EntradaNúmeros coprimos 12. Números coprimos: definición, ejemplos y propiedades
$p$ se llama número primo si solo tiene $2$ divisores: $1$ y él mismo.
El divisor de un número natural $a$ es un número natural que divide al número original $a$ sin dejar resto.
Ejemplo 1
Encuentra los divisores del número $6$.
Solución: Necesitamos encontrar todos los números por los cuales el número dado $6$ es divisible sin resto. Estos serán los números: $1,2,3, 6$. Entonces el divisor del número $6$ serán los números $1,2,3,6.$
Respuesta: $1,2,3,6$.
Esto significa que para encontrar los divisores de un número, necesitas encontrar todos números naturales, en el que se divide lo dado sin resto. Es fácil ver que el número $1$ será divisor de cualquier número natural.
Definición 2
Compuesto Llaman a un número que tiene otros divisores además de uno y él mismo.
Un ejemplo de número primo sería el número $13$, un ejemplo de número compuesto sería $14.$
Nota 1
El número $1$ tiene un solo divisor: el número mismo, por lo que no es ni primo ni compuesto.
números coprimos
Definición 3
Números mutuamente primos son aquellos cuyo mcd es igual a $1$. Esto significa que para saber si los números son primos relativos, es necesario encontrar su mcd y compararlo con $1$.
coprime por pares
Definición 4
Si en un conjunto de números dos son coprimos, entonces dichos números se llaman coprimo por pares. Para dos números, los conceptos "coprimo" y "coprimo por pares" coinciden.
Ejemplo 2
$ 8, $ 15: no es simple, pero sí relativamente simple.
$6, 8, 9$ son números coprimos, pero no números coprimos por pares.
$ 8, 15, 49 $ son primos relativos por pares.
Como vemos, para determinar si los números son primos relativos, primero debemos factorizarlos en factores primos. Prestemos atención a cómo hacer esto correctamente.
factorización prima
Por ejemplo, factoricemos el número $180$ en factores primos:
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$
Usemos la propiedad de las potencias, entonces obtenemos,
$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
Esta notación de descomposición en factores primos se llama canónica, es decir Para factorizar un número en forma canónica, es necesario utilizar la propiedad de potencias y representar el número como producto de potencias con por diferentes razones
Expansión canónica de un número natural en forma general.
Expansión canónica de un número natural en vista general tiene la forma:
$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$
donde $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ son números primos y los exponentes son números naturales.
Representar un número como una descomposición canónica en conjuntos primos facilita encontrar el máximo común divisor de números y actúa como consecuencia de la prueba o definición de números coprimos.
Ejemplo 3
Encuentra el máximo común divisor de los números $180$ y $240$.
Solución: descompongamos los números en conjuntos simples usando descomposición canónica
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, entonces $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, entonces $240=2^4\cdot 3\cdot 5$
Ahora encontremos el mcd de estos números, para esto elegimos potencias con la misma base y con el menor exponente, luego
$MCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$
vamos a componer algoritmo para encontrar MCD teniendo en cuenta la factorización canónica en factores primos.
Para encontrar el máximo común divisor de dos números usando la expansión canónica, necesitas:
- factorizar números en factores primos en forma canónica
- elegir potencias con la misma base y con el exponente más pequeño de las potencias incluidas en la expansión de estos números
- Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
Ejemplo 4
Determina si los números $195$ y $336$ son números primos y coprimos.
$195=3\cdot 5\cdot 13$
$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$
$MCD\(195;336) =3\cdot 5=15$
Vemos que el mcd de estos números es diferente de $1$, lo que significa que los números no son primos relativos. También vemos que cada uno de los números incluye factores, además de $1$ y el número en sí, lo que significa que los números no serán primos, sino compuestos.
Ejemplo 5
Determina si los números $39$ y $112$ son números primos y coprimos.
Solución: usemos la factorización canónica:
$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$
$MCD\(39;112)=1$
Vemos que el mcd de estos números es igual a $1$, lo que significa que los números son primos relativos. También vemos que cada uno de los números incluye factores, además de $1$ y el número en sí, lo que significa que los números no serán primos, sino compuestos.
