La mécanique quantique suggère une preuve possible de l'hypothèse de Riemann

Un mathématicien russe a trouvé une preuve de l'hypothèse de Riemann le 3 janvier 2017

Bernhard Riemann

Rappelez-vous, je vous en ai parlé. Ainsi, parmi elles se trouvait l’hypothèse de Riemann.

En 1859, le mathématicien allemand Bernhard Riemann reprit l'idée de longue date d'Euler et la développa d'une manière complètement nouvelle, en définissant ce qu'on appelle la fonction zêta. L'un des résultats de ce travail a été la formule exacte de la quantité nombres premiers jusqu'à une limite donnée. La formule représentait une somme infinie, mais les spécialistes de l’analyse n’y étaient pas étrangers. Et ce n’était pas un jeu d’esprit inutile : grâce à cette formule, il a été possible d’acquérir de nouvelles et véritables connaissances sur le monde des nombres premiers. Il n’y avait qu’un petit problème qui gênait. Même si Riemann pouvait prouver que sa formule était exacte, ses conséquences potentielles les plus importantes dépendaient entièrement d'une simple affirmation concernant la fonction zêta, et c'était cette simple affirmation que Riemann ne pouvait pas prouver. Un siècle et demi plus tard, nous n’y sommes toujours pas parvenus.

Aujourd’hui, cette affirmation s’appelle l’hypothèse de Riemann et constitue en fait le Saint Graal des mathématiques pures, qui semble avoir été « trouvée ». mathématicien russe .

Cela pourrait signifier que la science mathématique mondiale est sur le point de devenir un événement à l’échelle internationale.

Prouver ou réfuter l’hypothèse de Riemann aura des conséquences considérables sur la théorie des nombres, notamment dans le domaine de la distribution des nombres premiers. Et cela peut affecter l'amélioration technologies de l'information.

L'hypothèse de Riemann est l'un des sept « problèmes du millénaire » pour lesquels le Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) offrira chacun une récompense d'un million de dollars.

Ainsi, prouver l’hypothèse peut enrichir un mathématicien russe.

Selon les lois non écrites du monde international monde scientifique, le succès d'Igor Turkanov ne sera pleinement reconnu que dans quelques années. Cependant, ses travaux ont déjà été présentés à la Conférence internationale de physique et de mathématiques sous les auspices de l'Institut de mathématiques appliquées. Keldysh RAS en septembre 2016.

Notons également que si la preuve de l'hypothèse de Riemann trouvée par Igor Turkanov est reconnue comme correcte, alors la solution de deux des sept « problèmes du millénaire » sera attribuée aux mathématiciens russes. L'un de ces problèmes est la « conjecture de Poincaré » de 2002. Dans le même temps, il a refusé sa récompense d'un million de dollars du Clay Institute.

En 2015, le professeur de mathématiques Opeyemi Enoch du Nigeria a annoncé qu'il était capable de résoudre l'hypothèse de Riemann, mais le Clay Mathematics Institute considérait jusqu'à présent l'hypothèse de Riemann comme non prouvée. Selon les représentants de l'institut, pour que la réalisation soit enregistrée, elle doit être publiée dans une revue internationale réputée, suivie d'une confirmation des preuves par la communauté scientifique.

