EntréeL'aire d'un triangle est un produit vectoriel. Produit croisé - définitions, propriétés, formules, exemples et solutions. Signification physique du produit vectoriel
Dans cet article, nous examinerons de plus près le concept de produit vectoriel de deux vecteurs. Nous donnerons les définitions nécessaires, rédigerons une formule pour trouver les coordonnées d'un produit vectoriel, lister et justifier ses propriétés. Après cela, nous nous attarderons sur la signification géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs et envisagerons des solutions à divers exemples typiques.
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Définition du produit croisé.
Avant de définir un produit vectoriel, comprenons l'orientation d'un triplet ordonné de vecteurs dans un espace tridimensionnel.
Traçons les vecteurs à partir d'un point. Selon la direction du vecteur, les trois peuvent être à droite ou à gauche. Regardons depuis la fin du vecteur comment le tour le plus court du vecteur vers . Si la rotation la plus courte se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors le triplet de vecteurs est appelé droite, sinon - gauche.
Prenons maintenant deux vecteurs non colinéaires et . Traçons les vecteurs et à partir du point A. Construisons un vecteur perpendiculaire à la fois et et . Évidemment, lors de la construction d’un vecteur, nous pouvons faire deux choses, lui donner soit une direction, soit la direction opposée (voir illustration).
Selon la direction du vecteur, le triplet ordonné de vecteurs peut être droitier ou gaucher.
Cela nous rapproche de la définition d’un produit vectoriel. Il est donné pour deux vecteurs définis dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel.
Définition.
Le produit vectoriel de deux vecteurs et , spécifié dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel, est appelé un vecteur tel que
Le produit croisé des vecteurs et est noté .
Coordonnées du produit vectoriel.
Nous allons maintenant donner la deuxième définition d'un produit vectoriel, qui permet de trouver ses coordonnées à partir des coordonnées de vecteurs donnés et.
Définition.
Dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel produit vectoriel de deux vecteurs 
Et 
est un vecteur, où sont les vecteurs de coordonnées.
Cette définition nous donne le produit vectoriel sous forme de coordonnées.
Il est pratique de représenter le produit vectoriel comme le déterminant d'une matrice carrée du troisième ordre, dont la première ligne est constituée des vecteurs, la deuxième ligne contient les coordonnées du vecteur et la troisième contient les coordonnées du vecteur dans un espace donné. système de coordonnées rectangulaires : 
Si l'on développe ce déterminant dans les éléments de la première ligne, on obtient l'égalité à partir de la définition du produit vectoriel en coordonnées (si besoin se référer à l'article) : 
Il convient de noter que la forme coordonnée du produit vectoriel est tout à fait cohérente avec la définition donnée dans le premier paragraphe de cet article. De plus, ces deux définitions d'un produit vectoriel sont équivalentes. Vous pouvez voir la preuve de ce fait dans le livre répertorié à la fin de l’article.
Propriétés d'un produit vectoriel.
Puisque le produit vectoriel en coordonnées peut être représenté comme un déterminant de la matrice, ce qui suit peut facilement être justifié sur la base propriétés du produit vectoriel:
A titre d'exemple, prouvons la propriété anticommutative d'un produit vectoriel.
Prieuré A 
Et 
. On sait que la valeur du déterminant d'une matrice est inversée si deux lignes sont permutées, donc, 
, ce qui prouve la propriété anticommutative d'un produit vectoriel.
Produit vectoriel - exemples et solutions.
Il existe principalement trois types de problèmes.
Dans les problèmes du premier type, les longueurs de deux vecteurs et l'angle entre eux sont donnés, et vous devez trouver la longueur du produit vectoriel. Dans ce cas, la formule est utilisée 
.
Exemple.
Trouver la longueur du produit vectoriel des vecteurs et , si connu 
.
Solution.
Nous savons par la définition que la longueur du produit vectoriel des vecteurs et est égale au produit des longueurs des vecteurs et par le sinus de l'angle entre eux, donc, 
.
Répondre:
.
Les problèmes du deuxième type sont liés aux coordonnées des vecteurs, dans lesquels le produit vectoriel, sa longueur ou tout autre élément est recherché à travers les coordonnées de vecteurs donnés. Et .
Il existe de nombreuses options différentes possibles ici. Par exemple, ce ne sont pas les coordonnées des vecteurs qui peuvent être spécifiées, mais leurs développements en vecteurs de coordonnées de la forme 
et , ou des vecteurs et peuvent être spécifiés par les coordonnées de leurs points de départ et d'arrivée.
Regardons des exemples typiques.
Exemple.
Deux vecteurs sont donnés dans un système de coordonnées rectangulaires 
. Trouvez leur produit vectoriel.
Solution.
Selon la deuxième définition, le produit vectoriel de deux vecteurs en coordonnées s'écrit : 
Nous serions arrivés au même résultat si le produit vectoriel avait été écrit en fonction du déterminant 
Répondre:
.
Exemple.
Trouvez la longueur du produit vectoriel des vecteurs et , où sont les vecteurs unitaires du système de coordonnées cartésiennes rectangulaires.
Solution.
On trouve d’abord les coordonnées du produit vectoriel 
dans un système de coordonnées rectangulaires donné.