Ejemplo 6
Determina si los números $883$ y $997$ son números primos y coprimos.
Solución: usemos la factorización canónica:
$883=1\cdot 883$
$997=1\cdot 997$
$MCD\(883;997)=1$
Vemos que el mcd de estos números es igual a $1$, lo que significa que los números son primos relativos. También vemos que cada número incluye solo factores iguales a $1$ y el número mismo, lo que significa que los números serán primos.
La información de este artículo cubre el tema " números coprimos" Primero, se da la definición de dos números coprimos, así como la definición de tres o más números coprimos. Después de esto, se dan ejemplos de números coprimos y se muestra cómo demostrar que los números dados son coprimos. A continuación se enumeran y demuestran las propiedades básicas de los números coprimos. Finalmente, se mencionan los números primos por pares porque están estrechamente relacionados con los números coprimos.
Navegación de páginas.
A menudo hay tareas en las que es necesario demostrar que los números enteros dados son primos relativos. La prueba se reduce a calcular el máximo común divisor de los números dados y comprobar el mcd para ver si es igual a uno. También es útil mirar la tabla de números primos antes de calcular el MCD: de repente los números enteros originales son primos y sabemos que el máximo común divisor de los números primos es igual a uno. Veamos la solución de ejemplo.
Ejemplo.
Demuestra que los números 84 y 275 son primos relativos.
Solución.
Obviamente, estos números no son primos, por lo que no podemos hablar inmediatamente sobre la prima relativa de los números 84 y 275, y tendremos que calcular el mcd. Usamos el algoritmo euclidiano para encontrar MCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, por lo tanto, mcd(84, 275)=1. Esto prueba que los números 84 y 275 son primos relativos.
La definición de números coprimos se puede ampliar a tres o más números.
Definición.
Los números enteros a 1 , a 2 , …, a k , k>2 se llaman mutuamente primos, si el máximo común divisor de estos números es igual a uno.
De la definición dada se deduce que si un determinado conjunto de números enteros tiene un divisor común positivo distinto de uno, entonces estos números enteros no son coprimos.
Pongamos ejemplos. Tres números enteros −99, 17 y −27 son primos relativos. Cualquier colección de números primos constituye un conjunto de números coprimos, por ejemplo, 2, 3, 11, 19, 151, 293 y 677 son números coprimos. Y los cuatro números 12, −9, 900 y −72 no son coprimos porque tienen un divisor común positivo 3 distinto de 1. Los números 17, 85 y 187 tampoco son primos relativos, ya que cada uno de ellos es divisible por 17.
Por lo general, no es nada obvio que algunos números sean primos relativos y este hecho debe demostrarse. Para saber si los números dados son coprimos, debes encontrar el máximo común divisor de estos números y sacar una conclusión basada en la definición de números coprimos.
Ejemplo.
¿Son los números 331, 463 y 733 relativamente primos?
Solución.
Si observamos la tabla de números primos, encontraremos que cada uno de los números 331, 463 y 733 es primo. Por lo tanto, tienen un único divisor común positivo: uno. Por tanto, los tres números 331, 463 y 733 son números primos relativos.
Respuesta:
Sí.
Ejemplo.
Demuestre que los números −14, 105, −2 107 y −91 no son coprimos.
Solución.
Para demostrar que estos números no son primos relativos, puedes encontrar su mcd y asegurarte de que no sea igual a uno. Eso es lo que haremos.
Dado que los divisores de números enteros negativos coinciden con los divisores de los correspondientes, entonces MCD(−14, 105, 2 107, −91)= MCD(14, 105, 2 107, 91) . Volviendo al material del artículo sobre cómo encontrar el máximo común divisor de tres o más números, descubrimos que MCD(14, 105, 2 107, 91) = 7. Por lo tanto, el máximo común divisor de los números originales es siete, por lo que estos números no son coprimos.
Propiedades de los números coprimos
Los números coprimos tienen varias propiedades. Veamos los principales propiedades de los números coprimos.
Los números obtenidos al dividir los números enteros a y b por su máximo común divisor son coprimos, es decir, a:MCD(a, b) y b:MCD(a, b) son coprimos.
