Résolution de systèmes d’inégalités option b2. Calculateur en ligne. Résolution de systèmes d'inégalités : linéaires, quadratiques et fractionnaires

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Cours et présentation sur le thème : "Systèmes d'inégalités. Exemples de solutions"

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Système d'inégalités

Les gars, vous avez étudié les inégalités linéaires et quadratiques et appris à résoudre des problèmes sur ces sujets. Passons maintenant à un nouveau concept en mathématiques : le système d'inégalités. Un système d'inégalités est similaire à un système d'équations. Vous souvenez-vous des systèmes d’équations ? Vous avez étudié des systèmes d'équations en septième année, essayez de vous rappeler comment vous les avez résolus.

Introduisons la définition d'un système d'inégalités.
Plusieurs inégalités avec une variable x forment un système d'inégalités si vous avez besoin de trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles chacune des inégalités forme une expression numérique correcte.

Toute valeur de x pour laquelle chaque inégalité prend l'expression numérique correcte est une solution à l'inégalité. Peut également être appelé une solution privée.
Qu'est-ce qu'une solution privée ? Par exemple, dans la réponse, nous avons reçu l'expression x>7. Alors x=8, ou x=123, ou tout autre nombre supérieur à sept est une solution particulière, et l'expression x>7 est décision commune. La solution générale est formée de nombreuses solutions privées.

Comment avons-nous combiné le système d’équations ? C'est vrai, une accolade, et donc ils font la même chose avec les inégalités. Regardons un exemple de système d'inégalités : $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Si le système d'inégalités est constitué d'expressions identiques, par exemple $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Alors, qu’est-ce que cela signifie : trouver une solution à un système d’inégalités ?
Une solution à une inégalité est un ensemble de solutions partielles à une inégalité qui satisfont à la fois les deux inégalités du système.

Nous écrivons la forme générale du système d'inégalités sous la forme $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Notons $Х_1$ comme la solution générale de l'inégalité f(x)>0.
$X_2$ est la solution générale de l'inégalité g(x)>0.
$X_1$ et $X_2$ sont un ensemble de solutions particulières.
La solution au système d'inégalités sera des nombres appartenant à la fois à $X_1$ et à $X_2$.
Rappelons les opérations sur les décors. Comment trouver les éléments d’un ensemble qui appartiennent aux deux ensembles à la fois ? C'est vrai, il existe une opération d'intersection pour cela. Ainsi, la solution de notre inégalité sera l'ensemble $A= X_1∩ X_2$.

Exemples de solutions aux systèmes d’inégalités

Regardons des exemples de résolution de systèmes d'inégalités.

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Solution.
a) Résolvez chaque inéquation séparément.
$3x-1>2 ; \; 3x>3 ; \; x>1$.
$5x-10
Marquons nos intervalles sur une ligne de coordonnées.

La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. L'inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert.
Réponse : (1 ; 3).

B) Nous résoudrons également chaque inégalité séparément.
2x-4≤6 $ ; 2x≤ 10 ; x ≤ 5 $.
$-x-4 -5$.


La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. La deuxième inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert à gauche.
Réponse : (-5 ; 5].

Résumons ce que nous avons appris.
Disons qu'il faut résoudre le système d'inégalités : $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Alors, l'intervalle ($x_1 ; x_2$) est la solution de la première inégalité.
L'intervalle ($y_1; y_2$) est la solution de la deuxième inégalité.
La solution d’un système d’inégalités est l’intersection des solutions de chaque inégalité.

Les systèmes d'inégalités peuvent comprendre non seulement des inégalités de premier ordre, mais également tout autre type d'inégalités.

Règles importantes pour résoudre les systèmes d'inégalités.
Si l’une des inégalités du système n’a pas de solution, alors le système tout entier n’a pas de solution.
Si l'une des inégalités est satisfaite pour n'importe quelle valeur de la variable, alors la solution du système sera la solution de l'autre inégalité.

Exemples.
Résoudre le système d'inégalités :$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solution.
Résolvons chaque inégalité séparément.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Résolvons la deuxième inégalité.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

La solution de l'inégalité est l'intervalle.
Traçons les deux intervalles sur la même ligne et trouvons l'intersection.
L'intersection des intervalles est le segment (4 ; 6).
Réponse : (4;6].

