EntradaResolver desigualdad modular. Desigualdades con módulo. Nueva mirada a la solución
Esta calculadora matemática en línea te ayudará resolver una ecuación o desigualdad con módulos. Programa para resolver ecuaciones y desigualdades con módulos no sólo da la respuesta al problema, sino que conduce solución detallada con explicaciones
, es decir. muestra el proceso de obtención del resultado. Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra.¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible?
tarea
¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.
Ingrese una ecuación o desigualdad con módulos
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Resolver una ecuación o desigualdad
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En un curso de álgebra escolar básico, es posible que encuentres las ecuaciones y desigualdades con módulos más simples. Para resolverlos, puedes utilizar un método geométrico basado en el hecho de que \(|x-a| \) es la distancia en la recta numérica entre los puntos x y a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Por ejemplo, para resolver la ecuación \(|x-3|=2\) necesitas encontrar puntos en la recta numérica que estén distantes del punto 3 a una distancia de 2. Hay dos de esos puntos: \(x_1=1 \) y \(x_2=5\) .
Resolviendo la desigualdad \(|2x+7| 
Pero la principal forma de resolver ecuaciones y desigualdades con módulos está asociada a la llamada “revelación del módulo por definición”:
si \(a \geq 0 \), entonces \(|a|=a \);
si \(a Como regla general, una ecuación (desigualdad) con módulos se reduce a un conjunto de ecuaciones (desigualdades) que no contienen el signo del módulo.
Además de la definición anterior, se utilizan las siguientes declaraciones:
1) Si \(c > 0\), entonces la ecuación \(|f(x)|=c \) es equivalente al conjunto de ecuaciones: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| > c \) es equivalente a un conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si ambos lados de la desigualdad \(f(x) EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Si \(x-1 \geq 0\), entonces \(|x-1| = x-1\) y la ecuación dada toma la forma
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Por tanto, la ecuación dada debe considerarse por separado en cada uno de los dos casos indicados.
1) Sea \(x-1 \geq 0 \), es decir \(x\geq 1\). De la ecuación \(x^2 +2x -8 = 0\) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\).
La condición \(x \geq 1 \) se cumple únicamente con el valor \(x_1=2\).
2) Sea \(x-1 Respuesta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). primera manera
(expansión del módulo por definición).
Razonando como en el ejemplo 1, llegamos a la conclusión de que la ecuación dada debe considerarse por separado si se cumplen dos condiciones: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7
1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), entonces \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) y la ecuación dada toma la forma \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, obtenemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). Averigüemos si el valor \(x_1=6\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituya el valor especificado en. Obtenemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), es decir \(7 \geq 0 \) es una desigualdad verdadera.
Esto significa que \(x_1=6\) es la raíz de la ecuación dada.
Averigüemos si el valor \(x_2=\frac(5)(3) \) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), es decir \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) es una desigualdad incorrecta. Esto significa que \(x_2=\frac(5)(3)\) no es una raíz de la ecuación dada.
2) Si \(x^2-6x+7 Valor \(x_3=3\) satisface la condición \(x^2-6x+7 Valor \(x_4=\frac(4)(3) \) no satisface la condición \ (x^2-6x+7 Entonces, la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6, \; x=3 \). Segunda vía.
Si la ecuación se da \(|f(x)| = h(x) \), entonces con \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ambas ecuaciones se resolvieron anteriormente (usando el primer método para resolver la ecuación dada), sus raíces son las siguientes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condición \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de estos cuatro valores se satisface solo con dos: 6 y 3. Esto significa que la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6 ,\;x=3\). Tercera vía
(gráfico).
1) Construyamos una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \). Primero, construyamos una parábola \(y = x^2-6x+7\).
Tenemos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). La gráfica de la función \(y = (x-3)^2-2\) se puede obtener a partir de la gráfica de la función \(y = x^2\) desplazándola 3 unidades de escala hacia la derecha (a lo largo del eje x) y 2 unidades de escala hacia abajo (a lo largo del eje y). La recta x=3 es el eje de la parábola que nos interesa. Como puntos de control para un trazado más preciso, es conveniente tomar el punto (3; -2): el vértice de la parábola, el punto (0; 7) y el punto (6; 7) simétrico con respecto al eje de la parábola. . Para construir ahora una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \), debes dejar sin cambios aquellas partes de la parábola construida que no se encuentran debajo del eje x, y reflejar esa parte de la parábola construida. parábola que se encuentra debajo del eje x con respecto al eje x.
