Discriminant. Solution, exemples. Équations du second degré. Le guide complet (2019)

Dans la société moderne, la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable carrée peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve des preuves dans la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. À l'aide de tels calculs, les trajectoires de mouvement d'une grande variété de corps, y compris des objets spatiaux, sont déterminées. Les exemples de résolution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, lors d'événements sportifs, dans les magasins pour faire des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque le côté gauche de l'expression est constitué de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l’expression semble comporter deux termes sur le côté droit, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de mettre la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes dans des cas plus complexes. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1; 3.

Racine carrée

Un autre cas d'équation incomplète du second ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le membre de droite est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré vers la droite, puis la racine carrée est extraite des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, l’équation a généralement deux racines. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit est négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, puisque les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était largement déterminé par la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du terrain si vous savez que sa superficie est de 612 m2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, nous ferons les transformations nécessaires, puis l'apparition de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu l'expression sous une forme correspondant à la norme spécifiée précédemment, où a=1, b=16, c= -612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici, les calculs nécessaires sont effectués selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de trouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine le nombre d'options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18. +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l’égalité, effectuons une transformation, c’est-à-dire que nous obtiendrons le type d’équation que l’on appelle habituellement standard et l’assimilerons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre genre.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est pratique de résoudre des équations quadratiques en utilisant les formules ci-dessus et le discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom de celui qui vécut au XVIe siècle en France et fit une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence des nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Travaillons avec équations du second degré. Ce sont des équations très populaires ! Dans sa forme la plus générale, une équation quadratique ressemble à ceci :

Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Comment résoudre des équations quadratiques ? Si vous avez devant vous une équation quadratique sous cette forme, alors tout est simple. Rappelez-vous le mot magique discriminant . Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! Son utilisation est simple et sans problème. Ainsi, la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe de la racine est celle discriminant. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c C'est la formule que nous calculons. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, pour la première équation UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est tout.

Quels cas sont possibles en utilisant cette formule ? Il n'y a que trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Alors vous avez une solution. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais cela joue un rôle dans les inégalités, où nous étudierons la question plus en détail.

3. Le discriminant est négatif. La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être prise. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Tout est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici une = -6 ; b = -5 ; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire et le nombre d'erreurs. diminuera fortement. On écrit donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essaie. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d’inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont nous nous souvenions. Ou alors ils ont appris, ce qui est aussi une bonne chose. Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Vous comprenez que le mot clé ici est attentivement ?

Cependant, les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Ce équations quadratiques incomplètes . Ils peuvent également être résolus par un discriminant. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune discrimination. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il de cela ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x = 0, ou x = 4

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser un discriminant.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x = +3 et x = -3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous. Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D’abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernière chose l'équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur. Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Il y aura de moins en moins d'erreurs.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par un dénominateur commun comme décrit dans la section précédente. Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Il est la.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On a:

C'est tout! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques :

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l’aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Équations fractionnaires. ODZ.

Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. La dernière vue restante - équations fractionnaires. Ou ils sont aussi appelés beaucoup plus respectablement - équations rationnelles fractionnaires. C'est le même.

Équations fractionnaires.

Comme leur nom l’indique, ces équations contiennent nécessairement des fractions. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur. Au moins dans un. Par exemple:

Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs sont seulement Nombres, ce sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d’abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation se transforme le plus souvent en linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5=5 ou une expression incorrecte, comme 7=2. Mais cela arrive rarement. Je le mentionnerai ci-dessous.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer les mêmes transformations identiques.

Nous devons multiplier l’équation entière par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra immédiatement plus facile. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Il faut résoudre l'équation :

Comment avez-vous été enseigné à l’école primaire ? On met tout de côté, on le ramène à un dénominateur commun, etc. Oubliez ça comme un mauvais rêve ! C'est ce que vous devez faire lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions. Ou alors vous travaillez avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en substance, par un dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?