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Solution.
a) La première inégalité a une solution x>1.
Trouvons le discriminant de la deuxième inégalité.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Rappelons la règle : lorsqu'une des inégalités n'a pas de solution, alors tout le système n'a pas de solution.
Réponse : Il n’y a pas de solutions.

B) La première inégalité a une solution x>1.
La deuxième inégalité est supérieure à zéro pour tout x. Alors la solution du système coïncide avec la solution de la première inégalité.
Réponse : x>1.

Problèmes sur les systèmes d'inégalités pour une solution indépendante

Résoudre des systèmes d’inégalités :
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cas)x^2+36

voir aussi Résolution graphique d'un problème de programmation linéaire, Forme canonique des problèmes de programmation linéaire

Le système de contraintes pour un tel problème est constitué d'inégalités en deux variables :
et la fonction objectif a la forme F = C 1 X + C 2 oui qui doit être maximisé.

Répondons à la question : quelles paires de nombres ( X; oui) les solutions au système d'inégalités, c'est-à-dire satisfont-elles simultanément chacune des inégalités ? En d’autres termes, que signifie résoudre graphiquement un système ?
Vous devez d’abord comprendre quelle est la solution d’une inégalité linéaire à deux inconnues.
Résoudre une inégalité linéaire à deux inconnues signifie déterminer toutes les paires de valeurs inconnues pour lesquelles l'inégalité est vraie.
Par exemple, l'inégalité 3 X – 5oui≥ 42 satisfont les paires ( X , oui) : (100, 2); (3, –10), etc. La tâche est de trouver toutes ces paires.
Considérons deux inégalités : hache + par≤ c, hache + par≥ c. Droit hache + par = c divise le plan en deux demi-plans pour que les coordonnées des points de l'un d'eux satisfassent à l'inégalité hache + par >c, et l'autre inégalité hache + +par <c.
En effet, prenons un point de coordonnée X = X 0 ; puis un point situé sur une droite et ayant une abscisse X 0, a une ordonnée

Laissez pour certitude un< 0, b>0, c>0. Tous les points en abscisse X 0 situé au-dessus P.(par exemple, point M.), avoir et M>oui 0 , et tous les points en dessous du point P., en abscisse X 0 , avoir oui N<oui 0 . Parce que le X 0 est un point arbitraire, alors il y aura toujours des points d'un côté de la ligne pour lesquels hache+ par > c, formant un demi-plan, et de l'autre côté - les points pour lesquels hache + par< c.

Image 1

Le signe de l'inégalité dans le demi-plan dépend des nombres un, b , c.
Cela conduit à la méthode suivante solution graphique systèmes inégalités linéairesà partir de deux variables. Pour résoudre le système, vous avez besoin de :

1. Pour chaque inégalité, écrivez l'équation correspondant à cette inégalité.
2. Construisez des lignes droites qui sont des graphiques de fonctions spécifiées par des équations.
3. Pour chaque droite, déterminez le demi-plan donné par l’inégalité. Pour ce faire, prenez un point arbitraire qui ne se trouve pas sur une droite et remplacez ses coordonnées dans l'inégalité. si l'inégalité est vraie, alors le demi-plan contenant le point choisi est la solution de l'inégalité d'origine. Si l’inégalité est fausse, alors le demi-plan de l’autre côté de la ligne est l’ensemble des solutions à cette inégalité.
4. Pour résoudre un système d'inégalités, il faut trouver l'aire d'intersection de tous les demi-plans qui sont la solution de chaque inégalité du système.

Cet espace peut s'avérer vide, alors le système d'inégalités n'a pas de solutions et est incohérent. Autrement, le système est dit cohérent.
Il y a peut-être des solutions numéro final et nombre infini. La zone peut être un polygone fermé ou illimité.

Regardons trois exemples pertinents.

Exemple 1. Résolvez le système graphiquement :
X + oui – 1 ≤ 0;
–2X - 2oui + 5 ≤ 0.

• considérons les équations x+y–1=0 et –2x–2y+5=0 correspondant aux inégalités ;
• Construisons des droites données par ces équations.