Puisque les vecteurs et ont des coordonnées et respectivement (si nécessaire, voir l'article coordonnées d'un vecteur dans un système de coordonnées rectangulaires), alors par la deuxième définition d'un produit vectoriel on a 
Autrement dit, le produit vectoriel a des coordonnées dans un système de coordonnées donné.
Nous trouvons la longueur d'un produit vectoriel comme racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées (nous avons obtenu cette formule pour la longueur d'un vecteur dans la section sur la recherche de la longueur d'un vecteur) :
Répondre:
.
Exemple.
Dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires, les coordonnées de trois points sont données. Trouvez un vecteur perpendiculaire et en même temps.
Solution.
Les vecteurs et ont respectivement des coordonnées et (voir l'article trouver les coordonnées d'un vecteur grâce aux coordonnées des points). Si nous trouvons le produit vectoriel des vecteurs et , alors par définition c'est un vecteur perpendiculaire à la fois à et à , c'est-à-dire que c'est une solution à notre problème. Trouvons-le 
Répondre:
- un des vecteurs perpendiculaires.
Dans les problèmes du troisième type, l'habileté à utiliser les propriétés du produit vectoriel des vecteurs est testée. Après avoir appliqué les propriétés, les formules correspondantes sont appliquées.
Exemple.
Les vecteurs et sont perpendiculaires et leurs longueurs sont respectivement 3 et 4. Trouver la longueur du produit vectoriel 
.
Solution.
Par la propriété distributive d'un produit vectoriel, on peut écrire 
En raison de la propriété combinatoire, nous retirons les coefficients numériques du signe des produits vectoriels dans la dernière expression : 
Les produits vectoriels et sont égaux à zéro, puisque 
Et 
, Alors .
Puisque le produit vectoriel est anticommutatif, alors .
Ainsi, en utilisant les propriétés du produit vectoriel, nous sommes arrivés à l'égalité 
.
Par condition, les vecteurs et sont perpendiculaires, c'est-à-dire que l'angle entre eux est égal à . Autrement dit, nous avons toutes les données pour trouver la longueur requise 
Répondre:
.
Signification géométrique d'un produit vectoriel.
Par définition, la longueur du produit vectoriel des vecteurs est 
. Et grâce à un cours de géométrie au lycée, nous savons que l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit des longueurs des deux côtés du triangle et du sinus de l'angle qui les sépare. Par conséquent, la longueur du produit vectoriel est égale à deux fois l'aire d'un triangle dont les côtés sont les vecteurs et , s'ils sont tracés à partir d'un point. En d'autres termes, la longueur du produit vectoriel des vecteurs et est égale à l'aire d'un parallélogramme avec des côtés et et l'angle entre eux est égal à . C'est la signification géométrique du produit vectoriel.
PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS ET SES PROPRIÉTÉS
Travail mixte trois vecteurs est appelé un nombre égal à . Désigné 
. Ici, les deux premiers vecteurs sont multipliés vectoriellement, puis le vecteur résultant est multiplié de manière scalaire par le troisième vecteur. Évidemment, un tel produit représente un certain nombre.
Considérons les propriétés d'un produit mixte.
- Signification géométrique travail mixte. Le produit mixte de 3 vecteurs, au signe près, est égal au volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs, comme sur les arêtes, c'est-à-dire .
Ainsi, et
.
Preuve. Laissons de côté les vecteurs de l'origine commune et construisons dessus un parallélépipède. Notons et notons cela . Par définition du produit scalaire
En supposant cela et en désignant par h trouver la hauteur du parallélépipède.
Ainsi, quand
Si, alors oui. Ainsi, .
En combinant ces deux cas, nous obtenons ou .
De la preuve de cette propriété, en particulier, il s'ensuit que si le triplet de vecteurs est droitier, alors le produit mixte est , et s'il est gaucher, alors .
- Pour tout vecteur , , l'égalité est vraie
La preuve de cette propriété découle de la propriété 1. En effet, il est facile de montrer que et . De plus, les signes « + » et « – » sont pris simultanément, car les angles entre les vecteurs et et et sont à la fois aigus et obtus.
- Lorsque deux facteurs sont réorganisés, le produit mixte change de signe.
En effet, si l'on considère un produit mixte, alors, par exemple, ou
- Un produit mixte si et seulement si l'un des facteurs est égal à zéro ou si les vecteurs sont coplanaires.
Preuve.
Ainsi, une condition nécessaire et suffisante pour la coplanarité de 3 vecteurs est que leur produit mixte soit égal à zéro. De plus, il s'ensuit que trois vecteurs forment une base dans l'espace si .
Si les vecteurs sont donnés sous forme de coordonnées, alors on peut montrer que leur produit mixte est trouvé par la formule :
.Ainsi, le produit mixte est égal au déterminant du troisième ordre, qui a les coordonnées du premier vecteur dans la première ligne, les coordonnées du deuxième vecteur dans la deuxième ligne et les coordonnées du troisième vecteur dans la troisième ligne.
Exemples.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE
L'équation F(x, y, z)= 0 définit dans l'espace Oxyz une certaine surface, c'est-à-dire lieu des points dont les coordonnées x, y, z satisfaire cette équation. Cette équation est appelée équation de surface, et x, y, z– les coordonnées actuelles.