Du côté gauche, réduire le dénominateur nécessite de multiplier par x+2. Et à droite, il faut multiplier par 2. Cela signifie que l'équation doit être multipliée par. 2(x+2). Multiplier:

Il s'agit d'une multiplication courante de fractions, mais je vais la décrire en détail :

Veuillez noter que je n'ouvre pas encore le support (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :

Sur le côté gauche il se contracte entièrement (x+2), et à droite 2. C'est ce qu'il fallait ! Après réduction on obtient linéaire l'équation:

Et tout le monde peut résoudre cette équation ! x = 2.

Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :

Si l'on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x/ 1, on peut écrire :

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment : les fractions.

On voit que pour réduire le dénominateur par X, il faut multiplier la fraction par (x-2). Et quelques-uns ne nous gênent pas. Eh bien, multiplions. Tous côté gauche et tous côté droit:

Encore des parenthèses (x-2) Je ne le révèle pas. Je travaille avec le support dans son ensemble comme s'il s'agissait d'un seul numéro ! Cela doit toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.

Avec un sentiment de profonde satisfaction, nous réduisons (x-2) et on obtient une équation sans aucune fraction, avec une règle !

Ouvrons maintenant les parenthèses :

Nous en apportons des similaires, déplaçons tout vers la gauche et obtenons :

Équation quadratique classique. Mais le moins à venir n’est pas bon. Vous pouvez toujours vous en débarrasser en multipliant ou en divisant par -1. Mais si vous regardez bien l’exemple, vous remarquerez qu’il est préférable de diviser cette équation par -2 ! D'un seul coup, le moins disparaîtra et les cotes deviendront plus attractives ! Divisez par -2. Sur le côté gauche - terme par terme, et à droite - divisez simplement zéro par -2, zéro et nous obtenons :

Nous résolvons par le discriminant et vérifions en utilisant le théorème de Vieta. On a x = 1 et x = 3. Deux racines.

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, l'équation après la transformation est devenue linéaire, mais ici elle devient quadratique. Il arrive qu'après s'être débarrassé des fractions, tous les X soient réduits. Il reste quelque chose, comme 5=5. Cela signifie que x peut être n'importe quoi. Quoi qu’il en soit, il sera quand même réduit. Et cela s’avère être la pure vérité, 5=5. Mais après s’être débarrassé des fractions, cela peut s’avérer complètement faux, comme 2=7. Et cela signifie que aucune solution! Tout X s’avère faux.

Réalisé la solution principale équations fractionnaires? C'est simple et logique. On change l’expression originale pour que tout ce qu’on n’aime pas disparaisse. Ou alors ça interfère. Dans ce cas, ce sont des fractions. Nous ferons de même avec toutes sortes d'exemples complexes avec des logarithmes, des sinus et autres horreurs. Nous Toujours Débarrassons-nous de tout cela.

Cependant, nous devons modifier l'expression originale dans le sens souhaité. selon les règles, oui... Dont la maîtrise est la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques. Nous le maîtrisons donc.

Nous allons maintenant apprendre à contourner l'un des principales embuscades à l'examen d'État unifié! Mais d’abord, voyons si vous tombez dans le piège ou non ?

Regardons un exemple simple :

L'affaire est déjà familière, on multiplie les deux côtés par (x-2), on a:

Je te le rappelle, entre parenthèses (x-2) Nous travaillons comme avec une seule expression intégrale !

Ici je n'en ai plus écrit un dans les dénominateurs, c'est indigne... Et je n'ai pas mis de parenthèses dans les dénominateurs, sauf pour x-2 il n’y a rien, il n’est pas nécessaire de dessiner. Raccourcissons :

Ouvrez les parenthèses, déplacez le tout vers la gauche et donnez-en des similaires :

On résout, vérifie, on obtient deux racines. x = 2 Et x = 3. Super.

Supposons que le devoir demande d'écrire la racine, ou leur somme s'il y en a plusieurs. Qu'allons-nous écrire ?

Si vous décidez que la réponse est 5, vous ont été pris en embuscade. Et la tâche ne vous sera pas créditée. Ils ont travaillé en vain... La bonne réponse est 3.