sources

L'hypothèse de Riemann est l'un des sept « problèmes du millénaire ». Pour sa preuve, le Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) paiera un prix d'un million de dollars. Les solutions publiées dans une revue mathématique bien connue sont acceptées pour examen, et au plus tôt 2 ans après la publication (pour examen approfondi par la communauté mathématique) (http://www.claymath.org/millennium/).
J'avais mes propres considérations et approches, comme toujours, très différentes de celles connues. Je voulais écrire artistiquement sur l’hypothèse de Riemann. Au cours de mes recherches et de ma collecte de matériel, j'ai découvert un livre magnifiquement écrit de John Derbyshire : John DERBYSHIRE « A Simple Obsession Bernhard Riemann and the Greatest. problème non résolu en mathématiques" (John Derbyshire. Prime Obsession: Bernhard Riemann et le Le plus grand problème non résolu en mathématiques). Maison d'édition "Astrel", 2010
Après avoir lu ce livre, il me suffisait de donner ce lien.
« En août 1859, Bernhard Riemann devient membre correspondant de l'Académie des sciences de Berlin ; ce fut un grand honneur pour le mathématicien de trente-deux ans. Conformément à la tradition, Riemann présenta à cette occasion à l'Académie un ouvrage sur le thème de recherche dans lequel il s'occupait à cette époque. Il s’intitulait « Du nombre de nombres premiers n’excédant pas une valeur donnée ». Dans ce document, Riemann étudiait une question simple dans le domaine de l'arithmétique ordinaire. Pour comprendre cette question, voyons d'abord combien de nombres premiers n'excèdent pas 20. Il y en a huit : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19. Et combien y a-t-il de nombres premiers n'excédant pas 20. un millier? Million? Milliard? Existe-t-il une loi générale ou une formule générale qui nous éviterait un recalcul direct ?
Riemann a abordé ce problème en utilisant l'appareil mathématique le plus avancé de son époque - des outils qui, encore aujourd'hui, ne sont étudiés que dans les cours universitaires avancés ; de plus, pour ses besoins, il a inventé un objet mathématique qui allie à la fois puissance et grâce. A la fin du premier tiers de son article, il exprime quelques conjectures concernant cet objet, puis note :
"J'aimerais bien sûr avoir une preuve stricte de ce fait, mais après plusieurs courtes tentatives infructueuses, j'ai reporté la recherche d'une telle preuve, car elle n'est pas requise pour les objectifs immédiats de mes recherches."
Cette idée fortuite est restée largement inaperçue pendant des décennies. Mais ensuite, pour les raisons que j’ai entrepris de décrire dans ce livre, elle a peu à peu captivé l’imagination des mathématiciens jusqu’à atteindre le statut d’obsession, d’obsession irrésistible.
L’hypothèse de Riemann, comme on a fini par appeler cette conjecture, est restée une obsession tout au long du XXe siècle et le reste encore aujourd’hui, ayant jusqu’à présent vaincu toutes les tentatives visant à la prouver ou à la réfuter. Cette obsession pour l’hypothèse de Riemann est devenue plus forte que jamais. dernières années d'autres grands problèmes ont été résolus avec succès, pendant longtemps restant ouverts : le théorème des quatre couleurs (formulé en 1852, résolu en 1976), le dernier théorème de Fermat (formulé, apparemment, en 1637, prouvé en 1994), ainsi que bien d'autres moins connus en dehors du monde des mathématiciens professionnels. L'hypothèse de Riemann a captivé l'attention des mathématiciens tout au long du XXe siècle. C’est ce qu’a déclaré David Hilbert, l’un des mathématiciens les plus éminents de son époque, s’adressant au deuxième congrès international des mathématiciens : « Dans la théorie de la distribution des nombres premiers dans Dernièrement Hadamard, de la Vallée Poussin, von Mangoldt et d'autres ont apporté des changements importants. Mais pour résoudre complètement le problème posé dans l’étude de Riemann « Sur le nombre de nombres premiers n’excédant pas une valeur donnée », il faut avant tout prouver la validité de l’affirmation extrêmement importante de Riemann<...>».
Ensuite, Hilbert donne la formulation de l'hypothèse de Riemann. Voici ce que Philip A. Griffiths, directeur de l'Institute for Advanced Study de Princeton et ancien professeur de mathématiques à l'Université Harvard, a déclaré cent ans plus tard. Dans son article intitulé « Challenges for 21st Century Research » dans le numéro de janvier 2000 du Journal of the American Mathematical Society, il écrit :