Figure 2

Définissons les demi-plans définis par les inégalités. Prenons un point arbitraire, soit (0 ; 0). Considérons X+ oui– 1 0, remplacez le point (0 ; 0) : 0 + 0 – 1 ≤ 0. Cela signifie que dans le demi-plan où se trouve le point (0 ; 0), X + oui – 1 ≤ 0, c'est-à-dire le demi-plan situé en dessous de la droite est une solution à la première inégalité. En remplaçant ce point (0 ; 0) par le second, on obtient : –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, c'est-à-dire dans le demi-plan où se trouve le point (0 ; 0), –2 X – 2oui+ 5≥ 0, et on nous a demandé où –2 X – 2oui+ 5 ≤ 0 donc dans l'autre demi-plan - dans celui au-dessus de la droite.
Trouvons l'intersection de ces deux demi-plans. Les lignes sont parallèles, donc les plans ne se coupent nulle part, ce qui signifie que le système de ces inégalités n'a pas de solutions et est incohérent.

Exemple 2. Trouver graphiquement des solutions au système d'inégalités :

figure 3
1. Écrivons les équations correspondant aux inégalités et construisons des droites.
X + 2oui– 2 = 0

X	2	0
oui	0	1

oui – X – 1 = 0

X	0	2
oui	1	3

oui + 2 = 0;
oui = –2.
2. Après avoir choisi le point (0 ; 0), on détermine les signes des inégalités dans les demi-plans :
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, c'est-à-dire X + 2oui– 2 ≤ 0 dans le demi-plan situé au-dessous de la droite ;
0 – 0 – 1 ≤ 0, c'est-à-dire oui –X– 1 ≤ 0 dans le demi-plan situé au-dessous de la droite ;
0 + 2 =2 ≥ 0, c'est-à-dire oui+ 2 ≥ 0 dans le demi-plan au-dessus de la droite.
3. L’intersection de ces trois demi-plans sera une aire qui est un triangle. Il n'est pas difficile de trouver les sommets de la région comme points d'intersection des lignes correspondantes


Ainsi, UN(–3; –2), DANS(0; 1), AVEC(6; –2).

Considérons un autre exemple dans lequel le domaine de solution résultant du système n'est pas limité.

Cet article fournit des premières informations sur les systèmes d’inégalités. Voici une définition d’un système d’inégalités et une définition d’une solution à un système d’inégalités. Les principaux types de systèmes avec lesquels il faut le plus souvent travailler dans les cours d'algèbre à l'école sont également répertoriés et des exemples sont donnés.

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Qu'est-ce qu'un système d'inégalités ?

Il est pratique de définir les systèmes d'inégalités de la même manière que nous avons introduit la définition d'un système d'équations, c'est-à-dire par le type de notation et la signification qu'elle contient.

Définition.

Système d'inégalités est un enregistrement qui représente un certain nombre d'inégalités écrites les unes en dessous des autres, réunies à gauche par une accolade, et désigne l'ensemble de toutes les solutions qui sont simultanément des solutions à chaque inégalité du système.

Donnons un exemple de système d'inégalités. Prenons deux arbitraires, par exemple 2 x−3>0 et 5−x≥4 x−11, écrivons-les l'un en dessous de l'autre
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
et s'unir à un signe système - une accolade, nous obtenons ainsi un système d'inégalités de la forme suivante :

Une idée similaire est donnée à propos des systèmes d'inégalités dans manuels scolaires. Il convient de noter que leurs définitions sont données de manière plus étroite : pour les inégalités à une variable ou avec deux variables.

Principaux types de systèmes d'inégalités

Il est clair qu’il est possible de créer une infinité de systèmes d’inégalités différents. Afin de ne pas se perdre dans cette diversité, il convient de les considérer en groupes qui ont leurs propres caractéristiques. Tous les systèmes d'inégalités peuvent être divisés en groupes selon les critères suivants :

• par le nombre d'inégalités dans le système ;
• par le nombre de variables impliquées dans l'enregistrement ;
• par le type d’inégalités elles-mêmes.

En fonction du nombre d'inégalités incluses dans le dossier, on distingue des systèmes de deux, trois, quatre, etc. inégalités Dans le paragraphe précédent, nous avons donné un exemple de système, qui est un système de deux inégalités. Montrons un autre exemple d'un système de quatre inégalités .

Séparément, nous dirons qu'il ne sert à rien de parler uniquement du système d'inégalité ; dans ce cas, nous parlons essentiellement de l'inégalité elle-même, et non du système.

