Resolver ecuaciones con logaritmos naturales. Aprender a resolver ecuaciones logarítmicas simples

Resolver ecuaciones logarítmicas. Parte 1.

Ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita está contenida bajo el signo del logaritmo (en particular, en la base del logaritmo).

lo mas simple ecuación logarítmica tiene la forma:

Resolver cualquier ecuación logarítmica Implica una transición de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmos. Sin embargo, esta acción amplía el rango de valores permitidos de la ecuación y puede provocar la aparición de raíces extrañas. Para evitar la aparición de raíces extrañas, puedes hacerlo de tres maneras:

1. Hacer una transición equivalente de la ecuación original a un sistema que incluye

dependiendo de qué desigualdad o más simple.

Si la ecuación contiene una incógnita en la base del logaritmo:

luego vamos al sistema:

2. Encuentre por separado el rango de valores aceptables de la ecuación., luego resuelve la ecuación y verifica si las soluciones encontradas satisfacen la ecuación.

3. Resuelve la ecuación y luego controlar: sustituimos las soluciones encontradas en la ecuación original y comprobamos si obtenemos la igualdad correcta.

Una ecuación logarítmica de cualquier nivel de complejidad siempre se reduce en última instancia a la ecuación logarítmica más simple.

Todas las ecuaciones logarítmicas se pueden dividir en cuatro tipos:

1 . Ecuaciones que contienen logaritmos sólo a la primera potencia. Con la ayuda de transformaciones y uso, adquieren la forma.

Ejemplo. Resolvamos la ecuación:

Igualemos las expresiones bajo el signo del logaritmo:

Comprobemos si nuestra raíz de la ecuación satisface:

Sí, satisface.

Respuesta:x=5

2 . Ecuaciones que contienen logaritmos a potencias distintas de 1 (particularmente en el denominador de una fracción). Estas ecuaciones se pueden resolver usando introduciendo un cambio de variable.

Ejemplo. Resolvamos la ecuación:

Encontremos la ecuación ODZ:

La ecuación contiene logaritmos al cuadrado, por lo que se puede resolver cambiando de variable.

¡Importante! Antes de introducir un reemplazo, es necesario "separar" los logaritmos que forman parte de la ecuación en "ladrillos", utilizando las propiedades de los logaritmos.

Al “separar” logaritmos, es importante utilizar las propiedades de los logaritmos con mucho cuidado:

Además, aquí hay otro punto sutil, y para evitar un error común, usaremos una igualdad intermedia: escribiremos el grado del logaritmo de esta forma:

Asimismo,

Sustituyamos las expresiones resultantes en la ecuación original. Obtenemos:

Ahora vemos que la incógnita está contenida en la ecuación como parte de . Introduzcamos el reemplazo.: . Como puede tomar cualquier valor real, no imponemos ninguna restricción a la variable.

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Álgebra 11º grado

Tema: "Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas"

Objetivos de la lección:

educativo: construyendo conocimiento sobre de diferentes maneras resolución de ecuaciones logarítmicas, capacidad de aplicarlas en cada situación específica y elegir cualquier método de resolución;

desarrollo: desarrollo de habilidades para observar, comparar, aplicar conocimientos en nueva situación, identificar patrones, generalizar; desarrollar habilidades de control mutuo y autocontrol;

educativo: Fomentar una actitud responsable hacia el trabajo educativo, una percepción atenta del material de la lección y una cuidadosa toma de notas.

tipo de lección : lección sobre la introducción de material nuevo.

"La invención de los logaritmos, si bien redujo el trabajo del astrónomo, alargó su vida".
El matemático y astrónomo francés P.S. Laplace

Progreso de la lección

I. Establecer el objetivo de la lección

Definición estudiada de logaritmo, propiedades de los logaritmos y función logarítmica nos permitirá resolver ecuaciones logarítmicas. Todas las ecuaciones logarítmicas, por complejas que sean, se resuelven mediante algoritmos uniformes. Veremos estos algoritmos en la lección de hoy. No hay muchos de ellos. Si los dominas, cualquier ecuación con logaritmos será factible para cada uno de ustedes.

Escribe el tema de la lección en tu cuaderno: “Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas”. Invito a todos a cooperar.

II. Actualización de conocimientos de referencia.

Preparémonos para estudiar el tema de la lección. Resuelves cada tarea y escribes la respuesta; no es necesario que escribas la condición. Trabajar en parejas.