« Malgré les réalisations colossales du XXe siècle, des dizaines problèmes en suspens attendent toujours leur décision. La plupart d’entre nous conviendraient probablement que les trois problèmes suivants comptent parmi les plus difficiles et les plus intéressants.
La première d’entre elles est l’hypothèse de Riemann, qui taquine les mathématiciens depuis 150 ans.<...>».
Un phénomène intéressant Aux États-Unis, les dernières années du XXe siècle ont vu l’émergence d’instituts privés de recherche mathématique financés par de riches passionnés de mathématiques. Le Clay Mathematical Institute (fondé en 1998 par le financier de Boston Landon T. Clay) et l'American Mathematical Institute (fondé en 1994 par l'entrepreneur californien John Fry) ont concentré leurs recherches sur l'hypothèse de Riemann. Le Clay Institute a fixé un prix d’un million de dollars pour le prouver ou le réfuter. L'American Mathematical Institute a abordé la conjecture lors de trois conférences à grande échelle (en 1996, 1998 et 2000), réunissant des chercheurs du monde entier. Reste à savoir si ces nouvelles approches et initiatives contribueront à vaincre l’hypothèse de Riemann.
Contrairement au théorème des quatre couleurs ou au dernier théorème de Fermat, l'hypothèse de Riemann n'est pas facile à formuler de manière à la rendre compréhensible pour un non-mathématicien, car elle est au cœur même d'une théorie mathématique difficile à comprendre. Voici à quoi cela ressemble :
Hypothèse de Riemann.
Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta
avoir une part réelle égale à la moitié.
Lorsque l'on entre en contact avec les travaux entourant l'hypothèse de Riemann, une idée mystique naît non seulement sur l'évolution des idées et de la pensée, non seulement sur les lois du développement des mathématiques, non seulement sur la structure du plan même du déroulement des mathématiques. l'univers, mais aussi sur la connaissance primordiale, la vérité absolue, le logos comme programme de l'Un.
Les abstractions mathématiques gouvernent le monde, contrôlent le comportement des particules élémentaires, les hautes énergies, les opérateurs mathématiques créent et détruisent tout. Après plusieurs siècles de domination de la matière, de culte de la matière, le pouvoir de l'esprit du monde a commencé à se manifester à nouveau sous la forme d'abstractions mathématiques ; le pythagorisme et le platonisme sont devenus les lignes directrices méthodologiques de la science moderne.
Depuis mon enfance, j'ai trouvé des erreurs dans les travaux de grands mathématiciens. Non pas par envie ou par méchanceté, mais simplement en me demandant si je pourrais surpasser Pythagore, Diophante, Euclide, Fermat, Mersenne, Descartes, Gauss, Euler, Legendre, Riemann, Dirichlet, Dedekind, Klein, Poincaré. Et curieusement, c'était supérieur. Formulation de nouveaux problèmes, démonstration de nouveaux théorèmes. Mais il s'est avéré que monde mathématique malgré les exigences d'exactitude et de preuve, d'une manière ou d'une autre de manière bureaucratique. Il s’avère que votre témoignage n’est tout simplement pas cru. Contrairement à la logique et à l’objectivité. Et ils croient aux contes de fées de la presse, de la radio et de la télévision. Parallèlement, les fonds médias de masse Ils déforment tellement la situation réelle que vous êtes surpris d’apprendre à quel point vos phrases ont été modifiées. J’ai donc commencé à éviter les entretiens.
Je voudrais noter qu'il existe de nombreuses erreurs autour de l'hypothèse et de la fonction zêta de Riemann, ainsi que dans les tentatives de prouver ou de réfuter l'hypothèse. Riemann n'attachait pas beaucoup d'importance à la recherche des zéros de la fonction zêta. Mais le chœur des partisans « éminents » a considérablement gonflé la portée de cette hypothèse. Je montre même par des calculs élémentaires que l'hypothèse est fausse, qu'il existe d'autres solutions. Premièrement, la fonction zêta n’a pas la symétrie revendiquée – une fonction complètement différente a la symétrie des solutions. Deuxièmement, si vous n'êtes pas paresseux et savez comment calculer les racines d'équations pour des fonctions à variables complexes, vous remarquerez que la situation est en réalité quelque peu différente. Vous voulez être sûr ? Lisez attentivement les formules de la figure ci-jointe. En détails exemples complets et les calculs peuvent être trouvés dans la note "Les formules de réfutation de l'hypothèse de Riemann". Vous pouvez ajouter vos propres généralisations (en particulier la fonction elle-même) et les calculs correspondants "Et le cercueil vient d'ouvrir !"
Je te souhaite du succès!