Cependant, souvent, la surface n'est pas spécifiée par une équation, mais par un ensemble de points dans l'espace qui ont l'une ou l'autre propriété. Dans ce cas, il faut trouver l’équation de la surface en fonction de ses propriétés géométriques.
AVION.
VECTEUR D'AVION NORMAL.
EQUATION D'UN AVION PASSANT PAR UN POINT DONNÉ
Considérons un plan arbitraire σ dans l'espace. Sa position est déterminée en spécifiant un vecteur perpendiculaire à ce plan et un point fixe M0(x0, oui 0, z 0), situé dans le plan σ.
Le vecteur perpendiculaire au plan σ est appelé normale vecteur de ce plan. Laissez le vecteur avoir des coordonnées .
Dérivons l'équation du plan σ passant par ce point M0 et ayant un vecteur normal. Pour ce faire, prenons un point arbitraire sur le plan σ M(x, y, z) et considérons le vecteur .
Pour n'importe quel point MО σ est un vecteur Leur produit scalaire est donc égal à zéro. Cette égalité est la condition pour que le point MОσ. Elle est valable pour tous les points de ce plan et est violée dès que le point M sera en dehors du plan σ.
Si on note les points par le rayon vecteur M, – rayon vecteur du point M0, alors l'équation peut s'écrire sous la forme
Cette équation s'appelle vecteuréquation plane. Écrivons-le sous forme de coordonnées. Depuis lors
Nous avons donc obtenu l'équation du plan passant par ce point. Ainsi, pour créer une équation d'un plan, vous devez connaître les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées d'un point situé sur le plan.
A noter que l'équation du plan est une équation du 1er degré par rapport aux coordonnées actuelles x, y Et z.
Exemples.
ÉQUATION GÉNÉRALE DU PLAN
On peut montrer que toute équation du premier degré par rapport aux coordonnées cartésiennes x, y, z représente l'équation d'un plan. Cette équation s’écrit :
Hache+Par+Cz+D=0
et s'appelle équation générale plan et les coordonnées A, B, C voici les coordonnées du vecteur normal du plan.
Considérons des cas particuliers de l'équation générale. Voyons comment se situe le plan par rapport au système de coordonnées si un ou plusieurs coefficients de l'équation deviennent nuls.
A est la longueur du segment coupé par le plan sur l'axe Bœuf. De même, on peut montrer que b Et c– longueurs de segments coupés par le plan considéré sur les axes Oy Et Oz.
Il est pratique d’utiliser l’équation d’un plan en segments pour construire des plans.
Avant de donner la notion de produit vectoriel, abordons la question de l'orientation d'un triplet ordonné de vecteurs a →, b →, c → dans l'espace tridimensionnel.
Pour commencer, mettons de côté les vecteurs a → , b → , c → à partir d’un point. L'orientation du triplet a → , b → , c → peut être droite ou gauche, selon la direction du vecteur c → lui-même. Le type de triple a → , b → , c → sera déterminé à partir de la direction dans laquelle le tour le plus court est effectué du vecteur a → à b → à partir de la fin du vecteur c → .
Si le tour le plus court est effectué dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors le triplet de vecteurs a → , b → , c → est appelé droite, si dans le sens des aiguilles d'une montre – gauche.
Ensuite, prenons deux vecteurs non colinéaires a → et b →. Traçons ensuite les vecteurs A B → = a → et A C → = b → à partir du point A. Construisons un vecteur A D → = c →, qui est simultanément perpendiculaire à A B → et A C →. Ainsi, lors de la construction du vecteur lui-même A D → = c →, nous pouvons le faire de deux manières, en lui donnant soit une direction, soit l'inverse (voir illustration).
Un triplet ordonné de vecteurs a → , b → , c → peut être, comme nous l'avons découvert, à droite ou à gauche selon la direction du vecteur.
À partir de ce qui précède, nous pouvons introduire la définition d’un produit vectoriel. Cette définition est donnée pour deux vecteurs définis dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel.
Définition 1
Le produit vectoriel de deux vecteurs a → et b → nous appellerons un tel vecteur défini dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel tel que :
- si les vecteurs a → et b → sont colinéaires, il sera nul ;
- il sera perpendiculaire à la fois au vecteur a → et au vecteur b → c'est-à-dire ∠ une → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- sa longueur est déterminée par la formule : c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- le triplet de vecteurs a → , b → , c → a la même orientation que le système de coordonnées donné.
Le produit vectoriel des vecteurs a → et b → a la notation suivante : a → × b → .
Coordonnées du produit vectoriel
Puisque tout vecteur a certaines coordonnées dans le système de coordonnées, nous pouvons introduire une deuxième définition d'un produit vectoriel, qui nous permettra de trouver ses coordonnées en utilisant les coordonnées données des vecteurs.
Définition 2
Dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel produit vectoriel de deux vecteurs a → = (a x ; a y ; a z) et b → = (b x ; b y ; b z) s'appelle un vecteur c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , où i → , j → , k → sont des vecteurs de coordonnées.