1) ¿Para qué valores de x tiene sentido la función?

A)

b)

V)

d)

(Se verifican las respuestas de cada diapositiva y se clasifican los errores)

2) ¿Coinciden las gráficas de las funciones?

a) y = x y

b)Y

3) Reescribe las igualdades como igualdades logarítmicas:

4) Escribe los números como logaritmos con base 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Calcular :

6) Intente restaurar o complementar los elementos que faltan en estas igualdades.

III. Introducción al nuevo material.

La siguiente declaración se muestra en la pantalla:

"La ecuación es la llave de oro que abre todos los sésamo matemáticos".
El matemático polaco moderno S. Kowal

Intenta formular la definición de una ecuación logarítmica. (Ecuación que contiene una incógnita bajo el signo del logaritmo ).

consideremosla ecuación logarítmica más simple: registro A x = segundo (donde a>0, a ≠ 1). Dado que la función logarítmica aumenta (o disminuye) en el conjunto de números positivos y toma todos los valores reales, entonces, según el teorema de la raíz, se deduce que para cualquier b esta ecuación tiene, y solo una, solución, y una positiva.

Recuerda la definición de logaritmo. (El logaritmo de un número x en base a es un indicador de la potencia a la que se debe elevar la base a para obtener el número x ). De la definición de logaritmo se deduce inmediatamente queA V es tal solución.

Escribe el título:Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas.

1. Por definición de logaritmo .

Así se resuelven las ecuaciones más simples de la forma..

consideremosNúm. 514(a) ): Resuelve la ecuación

¿Cómo propones solucionarlo? (Por definición de logaritmo )

Solución . , Por tanto 2x – 4 = 4; x = 4.

Respuesta: 4.

En esta tarea 2x – 4 > 0, ya que> 0, por lo que no pueden aparecer raíces extrañas, yno es necesario comprobar . No es necesario escribir la condición 2x ​​– 4 > 0 en esta tarea.

2. Potenciación (transición del logaritmo de una expresión dada a esta expresión misma).

consideremosNúm. 519(g): registro 5 ( incógnita 2 +8)- registro 5 ( incógnita+1)=3 registro 5 2

¿Qué característica notaste?(Las bases son iguales y los logaritmos de las dos expresiones son iguales) . ¿Qué se puede hacer?(Potenciar).

Se debe tener en cuenta que cualquier solución está contenida entre todos los x para los cuales las expresiones logarítmicas son positivas.

Solución: ODZ:

incógnita 2 +8>0 desigualdad innecesaria

registro 5 ( incógnita 2 +8) = registro 5 2 3 + registro 5 ( incógnita+1)

registro 5 ( incógnita 2 +8)= registro 5 (8 incógnita+8)

Potencialicemos la ecuación original.

incógnita 2 +8= 8 incógnita+8

obtenemos la ecuaciónincógnita 2 +8= 8 incógnita+8

Resolvámoslo:incógnita 2 -8 incógnita=0

x=0, x=8

Respuesta: 0; 8

En generaltransición a un sistema equivalente :

Ecuación

(El sistema contiene una condición redundante: no es necesario considerar una de las desigualdades).

pregunta para la clase : ¿Cuál de estas tres soluciones te gustó más? (Discusión de métodos).

Tienes derecho a decidir de cualquier forma.

3. Introducción de una nueva variable .

consideremosN° 520(g) . .

¿Qué notaste? (Este ecuación cuadrática relativo a log3x) ¿Cuáles son tus sugerencias? (Introduzca una nueva variable)

Solución . ODZ: x > 0.

Dejar, entonces la ecuación tomará la forma:. Discriminante D > 0. Raíces según el teorema de Vieta:.

Volvamos al reemplazo:o.

Resolviendo las ecuaciones logarítmicas más simples, obtenemos:

; .

Respuesta : 27;

4. Logaritmo en ambos lados de la ecuación.

Resuelve la ecuación:.

Solución : ODZ: x>0, tomemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación en base 10:

. Apliquemos la propiedad del logaritmo de una potencia:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Sea logx = y, entonces (y + 3)y = 4

, (D > 0) raíces según el teorema de Vieta: y1 = -4 e y2 = 1.

Volvamos al reemplazo, obtenemos: lgx = -4,; log x = 1,. . es el siguiente: si una de las funciones y = f(x) aumenta, y el otro y = g(x) disminuye en el intervalo X, entonces la ecuación f(x)= g(x) tiene como máximo una raíz en el intervalo X .