5 décembre 2014 à 18h54

Les défis du millénaire. Juste quelque chose de compliqué

• Des énigmes divertissantes,
• Mathématiques

Bonjour les Habrapeople !

Aujourd’hui, je voudrais aborder un sujet tel que les « défis du millénaire », qui suscitent des préoccupations depuis des décennies, voire des centaines d’années. les meilleurs esprits de notre planète.

Après la démonstration de la conjecture de Poincaré (maintenant théorème) par Grigori Perelman, la principale question qui intéressait beaucoup était : « Qu'a-t-il réellement prouvé, veuillez expliquer ?« Je profite de cette occasion pour essayer d’expliquer le reste des tâches du millénaire en termes simples, ou du moins de l’aborder sous un autre angle, plus proche de la réalité.

Égalité des classes P et NP

Nous nous souvenons tous des équations quadratiques de l’école, qui sont résolues par le discriminant. La solution à ce problème concerne classe P. (P. heure olympique)- pour cela, il existe un algorithme de solution rapide (ci-après le mot « rapide » signifie s'exécutant en temps polynomial), qui est appris par cœur.

Il y a aussi NP-Tâches ( N sur-déterministe P. heure olympique), dont la solution trouvée peut être rapidement vérifiée à l'aide d'un algorithme spécifique. Par exemple, une vérification informatique par force brute. Si nous revenons à la solution équation quadratique, nous verrons alors que dans cet exemple l'algorithme de solution existant est vérifié aussi facilement et rapidement qu'il est résolu. De là, la conclusion logique s’impose : cette tâche fait référence à la fois à une classe et à la seconde.

Il existe de nombreux problèmes de ce type, mais la question principale est de savoir si tous les problèmes qui peuvent être facilement et rapidement vérifiés peuvent également être résolus facilement et rapidement ? Actuellement, pour certains problèmes, aucun algorithme de solution rapide n’a été trouvé, et on ne sait pas si une telle solution existe.

Sur Internet je suis également tombé sur cette formulation intéressante et transparente :

Disons que toi, étant dans grande entreprise, vous voulez vous assurer que votre ami est là aussi. S'ils vous disent qu'il est assis dans un coin, alors une fraction de seconde vous suffira pour y jeter un coup d'œil et être convaincu de la véracité de l'information. Sans ces informations, vous serez obligé de parcourir toute la pièce en regardant les invités.

Dans ce cas, la question est toujours la même : existe-t-il un algorithme d'action qui permettra, même sans information sur l'endroit où se trouve une personne, de la retrouver aussi rapidement que si elle savait où elle se trouve ?

Ce problème Il a grande importance pour la plupart divers domaines connaissances, mais ils n'ont pas pu le résoudre depuis plus de 40 ans.

Conjecture de Hodge

En réalité, il existe de nombreux objets géométriques simples et beaucoup plus complexes. Évidemment, plus un objet est complexe, plus son étude demande beaucoup de travail. Aujourd'hui, les scientifiques ont mis au point et appliquent largement une approche dont l'idée principale est d'utiliser des "briques" avec des propriétés déjà connues qui se collent et forment son image, oui, un jeu de construction familier à tous depuis l'enfance. Connaissant les propriétés des « éléments de construction », il devient possible d’approcher les propriétés de l’objet lui-même.

L'hypothèse de Hodge dans ce cas est associée à certaines propriétés à la fois des « briques » et des objets.

Hypothèse de Riemann

Depuis l'école, nous connaissons tous des nombres premiers qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et par un. (2,3,5,7,11...) . Depuis l'Antiquité, les gens essaient de trouver un modèle dans leur placement, mais jusqu'à présent, la chance n'a souri à personne. En conséquence, les scientifiques ont appliqué leurs efforts à la fonction de distribution des nombres premiers, qui montre le nombre de nombres premiers inférieur ou égal à un certain nombre. Par exemple, pour 4 il y a 2 nombres premiers, pour 10 il y a déjà 4 nombres. Hypothèse de Riemannétablit simplement les propriétés d'une fonction de distribution donnée.

De nombreuses affirmations sur la complexité informatique de certains algorithmes entiers ont été prouvées en supposant que cette hypothèse est vraie.

Théorie de Yang-Mills

Équations la physique quantique décrire le monde des particules élémentaires. Les physiciens Young et Mills, ayant découvert le lien entre la géométrie et la physique des particules, ont écrit leurs équations combinant les théories électromagnétiques, faibles et interactions fortes. À une certaine époque, la théorie de Yang-Mills n’était considérée que comme un délice mathématique sans rapport avec la réalité. Cependant, plus tard, la théorie a commencé à recevoir une confirmation expérimentale, mais dans vue générale cela reste toujours en suspens.

Basé sur la théorie de Yang-Mills, le modèle standard de la physique des particules élémentaires a été construit, dans le cadre duquel le sensationnel boson de Higgs a été prédit et découvert il n'y a pas si longtemps.

Existence et finesse des solutions aux équations de Navier-Stokes

Écoulement des fluides, courants d'air, turbulences. Ces phénomènes et bien d’autres sont décrits par des équations connues sous le nom de Équations de Navier-Stokes. Pour certains cas particuliers, des solutions ont déjà été trouvées dans lesquelles, en règle générale, certaines parties des équations sont rejetées car n'affectant pas le résultat final, mais en général, les solutions de ces équations sont inconnues et on ne sait même pas comment résoudre eux.

Conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer

Pour l'équation x 2 + y 2 = z 2, Euclide a donné un jour Description complète solutions, mais pour plus équations complexes la recherche de solutions devient extrêmement difficile ; il suffit de rappeler l’historique de la preuve du célèbre théorème de Fermat pour s’en convaincre.

Cette hypothèse est associée à la description d'équations algébriques de degré 3 - ce qu'on appelle courbes elliptiques et en fait c'est le seul relativement simple d'une manière générale calcul du rang, une des propriétés les plus importantes des courbes elliptiques.

En preuve Théorèmes de Fermat les courbes elliptiques ont pris une des places les plus importantes. Et en cryptographie, ils forment toute une section de leur nom, et certains Normes russes signature numérique.

Conjecture de Poincaré

Je pense que si ce n’est pas tout le monde, la plupart en ont certainement entendu parler. On retrouve le plus souvent, y compris dans les médias centraux, un décodage tel que « un élastique tendu sur une sphère peut être tiré en douceur jusqu'à un point, mais un élastique tendu sur un beignet ne le peut pas" En fait, cette formulation est valable pour la conjecture de Thurston, qui généralise la conjecture de Poincaré, et que Perelman a effectivement prouvée.

Cas particulier L'hypothèse de Poincaré nous dit que toute variété tridimensionnelle sans arête (l'univers, par exemple) est comme une sphère tridimensionnelle. Et le cas général traduit cette affirmation aux objets de n’importe quelle dimension. Il convient de noter qu'un bagel, tout comme l'univers est comme une sphère, est comme une tasse à café ordinaire.

Conclusion

De nos jours, les mathématiques sont associées à des scientifiques qui ont une apparence étrange et qui parlent de choses tout aussi étranges. Beaucoup de gens parlent de son isolement monde réel. Beaucoup de gens, jeunes et plus conscients, disent que les mathématiques sont une science inutile, qu'après l'école/l'institut, elles ne servaient à rien dans la vie.

Mais en réalité, ce n’est pas le cas : les mathématiques ont été créées comme un mécanisme grâce auquel nous pouvons décrire notre monde, et en particulier de nombreuses choses observables. Elle est partout, dans chaque maison. Comme le disait V.O. Klioutchevski : « Ce n’est pas la faute des fleurs si l’aveugle ne les voit pas. »

Notre monde est loin d’être aussi simple qu’il y paraît, et les mathématiques, en conséquence, deviennent également plus complexes et s’améliorent, fournissant une base toujours plus solide pour une compréhension plus profonde de la réalité existante.

Réponse de l'éditeur

Professeur aux universités d'Oxford, de Cambridge et d'Edimbourg, et lauréat de près d'une douzaine de récompenses prestigieuses en mathématiques, Michael Francis Atiyah a présenté une preuve de l'hypothèse de Riemann, l'un des sept « problèmes du millénaire » qui décrit comment les nombres premiers sont disposés sur la droite numérique.

La preuve d'Atiyah est courte, avec l'introduction et la bibliographie, elle occupe cinq pages. Le scientifique affirme avoir trouvé une solution à cette hypothèse en analysant les problèmes associés à la constante de structure fine et avoir utilisé la fonction Todd comme outil. Si la communauté scientifique considère que la preuve est correcte, le Britannique recevra pour cela 1 million de dollars du Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts.

D'autres scientifiques sont également en lice pour le prix. En 2015, il a annoncé la solution à l'hypothèse de Riemann Professeur de mathématiques Opeyemi Enoch du Nigeria, et a présenté en 2016 sa preuve de l'hypothèse Mathématicien russe Igor Turkanov. Selon les représentants de l'Institut de mathématiques, pour que la réussite soit enregistrée, elle doit être publiée dans une revue internationale réputée, suivie d'une confirmation de la preuve par la communauté scientifique.

Quelle est l’essence de l’hypothèse ?

L'hypothèse a été formulée dès 1859 par l'allemand le mathématicien Bernhard Riemann. Il a défini une formule, appelée fonction zêta, pour le nombre de nombres premiers jusqu'à une limite donnée. Le scientifique a découvert qu'il n'existe aucun modèle décrivant la fréquence à laquelle les nombres premiers apparaissent dans une série de nombres, et il a découvert que le nombre de nombres premiers ne dépassant pas X, s’exprime à travers la distribution des « zéros non triviaux » de la fonction zêta.