Quel est le problème?! Et vous essayez de faire une vérification. Remplacez les valeurs de l'inconnu par original exemple. Et si à x = 3 tout va grandir à merveille, on obtient 9 = 9, puis quand x = 2 Ce sera une division par zéro ! Ce que vous ne pouvez absolument pas faire. Moyens x = 2 n'est pas une solution et n'est pas pris en compte dans la réponse. C'est ce qu'on appelle la racine étrangère ou supplémentaire. Nous le rejetons simplement. La racine finale est une. x = 3.

Comment ça?! – J'entends des exclamations indignées. On nous a appris qu'une équation peut être multipliée par une expression ! C'est une transformation identique !

Oui, identique. Sous une petite condition - l'expression par laquelle on multiplie (divise) - différent de zéro. UN x-2à x = 2 est égal à zéro ! Donc tout est juste.

Et maintenant, que puis-je faire ?! Ne pas multiplier par expression ? Dois-je vérifier à chaque fois ? Encore une fois, ce n'est pas clair !

Calmement! Ne pas paniquer!

Dans cette situation difficile, trois lettres magiques nous sauveront. Je sais ce que tu penses. Droite! Ce ODZ . Domaine des valeurs acceptables.

Les équations quadratiques apparaissent souvent lors de la résolution de divers problèmes de physique et de mathématiques. Dans cet article nous verrons comment résoudre ces égalités de manière universelle « par un discriminant ». Des exemples d'utilisation des connaissances acquises sont également donnés dans l'article.

De quelles équations parlerons-nous ?

La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle x est une variable inconnue et les symboles latins a, b, c représentent des nombres connus.

Chacun de ces symboles est appelé coefficient. Comme vous pouvez le voir, le nombre « a » apparaît devant la variable x au carré. Il s’agit de la puissance maximale de l’expression représentée, c’est pourquoi on l’appelle une équation quadratique. Son autre nom est souvent utilisé : équation du second ordre. La valeur a elle-même est un coefficient carré (avec la variable au carré), b est un coefficient linéaire (il est à côté de la variable élevée à la première puissance), et enfin, le nombre c est le terme libre.

Notez que le type d’équation présenté dans la figure ci-dessus est une expression quadratique classique générale. En plus de cela, il existe d'autres équations du second ordre dans lesquelles les coefficients b et c peuvent être nuls.

Lorsque la tâche est de résoudre l'égalité en question, cela signifie qu'il faut trouver de telles valeurs de la variable x qui la satisferaient. Ici, la première chose à retenir est la suivante : puisque le degré maximum de X est 2, alors ce type d’expression ne peut pas avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution d'une équation, 2 valeurs de x étaient trouvées qui la satisfont, alors vous pouvez être sûr qu'il n'y a pas de 3ème nombre, en le substituant à x, l'égalité serait également vraie. Les solutions d’une équation mathématique s’appellent ses racines.

Méthodes de résolution d'équations du second ordre

La résolution d’équations de ce type nécessite la connaissance d’une certaine théorie à leur sujet. Dans le cours d'algèbre scolaire, 4 méthodes de résolution différentes sont envisagées. Listons-les :

• utiliser la factorisation ;
• en utilisant la formule d'un carré parfait ;
• en appliquant le graphique de la fonction quadratique correspondante ;
• en utilisant l'équation discriminante.

L’avantage de la première méthode est sa simplicité mais elle ne peut pas être utilisée pour toutes les équations ; La deuxième méthode est universelle, mais quelque peu lourde. La troisième méthode se distingue par sa clarté, mais elle n'est pas toujours pratique et applicable. Et enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines d'absolument n'importe quelle équation du second ordre. Par conséquent, dans cet article, nous ne le considérerons que.

Formule pour obtenir les racines de l'équation

Passons à la forme générale de l'équation quadratique. Écrivons-le : a*x²+ b*x + c =0. Avant d'utiliser la méthode de résolution « par un discriminant », vous devez toujours mettre l'égalité sous forme écrite. Autrement dit, il doit être composé de trois termes (ou moins si b ou c vaut 0).