Probamos esta propiedad cuando examinamos las propiedades de GCD.
La propiedad considerada de los números coprimos nos permite encontrar pares de números coprimos. Para hacer esto, basta con tomar dos números enteros cualesquiera y dividirlos por el máximo común divisor, los números resultantes serán primos relativos.
Para que los números enteros a y b sean primos relativos, es necesario y suficiente que existan números enteros u 0 y v 0 tales que a·u 0 +b·v 0 =1.
Primero demostremos la necesidad.
Sean los números a y b relativamente primos. Entonces, según la definición de números coprimos, MCD(a, b)=1. Y por las propiedades de MCD sabemos que para los números enteros a y b la relación de Bezout a·u 0 +b·v 0 =MCD(a, b) es verdadera. Por lo tanto, a·u 0 +b·v 0 =1.
Falta probar la suficiencia.
Sea verdadera la igualdad a·u 0 +b·v 0 =1. Dado que MCD(a, b) divide tanto a como b, entonces MCD(a, b), debido a las propiedades de divisibilidad, debe dividir la suma a·u 0 +b·v 0, y por lo tanto la unidad. Y esto sólo es posible cuando MCD(a, b)=1. Por tanto, a y b son números relativamente primos.
Siguiente propiedad Los números coprimos son los siguientes: si los números a y b son coprimos, y el producto a·c es divisible por b, entonces c es divisible por b.
De hecho, dado que a y b son primos relativos, entonces de la propiedad anterior tenemos la igualdad a·u 0 +b·v 0 =1. Multiplicando ambos lados de esta igualdad por c, tenemos a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. El primer término de la suma a·c·u 0 +b·c·v 0 se divide por b, ya que a·c se divide por b según la condición, el segundo término de esta suma también se divide por b, ya que uno de los factores es igual a b, por lo tanto, la suma total se divide por b. Y como la suma a·c·u 0 +b·c·v 0 es igual a c, entonces c es divisible por b.
Si los números a y b son primos relativos, entonces mcd(a c, b) = mcd(c, b) .
Demostremos, en primer lugar, que mcd(a c, b) divide a mcd(c, b), y en segundo lugar, que mcd(c, b) divide a mcd(a c, b), esto probará la igualdad MCD(a c, b) =MCD(c, b) .
MCD(a c, b) divide tanto a c como b, y como mcd(a c, b) divide a b, también divide a b c. Es decir, mcd(a c, b) divide tanto a c como b c, por lo tanto, debido a las propiedades del máximo común divisor, también divide a mcd(a c, b c), que, según las propiedades de mcd, es igual a c MCD(a, b)=c . Por lo tanto, mcd(a c, b) divide tanto a b como a c, por lo tanto, también divide a mcd(c, b).
Por otro lado, MCD(c, b) divide tanto a c como a b, y como divide a c, también divide a·c. Por lo tanto, mcd(c, b) divide tanto a c como a b, por lo tanto, también divide a mcd(a c, b).
Entonces demostramos que mcd(a c, b) y mcd(c, b) se dividen mutuamente, lo que significa que son iguales.
Si cada uno de los números a 1 , a 2 , …, a k es coprimo con cada uno de los números b 1 , b 2 , …, b m (donde k y m son algunos números naturales), entonces los productos a 1 · a 2 · … · a k y b 1 · b 2 ·…·b m son números coprimos, en particular, si a 1 =a 2 =…=a k =a y b 1 =b 2 =…=b m =b, entonces a k y b m son números coprimos.
La propiedad anterior de los números coprimos nos permite escribir una serie de igualdades de la forma MCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)= MCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=MCD(a k , b m)=1, donde la última transición es posible, ya que a k y b m son números primos entre sí por condición. Entonces, MCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)=1.
Ahora, denotando a 1 ·a 2 ·…·a k =A, tenemos
MCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)= MCD(b 1 · b 2 ·…·b m , A)=
=MCD(b 2 ·…·b m , A)=… =MCD(b m , A)=1
(la última transición es válida, debido a la última igualdad del párrafo anterior). Así conseguimos la igualdad. MCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)=1, lo que demuestra que los productos a 1 ·a 2 ·…·a k y b 1 ·b 2 ·…·b m son números coprimos.