Riemann était confiant dans l'exactitude de la formule dérivée, mais il ne pouvait pas établir de quelle simple affirmation dépendait entièrement cette distribution. En conséquence, il a émis l’hypothèse que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont une partie réelle égale à ½ et se situent sur la droite verticale Re=0,5 du plan complexe.

Prouver ou réfuter l'hypothèse de Riemann est très important pour la théorie de la distribution des nombres premiers, dit étudiant diplômé de la Faculté de Mathématiques Lycéeéconomie Alexandre Kalmynine. "L'hypothèse de Riemann est une affirmation qui équivaut à une formule pour le nombre de nombres premiers n'excédant pas numéro donné X. L'hypothèse, par exemple, permet de calculer rapidement et précisément le nombre de nombres premiers ne dépassant pas, par exemple, 10 milliards. Ce n'est pas la seule valeur de l'hypothèse, car elle a aussi. ligne entière des généralisations assez poussées qui sont connues sous le nom d'hypothèse de Riemann généralisée, d'hypothèse de Riemann étendue et de grande hypothèse de Riemann. Elles sont encore plus importantes pour différentes branches des mathématiques, mais avant tout, l'importance de l'hypothèse est déterminée par la théorie des nombres premiers », explique Kalmynin.

Selon l'expert, à l'aide d'une hypothèse, on peut résoudre un certain nombre de problèmes. problèmes classiques théorie des nombres : problème de Gauss sur les champs quadratiques (le dixième problème discriminant), problème d'Euler sur les nombres pratiques, conjecture de Vinogradov sur les non-résidus quadratiques, etc. En mathématiques modernes, cette hypothèse est utilisée pour prouver des affirmations sur les nombres premiers. « Nous supposons immédiatement qu’une hypothèse forte comme celle de Riemann est vraie et voyons ce qui se passe. Lorsque nous réussissons, nous nous posons la question : pouvons-nous le prouver sans présupposer une hypothèse ? Et même si une telle déclaration dépasse encore ce que nous pouvons réaliser, elle fonctionne comme un phare. Grâce à l'existence d'une telle hypothèse, nous pouvons voir où nous devrions aller », explique Kalmynin.

Prouver cette hypothèse peut également influencer l’amélioration des technologies de l’information, puisque les processus de chiffrement et d’encodage dépendent aujourd’hui de l’efficacité de différents algorithmes. "Si l'on prend deux simples grands nombres quarante chiffres chacun et multipliez, nous obtenons alors un grand nombre à quatre-vingts chiffres. Si vous vous fixez pour tâche de factoriser ce nombre, ce sera alors un problème de calcul très complexe, sur la base duquel sont basées de nombreuses questions. sécurité des informations. Ils impliquent tous la création de différents algorithmes qui traitent des complexités de ce type », explique Kalmynin.

Le 8 août 1900, lors du 2e Congrès international des mathématiciens à Paris, l'un des plus grands mathématiciens de notre temps, David Hilbert, a formulé vingt-trois problèmes qui ont largement prédéterminé le développement des mathématiques au XXe siècle. En 2000, les experts du Clay Mathematics Institute ont décidé que ce serait un péché d'entrer dans le nouveau millénaire sans planifier nouveau programme développement, d'autant plus qu'il ne restait que deux des vingt-trois problèmes de Hilbert [Deux autres sont considérés comme trop vagues ou non mathématiques, un autre a été partiellement résolu, et sur un autre - la fameuse hypothèse du continuum - un consensus n'a pas encore été atteint ()] .

Le résultat fut liste célèbre de sept tâches, pour solution complète chacun d'entre eux se voit promettre un million de dollars provenant d'un fonds spécialement créé. Pour recevoir l'argent, vous devez publier la décision et attendre deux ans ; si personne ne le réfute dans les deux ans (rassurez-vous, ils essaieront), vous recevrez un million de morceaux de papier vert tant convoités.
J'essaierai de décrire l'essence de l'une de ces tâches, et j'essaierai également (au mieux de mes modestes capacités) d'en expliquer la complexité et l'importance. Je recommande fortement d'aller sur le site officiel du concours www.claymath.org/millennium ; Les descriptions des problèmes qui y sont publiées sont complètes et intéressantes, et elles sont devenues la principale source lors de la rédaction de l'article.

Hypothèse de Riemann

Un jour, l'un de mes directeurs scientifiques, l'éminent algébriste de Saint-Pétersbourg Nikolaï Alexandrovitch Vavilov, a commencé son cours spécial avec la formule

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = –1/12.