Es importante que el punto x = 1,8 de la intersección de la línea recta con el eje de abscisas esté ubicado a la derecha del punto izquierdo de intersección de la parábola con el eje de abscisas; este es el punto \(x=3-\ sqrt(2) \) (ya que \(3-\sqrt(2 ) 3) A juzgar por el dibujo, las gráficas se cruzan en dos puntos: A(3; 2) y B(6; 7). Sustituyendo las abscisas de estas puntos x = 3 y x = 6 en la ecuación dada, estamos convencidos de que en ambos casos, en otro valor, se obtiene la igualdad numérica correcta. Esto significa que nuestra hipótesis fue confirmada: la ecuación tiene dos raíces: x = 3 y. x = 6. Respuesta: 3;
Comentario. El método gráfico, a pesar de su elegancia, no es muy fiable. En el ejemplo considerado, funcionó sólo porque las raíces de la ecuación son números enteros.
EJEMPLO 3. Resuelve la ecuación \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
La expresión 2x–4 se vuelve 0 en el punto x = 2, y la expresión x + 3 se vuelve 0 en el punto x = –3. Estos dos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos: \(x
Considere el primer intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considere el segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considere el tercer intervalo: \( U
Ejemplo 2.
Resuelve la desigualdad ||x+2| – 3| ≤ 2.
Solución.
Esta desigualdad es equivalente al siguiente sistema.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Resolvamos por separado la primera desigualdad del sistema. Es equivalente al siguiente conjunto:
U[-1; 3].
2) Resolver desigualdades utilizando la definición del módulo.
Déjame recordarte primero definición del módulo.
|a| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a< 0.
Por ejemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Ejemplo 1.
Resuelve la desigualdad 3|x – 1| ≤ x+3.
Solución.
Usando la definición del módulo obtenemos dos sistemas:
(x-1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Resolviendo el primer y segundo sistema por separado, obtenemos:
(x ≥ 1
(x≤3,
(incógnita< 1
(x ≥ 0.
La solución a la desigualdad original serán todas las soluciones del primer sistema y todas las soluciones del segundo sistema.
Respuesta: x€.
3) Resolver desigualdades elevando al cuadrado.
Ejemplo 1.
Resuelve la desigualdad |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Solución.
Elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad. Déjame señalar que es posible elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad sólo si ambos son positivos. En este caso, tenemos módulos tanto a la izquierda como a la derecha, por lo que podemos hacer esto.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Ahora usemos la siguiente propiedad módulo: (|x|) 2 = x 2 .
(x2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
Resolvemos usando el método del intervalo.
Respuesta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Resolver desigualdades cambiando variables.
Ejemplo.
Resuelve la desigualdad (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Solución.
Tenga en cuenta que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Entonces obtenemos la desigualdad
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Hagamos el cambio y = |2x + 3|.
Reescribamos nuestra desigualdad teniendo en cuenta el reemplazo.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Factoricemos el trinomio cuadrático de la izquierda.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Resolvamos usando el método del intervalo y obtenemos:
Volvamos al reemplazo:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Esta doble desigualdad equivale al sistema de desigualdades:
(|2x + 3| ≤6
(|2x + 3| ≥ -5.
Resolvamos cada una de las desigualdades por separado.
El primero es equivalente al sistema
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Resolvámoslo.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
La segunda desigualdad obviamente se cumple para todo x, ya que el módulo es, por definición, un número positivo. Dado que la solución del sistema son todas las x que satisfacen simultáneamente la primera y la segunda desigualdad del sistema, entonces la solución del sistema original será la solución a su primera doble desigualdad (después de todo, la segunda es cierta para todo x) .
Respuesta: x € [-4,5; 1.5].
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Módulo de números este número en sí se llama si no es negativo, o el mismo número con el signo opuesto si es negativo.
Por ejemplo, el módulo del número 6 es 6 y el módulo del número -6 también es 6.
Es decir, se entiende por módulo de un número el valor absoluto, el valor absoluto de este número sin tener en cuenta su signo.
Se designa de la siguiente manera: |6|, | incógnita|, |A| etc.