Le produit vectoriel peut être représenté comme le déterminant d'une matrice carrée du troisième ordre, où la première ligne contient les vecteurs vectoriels i → , j → , k → , la deuxième ligne contient les coordonnées du vecteur a → , et la troisième ligne contient les coordonnées du vecteur b → dans un système de coordonnées rectangulaires donné, c'est le déterminant de la matrice qui ressemble à ceci : c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
En développant ce déterminant dans les éléments de la première ligne, on obtient l'égalité : c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x by · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Propriétés d'un produit vectoriel
On sait que le produit vectoriel en coordonnées est représenté comme le déterminant de la matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , puis sur la base propriétés du déterminant matriciel les éléments suivants sont affichés propriétés d'un produit vectoriel :
- anticommutativité a → × b → = - b → × a → ;
- distributivité a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ou a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- associativité λ a → × b → = λ a → × b → ou a → × (λ b →) = λ a → × b →, où λ est un nombre réel arbitraire.
Ces propriétés ont des preuves simples.
A titre d'exemple, nous pouvons prouver la propriété anticommutative d'un produit vectoriel.
Preuve d'anticommutativité
Par définition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z et b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Et si deux lignes de la matrice sont inversées, alors la valeur du déterminant de la matrice devrait changer à l'opposé, donc a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , ce qui prouve que le produit vectoriel est anticommutatif.
Produit vectoriel - exemples et solutions
Dans la plupart des cas, il existe trois types de problèmes.
Dans les problèmes du premier type, les longueurs de deux vecteurs et l'angle entre eux sont généralement donnés, et vous devez trouver la longueur du produit vectoriel. Dans ce cas, utilisez la formule suivante c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Exemple 1
Trouvez la longueur du produit vectoriel des vecteurs a → et b → si vous connaissez a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.
Solution
En déterminant la longueur du produit vectoriel des vecteurs a → et b →, nous résolvons ce problème : a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Répondre: 15 2 2 .
Les problèmes du deuxième type ont un lien avec les coordonnées des vecteurs, dans lesquels le produit vectoriel, sa longueur, etc. sont recherchés à travers les coordonnées connues de vecteurs donnés une → = (une x ; une y ; une z) Et b → = (b x ; b y ; b z) .
Pour ce type de problème, vous pouvez résoudre de nombreuses options de tâches. Par exemple, ce ne sont pas les coordonnées des vecteurs a → et b → qui peuvent être spécifiées, mais leurs développements en vecteurs de coordonnées de la forme b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → et c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ou les vecteurs a → et b → peuvent être spécifiés par les coordonnées de leur début et les points finaux.
Considérez les exemples suivants.
Exemple 2
Dans un système de coordonnées rectangulaires, deux vecteurs sont donnés : a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1). Trouvez leur produit vectoriel.
Solution
Par la deuxième définition, nous trouvons le produit vectoriel de deux vecteurs dans des coordonnées données : a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 je → - 2 j → - 2 k → .
Si nous écrivons le produit vectoriel via le déterminant de la matrice, alors la solution de cet exemple ressemble à ceci : a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 je → - 2 j → - 2 k → .
Répondre: une → × b → = - 2 je → - 2 j → - 2 k → .
Exemple 3
Trouvez la longueur du produit vectoriel des vecteurs i → - j → et i → + j → + k →, où i →, j →, k → sont les vecteurs unitaires du système de coordonnées cartésiennes rectangulaires.
Solution
Tout d'abord, trouvons les coordonnées d'un produit vectoriel donné i → - j → × i → + j → + k → dans un système de coordonnées rectangulaires donné.
On sait que les vecteurs i → - j → et i → + j → + k → ont respectivement les coordonnées (1 ; - 1 ; 0) et (1 ; 1 ; 1). Trouvons la longueur du produit vectoriel en utilisant le déterminant de la matrice, alors nous avons i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Par conséquent, le produit vectoriel i → - j → × i → + j → + k → a des coordonnées (- 1 ; - 1 ; 2) dans le système de coordonnées donné.
Nous trouvons la longueur du produit vectoriel à l'aide de la formule (voir la section sur la recherche de la longueur d'un vecteur) : i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
Répondre: je → - j → × je → + j → + k → = 6 . .
Exemple 4
Dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires, les coordonnées de trois points A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) sont données. Trouvez un vecteur perpendiculaire à A B → et A C → en même temps.
Solution
Les vecteurs A B → et A C → ont respectivement les coordonnées suivantes (- 1 ; 2 ; 2) et (0 ; 4 ; 1). Après avoir trouvé le produit vectoriel des vecteurs A B → et A C →, il est évident qu'il s'agit d'un vecteur perpendiculaire par définition à la fois à A B → et à A C →, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une solution à notre problème. Trouvons-le A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Répondre: - 6 je → + j → - 4 k → . - un des vecteurs perpendiculaires.
Les problèmes du troisième type se concentrent sur l'utilisation des propriétés du produit vectoriel des vecteurs. Après avoir appliqué cela, nous obtiendrons une solution au problème posé.
Exemple 5
Les vecteurs a → et b → sont perpendiculaires et leurs longueurs sont respectivement 3 et 4. Trouver la longueur du produit vectoriel 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · une → × - 2 · b → + - b → × une → + - b → × - 2 · b → .