Non, la leçon n'était pas consacrée à l'hypothèse de Riemann, et je n'en ai pas entendu parler par Nikolaï Alexandrovitch. Mais c’est néanmoins la formule qui a le rapport le plus direct avec l’hypothèse. Et ce qui est surprenant, c’est que cette égalité apparemment absurde est en réalité vraie. Plus précisément, ce n’est pas exactement cela, mais le diable des détails sera aussi bientôt satisfait.

En 1859, Bernhard Riemann publia un article (ou, comme on l'appelait, un mémoire), destiné à être très longue vie. Il y décrit complètement nouvelle méthode estimation asymptotique de la distribution des nombres premiers. La méthode était basée sur une fonction dont le lien avec les nombres premiers a été découvert par Leonhard Euler, mais qui a néanmoins reçu le nom du mathématicien qui l'a étendue à l'ensemble du plan complexe : la fonction dite zêta de Riemann. Il se définit très simplement :

ς (s) = 1/1 s + 1/2 s + 1/3 s + 1/3 s + … .

Tout étudiant ayant suivi un cours d'analyse mathématique dira immédiatement que cette série converge pour tout réel s > 1. De plus, elle converge également pour les nombres complexes dont la partie réelle est supérieure à un. De plus, la fonction ς(s) est analytique dans ce demi-plan.

Considérer la formule des s négatifs semble être une mauvaise plaisanterie : à quoi ça sert d’additionner, par exemple, tous les entiers positifs ou, surtout, leurs carrés ou cubes ? Cependant Analyse complète- une science têtue, et les propriétés de la fonction zêta sont telles qu'elle peut être étendue à l'ensemble du plan. C'était l'une des idées de Riemann exposées dans ses mémoires de 1859. La fonction résultante n'a qu'un seul point singulier (pôle) : s = 1, et, par exemple, aux points réels négatifs, la fonction est complètement définie. C’est la valeur de la fonction zêta étendue analytiquement au point –1 qui est exprimée par la formule avec laquelle j’ai commencé cette section.

(Surtout pour les patriotes et les gens qui ne sont pas indifférents à l’histoire des sciences, je noterai entre parenthèses que bien que les mémoires de Bernard Riemann aient beaucoup contribué à la théorie des nombres des idées fraîches, ce n'était pas la première étude dans laquelle la distribution des nombres premiers était étudiée par des méthodes analytiques. Cela a été fait pour la première fois par notre compatriote Pafnuty Lvovich Chebyshev, qui, le 24 mai 1848, a lu un rapport à l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, dans lequel il a exposé les estimations asymptotiques désormais classiques du nombre de nombres premiers.)

Mais revenons à Riemann. Il a pu montrer que la distribution des nombres premiers - et cela problème central théorie des nombres - dépend de l'endroit où la fonction zêta disparaît. Il comporte des zéros dits triviaux - même en nombres négatifs (–2, –4, –6, …). Le défi est de décrire tous les autres zéros de la fonction zêta.

Les mathématiciens les plus talentueux de la planète n’ont pas réussi à résoudre ce problème depuis cent cinquante ans maintenant.

Certes, peu de gens doutent de l’exactitude de l’hypothèse de Riemann. Premièrement, les expériences numériques sont plus que convaincantes ; le dernier d'entre eux est décrit dans un article de Xavier Gourdon dont le titre parle de lui-même : « Les 10 13 premiers zéros de la fonction zêta de Riemann et le calcul des zéros sur très haute altitude"(la deuxième partie du nom signifie qu'une méthode a été proposée pour calculer non seulement les premiers zéros, mais aussi certains, mais pas tous, plus éloignés, jusqu'à des zéros avec un nombre d'environ 10 24). Ces travaux couronnent jusqu'à présent plus d'un siècle de tentatives visant à tester l'hypothèse de Riemann pour un certain nombre de zéros non significatifs. Bien entendu, aucun contre-exemple à l’hypothèse de Riemann n’a été trouvé. De plus, il a été strictement établi que plus de 40 % des zéros de la fonction zêta satisfont à l'hypothèse.