(Más detalles en el apartado “Módulo numérico”).
Ecuaciones con módulo.
Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación|10 incógnita - 5| = 15.
Solución.
Según la regla, la ecuación equivale a la combinación de dos ecuaciones:
10incógnita - 5 = 15
10incógnita - 5 = -15
Decidimos:
10incógnita = 15 + 5 = 20
10incógnita = -15 + 5 = -10
incógnita = 20: 10
incógnita = -10: 10
incógnita = 2
incógnita = -1
Respuesta: incógnita 1 = 2, incógnita 2 = -1.
Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación|2 incógnita + 1| = incógnita + 2.
Solución.
Dado que el módulo es un número no negativo, entonces incógnita+ 2 ≥ 0. En consecuencia:
incógnita ≥ -2.
Hagamos dos ecuaciones:
2incógnita + 1 = incógnita + 2
2incógnita + 1 = -(incógnita + 2)
Decidimos:
2incógnita + 1 = incógnita + 2
2incógnita + 1 = -incógnita - 2
2incógnita - incógnita = 2 - 1
2incógnita + incógnita = -2 - 1
incógnita = 1
incógnita = -1
Ambos números son mayores que -2. Entonces ambas son raíces de la ecuación.
Respuesta: incógnita 1 = -1, incógnita 2 = 1.
Ejemplo 3
. Resuelve la ecuación
|incógnita + 3| - 1
————— = 4
incógnita - 1
Solución.
La ecuación tiene sentido si el denominador no es cero, es decir, si incógnita≠ 1. Tengamos en cuenta esta condición. Nuestra primera acción es simple: no sólo nos deshacemos de la fracción, sino que la transformamos para obtener el módulo en su forma pura:
|incógnita+ 3| - 1 = 4 · ( incógnita - 1),
|incógnita + 3| - 1 = 4incógnita - 4,
|incógnita + 3| = 4incógnita - 4 + 1,
|incógnita + 3| = 4incógnita - 3.
Ahora sólo tenemos una expresión bajo el módulo en el lado izquierdo de la ecuación. Sigamos adelante.
El módulo de un número es un número no negativo, es decir, debe ser mayor que cero o igual a cero. En consecuencia, resolvemos la desigualdad:
4incógnita - 3 ≥ 0
4incógnita ≥ 3
incógnita ≥ 3/4
Por tanto, tenemos una segunda condición: la raíz de la ecuación debe ser al menos 3/4.
De acuerdo con la regla, formamos un conjunto de dos ecuaciones y las resolvemos:
incógnita + 3 = 4incógnita - 3
incógnita + 3 = -(4incógnita - 3)
incógnita + 3 = 4incógnita - 3
incógnita + 3 = -4incógnita + 3
incógnita - 4incógnita = -3 - 3
incógnita + 4incógnita = 3 - 3
incógnita = 2
incógnita = 0
Recibimos dos respuestas. Comprobemos si son raíces de la ecuación original.
Teníamos dos condiciones: la raíz de la ecuación no puede ser igual a 1 y debe ser al menos 3/4. Eso es incógnita ≠ 1, incógnita≥ 3/4. Sólo una de las dos respuestas obtenidas corresponde a ambas condiciones: el número 2. Esto significa que sólo ésta es la raíz de la ecuación original.
Respuesta: incógnita = 2.
Desigualdades con módulo.
Ejemplo 1 . Resolver desigualdad| incógnita - 3| < 4
Solución.
La regla del módulo establece:
|A| = A, Si A ≥ 0.
|A| = -A, Si A < 0.
El módulo puede tener números negativos y no negativos. Entonces tenemos que considerar ambos casos: incógnita- 3 ≥ 0 y incógnita - 3 < 0.
1) cuando incógnita- 3 ≥ 0 nuestra desigualdad original permanece como está, sólo que sin el signo del módulo:
incógnita - 3 < 4.
2) cuando incógnita - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(incógnita - 3) < 4.
Abriendo los paréntesis obtenemos:
-incógnita + 3 < 4.
Así, de estas dos condiciones llegamos a la unificación de dos sistemas de desigualdades:
incógnita - 3 ≥ 0
incógnita - 3 < 4
incógnita - 3 < 0
-incógnita + 3 < 4
Resolvámoslos:
incógnita ≥ 3
incógnita < 7
incógnita < 3
incógnita > -1
Entonces, nuestra respuesta es una unión de dos conjuntos:
3 ≤ incógnita < 7 U -1 < incógnita < 3.