Par exemple, s'il existe une expression : x²-9*x+8 = -5*x+7*x², alors vous devez d'abord déplacer tous ses termes d'un côté de l'égalité et ajouter les termes contenant la variable x dans le mêmes pouvoirs.

Dans ce cas, cette opération conduira à l'expression suivante : -6*x²-4*x+8=0, ce qui équivaut à l'équation 6*x²+4*x-8=0 (ici on a multiplié les gauche et côtés droits de l'égalité par -1) .

Dans l'exemple ci-dessus, a = 6, b=4, c=-8. A noter que tous les termes de l'égalité considérée sont toujours additionnés, donc si le signe « - » apparaît, cela signifie que le coefficient correspondant est négatif, comme le nombre c dans ce cas.

Après avoir examiné ce point, passons maintenant à la formule elle-même, qui permet d'obtenir les racines d'une équation quadratique. Cela ressemble à celui montré sur la photo ci-dessous.

Comme le montre cette expression, elle permet d'obtenir deux racines (faites attention au signe « ± »). Pour ce faire, il suffit d'y substituer les coefficients b, c et a.

La notion de discriminant

Dans le paragraphe précédent, une formule a été donnée qui vous permet de résoudre rapidement n'importe quelle équation du second ordre. Dans ce document, l'expression radicale est appelée discriminant, c'est-à-dire D = b²-4*a*c.

Pourquoi cette partie de la formule est-elle mise en évidence, et pourquoi a-t-elle même son propre nom ? Le fait est que le discriminant relie les trois coefficients de l'équation en une seule expression. Ce dernier fait signifie qu'il contient entièrement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées dans la liste suivante :

1. D>0 : L’égalité a 2 solutions différentes, qui sont toutes deux des nombres réels.
2. D=0 : L'équation n'a qu'une seule racine, et c'est un nombre réel.

Tâche de détermination discriminante

Donnons un exemple simple de la façon de trouver un discriminant. Soit l'égalité suivante : 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Ramenons-le sous forme standard, on obtient : (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, d'où on arrive à l'égalité : -2*x² +2*x-11 = 0. Ici a=-2, b=2, c=-11.

Vous pouvez maintenant utiliser la formule ci-dessus pour le discriminant : D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Le nombre obtenu est la réponse à la tâche. Puisque le discriminant dans l’exemple est inférieur à zéro, on peut dire que cette équation quadratique n’a pas de véritables racines. Sa solution ne sera que des nombres de type complexe.

Un exemple d’inégalité à travers un discriminant

Résolvons des problèmes d'un type légèrement différent : étant donné l'égalité -3*x²-6*x+c = 0. Il faut trouver des valeurs de c pour lesquelles D>0.

Dans ce cas, seuls 2 coefficients sur 3 sont connus, il n'est donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'elle est positive. Nous utilisons le dernier fait pour composer l'inégalité : D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. La résolution de l’inégalité résultante conduit au résultat : c>-3.

Vérifions le nombre résultant. Pour ce faire, on calcule D pour 2 cas : c=-2 et c=-4. Le nombre -2 satisfait le résultat obtenu (-2>-3), le discriminant correspondant aura la valeur : D = 12>0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas à l’inégalité (-4. Ainsi, tout nombre c supérieur à -3 satisfera à la condition.

Un exemple de résolution d'une équation

Présentons un problème qui implique non seulement de trouver le discriminant, mais aussi de résoudre l'équation. Il faut trouver les racines de l'égalité -2*x²+7-9*x = 0.

Dans cet exemple, le discriminant est égal à la valeur suivante : D = 81-4*(-2)*7= 137. Ensuite les racines de l'équation sont déterminées comme suit : x = (9±√137)/(- 4). Ce sont les valeurs exactes des racines ; si vous calculez la racine approximativement, alors vous obtenez les nombres : x = -5,176 et x = 0,676.

Problème géométrique

Résolvons un problème qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais également l'utilisation de capacités de pensée abstraite et la connaissance de la façon d'écrire des équations quadratiques.