Le deuxième argument n’est pas sans rappeler l’une des preuves de l’existence de Dieu, réfutée par Emmanuel Kant. Si Riemann a effectivement commis une erreur, alors de nombreuses mathématiques belles et plausibles fondées sur l'hypothèse que l'hypothèse de Riemann est correcte deviendront incorrectes. Oui, cet argument n’a aucun poids scientifique, mais quand même… les mathématiques sont une science où la beauté joue un rôle clé. Une preuve belle mais incorrecte s’avère souvent plus utile qu’une preuve correcte mais laide. Ainsi, par exemple, de tentatives infructueuses prouvant que le dernier théorème de Fermat est devenu plus d'un domaine de l'algèbre moderne. Et encore une remarque esthétique : un théorème similaire à l'hypothèse de Riemann a été prouvé en géométrie algébrique. Le théorème de Deligne qui en résulte est à juste titre considéré comme l’un des résultats mathématiques les plus complexes, les plus beaux et les plus importants du 20e siècle.
Ainsi, l’hypothèse de Riemann semble vraie – mais non prouvée. Qui sait, peut-être que ce magazine est maintenant lu par une personne destinée à entrer dans l'histoire des mathématiques en prouvant l'hypothèse de Riemann. Dans tous les cas, comme pour toutes les autres grandes tâches, un avertissement : n’essayez pas ces astuces à la maison. En d’autres termes, n’essayez pas de résoudre de gros problèmes sans comprendre la théorie qui les entoure. Épargnez-vous et ceux qui vous entourent les nerfs.

En dessert, une information un peu plus intéressante sur la fonction zêta. Il s'avère qu'elle a Applications pratiques, et même signification physique. Par ailleurs, l’hypothèse de Riemann (plus précisément sa généralisation, considérée comme aussi complexe qu’elle-même) a des conséquences pratiques directes. Par exemple, l’une des tâches informatiques importantes consiste à vérifier la primalité des nombres (étant donné un nombre, vous devez dire s’il est premier ou non). Théoriquement le plus rapide ce moment l'algorithme pour résoudre ce problème - le test de Miller-Rabin - s'exécute en un temps O(log 4 n), où n est un nombre donné (en conséquence, log n est la longueur de l'entrée de l'algorithme). Cependant, la preuve que cela fonctionne si vite repose sur l’hypothèse de Riemann.

Cependant, le test de primalité n'est pas un problème très difficile du point de vue de la théorie de la complexité (en 2002, un algorithme indépendant de l'hypothèse de Riemann a été développé, plus lent que le test de Miller-Rabin, mais aussi polynomial). L'expansion des nombres en facteurs premiers est beaucoup plus intéressante (et il existe des applications cryptographiques directes - la force du schéma RSA dépend de la capacité du nombre à être rapidement factorisé en facteurs premiers), et ici l'hypothèse de Riemann est également une condition nécessaire pour prouver les estimations du temps d'exécution de certains algorithmes rapides.

Passons à la physique. En 1948, le scientifique néerlandais Hendrik Casimir prédit l'effet qui porte aujourd'hui son nom. [L'effet Casimir est longtemps resté une idée théorique élégante ; cependant, en 1997, Steve K. Lamoreaux, Umar Mohideen et Anushri Roy ont pu mener des expériences confirmant la théorie précédente]. Il s'avère que si vous en apportez deux non chargés des plaques métalliques sur une distance de plusieurs diamètres atomiques, ils seront attirés les uns vers les autres en raison des fluctuations du vide situé entre eux - naissant constamment des paires de particules et d'antiparticules. Cet effet rappelle un peu l'attrait des navires naviguant trop près les uns des autres dans l'océan (cela rappelle encore plus la théorie de Stephen Hawking selon laquelle les trous noirs émettent toujours de l'énergie - cependant, il est difficile de dire qui ressemble à qui). Les calculs du modèle physique de ce processus montrent que la force avec laquelle les plaques sont attirées doit être proportionnelle à la somme des fréquences. vagues stationnaires, surgissant entre les plaques. Vous l'aurez deviné, ce montant se résume à la somme 1+2+3+4+…. Et d’ailleurs, la valeur correcte de cette somme pour calculer l’effet Casimir est exactement –1/12.

Mais ce n'est pas tout. Certains chercheurs pensent que la fonction zêta joue rôle important… en musique! Peut-être [j'écris « peut-être » parce que la seule source que j'ai pu trouver était la correspondance lors de la conférence Usenet sci.math. Si vous (lecteurs) pouvez trouver des sources plus faisant autorité, je serais très intéressé d'en entendre parler], les maxima de la fonction zêta correspondent à des valeurs de fréquence qui peuvent servir de bonne base pour construire une gamme musicale (comme les notres portée). Eh bien, Hermann Hesse, dans son « Jeu des perles de verre », n'a pas déclaré pour rien que le jeu était une combinaison de mathématiques et de musique : il y a vraiment beaucoup de points communs entre eux...