = (x-3)^2-2\) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction \(y = x^2\) en le décalant de 3 unités d'échelle vers la droite (le long de axe des x) et 2 unités d'échelle vers le bas (le long de l'axe des y). La droite x=3 est l’axe de la parabole qui nous intéresse. Comme points de contrôle pour un tracé plus précis, il est pratique de prendre le point (3 ; -2) - le sommet de la parabole, le point (0 ; 7) et le point (6 ; 7) qui lui sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole .
Pour maintenant construire un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \), vous devez laisser inchangées les parties de la parabole construite qui ne se trouvent pas en dessous de l'axe des x et refléter cette partie de la parabole située en dessous de l'axe des x par rapport à l'axe des x.
2) Construisons un graphique de la fonction linéaire \(y = \frac(5x-9)(3)\). Il est pratique de prendre les points (0 ; –3) et (3 ; 2) comme points de contrôle.

Il est important que le point x = 1,8 de l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses soit situé à droite du point gauche d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses - c'est le point \(x=3-\ sqrt(2) \) (puisque \(3-\sqrt(2 ) 3) À en juger par le dessin, les graphiques se coupent en deux points - A(3; 2) et B(6; 7). En remplaçant les abscisses de ces points x = 3 et x = 6 dans l'équation donnée, nous sommes convaincus que dans les deux cas, l'égalité numérique correcte est obtenue. Cela signifie que notre hypothèse a été confirmée - l'équation a deux racines : x = 3 et. x = 6. Réponse : 3 ;

Commentaire. La méthode graphique, malgré toute son élégance, n'est pas très fiable. Dans l’exemple considéré, cela a fonctionné uniquement parce que les racines de l’équation sont des nombres entiers.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Première façon
L'expression 2x–4 devient 0 au point x = 2, et l'expression x + 3 devient 0 au point x = –3. Ces deux points divisent la droite numérique en trois intervalles : \(x

Considérons le premier intervalle : \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considérons le deuxième intervalle : \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considérons le troisième intervalle : \( U

Exemple 2.

Résoudre l'inégalité ||x+2| – 3| ≤ 2.

Solution.

Cette inégalité est équivalente au système suivant.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Résolvons séparément la première inégalité du système. Il équivaut à l'ensemble suivant :

U[-1 ; 3].

2) Résoudre les inégalités en utilisant la définition du module.

Permettez-moi de vous rappeler d'abord définition des modules.

|une| = un si un ≥ 0 et |une| = -a si un< 0.

Par exemple, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Exemple 1.

Résoudre l'inégalité 3|x – 1| ≤ x+3.

Solution.

En utilisant la définition du module, nous obtenons deux systèmes :

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤x + 3.

En résolvant séparément le premier et le deuxième système, on obtient :

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(X< 1
(x ≥ 0.

La solution à l’inégalité originale sera toutes les solutions du premier système et toutes les solutions du deuxième système.

Réponse : x € .

3) Résoudre les inégalités par la quadrature.

Exemple 1.

Résoudre l'inégalité |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solution.

Mettons au carré les deux côtés de l’inégalité. Permettez-moi de noter qu’il n’est possible de mettre au carré les deux côtés de l’inégalité que s’ils sont tous deux positifs. Dans ce cas, nous avons des modules à gauche et à droite, nous pouvons donc le faire.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Utilisons maintenant la propriété suivante du module : (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles.

Réponse : x € (-∞ ; 0) U (1/2 ; 2)

4) Résoudre les inégalités en changeant les variables.

Exemple.

Résoudre l'inégalité (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solution.

Notez que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . On obtient alors l'inégalité

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Faisons le changement y = |2x + 3|.

Réécrivons notre inégalité en tenant compte du remplacement.

oui 2 – oui ≤ 30,

oui 2 – oui – 30 ≤ 0.

Factorisons le trinôme quadratique de gauche.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Résolvons en utilisant la méthode des intervalles et obtenons :

Revenons au remplacement :

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Cette double inégalité équivaut au système d’inégalités :

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Résolvons chacune des inégalités séparément.

