Reducción de fracciones algebraicas. Calculadora online para reducir fracciones (irregulares, mixtas).

Para entender cómo reducir fracciones, veamos primero un ejemplo.

Reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador entre lo mismo. Tanto 360 como 420 terminan en un dígito, por lo que podemos reducir esta fracción a 2. En la nueva fracción, tanto 180 como 210 también son divisibles por 2, por lo que reducimos esta fracción a 2. En los números 90 y 105, la suma de los dígitos es divisible por 3, por lo que ambos números son divisibles por 3, reducimos la fracción por 3. En la nueva fracción, 30 y 35 terminan en 0 y 5, lo que significa que ambos números son divisibles por 5, por lo que reducimos la fracción por 5. La fracción resultante de seis séptimos es irreducible. Esta es la respuesta final.

Podemos llegar a la misma respuesta de otra manera.

Tanto 360 como 420 terminan en cero, lo que significa que son divisibles por 10. Reducimos la fracción por 10. En la nueva fracción, tanto el numerador 36 como el denominador 42 se dividen por 2. Reducimos la fracción por 2. En el En la siguiente fracción, tanto el numerador 18 como el denominador 21 se dividen entre 3, lo que significa que reducimos la fracción en 3. Llegamos al resultado: seis séptimos.

Y una solución más.

La próxima vez veremos ejemplos de fracciones reductoras.

En este artículo veremos en detalle cómo fracciones reductoras. Primero, analicemos lo que se llama reducir una fracción. Después de esto, hablemos de reducir una fracción reducible a una forma irreducible. A continuación obtendremos la regla para reducir fracciones y, finalmente, consideraremos ejemplos de la aplicación de esta regla.

Navegación de páginas.

¿Qué significa reducir una fracción?

Sabemos que las fracciones ordinarias se dividen en fracciones reducibles e irreducibles. Por los nombres se puede adivinar que las fracciones reducibles se pueden reducir, pero las irreducibles no.

¿Qué significa reducir una fracción? Reducir una fracción- esto significa dividir su numerador y denominador por su positivo y diferente de la unidad. Está claro que como resultado de reducir una fracción, se obtiene una nueva fracción con un numerador y denominador más pequeños y, debido a la propiedad básica de la fracción, la fracción resultante es igual a la original.

Por ejemplo, reduzcamos la fracción común 8/24 dividiendo su numerador y denominador entre 2. En otras palabras, reduzcamos la fracción 8/24 a 2. Como 8:2=4 y 24:2=12, esta reducción da como resultado la fracción 4/12, que es igual a la fracción original 8/24 (ver fracciones iguales y desiguales). Como resultado, tenemos.

Reducir fracciones ordinarias a forma irreducible

Normalmente, el objetivo final de reducir una fracción es obtener una fracción irreducible que sea igual a la fracción reducible original. Este objetivo se puede lograr reduciendo la fracción reducible original por su numerador y denominador. Como resultado de tal reducción siempre se obtiene una fracción irreducible. De hecho, una fracción es irreducible, ya que se sabe que Y - . Aquí diremos que el máximo común divisor del numerador y denominador de una fracción es el numero mas grande, por el cual se puede reducir esta fracción.

Entonces, reducir una fracción común a una forma irreducible Consiste en dividir el numerador y denominador de la fracción reducible original por su mcd.

Veamos un ejemplo, para el cual volvemos a la fracción 8/24 y la reducimos por el máximo común divisor de los números 8 y 24, que es igual a 8. Como 8:8=1 y 24:8=3, llegamos a la fracción irreducible 1/3. Entonces, .

Tenga en cuenta que la frase "reducir una fracción" a menudo significa reducir la fracción original a su forma irreducible. En otras palabras, reducir una fracción muy a menudo se refiere a dividir el numerador y el denominador por su máximo común factor (en lugar de por cualquier factor común).

¿Cómo reducir una fracción? Reglas y ejemplos de reducción de fracciones.

Todo lo que queda es mirar la regla para reducir fracciones, que explica cómo reducir una fracción determinada.

Regla para reducir fracciones. consta de dos pasos:

• en primer lugar, se encuentra el mcd del numerador y denominador de la fracción;
• en segundo lugar, el numerador y el denominador de la fracción se dividen por su mcd, lo que da una fracción irreducible igual a la original.

vamos a solucionarlo ejemplo de reducción de una fracción según la regla establecida.

Ejemplo.

Reducir la fracción 182/195.

Solución.

Realicemos ambos pasos prescritos por la regla para reducir una fracción.