Solution
Par la propriété distributive d'un produit vectoriel, on peut écrire 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 une → × une → + 3 une → × - 2 b → + - b → × une → + - b → × - 2 b →
Par la propriété d'associativité, on retire les coefficients numériques du signe des produits vectoriels dans la dernière expression : 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Les produits vectoriels a → × a → et b → × b → sont égaux à 0, puisque a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 et b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, alors 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
De l'anticommutativité du produit vectoriel il résulte - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
En utilisant les propriétés du produit vectoriel, nous obtenons l'égalité 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Par condition, les vecteurs a → et b → sont perpendiculaires, c'est-à-dire que l'angle entre eux est égal à π 2. Il ne reste plus qu'à substituer les valeurs trouvées dans les formules appropriées : 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Répondre: 3 une → - b → × une → - 2 b → = 60.
La longueur du produit vectoriel des vecteurs par définition est égale à a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Puisqu'on sait déjà (dès le cours scolaire) que l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit des longueurs de ses deux côtés multiplié par le sinus de l'angle entre ces côtés. Par conséquent, la longueur du produit vectoriel est égale à l'aire du parallélogramme - un triangle doublé, à savoir le produit des côtés sous forme de vecteurs a → et b →, posé à partir d'un point, par le sinus de l'angle entre eux sin ∠ a →, b →.
C'est la signification géométrique d'un produit vectoriel.
Signification physique du produit vectoriel
En mécanique, une des branches de la physique, grâce au produit vectoriel, on peut déterminer le moment d'une force par rapport à un point de l'espace.
Définition 3
Par le moment de force F → appliqué au point B, par rapport au point A, on comprendra le produit vectoriel suivant A B → × F →.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs (lien immédiat pour ceux qui en ont besoin). Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la jungle de la géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section des mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, il y aura encore moins de tâches typiques. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)
Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans les travaux pratiques.
Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions : le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !
Cette opération, tout comme le produit scalaire, implique deux vecteurs. Que ce soient des lettres impérissables.
L'action elle-même désigné par de la manière suivante : . Il existe d'autres options, mais j'ai l'habitude de désigner le produit vectoriel des vecteurs de cette façon, entre crochets avec une croix.
Et tout de suite question: si dans produit scalaire de vecteurs deux vecteurs sont impliqués, et ici deux vecteurs sont également multipliés, alors Quelle est la différence? La différence évidente réside tout d’abord dans le RÉSULTAT :
Le résultat du produit scalaire des vecteurs est NOMBRE :
Le résultat du produit croisé des vecteurs est VECTEUR: , c'est-à-dire que nous multiplions les vecteurs et obtenons à nouveau un vecteur. Club fermé. En fait, c’est de là que vient le nom de l’opération. Dans différentes littératures pédagogiques, les désignations peuvent également varier ; j'utiliserai la lettre.
Définition du produit vectoriel
Il y aura d'abord une définition avec une image, puis des commentaires.
Définition: Produit vectoriel non colinéaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé VECTEUR, longueur ce qui est numériquement égal à l'aire du parallélogramme, construit sur ces vecteurs ; vecteur orthogonal aux vecteurs, et est orienté de manière à ce que la base ait une bonne orientation : 
Décomposons la définition morceau par morceau, il y a beaucoup de choses intéressantes ici !
Ainsi, les points significatifs suivants peuvent être soulignés :
1) Les vecteurs originaux, indiqués par des flèches rouges, par définition pas colinéaire. Il conviendra de considérer le cas des vecteurs colinéaires un peu plus loin.
2) Les vecteurs sont pris dans un ordre strictement défini: – "a" est multiplié par "être", pas « être » avec « a ». Le résultat de la multiplication vectorielle est VECTOR, qui est indiqué en bleu. Si les vecteurs sont multipliés dans l'ordre inverse, on obtient un vecteur de longueur égale et de direction opposée (couleur framboise). Autrement dit, l'égalité est vraie 
.
3) Faisons maintenant connaissance avec la signification géométrique du produit vectoriel. C'est un point très important! La LONGUEUR du vecteur bleu (et donc du vecteur cramoisi) est numériquement égale à la ZONE du parallélogramme construit sur les vecteurs. Sur la figure, ce parallélogramme est ombré de noir.
Note : le dessin est schématique et, bien entendu, la longueur nominale du produit vectoriel n'est pas égale à l'aire du parallélogramme.
Rappelons une des formules géométriques : L'aire d'un parallélogramme est égale au produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare. Par conséquent, sur la base de ce qui précède, la formule de calcul de la LONGUEUR d'un produit vectoriel est valable :
J'insiste sur le fait que la formule concerne la LONGUEUR du vecteur, et non le vecteur lui-même. Quelle est la signification pratique ? Et le sens est que dans les problèmes de géométrie analytique, l'aire d'un parallélogramme se retrouve souvent à travers la notion de produit vectoriel :
Obtenons la deuxième formule importante. La diagonale d'un parallélogramme (ligne pointillée rouge) le divise en deux triangles égaux. Par conséquent, l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs (ombrage rouge) peut être trouvée à l'aide de la formule :
4) Un fait tout aussi important est que le vecteur est orthogonal aux vecteurs, c'est-à-dire 
. Bien entendu, le vecteur de direction opposée (flèche framboise) est également orthogonal aux vecteurs d’origine.
