Resolver gráficamente sistemas de desigualdades lineales. Desigualdad. Sistema de desigualdades lineales.

En esta lección comenzaremos a estudiar sistemas de desigualdades. Primero consideraremos los sistemas. desigualdades lineales. Al comienzo de la lección, consideraremos dónde y por qué surgen los sistemas de desigualdades. A continuación, estudiaremos qué significa resolver un sistema y recordaremos la unión e intersección de conjuntos. Al final resolveremos ejemplos concretos de sistemas de desigualdades lineales.

Sujeto: DietaTodas las desigualdades y sus sistemas.

Lección:Principalconceptos, resolución de sistemas de desigualdades lineales

Hasta ahora hemos resuelto desigualdades individuales y les hemos aplicado el método del intervalo, estas podrían ser; desigualdades lineales, tanto cuadrado como racional. Pasemos ahora a resolver sistemas de desigualdades, primero sistemas lineales . Veamos un ejemplo de donde surge la necesidad de considerar sistemas de desigualdades.

Encuentra el dominio de una función.

Encuentra el dominio de una función.

Una función existe cuando existen ambas raíces cuadradas, es decir

¿Cómo resolver tal sistema? Es necesario encontrar todos los x que satisfagan tanto la primera como la segunda desigualdad.

Representamos en el eje del buey el conjunto de soluciones a la primera y segunda desigualdad.

El intervalo de intersección de dos rayos es nuestra solución.

Este método de representar una solución a un sistema de desigualdades a veces se denomina método del techo.

La solución del sistema es la intersección de dos conjuntos.

Representemos esto gráficamente. Tenemos un conjunto A de naturaleza arbitraria y un conjunto B de naturaleza arbitraria, que se cruzan.

Definición: La intersección de dos conjuntos A y B es el tercer conjunto que consta de todos los elementos incluidos en A y B.

miremos ejemplos específicos soluciones a sistemas lineales de desigualdades, cómo encontrar intersecciones de conjuntos de soluciones a desigualdades individuales incluidas en el sistema.

Resuelve el sistema de desigualdades:

Respuesta: (7; 10].

4. Resuelve el sistema

¿De dónde puede venir la segunda desigualdad del sistema? Por ejemplo, de la desigualdad

Designemos gráficamente las soluciones de cada desigualdad y encontremos el intervalo de su intersección.

Por tanto, si tenemos un sistema en el que una de las desigualdades satisface cualquier valor de x, entonces puede eliminarse.

Respuesta: el sistema es contradictorio.

Examinamos problemas de soporte típicos a los que se puede reducir la solución de cualquier sistema lineal de desigualdades.

Considere el siguiente sistema.

7.

A veces un sistema lineal está dado por una doble desigualdad; consideremos este caso.

8.

Analizamos los sistemas de desigualdades lineales, comprendimos de dónde vienen, analizamos los sistemas estándar a los que se pueden reducir todos los sistemas lineales y resolvimos algunos de ellos.

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Las desigualdades y los sistemas de desigualdades son uno de los temas tratados en escuela secundaria en álgebra. En cuanto al nivel de dificultad, no es el más difícil, ya que tiene reglas simples (más sobre ellas un poco más adelante). Como regla general, los escolares aprenden a resolver sistemas de desigualdades con bastante facilidad. Esto también se debe al hecho de que los profesores simplemente “capacitan” a sus alumnos sobre este tema. Y no pueden evitar hacerlo, porque se estudia en el futuro utilizando otras cantidades matemáticas y también se prueba en el Examen Estatal Unificado y el Examen Estatal Unificado. EN libros de texto escolares El tema de las desigualdades y los sistemas de desigualdades está tratado con gran detalle, por lo que si vas a estudiarlo lo mejor es recurrir a ellos. Este artículo solo resume material más amplio y puede haber algunas omisiones.

El concepto de sistema de desigualdades.