Con esto concluye nuestra revisión de las propiedades básicas de los números coprimos.
Números primos por pares: definiciones y ejemplos
A través de números coprimos se da identificar pares de números primos.
Definición.
Los números enteros a 1, a 2,…, a k, cada uno de los cuales es primo relativo de todos los demás, se llaman números primos por pares.
Pongamos un ejemplo de números primos por pares. Los números 14, 9, 17 y −25 son primos por pares, ya que los pares de números 14 y 9, 14 y 17, 14 y −25, 9 y 17, 9 y −25, 17 y −25 son números coprimos. Aquí observamos que los números primos por pares siempre son coprimos.
Por otro lado, los números primos relativos no siempre son primos por pares, como lo confirma el siguiente ejemplo. Los números 8, 16, 5 y 15 no son primos por pares, ya que los números 8 y 16 no son coprimos. Sin embargo, los números 8, 16, 5 y 15 son primos relativos. Por tanto, 8, 16, 5 y 15 son números primos relativos, pero no primos por pares.
Cabe destacar especialmente la colección de un determinado número de números primos. Estos números son siempre primos relativos y primos por pares. Por ejemplo, 71, 443, 857, 991 son números primos y coprimos por pares.
También está claro que cuando estamos hablando de acerca de dos números enteros, entonces para ellos coinciden los conceptos de "primo por pares" y "primo mutuo".
Referencias.
- Vilenkin N.Ya. y otros. 6to grado: libro de texto para instituciones de educación general.
- Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
- Mikhelovich Sh.H. Teoría de números.
- Kulikov L.Ya. y otros. Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Tutorial para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de institutos pedagógicos.
Definición1. Enteros a 1 , a 2 ,…,a k se llaman coprimos si (a 1 ,a 2 ,…,a k) =1
Definición 2. Los números enteros a 1,a 2,…,a k se llaman coprimos por pares si i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (a i, a s) =1) .
Si los números satisfacen la Definición 2, entonces satisfacen la Definición 1. La afirmación inversa es generalmente falsa, por ejemplo: (15, 21, 19) = 1, pero (15, 21) = 3
Teorema (criterio de simplicidad mutua)
(a, b) = 1<=> x, y Z: ax + by = 1
Prueba:
Demostremos la necesidad. Sea (a, b) = 1. Arriba mostramos que si d = (a, b), entonces x, y Z: d = ax + by.
Porque en este caso d =1, entonces habrá x, y Z (determinado a partir del algoritmo euclidiano): 1 = ax + bу.
Adecuación. Sea (*) ax + by = 1, demostremos que (a, b)=1. Supongamos que (a, b) = d, entonces en el lado izquierdo de la igualdad (*)
(a / d ) & ( b/d ) => (ah + por) /d => (1/d) => (d=l) => (a, b) = 1.
§4. Nok de números enteros y sus propiedades.
Definición 1. El múltiplo común de un conjunto finito de números enteros a 1,a 2,…,a k, distinto de cero, es un número entero m que es divisible por todos los números a i (i=l, 2,…, k)
Definición 2. Un número entero (m) se llama mínimo común múltiplo de los números a 1, a 2,...,a k, distintos de cero, si:
1 m - es su múltiplo común;
2 (m) divide cualquier otro múltiplo común de estos números.
Designación: m = MCM (a 1,a 2,…,a k) o m = [a 1,a 2,…,a k]
Ejemplo. Los números se dan: 2, 3, 4, 6, 12.
Los números 12, 24. 48. 96 son múltiplos comunes de los números 2, 3, 4, 6, 12. El mínimo común múltiplo es el número 12. es decir.
El MCM se determina de forma única hasta el orden de los factores. De hecho, si asumimos que m 1 = [a, b] &m 2 = (m 1 / m 2) & (m 2 / m 1) => [(m 1 = m 2) v (m 1 = - m 2)]. Existe una relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos números enteros, que se expresa mediante la fórmula: [a, b] = ab/(a, b) (derivala tú mismo)
Esta conexión nos permite afirmar que para cualquier par de números enteros distintos de cero, existe su mínimo común múltiplo. De hecho, (a, b) siempre se puede deducir sin ambigüedades del algoritmo euclidiano y por definición (a, b) 0, entonces la fracción ab/(a, b) 0 estará determinada de forma única.
El MCM de dos números enteros se calcula más fácilmente en el caso en que (a, b) = 1, entonces [a, b] = ab/1 = a b
Por ejemplo, = 215/1 = 105, porque (21, 5) = 1.
§5. Números primos y sus propiedades.
Definición 1. Un número natural (p) se llama primo si p > 1 y no tiene un número positivo. divisores distintos de 1 y p.
Definición 2. Un número natural a > 1 que tiene otros divisores positivos además de 1 y de sí mismo se llama compuesto.
De estas definiciones se deduce que el conjunto de los números naturales se puede dividir en tres clases:
a) números compuestos;
b) números primos;
c) unidad.
Si a es compuesto, entonces a = nq, donde 1 Tarea 1. Demuestre que si aZ y p son números primos, entonces (a, p) = 1 v (a / p) Prueba. Sea d = (a, p) =>
(a /d) & (p /d), porque p es un número primo, entonces tiene dos divisores 1 y p. Si (a, p) = 1, entonces a y p son primos relativos, si (a, p) = p, entonces (a/p). Tarea 2. Si el producto de varios factores es divisible por p, entonces al menos uno de los factores es divisible por p. Solución. Sea el producto (a 1,a 2, ...,
y k)/р, si todos los a i no son divisibles por p, entonces el producto será coprimo con p, por lo tanto, algún factor es divisible por p. Tarea 3. Demuestre que el divisor más pequeño distinto de 1 de un número entero a>1 es un número primo. Prueba. Sean aZ y a un número compuesto (si a = p, entonces el enunciado está probado), entonces a = a 1 q. Sea q el divisor más pequeño, demostremos que será un número primo. Si suponemos que q es un número compuesto, entonces q = q 1 k y a = a 1 q 1 k, porque q 1 Tarea 4. Demuestre que el divisor primo más pequeño (p) de un número natural (n) no excede n. Prueba. Sea n = pn 1, y p< n 1
и р - простое. Тогда n
р 2
=>r<n
. De esta afirmación se deduce que si un número natural (n) no es divisible por ningún número primo p n, entonces n es primo; de lo contrario, será compuesto. Ejemplo 1. ¿Averiguar si 137 es un número primo?<137
<12. 11 Anotamos factores primos que no superen 137: 2, 3, 5, 7, 11. Comprobamos que 137 no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11. Por tanto, el número 137 es primo. teorema de euclid Prueba. . El conjunto de los números primos es infinito. ...,
Supongamos lo contrario, sea p 1 ,p 2 , p k son todos números primos, donde p 1 = 2 y p k es el número primo más grande. ...