5) Le vecteur est dirigé de telle sorte que base Il a droite orientation. Dans la leçon sur transition vers une nouvelle base J'ai parlé avec suffisamment de détails de orientation du plan, et maintenant nous allons découvrir ce qu'est l'orientation spatiale. Je vais t'expliquer sur tes doigts main droite. Combiner mentalement index avec vecteur et majeur avec vecteur. Annulaire et petit doigt appuyez-le dans votre paume. Par conséquent pouce– le produit vectoriel recherchera. Il s'agit d'une base orientée vers la droite (c'est celle-ci sur la figure). Changez maintenant les vecteurs ( index et majeur) à certains endroits, le pouce se retournera et le produit vectoriel baissera déjà les yeux. C’est aussi une base orientée vers la droite. Vous vous posez peut-être une question : sur quelle base l'orientation a-t-elle quitté ? « Attribuer » aux mêmes doigts main gauche vecteurs, et obtenez la base gauche et l'orientation gauche de l'espace (dans ce cas, le pouce sera situé en direction du vecteur inférieur). Au sens figuré, ces bases « tordent » ou orientent l’espace dans des directions différentes. Et ce concept ne doit pas être considéré comme quelque chose de farfelu ou d'abstrait - par exemple, l'orientation de l'espace est modifiée par le miroir le plus ordinaire, et si vous « retirez l'objet réfléchi du miroir », alors dans le cas général, il il ne sera pas possible de le combiner avec « l’original ». Au fait, placez trois doigts devant le miroir et analysez le reflet ;-)
... comme c'est bien que tu saches maintenant orienté à droite et à gauche bases, car les déclarations de certains conférenciers sur un changement d'orientation font peur =)
Produit vectoriel de vecteurs colinéaires
La définition a été discutée en détail, reste à savoir ce qui se passe lorsque les vecteurs sont colinéaires. Si les vecteurs sont colinéaires, alors ils peuvent être placés sur une ligne droite et notre parallélogramme se « plie » également en une seule ligne droite. Le domaine de tel, comme disent les mathématiciens, dégénérer le parallélogramme est égal à zéro. La même chose découle de la formule - le sinus de zéro ou 180 degrés est égal à zéro, ce qui signifie que l'aire est nulle
Ainsi, si , alors 
Et 
. Veuillez noter que le produit vectoriel lui-même est égal au vecteur zéro, mais dans la pratique, cela est souvent négligé et il est écrit qu'il est également égal à zéro.
Un cas particulier est le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même :
À l'aide du produit vectoriel, vous pouvez vérifier la colinéarité des vecteurs tridimensionnels, et nous analyserons également ce problème, entre autres.
Pour résoudre des exemples pratiques dont vous pourriez avoir besoin table trigonométrique pour en trouver les valeurs des sinus.
Eh bien, allumons le feu :
Exemple 1
a) Trouver la longueur du produit vectoriel des vecteurs si 
b) Trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs si 
Solution: Non, ce n'est pas une faute de frappe, j'ai délibérément fait les mêmes données initiales dans les clauses. Parce que la conception des solutions sera différente !
a) Selon la condition, il faut trouver longueur vecteur (produit vectoriel). D'après la formule correspondante :
Répondre:
Si on vous a posé des questions sur la longueur, dans la réponse, nous indiquons la dimension - les unités.
b) Selon la condition, vous devez trouver carré parallélogramme construit sur des vecteurs. L'aire de ce parallélogramme est numériquement égale à la longueur du produit vectoriel :
Répondre:
Veuillez noter que la réponse ne parle pas du tout du produit vectoriel dont nous avons été interrogés ; zone de la figure, par conséquent, la dimension est en unités carrées.
Nous regardons toujours CE que nous devons trouver en fonction de la condition et, sur cette base, nous formulons clair répondre. Cela peut sembler littéral, mais il y a beaucoup de littéralistes parmi les enseignants, et le devoir a de bonnes chances d'être renvoyé pour révision. Bien qu'il ne s'agisse pas là d'une argutie particulièrement farfelue, si la réponse est incorrecte, on a alors l'impression que la personne ne comprend pas les choses simples et/ou n'a pas compris l'essence de la tâche. Ce point doit toujours être gardé sous contrôle lors de la résolution de problèmes en mathématiques supérieures, ainsi que dans d’autres matières.
Où est passée la grande lettre « en » ? En principe, il aurait pu être ajouté à la solution, mais afin de raccourcir l'entrée, je ne l'ai pas fait. J'espère que tout le monde comprend cela et que c'est une désignation pour la même chose.
Un exemple populaire de solution DIY :
Exemple 2
Trouver l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si 
La formule pour trouver l'aire d'un triangle via le produit vectoriel est donnée dans les commentaires de la définition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.
En pratique, la tâche est vraiment très courante ; les triangles peuvent généralement vous tourmenter.
Pour résoudre d'autres problèmes, nous aurons besoin de :
Propriétés du produit vectoriel des vecteurs
Nous avons déjà examiné certaines propriétés du produit vectoriel, mais je les inclurai dans cette liste.