Determine el menor y valor más alto. Estos son -1 y 7. Además incógnita mayor que -1 pero menor que 7.
Además, incógnita≥ 3. Esto significa que la solución a la desigualdad es el conjunto completo de números del -1 al 7, excluyendo estos números extremos.
Respuesta: -1 < incógnita < 7.
O: incógnita ∈ (-1; 7).
Complementos.
1) Existe una forma más sencilla y breve de resolver nuestra desigualdad: gráficamente. Para hacer esto, dibuje un eje horizontal (Fig. 1).
Expresión | incógnita - 3| < 4 означает, что расстояние от точки incógnita al punto 3 es inferior a cuatro unidades. Marcamos el número 3 en el eje y contamos 4 divisiones a la izquierda y a la derecha del mismo. A la izquierda llegaremos al punto -1, a la derecha - al punto 7. Así, los puntos incógnita simplemente los vimos sin calcularlos.
Además, según la condición de desigualdad, -1 y 7 no están incluidos en el conjunto de soluciones. Así, obtenemos la respuesta:
1 < incógnita < 7.
2) Pero hay otra solución que es incluso más sencilla que el método gráfico. Para ello, nuestra desigualdad debe presentarse de la siguiente forma:
4 < incógnita - 3 < 4.
Después de todo, así es según la regla del módulo. El número no negativo 4 y el número negativo similar -4 son los límites para resolver la desigualdad.
4 + 3 < incógnita < 4 + 3
1 < incógnita < 7.
Ejemplo 2 . Resolver desigualdad| incógnita - 2| ≥ 5
Solución.
Este ejemplo es significativamente diferente del anterior. El lado izquierdo es mayor que 5 o igual a 5. Desde un punto de vista geométrico, la solución a la desigualdad son todos los números que están a una distancia de 5 unidades o más del punto 2 (Fig. 2). El gráfico muestra que estos son todos números menores o iguales a -3 y mayores o iguales a 7. Esto significa que ya hemos recibido la respuesta.
Respuesta: -3 ≥ incógnita ≥ 7.
En el camino, resolvemos la misma desigualdad reordenando el término libre hacia la izquierda y hacia la derecha con el signo opuesto:
5 ≥ incógnita - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ incógnita ≥ 5 + 2
La respuesta es la misma: -3 ≥ incógnita ≥ 7.
O: incógnita ∈ [-3; 7]
El ejemplo está solucionado.
Ejemplo 3 . Resolver desigualdad 6 incógnita 2 - | incógnita| - 2 ≤ 0
Solución.
Número incógnita puede ser un número positivo, un número negativo o cero. Por tanto, debemos tener en cuenta las tres circunstancias. Como sabes, se tienen en cuenta en dos desigualdades: incógnita≥ 0 y incógnita < 0. При incógnita≥ 0 simplemente reescribimos nuestra desigualdad original tal como está, solo que sin el signo del módulo:
6x2- incógnita - 2 ≤ 0.
Ahora sobre el segundo caso: si incógnita < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6incógnita 2 - (-incógnita) - 2 ≤ 0.
Ampliando los corchetes:
6incógnita 2 + incógnita - 2 ≤ 0.
Así, obtuvimos dos sistemas de ecuaciones:
6incógnita 2 - incógnita - 2 ≤ 0
incógnita ≥ 0
6incógnita 2 + incógnita - 2 ≤ 0
incógnita < 0
Necesitamos resolver desigualdades en sistemas, y esto significa encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. Para hacer esto, igualamos los lados izquierdos de las desigualdades a cero.
Empecemos por el primero:
6incógnita 2 - incógnita - 2 = 0.
Cómo resolver una ecuación cuadrática; consulte la sección " ecuación cuadrática" Inmediatamente nombraremos la respuesta:
incógnita 1 = -1/2, x2 = 2/3.
Del primer sistema de desigualdades obtenemos que la solución a la desigualdad original es el conjunto completo de números desde -1/2 hasta 2/3. Escribimos la unión de soluciones en incógnita ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Ahora resolvamos la segunda ecuación cuadrática:
6incógnita 2 + incógnita - 2 = 0.