Si recurrimos al lenguaje científico, podemos definir el concepto de “sistema de desigualdades”. Este es un modelo matemático que representa varias desigualdades. Este modelo, por supuesto, requiere una solución, y esta será la respuesta general para todas las desigualdades del sistema propuesto en la tarea (normalmente se escribe así, por ejemplo: “Resolver el sistema de desigualdades 4 x + 1 > 2 y 30 - x > 6... "). Sin embargo, antes de pasar a los tipos y métodos de soluciones, es necesario comprender algo más.

Sistemas de desigualdades y sistemas de ecuaciones.

En el proceso de estudiar nuevo tema muy a menudo surgen malentendidos. Por un lado, todo está claro y quieres empezar a resolver tareas lo antes posible, pero por otro lado, algunos momentos quedan en la “sombra” y no se comprenden del todo. Además, algunos elementos de conocimientos ya adquiridos pueden entrelazarse con otros nuevos. Como resultado de esta “superposición”, a menudo se producen errores.

Por tanto, antes de comenzar a analizar nuestro tema, conviene recordar las diferencias entre ecuaciones y desigualdades y sus sistemas. Para ello, necesitamos explicar una vez más qué representan estos conceptos matemáticos. Una ecuación es siempre una igualdad y siempre es igual a algo (en matemáticas, esta palabra se denota con el signo "="). La desigualdad es un modelo en el que un valor es mayor o menor que otro, o contiene una afirmación de que no son iguales. Así, en el primer caso conviene hablar de igualdad, y en el segundo, por muy obvio que parezca por el propio nombre, de desigualdad de los datos de origen. Los sistemas de ecuaciones y desigualdades prácticamente no se diferencian entre sí y los métodos para resolverlos son los mismos. La única diferencia es que en el primer caso se utilizan igualdades y en el segundo desigualdades.

Tipos de desigualdades

Hay dos tipos de desigualdades: numéricas y con variable desconocida. El primer tipo representa cantidades proporcionadas (números) que son desiguales entre sí, por ejemplo, 8 > 10. El segundo son desigualdades que contienen una variable desconocida (indicada por una letra del alfabeto latino, generalmente X). Es necesario encontrar esta variable. Según cuántas sean, el modelo matemático distingue entre desigualdades con una (conforman un sistema de desigualdades con una variable) o con varias variables (conforman un sistema de desigualdades con varias variables).

Dos el último tipo Según el grado de construcción y el nivel de complejidad, las soluciones se dividen en simples y complejas. Las simples también se llaman desigualdades lineales. Ellos, a su vez, se dividen en estrictos y no estrictos. Los estrictos “dicen” específicamente que una cantidad necesariamente debe ser menor o mayor, por lo que esto está en forma pura desigualdad. Se pueden dar varios ejemplos: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Los no estrictos también incluyen la igualdad. Es decir, un valor puede ser mayor o igual a otro valor (el signo “≥”) o menor o igual a otro valor (el signo “≤”). Incluso en las desigualdades lineales, la variable no está en la raíz, no es al cuadrado ni es divisible por nada, por eso se las llama "simples". Los complejos implican variables desconocidas que requieren más matemáticas para encontrarlas. A menudo se ubican en un cuadrado, cubo o debajo de una raíz, pueden ser modulares, logarítmicos, fraccionarios, etc. Pero como nuestra tarea es la necesidad de comprender la solución de sistemas de desigualdades, hablaremos de un sistema de desigualdades lineales. . Sin embargo, antes de eso conviene decir algunas palabras sobre sus propiedades.

Propiedades de las desigualdades

Las propiedades de las desigualdades incluyen las siguientes:

1. El signo de desigualdad se invierte si se utiliza una operación para cambiar el orden de los lados (por ejemplo, si t 1 ≤ t 2, entonces t 2 ≥ t 1).
2. Ambos lados de la desigualdad le permiten sumar el mismo número a sí mismo (por ejemplo, si t 1 ≤ t 2, entonces t 1 + número ≤ t 2 + número).
3. Dos o más desigualdades con signo en la misma dirección permiten sumar sus lados izquierdo y derecho (por ejemplo, si t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, entonces t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar o dividir por el mismo número positivo (por ejemplo, si t 1 ≤ t 2 y un número ≤ 0, entonces el número · t 1 ≥ número · t 2).
5. Dos o más desigualdades que tienen términos positivos y signo en la misma dirección se permiten multiplicarse entre sí (por ejemplo, si t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 entonces t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Ambas partes de la desigualdad se permiten multiplicar o dividir por el mismo número negativo, pero en este caso el signo de la desigualdad cambia (por ejemplo, si t 1 ≤ t 2 y un número ≤ 0, entonces el número · t 1 ≥ número · t 2).
7. Todas las desigualdades tienen la propiedad de transitividad (por ejemplo, si t 1 ≤ t 2 y t 2 ≤ t 3, entonces t 1 ≤ t 3).

Ahora, después de estudiar los principios básicos de la teoría relacionada con las desigualdades, podemos proceder directamente a considerar las reglas para resolver sus sistemas.

Resolución de sistemas de desigualdades. Información general. Soluciones

Como se mencionó anteriormente, la solución son los valores de la variable que son adecuados para todas las desigualdades del sistema dado. Resolver sistemas de desigualdades es la implementación de operaciones matemáticas que en última instancia conducen a una solución para todo el sistema o demuestran que no tiene soluciones. En este caso, se dice que la variable pertenece a un conjunto numérico vacío (escrito de la siguiente manera: letra que denota una variable∈ (signo “pertenece”) ø (signo “conjunto vacío”), por ejemplo, x ∈ ø (léase: “La variable “x” pertenece al conjunto vacío”). Hay varias formas de resolver sistemas de desigualdades: gráfico, algebraico, método de sustitución. Vale la pena señalar que se refieren a aquellos modelos matemáticos que tienen varias variables desconocidas. En el caso de que solo haya uno, el método del intervalo es adecuado.

Método gráfico

Le permite resolver un sistema de desigualdades con varias cantidades desconocidas (de dos en adelante). Gracias a este método se puede resolver un sistema de desigualdades lineales con bastante facilidad y rapidez, por lo que es el método más común. Esto se explica por el hecho de que trazar un gráfico reduce la cantidad de operaciones matemáticas escritas. Resulta especialmente agradable tomar un pequeño descanso del bolígrafo, tomar un lápiz con una regla y comenzar otras acciones con su ayuda cuando se ha realizado mucho trabajo y se desea un poco de variedad. Sin embargo, a algunas personas no les gusta este método porque tienen que desconectarse de la tarea y dedicar su actividad mental al dibujo. Sin embargo, este es un método muy eficaz.

Para resolver un sistema de desigualdades usando un método gráfico, es necesario trasladar todos los términos de cada desigualdad a su lado izquierdo. Los signos se invertirán, se debe escribir cero a la derecha y luego cada desigualdad se debe escribir por separado. Como resultado, se obtendrán funciones a partir de desigualdades. Después de esto, puedes sacar un lápiz y una regla: ahora necesitas dibujar una gráfica de cada función obtenida. Todo el conjunto de números que estarán en el intervalo de su intersección será una solución al sistema de desigualdades.

manera algebraica

Permite resolver un sistema de desigualdades con dos variables desconocidas. Además, las desigualdades deben tener el mismo signo de desigualdad (es decir, deben contener sólo el signo “mayor que”, o sólo el signo “menor que”, etc.). A pesar de sus limitaciones, este método también es más complejo. Se aplica en dos etapas.

El primero implica acciones para deshacerse de una de las variables desconocidas. Primero debe seleccionarla y luego verificar la presencia de números delante de esta variable. Si no están (entonces la variable se verá como una sola letra), entonces no cambiamos nada, si los hay (el tipo de variable será, por ejemplo, 5y o 12y), entonces es necesario hacer asegúrese de que en cada desigualdad el número delante de la variable seleccionada sea el mismo. Para hacer esto, debes multiplicar cada término de las desigualdades por un factor común, por ejemplo, si se escribe 3y en la primera desigualdad y 5y en la segunda, entonces debes multiplicar todos los términos de la primera desigualdad por 5. , y el segundo por 3. Obtienes 15y y 15y, respectivamente.

Segunda etapa de solución. Es necesario trasladar el lado izquierdo de cada desigualdad a su lado derecho, cambiando el signo de cada término al opuesto, y escribir cero a la derecha. Luego viene la parte divertida: deshacerse de la variable seleccionada (también conocida como “reducción”) mientras se suman las desigualdades. Esto da como resultado una desigualdad con una variable que debe resolverse. Después de esto, deberás hacer lo mismo, sólo que con otra variable desconocida. Los resultados obtenidos serán la solución del sistema.

Método de sustitución

Permite resolver un sistema de desigualdades si es posible introducir una nueva variable. Normalmente, este método se utiliza cuando la variable desconocida en un término de la desigualdad se eleva a la cuarta potencia y en el otro término se eleva al cuadrado. Por tanto, este método tiene como objetivo reducir el grado de desigualdades en el sistema. La desigualdad muestral x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 se resuelve de esta forma. Se introduce una nueva variable, por ejemplo t. Escriben: “Sea t = x 2”, luego el modelo se reescribe en una nueva forma. En nuestro caso, obtenemos t 2 - t - 1 ≤0. Esta desigualdad debe resolverse usando el método del intervalo (más sobre eso más adelante), luego volver a la variable X y luego hacer lo mismo con la otra desigualdad. Las respuestas recibidas serán la solución del sistema.

método de intervalo

Ésta es la forma más sencilla de resolver sistemas de desigualdades y, al mismo tiempo, es universal y extendida. Se utiliza en escuelas secundarias e incluso en escuelas superiores. Su esencia radica en el hecho de que el estudiante busca intervalos de desigualdad en una recta numérica dibujada en un cuaderno (esto no es un gráfico, sino simplemente una recta ordinaria con números). Donde los intervalos de desigualdades se cruzan, se encuentra la solución del sistema. Para utilizar el método de intervalo, debe seguir estos pasos:

1. Todos los términos de cada desigualdad se transfieren al lado izquierdo y el signo cambia al opuesto (el cero está escrito a la derecha).
2. Las desigualdades se escriben por separado y se determina la solución a cada una de ellas.
3. Se encuentran las intersecciones de desigualdades en la recta numérica. Todos los números ubicados en estas intersecciones serán una solución.

¿Qué método debo utilizar?

Evidentemente el que parece más fácil y conveniente, pero hay casos en los que las tareas requieren un determinado método. La mayoría de las veces dicen que es necesario resolver utilizando una gráfica o el método de intervalo. El método algebraico y la sustitución se utilizan muy raramente o nunca, ya que son bastante complejos y confusos, y además, se utilizan más para resolver sistemas de ecuaciones que para resolver desigualdades, por lo que conviene recurrir a dibujar gráficas e intervalos. Aportan claridad, que no puede dejar de contribuir a la ejecución eficiente y rápida de las operaciones matemáticas.

Si algo no funciona

Al estudiar un tema particular de álgebra, naturalmente, pueden surgir problemas con su comprensión. Y esto es normal, porque nuestro cerebro está diseñado de tal manera que no es capaz de comprender material complejo de una sola vez. A menudo es necesario volver a leer un párrafo, pedir ayuda a un profesor o practicar la resolución de tareas estándar. En nuestro caso, se ven, por ejemplo, así: "Resolver el sistema de desigualdades 3 x + 1 ≥ 0 y 2 x - 1 > 3". Por lo tanto, el deseo personal, la ayuda de personas externas y la práctica ayudan a comprender cualquier tema complejo.

¿Solucionador?

Un libro de soluciones también es muy adecuado, no para copiar tareas, sino para la autoayuda. En ellos puede encontrar sistemas de desigualdades con solución, verlos (como plantillas), tratar de comprender exactamente cómo el autor de la solución hizo frente a la tarea y luego intentar hacer lo mismo usted mismo.

Conclusiones

El álgebra es una de las materias más difíciles de la escuela. Bueno, ¿qué puedes hacer? Las matemáticas siempre han sido así: para algunos es fácil, pero para otros es difícil. Pero en cualquier caso conviene recordar que el programa de educación general está estructurado de tal forma que cualquier alumno pueda afrontarlo. Es más, hay que tener presente gran cantidad asistentes Algunos de ellos han sido mencionados anteriormente.

Sistema de desigualdades.
Ejemplo 1. Encuentra el dominio de una expresión.
Solución. bajo el signo raíz cuadrada debe haber un número no negativo, lo que significa que se deben satisfacer dos desigualdades simultáneamente: En tales casos, dicen que el problema se reduce a resolver un sistema de desigualdades.

Pero todavía no nos hemos encontrado con tal modelo matemático (sistema de desigualdades). Esto significa que todavía no podemos completar la solución del ejemplo.

Las desigualdades que forman un sistema se combinan con una llave (lo mismo ocurre en los sistemas de ecuaciones). Por ejemplo, registrar

significa que las desigualdades 2x - 1 > 3 y 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

A veces, un sistema de desigualdades se escribe en forma de doble desigualdad. Por ejemplo, un sistema de desigualdades.

se puede escribir como una doble desigualdad 3<2х-1<11.

En el curso de álgebra de noveno grado, consideraremos solo sistemas de dos desigualdades.

Considere el sistema de desigualdades.

Puedes seleccionar varias de sus soluciones particulares, por ejemplo x = 3, x = 4, x = 3,5. De hecho, para x = 3 la primera desigualdad toma la forma 5 > 3, y la segunda toma la forma 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Al mismo tiempo, el valor x = 5 no es una solución al sistema de desigualdades. Cuando x = 5, la primera desigualdad toma la forma 9 > 3 - una desigualdad numérica correcta, y la segunda toma la forma 13< 11- неверное числовое неравенство .
Resolver un sistema de desigualdades significa encontrar todas sus soluciones particulares. Está claro que las conjeturas demostradas anteriormente no son un método para resolver un sistema de desigualdades. En el siguiente ejemplo mostraremos cómo razonan normalmente las personas al resolver un sistema de desigualdades.

Ejemplo 3. Resuelve el sistema de desigualdades:

Solución.

A) Resolviendo la primera desigualdad del sistema, encontramos 2x > 4, x > 2; resolviendo la segunda desigualdad del sistema, encontramos 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Resolviendo la primera desigualdad del sistema, encontramos x > 2; resolviendo la segunda desigualdad del sistema, encontramos Marquemos estos intervalos en una línea de coordenadas, usando el sombreado superior para el primer intervalo y el sombreado inferior para el segundo (Fig. 23). La solución al sistema de desigualdades será la intersección de las soluciones a las desigualdades del sistema, es decir el intervalo donde coinciden ambos sombreados. En el ejemplo considerado obtenemos una viga.

V) Resolviendo la primera desigualdad del sistema, encontramos x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Generalicemos el razonamiento realizado en el ejemplo considerado. Supongamos que necesitamos resolver el sistema de desigualdades.

Sea, por ejemplo, el intervalo (a, b) una solución a la desigualdad fx 2 > g(x), y el intervalo (c, d) una solución a la desigualdad f 2 (x) > s 2 (x ). Marquemos estos intervalos en una línea de coordenadas, usando la trampilla superior para el primer intervalo y la trampilla inferior para el segundo (Fig. 25). La solución a un sistema de desigualdades es la intersección de soluciones a las desigualdades del sistema, es decir el intervalo donde coinciden ambos sombreados. En la figura. 25 es el intervalo (c, b).

Ahora podemos resolver fácilmente el sistema de desigualdades que obtuvimos arriba en el Ejemplo 1:

Resolviendo la primera desigualdad del sistema, encontramos x > 2; resolviendo la segunda desigualdad del sistema, encontramos x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Por supuesto, el sistema de desigualdades no tiene por qué consistir necesariamente en desigualdades lineales, como ha sido el caso hasta ahora; Puede ocurrir cualquier desigualdad racional (y no sólo racional). Técnicamente, trabajar con un sistema de desigualdades racionales no lineales es, por supuesto, más complicado, pero aquí no hay nada fundamentalmente nuevo (en comparación con los sistemas de desigualdades lineales).

Ejemplo 4. Resolver el sistema de desigualdades.

Solución.

1) Resuelve la desigualdad que tenemos
Marquemos los puntos -3 y 3 en la recta numérica (Fig. 27). Dividen la línea en tres intervalos, y en cada intervalo la expresión p(x) = (x- 3)(x + 3) conserva un signo constante; estos signos se indican en la Fig. 27. Nos interesan los intervalos en los que se cumple la desigualdad p(x) > 0 (están sombreados en la figura 27) y los puntos en los que se cumple la igualdad p(x) = 0, es decir, puntos x = -3, x = 3 (están marcados en la Fig. 2 7 con círculos oscuros). Así, en la Fig. La Figura 27 presenta un modelo geométrico para resolver la primera desigualdad.

2) Resuelve la desigualdad que tenemos
Marquemos los puntos 0 y 5 en la recta numérica (Fig. 28). Dividen la línea en tres intervalos, y en cada intervalo la expresión<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (sombreado en la Fig. 28), y los puntos en los que se cumple la igualdad g (x) - O, es decir puntos x = 0, x = 5 (están marcados en la Fig. 28 con círculos oscuros). Así, en la Fig. La Figura 28 presenta un modelo geométrico para resolver la segunda desigualdad del sistema.

3) Marquemos las soluciones encontradas a la primera y segunda desigualdad del sistema en la misma línea de coordenadas, usando el sombreado superior para las soluciones de la primera desigualdad y el sombreado inferior para las soluciones de la segunda (Fig. 29). La solución al sistema de desigualdades será la intersección de las soluciones a las desigualdades del sistema, es decir el intervalo donde coinciden ambos sombreados. Tal intervalo es un segmento.

Ejemplo 5. Resuelve el sistema de desigualdades:

Solución:

A) De la primera desigualdad encontramos x >2. Consideremos la segunda desigualdad. El trinomio cuadrado x 2 + x + 2 no tiene raíces reales y su coeficiente principal (el coeficiente de x 2) es positivo. Esto significa que para todo x se cumple la desigualdad x 2 + x + 2>0 y, por tanto, la segunda desigualdad del sistema no tiene soluciones. ¿Qué significa esto para el sistema de desigualdades? Esto significa que el sistema no tiene soluciones.

b) De la primera desigualdad encontramos x > 2, y la segunda desigualdad se satisface para cualquier valor de x. ¿Qué significa esto para el sistema de desigualdades? Esto significa que su solución tiene la forma x>2, es decir coincide con la solución de la primera desigualdad.

Respuesta:

a) ninguna solución; b) x>2.

Este ejemplo es una ilustración de los siguientes útiles

1. Si en un sistema de varias desigualdades con una variable una desigualdad no tiene soluciones, entonces el sistema no tiene soluciones.

2. Si en un sistema de dos desigualdades con una variable, se satisface una desigualdad para cualquier valor de la variable, entonces la solución del sistema es la solución a la segunda desigualdad del sistema.

Concluyendo esta sección, volvamos al problema sobre el número previsto dado al principio y resolvámoslo, como dicen, de acuerdo con todas las reglas.

Ejemplo 2(ver pág. 29). Destinado número natural. Se sabe que si suma 13 al cuadrado del número previsto, entonces la suma será mayor que el producto del número previsto por el número 14. Si suma 45 al cuadrado del número previsto, entonces la suma será ser menos producto el número planeado y el número 18. ¿Qué número está planeado?

Solución.

Primera etapa. Elaboración de un modelo matemático.
El número deseado x, como vimos anteriormente, debe satisfacer el sistema de desigualdades.

Segunda etapa. Trabajando con el modelo matemático compilado transformemos la primera desigualdad del sistema a la forma.
x2- 14x+ 13 > 0.

Encontremos las raíces del trinomio x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Usando la parábola y = x 2 - 14x + 13 (Fig. 30) concluimos que la desigualdad que nos interesa es satisfecho en x< 1 или x > 13.

Transformemos la segunda desigualdad del sistema a la forma x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

consulte también Resolver gráficamente un problema de programación lineal, Forma canónica de problemas de programación lineal

El sistema de restricciones para tal problema consta de desigualdades en dos variables:
y la función objetivo tiene la forma F = do 1 incógnita + do 2 y que es necesario maximizar.

Respondamos la pregunta: ¿qué pares de números ( incógnita; y) son soluciones al sistema de desigualdades, es decir, ¿satisfacen cada una de las desigualdades simultáneamente? En otras palabras, ¿qué significa resolver un sistema gráficamente?
Primero debes entender cuál es la solución a una desigualdad lineal con dos incógnitas.
Resolver una desigualdad lineal con dos incógnitas significa determinar todos los pares de valores desconocidos para los que se cumple la desigualdad.
Por ejemplo, desigualdad 3 incógnita – 5y≥ 42 pares satisfechos ( incógnita , y): (100, 2); (3, –10), etc. La tarea es encontrar todos esos pares.
Consideremos dos desigualdades: hacha + por≤ do, hacha + por≥ do. Derecho hacha + por = do divide el plano en dos semiplanos de modo que las coordenadas de los puntos de uno de ellos satisfacen la desigualdad hacha + por >do, y la otra desigualdad hacha + +por <do.
De hecho, tomemos un punto con coordenadas incógnita = incógnita 0; luego un punto que se encuentra sobre una recta y tiene una abscisa incógnita 0, tiene ordenada

Dejar con certeza a< 0, b>0, do>0. Todos los puntos con abscisas. incógnita 0 tumbado arriba PAG(por ejemplo, punto METRO), tener yM>y 0 , y todos los puntos debajo del punto PAG, con abscisa incógnita 0, tengo y norte<y 0. Desde incógnita 0 es un punto arbitrario, entonces siempre habrá puntos en un lado de la línea para los cuales hacha+ por > do, formando un semiplano, y en el otro lado, puntos para los cuales hacha + por< do.

Figura 1

El signo de desigualdad en el semiplano depende de los números. a, b , do.
Esto implica el siguiente método para resolver gráficamente sistemas de desigualdades lineales en dos variables. Para resolver el sistema necesitas:

1. Para cada desigualdad, escribe la ecuación correspondiente a esta desigualdad.
2. Construir líneas rectas que sean gráficas de funciones especificadas por ecuaciones.
3. Para cada recta, determina el semiplano, que viene dado por la desigualdad. Para hacer esto, tome un punto arbitrario que no se encuentre en una línea recta y sustituya sus coordenadas en la desigualdad. Si la desigualdad es verdadera, entonces el semiplano que contiene el punto elegido es la solución de la desigualdad original. Si la desigualdad es falsa, entonces el semiplano al otro lado de la recta es el conjunto de soluciones de esta desigualdad.
4. Para resolver un sistema de desigualdades es necesario encontrar el área de intersección de todos los semiplanos que son solución a cada desigualdad del sistema.

Esta área puede resultar vacía, entonces el sistema de desigualdades no tiene soluciones y es inconsistente. De lo contrario, se dice que el sistema es consistente.
Puede haber soluciones numero final y número infinito. El área puede ser un polígono cerrado o ilimitado.

Veamos tres ejemplos relevantes.

Ejemplo 1. Resuelva el sistema gráficamente:
incógnita + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• considere las ecuaciones x+y–1=0 y –2x–2y+5=0 correspondientes a las desigualdades;
• Construyamos líneas rectas dadas por estas ecuaciones.

Figura 2

Definamos los semiplanos definidos por las desigualdades. Tomemos un punto arbitrario, sea (0; 0). consideremos incógnita+ y– 1 0, sustituye el punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Esto significa que en el semiplano donde se encuentra el punto (0; 0), incógnita + y – 1 ≤ 0, es decir el semiplano que se encuentra debajo de la recta es una solución a la primera desigualdad. Sustituyendo este punto (0; 0) en el segundo, obtenemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, es decir en el semiplano donde se encuentra el punto (0; 0), –2 incógnita – 2y+ 5≥ 0, y nos preguntaron dónde –2 incógnita – 2y+ 5 ≤ 0, por lo tanto, en el otro semiplano, en el que está encima de la línea recta.
Encontremos la intersección de estos dos semiplanos. Las rectas son paralelas, por lo que los planos no se cruzan en ningún lado, lo que significa que el sistema de estas desigualdades no tiene soluciones y es inconsistente.

Ejemplo 2. Encuentre gráficamente soluciones al sistema de desigualdades:

Figura 3
1. Escribamos las ecuaciones correspondientes a las desigualdades y construyamos líneas rectas.
incógnita + 2y– 2 = 0

incógnita	2	0
y	0	1

y – incógnita – 1 = 0

incógnita	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Habiendo elegido el punto (0; 0), determinamos los signos de las desigualdades en los semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, es decir incógnita + 2y– 2 ≤ 0 en el semiplano situado debajo de la línea recta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, es decir y –incógnita– 1 ≤ 0 en el semiplano situado debajo de la línea recta;
0 + 2 =2 ≥ 0, es decir y+ 2 ≥ 0 en el semiplano encima de la recta.
3. La intersección de estos tres semiplanos será un área que es un triángulo. No es difícil encontrar los vértices de la región como puntos de intersección de las líneas correspondientes.


De este modo, A(–3; –2), EN(0; 1), CON(6; –2).

Consideremos otro ejemplo en el que el dominio de solución resultante del sistema no está limitado.

es cualquier conjunto de dos o más desigualdades lineales que contienen la misma cantidad desconocida

A continuación se muestran ejemplos de tales sistemas:

El intervalo de intersección de dos rayos es nuestra solución. Por lo tanto, la solución a esta desigualdad es toda incógnita situado entre dos y ocho.

Respuesta: incógnita

El uso de este tipo de mapeo para resolver un sistema de desigualdades a veces se denomina método de techo.

Definición: La intersección de dos conjuntos. A Y EN se llama tercer conjunto que incluye todos los elementos incluidos en A y en EN. Éste es el significado de la intersección de conjuntos de naturaleza arbitraria. Ahora consideramos en detalle los conjuntos numéricos, por lo que al encontrar desigualdades lineales, dichos conjuntos son rayos: codireccionales, contradireccionales, etc.

Averigüemos en realidad ejemplos encontrar sistemas lineales de desigualdades, cómo determinar las intersecciones de conjuntos de soluciones a desigualdades individuales incluidas en el sistema.

calculemos sistema de desigualdades:

Coloquemos dos líneas de fuerza una debajo de la otra. En la parte superior trazaremos esos valores. INCÓGNITA, que satisfacen la primera desigualdad incógnita>7 , y en la parte inferior, que actúan como solución a la segunda desigualdad incógnita>10 Comparemos los resultados de las rectas numéricas y descubramos que ambas desigualdades se cumplirán cuando incógnita>10.

Respuesta: (10;+∞).

Lo hacemos por analogía con la primera muestra. En un eje numérico dado trazamos todos esos valores. incógnita para lo cual existe el primero sistema de desigualdad, y en el segundo eje numérico, situado debajo del primero, todos aquellos valores incógnita, para lo cual se satisface la segunda desigualdad del sistema. Comparemos estos dos resultados y determinemos que ambas desigualdades se cumplirán simultáneamente para todos los valores. incógnita ubicado entre 7 y 10, teniendo en cuenta los signos, obtenemos 7<x≤10

Respuesta: (7; 10].

Los siguientes problemas se resuelven de manera similar. sistemas de desigualdades.