Pour des vecteurs arbitraires et un nombre arbitraire, les propriétés suivantes sont vraies :
1) Dans d'autres sources d'information, cet élément n'est généralement pas mis en évidence dans les propriétés, mais il est très important en termes pratiques. Qu'il en soit ainsi.
2) 
– la propriété est également évoquée ci-dessus, parfois elle est appelée anticommutativité. En d’autres termes, l’ordre des vecteurs compte.
3) – associatif ou associatif lois sur les produits vectoriels. Les constantes peuvent être facilement déplacées en dehors du produit vectoriel. Vraiment, que devraient-ils faire là-bas ?
4) – distribution ou distributif lois sur les produits vectoriels. Il n'y a aucun problème non plus pour ouvrir les supports.
Pour le démontrer, regardons un court exemple :
Exemple 3
Trouver si 
Solution: La condition nécessite à nouveau de trouver la longueur du produit vectoriel. Peignons notre miniature : 
(1) Selon les lois associatives, nous prenons les constantes en dehors du champ du produit vectoriel.
(2) Nous déplaçons la constante à l'extérieur du module, et le module « mange » le signe moins. La longueur ne peut pas être négative.
(3) Le reste est clair.
Répondre: 
Il est temps d'ajouter du bois au feu :
Exemple 4
Calculer l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si 
Solution: Trouvez l'aire du triangle à l'aide de la formule 
. Le hic, c'est que les vecteurs « tse » et « de » sont eux-mêmes présentés comme des sommes de vecteurs. L'algorithme ici est standard et rappelle quelque peu les exemples n°3 et 4 de la leçon Produit scalaire des vecteurs. Pour plus de clarté, nous diviserons la solution en trois étapes :
1) Dans un premier temps, on exprime le produit vectoriel à travers le produit vectoriel, en fait, exprimons un vecteur en termes de vecteur. Pas encore de mot sur les longueurs !
(1) Remplacez les expressions des vecteurs.
(2) A l'aide des lois distributives, on ouvre les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes.
(3) En utilisant des lois associatives, nous déplaçons toutes les constantes au-delà des produits vectoriels. Avec un peu d'expérience, les étapes 2 et 3 peuvent être réalisées simultanément.
(4) Les premier et dernier termes sont égaux à zéro (vecteur zéro) en raison de la propriété nice. Dans le deuxième terme on utilise la propriété d'anticommutativité d'un produit vectoriel :
(5) Nous présentons des termes similaires.
En conséquence, le vecteur s'est avéré être exprimé à travers un vecteur, ce qui devait être réalisé : 
2) Dans la deuxième étape, nous trouvons la longueur du produit vectoriel dont nous avons besoin. Cette action est similaire à l'exemple 3 : 
3) Trouvez l'aire du triangle recherché : 
Les étapes 2 et 3 de la solution auraient pu être écrites sur une seule ligne.
Répondre:
Le problème considéré est assez courant dans les tests, voici un exemple pour le résoudre vous-même :
Exemple 5
Trouver si
Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon. Voyons à quel point vous avez été attentif en étudiant les exemples précédents ;-)
Produit croisé de vecteurs en coordonnées
, spécifié dans une base orthonormée, exprimé par la formule:
La formule est vraiment simple : dans la ligne supérieure du déterminant on écrit les vecteurs de coordonnées, dans les deuxième et troisième lignes on « met » les coordonnées des vecteurs, et on met dans un ordre strict– d'abord les coordonnées du vecteur « ve », puis les coordonnées du vecteur « double-ve ». Si les vecteurs doivent être multipliés dans un ordre différent, alors les lignes doivent être interverties : 
Exemple 10
Vérifiez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
UN)
b) 
Solution: La vérification est basée sur l'une des affirmations de cette leçon : si les vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est égal à zéro (vecteur zéro) : 
.
a) Trouvez le produit vectoriel : 
Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
b) Trouvez le produit vectoriel : 
Répondre: a) non colinéaire, b)
Voici peut-être toutes les informations de base sur le produit vectoriel des vecteurs.
Cette section ne sera pas très grande, car il y a peu de problèmes lorsque le produit mixte de vecteurs est utilisé. En fait, tout dépendra de la définition, de la signification géométrique et de quelques formules de travail.
Un produit mixte de vecteurs est le produit de trois vecteurs:
Ils se sont donc alignés comme un train et ont hâte d’être identifiés.
Tout d’abord, encore une définition et une image :
Définition: Travail mixte non coplanaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé volume parallélépipédique, construit sur ces vecteurs, équipé d'un signe « + » si la base est droite, et d'un signe « – » si la base est gauche.
Faisons le dessin. Les lignes invisibles pour nous sont tracées en pointillés : 
Passons à la définition :
2) Les vecteurs sont pris dans un certain ordre, c'est-à-dire que le réarrangement des vecteurs dans le produit, comme vous pouvez le deviner, ne se produit pas sans conséquences.
3) Avant de commenter la signification géométrique, je noterai une évidence : le produit mixte des vecteurs est un NOMBRE: . Dans la littérature pédagogique, la conception peut être légèrement différente ; j'ai l'habitude de désigner un produit mixte par , et le résultat des calculs par la lettre « pe ».