Le premier est équivalent au système

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Résolvons-le.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

La deuxième inégalité est évidemment vraie pour tout x, puisque le module est, par définition, un nombre positif. Puisque la solution du système est tous les x qui satisfont simultanément à la fois la première et la deuxième inégalité du système, alors la solution du système d'origine sera la solution de sa première double inégalité (après tout, la seconde est vraie pour tout x) .

Réponse : x € [-4,5 ; 1.5].

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Module des nombres ce nombre lui-même est appelé s'il est non négatif, ou le même nombre avec le signe opposé s'il est négatif.

Par exemple, le module du nombre 6 est 6 et le module du nombre -6 est également 6.

C'est-à-dire que le module d'un nombre s'entend comme la valeur absolue, la valeur absolue de ce nombre sans tenir compte de son signe.

Il est désigné comme suit : |6|, | X|, |UN| etc.

(Plus de détails dans la section « Module Numéro »).

Équations avec module.

Exemple 1 . Résous l'équation|10 X - 5| = 15.

Solution.

D'après la règle, l'équation est équivalente à la combinaison de deux équations :

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nous décidons:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Répondre: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exemple 2 . Résous l'équation|2 X + 1| = X + 2.

Solution.

Puisque le module est un nombre non négatif, alors X+ 2 ≥ 0. En conséquence :

X ≥ -2.

Faisons deux équations :

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nous décidons:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Les deux nombres sont supérieurs à -2. Les deux sont donc les racines de l’équation.

Répondre: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exemple 3 . Résous l'équation

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solution.

L'équation a du sens si le dénominateur n'est pas nul - c'est-à-dire si X≠ 1. Prenons en compte cette condition. Notre première action est simple : on ne se contente pas de supprimer la fraction, mais on la transforme pour obtenir le module sous sa forme pure :

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Nous n’avons maintenant qu’une expression sous le module du côté gauche de l’équation. Poursuivre.
Le module d'un nombre est un nombre non négatif, c'est-à-dire qu'il doit être supérieur à zéro ou égal à zéro. En conséquence, nous résolvons l'inégalité :

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Ainsi, nous avons une deuxième condition : la racine de l’équation doit être au moins 3/4.

Conformément à la règle, nous composons un ensemble de deux équations et les résolvons :

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Nous avons reçu deux réponses. Vérifions s'il s'agit de racines de l'équation d'origine.

Nous avions deux conditions : la racine de l'équation ne peut pas être égale à 1, et elle doit être au moins 3/4. C'est X ≠ 1, X≥ 3/4. Ces deux conditions correspondent à une seule des deux réponses reçues - le chiffre 2. Cela signifie que seule celle-ci est la racine de l'équation d'origine.

Répondre: X = 2.

Inégalités de module.

Exemple 1 . Résoudre les inégalités| X - 3| < 4

Solution.

La règle du module stipule :

|UN| = UN, Si UN ≥ 0.

|UN| = -UN, Si UN < 0.

Le module peut avoir des nombres non négatifs et négatifs. Il faut donc considérer les deux cas : X- 3 ≥ 0 et X - 3 < 0.

1) Quand X- 3 ≥ 0 notre inégalité d'origine reste telle quelle, seulement sans le signe du module :
X - 3 < 4.

2) Quand X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

En ouvrant les parenthèses, on obtient :

-X + 3 < 4.

Ainsi, de ces deux conditions on arrive à l’unification de deux systèmes d’inégalités :

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Résolvons-les :

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Notre réponse est donc une union de deux ensembles :

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Déterminez les valeurs les plus petites et les plus grandes. Ce sont -1 et 7. De plus X supérieur à -1 mais inférieur à 7.
En plus, X≥ 3. Cela signifie que la solution de l’inégalité est l’ensemble des nombres de -1 à 7, à l’exclusion de ces nombres extrêmes.

Répondre: -1 < X < 7.

Ou: X ∈ (-1; 7).

Modules complémentaires.