Si hay una raíz, entonces se puede adivinar. .

Respuesta : 2

“La correcta aplicación de los métodos se puede aprender
sólo aplicándolos a varios ejemplos”.
El historiador danés de las matemáticas G. G. Zeiten

I v. Tarea

P. 39 considere el ejemplo 3, resuelva No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Resumiendo la lección

¿Qué métodos para resolver ecuaciones logarítmicas vimos en clase?

En las próximas lecciones veremos más ecuaciones complejas. Para solucionarlos serán de utilidad los métodos estudiados.

Última diapositiva mostrada:

“¿Qué es más que nada en el mundo?
Espacio.
¿Qué es lo más sabio?
Tiempo.
¿Cuál es la mejor parte?
Consigue lo que deseas."
Tales

Deseo que todos logren lo que quieren. Gracias por su cooperación y comprensión.

Ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita (x) y las expresiones con ella están bajo el signo de la función logarítmica. Resolver ecuaciones logarítmicas supone que ya estás familiarizado con y .
¿Cómo resolver ecuaciones logarítmicas?

La ecuación más simple es iniciar sesión x = b, donde a y b son algunos números, x es una incógnita.
Resolver una ecuación logarítmica es x = a b siempre que: a > 0, a 1.

Cabe señalar que si x está en algún lugar fuera del logaritmo, por ejemplo log 2 x = x-2, entonces dicha ecuación ya se llama mixta y se necesita un enfoque especial para resolverla.

El caso ideal es cuando te encuentras con una ecuación en la que solo los números están bajo el signo del logaritmo, por ejemplo x+2 = log 2 2. Aquí basta con conocer las propiedades de los logaritmos para resolverla. Pero esa suerte no ocurre a menudo, así que prepárate para cosas más difíciles.

Pero primero, comencemos con ecuaciones simples. Para solucionarlos es conveniente disponer de la mayor idea general sobre el logaritmo.

Resolver ecuaciones logarítmicas simples

Estas incluyen ecuaciones del tipo log 2 x = log 2 16. A simple vista se puede ver que al omitir el signo del logaritmo obtenemos x = 16.

Para resolver una ecuación logarítmica más compleja, generalmente se reduce a resolver una ecuación algebraica ordinaria o a resolver una ecuación logarítmica simple log a x = b. En las ecuaciones más simples esto sucede en un solo movimiento, por eso se llaman más simples.

El método anterior de eliminar logaritmos es una de las principales formas de resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. En matemáticas, esta operación se llama potenciación. Hay ciertas reglas o restricciones para este tipo de operaciones:

• los logaritmos tienen las mismas bases numéricas
• Los logaritmos en ambos lados de la ecuación son libres, es decir sin ningún coeficiente y otros varios tipos expresiones.

Digamos que en la ecuación log 2 x = 2log 2 (1 - x) la potenciación no es aplicable; el coeficiente 2 de la derecha no lo permite. En el siguiente ejemplo, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) tampoco satisface una de las restricciones: hay dos logaritmos a la izquierda. ¡Si solo hubiera uno, sería un asunto completamente diferente!

En general, es posible eliminar logaritmos solo si la ecuación tiene la forma:

iniciar sesión (...) = iniciar sesión (...)

Absolutamente cualquier expresión se puede poner entre paréntesis; esto no tiene ningún efecto en la operación de potenciación. Y después de eliminar los logaritmos, quedará una ecuación más simple: lineal, cuadrática, exponencial, etc., que espero que ya sepas resolver.

Tomemos otro ejemplo:

registro 3 (2x-5) = registro 3 x

Aplicamos potenciación, obtenemos:

iniciar sesión 3 (2x-1) = 2

Basado en la definición de logaritmo, es decir, que un logaritmo es un número al que se debe elevar la base para obtener una expresión que esté bajo el signo del logaritmo, es decir (4x-1), obtenemos:

Nuevamente recibimos una hermosa respuesta. Aquí lo hicimos sin eliminar los logaritmos, pero la potenciación también es aplicable aquí, porque se puede hacer un logaritmo a partir de cualquier número y exactamente el que necesitamos. Este método es muy útil para resolver ecuaciones logarítmicas y especialmente desigualdades.