Bob avait une couette de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait y coudre une bande continue de beau tissu sur tout le périmètre. Quelle sera l'épaisseur de cette bande si l'on sait que Bob a 10 m² de tissu.

Supposons que la bande ait une épaisseur de x m, alors la zone du tissu le long du côté long de la couverture sera (5+2*x)*x, et comme il y a 2 côtés longs, nous avons : 2*x *(5+2*x). Sur le côté court, la surface du tissu cousu sera de 4*x, puisqu'il y a 2 de ces côtés, on obtient la valeur 8*x. Notez que la valeur 2*x a été ajoutée au côté long car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La superficie totale du tissu cousu à la couverture est de 10 m². On obtient donc l’égalité : 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pour cet exemple, le discriminant est égal à : D = 18²-4*4*(-10) = 484. Sa racine est 22. A l'aide de la formule, on trouve les racines recherchées : x = (-18±22)/( 2*4) = (-5 ; 0,5). Évidemment, des deux racines, seul le nombre 0,5 convient selon les conditions du problème.

Ainsi, la bande de tissu que Bob coud à sa couverture fera 50 cm de large.

Parmi l'ensemble du programme d'algèbre scolaire, l'un des sujets les plus étendus est celui des équations quadratiques. Dans ce cas, une équation quadratique s'entend comme une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0 (lire : a multiplié par x au carré plus be x plus ce est égal à zéro, où a n'est pas égal à zéro). Dans ce cas, la place principale est occupée par les formules permettant de trouver le discriminant d'une équation quadratique du type spécifié, qui s'entend comme une expression permettant de déterminer la présence ou l'absence de racines d'une équation quadratique, ainsi que leur numéro (le cas échéant).

Formule (équation) du discriminant d'une équation quadratique

La formule généralement acceptée pour le discriminant d'une équation quadratique est la suivante : D = b 2 – 4ac. En calculant le discriminant à l'aide de la formule spécifiée, vous pouvez non seulement déterminer la présence et le nombre de racines d'une équation quadratique, mais également choisir une méthode pour trouver ces racines, qui sont plusieurs selon le type d'équation quadratique.

Qu'est-ce que cela signifie si le discriminant est nul \ Formule pour les racines d'une équation quadratique si le discriminant est nul

Le discriminant, comme il ressort de la formule, est désigné par la lettre latine D. Dans le cas où le discriminant est égal à zéro, il faut conclure qu'une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0, n'a qu'une seule racine, calculée par une formule simplifiée. Cette formule s'applique uniquement lorsque le discriminant est nul et ressemble à ceci : x = –b/2a, où x est la racine de l'équation quadratique, b et a sont les variables correspondantes de l'équation quadratique. Pour trouver la racine d’une équation quadratique, vous devez diviser la valeur négative de la variable b par deux fois la valeur de la variable a. L'expression résultante sera la solution d'une équation quadratique.

Résoudre une équation quadratique à l'aide d'un discriminant

Si, lors du calcul du discriminant à l'aide de la formule ci-dessus, une valeur positive est obtenue (D est supérieur à zéro), alors l'équation quadratique a deux racines, qui sont calculées à l'aide des formules suivantes : x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Le plus souvent, le discriminant n'est pas calculé séparément, mais l'expression radicale sous la forme d'une formule discriminante est simplement substituée à la valeur D dont est extraite la racine. Si la variable b a une valeur paire, alors pour calculer les racines d'une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0, vous pouvez également utiliser les formules suivantes : x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, où k = b/2.

Dans certains cas, pour résoudre pratiquement des équations quadratiques, vous pouvez utiliser le théorème de Vieta, qui stipule que pour la somme des racines d'une équation quadratique de la forme x 2 + px + q = 0 la valeur x 1 + x 2 = –p sera vrai, et pour le produit des racines de l'équation spécifiée – expression x 1 x x 2 = q.

Le discriminant peut-il être inférieur à zéro ?