Primero encontramos MCD(182, 195). Lo más conveniente es utilizar el algoritmo euclidiano (ver): 195=182·1+13, 182=13·14, es decir, MCD(182, 195)=13.

Ahora dividimos el numerador y denominador de la fracción 182/195 entre 13 y obtenemos la fracción irreducible 14/15, que es igual a la fracción original. Esto completa la reducción de la fracción.

Brevemente, la solución se puede escribir de la siguiente manera: .

Respuesta:

Aquí es donde podemos terminar de reducir fracciones. Pero para completar el cuadro, veamos dos formas más de reducir fracciones, que generalmente se usan en casos fáciles.

A veces, determinar el numerador y el denominador de la fracción que se va a reducir no es difícil. Reducir una fracción en este caso es muy simple: solo necesitas eliminar todos los factores comunes del numerador y denominador.

Vale la pena señalar que este método se deriva directamente de la regla de reducción de fracciones, ya que el producto de todos los factores primos comunes del numerador y denominador es igual a su máximo común divisor.

Veamos la solución al ejemplo.

Ejemplo.

Reducir la fracción 360/2 940.

Solución.

Factoricemos el numerador y el denominador en factores simples: 360=2·2·2·3·3·5 y 2,940=2·2·3·5·7·7. De este modo, .

Ahora nos deshacemos de los factores comunes en el numerador y denominador por conveniencia, simplemente los tachamos: .

Finalmente multiplicamos los factores restantes: , y se completa la reducción de la fracción.

Aquí hay un breve resumen de la solución: .

Respuesta:

Consideremos otra forma de reducir una fracción, que consiste en una reducción secuencial. Aquí, en cada paso, la fracción se reduce por algún divisor común del numerador y denominador, que es obvio o se determina fácilmente usando

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Signos utilizados para escribir en una calculadora.

Puede escribir un ejemplo de una solución desde el teclado o usando botones.

Características de la calculadora de fracciones en línea.

La calculadora de fracciones sólo puede realizar operaciones con 2 fracciones simples. Pueden ser correctas (el numerador es menor que el denominador) o incorrectas (el numerador es mayor que el denominador). Los números del numerador y los denominadores no pueden ser negativos ni mayores que 999.
Nuestra calculadora en línea resuelve fracciones y lleva la respuesta a la forma correcta: reduce la fracción y selecciona la parte completa, si es necesario.

Si necesitas resolver fracciones negativas, simplemente usa las propiedades del menos. Al multiplicar y dividir fracciones negativas, menos por menos da más. Es decir, el producto y división de fracciones negativas es igual al producto y división de las mismas positivas. Si una fracción es negativa al multiplicar o dividir, simplemente elimina el menos y luego súmalo a la respuesta. Al sumar fracciones negativas, el resultado será el mismo que si estuvieras sumando las mismas fracciones positivas. Si sumas una fracción negativa, esto es lo mismo que restar la misma fracción positiva.
Al restar fracciones negativas, el resultado será el mismo que si se intercambiaran y se hicieran positivas. Es decir, menos por menos en este caso da un más, pero reorganizar los términos no cambia la suma. Usamos las mismas reglas al restar fracciones, una de las cuales es negativa.

Para resolver fracciones mixtas (fracciones en las que la parte entera está aislada), simplemente encaja la parte entera en la fracción. Para hacer esto, multiplica la parte entera por el denominador y suma al numerador.

Si necesitas resolver 3 o más fracciones en línea, debes resolverlas una por una. Primero, cuenta las primeras 2 fracciones, luego resuelve la siguiente fracción con la respuesta que obtengas, y así sucesivamente. Realiza las operaciones una por una, 2 fracciones a la vez, y eventualmente obtendrás la respuesta correcta.

Si necesitamos dividir 497 entre 4, al dividir veremos que 497 no es divisible por 4, es decir el resto de la división permanece. En tales casos se dice que está completo. división con resto, y la solución se escribe de la siguiente manera:
497: 4 = 124 (1 resto).

Los componentes de la división en el lado izquierdo de la igualdad se llaman igual que en la división sin resto: 497 - dividendo, 4 - divisor. El resultado de la división cuando se divide con un resto se llama privado incompleto. En nuestro caso, este es el número 124. Y finalmente, el último componente, que no está en la división ordinaria, es resto. En los casos en los que no queda resto, se dice que un número está dividido por otro sin dejar rastro, o completamente. Se cree que con tal división el resto es cero. En nuestro caso el resto es 1.

El resto siempre es menor que el divisor.