Sus raíces:
incógnita 1 = -2/3, incógnita 2 = 1/2.
Conclusión: cuando incógnita < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Combinemos las dos respuestas y obtengamos la respuesta final: la solución es el conjunto completo de números desde -2/3 hasta 2/3, incluidos estos números extremos.
Respuesta: -2/3 ≤ incógnita ≤ 2/3.
O: incógnita ∈ [-2/3; 2/3].
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Matemáticas es un símbolo de la sabiduría de la ciencia,
un modelo de rigor científico y sencillez,
el estándar de excelencia y belleza en la ciencia.
El filósofo ruso, profesor A.V. Volóshínov
Desigualdades con módulo
Los problemas más difíciles de resolver en matemáticas escolares son las desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito tales desigualdades, es necesario tener un buen conocimiento de las propiedades del módulo y tener las habilidades para utilizarlas.
Conceptos y propiedades básicos.
Módulo (valor absoluto) numero real denotado por y se define de la siguiente manera:
A propiedades simples El módulo incluye las siguientes relaciones:
Y .
Nota, que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado par.
Además, si, dónde, entonces y
Propiedades de módulo más complejas, que se puede utilizar eficazmente al resolver ecuaciones y desigualdades con módulos, se formulan a través de los siguientes teoremas:
Teorema 1.Para cualquier función analítica Y la desigualdad es cierta.
Teorema 2. Igualdad equivale a desigualdad.
Teorema 3. Igualdad equivale a desigualdad.
Más común en matematicas escolares desigualdades, que contiene variables desconocidas bajo el signo del módulo, son desigualdades de la forma y donde alguna constante positiva.
Teorema 4. Desigualdad es equivalente a la doble desigualdad, y la solución a la desigualdadse reduce a resolver un conjunto de desigualdades Y .
Este teorema es un caso especial de los teoremas 6 y 7.
Desigualdades más complejas, que contienen un módulo son desigualdades de la forma, Y .
Los métodos para resolver tales desigualdades se pueden formular utilizando los siguientes tres teoremas.
Teorema 5. Desigualdad es equivalente a la combinación de dos sistemas de desigualdades
yo (1)
Prueba. Desde entonces
Esto implica la validez de (1).
Teorema 6. Desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades
Prueba. Porque , entonces de la desigualdad resulta que . Bajo esta condición, la desigualdady en este caso el segundo sistema de desigualdades (1) resultará inconsistente.
El teorema ha sido demostrado.
Teorema 7. Desigualdad es equivalente a la combinación de una desigualdad y dos sistemas de desigualdades
yo (3)
Prueba. Puesto que , entonces la desigualdad siempre ejecutado, Si .
Dejar entonces la desigualdadserá equivalente a la desigualdad, de donde se sigue un conjunto de dos desigualdades Y .
El teorema ha sido demostrado.
consideremos ejemplos típicos resolución de problemas sobre el tema “Desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo."
Resolver desigualdades con módulo.
El método más simple para resolver desigualdades con módulo es el método, basado en la expansión del módulo. Este método es universal., sin embargo, en el caso general, su uso puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. Por tanto, los estudiantes deben conocer otros métodos y técnicas (más eficaces) para resolver este tipo de desigualdades. En particular, es necesario tener habilidades en la aplicación de teoremas, dado en este artículo.
Ejemplo 1.Resolver desigualdad
. (4)
Solución.Resolveremos la desigualdad (4) usando el método "clásico": el método de revelar módulos. Para ello dividimos el eje numérico puntos y en intervalos y considere tres casos.
1. Si , entonces , , , y la desigualdad (4) toma la forma o .
Dado que el caso se considera aquí, es una solución a la desigualdad (4).
2. Si, entonces de la desigualdad (4) obtenemos o . Desde la intersección de intervalos Y esta vacio, entonces, en el intervalo de soluciones considerado no hay desigualdad (4).
3. Si, entonces la desigualdad (4) toma la forma o . Es obvio que también es una solución a la desigualdad (4).
Respuesta: , .
Ejemplo 2. Resolver desigualdad.
Solución. Supongamos eso. Porque , entonces la desigualdad dada toma la forma o . Desde entonces y de aquí se sigue o .
Sin embargo, por lo tanto o.