Compongamos un número natural = p 1 p 2 p a +1, porque p i , entonces debe ser compuesto, entonces su divisor más pequeño será primo (ver Problema 3). Sin embargo, no es divisible ni por p 1, ni por p 2,..., ni por p k, porque 1 no es divisible por ningún p I. Por lo tanto, nuestra suposición de que el conjunto de números primos es finito era incorrecta. Sin embargo, existe un teorema que afirma que los números primos constituyen sólo una pequeña parte de los números naturales. Teorema del intervalo. Prueba. En las series naturales existen intervalos arbitrariamente largos que no contienen un solo número primo. Tomemos un número natural arbitrario (n) y creemos una secuencia de números naturales (n+1)!+2, n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1). El teorema de Euclides y el teorema del intervalo indican la naturaleza compleja de la distribución de números primos en la serie natural. Teorema fundamental de la aritmética Cualquier número natural n>1 se puede representar de forma única como producto de números primos, hasta el orden de los factores. Prueba. Probemos la posibilidad de representación: Sean nN y n>1, si n es un número primo, entonces n = p y el teorema está demostrado. Si n es compuesto, entonces su divisor más pequeño será un número primo y n = p 1 n 1 , donde n 1 A continuación argumentamos de manera similar. Si n 1 es un número primo, entonces el teorema está probado, si n 1 es un número compuesto, entonces n 1 = p 2 n 2 , donde n 2< n 1
и тогда n
= p 1 p 2 n 2
. На каком-то шаге получим n
= p 1 p 2
…p n
, где все p i
- простые числа. Demostremos la unicidad de la descomposición: Supongamos que hay dos representaciones diferentes para el número (n): n = p 1 p 2 …p k , n = q 1 q 2 …q n y n>k. Entonces obtenemos que p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1). El lado izquierdo de la igualdad (1) es divisible por p 1, entonces, por la propiedad de los números primos (ver Problema 2), al menos uno de los factores del lado derecho debe ser divisible por p 1. Sea (q 1 /p 1) => (q 1 =p 1). Dividiendo ambos lados de la igualdad (1) por p 1, obtenemos la igualdad p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n. Repitiendo el razonamiento anterior otras (k-1) veces, obtenemos la igualdad 1 = q k +1 q k +2 …q n , porque todo q i >1, entonces esta igualdad es imposible. En consecuencia, en ambas expansiones el número de factores es el mismo (k=n) y los factores mismos son los mismos. Comentario. Al descomponer un número (n) en factores simples, algunos de ellos pueden repetirse. Denotando con las letras 1 , 2 ,…, k la multiplicidad de su aparición en (n), obtenemos la llamada expansión canónica del número (n): Ejemplo 2. Expansión canónica del número 588000 = 2 5 35 3 7 2 Corolario 1. Si Ejemplo 3. Todos los divisores del número 720 = 2 4 3 2 5 se obtienen si en la expresión Los divisores requeridos serán iguales a: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; 18; 36; 72; 144; 5; 10; 20; 40; 80; 15; 30; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720. Corolario 2. Si P 1 1 p 2 2 …p k k, donde i = máx( I , i). Ejemplo 4. Encuentre MCD(a, b) y MCM(a, b) usando expansión canónica si (24,
42) = 23
= 6 $p$ se llama número primo si solo tiene $2$ divisores: $1$ y él mismo. El divisor de un número natural $a$ es un número natural que divide al número original $a$ sin dejar resto. Ejemplo 1 Encuentra los divisores del número $6$. Solución: Necesitamos encontrar todos los números por los cuales el número dado $6$ es divisible sin resto. Estos serán los números: $1,2,3, 6$. Entonces el divisor del número $6$ serán los números $1,2,3,6.$ Respuesta: $1,2,3,6$. Esto significa que para encontrar los divisores de un número, debes encontrar todos los números naturales en los que el número dado es divisible sin resto. Es fácil ver que el número $1$ será divisor de cualquier número natural. Definición 2 Compuesto Llaman a un número que tiene otros divisores además de uno y él mismo. Un ejemplo de número primo sería el número $13$, un ejemplo de número compuesto sería $14.$ Nota 1 El número $1$ tiene un solo divisor: el número mismo, por lo que no es ni primo ni compuesto. Definición 3 Números mutuamente primos son aquellos cuyo mcd es igual a $1$. Esto significa que para saber si los números son primos relativos, es necesario encontrar su mcd y compararlo con $1$. Definición 4 Si en un conjunto de números dos son coprimos, entonces dichos números se llaman coprimo por pares. Para dos números, los conceptos "coprimo" y "coprimo por pares" coinciden. Ejemplo 2 $ 8, $ 15: no es simple, pero sí relativamente simple. $6, 8, 9$ son números coprimos, pero no números coprimos por pares. $ 8, 15, 49 $ son primos relativos por pares. Como vemos, para determinar si los números son primos relativos, primero debemos factorizarlos en factores primos. Prestemos atención a cómo hacer esto correctamente. Por ejemplo, factoricemos el número $180$ en factores primos: $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$ Usemos la propiedad de las potencias, entonces obtenemos, $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ Esta notación de descomposición en factores primos se llama canónica, es decir Para factorizar un número en forma canónica es necesario utilizar la propiedad de las potencias y representar el número como producto de potencias con diferentes bases. La expansión canónica de un número natural en forma general tiene la forma: $m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$ donde $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ son números primos y los exponentes son números naturales. Representar un número como una descomposición canónica en conjuntos primos facilita encontrar el máximo común divisor de números y actúa como consecuencia de la prueba o definición de números coprimos. Ejemplo 3 Encuentra el máximo común divisor de los números $180$ y $240$. Solución: descompongamos los números en conjuntos simples usando descomposición canónica $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, entonces $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ $240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, entonces $240=2^4\cdot 3\cdot 5$ Ahora encontremos el mcd de estos números, para esto elegimos potencias con la misma base y con el menor exponente, luego $MCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$ vamos a componer algoritmo para encontrar MCD teniendo en cuenta la factorización canónica en factores primos. Para encontrar el máximo común divisor de dos números usando la expansión canónica, necesitas: Ejemplo 4 Determina si los números $195$ y $336$ son números primos y coprimos. $195=3\cdot 5\cdot 13$ $336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$ $MCD\(195;336) =3\cdot 5=15$ Vemos que el mcd de estos números es diferente de $1$, lo que significa que los números no son primos relativos. También vemos que cada uno de los números incluye factores, además de $1$ y el número en sí, lo que significa que los números no serán primos, sino compuestos. Ejemplo 5 Determina si los números $39$ y $112$ son números primos y coprimos. Solución: usemos la factorización canónica: $112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$ $MCD\(39;112)=1$ Vemos que el mcd de estos números es igual a $1$, lo que significa que los números son primos relativos. También vemos que cada uno de los números incluye factores, además de $1$ y el número en sí, lo que significa que los números no serán primos, sino compuestos. Ejemplo 6 Determina si los números $883$ y $997$ son números primos y coprimos. Solución: usemos la factorización canónica: $883=1\cdot 883$ $997=1\cdot 997$ $MCD\(883;997)=1$ Vemos que el mcd de estos números es igual a $1$, lo que significa que los números son primos relativos. También vemos que cada número incluye solo factores iguales a $1$ y el número mismo, lo que significa que los números serán primos. ¿Qué son los números coprimos? Definición de números coprimos: Los números coprimos son números enteros que no tienen más factores comunes que uno. Ejemplo de números coprimos: 2 y 3 no tienen más divisores comunes que uno. Otro ejemplo de números coprimos: 3 y 7 no tienen más factores comunes que uno. Otro ejemplo de números coprimos: 11 y 13 no tienen más factores comunes que uno. Ahora podemos responder a la pregunta de qué significan los números coprimos. ¿Qué significan los números coprimos? Son números enteros que no tienen más divisores comunes que uno. Cada uno de estos pares son dos números relativamente primos. 11 y 15 Los divisores comunes de los números coprimos son solo uno, como se desprende de la definición de números coprimos. El máximo común divisor de los números coprimos es uno, como se desprende de la definición de números coprimos. ¿Los números 3 y 13 son coprimos? Sí, porque no tienen divisores comunes excepto uno. ¿Los números 3 y 12 son coprimos? No, porque sus divisores comunes son 1 y 3. Y según la definición de números coprimos, el divisor común solo debería ser uno. ¿Los números 3 y 108 son coprimos? No, porque sus divisores comunes son 1 y 3. Y según la definición de números coprimos, el divisor común solo debería ser uno. ¿Los números 108 y 5 son coprimos? Sí, porque no tienen divisores comunes excepto uno.
entonces todos los divisores del número (n) tienen la forma: 
donde 0 i i (i = 1, 2,…,k).
en lugar de 1, 2, 3, independientemente entre sí, sustituiremos los siguientes valores: 1 =0, 1, 2, 3, 4, 2 =0, 1, 2, 3 = 0, 1.
Y 
entonces (a, b) = p 1 1 p 2 2 …p k k , donde i = min( I , i)
números coprimos
coprime por pares
factorización prima
Expansión canónica de un número natural en forma general.
Definición de números coprimos
Ejemplos de números coprimos
Dos números coprimos
15 y 16
16 y 23Divisores comunes de números coprimos
Máximo común divisor de números coprimos
¿Los números son coprimos?