La división se puede comprobar mediante la multiplicación. Si, por ejemplo, existe una igualdad 64: 32 = 2, entonces la verificación se puede realizar así: 64 = 32 * 2.

A menudo, en los casos en que se realiza una división con resto, es conveniente utilizar la igualdad.
a = b * n + r,
donde a es el dividendo, b es el divisor, n es el cociente incompleto, r es el resto.

El cociente de números naturales se puede escribir como fracción.

El numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor.

Como el numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor, creen que la línea de una fracción significa la acción de división. A veces es conveniente escribir la división como una fracción sin utilizar el signo ":".

El cociente de la división de números naturales myn se puede escribir como una fracción \(\frac(m)(n) \), donde el numerador m es el dividendo y el denominador n es el divisor:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Las siguientes reglas son verdaderas:

Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), necesitas dividir uno entre n partes iguales(acciones) y tomar m tales partes.

Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), debes dividir el número m por el número n.

Para encontrar una parte de un todo, es necesario dividir el número correspondiente al todo por el denominador y multiplicar el resultado por el numerador de la fracción que expresa esta parte.

Para encontrar un entero a partir de su parte, es necesario dividir el número correspondiente a esta parte por el numerador y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción que expresa esta parte.

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se dividen por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Esta propiedad se llama propiedad principal de una fracción.

Las dos últimas transformaciones se llaman reduciendo una fracción.

Si es necesario representar fracciones como fracciones con el mismo denominador, entonces esta acción se llama llevar fracciones a un denominador común.

Fracciones propias e impropias. Números mixtos

Ya sabes que se puede obtener una fracción dividiendo un todo en partes iguales y tomando varias de esas partes. Por ejemplo, la fracción \(\frac(3)(4)\) significa tres cuartos de uno. En muchos de los problemas del párrafo anterior, se usaron fracciones para representar partes de un todo. El sentido común dicta que la parte siempre debe ser menor que el todo, pero ¿qué pasa con fracciones como \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? Está claro que esto ya no forma parte de la unidad. Probablemente por eso las fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se llaman fracciones impropias. El resto de fracciones, es decir, aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, se denominan fracciones correctas.

Como sabes, cualquier fracción común, tanto correcto como incorrecto, puede considerarse como el resultado de dividir el numerador por el denominador. Por lo tanto, en matemáticas, a diferencia del lenguaje ordinario, el término "fracción impropia" no significa que hayamos hecho algo mal, sino solo que el numerador de esta fracción es mayor o igual que el denominador.

Si un número consta de una parte entera y una fracción, entonces las fracciones se llaman mixtas.

Por ejemplo:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 es la parte entera y \(\frac(2)(3) \) es la parte fraccionaria.

Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b) \) es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción entre n, su numerador debe dividirse por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b) \) no es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción por n, debes multiplicar su denominador por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Tenga en cuenta que la segunda regla también es cierta cuando el numerador es divisible por n. Por tanto, podemos utilizarlo cuando sea difícil determinar a primera vista si el numerador de una fracción es divisible por n o no.

Acciones con fracciones. Sumar fracciones.

Puedes realizar operaciones aritméticas con números fraccionarios, al igual que con números naturales. Primero veamos cómo sumar fracciones. Es fácil sumar fracciones con denominadores similares. Encontremos, por ejemplo, la suma de \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3)(7)\). Es fácil entender que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador igual.

Usando letras, la regla para sumar fracciones con denominadores iguales se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Si necesitas sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes reducirlas a un denominador común. Por ejemplo:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y asociativas de la suma.

Sumar fracciones mixtas

Notaciones como \(2\frac(2)(3)\) se llaman fracciones mixtas. En este caso, el número 2 se llama parte entera fracción mixta, y el número \(\frac(2)(3)\) es su parte fraccionaria. La entrada \(2\frac(2)(3)\) se lee como sigue: “dos y dos tercios”.

Al dividir el número 8 por el número 3, puedes obtener dos respuestas: \(\frac(8)(3)\) y \(2\frac(2)(3)\). Expresan el mismo número fraccionario, es decir, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Así, la fracción impropia \(\frac(8)(3)\) se representa como una fracción mixta \(2\frac(2)(3)\). En tales casos dicen que de una fracción impropia destacó toda la parte.

Restar fracciones (números fraccionarios)

Sustracción números fraccionarios, como los naturales, se determina a partir de la acción de la suma: restar otro a un número significa encontrar un número que, sumado al segundo, da el primero. Por ejemplo:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ya que \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La regla para restar fracciones con denominadores iguales es similar a la regla para sumar tales fracciones:
Para encontrar la diferencia entre fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.