Lors du calcul de la valeur discriminante, vous pouvez rencontrer une situation qui ne relève d'aucun des cas décrits - lorsque le discriminant a une valeur négative (c'est-à-dire inférieure à zéro). Dans ce cas, il est généralement admis qu'une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0, n'a pas de racines réelles, sa solution se limitera donc au calcul du discriminant, et les formules ci-dessus car les racines d'une équation quadratique ne s'appliqueront pas dans ce cas, il y en aura. En même temps, dans la réponse à l’équation quadratique, il est écrit que « l’équation n’a pas de racines réelles ».

Vidéo explicative :

Premier niveau

Équations du second degré. Le guide complet (2019)

Dans le terme « équation quadratique », le mot clé est « quadratique ». Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x à la puissance troisième (ou supérieure).

La solution de nombreuses équations revient à résoudre des équations quadratiques.

Apprenons à déterminer qu'il s'agit d'une équation quadratique et non d'une autre équation.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Déplaçons tout vers la gauche et classons les termes par ordre décroissant des puissances de X

Nous pouvons désormais affirmer avec certitude que cette équation est quadratique !

Exemple 2.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Cette équation, bien qu’elle y figurait à l’origine, n’est pas quadratique !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Effrayant? Les quatrième et deuxième degrés... Cependant, si nous effectuons un remplacement, nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Cela semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, c'est réduit - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquelles des équations suivantes sont quadratiques et lesquelles ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

1. carré;
2. carré;
3. pas carré;
4. pas carré;
5. pas carré;
6. carré;
7. pas carré;
8. carré.

Les mathématiciens divisent classiquement toutes les équations quadratiques dans les types suivants :

• Équations quadratiques complètes- des équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que le terme libre c, ne sont pas égaux à zéro (comme dans l'exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation du premier exemple est non seulement complète, mais aussi réduite !)

• Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :

  Ils sont incomplets car il leur manque certains éléments. Mais l'équation doit toujours contenir x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus une équation quadratique, mais une autre équation.

Pourquoi ont-ils proposé une telle division ? Il semblerait qu'il y ait un X au carré, et d'accord. Cette division est déterminée par les méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d’abord, concentrons-nous sur la résolution d’équations quadratiques incomplètes – elles sont beaucoup plus simples !

Il existe des types d'équations quadratiques incomplètes :

1. , dans cette équation le coefficient est égal.
2. , dans cette équation le terme libre est égal à.
3. , dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

1. je. Puisque nous savons prendre la racine carrée, exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler que cela ne peut pas être moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il ne reste plus qu'à extraire la racine des côtés gauche et droit. Après tout, vous vous souvenez comment extraire les racines ?

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Oh! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour de telles équations sans racines, les mathématiciens ont proposé une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s’écrire ainsi :

Répondre:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Ainsi,

Cette équation a deux racines.

Répondre:

Le type le plus simple d’équations quadratiques incomplètes (même si elles sont toutes simples, n’est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Nous renoncerons ici aux exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple ; l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l'équation a une racine. Vous devez accorder une attention particulière à l'étape. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, l’équation est complète.

Solutions à différents types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ? Mais le discriminant peut être négatif. Ce qu'il faut faire? Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

• Si, alors l'équation a des racines :
• Si, alors l'équation a les mêmes racines, et en fait une seule racine :

  Ces racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi différents nombres de racines sont-ils possibles ? Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, . Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis). Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

Répondre: .

Répondre:

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple n°2 :

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit de changer simplement les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module le plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple n°5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu’au moins une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines. Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seul le théorème de Vieta :

Solutions aux tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données. Vous devez donc d’abord donner une équation. Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez-la d’une autre manière (par exemple, par le biais d’un discriminant). Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Super. Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Tâche 4.

Le membre libre est négatif. Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ? Et le fait est que les racines auront des signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Laissez-moi résumer :

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 2 :

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ? C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
• s'il existe un terme libre, l'équation a la forme : ,
• si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Équation quadratique incomplète de la forme où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Mettons l'équation sous forme standard : ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet