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Lección y presentación sobre el tema: "Sistemas de desigualdades. Ejemplos de soluciones"

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Sistema de desigualdades

Chicos, han estudiado desigualdades lineales y cuadráticas y han aprendido a resolver problemas sobre estos temas. Pasemos ahora a un nuevo concepto en matemáticas: un sistema de desigualdades. Un sistema de desigualdades es similar a un sistema de ecuaciones. ¿Recuerdas los sistemas de ecuaciones? Estudiaste sistemas de ecuaciones en séptimo grado, intenta recordar cómo los resolviste.

Introduzcamos la definición de un sistema de desigualdades.
Varias desigualdades con alguna variable x forman un sistema de desigualdades si necesitas encontrar todos los valores de x para los cuales cada una de las desigualdades forma una expresión numérica correcta.

Cualquier valor de x para el cual cada desigualdad toma la expresión numérica correcta es una solución a la desigualdad. También se puede llamar solución privada.
¿Qué es una solución privada? Por ejemplo, en la respuesta recibimos la expresión x>7. Entonces x=8, o x=123, o cualquier otro número mayor que siete es una solución particular, y la expresión x>7 es solución general. La solución general está formada por muchas soluciones privadas.

¿Cómo combinamos el sistema de ecuaciones? Así es, una llave, y por eso hacen lo mismo con las desigualdades. Veamos un ejemplo de un sistema de desigualdades: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Si el sistema de desigualdades consta de expresiones idénticas, por ejemplo, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Entonces, ¿qué significa encontrar una solución a un sistema de desigualdades?
Una solución a una desigualdad es un conjunto de soluciones parciales a una desigualdad que satisfacen ambas desigualdades del sistema a la vez.

Escribimos la forma general del sistema de desigualdades como $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Denotemos $Х_1$ como la solución general de la desigualdad f(x)>0.
$X_2$ es la solución general a la desigualdad g(x)>0.
$X_1$ y $X_2$ son un conjunto de soluciones particulares.
La solución al sistema de desigualdades serán números que pertenecen tanto a $X_1$ como a $X_2$.
Recordemos las operaciones en conjuntos. ¿Cómo encontramos elementos de un conjunto que pertenecen a ambos conjuntos a la vez? Así es, existe un operativo de intersección para esto. Entonces, la solución a nuestra desigualdad será el conjunto $A= X_1∩ X_2$.

Ejemplos de soluciones a sistemas de desigualdades.

Veamos ejemplos de resolución de sistemas de desigualdades.

Resuelve el sistema de desigualdades.
a) $\begin(casos)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(casos)2x-4≤6\\-x-4
Solución.
a) Resuelve cada desigualdad por separado.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Marquemos nuestros intervalos en una línea de coordenadas.

La solución del sistema será el segmento de intersección de nuestros intervalos. La desigualdad es estricta, entonces el segmento será abierto.
Respuesta: (1;3).

B) También resolveremos cada desigualdad por separado.
$2x-4≤6; 2x≤10; x ≤ $5.
$-x-4-5$.


La solución del sistema será el segmento de intersección de nuestros intervalos. La segunda desigualdad es estricta, entonces el segmento quedará abierto por la izquierda.
Respuesta: (-5; 5].

Resumamos lo que hemos aprendido.
Digamos que es necesario resolver el sistema de desigualdades: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Entonces, el intervalo ($x_1; x_2$) es la solución a la primera desigualdad.
El intervalo ($y_1; y_2$) es la solución a la segunda desigualdad.
La solución de un sistema de desigualdades es la intersección de las soluciones de cada desigualdad.

Los sistemas de desigualdades pueden consistir no solo en desigualdades de primer orden, sino también en cualquier otro tipo de desigualdades.

Reglas importantes para la resolución de sistemas de desigualdades.
Si una de las desigualdades del sistema no tiene solución, entonces el sistema completo no tiene solución.
Si una de las desigualdades se cumple para cualquier valor de la variable, entonces la solución del sistema será la solución de la otra desigualdad.

Ejemplos.
Resuelve el sistema de desigualdades:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solución.
Resolvamos cada desigualdad por separado.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Resolvamos la segunda desigualdad.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

La solución a la desigualdad es el intervalo.
Dibujemos ambos intervalos en la misma recta y encontremos la intersección.
La intersección de intervalos es el segmento (4; 6].
Respuesta: (4;6].

Resuelve el sistema de desigualdades.
a) $\begin(casos)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(casos)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(casos )$.

Solución.
a) La primera desigualdad tiene solución x>1.
Encontremos el discriminante de la segunda desigualdad.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Recordemos la regla: cuando una de las desigualdades no tiene solución, entonces todo el sistema no tiene solución.
Respuesta: No hay soluciones.

B) La primera desigualdad tiene solución x>1.
La segunda desigualdad es mayor que cero para todo x. Entonces la solución del sistema coincide con la solución de la primera desigualdad.
Respuesta: x>1.

Problemas sobre sistemas de desigualdades para solución independiente.

Resolver sistemas de desigualdades:
a) $\begin(casos)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(casos)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(casos)x^2-25 d) $\begin(casos)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(casos)$
e) $\begin(casos)x^2+36

consulte también Resolver gráficamente un problema de programación lineal, Forma canónica de problemas de programación lineal

El sistema de restricciones para tal problema consta de desigualdades en dos variables:
y la función objetivo tiene la forma F = do 1 incógnita + do 2 y que es necesario maximizar.

Respondamos la pregunta: ¿qué pares de números ( incógnita; y) son soluciones al sistema de desigualdades, es decir, ¿satisfacen cada una de las desigualdades simultáneamente? En otras palabras, ¿qué significa resolver un sistema gráficamente?
Primero debes entender cuál es la solución a una desigualdad lineal con dos incógnitas.
Resolver una desigualdad lineal con dos incógnitas significa determinar todos los pares de valores desconocidos para los que se cumple la desigualdad.
Por ejemplo, desigualdad 3 incógnita – 5y≥ 42 pares satisfechos ( incógnita , y): (100, 2); (3, –10), etc. La tarea es encontrar todos esos pares.
Consideremos dos desigualdades: hacha + por≤ do, hacha + por≥ do. Derecho hacha + por = do divide el plano en dos semiplanos de modo que las coordenadas de los puntos de uno de ellos satisfacen la desigualdad hacha + por >do, y la otra desigualdad hacha + +por <do.
De hecho, tomemos un punto con coordenadas incógnita = incógnita 0; luego un punto que se encuentra sobre una recta y tiene una abscisa incógnita 0, tiene ordenada

Dejar con certeza a< 0, b>0, do>0. Todos los puntos con abscisas. incógnita 0 tumbado arriba PAG(por ejemplo, punto METRO), tener yM>y 0 , y todos los puntos debajo del punto PAG, con abscisa incógnita 0, tengo y norte<y 0. Desde incógnita 0 es un punto arbitrario, entonces siempre habrá puntos en un lado de la línea para los cuales hacha+ por > do, formando un semiplano, y en el otro lado, puntos para los cuales hacha + por< do.

Figura 1

El signo de desigualdad en el semiplano depende de los números. a, b , do.
Esto lleva al siguiente método solución gráfica sistemas desigualdades lineales a partir de dos variables. Para resolver el sistema necesitas:

1. Para cada desigualdad, escribe la ecuación correspondiente a esta desigualdad.
2. Construir líneas rectas que sean gráficas de funciones especificadas por ecuaciones.
3. Para cada recta, determina el semiplano, que viene dado por la desigualdad. Para hacer esto, tome un punto arbitrario que no se encuentre en una línea recta y sustituya sus coordenadas en la desigualdad. Si la desigualdad es verdadera, entonces el semiplano que contiene el punto elegido es la solución de la desigualdad original. Si la desigualdad es falsa, entonces el semiplano al otro lado de la recta es el conjunto de soluciones de esta desigualdad.
4. Para resolver un sistema de desigualdades es necesario encontrar el área de intersección de todos los semiplanos que son solución a cada desigualdad del sistema.

Esta área puede resultar vacía, entonces el sistema de desigualdades no tiene soluciones y es inconsistente. De lo contrario, se dice que el sistema es consistente.
Puede haber soluciones numero final y número infinito. El área puede ser un polígono cerrado o ilimitado.

Veamos tres ejemplos relevantes.

Ejemplo 1. Resuelva el sistema gráficamente:
incógnita + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• considere las ecuaciones x+y–1=0 y –2x–2y+5=0 correspondientes a las desigualdades;
• Construyamos líneas rectas dadas por estas ecuaciones.

Figura 2

Definamos los semiplanos definidos por las desigualdades. Tomemos un punto arbitrario, sea (0; 0). consideremos incógnita+ y– 1 0, sustituye el punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Esto significa que en el semiplano donde se encuentra el punto (0; 0), incógnita + y – 1 ≤ 0, es decir el semiplano que se encuentra debajo de la recta es una solución a la primera desigualdad. Sustituyendo este punto (0; 0) en el segundo, obtenemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, es decir en el semiplano donde se encuentra el punto (0; 0), –2 incógnita – 2y+ 5≥ 0, y nos preguntaron dónde –2 incógnita – 2y+ 5 ≤ 0, por lo tanto, en el otro semiplano, en el que está encima de la línea recta.
Encontremos la intersección de estos dos semiplanos. Las rectas son paralelas, por lo que los planos no se cruzan en ningún lado, lo que significa que el sistema de estas desigualdades no tiene soluciones y es inconsistente.

Ejemplo 2. Encuentre gráficamente soluciones al sistema de desigualdades:

Figura 3
1. Escribamos las ecuaciones correspondientes a las desigualdades y construyamos líneas rectas.
incógnita + 2y– 2 = 0

incógnita	2	0
y	0	1

y – incógnita – 1 = 0

incógnita	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Habiendo elegido el punto (0; 0), determinamos los signos de las desigualdades en los semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, es decir incógnita + 2y– 2 ≤ 0 en el semiplano situado debajo de la línea recta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, es decir y –incógnita– 1 ≤ 0 en el semiplano situado debajo de la línea recta;
0 + 2 =2 ≥ 0, es decir y+ 2 ≥ 0 en el semiplano encima de la recta.
3. La intersección de estos tres semiplanos será un área que es un triángulo. No es difícil encontrar los vértices de la región como puntos de intersección de las líneas correspondientes.


De este modo, A(–3; –2), EN(0; 1), CON(6; –2).

Consideremos otro ejemplo en el que el dominio de solución resultante del sistema no está limitado.

Este artículo proporciona información inicial sobre los sistemas de desigualdades. Aquí hay una definición de un sistema de desigualdades y una definición de una solución a un sistema de desigualdades. También se enumeran los principales tipos de sistemas con los que es necesario trabajar con mayor frecuencia en las lecciones de álgebra en la escuela y se dan ejemplos.

Navegación de páginas.

¿Qué es un sistema de desigualdades?

Es conveniente definir sistemas de desigualdades de la misma manera que introdujimos la definición de un sistema de ecuaciones, es decir, por el tipo de notación y el significado que se le atribuye.

Definición.

Sistema de desigualdades es un registro que representa un cierto número de desigualdades escritas una debajo de la otra, unidas a la izquierda por una llave, y denota el conjunto de todas las soluciones que son simultáneamente soluciones a cada desigualdad del sistema.

Pongamos un ejemplo de un sistema de desigualdades. Tomemos dos arbitrarios, por ejemplo, 2 x−3>0 y 5−x≥4 x−11, escríbalos uno debajo del otro.
2x−3>0,
5−x≥4x−11
y unir con un signo del sistema - una llave, como resultado obtenemos un sistema de desigualdades de la siguiente forma:

Se da una idea similar sobre los sistemas de desigualdades en libros de texto escolares. Vale la pena señalar que sus definiciones se dan de manera más estricta: para desigualdades con una variable o con dos variables.

Principales tipos de sistemas de desigualdades.

Está claro que es posible crear infinitos sistemas de desigualdades diferentes. Para no perderse en esta diversidad, es recomendable considerarlos en grupos que tengan sus propios características distintivas. Todos los sistemas de desigualdades se pueden dividir en grupos según los siguientes criterios:

• por el número de desigualdades en el sistema;
• por el número de variables involucradas en la grabación;
• por el tipo de desigualdades mismas.

En función del número de desigualdades incluidas en el registro se distinguen sistemas de dos, tres, cuatro, etc. desigualdades En el párrafo anterior dimos un ejemplo de un sistema, que es un sistema de dos desigualdades. Mostremos otro ejemplo de un sistema de cuatro desigualdades. .

Por otra parte, diremos que no tiene sentido hablar únicamente de un sistema de desigualdad; en este caso, en esencia, estamos hablando de la desigualdad en sí, y no del sistema.

Si nos fijamos en el número de variables, entonces existen sistemas de desigualdades con uno, dos, tres, etc. variables (o, como también se dice, incógnitas). Mira a último sistema desigualdades escritas dos párrafos arriba. Es un sistema con tres variables x, y y z. Tenga en cuenta que sus dos primeras desigualdades no contienen las tres variables, sino solo una de ellas. En el contexto de este sistema, deben entenderse como desigualdades con tres variables de la forma x+0·y+0·z≥−2 y 0·x+y+0·z≤5, respectivamente. Tenga en cuenta que la escuela se centra en las desigualdades con una variable.

Queda por discutir qué tipos de desigualdades están involucradas en los sistemas de registro. En la escuela, consideran principalmente sistemas de dos desigualdades (con menos frecuencia, tres, incluso menos, cuatro o más) con una o dos variables, y las desigualdades mismas suelen ser desigualdades enteras primer o segundo grado (con menos frecuencia, grados superiores o fraccionariamente racionales). Pero no se sorprenda si en sus materiales de preparación para el Examen Estatal Unificado se encuentra con sistemas de desigualdades que contienen desigualdades irracionales, logarítmicas, exponenciales y de otro tipo. Como ejemplo, damos el sistema de desigualdades. , está tomado de .

¿Cuál es la solución a un sistema de desigualdades?

Introduzcamos otra definición relacionada con los sistemas de desigualdades: la definición de solución a un sistema de desigualdades:

Definición.

Resolver un sistema de desigualdades con una variable. Se llama tal valor de una variable que convierte en verdadera cada una de las desigualdades del sistema, en otras palabras, es una solución a cada desigualdad del sistema.

Expliquemos con un ejemplo. Tomemos un sistema de dos desigualdades con una variable. Tomemos el valor de la variable x igual a 8, es una solución a nuestro sistema de desigualdades por definición, ya que su sustitución en las desigualdades del sistema da dos desigualdades numéricas correctas 8>7 y 2−3·8≤0. Por el contrario, la unidad no es una solución del sistema, ya que al sustituirla por la variable x, la primera desigualdad se convertirá en la desigualdad numérica incorrecta 1>7.

De manera similar, se puede introducir la definición de solución a un sistema de desigualdades con dos, tres y un gran número variables:

Definición.

Resolver un sistema de desigualdades con dos, tres, etc. variables llamado par, tres, etc. valores de estas variables, que a la vez es una solución a cada desigualdad del sistema, es decir, convierte cada desigualdad del sistema en una desigualdad numérica correcta.

Por ejemplo, un par de valores x=1, y=2 o en otra notación (1, 2) es una solución a un sistema de desigualdades con dos variables, ya que 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Los sistemas de desigualdades pueden no tener soluciones, pueden tener un número finito de soluciones o pueden tener un número infinito de soluciones. Se suele hablar del conjunto de soluciones a un sistema de desigualdades. Cuando un sistema no tiene soluciones, entonces hay un conjunto vacío de sus soluciones. Cuando hay un número finito de soluciones, entonces el conjunto de soluciones contiene un número finito de elementos, y cuando hay infinitas soluciones, entonces el conjunto de soluciones consta de un número infinito de elementos.

Algunas fuentes introducen definiciones de solución particular y general a un sistema de desigualdades, como, por ejemplo, en los libros de texto de Mordkovich. Bajo solución privada del sistema de desigualdades comprender su única decisión. Sucesivamente solución general al sistema de desigualdades- Estas son todas sus decisiones privadas. Sin embargo, estos términos sólo tienen sentido cuando es necesario enfatizar específicamente de qué tipo de solución estamos hablando, pero generalmente esto ya queda claro por el contexto, por lo que con mucha más frecuencia simplemente dicen "una solución a un sistema de desigualdades".

De las definiciones de un sistema de desigualdades y sus soluciones introducidas en este artículo, se deduce que una solución a un sistema de desigualdades es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas las desigualdades de este sistema.

Referencias.

1. Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Álgebra: 9no grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G.Álgebra. 9no grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G.Álgebra y los inicios del análisis matemático. 11º grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Examen estatal unificado-2013. Matemáticas: opciones de examen estándar: 30 opciones / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Editorial “Educación Nacional”, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - escuela).