Si vous regardez le nombre de variables, alors il existe des systèmes d'inégalités avec un, deux, trois, etc. variables (ou, comme on dit aussi, inconnues). Regarder dernier système inégalités écrites deux paragraphes plus haut. C'est un système à trois variables x, y et z. Veuillez noter que ses deux premières inégalités ne contiennent pas les trois variables, mais une seule d'entre elles. Dans le contexte de ce système, elles doivent être comprises comme des inégalités à trois variables de la forme respectivement x+0·y+0·z≥−2 et 0·x+y+0·z≤5. A noter que l'école se concentre sur les inégalités à une variable.

Il reste à discuter des types d’inégalités impliqués dans les systèmes d’enregistrement. À l'école, ils considèrent principalement des systèmes de deux inégalités (moins souvent - trois, encore moins souvent - quatre ou plus) avec une ou deux variables, et les inégalités elles-mêmes sont généralement des inégalités entières premier ou deuxième degré (moins souvent - diplômes supérieurs ou fractionnement rationnels). Mais ne soyez pas surpris si, dans votre matériel de préparation à l'examen d'État unifié, vous rencontrez des systèmes d'inégalités contenant des inégalités irrationnelles, logarithmiques, exponentielles et autres. A titre d'exemple, nous donnons le système d'inégalités , il est tiré de .

Quelle est la solution à un système d’inégalités ?

Introduisons une autre définition liée aux systèmes d'inégalités - la définition d'une solution à un système d'inégalités :

Définition.

Résoudre un système d'inégalités avec une variable s'appelle une telle valeur d'une variable qui transforme chacune des inégalités du système en vraie, en d'autres termes, c'est une solution à chaque inégalité du système.

Expliquons avec un exemple. Prenons un système de deux inégalités à une variable. Prenons la valeur de la variable x égale à 8, c'est une solution de notre système d'inégalités par définition, puisque sa substitution dans les inégalités du système donne deux inégalités numériques correctes 8>7 et 2−3·8≤0. Au contraire, l’unité n’est pas une solution du système, puisque lorsqu’elle est substituée à la variable x, la première inégalité se transformera en l’inégalité numérique incorrecte 1>7.

De même, on peut introduire la définition d'une solution à un système d'inégalités à deux, trois et un grand nombre variables :

Définition.

Résoudre un système d'inégalités avec deux, trois, etc. variables appelé une paire, trois, etc. valeurs de ces variables, qui en même temps est une solution à chaque inégalité du système, c'est-à-dire transforme chaque inégalité du système en une inégalité numérique correcte.

Par exemple, une paire de valeurs x=1, y=2 ou dans une autre notation (1, 2) est une solution d'un système d'inégalités à deux variables, puisque 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Les systèmes d’inégalités peuvent n’avoir aucune solution, peuvent avoir un nombre fini de solutions ou peuvent avoir un nombre infini de solutions. On parle souvent d’un ensemble de solutions à un système d’inégalités. Lorsqu’un système n’a pas de solutions, il existe alors un ensemble vide de ses solutions. Lorsqu’il existe un nombre fini de solutions, alors l’ensemble des solutions contient un nombre fini d’éléments, et lorsqu’il existe une infinité de solutions, alors l’ensemble des solutions est constitué d’un nombre infini d’éléments.

Certaines sources introduisent des définitions d'une solution particulière et générale à un système d'inégalités, comme par exemple dans les manuels de Mordkovitch. Sous solution privée du système d'inégalités comprendre sa seule décision. À son tour solution générale au système d'inégalités- ce sont toutes ses décisions privées. Cependant, ces termes n’ont de sens que lorsqu’il est nécessaire de souligner spécifiquement de quel type de solution nous parlons, mais cela ressort généralement déjà du contexte, et bien plus souvent ils disent simplement « une solution à un système d’inégalités ».

Des définitions d'un système d'inégalités et de ses solutions introduites dans cet article, il s'ensuit qu'une solution d'un système d'inégalités est l'intersection des ensembles de solutions de toutes les inégalités de ce système.

Bibliographie.

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2. Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.
3. Mordkovitch A.G. Algèbre. 9e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2011. - 222 p. : ill. ISBN978-5-346-01752-3.
4. Mordkovitch A.G. Algèbre et début de l'analyse mathématique. 11e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2008. - 287 p. : ill. ISBN978-5-346-01027-2.
5. Examen d'État unifié-2013. Mathématiques : options d'examen standards : 30 options / éd. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M. : Maison d'édition « Éducation nationale », 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - école).