Resolvamos nuestra ecuación logarítmica log 3 (2x-1) = 2 usando potenciación:

Imaginemos el número 2 como un logaritmo, por ejemplo, este log 3 9, porque 3 2 =9.

Luego log 3 (2x-1) = log 3 9 y nuevamente obtenemos la misma ecuación 2x-1 = 9. Espero que todo quede claro.

Entonces vimos cómo resolver las ecuaciones logarítmicas más simples, que en realidad son muy importantes, porque resolver ecuaciones logarítmicas, incluso los más terribles y retorcidos, al final siempre se reduce a resolver las ecuaciones más simples.

En todo lo que hicimos arriba, nos perdimos uno muy punto importante, que jugará un papel decisivo en el futuro. El caso es que la solución de cualquier ecuación logarítmica, incluso la más elemental, consta de dos partes iguales. La primera es la solución de la ecuación en sí, la segunda es trabajar con el rango de valores permitidos (APV). Esta es exactamente la primera parte que hemos dominado. En los ejemplos anteriores, ODZ no afecta la respuesta de ninguna manera, por lo que no lo consideramos.

Tomemos otro ejemplo:

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

Exteriormente, esta ecuación no se diferencia de una elemental, que se puede resolver con mucho éxito. Pero esto no es del todo cierto. No, por supuesto que lo resolveremos, pero lo más probable es que sea incorrecto, porque contiene una pequeña emboscada, en la que inmediatamente caen tanto los estudiantes de grado C como los estudiantes excelentes. Echemos un vistazo más de cerca.

Digamos que necesitas encontrar la raíz de la ecuación o la suma de las raíces, si hay varias:

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

Usamos potenciación, aquí es aceptable. Como resultado, obtenemos una ecuación cuadrática ordinaria.

Encontrar las raíces de la ecuación:

Resultó dos raíces.

Respuesta: 3 y -1

A primera vista todo es correcto. Pero verifiquemos el resultado y sustituyémoslo en la ecuación original.

Empecemos con x 1 = 3:

registro 3 6 = registro 3 6

La verificación fue exitosa, ahora la cola es x 2 = -1:

registro 3 (-2) = registro 3 (-2)

¡Está bien, detente! Por fuera todo es perfecto. Una cosa: ¡no existen logaritmos de números negativos! Esto significa que la raíz x = -1 no es adecuada para resolver nuestra ecuación. Y por tanto la respuesta correcta será 3, no 2, como escribimos.

Aquí es donde jugué mi papel fatal ODZ que nos olvidamos.

Permítanme recordarles que el rango de valores aceptables incluye aquellos valores de x que están permitidos o tienen sentido para el ejemplo original.

Sin ODZ, cualquier solución, incluso una absolutamente correcta, de cualquier ecuación se convierte en una lotería: 50/50.

¿Cómo podríamos quedar atrapados resolviendo un ejemplo aparentemente elemental? Pero precisamente en el momento de la potenciación. Los logaritmos desaparecieron y con ellos todas las restricciones.

¿Qué hacer en este caso? ¿Se niega a eliminar los logaritmos? ¿Y negarse por completo a resolver esta ecuación?

No, somos como verdaderos héroes de uno canción famosa¡Tomemos un desvío!

Antes de comenzar a resolver cualquier ecuación logarítmica, escribiremos la ODZ. Pero después de eso, puedes hacer lo que tu corazón desee con nuestra ecuación. Habiendo recibido la respuesta, simplemente descartamos aquellas raíces que no están incluidas en nuestro ODZ y anotamos la versión final.

Ahora decidamos cómo grabar ODZ. Para hacer esto, examinamos cuidadosamente la ecuación original y buscamos lugares sospechosos en ella, como la división por x, la raíz par, etc. Hasta que hayamos resuelto la ecuación, no sabemos a qué es igual x, pero sabemos con certeza que hay x que, al sustituirlos, darán división por 0 o extracción. raíz cuadrada de un número negativo obviamente no son adecuadas como respuesta. Por lo tanto, tales x son inaceptables, mientras que el resto constituirá ODZ.

Usemos la misma ecuación nuevamente:

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

Como puedes ver, no hay división entre 0, raíces cuadradas Tampoco, pero hay expresiones con x en el cuerpo del logaritmo. Recordemos inmediatamente que la expresión dentro del logaritmo siempre debe ser >0. Escribimos esta condición en forma de ODZ:

Aquellos. Aún no hemos decidido nada, pero ya lo hemos escrito. requisito previo para toda la expresión sublogarítmica. La llave significa que estas condiciones deben ser verdaderas simultáneamente.