1) Il existe un moyen plus simple et plus court de résoudre nos inégalités : graphiquement. Pour ce faire, vous devez tracer un axe horizontal (Fig. 1).

Expressions | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X au point 3 est inférieur à quatre unités. On marque le chiffre 3 sur l'axe et on compte 4 divisions à gauche et à droite de celui-ci. A gauche nous arriverons au point -1, à droite - au point 7. Ainsi, les points X nous venons de les voir sans les calculer.

De plus, selon la condition d’inégalité, -1 et 7 eux-mêmes ne sont pas inclus dans l’ensemble des solutions. Ainsi, nous obtenons la réponse :

1 < X < 7.

2) Mais il existe une autre solution encore plus simple que la méthode graphique. Pour ce faire, notre inégalité doit être présentée sous la forme suivante :

4 < X - 3 < 4.

Après tout, c’est ainsi selon la règle du module. Le nombre non négatif 4 et le nombre négatif similaire -4 sont les limites pour résoudre l'inégalité.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exemple 2 . Résoudre les inégalités| X - 2| ≥ 5

Solution.

Cet exemple est très différent du précédent. Le côté gauche est supérieur à 5 ou égal à 5. D'un point de vue géométrique, la solution de l'inégalité est constituée de tous les nombres situés à une distance de 5 unités ou plus du point 2 (Fig. 2). Le graphique montre que ce sont tous des nombres inférieurs ou égaux à -3 et supérieurs ou égaux à 7. Cela signifie que nous avons déjà reçu la réponse.

Répondre: -3 ≥ X ≥ 7.

Chemin faisant, on résout la même inégalité en réorganisant le terme libre vers la gauche et vers la droite avec le signe opposé :

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

La réponse est la même : -3 ≥ X ≥ 7.

Ou: X ∈ [-3; 7]

L'exemple est résolu.

Exemple 3 . Résoudre les inégalités 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solution.

Nombre X peut être un nombre positif, un nombre négatif ou zéro. Nous devons donc prendre en compte ces trois circonstances. Comme vous le savez, ils sont pris en compte dans deux inégalités : X≥ 0 et X < 0. При X≥ 0 nous réécrivons simplement notre inégalité d'origine telle quelle, uniquement sans le signe du module :

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Passons maintenant au deuxième cas : si X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Extension des parenthèses :

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Ainsi, nous avons reçu deux systèmes d'équations :

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Nous devons résoudre les inégalités dans les systèmes, ce qui signifie que nous devons trouver les racines de deux équations quadratiques. Pour ce faire, nous assimilons les membres gauches des inégalités à zéro.

Commençons par le premier :

6X 2 - X - 2 = 0.

Comment résoudre une équation quadratique - voir la section « Équation quadratique ». Nous nommerons immédiatement la réponse :

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Du premier système d’inégalités, nous obtenons que la solution de l’inégalité originale est l’ensemble des nombres de -1/2 à 2/3. Nous écrivons l'union des solutions à X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Résolvons maintenant la deuxième équation quadratique :

6X 2 + X - 2 = 0.

Ses racines :

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Conclusion : quand X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Combinons les deux réponses et obtenons la réponse finale : la solution est l'ensemble des nombres de -2/3 à 2/3, y compris ces nombres extrêmes.

Répondre: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Ou: X ∈ [-2/3; 2/3].

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Mathématiques est un symbole de la sagesse de la science,

un modèle de rigueur et de simplicité scientifique,

la norme d’excellence et de beauté en science.

Philosophe russe, professeur A.V. Volochinov

Inégalités de module

Les problèmes les plus difficiles à résoudre en mathématiques scolaires sont les inégalités, contenant des variables sous le signe du module. Pour réussir à résoudre de telles inégalités, vous devez avoir une bonne connaissance des propriétés du module et avoir les compétences nécessaires pour les utiliser.

Concepts et propriétés de base

Module (valeur absolue) d'un nombre réel désigné par et est défini comme suit :

Les propriétés simples d'un module incluent les relations suivantes :

ET .