Usando letras, esta regla se escribe así:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplicar fracciones

Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar sus numeradores y denominadores y escribir el primer producto como numerador y el segundo como denominador.

Usando letras, la regla para multiplicar fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Usando la regla formulada, puedes multiplicar una fracción por un número natural, por una fracción mixta y también multiplicar fracciones mixtas. Para hacer esto, necesitas escribir un número natural como una fracción con un denominador de 1 y una fracción mixta como una fracción impropia.

El resultado de la multiplicación debe simplificarse (si es posible) reduciendo la fracción y aislando toda la parte de la fracción impropia.

Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación, así como la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

División de fracciones

Tomemos la fracción \(\frac(2)(3)\) y la “volteemos”, intercambiando el numerador y el denominador. Obtenemos la fracción \(\frac(3)(2)\). Esta fracción se llama contrarrestar fracciones \(\frac(2)(3)\).

Si ahora “invertimos” la fracción \(\frac(3)(2)\), obtendremos la fracción original \(\frac(2)(3)\). Por lo tanto, fracciones como \(\frac(2)(3)\) y \(\frac(3)(2)\) se llaman mutuamente inversas.

Por ejemplo, las fracciones \(\frac(6)(5) \) y \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) y \(\frac (18) )(7)\).

Usando letras, las fracciones recíprocas se pueden escribir de la siguiente manera: \(\frac(a)(b) \) y \(\frac(b)(a) \)

Esta claro que el producto de fracciones recíprocas es igual a 1. Por ejemplo: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Usando fracciones recíprocas, puedes reducir la división de fracciones a multiplicación.

La regla para dividir una fracción entre una fracción es:
Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

Usando letras, la regla para dividir fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Si el dividendo o divisor es número natural o una fracción mixta, entonces, para poder utilizar la regla de división de fracciones, primero se debe representar como una fracción impropia.

División y el numerador y denominador de la fracción en su divisor común, diferente de uno, se llama reduciendo una fracción.

Para reducir una fracción común, debes dividir su numerador y denominador por el mismo número natural.

Este número es el máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción dada.

Los siguientes son posibles formularios de registro de decisiones Ejemplos de reducción de fracciones comunes.

El estudiante tiene derecho a elegir cualquier forma de grabación.

Ejemplos. Simplifica fracciones.

Reducir la fracción por 3 (dividir el numerador por 3;

divide el denominador por 3).

Reduce la fracción en 7.

Realizamos las acciones indicadas en el numerador y denominador de la fracción.

La fracción resultante se reduce en 5.

Reduzcamos esta fracción. 4) en 5·7³- el máximo común divisor (MCD) del numerador y denominador, que consta de los factores comunes del numerador y denominador, elevado a la potencia del exponente más pequeño.

Factoricemos el numerador y el denominador de esta fracción en factores primos.

Obtenemos: 756=2²·3³·7 Y 1176=2³·3·7².

Determinar el MCD (máximo común divisor) del numerador y denominador de la fracción 5) .

Este es el producto de factores comunes tomados con los exponentes más bajos.

mcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Dividimos el numerador y el denominador de esta fracción por su mcd, es decir, por 2²·3·7 obtenemos una fracción irreducible 9/14 .

O era posible escribir la descomposición del numerador y denominador como producto de factores primos, sin utilizar el concepto de potencia, y luego reducir la fracción tachando los mismos factores en el numerador y denominador. Cuando no quedan factores idénticos, multiplicamos los factores restantes por separado en el numerador y por separado en el denominador y escribimos la fracción resultante. 9/14 .

Y finalmente, se logró reducir esta fracción. 5) gradualmente, aplicando signos de división de números tanto al numerador como al denominador de la fracción. Pensemos así: números 756 Y 1176 terminan en un número par, lo que significa que ambos son divisibles por 2 . Reducimos la fracción por 2 . El numerador y denominador de la nueva fracción son números. 378 Y 588 también dividido en 2 . Reducimos la fracción por 2 . Notamos que el número 294 - incluso, y 189 es impar y la reducción a 2 ya no es posible. Comprobemos la divisibilidad de los números. 189 Y 294 en 3 .

(1+8+9)=18 es divisible por 3 y (2+9+4)=15 es divisible por 3, de ahí los números mismos 189 Y 294 se dividen en 3 . Reducimos la fracción por 3 . Próximo, 63 es divisible por 3 y 98 - No. Veamos otros factores primos. Ambos números son divisibles por 7 . Reducimos la fracción por 7 y obtenemos la fracción irreducible 9/14 .