Ejemplo 3. Resolver desigualdad
. (5)
Solución. Porque , entonces la desigualdad (5) es equivalente a las desigualdades o . Desde aquí, según el teorema 4, tenemos un conjunto de desigualdades Y .
Respuesta: , .
Ejemplo 4.Resolver desigualdad
. (6)
Solución. Denotemos. Luego de la desigualdad (6) obtenemos las desigualdades , , o .
Desde aquí, usando el método del intervalo, obtenemos . Porque , entonces aquí tenemos un sistema de desigualdades
La solución a la primera desigualdad del sistema (7) es la unión de dos intervalos Y , y la solución a la segunda desigualdad es la doble desigualdad. De esto se desprende, que la solución al sistema de desigualdades (7) es la unión de dos intervalos Y .
Respuesta: ,
Ejemplo 5.Resolver desigualdad
. (8)
Solución. Transformemos la desigualdad (8) de la siguiente manera:
O .
Usando el método del intervalo, obtenemos una solución a la desigualdad (8).
Respuesta: .
Nota. Si ponemos y en las condiciones del Teorema 5, obtenemos .
Ejemplo 6. Resolver desigualdad
. (9)
Solución. De la desigualdad (9) se sigue. Transformemos la desigualdad (9) de la siguiente manera:
O
Desde entonces o .
Respuesta: .
Ejemplo 7.Resolver desigualdad
. (10)
Solución. Desde y , entonces o .
A este respecto y la desigualdad (10) toma la forma
O
. (11)
De ello se deduce que o . Dado que , entonces la desigualdad (11) también implica o .
Respuesta: .
Nota. Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (10), entonces obtenemos . De esto y de la desigualdad (10) se sigue, qué o . Porque , entonces la desigualdad (10) toma la forma o .
Ejemplo 8. Resolver desigualdad
. (12)
Solución. Desde entonces y de la desigualdad (12) se sigue o . Sin embargo, por lo tanto o. De aquí obtenemos o .
Respuesta: .
Ejemplo 9. Resolver desigualdad
. (13)
Solución. Según el Teorema 7, la solución a la desigualdad (13) es o .
Déjalo ser ahora. en ese caso y la desigualdad (13) toma la forma o .
Si combinas los intervalos Y , entonces obtenemos una solución a la desigualdad (13) de la forma.
Ejemplo 10. Resolver desigualdad
. (14)
Solución. Reescribamos la desigualdad (14) en una forma equivalente: . Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad.
De aquí y del Teorema 1 se sigue, esa desigualdad (14) se satisface para cualquier valor.
Respuesta: cualquier número.
Ejemplo 11. Resolver desigualdad
. (15)
Solución. Aplicar el teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (15), obtenemos . Esto y la desigualdad (15) producen la ecuación, que tiene la forma.
Según el teorema 3, ecuación equivale a desigualdad. De aquí obtenemos.
Ejemplo 12.Resolver desigualdad
. (16)
Solución. De la desigualdad (16), según el Teorema 4, obtenemos un sistema de desigualdades
Al resolver la desigualdadUsemos el teorema 6 y obtengamos un sistema de desigualdades.de donde se sigue.
Considere la desigualdad. Según el teorema 7, obtenemos un conjunto de desigualdades Y . La segunda desigualdad poblacional es válida para cualquier situación real..
Por eso , la solución a la desigualdad (16) es.
Ejemplo 13.Resolver desigualdad
. (17)
Solución. Según el teorema 1, podemos escribir
(18)
Teniendo en cuenta la desigualdad (17), concluimos que ambas desigualdades (18) se convierten en igualdades, es decir hay un sistema de ecuaciones
Según el teorema 3, este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de desigualdades
o
Ejemplo 14.Resolver desigualdad
. (19)
Solución. Desde entonces. Multipliquemos ambos lados de la desigualdad (19) por la expresión , que toma solo valores positivos para cualquier valor. Luego obtenemos una desigualdad que es equivalente a la desigualdad (19), de la forma
Desde aquí llegamos o , dónde . Desde y entonces la solución a la desigualdad (19) es Y .
Respuesta: , .
Para un estudio más profundo de los métodos para resolver desigualdades con módulo, recomendamos consultar los libros de texto., figura en la lista de literatura recomendada.
1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.
2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos para resolver y demostrar desigualdades. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.
3. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para la resolución de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.
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