La ODZ está escrita, pero también es necesario resolver el sistema de desigualdades resultante, que es lo que haremos. Obtenemos la respuesta x > v3. Ahora sabemos con certeza cuál x no nos conviene. Y luego comenzamos a resolver la ecuación logarítmica en sí, que es lo que hicimos arriba.

Habiendo recibido las respuestas x 1 = 3 y x 2 = -1, es fácil ver que solo x1 = 3 nos conviene y lo anotamos como respuesta final.

Para el futuro, es muy importante recordar lo siguiente: resolvemos cualquier ecuación logarítmica en 2 etapas. El primero es resolver la ecuación en sí, el segundo es resolver la condición ODZ. Ambas etapas se realizan de forma independiente y se comparan sólo al escribir la respuesta, es decir. descarta todo lo innecesario y escribe la respuesta correcta.

Para reforzar el material recomendamos encarecidamente ver el vídeo:

El video muestra otros ejemplos de resolución de registros. ecuaciones y elaboración del método de intervalos en la práctica.

A esta pregunta, cómo resolver ecuaciones logarítmicas Eso es todo por ahora. Si algo lo decide el registro. las ecuaciones siguen sin estar claras o son incomprensibles, escriba sus preguntas en los comentarios.

Nota: La Academia de Educación Social (ASE) está lista para aceptar nuevos estudiantes.

Consideremos algunos tipos de ecuaciones logarítmicas que no se tratan con tanta frecuencia en las lecciones de matemáticas en la escuela, pero que se usan ampliamente al componer. asignaciones de competencia, incluso para el Examen Estatal Unificado.

1. Ecuaciones resueltas por el método de los logaritmos

Al resolver ecuaciones que contienen una variable tanto en la base como en el exponente, se utiliza el método del logaritmo. Si al mismo tiempo el exponente contiene un logaritmo, entonces ambos lados de la ecuación deben ser logaritmados hasta la base de este logaritmo.

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación: x log 2 x+2 = 8.

Solución.

Llevemos el logaritmo de los lados izquierdo y derecho de la ecuación a base 2. Obtenemos

registro 2 (x registro 2 x + 2) = registro 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Sea log 2 x = t.

Entonces (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t 1 = 1; t2 = -3.

Entonces log 2 x = 1 y x 1 = 2 o log 2 x = -3 y x 2 =1/8

Respuesta: 1/8; 2.

2. Ecuaciones logarítmicas homogéneas.

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Solución.

Dominio de la ecuación

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 en x = -4. Al verificar determinamos que valor dado x no es la raíz de la ecuación original. Por lo tanto, podemos dividir ambos lados de la ecuación por log 2 3 (x + 5).

Obtenemos log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Sea log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Entonces t 2 – 3 t + 2 = 0. Las raíces de esta ecuación son 1; 2. Volviendo a la variable original, obtenemos un conjunto de dos ecuaciones

Pero teniendo en cuenta la existencia del logaritmo, debemos considerar solo los valores (0; 9]. Esto significa que la expresión del lado izquierdo toma valor más alto 2 para x = 1. Consideremos ahora la función y = 2 x-1 + 2 1-x. Si tomamos t = 2 x -1, entonces tomará la forma y = t + 1/t, donde t > 0. En tales condiciones, tiene un único punto crítico t = 1. Este es el punto mínimo. Y vin = 2. Y se consigue en x = 1.

Ahora es obvio que las gráficas de las funciones consideradas pueden cruzarse solo una vez en el punto (1; 2). Resulta que x = 1 es la única raíz de la ecuación que se resuelve.

Respuesta: x = 1.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Solución.

Resolvamos esta ecuación para log 2 x. Sea log 2 x = t. Entonces t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t1 = -2; t 2 = 3 – x.

Obtenemos la ecuación log 2 x = -2 o log 2 x = 3 – x.

La raíz de la primera ecuación es x 1 = 1/4.

Encontraremos la raíz de la ecuación log 2 x = 3 – x mediante selección. Este es el número 2. Esta raíz es única, ya que la función y = log 2 x aumenta en todo el dominio de definición, y la función y = 3 – x es decreciente.

Es fácil comprobar que ambos números son raíces de la ecuación.

Respuesta: 1/4; 2.

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