Note, que les deux dernières propriétés sont valables pour tout degré pair.

De plus, si, où, alors et

Propriétés de modules plus complexes, qui peut être utilisé efficacement lors de la résolution d'équations et d'inégalités avec des modules, sont formulés à travers les théorèmes suivants :

Théorème 1.Pour toutes fonctions analytiques Et l'inégalité est vraie.

Théorème 2.Égalité équivaut à une inégalité.

Théorème 3.Égalité équivaut à une inégalité.

Les inégalités les plus courantes en mathématiques à l’école, contenant des variables inconnues sous le signe du module, sont des inégalités de la forme et où une constante positive.

Théorème 4. Inégalité équivaut à une double inégalité, et la solution à l'inégalitése réduit à résoudre un ensemble d’inégalités Et .

Ce théorème est un cas particulier des théorèmes 6 et 7.

Des inégalités plus complexes, contenant un module sont des inégalités de la forme, Et .

Les méthodes pour résoudre de telles inégalités peuvent être formulées à l’aide des trois théorèmes suivants.

Théorème 5. Inégalité équivaut à la combinaison de deux systèmes d’inégalités

Je (1)

Preuve. Depuis lors

Cela implique la validité de (1).

Théorème 6. Inégalité est équivalent au système d’inégalités

Preuve. Parce que , puis de l'inégalité il s'ensuit que . Dans cette condition, l'inégalitéet dans ce cas le deuxième système d'inégalités (1) s'avérera incohérent.

Le théorème a été prouvé.

Théorème 7. Inégalité équivaut à la combinaison d’une inégalité et de deux systèmes d’inégalités

Je (3)

Preuve. Depuis , alors l'inégalité toujours exécuté, Si .

Laisser , alors l'inégalitésera équivalent à l'inégalité, d'où découle un ensemble de deux inégalités Et .

Le théorème a été prouvé.

Regardons des exemples typiques de résolution de problèmes sur le thème « Inégalités, contenant des variables sous le signe du module."

Résoudre les inégalités avec le module

La méthode la plus simple pour résoudre les inégalités avec module est la méthode, basé sur l’extension du module. Cette méthode est universelle, cependant, dans le cas général, son utilisation peut conduire à des calculs très lourds. Par conséquent, les étudiants doivent connaître d’autres méthodes et techniques (plus efficaces) pour résoudre de telles inégalités. En particulier, il est nécessaire d'avoir des compétences dans l'application des théorèmes, donnée dans cet article.

Exemple 1.Résoudre les inégalités

. (4)

Solution.Nous résoudrons l'inégalité (4) en utilisant la méthode « classique » – la méthode de révélation des modules. Pour cela, nous divisons l'axe des nombres des points et en intervalles et considérons trois cas.

1. Si , alors , , , et l'inégalité (4) prend la forme ou .

Puisque le cas est considéré ici, il s’agit d’une solution à l’inégalité (4).

2. Si, alors à partir de l'inégalité (4) on obtient ou . Depuis l'intersection des intervalles Et est vide, alors sur l'intervalle de solutions considéré il n'y a pas d'inégalité (4).

3. Si, alors l'inégalité (4) prend la forme ou . Il est évident que est aussi une solution aux inégalités (4).

Répondre: , .

Exemple 2. Résoudre les inégalités.

Solution. Supposons cela. Parce que , alors l'inégalité donnée prend la forme ou . Depuis lors et de là il s'ensuit ou .

Cependant, donc ou.

Exemple 3. Résoudre les inégalités

. (5)

Solution. Parce que , alors l'inégalité (5) est équivalente aux inégalités ou . D'ici, selon le théorème 4, nous avons un ensemble d'inégalités Et .

Répondre: , .

Exemple 4.Résoudre les inégalités

. (6)

Solution. Notons . Ensuite à partir de l'inégalité (6) nous obtenons les inégalités , , ou .