Prieuré A le produit mélangé est le volume du parallélépipède, construit sur des vecteurs (la figure est dessinée avec des vecteurs rouges et des lignes noires). C'est-à-dire que le nombre est égal au volume d'un parallélépipède donné.
Note : Le dessin est schématique.
4) Ne nous inquiétons plus de la notion d’orientation de la base et de l’espace. La signification de la dernière partie est qu'un signe moins peut être ajouté au volume. En termes simples, un produit mixte peut être négatif : .
Directement de la définition découle la formule de calcul du volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs.
7.1. Définition du produit croisé
Trois vecteurs non coplanaires a, b et c, pris dans l'ordre indiqué, forment un triplet droitier si, à partir de la fin du troisième vecteur c, le tour le plus court du premier vecteur a au deuxième vecteur b apparaît être dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et un triplet gaucher dans le sens des aiguilles d'une montre (voir Fig. . 16).
Le produit vectoriel du vecteur a et du vecteur b est appelé vecteur c, qui :
1. Perpendiculaire aux vecteurs a et b, c'est-à-dire c ^ a et c ^ b ;
2. A une longueur numériquement égale à l'aire d'un parallélogramme construit sur les vecteurs a etb comme sur les côtés (voir Fig. 17), c'est-à-dire
3. Les vecteurs a, b et c forment un triplet droitier.
Le produit vectoriel est noté a x b ou [a,b]. Les relations suivantes entre les vecteurs unitaires découlent directement de la définition du produit vectoriel, j Et k(voir fig. 18) :
je x j = k, j x k = je, k x je = j.
Montrons par exemple que je xj =k.
1) k ^ je, k ^ j ;
2) |k |=1, mais | je x j| = |je | |J | péché(90°)=1;
3) vecteurs i, j et k former un triple droit (voir Fig. 16).
7.2. Propriétés d'un produit vectoriel
1. Lors de la réorganisation des facteurs, le produit vectoriel change de signe, c'est-à-dire et xb =(b xa) (voir Fig. 19).
Les vecteurs a xb et b xa sont colinéaires, ont les mêmes modules (l'aire du parallélogramme reste inchangée), mais sont de direction opposée (triples a, b, a xb et a, b, b x a d'orientation opposée). C'est axb = -(bxa).
2. Le produit vectoriel a une propriété de combinaison par rapport au facteur scalaire, c'est-à-dire l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
Soit l >0. Le vecteur l (a xb) est perpendiculaire aux vecteurs a et b. Vecteur ( je hache b est également perpendiculaire aux vecteurs a et b(vecteurs a, je mais se situent dans le même plan). Cela signifie que les vecteurs je(une xb) et ( je hache b colinéaire. Il est évident que leurs directions coïncident. Ils ont la même longueur :
C'est pourquoi je(une xb)= je un xb. On prouve de la même manière pour je<0.
3. Deux vecteurs non nuls a et b sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est égal au vecteur zéro, c'est-à-dire a ||b<=>et xb =0.
En particulier, i *i =j *j =k *k =0 .
4. Le produit vectoriel a la propriété de distribution :
(a+b) xc = une xc + b xs.
Nous accepterons sans justificatif.
7.3. Exprimer le produit vectoriel en termes de coordonnées
Nous utiliserons la table de produits vectoriels des vecteurs i, j et k :
si la direction du chemin le plus court du premier vecteur au deuxième coïncide avec la direction de la flèche, alors le produit est égal au troisième vecteur, s'il ne coïncide pas, le troisième vecteur est pris avec un signe moins ;
Soit deux vecteurs a =a x i +a y j+a z k et b =bx je+par j+bz k. Trouvons le produit vectoriel de ces vecteurs en les multipliant sous forme de polynômes (selon les propriétés du produit vectoriel) :
La formule résultante peut s’écrire encore plus brièvement :
puisque le côté droit de l'égalité (7.1) correspond au développement du déterminant du troisième ordre en termes d'éléments de la première ligne, l'égalité (7.2) est facile à retenir.
7.4. Quelques applications du produit croisé
Établir la colinéarité des vecteurs
Trouver l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle
D'après la définition du produit vectoriel des vecteurs UN et B |a xb | =|une | * |b |sin g, c'est-à-dire S paires = |a x b |. Et donc D S =1/2|a x b |.
Détermination du moment de force autour d'un point
Soit une force appliquée au point A F =AB laisse tomber À PROPOS- un point dans l'espace (voir Fig. 20).
On sait en physique que moment de force F par rapport au point À PROPOS appelé vecteur M, qui passe par le point À PROPOS Et:
1) perpendiculaire au plan passant par les points O, A, B ;
2) numériquement égal au produit de la force par bras
3) forme un triplet droit avec les vecteurs OA et A B.
Par conséquent, M = OA x F.
Trouver la vitesse de rotation linéaire
Vitesse v point M d'un corps rigide tournant avec une vitesse angulaire w autour d’un axe fixe, est déterminé par la formule d’Euler v = w xr, où r = OM, où O est un point fixe de l’axe (voir Fig. 21).