D'ici, en utilisant la méthode des intervalles, on a . Parce que , alors là nous avons un système d'inégalités

La solution à la première inégalité du système (7) est l'union de deux intervalles Et , et la solution de la deuxième inégalité est la double inégalité. Cela implique , que la solution du système d'inégalités (7) est l'union de deux intervalles Et .

Répondre: ,

Exemple 5.Résoudre les inégalités

. (8)

Solution. Transformons l'inégalité (8) comme suit :

Ou .

Utiliser la méthode des intervalles, nous obtenons une solution à l’inégalité (8).

Répondre: .

Note. Si on met et dans les conditions du théorème 5, on obtient .

Exemple 6. Résoudre les inégalités

. (9)

Solution. De l'inégalité (9) il résulte. Transformons l'inégalité (9) comme suit :

Ou

Depuis , alors ou .

Répondre: .

Exemple 7.Résoudre les inégalités

. (10)

Solution. Depuis et , alors ou .

À cet égard et l'inégalité (10) prend la forme

Ou

. (11)

Il s'ensuit que ou . Puisque , alors l’inégalité (11) implique également ou .

Répondre: .

Note. Si l'on applique le théorème 1 au membre gauche de l'inégalité (10), alors on obtient . De cela et de l’inégalité (10), il s’ensuit, quoi ou . Parce que , alors l'inégalité (10) prend la forme ou .

Exemple 8. Résoudre les inégalités

. (12)

Solution. Depuis lors et de l'inégalité (12) il résulte ou . Cependant, donc ou. De là, nous obtenons ou .

Répondre: .

Exemple 9. Résoudre les inégalités

. (13)

Solution. D’après le théorème 7, la solution de l’inégalité (13) est ou .

Qu'il en soit ainsi maintenant. Dans ce cas et l'inégalité (13) prend la forme ou .

Si vous combinez les intervalles Et , alors on obtient une solution de l'inégalité (13) de la forme.

Exemple 10. Résoudre les inégalités

. (14)

Solution. Réécrivons l'inégalité (14) sous une forme équivalente : . Si l'on applique le théorème 1 au membre gauche de cette inégalité, on obtient l'inégalité .

De ceci et du théorème 1 il résulte, que l'inégalité (14) est satisfaite pour toutes les valeurs.

Réponse : n’importe quel nombre.

Exemple 11. Résoudre les inégalités

. (15)

Solution. Application du théorème 1 au côté gauche de l’inégalité (15), on a . Ceci et l'inégalité (15) donnent l'équation, qui a la forme.

D'après le théorème 3, l'équation équivaut à une inégalité. De là, nous obtenons.

Exemple 12.Résoudre les inégalités

. (16)

Solution. A partir de l'inégalité (16), d'après le théorème 4, on obtient un système d'inégalités

Lors de la résolution de l'inégalitéUtilisons le théorème 6 et obtenons un système d'inégalitésd'où il résulte.

Considérez l'inégalité. D'après le théorème 7, on obtient un ensemble d'inégalités Et . La deuxième inégalité de population est valable pour tout.

Ainsi , la solution à l'inégalité (16) est.

Exemple 13.Résoudre les inégalités

. (17)

Solution. D’après le théorème 1, on peut écrire

(18)

En tenant compte de l'inégalité (17), nous concluons que les deux inégalités (18) se transforment en égalités, c'est-à-dire il existe un système d'équations

D'après le théorème 3, ce système d'équations est équivalent au système d'inégalités

ou

Exemple 14.Résoudre les inégalités

. (19)

Solution. Depuis lors. Multiplions les deux côtés de l'inégalité (19) par l'expression , qui ne prend que des valeurs positives pour toutes les valeurs. On obtient alors une inégalité équivalente à l'inégalité (19), de la forme

De là, nous obtenons ou , où . Depuis et alors la solution de l'inégalité (19) est Et .

Répondre: , .

Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution des inégalités avec un module, nous recommandons de se tourner vers les manuels, donnée dans la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Paix et Education, 2013. – 608 p.

2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : méthodes de résolution et de preuve des inégalités. – M. : Lénand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : méthodes non standards pour résoudre des problèmes. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 296 p.

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